Baccalauréat 2015 - ES/L Polynésie

Baccalauréat 2015 - ES/L
Polynésie
Série ES/L Obli. et Spé.
12 Juin 2015
Correction
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Exercice 1. QCM 4 points
Commun à tous les candidats
1. Soit la fonction gdéfinie pour tout nombre réel xstrictement positif par : g(x) = 2e3x+1
2ln(x)
Si g′désigne la fonction dérivée de g, on a :
a. g′(x) = 2e3x+2
xb. g′(x) = 6e3x+2 xc. g′(x) = 6e3x+1 2xd. g′(x) = 6ex+1 2x
Question 1 (Réponse c)
La fonction gest dérivable sur Rcomme somme, composée et produit de fonctions qui le sont.
∀x∈R;g′(x) = 2 e3x′+1
2(ln(x))′
Et par dérivation de la fonction exponentielle composée : (eu)′=u′eu;udérivable sur R
g′(x) = 2 ×3×e3x+1
2×1 x
∀x∈R;g′(x) = 6ex+1
2x
Et donc la bonne réponse est la réponse c :
2. La courbe représentative Cd’une fonction fdéfinie sur l’intervalle [−2 ; 4] est donnée ci-dessous. La tangente T
à la courbe au point d’abscisse 0traverse la courbe en ce point.
La fonction fest convexe sur l’intervalle :
a. [−1 ; 4]
b. [−2 ; 0]
c. [−2 ; −1]
d. [0 ; 4]
1
2
3
1 2 3 4−1−2
0
1
2
3
0 1 2 3 4
C
T
Question 2 (Réponse d)
En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est dite convexe (respectivement concave) si son graphe est « tourné
vers le haut » ; c’est à dire que si A et B sont deux points du graphe de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-
dessus (respectivement au-dessous) du graphe. De plus on a les propriétés suivantes :

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Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
•La fonction fest convexe (resp. concave) si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus (resp.
au-dessous) de chacune de ses tangentes ;
•fest convexe (resp. concave) si et seulement si sa dérivée est croissante (resp. décroissante) sur I.
Proposition 1 (Fonction convexe/concave)
Ici la fonction fest convexe sur [0 ; 4] car sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle
et concave sur [−2 ; 0] car sa courbe représentative est au-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.
Et donc la bonne réponse est la réponse d :
3. On donne l’algorithme ci-dessous.
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :
a. 7,1
b. 7,6
c. 8
d. 17
Variables
n: un nombre entier naturel
Traitement
Affecter à nla valeur 0
Tant que 1,9n<100
Affecter à nla valeur n+ 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
Question 3 (Réponse c)
La variable nest un entier ce qui exclu les deux premières propositions. Il suffit alors de tester les deux valeurs :
•Si n= 8, alors 1,9n= 1,98≈169,8>100
•On vérifie bien que le terme précédent est inférieur à 100. On a : 1,97≈89,4<100
•Le cas n= 17 donnera évidement un terme plus grand que 100 mais ce ne sera pas le premier à réaliser la condition.
Et donc la bonne réponse est la réponse c :
4. Une variable aléatoire Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 5] dont la fonction de densité est représentée
ci-dessous. On a alors :
a. P(X>3) = P(X < 3)
b. P(1 6X64) = 1
3
c. E(X) = 5
2
d. E(X) = 1
5
123450123456
1
5
Question 4 (Réponse c)
Soit Xla variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b].
∀x∈[a;b] ; P(a≤X≤x) = x−a
b−a: (1) et E(X) = b+a 2: (2)
Propriété 1
La variable Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 5]. Par conséquent E(X) = 5 + 0
2=5 2.
Et donc la bonne réponse est la réponse c :
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Exercice 2. Obligatoire ES et L : Probabilités 5 points
Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L
Partie A - Étude de l’efficacité du traitement
On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l’autre partie du champ. On constate que :
•sur l’échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés ;
•sur l’échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de fruits abimés par au niveau de confiance de 95 % :
1. a. pour la partie du champ traitée ;
•1. Analyse des données :
–«Sur un échantillon de n= 100 , il est constaté que f= 18 % de fruits sont abimés. ».
•2. Intervalle de confiance :
Soit fla fréquence observée d’un caractère dans un échantillon de taille nextrait d’une population dans laquelle la
proportion de ce caractère est p.
Si les conditions suivantes sont remplies : 
✓n≥30
✓nf ≥5
✓n(1 −f)≥5
Alors un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% de la proportion pest :
In=f−1
√n;f+1 √n
Théorème 1 (Intervalle de confiance)
On a pour le cas étudié, n= 100,f= 18 %. Vérifions les conditions d’application du théorème :
✓n= 100 ≥30
✓nf = 100 ×0,18 = 18 ≥5
✓n(1 −f) = 100 ×0,82 = 82 ≥5
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% est alors :
In=f−1
√n;f+1 √n=0,18 −1 √100 ; 0,18 + 1 √100
I1=0,08 ; 0,28
1. b. pour la partie du champ non traitée.
•1. Analyse des données :
–«Sur un échantillon de n= 100 , il est constaté que f= 32 % de fruits sont abimés. ».
•2. Intervalle de confiance :
On a pour le cas étudié, n= 100,f= 32 %. Vérifions les conditions d’application du théorème :
✓n= 100 ≥30
✓nf = 100 ×0,32 = 32 ≥5
✓n(1 −f) = 100 ×0,68 = 68 ≥5
Un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95% est alors :
In=f−1
√n;f+1 √n=0,32 −1 √100 ; 0,32 + 1 √100
I2=0,22 ; 0,42
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1. c. Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement est efficace ?
On a montré que les intervalle de confiance, au seuil 95% sont de :
•Pour la partie traitée : I1= [0,08 ; 0,28] ;
•Pour la partie non traitée : I2= [0,22 ; 0,42]
Les intervalles ont une intersection non vide,
I1∩I2= [0,22 ; 0,28]
Donc il y a une part d’indécision.
Par exemple, la proportion p1de fruits abimées parmi les fruits traités pourrait être de p1= 0,27 et p2la proportion de fruits
abimées parmi les fruits non traités de p2= 0,23 < p1.
On ne peut pas considérer que le traitement est efficace.
Partie B - Qualité de la production
On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :
•Tl’évènement « Le fruit prélevé provient de la partie traitée » ;
•Al’évènement « Le fruit prélevé est abimé ».
On arrondira les résultats au millième.
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Avec les notations de l’exercice :
•PT(A) = 0,12 car « Une étude plus poussée permet d’estimer la proportion de fruits abimés à 0,12 dans la partie du
champ traitée » ;
•PT(A) = 0,30 car « La proportion de fruits abimés est estimée à 0,30 dans la partie non traitée. »
•P(T) = 0,25 car « On sait de plus qu’un quart du champ a été traité. »
On a donc l’arbre de probabilités suivant :
T
A
A
T
A
A
P(T) = 0,25
PT(A) = 0,12
PTA= 0,88
PT= 0,75
PT(A) = 0,30
PTA= 0,70
2.
2. a. Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.
On cherche la probabilité P(A∩T)soit :
P(A∩T) = PT(A)×P(T) = 0,12 ×0,25
Donc
P(A∩T) = 0,03
2. b. Montrer que P(A) = 0,255.
On cherche P(A)or d’après la formule des probabilités totales :
P(A) = P(A∩T) + PA∩T
P(A) = P(T)×PT(A) + PT×PT(A)
P(A) = 0,25 ×0,12 + 0,75 ×0,3
P(A) = 0,03 + 0,225
Soit
P(A) = 0,255
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3. Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé, Peut -on affirmer qu’il y a une chance sur quatre pour qu’il
provienne de la partie du champ traitée ?
On va calculer PA(T)en utilisant les résultats des questions B2a. et B2b.
PA(T) = P(A∩T)
P(A)=0,03 0,255
Soit en arrondissant au millième :
PA(T)≈0,118 6= 0,25
On ne peut donc pas affirmer qu’il y a une chance sur quatre pour qu’il provienne de la partie du champ traitée.
4. Dans le but d’effectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le champ. Calculer la probabilité qu’au
plus un fruit soit abimé.
•Modélisation
Vérifions les hypothèses de validation d’une loi binomiale.
–Un fruita 2 états : il est abimé ou il ne l’est pas. La probabilité d’être abimé est : p= 0,255.
–Il y a 5« tirages ». Chaque tirage est indépendant, identique et aléatoire.
De ce fait, la variable aléatoire Xdésigne bien le nombre de succès d’une répétition, de manière indépendante, de 5
épreuves de Bernoulli de paramètre p= 0,255.
La variable Xsuit donc une loi binomiale de paramètres n= 5 et p= 0,255, notée B(5 ; 0,255).
•Calcul
Puisque Xsuit une loi Binomiale de paramètre n= 5 et p= 0,255 on a :
P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k=5
k×0,255k×(0,745)5−k
La probabilité qu’au plus un fruit soit abimé se traduit par P(X≤1) or :
P(X≤1) = P(X= 0) + P(X= 1)
P(X≤1) = 5
0×0,2550×(0,745)5−0+5
1×0,2551×(0,745)5−1
P(X≤1) = 1 ×1×(0,745)5+ 5 ×0,2551×(0,745)4
Donc :
P(X≤1) ≈0,622
Remarque : Sur la TI Voyage 200
TIStat.binomFdR(5; 0,255; 1) ≈0,622 266 556 263
•Conclusion
La probabilité qu’au plus un fruit soit abimé est d’environ 0,622.
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