Évolution des systèmes mécaniques

Évolution des systèmes mécaniques
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La mécanique de Newton :
La position d’un point
de coordonnées
Le vecteur vitesse de
est la dérivée du vecteur
Le vecteur accélération de
est la dérivée de
dans un repère
est :
en fonction du temps :
en fonction du temps :
1ère loi de Newton (principe d’inertie) : Dans un référentiel galiléen, si la somme
vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est nulle, le vecteur
vitesse du centre d’inertie est un vecteur constant, et réciproquement.
2ème loi de Newton (principe fondamentale de la dynamique) : Dans un référentiel
galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est
proportionnelle au vecteur accélération du centre d’inertie :
3ème loi de Newton (loi d’action-réaction) : Lorsqu’un corps
sur un corps
alors le corps
exerce une force
exerce une force
telle que
Chute verticale d’un solide :
Poids : C’est la force exercée par la Terre sur tout corps matériel placé dans son
voisinage :
Poussée d’Archimède : Tout corps immergé dans un fluide (gaz, liquide) est
soumis à une force de valeur égale au volume de fluide déplacé :
Forces de frottements : Dans le cas d’un écoulement laminaire (faible vitesse) :
et dans le cas d’un écoulement turbulent (vitesse élevée) :
avec
un coefficient dépendant de la viscosité du fluide, de la taille, de la vitesse et de
la rugosité de l’objet.
Régimes : On observe deux régimes lors d’une chute verticale : le régime
transitoire où la vitesse augmente de moins en moins et le régime permanent où
la vitesse est constante, la vitesse maximale, appelée vitesse limite, est atteinte.
Chute libre : Au cours d’une chute libre, le solide n’est soumis qu’à son poids.
Constante de temps
: La vitesse limite est atteinte au bout de
avec
Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme :
Équations horaires : Pour le schéma ci contre, en appliquant la 2 ème loi de Newton,
on trouve
donc
et
En intégrant, on trouve
et
. En intégrant une seconde fois, on trouve
et
Trajectoire : Pour déterminer la trajectoire, il faut exprimer l’un des paramètres
en fonction de l’autre. Dans la situation étudiée, on exprimer en fonction de .
On détermine
à partir de la valeur de , on trouve
. L’équation de la
trajectoire est donc :
Flèche : La flèche d’une trajectoire est la hauteur maximale atteinte. A cet
instant, la vitesse verticale est nulle.
Portée : La portée est la distance entre le point de lancement
et le point
d’impact sur le plan horizontal contenant
Planètes et satellites :
Loi de gravitation universelle : Deux corps
mutuellement avec une force
universelle et
la distance entre
Vectoriellement,
et
avec
et
de masse
et
s’attirent
la constante de gravitation
Mouvement circulaire : Pour étudier un mouvement circulaire, on utilise un repère
de Frenet
mobile et lié au point
uniforme, la vitesse est constante donc
. Lors d’un mouvement circulaire
(mais pas le vecteur vitesse) et le
vecteur accélération est radial et centripète (il est colinéaire au rayon et orienté
vers le centre) :
Repère de Frenet
Satellite terrestre : La vitesse d’un satellite en mouvement uniforme est
(d’après la 2ème loi de Newton et les caractéristiques du mouvement circulaire
uniforme.
Période de révolution : Durée que met le satellite pour effectuer un tour autour
de la Terre.
Période de rotation propre : Durée que met le satellite pour effectuer un tour sur
lui-même.
Satellite géostationnaire : Il est immobile pour un observateur terrestre : il tourne
dans le même sens que la Terre, sa période de révolution est égale à la période
de rotation de la Terre, il se situe dans le plan équatorial (pour avoir un
mouvement uniforme doit être centripète donc le centre de la Terre et le centre
de la trajectoire doivent être confondus)
1ère loi de Kepler (loi des orbites) : Dans un référentiel héliocentrique, la
trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont l’un des foyers est le
centre du Soleil.
2ème loi de Kepler (loi des aires) : Le segment de droite reliant le soleil à la planète
balaie des aires égales pendant des durées égales.
3ème loi de Kepler (loi des périodes) : Pour toutes les planètes du système solaire,
le rapport
constante (avec
la période de révolution de la planète et
le
rayon de la trajectoire). En effet, le mouvement étant uniforme, vitesse = vitesse
moyenne. Donc
ce qui donne après développement
Impesanteur : C’est un état caractérisé par l’absence apparente de pesanteur.
D’une façon générale, l’impesanteur est ressentie lors des chutes libres (ne pas
la confondre avec l’apesanteur qui correspond à une absence de pesanteur).
Généralité sur les systèmes oscillants :
Oscillations libres : Lorsqu’un système oscillant est écarté de sa position
d’équilibre puis lâché, il oscille autour de cette position.
Oscillations forcées : Un système extérieur impose la fréquence des oscillations.
Ce système extérieur est appelé excitateur.
Amplitude : Elle correspond à la valeur maximale de l’abscisse angulaire (angle
orienté) ou de l’abscisse. Si elle est constante, le régime est périodique. Si elle
décroit, le régime est pseudopériodique. Lorsqu’il n’y a pas d’oscillations (le
système revient à sa position d’équilibre après avoir été lâché), le régime est
apériodique.
Résonance : A la résonance, l’amplitude des oscillations est maximale et la
période imposée par l’excitateur est voisine de la période propre du résonateur
(par exemple le pont du Tacoma). Le système oscillant à la résonance est appelé
résonateur.
Pendule :
Pendule pesant : C’est un solide pouvant osciller autour d’un axe fixe sous
l’action de son poids.
Pendule simple : C’est un objet ponctuel, de masse
fil de masse négligeable.
Période :
avec la longueur du fil et
, fixé à l’extrémité d’un long
l’intensité de la pesanteur.
Loi d’isochronisme des petites oscillations : Lorsque l’amplitude d’un pendule est
faible (
), la période est pratiquement indépendante de l’amplitude.
Système solide-ressort :
Force de rappel du ressort :
Période :
avec
avec
la constante de raideur du ressort.
la masse du solide.
Étude énergétique des systèmes mécaniques :
Travail d’une force constante :
par
avec
l’angle formé
et
Travail d’une force non constante : On appelle déplacement élément
un
vecteur tangent à la trajectoire du point d’application, infiniment petit et de
même sens que le déplacement. On considère que
est constante sur ce
déplacement. Le travail de cette force sur ce déplacement est
Travail global : Sur un déplacement
constante est
, le travail global d’une force
non
Cette somme correspond à la définition d’une
intégrale, on peut donc écrire :
Énergie potentielle de pesanteur :
Énergie cinétique :
Énergie potentielle élastique :
Énergie mécanique :
frottements,
diminue.
Si le système n’est soumis à aucun
est constante. Lorsqu’il y a des frottements, l’énergie mécanique
Théorème de l’énergie cinétique : Dans un référentiel galiléen, la variation de
l’énergie cinétique d’un solide en translation entre deux positions et est égal
à la somme des travaux des forces extérieurs qui s’exercent sur ce système :
Ouverture au monde quantique :
Interaction gravitationnelle :
Interaction électrique :
Les variations d’énergies de l’atome sont quantifiées (elles ne peuvent prendre
que certaines valeurs), caractéristiques d’un même élément chimique.
La mécanique de Newton, qui fait une analogie entre le système {planète,
satellite} et le système {proton, électron} ne peut pas interpréter les niveaux
d’énergie d’un atome car elle considère que toutes les orbites sont possibles.
Énergie d’un photon : Un photon est une particule qui compose une onde
électromagnétique (comme la lumière). Son énergie vaut :
constante de Planck et
avec
la
la vitesse de la lumière dans le vide.
Émission : Lorsque l’atome passe d’un niveau
émission d’un photon de fréquence
inférieur, il y a
telle que
Absorption : Lorsque l’atome passe d’un niveau
absorption d’un photon de fréquence
à un niveau
à un niveau
supérieur, il y a
telle que
Les spectres d’émission et d’absorption d’un atome sont des spectres de raies
car l’énergie ne prend que certaines valeurs.