loi horaire - Lycée Jean Perrin

Classe Préparatoire TSI 1ère année LT Jean PERRIN St Ouen l'Aumône
S3_Comportement des Systemes
Equations du mouvement
1- Translation rectiligne
r r r
R est le repère (O, i , j , k )
x(t)
r
Position du point M dans R : OM = x(t) ⋅ i (en m)
O
r
r
 d OM 
 = v(t) ⋅ i
Vitesse du point M dans R : VM / R = 
 dt 

R
dx(t) •
v(t) =
= x(t) (en m.s-1)
dt
r
dV

r
r
Accélération du point M dans R :
ΓM / R =  M/R  = γ(t) ⋅ i
 dt 

R
γ(t) =
M
r
j
r
i
dv(t) d 2 x(t) ••
=
= x(t) (en m·s-2)
dt
dt 2
1-1- Mouvement uniformément varié (voir courbe feuille suivante)
Un mouvement est uniformément varié si l’accélération γ est constante.
On obtient alors :
γ=
v f − vi
tf − ti
(constante)
v(t) = γ ⋅ (t − ti ) + vi
ti : temps au début de la phase
xi : position en début de phase
vi : vitesse en début de phase
x(t) =
xf : position en fin de phase
vf : vitesse en fin de phase
On peut aussi définir la vitesse moyenne : vmoy =
xf − xi
tf − ti
(vf ) − (vi )
2 ⋅ (xf − xi )
2
L’accélération peut aussi s’écrire : γ =
1
⋅ γ ⋅ (t − ti ) 2 + vi ⋅ (t − ti ) + xi
2
(valable même pour un mouvement
non uniformément varié).
2
1-2- Mouvement uniforme (voir courbe feuille suivante)
Un mouvement est uniforme si l’accélération γ est nulle.
On obtient alors
γ=0
v(t) = vi (constante)
x(t) = vi ⋅ (t − ti ) + xi
2- Rotation
M
r r r
R est le repère (O, i , j , k )
Position angulaire du solide dans R :
θ(t) (en rad)
dθ(t) •
Vitesse de rotation dans R : ω(t) =
= θ(t) (en rad.s-1)
dt
dω(t) d 2 θ(t) ••
Accélération angulaire dans R : α(t) =
=
= θ(t) (en rad.s-2)
2
dt
dt
loi horaire
θ(t)
O
r
j
r
i
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Classe Préparatoire TSI 1ère année LT Jean PERRIN St Ouen l'Aumône
S3_Comportement des Systemes
2-1- Mouvement uniformément varié
Un mouvement est uniformément varié si l’accélération angulaire α est
constante.
α=
ωf − ωi
tf − ti
(constante)
θ(t) =
ω(t) = α ⋅ (t − ti ) + ωi
On peut aussi définir la vitesse de rotation moyenne : ωmoy =
L’accélération angulaire peut aussi s’écrire :
1
⋅ α ⋅ (t − ti ) 2 + ωi ⋅ (t − ti ) + θi
2
θf − θi
tf − ti
(ωf )2 − (ωi )2
α=
2 ⋅ (θf − θi )
2-2- Mouvement uniforme
Un mouvement est uniforme si l’accélération γ est nulle.
α= 0
ω(t) = ωi (constante)
θ(t) = ωi ⋅ (t − ti ) + θi
Accélération
γ1
t en s
γ3
Vitesse
v1
v3
v0
t en s
Position
x3
x2
x1
x0
t0
t1
Phase 1
t2
Phase 2
t3 t en s
Phase 3
Phase 1 : mouvement uniformément accéléré (γ
γ > 0 m·s-2)
-2
Phase 2 : mouvement uniforme (γ
γ = 0 m·s )
Phase 3 : mouvement uniformément décéléré (γ
γ < 0 m·s-2)
loi horaire
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