Baccalauréat 2016 - ES/L Amérique du Nord

Baccalauréat2016 - ES/L
Amérique du Nord
Série ES/L Obli. et Spé.
1 juin 2016
Correction
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Exercice 1. Probabilités 5 points
Commun à tous les candidats
Partie A
[...] 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche et ces derniers franchissent toujours le péage en moins de 10 se condes ;
52 % des automobilistes empruntent la voie du centre et parmi ceux-ci 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ; le s
autres automobilistes empruntent la voie de droite.
On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évè nements suivants : G : « l’automobiliste emprunte la voie de
gauche » ; C : « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ; D : « l’automobiliste emprunte la voie de droite » ; T : « l’auto-
mobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».
1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
•p(G)=0,28 car « 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauch e » ;
•p(C)=0,52 car « 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauch e » ;
• Et donc p(D)=1−0,28 −0,52 =0,2 ;
•pG(T)=1 car « ceux qui prennent la voie de gauche franchissent toujo urs le péage en moins de 10 secondes ». On a
donc pG(T)=0 .
•pC(T)=0,75 car « 52 % des automobilistes empruntent la voie du centr e et parmi ceux-ci 75 % franchissent le péage
en moins de 10 secondes ». On a donc pC(T)=0,25 .
G
T
T
C
T
T
D
T
T
p(G)=0,28
pG(T)=1
pGT=0
p(C)=0,52 pC(T)=0,75
pCT=0,25
p(D)=0,2
pD(T)=0,15 ( Q3.b.)
pDT=0,85 ( Q3.b.)
2. Calculer la probabilité p(CT).
p(CT)=p(C)×pC(T)=0,52 ×0,75 =0,39

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3. L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.
3. a. Justifier que p(D∩T)=0,03.
Puisque 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10secondesonap(T)=0,7 donc d’après la formule de
probabilités totales :
p(T)=p(G∩T)+p(C∩T)+p(D∩T)
0,7 =p(G)×pG(T)+0,39 +p(D∩T)
0,7 =0, 28 ×1+0,39 +p(D∩T)
Donc
p(D∩T)=0, 7 −0,28 −0, 39 =0,03
3. b. Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.
La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est :
pD(T)=p(D∩T)
p(D)=0,03 0,2 =0,15
Partie B
On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h−1.OnadmetqueV suit
la loi normale d’espérance µ=120 et d’écart-type σ=7,5.
1. Déterminer la probabilité p(120 <V<130).Onarrondiralerésultataumillième.
La variable aléatoire Vsuit la loi normale d’espérance µ=120 et d’écart-type σ=7,5 donc la calculatrice donne directe-
ment :
p(120 <V<130) ≈0,409
Calculatrice :SurlaTIVoyage200
TIStat.normFDR(120,130,120, 7.5) ≈0,408789
2. Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h−1.Déterminer
la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.
Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h−1donc la probabilité
qu’un automobiliste soit sanctionné est : p(X>138).
Si la variable aléatoire Xsuit une loi normale
N!µ;σ2"alors on a :
P!X<µ"=0,5 =P!X>µ"
De plus pour tout réel aavec a>µ:
P(X>a)=0, 5 −P!µ<X<a"
a
P(X>a)
µ
0,5 a−µ
Propriété 1 (P(X>a);a>µ)
D’après la propriété 1 on a donc
p(T>138) =0, 5 −P(120 ≤V≤138) ≈0,008
Calculatrice :SurlaTIVoyage200
0, 5 −TIStat.normFDR(120,138,120, 7.5) ≈0,008198
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Exercice 2. Obligatoire - Suites 5points
Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L
Le 1er janvier 2016, on compte 4000 abonnés. À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois sur
l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.
1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016.
Au 1er février 2016, l’entreprise aura perdu 8 % des 4 000 anciens joueurs et en aura gagné 8 000 soit :
4000×(1 −0,08) +8000 =11680
Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique (un)où unreprésente le nombre de
milliers d’abonnés au bout de nmois après le 1er janvier 2016. La suite (un)est donc définie par :
u0=4et,pourtoutentiernatureln,un+1=0,92un+8.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables
Nest un nombre entier naturel
Uest un nombre réel
Traitement
Uprend la valeur 4
Nprend la valeur 0
Tant que U<40
Uprend la valeur 0,92 ×U+8
Nprend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie
Afficher N
2. a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de Useront
arrondies au dixième.
Cet algorithme va afficher le rang du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 40. On peut ajouter une ligne
avec la date pour plus de visibilité.
Année 01/01/16 01/02/16 01/03/16 01/04/16 01/05/16 01/06/16 01/07/16
N 0 1 2 3 4 5 6
U4,0 11,7 18,7 25,2 31,2 36,7 41,8
U<40 vraie vraie vraie vraie vraie vraie FAUX
2. b. Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Cet algorithme va afficher le rang du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 40, il affichera donc la valeur 6.
C’est le 1er juillet 2016 que la société aura plus de 40 000 abonnés.
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3. On considère la suite (vn)définie pour tout entier naturel npar vn=un−100.
3. a. Montrer que la suite (vn)est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme v0.
Les suites (un)et (vn)sont définies pour tout entier npar :
(un):#u0=4
un+1=0,92 ×un+8$$$$$
(vn):#v0
vn=un−100
Pour tout entier non a :
vn+1=un+1−100
vn+1=(0,92 un+8)−100
vn+1=0,92 ×un−92
vn+1=0,92 ×%un+−92
0,92 &
vn+1=0,92 ×(un−100)
vn+1=0,92 ×vn
La suite (vn)est donc une suite géométrique de raison q=0,92, et de premier terme v0=−96 puisque :
v0=u0−100
v0=4−100
v0=−96
Soit :
(vn):#v0=−96
vn+1=0,92 ×vn
;∀n∈N
3. b. Donner l’expression de vnen fonction de n.
La suite (vn)est géométrique de raison q=0,92, et de premier terme v0=−96 donc son terme général est
∀n∈N;vn=v0×!q"n
Soit
∀n∈N;vn=−96 ×(0,92)n
3. c. En déduire que, pour tout entier naturel n,onaun=100 −96×0,92n.
De l’égalité définie pour tout entier n:
vn=un−100
On peut en déduire l’expression :
un=vn+100
Soit :
∀n∈N;un=−96 ×(0,92)n+100
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4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient
supérieur à 70 000.
Pour déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle lenombred’abonnésdevientsupérieurà70000onvarésoudre
l’inéquation un>70 avec entier naturel.
Pour tout entier naturels n:
un>70 ⇐⇒ 100 −96 ×0,92n>70
⇐⇒ 0,92n<70 −100
−96 =5 16
En composant par la fonction ln définie et croissante sur ]0 ; +∞[, on a :
un>70 ⇐⇒ ln0, 92n<ln 5
16
On applique alors la propriété ln an=nln adéfinie pour a>0etnentier :
un>70 ⇐⇒ nln 0, 92 <ln 5
16
En divisant chaque membre par ln 0,92 <0, l’ordre change et :
un>70 ⇐⇒ n>
ln 5
16
ln0, 92 ≈13,95
Puisque nest entier, l’ensemble des solutions de l’inéquation est donc composé des entiers naturels supérieurs ou égaux à 14.
La date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000 est donc le 1er mars 2017.
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