loi horaire - Lycée Jean Perrin

Classe Préparatoire TSI 1
ère
année LT Jean PERRIN St Ouen l'Aumône S3_Comportement des Systemes
loi horaire 1/2
Equations du mouvement
1- Translation rectiligne
R est le repère (O,
i
r
, j
r
,
k
r
)
Position du point M dans R : i)t(xOM
r
⋅= (en m)
Vitesse du point M dans R : i)t(v
dt
OM d
V
R
R/M
r
r⋅=
=
)t(x
dt
)
t
(
dx
)t(v
•
== (en m.s
-1
)
Accélération du point M dans R : i)t(
dt
V d
Γ
R
M/R
R/M
r
r
r⋅=
=γ
)t(x
dt
)t(xd
dt
)t(dv
)t(
2
2••
===γ (en m·s
-2
)
1-1- Mouvement uniformément varié (voir courbe feuille suivante)
Un mouvement est uniformément varié si l’accélération
γ
est constante.
On obtient alors :
i
f
i
f
tt
v
v
−
−
=γ (constante)
ii
v
)
t
t
(
)
t
(
v
+−⋅=
γ
iii
2
i
x)tt(v)tt(
2
1
)t(x +−⋅+−⋅⋅= γ
ti : temps au début de la phase
xi : position en début de phase xf : position en fin de phase
vi : vitesse en début de phase vf : vitesse en fin de phase
On peut aussi définir la vitesse moyenne :
i
f
i
f
moy
tt
x
x
v−
−
= (valable même pour un mouvement
non uniformément varié).
L’accélération peut aussi s’écrire :
(
)
(
)
( )
i
f
2
i
2
f
xx2
vv
−⋅ −
= γ
1-2- Mouvement uniforme (voir courbe feuille suivante)
Un mouvement est uniforme si l’accélération γ est nulle.
On obtient alors
0
=
γ
i
v
)
t
(
v
= (constante)
iii
x
)
t
t
(
v
)
t
(
x
+−⋅=
2- Rotation
R est le repère (O,
i
r
, j
r
,
k
r
)
Position angulaire du solide dans R :
)
t
(
θ
(en rad)
Vitesse de rotation dans R : )t(θ
dt
)
t
(
θ
d
)t(ω
•
== (en rad.s-1)
Accélération angulaire dans R : )t(θ
dt
)t(θd
dt
)t(ωd
)t(
2
2
••
===α (en rad.s-2)
O
x(t)
M
i
r
j
r
O θ(t)
M
i
r
j
r

Classe Préparatoire TSI 1
ère
année LT Jean PERRIN St Ouen l'Aumône S3_Comportement des Systemes
loi horaire 2/2
2-1- Mouvement uniformément varié
Un mouvement est uniformément varié si l’accélération angulaire α est
constante.
i
f
i
f
tt
ω
ω
−
−
=α (constante)
ii
ω
)
t
t
(
)
t
(
ω
+−⋅=
α
iii
2
i
θ)tt(ω)tt(
2
1
)t(θ +−⋅+−⋅⋅= α
On peut aussi définir la vitesse de rotation moyenne :
i
f
i
f
moy
tt
θ
θ
ω−
−
=
L’accélération angulaire peut aussi s’écrire :
(
)
(
)
( )
i
f
2
i
2
f
θθ2
ωω
−⋅ −
=α
2-2- Mouvement uniforme
Un mouvement est uniforme si l’accélération γ est nulle.
0
=
α
i
ω
)
t
(
ω
= (constante)
iii
θ
)
t
t
(
ω
)
t
(
θ
+−⋅=
Phase 1 : mouvement uniformément accéléré (γ
γγ
γ > 0 m·s
-
2
)
Phase 2 : mouvement uniforme (γ
γγ
γ = 0 m·s
-2
)
Phase 3 : mouvement uniformément décéléré (γ
γγ
γ < 0 m·s
-2
)
t en s
t en s
t en s
Vitesse
Accélération
Position
t
0
v
0
v
1
1
γ
t
2
t
1
x
1
x
0
x
2
x
3
Phase 1 Phase 3 Phase 2
t
3
v
3
3
γ