Ecart-type

STATISTIQUES
INTRODUCTION
I Statistique descriptive à une dimension
- fréquence d'une distribution.
- représentation graphique.
- Les paramètres de position.
- Les paramètres de dispersion : la variance et l'écart-type.
II Probabilités et distributions théoriques
- binomiale
- normale
III Statistique descriptive à deux dimensions
- corrélation
- régression
IV Tests d'hypothèse
- test de Student
- test de ² (chi 2)
- Analyse de variance (ANOVA).
DEFINITIONS :
- Statistiques : ensemble des méthodes scientifiques, à partir desquelles on recueille,
organise, résume, présente, et analyse les données qui permettent d'en tirer des conclusions et
de prendre des décisions judicieuses.
- Population et échantillon : Quand on rassemble des données caractéristiques d'un ensemble
d'individus ou d'objets, il est difficile d'observer toutes les données. On en examine une partie,
c'est ce qu'on appelle l'échantillon.
Une population peut-être finie : échantillon.
Une population peut-être infinie : nombre de lancers : n, n+1, n+2, ...
- Statistique descriptive et inductive : -Lorsqu'un échantillon est représentatif de la
population, on peut tirer des conclusions sur la population entière : c'est la statistique
inductive. Lorsqu'on a un échantillon et qu'on se borne à le décrire, c'est de la statistique
descriptive ou déductive.
- Variables discrètes et variables continues :
Variable : symbole qui peut prendre toutes les valeurs d'un ensemble donné, le domaine de la
variable.
Lorsqu'une variable ne peut prendre qu'une seule valeur, on dit que c'est une variable
constante. Une variable peut théoriquement prendre toutes les valeurs situées entre deux
valeurs données : c'est une variable continue (Ex : la taille des gens)
Dans le cas contraire, on dit que c'est une variable discrète (Ex : nombre d'enfants).
LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE A UNE DIMENSION
I Les distributions de fréquences
Enumération de données observées : série statistique.
On peut regrouper ces données dans la fréquence.
A) La fréquence absolue (FA)

C'est le nombre d'occurrences d'une même valeur donnée.
Exemple : la taille : 1.76 m - 1.76 m - 1.68 m - 1.68 m - 1.80 m - 1.72 m - 1.64 m
FA: 2 2 2 2 1 1 1
B) La distribution de fréquence
C'est l'ensemble des valeurs xi , rangés par ordre croissant, avec en face les fréquences
correspondantes ni .
N : nombre d'observations total
ni
i
i p
1
= N = effectif total
Exercice : Tailles FA FAC (Cumulés)
162 1 1
164 1 2
169 5 7
170 6 13
171 4 17
180 2 19
181 1 20=N
n'i =ni / N  Fréquence relative (FR).
FRC xn =1
II Représentation graphique
Polygones de fréquence (= histogramme) :
diagramme en ligne :
représentation en bâton :
III Les paramètres de position
A) La moyenne arithmétique
Elle est notée .
N termes : x1, x2, ..., xn.
x x x
N
n1 2  ...
=
x
N
i
i
n
1
=
1
1
Nxi
i
n
.
Si x1...xp avec des fréquences n1...np :
n x n x n x
n n n
p p
p
1 1 2 2
1 2
...
...
=
nx
n
i i
i
p
i
i
p
1
1
Or,
ni
i
p
1
= N =
1
1
Nnxi i
i
p
Moyenne arithmétique de l'ensemble des tailles :
FR FRCumulés
1/20 1/20
1/20 2/20
5/20 7/20
6/20 13/20
4/20 17/20
2/20 19/20
1/20 20/20=1

 =
162 1164 1169 5170 6171 4180 2182 1
20
x x x x x x x     
=
162 164 845 1020 684 360 182
20
=
3417
20
= 170,85 m.
La moyenne d'une distribution de fréquence, c'est la moyenne des xi, pondérée par ni.
Quelques propriétés de la moyenne :
* x' =
( )x x
i
n
i
1
= 0.
* a et b constantes : x'i = a+bxi
' = a+b
On montre que la moyenne de plusieurs séries statistiques est égale à la moyenne des
moyennes pondérés par les effectifs des différentes séries.
B) La médiane
~
x
: paramètre tel que la moitié des observations lui soit inférieure ou égale, et la moitié des
observations lui soit supérieure ou égale.
- n impair : la médiane est l'observation de rang
n1
2
=
~
x
Exemple : 3,4,4,5,6,8,8,8,10 n=9
~
x
=
nx 1
29 1 255
6
- n pair : la médiane est l'observation de rang
n n
2 2 1
2
Exemple : 3,4,4,5,6,8,8,8,10,11 n=10
~
x
=
5 6
2
6
86 8
2
5
6
x
x
7
Lorsque n est impair, la médiane appartient toujours à la série.
Lorsque n est pair, la médiane peut ne pas appartenir à la série.
C) Le mode (M)
Ce mode correspond à la valeur xi, qui a la plus grande fréquence ni. Une même série
statistique peut avoir un seul mode (série unimodale), ou plusieurs (série plurimodale).
RELATION ENTRE LES PARAMETRES :
* Pour une série unimodale et symétrique : M=
~
x
=. (Loi de Gauss, ou distribution
normale).

M=
~
x
= 
* Pour une série unimodale et dissymétrique à gauche (a une skewness négative) : M <
~
x
< 
Mode <
~
x
< 
* Pour une série unimodale et dissymétrique à droite : M >
~
x
> 
Le mode et la médiane ne sont pas influencés par des valeurs extrêmes, au contraire de la
moyenne.
IV Les paramètres de dispersion
A) L'étendue (e)
Soit une série statistique : x1, ..., xn.
On définie l'étendue e, telle que e = xn - x1 , si les x sont rangés par ordre croissant.
B) La variance
La variance d'une série statistique ou d'une distribution de fréquence correspond à la moyenne
des carrés des écarts par rapport à la moyenne.
V =
1
1
Nx xi
i
n()²
V=
1
1
Nn x xi i
i
p()²
pour une distribution de fréquence.
Exemple : (xi-
x
)²
0 (0-5)² 25
1  16
2  9
3  4
4  1

5  0
6  1
7  4
8  9
9  16
10  25
()²x xi 
110
110
11 10  V
10
C) Ecart-type
En prenant l'écart-type, on a une valeur de dispersion, standardisée par rapport à la moyenne.
En moyenne, les valeurs de la série xi s'étalent de la valeur  autour de la moyenne.
Ecart-type =
Variance
Ecart-type = E.T.= 
 =
1
1
Nx xi
i
n()²
Exemples : variance et écart-type de la série statistique :
* (xi-
x
)²
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
10
* (xi-
x
)²
5 100
10 25
15 0
20 25
25 100
250
On utilise les symboles suivants :
Variance = ² ,pour une population, et Variance= S², pour un échantillon ou une estimation
Ecart-type = 
x
x'i =
x xi
xi
xi
0
1
x'i est une série statistique centrée (
x
=0) et réduite ( = 1).
x'i permet de placer deux séries statistiques sur le même graphique.
x
=3
10/5=2  V=2   =
2
x
=3
250/5=50  V=50   =
50