Faical AZZOUZI - Manifestations Univ Ouargla

SIPP’2011 / UKM Ouargla / 13 - 15 February/Février 2011
oC2
DYNAMIQUE NON LINEAIRE DE LA PROPAGATION
DES SOLITONS LASERS
DANS LES MILIEUX DISPERSIFS D’ORDRE SUPERIEUR
1
Faiçal AZZOUZI 1 et Houria TRIKI 2
Centre Universitaire de Souk Ahras, Souk Ahras, Algérie
2
Université Badji Mokhtar Annaba, Annaba, Algérie
E-mail: [email protected]
RÉSUMÉ : Un soliton optique est une impulsion localisée se propageant sans altérer son profil dans un milieu
de propagation non-linéaire donné. Physiquement, le soliton repose sur un équilibre entre la dispersion
chromatique du deuxième ordre et la non-linéarité Kerr, principaux effets physiques intervenant dans la
propagation de l’impulsion optique en régime picoseconde dans un milieu dispersif.
Cependant, les milieux de propagation présentent généralement d’autres effets physiques, qui peuvent
modifier considérablement les propriétés (existence, profil, stabilité) des solutions de type soliton. Certains effets
peuvent être considérés comme des effets d’ordre supérieur. Ils sont ajoutés à l’équation de Schrödinger nonlinéaire gouvernant la dynamique de propagation qui devient, par exemple, une équation cubique-quintique.
Nous possédons un ensemble des techniques semi-analytiques et analytiques pour résoudre l’équation
de Schrödinger non linéaire d’ordre élevés. Parmi les quelles, nous choisissons la technique de « l’onde solitaire
combinée ». La technique retenue nous permet de résoudre l’équation gouvernant le phénomène de la
propagation non linéaire possédante une solution de la forme d’une onde solitaire fournie par une superposition
entre deux solitons brillant et sombre. Les résultats sont renforcés par des simulations numériques.
MOTS-CLÉS : soliton optique, dynamique non linéaire, équation de Schrödinger non linéaire, dispersion
d’ordre élevé
1.
Introduction :
Les impulsions courtes à pulsations lumineuses picoseconde, gouvernées par l'équation
de NLS qui doit inclure seulement la dispersion de la vitesse de groupe (GVD) et l’automodulation de phase (SPM) [1]. Elle admet la propagation d'impulsion type soliton brillant et
noir dans des régimes anormaux et normaux de dispersion, respectivement [2]. Cependant,
l’augmentation de la puissance du champ appliqué va produire des impulsions ultracourtes
(en régime femtoseconde), les effets non Kerr non-linéaire deviennent importants et la
dynamique des impulsions devrait être décrite par la famille de NLS des équations extensives
aux termes non-linéaires d'ordre supérieur (comme on a cité auparavant) [3]. Dans ce
contexte, l'équation d'ondes régissante est le NSE généralisé inclut des effets évolués tels que
la dispersion de troisième ordre (TOD), la dispersion de quatrième ordre (FOD), autoraidissement (SS), et l’inter-impulsions due à la division de Raman stimulée (SRS).
D'ailleurs, d'autres termes comme les termes cubiques et quintique non linéaires se présentant
dans les médias non-Kerr peuvent être pris en considération dans une certaine situation
physique, ils ont étés figurés aux littératures récentes tel que l’étude de Pyo-Hong [4]. Nous
allons considérer l’une par la famille de l’équation NLS d’ordre supérieur comprenant dans ce
cas, le quatrième ordre de la dispersion et l’effet des termes non-linéaires cubique et
quintique. Cette équation considérée décrit la propagation des impulsions lumineuses
femtoseconde dans un milieu montre une loi parabolique de la non-linéarité. En adoptant la
solution de l’amplitude complexe combinée proposé par Li et al [5] dans laquelle l’amplitude
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de la fonction d’essai est une superposition de deux amplitudes des ondes solitaires brillante
et noire avec une asymptote temporelle non nulle au voisinage de l’infini. Nous trouvons deux
solutions d’ondes solitaires différentes dans certaines conditions paramétriques. Ces solutions
sont sous forme des solutions solitoniques brillantes et noires.
2. Modèle d’équations :
L'équation non-linéaire de Schrödinger d’ordre supérieur de la dispersion en présence des
termes cubique et quintique non linéarité décrivant la propagation des impulsions ultracourtes
peut être écrite sous la forme suivante [5]:
E z = −i
β2
2
E tt + iγ 1 E E +
β3
E ttt + i
β4
4
E tttt − iγ 2 E E
2
6
24
3.
(1)
où
est l'enveloppe du champ électrique lentement variable,
est le paramètre de la
et
sont le troisième ordre (TOD) et le
dispersion de vitesse de groupe (GVD),
quatrième ordre (FOD) de la dispersion, respectivement, et et sont les coefficients de la
non linéarité.
Les trois derniers termes de l’équation (1) peuvent être ignorées, si les impulsions
considérées de picoseconde, et l’équation (1) donc se réduite à l'équation de NLS standard,
qui sera intégrable par la transformation inverse (IST). Ceci signifie qu'il est possible de
décrire la propagation non linéaire des impulsions solitoniques brillantes et noires
correspondantes les régimes anormaux et normaux, respectivement [2]. Cependant, pour les
impulsions lumineuses femtoseconde, dont la durée est plus courte que
, les trois
derniers termes doivent être considérés. De plus, l'intégrabilité d'une équation non-linéaire
peut être étudiée en appliquant l'analyse de Painlevé. On croit largement que la possession de
la propriété de Painlevé est un critère suffisant pour l'intégrabilité de l’équation non-linéaire
[7]. Il est remarquable aussi, que la non-intégrabilité s’apparue habituellement avec la
présence des termes non-linéaires et dispersions d'ordre supérieur. D'ailleurs, elle existe une
autre technique fondamentalement basée sur la formulation de solution en termes d'amplitude
et fonction de phase comme approche pour trouver les solutions exactes de l’équation
d’évolution non-linéaire. Le formalisme est tout à fait simple: il nous permet d'obtenir les
solutions d’ondes solitaires avec amplitude dépendante seulement du temps et une phase
dépendante de la coordonnée de direction de la propagation de l’enveloppe du champ [37,
39].
2.1. La méthode de l’amplitude complexe combinée
La méthode d'amplitude complexe des solitons combinés qui a été présentée par Li et al [5],
présente la forme combinée de la solution qui est la superposition entre deux amplitudes des
solitons noirs et brillants, avec une valeur asymptotique ne s’approche pas au zéro lorsque le
temps s’approche à l'infini.
Nous adoptons la solution de l’amplitude complexe présentée par Li et al [5], sous la
forme :
Notons que
, est la fonction d'enveloppe complexe et
, est le shift
linéaire de la phase. En insérant cette solution dans l’équation (1)) et en levant le terme
exponentiel, nous remanions cette équation sous la forme suivante :
2
4
iqz + a5 q + ia1qt + a2 qtt − ia3 qttt + a4 qtttt + γ 1 q q + γ 2 q q = 0
(3)
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a1 = β 2Ω +
β3
Ω2 +
β4
Ω3 ,
2
6
β
1
a2 = − ( β 2 + β 3Ω + 4 Ω 2 ),
2
2
avec
a3 =
a4 =
1
( β 3 + β 4 Ω),
6
β4
24
a5 = k − (
β2
2
Ω2 +
β3
6
Ω3 +
β4
24
Ω4 )
Dans le suivant, nous prenons la fonction d’enveloppe complexe sous :
A condition que l'amplitude de solutions d’ondes solitaires soit non nulle lorsque la variable
du temps s’approche à l'infini, alors nous trouvons la fonction de déphasage non linéaire
(Shift phase) sous la forme :
Notons que les paramètres
et sont des valeurs réelles,
et peuvent être des
sont la largeur d'impulsion et le
nombres complexes ou réels. En plus, les paramètres
décalage de l’inverse de vitesse de groupe, respectivement. L'amplitude peut être écrite sous
la forme suivante :
Substituant l’équation (4) dans l’équation (3). Étendant les termes de
aux
, pour que les coefficients aux termes indépendants contenants des
termes de
combinaisons indépendantes de ces fonctions hyperboliques égales à zéro, après la séparation
entre les parties réelles et imaginaires, nous obtenons les 11 équations paramétriques
suivantes [10]:
ρ {η 2 a 2 + η 4 a 4 + γ 1 (λ2 + 3β 2 ) + (λ2 + β 2 )(λ2 + 5β 2 )γ 2 − a5 } = 0
λ {− ηχ + a1η − 4a3η }+ β {(3ρ − λ )[γ 1 + 2(λ + β )γ 2 ] + 4β ρ γ 2 } = 0
3
2
2
2
2
2
2
ρ{− 2η a2 − 20a4η + (ρ − λ )[γ 1 + 2γ 2 (λ + 3β )] + 4γ 2 β ρ } = 0
2
4
2
2
[
2
2
2
2
]
6λa3η 3 + βγ 2 ( ρ 2 − λ2 )(5 ρ 2 − λ2 ) = 0
ρ [24η a4 + γ 2 (ρ − λ ) ] = 0
4
2
2
2
λ{− 2a2η − 8a4η + ( ρ − λ )[γ 1 + 2γ 2 (λ + β )] + 4γ 2 β ρ } = 0
4
2
2
2
ρ [6a3η + 4βλ ( ρ − λ )γ 2 ] = 0
3
2
(9)
(11)
ρ {[−ηχ + a1η − a3η ] + 2βλ [γ 1 + 2γ 2 (λ + β )]} = 0
2
(8)
(10)
2 2
3
(7)
2
2
2
2
(12)
(13)
(14)
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λ[24a4η 4 + ( ρ 2 − λ2 ) 2 γ 2 ] = 0
(15)
λ {(λ + β )[γ 1 + γ 2 (λ + β )] − a5 } = 0
2
2
2
2
(16)
β {(λ + β )[γ 1 + γ 2 (λ + β )] − a5 } = 0
2
2
2
2
(17)
A l’aide de ces équations paramétriques, nous discuterons les divers cas possibles qui
nous permettent de distinguer les différents types des solitons existants pour l’équation NSL
d’ordre élevé introduisant les termes cubiques et quintique non-linéaires.
Nous imposons maintenant, quelques restrictions aux paramètres dépendants, de tel
sorte que les équations résultantes (7)-(17) deviennent compatibles.
Pour le cas de :
Dans ce cas, la solution d’onde solitaire obtenue existe avec
prend la forme suivante :
et
. Elle
En conséquence, l'intensité d’onde solitaire peut être écrite sous la forme :
avec
χ =
β2 Ω
η2 = 4
k=
β2
γ1 2
β
β2
Ω 2 + β 2γ 1
(20)
(21)
2
(22)
Notons que le type de la solution obtenue décrivant une onde solitaire brillante dépend de la
valeur de . En outre, l’expression (21) montre que la largeur de bande est liée au
et
, ce sont les paramètres non-linéaire et dispersif de
dépend de signé de produit
l'intensité. Pour cela, nous devons choisir ces deux
paramètres satisfaisants la
relation
. La figure 1 montre les différentes formes des signaux d’entrer d’un soliton
brillant correspondent les conditions paramétriques. Ces signaux se présentent dans ce cas
avec différentes valeurs du paramètre .
Il est clair que les solutions à partir de ce résultat numérique, comprennent la
prédiction de la condition aux limites d’une amplitude s’approche pas au zéro lorsque le
temps tend vers l’infini. En plus l’intensité s’amplifie avec l’augmentation du paramètre en
conséquence ses ailles augmentent d’une façon graduelle.
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Figure 1 : différents types des solitons brillants avec différentes valeurs du paramètre, β
Dans le cas particulier
, mathématiquement, nous pouvons constater à partir de
(18) que l'amplitude et la phase de cette solution de l’onde solitaire brillante dépend
clairement du temps et de la coordonnée de direction de la propagation, respectivement.
Notons que ce type de solution a été donné par les références [9,11], mais notre cas, présente
une amplitude d’une onde solitaire a eu une valeur asymptotique s’approche pas au zéro si le
temps au voisinage de l'infini, mais la solution qui correspond ce cas exceptionnel n’a aucune
signification physique si on revient à l’expression (20) dans la quelle la fréquence doit être
nulle.
Nous notons dans cette étude, ces ondes solitaires obtenues ne peuvent pas décrire
les possessions d’une onde solitaire superposée de deux solitons brillant et noir (W-shape
solution). D’autre terme, nous ne pouvons trouver aucune condition imposée sur les
paramètres de l’équation gouvernant la propagation non linéaire, de telles sortes que la
solution résultante peut être écrite sous forme d’une onde solitaire combinée.
2.2. Evolution d’un soliton brillant d’amplitude complexe à asymptote non nulle dans
une fibre optique.
Nous avons vu que l’adaptation de la fonction de l’amplitude complexe combinée,
produit deux types de solutions d’ondes solitaires pour l'équation de NLS d’ordre supérieur
contenant le quatrième ordre de la dispersion et les effets cubique-quintique non linéaire.
Notons que ces solutions ont été obtenues en imposant certaines conditions aux
paramètres existants. Les solutions résultantes sont donc sous forme des solitons brillants et
noires avec des amplitudes qui ne tendent pas vers zéro lorsque le temps tend vers l'infini.
Dans ce qui suit, on montre comment se comporte un soliton brillant vérifiant les
conditions du second cas discuté précédemment. Notons que dans le cadre de ce dernier cas,
l’équation de propagation (1) se réduit à une équation de Schrödinger non linéaire contenant
uniquement la dispersion de deuxième ordre et l’effet Kerr optique admettant le soliton
brillant comme type de solution. L’amplitude correspondante au soliton obtenu prend la forme
suivante :
avec
. Il est à noter que pour
et β = 1 , la largeur de bande obtenue est
d’environ T0 = 1 ps . Les résultats numériques obtenus nous ont permis de suivre la dynamique
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spatio-temporelle du soliton en régime femtoseconde dans une fibre optique et son
comportement sous l’influence des effets non linéaires et de dispersion en évaluant le taux de
participation de chaque effet. Les figures 2 (a) montre l’évolution spatio-temporelle du soliton
en tenant compte d’une grande distance de propagation allant jusqu’au z=30z0.
Une périodicité infiniment stable est clairement constatée sur la figure 2 (b) du taux
d’élargissement de la largeur de bande qui montre une phase séparatrice ou le soliton est
relativement équilibré.
5
(a)
(b)
Broadening ratio
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
300
Dsitance Normalisée
Figure 2: (a) Evolution d’un soliton brillant d’amplitude β {i − 2 sec h[η (t − χz )]}dans une fibre
optique avec la valeur de β = 1 et N = 0.5 pour une distance de Z = 30z 0 . (b) Variation de la
largeur de bande en fonction de la distance de propagation.
3. Conclusion
Dans le modèle d’équation considéré, la propagation de l’impulsion se fait dans un
milieu caractérisé par un indice de réfraction parabolique ce qui permet de décrire le
phénomène de propagation par l’équation de Schrödinger non linéaire contenant les termes
non linéaires cubique et quintique et la dispersion de quatrième ordre. L’étude a été renforcée
par des simulations numériques réalisées à l’aide de la méthode de la transformée de Fourrier
à pas divisé. Cette méthode nous a permis de suivre la dynamique de propagation spatiotemporelle du soliton brillant le long d’une fibre optique en présence des effets non linéaires
et de dispersion. Le taux de participation de chaque effet et comment influe sur la dynamique
de la propagation du soliton a été aussi étudié.
Références
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