corrigé - Université de Bordeaux

UNIVERSIT´ E DE BORDEAUX
Master 1
Th´eorie des Groupes
Corrig´e du Devoir Surveill´e du 24 novembre 2014
Exercice 1. Soit Gun groupe et soient a, b deux ´el´ements de G. Supposons que
ab est d’ordre fini n= ord(ab).Prouver que ord(ba) = n.
Supposons que (ab)n=e. Comme (ab)n=a(ba)n−1bon a a(ba)n−1b=e.
En multipliant cette ´egalit´e `a gauche par a−1et `a droite par aon obtient que
(ba)n−1(ba) = a−1a=e. Donc (ba)n=e. Le mˆeme argument montre que (ba)n=e
implique (ab)n=e. Donc ord(ba) = ord(ab) = n.
Exercice 2. Soit Gun groupe fini et soit Hun sous-groupe distingu´e de Gd’ordre
net d’indice m. Supposons que met nsont premiers entre eux. Prouver que Hest
l’unique sous-groupe de Gd’ordre n.
Soit H0un sous-groupe de Gd’ordre n. Soit x∈H0.Alors xn=e. D’autre part,
comme Hest distingu´e dans Get (G:H) = mon a ym∈Hpour tout y∈G(on
a ¯ym= ¯edans G/H). Comme met nsont premiers entre eux il existe a, b ∈Ztels
que 1 = am +bn. Donc
x=xam+bn = (xa)mxnb = (xa)m∈H.
On en d´eduit que H0⊂H. Comme |H0|=|H|,on a H0=H.
Exercice 3. Donner tous les endomorphismes du groupe (Q,+).
Il est facile de voir que pour tout a∈Ql’application fa:Q−→ Qd´efinie
par fa(x) = ax est un endomorphisme du groupe (Q,+).Soit f:Q−→ Qun
endomorphisme quelconque et soit a=f(1).On va prouver que f=fa.Comme
f(1) = a, on a f(n) = f(1 + · · · + 1) = f(1) + · · · +f(1) = na pour n∈Net
f(−n) = (−n)a. Soit maintenant x=n/m un nombre rationnel. Alors mf(x) =
f(mx) = f(n) = na, d’o`u f(x) = na/m =xa =fa(x).
Exercice 4. Soit pun nombre premier et soit Gun groupe d’ordre pn(n>1).
Soit Nun sous-groupe distingu´e non trivial de G.
1) Expliciter la formule des classes pour l’action de Gsur Npar conjugaison.
L’orbite d’un ´el´ement x∈Nest r´eduite `a xsi et seulement si x∈N∩Z(G).
Donc
|N|=|N∩Z(G)|+X
xi
|G|
|Gxi|,
o`u xiparcourt un syst`eme complet des repr´esentants des orbites non ponctuelles.
2) En d´eduire que N∩Z(G)6={e}.Quel th´eor`eme connu vient-on de g´en´eraliser?
Comme pdivise |N|et |G|/|Gxi|(puisque Gxi6=G) on obtient que pdivise
N∩Z(G).Donc N∩Z(G)6={e}.En posant N=Gon obtient que Z(G)6={e}
(th´eor`eme du cours).

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Exercice 5. 1) Soit Gun groupe fini d’ordre net soit n=pm1
1pm2 2· · · pmk
kla
d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers. Montrer que si Gadmet
un unique pi-sous-groupe de Sylow Gpipour chaque i= 1,2, . . . , k alors G=
Gp1×Gp2× · · · × Gpk.
Pour tout g∈Gle sous-groupe g−1Gpigest un pi-sous-groupe de Sylow, d’o`u
g−1Gpig=Gpi.Donc les sous-groupes Gpisont distingu´es.
Soient x∈Gpiet y∈Gpjo`u pi6=pj.Comme x−1y−1x∈Gpjet y−1xy ∈Gpi
on a
x−1y−1xy ∈Gpi∩Gpj={e}.
Donc xy =yx. Alors l’application
ϕ:Gp1×Gp2× · · · × Gpk−→ G
d´efinie par
ϕ(x1, x2,· · · , xk) = x1x2· · · xk, xi∈Gpi,
est un homomorphisme. On va prouver que ϕest un isomorphisme. Comme
|G|=|Gp1|·|Gp2|···|Gpk|,
il suffit de montrer que ϕest injective. Supposons que
ϕ(x1, x2,· · · , xk) = x1x2· · · xk=e.
Alors x1= (x2· · · xk)−1.Soit M=pm2
2· · · pmk
k.On a xM
1= (x2· · · xk)−M=eet
xpm1
1
1=e. Comme Met pm1 1sont premiers entre eux, on en d´eduit que x1=e.
Donc ker(ϕ) = {e}et ϕest injective.
Dans le reste de cet exercice on se propose de d´emontrer que tout groupe d’ordre
255 est cyclique. Soit Gun groupe d’ordre 255.
2) Prouver que Gposs`ede un sous-groupe distingu´e Hd’ordre 17 et un seul.
On a 255 = 3 ·5·17.Soit n17 le nombre de 17-sous groupes de Sylow de G. Alors
n17 ≡1 (mod 17) et n17 divise 15,d’o`u n17 = 1.
3) Prouver que G/H est ab´elien et qu’il poss`ede un sous-groupe Kd’ordre 5 et un
seul.
G/H = 15.On note n3le nombre de 3-sous-groupes de Sylow et n5le nombre de 5-
sous-groupes de Sylow de G/H respectivemet. Alors n3divise 5 et n3≡1 (mod 3)
et n5divise 3 et n3≡1 (mod 5).Donc n3=n5= 1.Comme le 5-sous-groupe
de Sylow de G/H est un groupe d’ordre 5 il est isomorphe `a Z/5Z.De mˆeme, le
3-sous-groupe de Sylow de G/H est isomorphe `a Z/3Z.Il d´ecoule maintenant de la
question 1) que G/H est isomorphe `a Z/5Z×Z/3Z'Z/15Z.
4) Soit π:G−→ G/H la projection canonique. Prouver que C=π−1(K) est un
sous-groupe distingu´e de G.

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Soit g∈G. Comme Kest distingu´e dans G/H on a
π(g−1Cg) = π(g)−1π(C)π(g) = π(g)−1Kπ(g) = K,
d’o`u g−1Cg ⊂C. Donc Cest distingu´e dans G.
5) Prouver que Cest cyclique.
Comme ker(π) = H, C est un groupe d’ordre |K| · |H|= 85.Soient m17 le
nombre de 17-sous-groupes de Sylow et m5le nombre de 5-sous-groupes de Sylow
de C. Comme m5≡1 (mod 5) et m5divise 17 on trouve que m5= 1.On a d´ej`a
vu dans 2) que Hest l’unique 17-sous groupe de Sylow de C. En appliquant 1) on
obtient que Cest isomorphe `a Z/17Z×Z/5Z.
6) Prouver que tous les p-sous-groupes de Sylow (p= 3,5,17) de Gsont distingu´es.
On sait d´ej`a que Hest distingu´e. Comme Cest ab´elien, il poss`ede un unique
5-sous-groupe de Sylow C5.Soit g∈G. Comme Cest distingu´e on a g−1C5g⊂
g−1Cg =C. Donc g−1C5gest un 5-sous-groupe de Sylow de C, d’o`u g−1C5g=C5.
Comme tous les 5-sous-groupes de Sylow sont conjugu´es on en d´eduit que C5est
l’unique 5-sous groupe de Sylow de G.
Soit Nl’unique sous-groupe de G/H d’ordre 3 et soit D=π−1(N).Alors les
mˆemes arguments montrent que Dest un sous-groupe distingu´e dans Get que son
unique 3-sous-groupe de Sylow est distingu´e dans G.
7) En d´eduire que Gest ab´elien et conclure.
Il suffit d’appliquer la question 1).
Exercice 6. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe un sous-groupe H
de S6isomorphe `a S5qui op`ere transitivement sur {1,2, . . . , 6}.
1) Soit Hun sous-groupe distingu´e de Sn(n>5). Prouver que H={e}, Anou
Sn.(Vous pouvez utiliser la simplicit´e de An).
Soit Hun sous-groupe distingu´e non trivial de Sn(n>5.) Alors H∩Anest un
sous-groupe distingu´e de An.Par la simplicit´e de Anon en d´eduit que H∩An=An
ou H∩An={e}.Si H∩An=Analors An⊂H⊂Snet comme [Sn:An] = 2 on
aH=Anou H=Sn.Si H∩An={e},on a
H'H/H ∩An'HAn/An=Sn/An.
Donc |H|= 2.Soit G={e, σ}.Alors pour tout τ∈Snon a τ−1στ =σet donc
σ∈Z(Sn) ce qui est impossible comme Z(Sn) = {e}.
2) Soit Pun 5-sous-groupe de Sylow de S5.On consid`ere le normalisateur Nde P
dans S5:
N={g∈S5|gP g−1⊂P}.
On pose m= (S5:N).Prouver que mdivise 24 et que m≡1 (mod 5).
Comme les 5-sous-groupes de Sylow de S5sont conjugu´es, m= (S5:N) est ´egal
au nombre n5de 5-sous-groupes de Sylow de S5.Or n5≡1 (mod 5) et n5divise
|S5|= 24 ·5.

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3) Prouver que m6= 1.En d´eduire que m= 6 et |N|= 20.
Si m= 1 le groupe Pserait distingu´e dans S5ce qui contredit la question 1). Il
d´ecoule maintenant de la question 2) que m= 6 et |N|=|S5|/m = 20.
4) Montrer qu’il existe un homomorphisme injectif ϕ:S5−→ S(S5/N)'S6.
Soit S5/N ={xN|x∈S5}l’ensemble des classes `a gauche de S5selon N. On
d´efinit une action de S5sur S5/N en posant
g(xN) = (gx)N.
Cette action induit un homomorphisme injectif ϕ:S5−→ S(S5/N) (voir le cours)
et par la question pr´ec´edente l’ensemble S5/N est de cardinal 6.
5) Conclure.
L’action de S5sur S5/N est transitive puisque pour tous x1, x2∈S5on a
g(x1N) = x2Npour g=x2x−1
1.
FIN