Induction électromagnétique. Aspects énergétiques. Applications.

Sébastien Bourdreux
Agrégation de Physique
Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand
Induction électromagnétique.
Aspects énergétiques.
Applications.
Novembre 2002
TABLE DES MATIÈRES
2
Table des matières
1 Mise en lumière du phénomène physique
1.1 Deux approches expérimentales possibles . . . . .
1.1.1 Circuit mobile dans un champ permanent
1.1.2 Circuit fixe dans un champ variable . . .
1.1.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Mise en équations de l’induction
2.1 Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Force électromotrice de Lorentz . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Force et champ électromoteurs . . . . . . . . .
2.2.2 Roue de Barlow : générateur unipolaire . . . .
2.3 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Expression générale . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Rail de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Tension aux bornes d’un dipôle électrocinétique
2.4 Champ électromoteur de Neumann . . . . . . . . . . .
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8
8
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10
11
11
12
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15
3 Les
3.1
3.2
3.3
notions d’auto-induction et d’inductances
Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . .
Couplage magnétique de circuits . . . . . . . .
3.3.1 Couplage de deux circuits . . . . . . . .
3.3.2 Principe du transformateur . . . . . . .
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21
4 Applications
4.1 Moteur asynchrone . . . . . . . . . . .
4.2 Accélération de particules : le bétatron
4.3 Courants de Foucault . . . . . . . . .
4.4 Machines tournantes génératrices . . .
4.4.1 Alternateurs . . . . . . . . . .
4.4.2 Dynamos . . . . . . . . . . . .
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23
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26
30
30
31
5 Convertisseurs électromécaniques
5.1 Le haut-parleur électrodynamique
5.2 Moteur à courant continu . . . . .
5.2.1 Principe . . . . . . . . . . .
5.2.2 Equation mécanique . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
Equation électrique . . . . . . .
Régime transitoire . . . . . . .
Régime permanent . . . . . . .
Fonctionnement en générateur
3
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Agrégation : Leçon de Physique 24
Niveau : 1er cycle universitaire (ou PC)
Prérequis : les points suivants doivent être acquis
– (les équations de Maxwell)
– les forces de Lorentz et de Laplace
– les lois de l’électrostatique et de la magnétostatique
– la loi d’Ohm généralisée
Introduction
La découverte par Oersted de l’action d’un courant électrique sur une
aiguille aimantée incita plusieurs physiciens à se demander si, inversement,
le magnétisme ne pourrait pas créer des effets électriques. Bref, si le courant électrique produit des effets magnétiques, le magnétisme ne doit -il pas
produire dans certaines conditions du courant électrique ?
Toutes les tentatives aboutirent à des résultats négatifs jusqu’aux travaux du
chimiste et physicien britannique Michael Faraday. Contrairement à Ampère,
Faraday était avant tout un expérimentateur. Après des centaines d’expériences,
il parvient en 1831 à produire du courant électrique à l’aide d’un aimant.
L’expérience fondamentale qui démontre cette production de courant en l’absence de pile se réalise très simplement. Tous les autres physiciens avaient
cherché un phénomène permanent ; nous allons voir que la découverte inattendue de Faraday bouscula fortement les idées reçues de l’époque...
Aujourd’hui, le phénomène de l’induction, est à la base de la production
d’électricité dans les dynamos, les moteurs, les transformateurs et les alternateurs, et trouve ainsi d’innombrables applications dont nous regarderons
quelques exemples simples.
4
1
MISE EN LUMIÈRE DU PHÉNOMÈNE PHYSIQUE
1
5
Mise en lumière du phénomène physique
Les phénomènes d’induction concernent l’action à distance d’un circuit
électrique ou de toute source de champ magnétique sur un autre circuit
électrique. L’existence de ces phénomènes est liée à une évolution dans le
temps de conditions de ”couplage magnétique” existant entre ces éléments ;
cette évolution peut avoir pour origine un mouvement dans l’espace (ie apparition d’une vitesse relative), et plus généralement toute variation en fonction
du temps de ce couplage.
1.1
1.1.1
Deux approches expérimentales possibles
Circuit mobile dans un champ permanent
On suppose que les sources du champ permanent sont extérieures au circuit, constitué d’une bobine par exemple, reliée à un oscilloscope. Le champ
magnétique permanent peut être celui d’un aimant en U.
Il existe une tension u(t) aux bornes de la bobine alors qu’aucun générateur
n’est présent. On note
– que si la bobine est immobile, u = 0
– que u(t) est positive lorsque la bobine s’approche de l’aimant et négative
quand elle s’en éloigne
– que l’amplitude de u(t) croı̂t avec la vitesse de déplacement de la
bobine,ve
La bobine est le siège d’un phénomène d’induction, qu’on appelle induction
de Lorentz.
1.1.2
Circuit fixe dans un champ variable
Si l’on déplace cette fois l’aimant en laissant la bobine fixe, on observe
les mêmes phénomènes que dans le premier cas.
Le système se comporte comme un générateur. Comme l’aimant se déplace
dans le référentiel du laboratoire, la bobine voit un champ magnétique variable au cours du temps. Ce sont ces variations temporelles qui sont à
l’origine du phénomène d’induction observé : on parle ici d’induction de
Neumann.
On aurait pu créer un champ variable en utilisant une deuxième bobine
reliée à un générateur de tension variable, observée par la deuxième voie de
l’oscilloscope. La bobine (fixe) détecte alors le champ généré par la bobine
reliée au générateur (comme une antenne !).
1
MISE EN LUMIÈRE DU PHÉNOMÈNE PHYSIQUE
1.1.3
6
Synthèse
Dans la première expérience, il apparaı̂t une force magnétique de Lorentz
de la forme
−
→
−
→
→
FL = q −
v × B0
(1)
susceptible de faire circuler les charges de conduction du circuit. Nous mettrons ceci en équations ultérieurement.
Dans la seconde expérience, le circuit voit apparaı̂tre un champ magnétique
variable créé par l’aimant. D’après l’équation de Maxwell-Faraday,
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
(2)
on sent que les variations temporelles du champ magnétique entraı̂nent l’apparition d’un champ électrique induit, capable alors de mettre les charges
du circuit en mouvement.
Cependant, on peut remarquer finement que pour un observateur qui se
déplacerait avec l’aimant, la bobine se déplacerait dans un champ magnétique
permanent : les deux expériences correspondent au même phénomène physique, la différence étant liée au choix du référentiel d’étude. L’induction
électromagnétique est un phénomène unique : inductions de Lorentz
et de Neumann en sont deux facettes différentes.
1.2
Loi de Lenz
Les expériences précédentes soulèvent également un autre aspect important dans les phénomènes d’induction : il existe un lien entre les effets
magnétiques (création d’une tension induite) et les effets mécaniques (mouvement). Une expérience simple permet d’illustrer ce lien.
Il s’agit de placer une bobine reliée à un court-circuit (R=0) dans les machoires de l’aimant, et de lui donner un mouvement de balancement en
l’écartant de sa position d’équilibre. On observe que les oscillations de la
bobine sont amorties, beaucoup plus rapidement dans ce cas que lorsque le
circuit est ouvert (simple amortissement mécanique par frottements).
Or, les seules forces qui sont suscetibles d’exister sont les forces de Laplace
→
−
liées au courant i(t) induit dans la bobine (longueur infinitésimale d l ) par
la relation
→ −
−
−−→
→
dFLap = i d l × B
(3)
Examinons les deux cas suivants :
1
MISE EN LUMIÈRE DU PHÉNOMÈNE PHYSIQUE
7
Fig. 1 –
La bobine entre dans le champ magnétique de l’aimant : ce champ devient de plus en plus intense,
de la gauche vers la droite. Le courant induit i(t) étant uniforme dans la bobine, les forces de Laplace sont
prépondérantes dans le domaine de champ fort : leur résultante freine le mouvement en s’opposant à la vitesse.
Il faut remarquer que le courant induit crée un champ magnétique appelé champ magnétique induit, opposé à la
variation du champ (augmentation) vu par la bobine.
Fig. 2 –
La bobine sort du champ magnétique de l’aimant : ce champ devient de moins en moins intense, de
la droite vers la gauche. Le courant induit i(t) étant uniforme dans la bobine, les forces de Laplace sont toujours
prépondérantes dans le domaine de champ fort : leur résultante freine le mouvement en s’opposant à la vitesse.
Il faut remarquer que le courant induit crée un champ magnétique appelé champ magnétique induit, opposé à la
variation du champ (augmentation) vu par la bobine.
Dans le référentiel du laboratoire, l’induction est due au déplacement de
la bobine, et le système réagit en produisant une force qui s’oppose à son
mouvement.
Dans le référentiel de la bobine, l’induction est provoquée par la variation
→
−
du champ B vu par la bobine : le système réagit en produisant un champ
magnétique induit opposé à la variation du champ magnétique appliqué
imposée à la bobine.
On résume ces lois de comportement par la loi de Lenz
Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques
de l’induction sont orientés de façon à s’opposer à ses
causes
et on illustre tout ceci par la figure suivante :
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
2
8
Mise en équations de l’induction
2.1
Cadre d’étude
Il faut être conscient que, si un circuit est suffisamment étendu et si, en
un point de ce circuit, une grandeur électromagnétique varie au cours du
temps, les effets électriques et magnétiques de cette variation ne se font pas
sentir instantanément à distance : on observe une propagation, de proche en
proche, des actions électromagnétiques, à vitesse bien déterminée suivant la
nature du milieu et caractérisée par une longueur d’onde de propagation. Il
faut dans ce cas déterminer les grandeurs électromagnétiques en tout point.
En revanche, si les dimensions du circuit sont petites devant la longueur
d’onde du phénomène en propagation, on peut considérer qu’à un instant
donné une grandeur donnée a même valeur en tous les points équivalents
du circuit. Il devient alors possible de calculer cette grandeur en appliquant
les lois de la statique. On dit que le circuit fonctionne en régime quasistationnaire ou dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).
Dans la suite de cet exposé, nous nous placerons dans de telles conditions.
2.2
2.2.1
Force électromotrice de Lorentz
Force et champ électromoteurs
On a vu que l’expérience montrait que le déplacement d’un circuit joue
le rôle d’un générateur électrique. On peut par conséquent définir une fém
appelée force électromotrice de Lorentz eL .
−
→
Nous avons vu que cette fém induite est liée au champ magnétique B0 appliqué, de la même façon que le sont les efforts de Laplace subis par le circuit :
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
9
ce sont des manifestations des effets du terme magnétique de la force de Lorentz exercée sur une particule chargée. Or, on sait que la puissance associée
à ce terme est nulle (le terme magnétique ne travaille pas, il est normal à la
−
→
vitesse) : comme B0 n’apparaı̂t pas dans le bilan énergétique, la puissance
de la fém de Lorentz et celle des actions de Laplace doivent se compenser :
PLaplace + eL i = 0
(4)
Considérons maintenant une portion de circuit mobile. Dans notre référentiel
d’étude, la vitesse d’une particule de conduction est composée et s’écrit
−
−→ −−−−−−−→ −−−−−−→
v−
Labo = vdeplacement + vconduction
(5)
ce qui implique que chaque charge q est soumise à la force
−−−−−→
→ → −
−
→ → −
→ −→
FLorentz = q ( E + −
vd × B0 + −
vc × B0 + EH )
(6)
−
→
→
Le terme −
vc × B0 , homogène à un champ électrique, est responsable de l’effet
→
Hall : normal à −
vc , donc aux lignes de courant, il ne peut pas être la cause
−→
d’un courant induit. Le terme EH représente le champ de Hall qui se crée
en régime permanent par effet Hall. Ces deux termes précédents tendent par
ailleurs à se compenser.
−
→
→
Par contre, le terme q −
vd × B0 correspond à une force supplémentaire qui ne
s’applique que si le circuit est en mouvement. Dans ce cas, elle peut mettre les
porteurs en mouvement et générer une fém d’induction. On appelle champ
électromoteur de Lorentz la grandeur
−→ −
−
→
Em = →
vd × B0
(7)
d qui se déplace, la puissance des efforts de
Sur une portion linéique AB
Laplace a pour expression
Z B
→ −
−
→ →
PLaplace = (
i d l × B0 ) · −
vd
(8)
A
ce qui s’écrit encore de manière équivalente
Z B
→
−
−
→
→
(−
vd × B0 ) · d l
PLaplace = −i
A
Z B
→
−→ −
= −i
Em · d l
A
(9)
(10)
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
10
et sachant d’après le bilan initial que PLaplace = −eL , i, nous en tirons l’expression de la force électromotrice de Lorentz
Z
B
eL =
→
−→ −
Em · d l
(11)
A
L’existence de courants induits est liée au caractère non conservatif de la
circulation du champ électromoteur : ils existent si et seulement si la fém
totale d’une maille est non nulle.
2.2.2
Roue de Barlow : générateur unipolaire
Parfois appelé disque de Faraday, ce dispositif est constitué par un disque
de cuivre tournant uniformément autour de son axe, dans un champ magnétique
stationnaire et uniforme. Deux contacts glissants, l’un sur l’axe en M et
l’autre sur la périphérie en N, permettent de refermer le circuit sur un
dipôle électrocinétique extérieur D. Le circuit n’est pas défini de façon unique
puisque le conducteur n’est pas filiforme mais massif entre le centre O du
disque et N. En outreles points matériels qui assurent la conduction entre
O et N changent au cours du temps
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
11
On peut calculer la fém de par son expression générale sur le contour
→
−
MONDM ; le champ magnétique appliqué est stationnaire, et tel que B =
→
B−
ez . Le disque a un rayon R et tourne à la vitesse angulaire ω. La vitesse
des seuls points mobiles du contour, comme P situé entre O et N, s’écrit
dans la base cylindrique
→
−
→
v = ωρ−
eθ
(12)
et ainsi
→
−
→
→
(−
v × B ) · d−
r
I
e(t) =
(13)
C
c’est-à-dire
R
Z
e(t) =
Bω ρdρ =
0
Bω 2
R
2
(14)
Ordre de grandeur : pour un champ de 0, 2 T , une roue de 10 cm de rayon
et une vitesse angulaire de ω = 3000 tr.min−1 , on obtient
e ∼ 0, 63 V
2.3
2.3.1
(15)
Loi de Faraday
Expression générale
→
−
Avec les conventions de la section précédente, appelons maintenant λ
la translation d’un point M du circuit dans l’intervalle de temps dt, ce qui
→ →
−
→
−
revient à dire que d λ = −
vd dt. La fém induite aux bornes de d l s’écrit dans
ce cas
→
−
→
→ dλ −
−
−→ −
→
deL = Em · d l = (d l ×
) · B0
(16)
dt
→
−
→ −
−
→
Or, la grandeur (d λ × d l ) · B0 représente le flux coupé d2 φc par l’élément
→
−
→
−
de circuit d l lors du déplacement d λ . Il vient donc que, lorsque l’ensemble
→
−
du circuit se déplace de d λ pendant dt, il est le siège d’une fém induite
eL = −
dφc
dt
(17)
On montre facilement que le flux coupé par un circuit en déplacement est
égal à la variation de flux traversant le circuit mobile ; par ailleurs, la variation de flux à travers le circuit peut avoir une cause quelconque, autre
que le mouvement de ce dernier (dans le cas de l’induction de Neumann par
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
12
exemple). On généralise donc l’égalité précédente pour atteindre la loi de
Faraday1
dφ
(18)
eL = −
dt
Remarque :
Dans les problème d’induction de Lorentz, le champ électrique peut
être mis sous la forme
−−→
→
−
−→
(19)
E = −gradV + Em
La loi de Faraday donne
I
I
→
−→ −
e(t) =
Em · d l =
→
− −
→
d
dφ(t)
=−
E ·d l = −
dt
dt
(C)
(C)
Z
− −
→
→
B · d S (20)
S
soit encore par le théorème de Stokes
I
→
− −
→
E ·d l =
(C)
Z
→ −
→
−→−
rot E · d S =
S
→
−
→
−
∂B
−
· dS
∂t
S
Z
(21)
d’où l’on tire l’équation locale dite de Maxwell-Faraday
→
−
→
∂B
−→−
rot E = −
∂t
(22)
Exemple : rotation d’un cadre dans un champ magnétique constant. Le flux est
de la forme φ = ab B0 cos(ωt) ; le phénomène d’induction implique que le cadre est
parcouru par un courant alternatif dû à l’existence aux bornes du cadre de la fém
alternative induite
dφ
eL = −
= ab B0 ω sin(ωt)
(23)
dt
2.3.2
Rail de Laplace
Prenons un exemple de calcul de fém par la loi de Faraday.
On considère la configuration suivante :
La tige NP de masse m peut glisser sans frottements ; le circuit est parcouru par un courant continu I et placé dans un champ magnétique normal
−
→
B0 , uniforme et constant.
1
On ne peut pas définir de flux si le circuit n’est pas filiforme ou si l’on ne connaı̂t
pas B en tout point d’une surface s’appuyant sur le circuit. Par ailleurs, la démonstration
de la loi de Faraday par le flux coupé est valable si la vitesse des points du circuit est
discontinue (roue à contact mobile).
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
13
→
−
Sous l’action de ce champ, la tige est soumise à la force de Laplace F =
→
IaB0 −
ex ; le flux magnétique à travers le circuit, φ = axB0 , varie au cours
du temps puisque la tige se déplace, et il apparaı̂t aux bornes du circuit une
fém induite.
Si la tige est initialement animée d’une vitesse v0 à la distance b de MQ,
l’application du PFD donne
F =m
d2 x
= IaB0
dt2
(24)
ce qui donne après deux intégrations
x(t) =
IaB0 2
t + vo t + b
2m
(25)
d’où l’expression du flux magnétique
φ(t) =
Ia2 B02 2
t + av0 B0 t + abB0
2m
(26)
On en tire alors l’expression de la fém induite aux bornes du circuit
e(t) = −
Ia2 B02
dφ
=−
t − av0 B0
dt
m
(27)
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
2.3.3
14
Tension aux bornes d’un dipôle électrocinétique
Quel que soit son mode de fonctionnement, un voltmètre est un appareil
dont l’indication est reliée directement à la quantité
Z
→
→ −
−
E ·d l
(28)
AV B
qui est la circulation du champ électrique entre les bornes A et B, le long
de la branche de mesure AVB dans laquelle est inséré voltmètre.
Considérons un dipôle électrique D fixe, placé dans une région où existe un
→
−
champ magnétique variable B (t), et plaçons un voltmètre entre les points
A et B :
On a, si la courbe (C) correspond au trajet fermé ADBVA,
I
(C)
→
− −
→
E ·d l =
Z
ADB
Z
→
− −
→
E ·d l +
→
− −
→
E ·d l =
BV A
Z
→
− −
→
E ·d l −uAB = −
ADB
Z
S
→
−
→
∂B −
·d S
∂t
(29)
soit par conséquent
→ dφ
− −
→
E ·d l +
(30)
dt
ADB
→
−
où apparaı̂t le taux de variation du flux de B à travers une surface s’appuyant sur tout le contour (C) : si l’on déplace le voltmètre, l’indication
Z
uAB =
→
−
qu’il donne n’est pas modifiée à condition que le flux de ∂∂tB soit négligeable
dans la zone considérée. La tension uAB n’est définie qu’à cette condition
2
MISE EN ÉQUATIONS DE L’INDUCTION
15
qui, dans la pratique, est peu contraignante car les champs intenses sont
localisés à l’intérieur de machines électriques.
Dans le cas où le dipôle est une résistance R, on observe
uAB = Ri +
2.4
dφ
dt
(31)
Champ électromoteur de Neumann
Nous avons vu que, bien que l’approche du phénomène d’induction soit
différente, les points de vue de Lorentz ou de Neumann sont équivalents. En
effet, dans l’approximation non relativiste (B, donc φ, sont les mêmes dans
les référentiels), la fém induite obtenue au bornes d’une bobine ne dépend
pas du référentiel choisi :
eN = eL = −
dφ(t)
dt
Reprenons l’équation de Maxwell-Faraday, selon laquelle
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
(32)
(33)
→
−
Pour un circuit filiforme, soumis à un champ magnétique B (M, t), le flux
→
−
peut s’exprimer à l’aide du potentiel-vecteur A (M, t) en vertu du théorème
d’Ostrogradski,
Z Z
I
→
−
→
−
→
−
→
−
B (M, t) · d S =
A (M, t) · d l
(34)
φ(t) =
Σ
Γ
donc, si le circuit est fixe,
eN
dφ
=−
=
dt
→
−
→
∂ A (M, t) −
−
·d l
∂t
Γ
I
(35)
ce qui revient à associer au phénomène d’induction le champ électromoteur
→
−
−→
∂A
Em = −
(36)
∂t
et ainsi calculer la fém correspondante sous la forme générique
H −→ −
→
eN = Γ Em · d l 1
−→
Le choix du champ électromoteur Em n’est bien sûr pas unique et dépend du choix
de jauge effectué. Ce choix n’est pas déterminant dans la pratique, puisqu’on se ramène
le plus souvent au calcul de la fém pour un circuit bouclé (maille).
1
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
16
Remarque : on admettra que, si les deux causes de l’induction (Lorentz
et Neumann) existent simultanément, il faut additionner leurs effets :
einduite = eL + eN .
3
Les notions d’auto-induction et d’inductances
Jusqu’à présent, nous avons systématiquement considéré les interactions
entre un aimant et une bobine, ou bien entre deux bobines. Cependant, si le
passage d’un courant dans une bobine génère une fém et un courant induits,
il génère également un champ magnétique induit de manière à s’opposer à la
variation de flux. Ne serait-il pas logique de considérer l’action de ce champ
sur le circuit générateur lui-même ? Peut-on généraliser à plusieurs circuits ?
3.1
Auto-induction
Un élément de circuit filiforme est en fait soumis au champ magnétique
total
→ −−−−−−→ −−−−→
−
B = Bexterieur + Bpropre
(37)
De même, la force électromotrice d’induction est la somme de deux termes ;
en pratique, epropre n’est appréciable que si Bpropre est lui-même intense, ce
qui est le cas pour de grands bobinages (nombre de spires élevé) parcourus
par de forts courants.
On définit un flux propre φpropre , qui représente le blux du champ créé par
la bobine à travers toute surface s’appuyant sur le contour du circuit. Cette
grandeur (comme Bpropre ) étant proportionnelle à l’intensité, on pose
φpropre = L i
(38)
où L représente l’inductance du circuit. C’est un coefficient positif purement
géométrique1 qui ne dépend que de la forme du circuit à l’instant t, et qui
s’exprime en henry (H).
Ainsi,
d(L i)
di
epropre = −
= −L
(39)
dt
dt
pour un circuit rigide (L est alors constante).
1
La proportionnalité est une conséquence de la linéarité des équations du champ
magnétique dans le vide : ce n’est plus le cas dans le fer par exemple. Le modèle du
circuit filiforme est cependant souvent inutilisable dans le calcul d’inductances propres
(intégrales divergentes) ; pour des nappes de courant surfaciques (coaxes), on ne définira
pas de surface s’appuyant sur le contour, mais on utilisera une définition énergétique.
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
17
Exemple : la bobine torique de section rectangulaire
Pour une bobine torique constituée de N spires jointives d’axe (Oz), les
lignes de champ sont des cercles de rayon ρ et d’axe (Oz). L’application
du théorème d’Ampère donne
B(ρ) =
µ0 N I
2πρ
(40)
Le flux ϕ à travers une spire du cricuit dépend de sa forme. Pour une
section rectangulaire,
Z
ϕ=
b
B(ρ) c dρ =
a
µ0 N I
b
c Ln( )
2π
a
(41)
Le flux total s’écrit φ = N ϕ, et on en déduit l’inductance
L=
3.2
φ
µ0 N 2
b
=
c Ln( )
I
2π
a
(42)
Aspects énergétiques
Pour une bobine rigide prise aux bornes d’un générateur, la loi d’Ohm
s’écrit
di
u = Ri − epropre − eext = Ri + L − eext
(43)
dt
L
équation différentielle faisant apparaı̂tre la constante de temps τ = R
. En
l’absence de champ extérieur, et si u est une tension constante, l’équation a
pour solution
t
u
i(t) = [1 − e− τ ]
(44)
R
Remarquons que la puissance fournie par le générateur Psource = ui et la
puissance dissipée par effet Joule PJoule = Ri2 ne sont pas égales :
Psource − PJoule = L i
di
dt
(45)
Pendant le régime transitoire, le solénoı̈de, qui absorbe donc une pussance
supplémentaire, accumule une énergie magnétique1
Z t
i2
1
m =
L d( ) = Li2
(46)
2
2
0
1
Cette énergie magnétique emmagasinée est de même nature que l’énegie
électrostatique emmagasinée dans une capacité. On peut le mettre en évidence à l’aide
d’un circuit simple : en parallèle, résistance+diode et bobine sur un générateur de tension ;
un commutateur permet de charger la bobine et de la décharger sur la branche capacitive...
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
18
La densité volumique d’énergie associée à un champ électromagnétique
est
0 E 2
B2
+
(47)
2 µ0
2
Prenons un solénoı̈de idéal de longueur l, comportant N spires de section
S. Le champ propre a pour valeur (cf. magnétostatique)
$em =
B = µ0
N
i
l
(48)
à l’intérieur (nul à l’extérieur). L’énergie magnétique associée au champ B
s’écrit
B2
Sl
2 µ0
µ0 N 2 S 2
=
i
2l
d’où l’on déduit l’expression de l’inductance du solénoı̈de,
m = $m × V =
(49)
(50)
µ0 N 2 S
(51)
l
Cette méthode de calcul, faisant appel à des considérations énergétiques, est
très commobe pour le calcul d’inductances.
L=
Ordre de grandeur : si N = 1000 spires, de surface S = 50 cm2 sur une
longueur l = 10 cm, on obtient (µ0 = 4π.10−7 H.m−1 )
L ∼ 63 mH
3.3
(52)
Couplage magnétique de circuits
Soit deux circuits filiformes et fermés repérés par les indices (1) et (2).
−
→
Pour une position donnée des circuits, le flux de B1 créé par (1) à travers
(2) est proportionnel à i1 ; ce flux de (1) à travers (2) peut se mettre sous
la forme
Z Z
I
→
−−−→ −
→
−−−→ −
φ1→2 =
B1→2 · dS2 =
A1→2 · d l2
(53)
S2
C2
d’après le théorème de Stokes. Par ailleurs, le potentiel-vecteur créé en
chaque point du circuit (2) a pour expression
→
−
I
−−−→ µ0
d l1
I1
(54)
A1→2 =
4π
C1 r
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
Ainsi, on obtient l’expression du flux
− −
→
→
I I
d l1 · d l2
µ0
I1
= M1→2 I1
φ1→2 =
4π
r
C2 C1
19
(55)
De la même façon, on montrerait que
− −
→
→
I I
µ0
d l2 · d l1
φ2→1 =
I2
= M2→1 I2
4π
r
C1 C2
(56)
On note immédiatement que M1→2 = M2→1 = M où le coefficient M est
donné par la formule de Neumann
µ0
M=
4π
3.3.1
I
I
C1
C2
→ −
−
→
d l1 · d l2
r
(57)
Couplage de deux circuits
Soit deux circuits constitués chacun d’une bobine rigide et d’une source.
Pour chaque circuit, en l’absence d’autre champ magnétique,
φi = φi→i + φj→i
(58)
avec i 6= j. Dans ce cas, e1 = −L1 didt1 − M didt2 et e2 = −L2 didt2 − M didt1 . Les
tensions
di1
di2
u1 = R1 i1 + L1
+M
(59)
dt
dt
et
di2
di1
u2 = R2 i2 + L2
+M
(60)
dt
dt
qui régissent les deux circuits sont donc couplées par le terme d’inductance
mutuelle.
La résolution de problèmes de ce type, dont les flux et les intensités sont reliés
par des relations linéaires, conduit habituellement à introduire un formalisme
matriciel, à l’aide de matrices inductance, qui sont symétriques et à diagonale
positive (coefficients d’auto-induction L).
Exemple : Bobines en série
Pour deux bobines, (1) et(2), parcourues par un courant i, le flux du
champ magnétique à travers l’ensemble des spires est
φ = φ1 + φ2 = (L1 i + M i) + (L2 i + M i)
(61)
Ce flux est de la forme φ = Li avec L = L1 + L2 + 2M : on voit qu’en
règle générale, Lequivalente 6= L1 + L2 !
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
20
Les sources fournissent la puissance
Psources = u1 i1 + u2 i2
di2
di1
+M
)i1
= (R1 i1 + L1
dt
dt
di2
di1
+(R2 i2 + L2
+M
)i2
dt
dt
(62)
La puissance dissipée par effet Joule s’écrit
PJoule = R1 i21 + R2 i22
et par conséquent le bilan énergétique Psource = PJoule +
(63)
dm
dt
dm
di1
di2
di2
di1
= L1 i1
+ L2 i2
+ M i1
+ M i2
dt
dt
dt
dt
dt
devient
(64)
c’est-à-dire, en prenant m = 0 lorsque les courants sont nuls,
m =
1
1
L1 i21 + L2 i22 + M i1 i2
2
2
(65)
L’inductance mutuelle des deux circuits dépend de leur position relative.
Pour en fixer les limites, il suffit de poser que l’énergie magnétique est positive, voire nulle s’il n’existe pas de courant dans l’espace. En posant X = ii21 ,
il vient
L1 X 2 + 2 M X + L2 > 0
(66)
condition satisfaite pour tout X si le discriminant de cette équation est
négatif :
M 2 < L1 L2
(67)
Le cas limite d’égalité est en réalité celui du couplage parfait, n’ayant pas
d’existence réelle, pour lequel toutes les lignes de champ créées par un circuit
traversent l’autre. En fait, il existe toujours des pertes de flux magnétique.
Pour les transformateurs cuirassés, on pose habituellement
p
M = k L1 L2
(68)
où k est un coefficient inférieur à l’unité traduisant la qualité de couplage.
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
3.3.2
21
Principe du transformateur
Il s’agit d’un cadre de fer assurant la ”canalisation” des lignes de champ
−
→
B créé par deux bobines de N1 et N2 spires.
La bobine (1), appelée primaire, est alimentée par une tension u1 (t) et la
bobine (2), appelée secondaire, alimente un appareil (ou charge). On écrit
conventionnellement le diagramme suivant :
Au primaire, écrivons
u1 = R1 i1 + L1
di1
di2
+M
dt
dt
(69)
et au secondaire
di1
di2
+M
(70)
dt
dt
Si les résistances sont nulles (ou en l’absence de charge pour le secondaire),
u2 = R2 i2 + L2
di1
di2
+M
dt
dt
di2
di1
u2 = L2
+M
dt
dt
u1 = L1
On montre par récurrence que, pour un bobinage de N spires,
Ltotal = N 2 L0
. Par ailleurs, en introduisant le facteur de couplage k, il vient
p
M = k L1 L2
(71)
(72)
3
LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES
.
22
→
−
et le champ parfaitement canalisé, le flux de B a la même valeur φ0 à
travers toutes les spires :
dφ0
(73)
u1 = N1
dt
et
dφ0
(74)
u2 = N2
dt
Nous obtenons alors la relation très simple u2 =
N2
N1
u1 .
Dans le cas général, on peut ramener chaque circuit à un équivalent
électrocinétique série du type (exemple du primaire)
– impédance Zp
– inductance propre iLω
– inductance mutuelle iM ω
avec la loi d’Ohm ep = (Zp + iLp ω)Ip + iM ω Is . De même pour le
secondaire, 0 = (Zs + iLs ω)Is + iM ω Ip . On obtient donc le système
d’équations
(
iM ω I
Is = − Zs,T p
ep = (Zp,T +
M 2 ω2
Zs,T ) I
−p
cette dernière équation permettant de donner l’équivalent série. De la
même façon, pour le secondaire, on obtient l’équation
−i
Mω
M 2 ω2
ep = (
+ Zs,T )Is
Zp,T
Zp,T
(75)
ce qui donne l’équivalent série du secondaire. Si l’on suppose le transformateur parfait, Rp iLp ω et ainsi Zp,T ≈ iLp ω. L’expression de la
fém du secondaire devient
s
p
Lp Ls ωe
Mω
Ls
es = −i
e = −i
=−
e
(76)
Zp,T
iLp ω
Lp
et sachant que
Ls
Lp
=
n2s
n2p ,
il vient finalement la relation simple
es
ns
=−
ep
np
et on retrouve le théorème d’Ampère en écrivant
L’utilisation du transformateur est simple :
– sans charge, Is = 0 dont ep = e = Zp,T Ip,0
(77)
Is
Ip
= − nnps .
4
APPLICATIONS
23
– en charge, e = Zp,T Ip,0 = Zp,T Ip + iM ω Is , ce qui donne encore
iM ω
Ip − Ip,0
=−
Is
Zp,T
et sachant que dans le cas d’un transformateur parfait, M = k
avec k = 1, on aboutit finalement à
np (Ip − Ip,0 ) + ns Is = np Ip,0
(78)
p
Lp Ls
(79)
En chargeant le secondaire, l’accroissement de courant qui passe dans
le primaire est np (Ip − Ip,0 ) et est compensé par le courant dans le secondaire (−ns Is ) exactement : le flux d’induction magnétique à travers
le fer ne change pas, qu’on soit en en charge ou non.
4
4.1
Applications
Moteur asynchrone
Pour les installations de forte puissance, la distribution de l’énergie
électrique se fait en ”triphasé”. Par rapport à une tension de référence,
le neutre, les trois fils de phase sont portés à des tensions de même valeur
efficace et déphasées de 2π
3 . Pour réaliser un champ tournant, il suffit de
disposer trois électroaimants faisant des angles de 2π
3 entre eux et reliés aux
sources du triphasé.
4
APPLICATIONS
24
Les trois électroaimants créent, au voisinage du point O, trois champs
proportionnels respectivement aux tensions correspondantes (avec la même
constante de proportionnalité), qui s’ajoutent :
−
→
3
→
→
B (O, t) = Bm (cos(ω0 t) −
ex + sin(ω0 t) −
ey )
2
(80)
Si on place une bobine de N spires d’aire S, fermée sur elle-même, de
résistance R, d’inductance L et de moment d’inertie J par rapport à l’axe
(Oz), elle peut tourner sur elle-même sous l’action du champ tournant,
moyennant un couple résistant Γ qui maintient sa vitesse constante. On
→
−
→
repère cette bobine par l’angle θ(t) = (−
ex , S ) et le champ tournant est tel
→ →
−
que ( B , −
ex ) = ωt 1 .
→
−
Le flux de B à travers la bobine varie dans le temps, ce qui provoque un
courant induit. La loi de Lenz montre que l’effet mécanique de ce courant
s’oppose à la cause de l’induction : la bobine subit des efforts de Laplace qui
tendent à la placer dans l’état où le flux ne varie pas (la vitesse angulaire
étant égale à ω0 )2 .
Classiquement, le problème se décompose en deux parties :
– une équation mécanique
−
→
La bobine est assimilable à un dipôle de moment magnétique M =
→
−
N i S . Le théorème du moment cinétique donne alors
−
→ −
→ →
(M × B ) · −
ez − Γ = J θ̈
(81)
J θ̈ − φ0 i sin(ω0 t − θ(t)) + Γ = 0
(82)
soit encore
– une équation électrique
Pour la spire orientée, le flux du champ extérieur est tel qu φext =
φ0 cos(ω0 t − θ(t)) d’où l’expression de l’équation
di dφext
+
=0
dt
dt
(83)
di
− (ω0 − θ̇)φ0 sin(ω0 t − θ(t)) = 0
dt
(84)
Ri + L
qui devient
Ri + L
1
2
On suppose que le champ est uniforme
Le moment des actions de Laplace est donc positif si ω est inférieure à ω0
4
APPLICATIONS
25
C’est en régime permanent que les deux équations se découplent. L’équation
électrique est alors une équation linéaire, dont le second membre est une
fonction sinusoı̈dale de pulsation Ω = (ω0 − ω) :
Ri + L
di
= Ω φ0 sin(Ωt)
dt
(85)
La solution d’une telle équation s’obtient par les complexes :
i = im sin(Ωt − ψ)
(86)
avec les grandeurs
im = √
Ω φ0
R2 + L2 Ω2
et ψ = Arctan(
LΩ
)
R
(87)
L’équation mécanique permet alors d’obtenir l’expression du moment
Γ(t) = √
Ω φ20
sin(Ωt − ψ) sin(Ωt)
R2 + L2 Ω2
(88)
de moyenne
Ω φ20
cos, ψ
2 R2 + L2 Ω2
soit encore en remplaçant ψ par sa valeur, et en posant X =
< Γ >=
√
< Γ >=
Γ0 (1 − X)
1 + λ2 (1 − X)2
(89)
ω
ω0 ,
(90)
Γ
0
où λ = Lω
R . On peut alors tracer l’évolution de Γ0 en fonction de X, puis
celle de la puissance mécanique < Pm >=< Γ > ω en fonction de X. On se
limite à l’intervalle [0, ω0 ]
On a les cas suivants :
4
APPLICATIONS
26
– si ω = ω0 , le couple < Γ > est nul car le flux est constant
– si ω < ω0 , on observe < Γ >> 0 et le moteur tourne moins vite que le
champ, d’où son nom de moteur asynchrone
– si le facteur λ < 1, le couple est une fonction décroissante de la pulsation, mais en général on a toujours λ > 1, ce qui implique que le
couple passe par un maximum. Si deux valeurs de ω correspondent à
la valeur imposée < Γ >, seule la plus grande est relatvie à un état
stable (< Γ > (ω) étant décroissante, une augmentation de la vitesse
se traduit par une diminution du couple moteur, qui ramène la vitesse
à sa valeur d’équilibre.
4.2
Accélération de particules : le bétatron
La possibilité d’exercer des forces électriques par des variations de champ
magnétique est mise à profit dans l’accélérateur de particules chargées appelé
bétatron.
→
−
Un électroaimant crée un champ magnétique B de révolution autour d’un
axe (Oz) et parallèle à cet axe. On injecte dans la zone périphérique, à une
distance r de l’axe des électrons de charge −e et de masse m, de vitesse
→
−
v perpendiculaire à (Oz). L’intensité du champ magnétique est choisie de
façon à ce qu’ils décrivent le cercle de rayon r et d’axoe (Oz). On fait croı̂tre
→
−
→
−
B : le potentiel-vecteur A croı̂t de même, et un champ électrique induit
tangentiel accélère les électrons sur leur orbite.
→
−
On peut montrer que, moyennant certaines conditions sur la géométrie de B ,
ce procédé d’accélération peut s’effectuer sans modifier le rayon de l’orbite.
4.3
Courants de Foucault
Toute pièce de métal placée près d’un circuit électrique parcouru par un
courant variable, ou en mouvement près d’un aimant, est le siège de courants
4
APPLICATIONS
27
volumiques induits appelés courants de Foucault, non guidés par les fils, ce
qui les rend souvent impossibles à calculer analytiquement.
De manière générale, les courants de Foucault se développent dans une
→
−
conducteur en mouvement ou soumis à un champ magnétique B variable,
→
−
s’il peut exister des lignes de champ sur lesquelles la circulation de Ji – et
donc celle du champ électromoteur –, est positive.
Ainsi, il n’y a pas de courant de Foucault dans un conducteur solide en ro→
−
−→
tation autour d’un axe parallèle au champ B uniforme, car alors Em est le
→
−
2
gradient de ωB
2 r (cf. calcul de la roue de Barlow) ; en revanche, si B est
normal à l’axe, il existe des courants de Foucault dans le conducteur.
Plaçons par exemple un conducteur cylindrique de volume V dans un
−
→
champ magnétique uniforme B0 appliqué selon l’axe de révolution et créé par
des sources extérieures. En régime variable, il apparaı̂t un champ électrique
−
→
induit Ei tel que
−
→
→
∂ B0
−→ −
rot Ei = −
(91)
∂t
d’où l’existence dans le conducteur de courants induits, appelés courants de
→
−
−
→
Foucault, de densité volumique Ji = γ Ei .
→
−
En première approximation, supposons que le champ B appliqué reste
−
→
égal à B0 . Par ailleurs, tout plan passant par M et contenant l’axe (Oz)
est plan d’antisymétrie pour l’ensemble conducteur + sources de champ
magnétique : le champ électrique (et le courant volumique) est normal à ce
plan. Dans le système de coordonnées cylindriques adéquat, nous pouvons
écrire
→ −
−
→
→
B = B0 = B0 (t) −
ez
(92)
et
−
→
→
Ji = γ Ei (ρ, t) −
eφ
(93)
4
APPLICATIONS
28
Les lignes de courant sont des cercles concentriques centrés sur l’axe des
plans z = cte. On adopte le contour (C) correspondant à une telle ligne de
→
courant, de rayon ρ et orientée selon −
eφ . La relation de Maxwell-Faraday
donne
I
Z
→
−
→ −
−
→ −
→
d
e=
Ei · d l = −
B0 · d S
(94)
dt S
(C)
→
−
→
ce qui s’écrit donc, si d S est orientée selon −
ez ,
2πρ Ei = −πρ2
d’où l’on extrait
et ainsi
dB0
dt
1 dB0
Ei = − ρ
2 dt
(95)
(96)
−
→
γ dB0 −
→
Ji = − ρ
eφ
(97)
2
dt
Remarquons que ces courants induits de Foucault
→
– sont plus intenses à la périphérie du conducteur. Leur sens, selon −
eφ si
−
→
→
−
dB0
<
0,
obéit
à
la
loi
de
Lenz
:
le
champ
additionnel
B
créé
par
Ji ,
i
dt
→
−
dirigé selon ez , tend à compenser la diminution du champ extérieur
−
→
B0
−
→
– sont d’autant plus intenses que B0 (t) varie rapidement dans le temps :
si B0 (t) = B0m cos(ωt),
→ γω
−
→
Ji =
ρB0m sin(ωt) −
eφ
(98)
2
4
APPLICATIONS
29
La puissance élémentaire dissipée par effet Joule dans le conducteur est
−
→ −
→
J2
δP = Ei · Ji dV = i dV
γ
soit sur tout le volume du conducteur
Z a
γω 2 2
π
2
B0m h sin2 (ωt)
ρ2 2πρ dρ = γω 2 B0m
a4 h sin2 (ωt)
P =
4
8
0
(99)
(100)
soit, puisque V = πa2 h,
V
2
γω 2 B0m
a2 sin2 (ωt)
8
Ainsi, en moyenne dans le temps,
P =
(101)
P
1
2
>t =
γω 2 B0m
a2
(102)
V
16
Cette puissance dissipée est d’autant plus grande que la conductivité γ et la
pulsation ω sont grandes, et que le conducteur est massif (rayon a grand).
On voit par ailleurs que l’on peut diminuer les courants de Foucault dans le
conducteur en divisant ces derniers en feuilles ou fibres que l’on sépare par
des isolants : en remplaçant le conducteur massif cylindrique de rayon a par
des fils conducteurs de rayon b = na tel que le volume total reste inchangé,
les pertes moyennes par unités de volume sont divisées par n2 :
<
P0
1
1
P
2
>t =
γω 2 B0m
b2 = 2 <
>t
(103)
V
16
n
V
C’est ce qui est réalisé dans les noyaux des bobines et dans les transformateurs.
En revanche, si l’on veut obtenir un échauffement important dans le conducteur, à γ et V fixés, on augmente en principe la fréquence (ω) du champ
magnétique : c’est ce qu’on réalise dans un four à induction, où le matériau
est chauffé alors que son support isolant reste froid ; un tel échauffement est
efficace puisque ce type de fours permet d’atteindre la fusion du conducteur !
<
Enfin, les courants de Foucault engendrés par le mouvement d’un conducteur dissipent une puissance proportionnelle au carré de la vitesse et créent
une action de freinage proportionnelle à la vitesse et au carré du champ.
De tels dispositifs sont utilisés comme ralentisseurs sur certains poids
lourds mais ne peuvent néanmoins se substituer aux freinages à friction,
car la force de freinage du ralentisseur n’est intense qu’à grande vitesse.
4
APPLICATIONS
4.4
4.4.1
30
Machines tournantes génératrices
Alternateurs
Une bobine comportant N spires de surface S tourne à vitesse angulaire
−
→
constante ω dans un champ magnétique uniforme B , autour d’un de ses
→
−
diamètres perpendiculaires à B .
A l’instant t, le flux à travers la bobine s’écrit
→ −
−
→
φ = N B · S = N BS cos(ωt + ϕ)
(104)
Une fém est donc induite, et donnée par le loi de Faraday
e(t) = −
dφ
= ω N BS sin(ωt + ϕ)
dt
(105)
Elle est sinusoı̈dale et de valeur moyenne nulle (le circuit se retrouve dans la
même position après un tour complet). Deux contacts glissants permettent
de l’utiliser pour alimenter un circuit fixe externe : on parle d’alternateur à
induit mobile.
On peut éviter de tels contacts pour les forts courants en prenant une bobine fixe et en faisant tourner la source de champ magnétique (aimant ou
électroaimant suivant la taille de l’alternateur) : ce sont des alternateurs à
induit fixe.
Les alternateurs de puissance ont un bobinage enroulé sur une carcasse en
4
APPLICATIONS
31
fer doux pour ”canaliser” les lignes de champ magnétique. L’inducteur est
une bobine à noyau animée d’une vitesse de rotation constante. Si l’induit
possède deux pôles, la fréquence de la fém induite est celle de la rotation
de l’inducteur ; pour obtenir du 50 Hz, la vitesse de rotation doit être de
l’ordre de 3000 tr.min−1 , c’est-à-dire assez élevée, mais obtenue directement
par certaines turbines. Les fém industrielles obtenues sont au maximum de
20000 V .
Pour opérer avec une vitesse de rotation moindre, il faut augmenter le
nombre de pôles de l’induit et de l’inducteur : avec 2p pôles par exemple, la
fréquence de la fém sera p fois celle de la rotation.
4.4.2
Dynamos
Une spire tournante dans un champ magnétique est le siège d’une fém
sinusoı̈dale.
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
32
Il est possible d’obtenir une fém toujours de même sens si l’on prend soin
de réaliser, en synchronisme avec la rotation, une commutation chaque fois
que la fém s’annule. C’est le rôle du ”collecteur”.
L’induit est en fait constitué d’un nombre important de conducteurs ”actifs”,
convenablement reliés entre eux, avec un collecteur comportant k lames
distinctes : la fém obtenue est quasi constantes et est de l’ordre de
e = N n φ0
(106)
où N est le nombre de tours par seconde, n le nombre de conducteurs actifs
et φ0 le flux maximal à travers une spire.
Le flux magnétique externe est produit par un circuit auxiliaire, l’inducteur fixe : ce dernier peut être alimenté par un générateur externe (excitation ”séparée”) ou par une fraction dérivée du courant produit (excitation
”parallèle”), ou bien encore en mettant en série l’inducteur avec le circuit
d’utilisation (cas rare, excitation ”série”).
5
5.1
Convertisseurs électromécaniques
Le haut-parleur électrodynamique
Il s’agit d’une application très importante et extrêmement répandue. On
peut représenter un haut-parleur comme suit :
→
−
→
L’aimant permanent annulaire crée un champ radial constant B = B(r) −
er
au niveau des fils de la bobine. Celle-ci est solidaire de la membrane, ce qui
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
33
permet de conférer à la membrane un mouvement de translation ; elle est
rappelée vers sa position d’équilibre par une force élastique qu’on modélise
le plus souvent par un ressort de raideur k. Les frottements mécaniques sont
représentés par un frottement proportionnel à la vitesse.
L’étude de ce dispositif peut faire l’objet d’une séance de travaux pratiques ;
la résolution du problème est typique. Lorsqu’un circuit électrique est mobile
dans un champ magnétique, les grandeurs électriques et mécaniques ne sont
pas indépendantes : on parle de couplage électromécanique. Comme nous
allons le voir sur l’exemple suivant, plus simple, l’analyse consiste en deux
étapes :
– une équation mécanique, faisant intervenir les actions de Laplace,
c’est-à-dire les courants
– une équation électrique tenant compte des fém d’induction (donc de
la vitesse des conducteurs)
La caractéristique électrocinétique dépend des contraintes mécaniques, de
la même façon que le comportement mécanique dépend des composants du
circuit.
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
5.2
5.2.1
34
Moteur à courant continu
Principe
Une bobine constituée de N spires enroulées sur un cadre rectangulaire
de côtés a et b, est en rotation autour d’un axe ∆. Sa position est repérée par
l’angle θ ; sa résistance totale est R et son inductance L. Elle est reliée tout
d’abord à une source de tension E par des contacts H et K qui commutent
à chaque demi-tour.
L’extrémité K de la bobine est reliée
– au pôle ⊕ si sin(θ) > 0
– au pôle si sin(θ) < 0
Le système mobile a un moment d’inertie J par rapport à l’axe ∆. Un aimant
→
−
permanent produit un champ magnétique B , supposé radial et de norme
uniforme au niveau des fils MN et PQ1 .
Un système mécanique S exerce sur l’axe un couple mécanique résistant, de
norme supposée constante, noté (−Γ).
1
On se rapproche de cette structure en jouant sur la forme des pôle et en plaçant un
cylindre de fer sur l’axe de la bobine. Il existe une zone de transition où le champ n’a pas
tout à fait la structure voulue, mais nous la négligerons ici.
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
5.2.2
35
Equation mécanique
Les forces de Laplace sur les côtés NP et QM sont parallèles à l’axe :
leur moment par rapport à ce dernier sera donc nul.
Les forces de Laplace exercées sur les côtés MN et PQ sont égales à Bib en
norme ; en raison de la commutation, leur moment a toujours le même signe.
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
Ce moment a pour expression Mδ =
forces de Laplace est
a
2
MLaplace = 2N × Bib
36
Bib. Au total, le moment des
a
= iφ0
2
(107)
où φ0 = N B ab a bien les dimensions d’un flux. Il vient donc l’équation
différentielle
J θ̈ = MLaplace − Γ = i φ0 − Γ
(108)
5.2.3
Equation électrique
La puissance des actions de Laplace est
PLaplace = −eLorentz i = MLaplace θ̇ = i φ0 θ̇
(109)
On en déduit l’expression de la force électromotrice de Lorentz, eL = −φ0 θ̇.
D’un point de vue électrocinétique, la rotation équivaut à un générateur
idéal de tension e = φ0 θ̇ opposée au courant qui engendre cette rotation (on
appelle parfois cette quantité force contre-électromotrice). On a l’équation
Ri+L
5.2.4
di
+ φ0 θ̇ = E
dt
(110)
Régime transitoire
Il est possible d’éliminer i(t) dans les équations précédentes. On obtient
alors l’équation différentielle en termes de ω(t) = θ̇(t)
φ2
Γ
E φ0
L
ω̈ + ω̇ + ω 0 + =
R
RJ
J
RJ
(111)
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
37
Dans la pratique, il est raisonnable de faire l’approximation que
L
ω̈ ω̇
R
(112)
φ2
φ0
L’équation se réduit au premier ordre : ω̇ + ω RJ0 = ERJ
− JΓ .
Cette équation linéaire admet une solution simple si Γ est constant et si le
moteur est initialement arrêté :
t
ω = ωl (1 − e− τ )
(113)
avec les grandeurs
ωl =
E
RΓ
− 2
φ0
φ0
et
τ=
RJ
φ20
. Pendant ce régime transitoire, le courant
i(t) =
décroı̂t donc de
5.2.5
E
R
à
E − ωφ0
R
Γ
φ0 .
Régime permanent
En régime permanent, le moment des forces de Laplace, opposé au couple
résistant, est égale à Γ et la vitesse angulaire limite ωl est une fonction affine
décroissante de Γ :
– la valeur maximale de cette vitesse est obtenue à vide pour Γ = 0 et
vaut φE0
0
– si le couple vérifie Γ > Eφ
R , le moteur ne peut pas tourner.
La pussance mécanique fournie par le moteur s’écrit
Pmeca = Γ × ω =
ω
φ0 E
ω(1 −
)
R
ωmax
(114)
soit encore, utilisant le bilan,
Psource = Pmeca + Ri2 = E i
avec i =
E−φ0 ω
.
R
On obtient donc le graphe
(115)
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
38
sur lequel on se rend compte que la puissance est maximale lorsque
2
ω = 12 ωmax et vaut alors E
4R .
5.2.6
Fonctionnement en générateur
Ce dispositif peut également fonctionner en générateur. Supposons qu’un
opérateur impose un régime permanent de rotation à vitesse constante ω0 en
exerçant un couple moteur Γ0 = −Γ. Remplaçons la source par une résistance
R0 .
– l’équation électrique donne
i=−
φ0 ω0
R0 + R
(116)
– l’équation mécanique donne Γ0 = −i φ0 , soit
Γ0 =
φ20 ω0
R0 + R
(117)
D’un point de vue mécanique, le couplage se traduit par un couple de
frottement proportionnel à la vitesse, qui dépend de la valeur de R0 .
D’un point de vue électrique, le système est équivalent à un générateur de
Thévenin de fém E(t) = φ0 ω0 .
5
CONVERTISSEURS ÉLECTROMÉCANIQUES
39
S’il était possible de faire abstraction des résistances et des frottements
internes, le rendement énergétique de ces convertisseurs électromécaniques
serait de 100% : en effet, la puissance de l’opérateur, opposée en moyenne à
celle des forces de Laplace, est égale à la fém du générateur1 . Ici, la puissance
est dissipée dans le résistance de charge, et on obtient bien
Γ0 × ω0 = (R0 + R)i2
(118)
Notons que l’on regroupe plus généralement les moteurs et générateurs
électriques sous le terme de convertisseurs de puissance, susceptibles de
produire de la puissance mécanique à partir d’une source électrique ou inversement de la puissance électrique à partir d’une excitation mécanique.
Théoriquement, les deux sens de conversion sont possibles, mais les appareils
sont en réalité conçus techniquement pour un seul mode de fonctionnement.
1
La puissance mécanique est celle des actions de Laplace, et la puissance électrique est,
en l’absence de résistance, celle de la fém de déplacement. D’après les lois de l’induction,
des deux grandeurs sont égales en valeur absolue.
Conclusion
La découverte du phénomène d’induction électromagnétique par Faraday
a constitué un grand pas dans la physique. Faraday avait appris le travail du
cuir et la réfection des ouvrages chez un libraire français de Londres, mais il
se prit très vite d’une passion pour les sciences chimiques et électriques ; ses
fabuleuses qualités d’expérimentateur l’amenèrent à postuler l’existence de
lignes de force appelées lignes de champ, mais il restait à expliquer comment
elle se propageaient dans l’espace.
Faraday franchit le pas, supprime toute référence à la matière, et suggère
que les forces observées sont créées par un ensemble de champs électriques,
magnétiques ou gravitationnels qui traversent l’espace vide. C’est ainsi qu’il
pose les bases d’une physique nouvelle, par ce saut conceptuel. Cependant,
son langage est trop approximatif, et il lui manque la puissance du formalisme mathématique.
Ce sont des mathématiciens et des physiciens tels que Hamilton, Thomson (futur Lord Kelvin) ou Maxwell qui poursuivirent la route s’ouvrant sur
une théorie électromagnétique de plus en plus consistante. La progression
amène ensuite vers les célèbres équations vectorielles de Maxwell (écrites
sous leur forme actuelle par l’anglais Heaviside) et à la propagation d’ondes.
Comme nous l’avons vu à travers quelques exemples, les phénomènes
d’induction sont aujourd’hui encore au goût du jour
40