Polycopié de cours. Introduction au calcul différentiel

Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007
Fonctions de plusieurs variables
et applications pour l’ingénieur
Polycopié de cours
Rédigé par Yannick Privat
Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.
e-mail : Yannick.Priv[email protected].fr

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Avant-Propos
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieurs variables.
Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien
connus dans le cas des fonctions d’une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-
malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs
nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux
de développement :
•l’optimisation (recherche d’extremums, minimisaton d’une énergie, etc.) ;
•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des
ondes, etc.) ;
•l’intégration (calculs de moments d’inertie, de flux, etc.).
Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utiles
pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l’étudier sérieusement pour la
première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en
discutions en cours.
Yannick Privat
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Table des matières
1 Introduction à l’étude des fonctions de plusieurs variables 1
1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Représentation graphique d’une fonction à deux variables . . . . . . 3
1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Rappel : dérivation d’une fonction de Rdans R........... 4
1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Fonction de nvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Calculs de limites et continuité 11
2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Cas des fonctions de R2dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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