Statistical physics and disorders I. Qu`est

Statistical physics and disorders
I. Qu’est-ce que la physique statistique ?
La physique statistique est née de la volonté d’expliquer la thermodynamique. En effet en
1824 apparaît la thermodynamique grâce à Carnot, Clausius, Kelvin… On découvre la notion
d’entropie, l’équation d’état du gaz parfait… Mais quels en sont les causes microscopiques ?
On cherche alors à prédire le comportement macroscopique d’un système en fonction de ses
composantes microscopiques.
Prenons l’exemple des transitions de phase.
Entre la température du point triple et la température critique on peut observer une transition
de phase si on diminue la pression en passant par la ligne de séparation entre le liquide et le
gaz. Cependant pour T>=Tcritique la transition de phase est continue : il n’y a pas de
discontinuité entre les densités liquides et gazeuses. Autour du point critique liquide-vapeur
on observe les équations suivantes :
CVol = cte ∗
∗∗
∗ |T-Tc|
-α
αα
α
ρ
ρ ρ
ρ
l
- ρ
ρρ
ρ
v
= cte ∗
∗∗
∗ |T-Tc|
β
ββ
β
dV/
//
/dP = cte ∗
∗∗
∗ |T-Tc|
-γ
γγ
γ
< ρ
ρρ
ρ
o
ρ
ρρ
ρ
q
> = cte / q
2-η
ηη
η
Où α=-0,1 γ=1,36 (Ni, Fe,…)
=0,1 =1,22 (alliages p.e. CrBr
3
, fluides)
La physique statistique permet d’expliquer la transition de phase paramagnétique-
ferromagnétique par analogie aux transitions de phase liquide-vapeur au niveau du point
critique.
On peut schématiser comme suit un métal ferromagnétique :

L’aimentation : les flèches représentent des moments. A haute température l’aimentation
globale vaut 0 car les moments ont une probabilité égale d’être vers le haut ou vers le bas. A
basse température on observe une direction privilégiée. L’aimentation globale est alors non
nulle. On a la formule suivante : m = cte ∗
∗∗
∗ (Tc-T)
β
ββ
β
où m représente l’aimentation et Tc la
température de Curie que l’on peut rapprocher par analogie avec la température critique. Cette
température dépend du métal étudié.
La chaleur spécifique : C
Vol
= cte ∗
∗∗
∗ |T-Tc|
-α
αα
α
Autres caractéristiques : dm/
//
/dH = cte ∗
∗∗
∗ |T-Tc|
-γ
γγ
γ
<SxSy> = cte /
/ /
/ |x-y|
D-2+η
2+η2+η
2+η
(où D représente la dimension de l’espace)
On remarque qu’on retrouve dans les deux cas les mêmes équations pour décrire les
caractéristiques des éléments étudiés. On peut définir plusieurs exposants critiques – notés α,
β, γ,et η - correspondant aux variations de plusieurs paramètres physiques autour du point
critique. Des systèmes différents possèdent souvent le même ensemble d'exposants critiques.
Ce phénomène est appelé universalité.
II. Exposants critiques et théorie des champs
Pourquoi est-ce qu’on retrouve une même structure mathématique ? (Wilson, Prix Nobel
1982)
Les exposants dépendent seulement de la dimension de l’espace d et du paramêtre d’ordre n.
Par exemple pour l’aimentation d=3 et n=1. A chaque point de l’espace d’ordonnée d et
d’abscisse n correspond un ensemble d’exposants critiques.

Méthode de calcul : On calcule les exposants comme fonction de la dimension considérée. On
cherche par exemple le développement limité d’un exposent autour de d=4. Puis on remonte
jusqu’à 3… On peut faire la même chose avec n. Il est facile de calculer les exposants avec n
infini (modèle sphérique). Puis en développant en 1/n on peut trouver les exposants pour n=1,
2, 3…
Par exemple pour un polymère contenant N monomères, il existe un exposant qui relie la
distance R typique entre deux bouts du polymère : R=N
1/ν
.
III. Le désordre en physique satistique
Habituellement le désordre apparaît à haute température et l’ordre à basse température.
Cependant ce n’est pas toujours le cas. Il existe des systèmes frustrés pour lesquels l’état de
basse énergie est compliqué.
Le désordre est donc maintenant synonyme d’interactions non uniformes.
La présence d’interactions désordonnées (non-uniforme et au hasard) a permis la découverte
de phénomènes physiques riches et de nouveaux concepts et techniques.
On va en étudier 3 exemples.
1. Physique nucléaire
Le noyau est composé de nucléons. On bombarde par des neutrons et des protons le noyau
pour en trouver la structure. On obtient des spectres.

Pour comprendre les spectres on fait des modèles en couche où on ne considère que les
interactions fortes entre nucléons. Il va y avoir différents niveaux d’énergie indicés par des
nombres quantiques. Si on regarde les spectres de manière statistique le spectre modélisé
comprend trop d’espaces plus petits qu’un quart de l’espace moyen. Le modèle (colonne d)
n’est donc pas bon.
Wigner a donc trouvé une théorie pour décrire les spectres grâce à une description statistique.
On utilise donc la théorie des matrices aléatoire. Une matrice H décrit l’énergie. Les valeurs
propres et les éléments de cette matrice sont indépendants. Les probabilités suivent une
distribution gaussienne : Proba[ H ] = A × exp(-B Trace (H
2
) ).
La théorie des matrices aléatoires est aussi utilisée pour décrire la conductance des systèmes
mesoscopiques et aussi en finance et en biologie. En biologie ça sert à construire des protéines
artificielles. On utilise alors des matrices de corrélations : cij(a,b) = P(a in i, b in j)-P(a in i)
P(b in j). (a et b sont des acides, i et j sont des emplacements). Le spectre de la matrice et les
vecteurs propres permettent alors de créer des nouvelles protéines.
2. spin glasses
Ce sont des matériaux magnétiques. Les interactions entre les spins sont non uniformes.
E[ S1,S2,...,SN] = - Σ Jij Si Sj
i<j
On les décrit par une matrice J dont les éléments sont aléatoires. On applique le modèle
suivant : P[{Jij}] = Π exp(-Jij
2
/2)/(2π)
1/2
Il existe une température critique au dessus de laquelle la moyenne d’un spin vaut 0 et au-
dessous de laquelle la moyenne est différente de 0 (car les spins se figent tous vers le haut ou
vers le bas). Cette valeur dépend alors des conditions initiales et de l’échantillon. On trouve
donc que l’énergie libre dépend de l’échantillon. Cependant dans la limite thermodynamique,
on a un dirac (théorème de la limite centrale). Il suffit de calculer la valeur moyenne. On la
calcule avec la méthode des répliques.
Z[J]
n
=(Σexp(-βE[J]))
n
=<Z>
3. Localisation d’Anderson
Dans un cristal, le potentiel est périodique donc les fonctions d’onde sont étendues. L’énergie
possible des électrons a une structure de bande. Mais si il y a des impuretés le potentiel n’est
plus periodique. Les fonctions d’onde des electrons ne sont plus étendues mais localisées

autour d’un point particulier. Il ne peut donc pas y avoir de transport. Cela a des applications
dans la localisation de la lumière et les ondes ultra-sons.
Conclusion : La découverte de la localisation d’Anderson a ouvert de nouvelles voies de recherche en
physique statistique. Pour analyser le désordre les physiciens ont mis au point de nouveaux outils,
par exemple la théorie des matrices aléatoires, on leur trouve de nombreuses applications dans d’autres
domaines comme l’informatique ou la biologie.