Compléments d`optique interférences et diffraction

IPhO – N. Schlosser
1
Complément sur les interférences optiques
Compléments d’optique
interférences et diffraction
Plan du cours
I. Extraits du syllabus
2
II. Les bases du cours de SUP sur les ondes
II.1. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2. Pouvoir de résolution d’un instrument d’optique (lunette,
II.3. Interférences à deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.a. Rappel – Cas simples . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.b. Notion de chemin optique . . . . . . . . . . . . .
II.3.c. Notion de cohérence en optique . . . . . . . . . .
II.3.d. Bilan des interférences en optique . . . . . . . . .
II.4. Diffraction par deux fentes de largeur e, espacées de a . .
III.Lames minces
III.1. Coefficients de réflexion et de transmission . . . . .
III.2. Différence de marche introduite par une lame mince
III.3. Interférences en lumière blanche . . . . . . . . . . .
III.4. Franges d’égale épaisseur . . . . . . . . . . . . . . .
III.5. Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . .
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microscope ...
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)
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3
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6
6
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7
8
9
IV.Les réseaux de diffraction
12
IV.1. Formule des réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV.2. Résolution en spectroscope – Pouvoir séparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.3. Exercices et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
V. Diffraction de Bragg
14
V.1. Principe de la diffraction sur un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V.2. Loi de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
*
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I.
Extraits du syllabus
Les parties en italiques sont à connaı̂tre pour le test de sélection.
Interférences et diffractions : Superposition des ondes : cohérence, battements, ondes stationnaires, principe d’Huygens (forme intégrale de l’amplitude dans la condition des petits angles),
interférences dans le cas des films minces (conditions pour des maxima et des minima d’intensité
seulement). Diffraction par une ou deux fentes, réseau de diffraction, loi de Bragg.
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Complément sur les interférences optiques
2
Appareils optiques Télescope et Microscopes : grossissement et pouvoir de résolution ; réseau de
diffraction et son pouvoir de résolution ; interféromètres.
II.
II.1.
Les bases du cours de SUP sur les ondes
Diffraction
Dans le cas d’une propagation dans un milieu à deux dimensions, lorsqu’une onde de longueur
d’onde λ arrive en incidence normale sur une fente de largeur a, l’onde est essentiellement diffractée
dans un secteur plan, d’origine le milieu de la fente, centré sur la médiatrice de la fente1 et d’angle
λ
au somment 2θ0 tel que : sin θ0 =
a
En particulier, on retrouve qu’il ”n’y a pas de diffraction” dans le cas où l’ouverture est très grande
devant la longueur d’onde, soit a ≫ λ.
Le phénomène se généralise pour une propagation tridimensionnelle :
• dans le cas d’une fente de largeur a et de hauteur grande devant a, la diffraction se fait essenλ
tiellement dans la direction orthogonale à la fente, sur un angle 2θ0 tel que : sin θ0 =
a
• dans le cas d’un trou de diamètre a, la diffraction se fait selon un cône d’angle au sommet 2θ0
λ
tel que : sin θ0 ≃ 1, 22 .2
a
Enfin, sur un écran situé à une distance D d’une fente de largeur a, il n’y a pas d’étalement dans
la direction de la grande dimension de la fente. Dans la direction orthogonale, la taille de la tache
λD
centrale est de ∆x = 2D × tan θ0 ≃ 2Dθ0 ≃ 2
a
II.2.
Pouvoir de résolution d’un instrument d’optique (lunette, microscope ... )
Le pouvoir de résolution, ou pouvoir de séparation, ou la résolution spatiale, est l’angle minimal qui doit séparer deux points
contigus pour qu’ils soient correctement discernés par un système
optique, tel que les microscopes, les télescopes ou l’œil ...
Ce pouvoir de résolution est limité essentiellement par deux
phénomènes : la diffraction ou la taille finie des cellules élémentaires des détecteurs. Pour déterminer l’ordre de grandeur de
la résolution angulaire, il suffit d’exprimer que la distance d entre deux images ponctuelles discernables est juste supérieure à la
Figure 1: Critère de Rayleigh
taille (en gros le diamètre) de l’image de ces points. La taille de
l’image d’un point à prendre en compte est le plus grand des deux
diamètres suivants : soit la taille de la tache de diffraction, soit la taille d’une cellule élémentaire du
capteur.
1
Dans le cas où l’onde n’arrive pas en incidence normale sur la fente, la direction moyenne est celle prévue par
l’optique géométrique
2
Le coefficient 1,22 est obtenu en utilisant quantitativement le principe de Huygens-Fresnel.
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Complément sur les interférences optiques
3
Dans le cas d’un système optique de focale f , de diamètre d’ouverture D, travaillant à la longueur
λf
d’onde λ, le rayon3 de la tache de diffraction dans le plan focal image est de l’ordre de θ0 f ≃ 1.22 .
D
Deux objets ponctuels à l’infini, séparés par un angle α, donnent des images distantes de αf .
La figure 2 illustre que la limite de résolution due à la diffraction est bien obtenue pour :
λ
α0 = 1.22
D
Figure 2: Limitation par la diffraction : limite de résolution α d’un système optique de focale f et
de diamètre d’ouverture D
II.3.
Interférences à deux ondes
II.3.a.
Rappel – Cas simples
Considérons deux ondes sinusoı̈dales, de même fréquence f = 1/T , qui interfèrent en un point
M où leurs amplitudes respectives sont A1 et A2 (donc leurs intensités I1 = A21 et I2 = A22 ). Si les
signaux associés aux ondes en M sont déphasés de ψ(M), le signal résultant est encore sinusoı̈dal, de
même fréquence f d’amplitude A(M) telle que :
√
A2 (M) = A21 + A22 + 2 A1 A2 cos(ψ) ou encore
I(M) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ψ(M)
Le fait que I(M) 6= √I1 + I2 est la signature de la présence d’interférences, caractérisées par le
terme d’interférence : 2 I1 I2 cos ψ(M)
2π 4
τ.
Pour un retard τ entre les ondes en M, le déphasage s’écrit : ψ(M) =
T
Dans le cas où la vitesse des ondes est uniforme et égale à c partout entre les sources et M,
2π δ
2π
le déphasage peut s’écrire : ψ(M) =
=
δ où δ est la différence de marche, c’est-à-dire la
T c
λ
différence entre les deux chemins parcourus par les deux ondes entre les sources et M.
3
On considère ici le rayon (critère de Rayleigh), car l’éclairement dans la tache de diffraction n’est pas uniforme cf
figure 1
4
Si les deux ondes proviennent de deux sources différentes, il ne faut pas oublier de prendre en compte le déphasage
initial entre ces deux sources.
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II.3.b.
Complément sur les interférences optiques
4
Notion de chemin optique
Le retard pris par l’onde sur le chemin (1) du haut s’écrit :
τ1 =
n1 d1 + n2 d2
d1 d2
+
=
v1 v2
C
n0 d0
.
C
Le retard temporel de l’onde (1) sur l’onde (2) en M est donc :
De même, sur le chemin (2) du bas, τ2 =
Figure 3: Utilisation du chemin
optique
τ = τ1 − τ2 =
δ
(n1 d1 + n2 d2 ) − (n0 d0 )
=
C
C
2π
2π
2π
τ=
δ=
δ où λ est la
T
CT
λ
longueur d’onde dans le vide, δ = (n1 d1 + n2 d2 ) − (n0 d0 ) est la différence de marche.
Les quantités ni di portent le nom de chemin optique. C’est une ”distance effective”, prenant
en compte le fait que la lumière se déplace moins vite dans un milieu d’indice ni que dans le vide, ce
qui permet d’utiliser C ou la longueur d’onde dans le vide λ dans la formule des déphasages.
Le retard de phase de (1) sur (2) en M s’écrit donc : φ(M) =
II.3.c.
Notion de cohérence en optique
cf. Notes de cours
II.3.d.
Bilan des interférences en optique
• Il faut une unique source S (deux sources différentes n’interfèrent pas)
• Il faut deux chemins de la source S au point M où on observe les interférences
• On utilise le chemin optique : indice × distance
• On calcule la différence de marche = δ(M) = différence de chemin optique
• Le déphasage en M est alors φ(M) =
2π
δ(M)
λ
Pour une source polychromatique, dont le spectre contient les longueurs d’onde λi , i = 1 → N,
on calcule l’intensité pour chaque composante du spectre séparément :
p
2π
Ii (M) = I1 (λi ) + I2 (λi ) + 2 I1 I2 cos
δ(M)
λi
Il ne reste plus ensuite qu’à sommer toutes ces intensités puisque les longueurs d’onde différentes
n’interfèrent pas entre elles, soit :
N
X
I(M) =
Ii (M)
i=1
Dans le cas de la lumière blanche, on verra que l’on aura finalement même pas besoin de cette
dernière étape.
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II.4.
Complément sur les interférences optiques
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Diffraction par deux fentes de largeur e, espacées de a
On considère la diffraction à l’infini. Chaque fente
diffracte dans un secteur angulaire d’angle au sommet
2θe tel que :
λ
sin θe ≃ θe =
e
Or, dans la direction θ, deux rayons, provenant
chacun d’une des deux fentes, interfèrent. Leur différence de marche est donnée par : δ = a sin θ ≃ aθ
Il y aura donc interférence constructive dans les
directions θp telles que : δ = aθp = pλ où p est un
entier relatif. Donc :
Figure 4: Diffraction par deux fentes
θp = p
λ
a
λ
On aura donc des franges d’interférences séparées angulairement de , mais uniquement dans le
a
secteur angulaire de diffraction : il y aura un nombre N limité de franges dans la tache centrale de
diffraction, comme le montre la figure 5.
Figure 5: Profil de l’intensité diffractée et position des franges
Si a ≫ e, le nombre de franges dans la tache centrale de diffraction est donc donné par :
N=
2λ/e
2a
=
λ/a
e
Si la condition a ≫ e n’est pas remplie, il suffit de compter les franges ! Pour cela, on calcule
a
aθe
= . Les franges brillantes correspondent
l’ordre d’interférence associé à θmax = θe , soit pmax =
λ
e
aux entiers contenus dans l’intervalle ouvert ] − pmax , pmax [
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III.
Complément sur les interférences optiques
6
Lames minces
L’étude complète et rigoureuse des interférences produites par des lames minces
transparentes d’indice n peut conduire à des
développements relativement complexes. On se
limitera ici à des montages simples permettant
de comprendre l’essentiel de l’étude de ce type
d’interférences.
III.1. Coefficients de réflexion et
de transmission
Lorsqu’une onde d’amplitude A0 arrive5 sur
un dioptre séparant le milieu incident d’indice n1
et le milieu émergent d’indice n2 , les amplitudes
des ondes transmise et réfléchie sont respectivement données par At = tA0 et Ar = rA0 où t et r sont
les coefficients de transmission et réflexion en amplitude. On peut montrer que :
Figure 6: Lame à face parallèle.
n1 − n2
2n1
et
t=
n1 + n2
n1 + n2
Appliqué aux rayons de la figure 6, on pose donc :
2n0
n0 − n
et
t1 =
• pour le premier dioptre : r1 =
n0 + n
n0 + n
n − n0
2n
• pour le second dioptre : r2 =
et
t2 =
n0 + n
n0 + n
Dans la plupart des cas, la lame de verre est plongée dans l’air, donc n0 = 1. Pour simplifier, on
pose alors r2 = −r1 = r > 0. Dans le cas d’une lame de verre (n = 1.5) plongée dans l’air (n0 = 1),
les amplitudes des différentes ondes à prendre en compte sont données dans le tableau 1.
r=
Onde en
Réflexion
Transmission
Première onde
r = 0.2
t1 t2 = 0, 96
Deuxième onde
t1 t2 r = 0.19
t1 t2 r 2 = 0, 04
Troisième onde
t1 t2 r 3 = 0.007
t1 t2 r 4 = 0, 001
Tableau 1: Amplitudes relatives (en valeur absolue) des différentes ondes à prendre en compte
On comprend que l’on peut dans ce cas se limiter à l’étude de l’interférence des deux premières
ondes. D’autre part, comme les amplitudes des ondes réfléchies sont voisines, les interférences par
réflexion sont plus contrastées (même si elles sont moins lumineuses) que celles obtenues par transmission.
III.2.
Différence de marche introduite par une lame mince
Pour une longueur d’onde λ dans le vide, le déphasage φt (resp. φr ) entre les deux premiers
rayons transmis (resp. réfléchis) successifs est donné par :
5
En toute rigueur, les coefficients de réflexion r et de transmissions t dépendent de l’angle d’incidence. Les formules
données ici correspondent à une incidence normale
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Complément sur les interférences optiques
φt =
2π
2ne cos(r)
λ
et
φr =
7
2π
2ne cos(r) + (π)
λ
Le déphasage supplémentaire de π est à ajouter dans le cas où n0 < n, puisque la première
n0 − n
réflexion s’accompagne d’un saut de phase de π lorsque
< 0.
n0 + n
III.3.
Interférences en lumière blanche
Si on éclaire une lame mince d’épaisseur e et d’indice n (plongée dans l’air) par une onde plane
2π
(faisceau de lumière parallèle) en incidence normale, le déphasage est alors de φt =
δ en transλ
2π
δ + π en réflexion (à cause du déphasage de π à la première réflexion). La
mission et de φr =
λ
différence de marche a pour expression δ = 2ne et la seule façon de voir une modulation de l’intensité
réfléchie est de jouer soit sur l’épaisseur e, soit sur la longueur d’onde.
Par exemple, si on éclaire par une ondemonochromatique
de longueur d’onde λ, l’intensité de
2π
I
0
1 − cos δ
l’onde réfléchie6 est de la forme : I(λ) =
2
λ
Figure 7: Forme du spectre cannelé pour une différence de marche de δ = 280 nm. En centre blanc
(transmission), la couleur correspond à du violet alors qu’elle est jaune en centre noir (réflexion).
Si on éclaire le dispositif par de la lumière blanche, les différentes longueurs d’onde du spectre
auront des états d’interférence différents : il apparaı̂t donc des ”franges” dans le spectre, appelées
cannelures. En réflexion (avec un déphasage de π supplémentaire), les longueurs d’onde λp ”éteintes”
(cannelures sombres) sont telles que :
δ = 2ne = pλp
avec p entier
Dans le cas de la transmission, le spectre est complémentaire : les longueurs d’onde λp correspondent
aux cannelures brillantes. Un exemple d’un tel spectre est représenté sur la figure 7.
Selon la valeur de la différence de marche δ, la position des cannelures diffère : l’évolution des
couleurs en fonction de δ constitue l’échelle des teintes de Newton, représentée sur la figure 8. On
comprend que lorsque δ augmente, les cannelures se rapprochent et les couleurs sont alors de moins
6
On suppose que les deux amplitudes des ondes qui interfèrent sont égales
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Complément sur les interférences optiques
8
en moins contrastées. Au delà d’une certaine valeur de δ, le contraste est si faible que l’on observe
du blanc, appelé blanc d’ordre supérieur.
Figure 8: Échelle et nom des teintes de Newton en fonction de la différence de marche
Application : En éclairant en lumière blanche une lame à faces parallèles dont on connaı̂t
l’indice, la couleur de la lumière réfléchie (où l’étude quantitative de son spectre) permet de remonter
à son épaisseur e en passant par la détermination de la différence de marche : δ = 2ne
III.4.
Franges d’égale épaisseur
On se propose d’étudier ici le cas de lames minces dont l’épaisseur e(M) est non uniforme : elle
dépend de la position M considérée sur la lame.
Si on éclaire une telle lame sous incidence normale en lumière monochromatique de longueur
2π
2ne(M) + (π), dépend de
d’onde λ, comme le montre la figure 9 7 , le déphasage, qui s’écrit φ =
λ
7
La réalisation pratique d’un tel montage demande un certain nombre de précautions que l’on ne détaillera pas ici
: c’est le problème de la localisation des franges d’interférences
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9
Complément sur les interférences optiques
la position M considérée sur la lame par l’intermédiaire de l’épaisseur variable e(M).
L’état d’interférence dépendant donc de la positon M sur la lame : on peut alors voir des franges
d’interférences localisées sur la lame. Par exemple, en
réflexion (déphasage de π supplémentaire), les franges
sombres correspondent à l’ensemble des points M tels
que :
2ne(M) = pλ
III.5.
avec p entier
Exercices et applications
Aspect d’une feuille de couleur (QCM 2010)
Éclairée en lumière blanche, une feuille de papier rouge
porte une figure de forme circulaire verte. Quelle est
Figure 9: Franges d’égale épaisseur
l’aspect de la feuille si on l’éclaire en rouge ?
a) Toute Rouge
b) Rouge avec un disque vert
c) Noire avec un disque rouge
d) Rouge avec un disque noir
Réponse : d)
Étude de filtres en cascade (QCM 2010) On dispose de 10 filtres identiques. Lorsqu’on met
1 filtre devant une lampe blanche, la lampe apparaı̂t rouge. Quand on place les 10 filtres la lampe
apparaı̂t verdâtre. Quel est le profile de transmission d’un filtre ?
Réponse : a)
Tache d’huile (QCM 2011) De l’huile (indice 1,5) a été répandue en une couche très mince sur
une flaque d’eau. Cette flaque d’eau est éclairée en lumière blanche et en incidence normale. On la
voit verte (λv ≃ 520 nm). Quel est l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche d’huile ?
Réponse : Le QCM proposait 10 nm ; 100 nm ; 0.2 µm et 0.52 µm. La réponse attendue était 100 nm
(discutable à mon humble avis)
Couleur d’un film mince : Un film mince d’épaisseur 0.2 µm et d’indice dans le visible 1.52 est
éclairé normalement en lumière blanche. Quelle est la longueur d’onde de la radiation pour laquelle
l’intensité de la lumière réfléchie est minimale ? En déduire l’aspect du film lorsqu’on l’observe par
réflexion.
La longueur d’onde de la radiation pour laquelle l’intensité de la lumière réfléchie est minimale, précisément
608
2ne
=
en nm. Comme λ appartient au
éteinte, est telle que : δ = 2ne = pλ avec p entier, soit λ =
p
p
spectre visible, p = 1 et λ = 608 nm. L’aspect du film est donc coloré avec la teinte complémentaire qui
est cyan (vert-bleu).
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10
Complément sur les interférences optiques
Bulle de savon dont (QCM-2012) Juste avant d’exploser, la couleur d’une bulle de savon est :
(a) transparente.
(b) grise.
(c) d’une couleur dépendant de la taille de la bulle
(d) d’une couleur dépendant de son indice de réfraction
Réponse : (b)
Bulle de savon Une bulle de savon est constituée d’une lame mince d’eau savonneuse (n = 1.33)
plongée dans l’air et contenant de l’air. Lorsque la bulle vieillit, l’épaisseur e du film diminue et juste
avant sa disparition, l’intensité réfléchie devient très faible. Interpréter cette observation.
Réponse : e → 0, donc aucun déphasage n’est du à la différence de trajet des ondes réfléchies à l’interface
air-eau et eau-air ; mais la réflexion sur le dioptre eau-air déphase de π alors que celle sur le dioptre eau-air
ne déphase pas ; donc les deux ondes sont en opposition de phase et les interférences sont destructives.
Couche anti-reflet Plusieurs personnes ont des verres correcteurs qui apparaissent bleu-vert quand
ils réfléchissent la lumière. Un mince film d’une substance d’indice de réfraction n = 1.35 est appliqué
sur la surface extérieure des verres de sorte que l’interface film-verre ne reflète pas la lumière rouge
de longueur d’onde : 630 nm. Quelle doit être l’épaisseur du film pour que cela se produise ? On
suppose que l’indice de réfraction du verre est de 1,6.
L’onde réfléchie par l’interface air-film et l’onde réfléchie par l’interface film-verre sont déphasées de φ =
4πne
(il n’y a dans aucun des deux cas de déphasage à la réflexion puisque nf ilm > 1 et nverre > nf ilm ).
λ
λ
On a interférences destructives si e =
= 117 nm
4nf ilm
Procédé Lippman de la photographie On éclaire sous incidence normale une pellicule d’épaisseur
e ≈ 1 mm posée sur un miroir (M) parfaitement réfléchissant avec une onde monochromatique de
longueur d’onde λ0 . On obtient dans la pellicule après développement, une succession de plans parallèles à (M) où le chlorure d’argent a été réduit en argent. Ces plans ”noircis” sont équidistants de
λ0 /2 et le plan le plus proche du miroir est à la distance λ0 /4 du miroir.
1. Quel phénomène physique peut-on invoquer pour interpréter cette observation.
2. Quelle condition le miroir impose-t-il à la vibration ?
Après avoir supprimé le miroir, on éclaire la photographie sous incidence normale en lumière
blanche. On constate que la lumière réfléchie est quasi-monochromatique de longueur d’onde λ = λ0 .8
3. Interpréter en supposant que lorsqu’une onde lumineuse de longueur d’onde λ arrive sur un
plan noirci, elle se partage en une onde transmise et une onde réfléchie.
4. Montrer que les longueurs d’ondes λ = λ0 /n avec n entier devraient donner le même phénomène.
5. Pourquoi n’est-ce pas le cas ?
Coin d’air QCM2013 On réalise des franges d’égale épaisseur avec un coin d’air d’angle α éclairé
en incidence normale avec une lumière monochromatique de longueur d’onde λ. Les franges se
resserrent si :
a) on diminue l’angle α
c) on remplace l’air par de l’eau
′
b) on utilise λ > λ
d) aucune des propositions précédentes ne convient
Réponse : c)
8
Ainsi la pellicule a gardé la trace de la couleur de l’onde qui l’a impressionnée.
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11
Complément sur les interférences optiques
Coin d’air On réalise un coin d’air avec deux plaques carrées de verre, de côté a = 10 cm, et une
feuille mince en carton séparant les deux plaque sur un de leur côté. On l’éclaire normalement avec
un faisceau parallèle, monochromatique, issu d’un laser (λ = 633 nm). Les franges observées sur la
lame sont espacées de 2.5 mm. Quel est l’angle du coin en secondes d’arc ? En déduire l’épaisseur
de la feuille.
λ
= 126.6 µrad, soit α = 26.1” puisque 1” = 5 µrad. L’épaisseur
Comme i = λ/(2α), on trouve : α =
2i
de la feuille est : α × a = 12.6 µm.
Mesure de l’épaisseur d’une couche mince (Sélection 2011) On considère deux lames de
verres dont les faces en regard forment un dièdre d’angle ǫ très faible. Une couche de métal d’épaisseur
d recouvre partiellement la lame du dessous (figure 10(a)). Le coin d’air ainsi constitué est éclairé avec
un faisceau parallèle monochromatique, de longueur d’onde λ = 589 nm, en incidence normale. On
observe des franges d’interférence localisées au voisinage des plaques, et parallèles à l’arête, décalées
du fait de la présence du dépôt de métal (figure 10(b)).
Figure 10: (a) Dispositif expérimental – (b) Figure d’interférence observée
1. En mesurant le décalage relatif des franges sur l’image ci-dessous, déterminer l’épaisseur d.
2. Comment est modifiée la figure d’interférence si on augmente l’angle ǫ ? Si on remplace l’air
entre les lames par de l’eau ?
2. Si on augmente ǫ, on diminue l’interfrange : les franges se resserrent. Si on remplace l’air par de l’eau,
cela revient à changer λ par λ/n donc là encore l’interfrange diminue.
1. La traversée du coin d’air donne une différence de marche δ = 2e où e est l’épaisseur du coin d’air
traversé. La différence de marche vaut δ = pλ pour une frange sombre. Comme l’angle est très faible, la
ep
position X de la frange sombre numéro p est reliée à l’épaisseur ep du coin d’air traversée par Xp ≃
=
p
ǫ
λ
pλ
avec une interfrange i =
2ǫ
2ǫ
L’introduction du métal modifie l’épaisseur du coin d’air et donc la différence de marche et décale les
∆X
2d
λ∆X
franges de ∆X = d/ǫ. On obtient un décalage relatif des franges
=
, soit d =
.
i
λ
2i
∆X
0.3
=
= 0.13 donc d = 38 nm. Les correcteurs acceptait l’intervalle [30nm,40nm].
i
2.3
A.N. :
Anneaux de Newton Dans le montage permettant d’observer des franges d’égale épaisseur, on
place une lame d’air constituée par une lentille plan-convexe de rayon de courbure R posée sur une
lame de verre parfaitement plane (cf. figure 11). La face plane de la lentille possède un traitement
anti-reflet
Justifier l’allure des franges observées. On calculera notamment les rayons des anneaux sombres
et on justifiera la couleur de la tache centrale. Qu’observerait-on en lumière blanche ?
IPhO – N. Schlosser
Complément sur les interférences optiques
12
Figure 11: (a) Dispositif expérimental – (b) Anneaux de Newton
IV.
IV.1.
Les réseaux de diffraction
Formule des réseaux
Un réseau plan par transmission ou réflexion est constitué d’un grand nombre de traits parallèles
équidistants. La distance entre deux traits consécutifs (pas du réseau) est notée a et la quantité
1
N = représente le nombre de traits par unité de longueur. La largeur utile totale du réseau sera
a
noté L = Na dans la suite.
Figure 12: (a) Réseau par transmission – (b) Réseau par réflexion
Les angles d’incidence αi et d’émergence αp sont repérés à partir de la normale au réseau avec la
même convention de signe que l’angle de déviation D. Ces angles sont représentés sur la figure 12.
Pour une onde incidente plane monochromatique d’incidence αi , on observe des pics d’intensité
dans les directions αp définies par une relation appelée relation fondamentale des réseaux et faisant
intervenir l’ordre d’interférence p (entier relatif) du pic de lumière observé et la longueur d’onde λ.
Dans le cas de réseaux par réflexion : sin αp + sin αi = p
λ
(figure 12(b))
a
Dans le cas de réseaux par transmission : sin αp − sin αi = p
λ
(figure 12(a))
a
IPhO – N. Schlosser
13
Complément sur les interférences optiques
Dans le cas par transmission, on définit la déviation du réseau par la relation D = αp − αi ; on
peut montrer que si l’on fait varier l’angle d’incidence alors la déviation |D| passe par un minimum
pour αi = −αp pour un ordre d’interférence p donné.
IV.2.
Résolution en spectroscope – Pouvoir séparateur
Si la lumière incidente possède deux longueurs d’onde voisines λ et λ + ∆λ, les ondes diffractées
dans l’ordre p auront des directions différentes : on peut donc utiliser un réseau pour visualiser le
spectre de la lumière incidente. L’écart ∆α entre ces deux directions s’obtient en différenciant la
relation fondamentale des réseaux9 . On obtient : a∆α cos αp = p∆λ, ce qui permet de définir la
dispersion angulaire du réseau :
p
∆α
=
Da =
∆λ
a cos αp
A cause de la diffraction induite par la taille finie L du réseau, les pics d’intensité (donnés par les
angles αp ) ont une certaine largeur angulaire. Or dans la direction αp , on peut considérer l’ensemble
du réseau comme une unique ”grosse fente” équivalente de largeur L cos αp , chaque pic a donc une
2λ
largeur angulaire 2∆α =
.
L cos αp
Comme pour le pouvoir de résolution d’un instrument d’optique,
on utilise le critère de Rayleigh pour évaluer la plus petite différence de
longueur d’onde ∆λ résolue avec un réseau de largeur L dans l’ordre
p. Il suffit d’écrire qu’à la limite de résolution, la séparation angup∆λ
laire Da ∆λ =
entre les deux pics correspondant aux longueurs
a cos αp
d’ondes voisines séparées de ∆λ dans l’ordre p est juste égale à la demiλ
.
largeur angulaire des pics de diffraction ∆α =
L cos αp
On obtient donc ∆λ =
λ
a cos αp
λa
λ
×
=
=
L cos αp
p
pL
Np
On définit le pouvoir de résolution d’un réseau de N traits dans l’ordre p par : P.R. =
IV.3.
λ
= pN
∆λ
Exercices et applications
Réseau dans un liquide Un réseau par transmission a un pouvoir séparateur R. Placé dans l’air,
il sépare 2 raies distantes de ∆λ dans le visible à l’ordre 2. On place le système dans un liquide
d’indice n.
a) On observe toujours au même ordre, il n’y a pas de raison que ça change.
b) On peut observer à un ordre plus élevé.
c) On peut observer à un ordre plus faible.
d) Un réseau ne peut pas fonctionner dans un liquide.
Réponse : b)
Résolution d’un réseau Un réseau a un pouvoir séparateur R. Il sépare 2 raies distantes de
∆λ dans le visible (rouge) à l’ordre 3. On cherche à séparer 2 raies distantes du même ∆λ dans
l’infrarouge proche. Pour cela il faut :
a) Observer au même ordre
9
Ce qui revient à faire un calcul au premier ordre
IPhO – N. Schlosser
14
Complément sur les interférences optiques
b) Observer à un ordre plus élevé
c) Observer à un ordre plus faible
d) Un réseau pour le visible n’est pas adapté pour l’IR même proche
Réponse : b)
Réseau pour les ondes centimétriques QCM-2013 On réalise la diffraction d’ondes planes
centimétriques (λ = 8.0 cm) avec un réseau plan par transmission, sous incidence normale. Le
maximum d’ordre 1 est relevé dans la direction θ = 30◦ par rapport à la normale au réseau. Quel
est le pas du réseau ?
a) 16 cm
b) 11 cm
c) 5,7 cm
d) 2,8 cm
Réponse : a)
V.
Diffraction de Bragg
La loi de Bragg est une loi empirique qui interprète le processus de la diffraction des radiations
sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915. Lorsque l’on bombarde un
cristal avec un rayonnement dont la longueur d’onde est du même ordre de grandeur que la distance
inter-atomique, il se produit un phénomène de diffraction. Comme pour les réseaux, les conditions
de diffraction donnent les directions dans lesquelles on observe des pics d’intensité diffractée par le
cristal.
V.1.
Principe de la diffraction sur un cristal
Lorsqu’un cristal est irradié par un faisceau de rayons X, chaque atome du cristal diffuse une onde
qui se propage dans toutes les directions et ces ondes, issues des différents atomes, interfèrent.
Du fait de l’organisation régulière du cristal, on peut observer dans certaines directions de l’espace
des interférences destructives et dans d’autres des interférences constructives. Dans ce dernier cas,
on observe sur un détecteur (un film photographique, une cellule CCD, etc.) des tâches de diffraction
dont la répartition est caractéristique de la structure du cristal.
La détermination générale des directions dans lesquelles on observe des interférences constructives
est largement hors de propos ici. On se contentera du modèle de Bragg qui permet d’interpréter
simplement les observations expérimentales.
V.2.
Loi de Bragg
Pour justifier cette loi, on considère que tous les atomes
du cristal sont situés dans plans imaginaires équidistants de
d. On considère alors que ces plans, qui portent le nom de
plans réticulaires, se comportent comme des miroirs pour
la lumière incidente. On montre alors que les directions
2θ de l’espace dans lesquelles on aura des pics d’intensité
vérifient : 2d sin θ = pλ
où d est la distance interréticulaire, c’est-à-dire distance
entre deux plans cristallographiques ;
Figure 13: Diffraction de Bragg
θ est l’angle de Bragg, c’est-à-dire le demi-angle de déviation (moitié de l’angle entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ;
p est l’ordre de diffraction (nombre entier) ; λ est la longueur d’onde du rayonnement incident.
IPhO – N. Schlosser
Complément sur les interférences optiques
15
Applications
Questions simples
Un écran opaque à été percé de trois fentes (de diamètre 0,1 mm), comme indiqué ci- contre (a 1
cm). Il est éclairé en lumière visible, par une source située très loin. Sur un écran, à une distance de
0,5 m, on observe : a) Des franges d’interférences de contraste variable b) Trois figures de diffraction
OK c) L’ombre géométrique des trous d) Des interférences modulées par de la diffraction.
2011 Un cristal éclairé par un faisceau de rayons X renvoie une radiation λ dans une direction
donnée par l’angle θ compté par rapport au plan de la surface. On peut en déduire : a) La couleur
du cristal b) Sa composition chimique c) La taille de ses atomes ou ” motifs ” OK d) Cette expérience
est impossible à réaliser
Poudre de licopode (exo2012)