Corrigé Bac Maths 2016

Baccalauréat 2016 - ES/L
Pondichéry
Série ES/L Obli. et Spé.
21 Avril 2016
Correction
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Exercice 1. QCM 4 points
Commun à tous les candidats
Soit fla fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par f(x) = 3x−xln x.
Pour tout nombre réel xde l’intervalle ]0 ; +∞[on a :
a. f′(x) = 3 −1
xb. f′(x) = 3 −ln xc. f′(x) = 2 −ln x
Question 1 (Réponse c)
Démonstration. La fonction fest dérivable d’après les données et de la forme w−uv, donc de dérivée w′−u′v−uv′avec pour
tout nombre réel xde l’intervalle ]0 ; +∞[:
f(x) = w(x)−u(x)×v(x)avec 
u(x) = x;u′(x) = 1
v(x) = ln x;v′(x) = 1
x
w(x) = 3x;w′(x) = 3
On a donc :
∀x∈]0 ; +∞[ ; f′(x) = 3 −1×ln x−x×1
x
f′(x) = 3 −ln x−1
f′(x) = 2 −ln x
La bonne réponse est donc la réponse c.
Soit la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
a. 4 095 b. 8 191 c. 1−214
1−2
Question 2 (Réponse b)
Démonstration. La somme des 13 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 est :
S= 1 + 2 + 22+ 23+···+ 212
D’après la formule du cours on a :
S=1er terme de la somme×1−qnombre de terme de la somme
1−q
S= 1 ×1−213
1−2=−1 + 213 = 8 191
La bonne réponse est donc la réponse b.

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Obli. et Spé. - 21 Avril 2016
Une v.a. Xsuit une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.
1234567
1
5
0
P(A)désigne la probabilité d’un évènement Aet E(X)l’espérance de la variable aléatoire X.
a. P(3 6X67) = 1
4b. P(X>4) = P(2 6X65) c. E(X) = 9 5
Question 3 (Réponse b)
Démonstration. On rappelle que :
Soit Xla variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b].
∀x∈[a;b] ; P(a≤X≤x) = x−a
b−a: (1) et E(X) = b+a 2: (2)
Propriété 1
Donc ici Xsuivant une loi uniforme sur l’intervalle [2 ; 7] on a :
•P(3 6X67) = 7−3
7−2=4 5;
•P(X>4) = P(4 6X67) = 7−4
7−2=3 5et P(2 6X65) = 5−2 7−2=3 5;
•E(X) = 7 + 2
2=9 2.
La bonne réponse est donc la réponse b.
On réalise un sondage sur un échantillon de npersonnes (n, entier naturel non nul). Parmi les tailles de l’échantillon
proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95
avec une amplitude de 0,02 ?
a. n= 5 000 b. n= 100 c. n= 10 000
Question 4 (Réponse c)
Démonstration. Soit fla fréquence observée d’un caractère dans un échantillon de taille nextrait d’une population dans laquelle
la proportion de ce caractère est p.
Si les conditions suivantes sont remplies : 
✓n≥30
✓nf ≥5
✓n(1 −f)≥5
Alors un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% de la proportion pest :
In=f−1
√n;f+1 √n
Son amplitude est donc I=2
√nsoit :
I=2
√n= 0,02 ⇐⇒ 4
n= 0,022⇐⇒ n=4 0,022= 10 000
La bonne réponse est donc la réponse c.
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Exercice 2. Fonction et applications 6 points
Commun à tous les candidats
La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.
L’entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des
particuliers ou dans des collectivités. L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
•Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction Cdéfinie sur l’intervalle [1 ; 15] avec, pour xla quantité
de granulés en tonnes et C(x)le coût de fabrication quotidien en centaines d’euros : C(x) = 0,3x2−x+e−x+5
•Dans l’entreprise BBE le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros. La recette quotidienne de
l’entreprise est donc donnée par la fonction Rdéfinie sur l’intervalle [1 ; 15] par : R(x) = 3x,où xdésigne la quantité
de granulés en tonnes et R(x)la recette quotidienne correspondante en centaines d’euros.
Partie A : Étude graphique
Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l’aide du graphique. Aucune justification n’est demandée.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
∆
C
1. Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.
Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour une production d’environ 4,5 tonnes.
2. 2. a. Déterminer les valeurs C(6) et R(6) puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé
par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.
Graphiquement on a (en centaines d’euros) :
C(6) ≈5,1et R(6) ≈18
Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus vaut (R(6) −C(6)) centaines
d’euros soit environ, exprimé en euros :
(18 −5,1) ×100 = 1 290e
2. b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement
pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.
L’entreprise réalise un bénéfice lorsque les recettes sont supérieures aux coûts, c’est à dire quand la courbe ∆est au dessus de
la courbe C. Cela correspond donc a une production est comprise entre 2,9 et 13,2 tonnes environ.
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Partie B : Étude d’une fonction
On considère la fonction gdéfinie sur l’intervalle [1 ; 15] par : g(x) = −0,6x+ 4 + e−x+5. On admet que la fonction
gest dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note g′sa fonction dérivée.
1.
1. a. Calculer g′(x)pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15].
La fonction gest dérivable d’après les données et de la forme v+eu, donc de dérivée v′+u′euavec pour tout nombre réel
xde l’intervalle [1 ; 15] :
g(x) = v(x) + eu(x)avec (u(x) = −x+ 5 ; u′(x) = −1
v(x) = −0,6x+ 4 ; v′(x) = −0,6
On a donc :
∀x∈[1 ; 15] ; g′(x) = v′(x) + u′(x)eu(x)
g′(x) = −0,6−1e−x+5
∀x∈[1 ; 15] ; g′(x) = −0,6−e−x+5
1. b. En déduire que la fonction gest décroissante sur l’intervalle [1 ; 15].
On a montré que pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15]
g′(x) = −0,6−e−x+5 =−0,6 + e−x+5
Or la fonction exponentielle est positive sur Rdonc pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15] :
e−x+5 >0 =⇒0,6 + e−x+5>0 =⇒g′(x) = −0,6 + e−x+5<0
La fonction gest décroissante sur l’intervalle [1 ; 15] .
2. 2. a. Dresser le tableau de variation de gsur [1 ; 15], en précisant les valeurs g(1) et g(15) arrondies à l’unité.
On a g(x) = −0,6x+ 4 + e−x+5 donc arrondi à l’unité :
g(1) = 3,6 + e4≈58 et g(15) = −5 + e−10 ≈ −5
x
Signe de g′(x)
g
1 15
−
5858
−5−5
α
0
2. b. Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution αsur l’intervalle
[1 ; 15]. Donner une valeur approchée de αà0,1près.
D’après le programme officiel (BO n◦8 du 13 octobre 2011) il est précisé :
La propriété des valeurs intermédiaires est présentée graphiquement; on convient que les flèches obliques d’un tableau de
variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. On peut exploiter le tableau
de variation pour déterminer le nombre de solutions d’une équation du type f(x) = k.
Le tableau de variation permet d’affirmer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution αsur l’intervalle [1 ; 15] puisque
la fonction est décroissante et continue sur cet intervalle et passe d’une valeur positive (g(1) >0) à une valeur négative
(g(15 <0). A l’aide de la calculatrice on a :
(g(6,9) ≈0,0096 >0
g(7) ≈ −0,0647 <0
=⇒α≈6,9
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2. c. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g(x)sur l’intervalle [1 ; 15].
On vient de montrer que la fonction g est strictement décroissante et s’annule en α. On a donc le tableau de signes suivant :
x
signe de g
1α15
+0−
Partie C : Application économique
1. Démontrer que pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15], on a : D(x) = −0,3x2+ 4x−e−x+5.
On définit par D(x)le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros, c’est-à-dire la différence entre la recette R(x)
et le coût C(x), où xdésigne la quantité de granulés en tonnes. On a donc pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15] :
D(x) = R(x)−C(x) = 3x−0,3x2−x+e−x+5=−0,3x2+ 4x−e−x+5
2. On admet que la fonction Dest dérivable sur l’intervalle [1 ; 15] et on note D′sa fonction dérivée. Démontrer que
pour tout réel xde l’intervalle [1 ; 15], on a D′(x) = g(x), où gla fonction étudiée dans la partie B.
La fonction Dest dérivable d’après les données et de la forme v−eu, donc de dérivée v′−u′euavec pour tout nombre réel x
de l’intervalle [1 ; 15] :
D(x) = v(x)−eu(x)avec (u(x) = −x+ 5 ; u′(x) = −1
v(x) = −0,3x2+ 4x;v′(x) = −0,6x+ 4
On a donc :
∀x∈[1 ; 15] ; D′(x) = v′(x)−u′(x)eu(x)
g′(x) = −0,6x+ 4 −(−1) e−x+5
∀x∈[1 ; 15] ; D′(x) = −0,6x+ 4 + e−x+5 =g(x)
3. En déduire les variations de la fonction Dsur l’intervalle [1 ; 15].
D’après la question (B.2.c) on a le signe de la dérivée D′=gest donc la fonction Dest croissante sur [1 ; α]et décroissante
sur [α; 15] soit :
x
D′(x) = g(x)
D
1α≈6.9 15
+0−
D(1) ≈ −51D(1) ≈ −51
D(α)≈13.17D(α)≈13.17
D(15) ≈ −7.5D(15) ≈ −7.5
4.
4. a. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur ap-
prochée du résultat à 0,1tonne près.
L’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal pour une production de α≈6,9tonnes de granulés, à 0,1tonne près.
4. b. Calculer alors le bénéfice maximal à l’euro près.
Le bénéfice maximal est alors D(α)≈13.17 centaines d’euros soit à l’euro près de 1 317 euros.
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