Démonstration de la formule de conjugaison pour les dioptres

Démonstration de la formule de conjugaison pour les dioptres sphériques
1) Image d’un point situé sur l’axe optique par réfraction sur un dioptre sphérique
Soit le dioptre sphérique séparant les milieux d’indice n1 et n2, représenté sur la figure n°1. On regarde
un rayon particulier issus du point A, situé sur l’axe optique du dioptre sphérique. Ce rayon arrive sur
le miroir au point I en faisant un angle i1 par rapport à la normale (droite (N)). Ce rayon est réfracté en
suivant la loi de Snell-Descartes sur la réfraction et va donner une image A’ sur l’axe optique,
prolongement du rayon situé dans le milieu d’indice n1.
Figure n°1. Image d’un objet par réfraction à travers 1 dioptre sphérique.
Toute la suite de la démonstration est basée (encore une fois) sur cette formule de géométrie valable
dans un triangle quelconque (qu’on appelle parfois « Pythagore généralisé », et qu’on suppose
connue) :
a
sin
b
sin
c
sin
Utilisons cette relation dans la figure 1 :
-
Dans le triangle IA’C, on a la relation
-
Dans le triangle IAC, on a la relation
IA '
sin
IA
sin
Avec
sin
CA '
sin i 2
CA
sin i1
sin
On peut en déduire une première relation intermédiaire :
CA
IAsin i1
CA'
IA'sin i 2
Hors la relation de Snell-Descartes sur la réfraction s’écrit :
n1 sini1 n 2 sini 2
D’où, en l’injectant dans l’équation encadrée (et en mettant les valeurs algébriques) :
n1
CA
IA
n2
CA'
IA'
2) Image d’un point situé sur l’axe optique dans les conditions de Gauss
Dans les conditions de Gauss les rayons sont peu inclinés par rapport à l’axe optique du dioptre. Ainsi
les points I et S sont en réalités très voisins. Donc dans le cadre de cette approximation, on peut
effectuer le changement suivant :
IA SA
IA ' SA '
Donc la relation de conjugaison du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss se met sous la
forme :
n1
CA
SA
n2
CA'
SA'
CA CS SA
Qui peut se mettre sous plusieurs formes plus usuelles, en notant que
Et en l’injectant dans l’équation du dessus.
CA ' CS SA '
On donne ici la relation de conjugaison du miroir sphérique dans l’approximation de Gauss avec
origine au sommet :
n2
n1
SA ' SA
n 2 n1
SC