Compléments d`optique interférences et diffraction

IPhO – N. Schlosser Compl´ement sur les interf´erences optiques 1
Compl´ements d’optique
interf´erences et diffraction
Plan du cours
I. Extraits du syllabus 2
II. Les bases du cours de SUP sur les ondes 2
II.1.Diffraction.......................................... 2
II.2. Pouvoir de r´esolution d’un instrument d’optique (lunette, microscope ... ) . . . . . . . 2
II.3. Interf´erences `a deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3.a. Rappel – Cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3.b. Notion de chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3.c. Notion de coh´erence en optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3.d. Bilan des interf´erences en optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.4. Diffraction par deux fentes de largeur e, espac´ees de a.................. 5
III.Lames minces 6
III.1.Coefficients de r´eflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.2.Diff´erence de marche introduite par une lame mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3.Interf´erences en lumi`ere blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.4.Franges d’´egale ´epaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.5.Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV.Les r´eseaux de diffraction 12
IV.1. Formule des r´eseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV.2. R´esolution en spectroscope – Pouvoir s´eparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.3. Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
V. Diffraction de Bragg 14
V.1. Principe de la diffraction sur un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V.2.LoideBragg ........................................ 14
*
* *
I. Extraits du syllabus
Les parties en italiques sont `a connaˆıtre pour le test de s´election.
Interf´erences et diffractions : Superposition des ondes : coh´erence, battements, ondes station-
naires, principe d’Huygens (forme int´egrale de l’amplitude dans la condition des petits angles),
interf´erences dans le cas des films minces (conditions pour des maxima et des minima d’intensit´e
seulement). Diffraction par une ou deux fentes, r´eseau de diffraction, loi de Bragg.

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Appareils optiques T´elescope et Microscopes : grossissement et pouvoir de r´esolution ; r´eseau de
diffraction et son pouvoir de r´esolution ; interf´erom`etres.
II. Les bases du cours de SUP sur les ondes
II.1. Diffraction
Dans le cas d’une propagation dans un milieu `a deux dimensions, lorsqu’une onde de longueur
d’onde λarrive en incidence normale sur une fente de largeur a, l’onde est essentiellement diffract´ee
dans un secteur plan, d’origine le milieu de la fente, centr´e sur la m´ediatrice de la fente1et d’angle
au somment 2θ0tel que : sin θ0=λ
a
En particulier, on retrouve qu’il ”n’y a pas de diffraction”dans le cas o`u l’ouverture est tr`es grande
devant la longueur d’onde, soit a≫λ.
Le ph´enom`ene se g´en´eralise pour une propagation tridimensionnelle :
•dans le cas d’une fente de largeur aet de hauteur grande devant a, la diffraction se fait essen-
tiellement dans la direction orthogonale `a la fente, sur un angle 2θ0tel que : sin θ0=λ
a
•dans le cas d’un trou de diam`etre a, la diffraction se fait selon un cˆone d’angle au sommet 2θ0
tel que : sin θ0≃1,22λ
a.2
Enfin, sur un ´ecran situ´e `a une distance Dd’une fente de largeur a, il n’y a pas d’´etalement dans
la direction de la grande dimension de la fente. Dans la direction orthogonale, la taille de la tache
centrale est de ∆x= 2D×tan θ0≃2Dθ0≃2λD
a
II.2. Pouvoir de r´esolution d’un instrument d’optique (lunette, micro-
scope ... )
Figure 1: Crit`ere de Rayleigh
Le pouvoir de r´esolution, ou pouvoir de s´eparation, ou la r´e-
solution spatiale, est l’angle minimal qui doit s´eparer deux points
contigus pour qu’ils soient correctement discern´es par un syst`eme
optique, tel que les microscopes, les t´elescopes ou l’œil ...
Ce pouvoir de r´esolution est limit´e essentiellement par deux
ph´enom`enes : la diffraction ou la taille finie des cellules ´el´emen-
taires des d´etecteurs. Pour d´eterminer l’ordre de grandeur de
la r´esolution angulaire, il suffit d’exprimer que la distance den-
tre deux images ponctuelles discernables est juste sup´erieure `a la
taille (en gros le diam`etre) de l’image de ces points. La taille de
l’image d’un point `a prendre en compte est le plus grand des deux
diam`etres suivants : soit la taille de la tache de diffraction, soit la taille d’une cellule ´el´ementaire du
capteur.
1Dans le cas o`u l’onde n’arrive pas en incidence normale sur la fente, la direction moyenne est celle pr´evue par
l’optique g´eom´etrique
2Le coefficient 1,22 est obtenu en utilisant quantitativement le principe de Huygens-Fresnel.

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Dans le cas d’un syst`eme optique de focale f, de diam`etre d’ouverture D, travaillant `a la longueur
d’onde λ, le rayon3de la tache de diffraction dans le plan focal image est de l’ordre de θ0f≃1.22λf
D.
Deux objets ponctuels `a l’infini, s´epar´es par un angle α, donnent des images distantes de αf.
La figure 2 illustre que la limite de r´esolution due `a la diffraction est bien obtenue pour :
α0= 1.22 λ
D
Figure 2: Limitation par la diffraction : limite de r´esolution αd’un syst`eme optique de focale fet
de diam`etre d’ouverture D
II.3. Interf´erences `a deux ondes
II.3.a. Rappel – Cas simples
Consid´erons deux ondes sinuso¨ ıdales, de mˆeme fr´equence f= 1/T , qui interf`erent en un point
M o`u leurs amplitudes respectives sont A1et A2(donc leurs intensit´es I1=A2
1et I2=A2 2). Si les
signaux associ´es aux ondes en M sont d´ephas´es de ψ(M), le signal r´esultant est encore sinuso¨ ıdal, de
mˆeme fr´equence fd’amplitude A(M) telle que :
A2(M) = A2
1+A2 2+ 2 A1A2cos(ψ) ou encore I(M) = I1+I2+ 2 √I1I2cos ψ(M)
Le fait que I(M)6=I1+I2est la signature de la pr´esence d’interf´erences, caract´eris´ees par le
terme d’interf´erence : 2 √I1I2cos ψ(M)
Pour un retard τentre les ondes en M, le d´ephasage s’´ecrit : ψ(M) = 2π
Tτ.4
Dans le cas o`u la vitesse des ondes est uniforme et ´egale `a cpartout entre les sources et M,
le d´ephasage peut s’´ecrire : ψ(M) = 2π
T
δ
c=2π λδo`u δest la diff´erence de marche, c’est-`a-dire la
diff´erence entre les deux chemins parcourus par les deux ondes entre les sources et M.
3On consid`ere ici le rayon (crit`ere de Rayleigh), car l’´eclairement dans la tache de diffraction n’est pas uniforme cf
figure 1
4Si les deux ondes proviennent de deux sources diff´erentes, il ne faut pas oublier de prendre en compte le d´ephasage
initial entre ces deux sources.

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II.3.b. Notion de chemin optique
Figure 3: Utilisation du chemin
optique
Le retard pris par l’onde sur le chemin (1) du haut s’´ecrit :
τ1=d1
v1
+d2
v2
=n1d1+n2d2
C
De mˆeme, sur le chemin (2) du bas, τ2=n0d0
C.
Le retard temporel de l’onde (1) sur l’onde (2) en M est donc :
τ=τ1−τ2=δ
C=(n1d1+n2d2)−(n0d0) C
Le retard de phase de (1) sur (2) en M s’´ecrit donc : φ(M) = 2π
Tτ=2π CT δ=2π λδo`u λest la
longueur d’onde dans le vide,δ= (n1d1+n2d2)−(n0d0) est la diff´erence de marche.
Les quantit´es nidiportent le nom de chemin optique. C’est une ”distance effective”, prenant
en compte le fait que la lumi`ere se d´eplace moins vite dans un milieu d’indice nique dans le vide, ce
qui permet d’utiliser Cou la longueur d’onde dans le vide λdans la formule des d´ephasages.
II.3.c. Notion de coh´erence en optique
cf. Notes de cours
II.3.d. Bilan des interf´erences en optique
•Il faut une unique source S (deux sources diff´erentes n’interf`erent pas)
•Il faut deux chemins de la source S au point M o`u on observe les interf´erences
•On utilise le chemin optique : indice ×distance
•On calcule la diff´erence de marche = δ(M) = diff´erence de chemin optique
•Le d´ephasage en M est alors φ(M) = 2π
λδ(M)
Pour une source polychromatique, dont le spectre contient les longueurs d’onde λi,i= 1 →N,
on calcule l’intensit´e pour chaque composante du spectre s´epar´ement :
Ii(M) = I1(λi) + I2(λi) + 2pI1I2cos 2π
λi
δ(M)
Il ne reste plus ensuite qu’`a sommer toutes ces intensit´es puisque les longueurs d’onde diff´erentes
n’interf`erent pas entre elles, soit :
I(M) =
N
X
i=1
Ii(M)
Dans le cas de la lumi`ere blanche, on verra que l’on aura finalement mˆeme pas besoin de cette
derni`ere ´etape.

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II.4. Diffraction par deux fentes de largeur e, espac´ees de a
Figure 4: Diffraction par deux fentes
On consid`ere la diffraction `a l’infini. Chaque fente
diffracte dans un secteur angulaire d’angle au sommet
2θetel que :
sin θe≃θe=λ
e
Or, dans la direction θ, deux rayons, provenant
chacun d’une des deux fentes, interf`erent. Leur dif-
f´erence de marche est donn´ee par : δ=asin θ≃aθ
Il y aura donc interf´erence constructive dans les
directions θptelles que : δ=aθp=pλ o`u pest un
entier relatif. Donc :
θp=pλ
a
On aura donc des franges d’interf´erences s´epar´ees angulairement de λ
a, mais uniquement dans le
secteur angulaire de diffraction : il y aura un nombre Nlimit´e de franges dans la tache centrale de
diffraction, comme le montre la figure 5.
Figure 5: Profil de l’intensit´e diffract´ee et position des franges
Si a≫e, le nombre de franges dans la tache centrale de diffraction est donc donn´e par :
N=2λ/e
λ/a =2a e
Si la condition a≫en’est pas remplie, il suffit de compter les franges ! Pour cela, on calcule
l’ordre d’interf´erence associ´e `a θmax =θe, soit pmax =aθe
λ=a e. Les franges brillantes correspondent
aux entiers contenus dans l’intervalle ouvert ] −pmax, pmax[