6. Analyse statistique de la houle réelle - SCS

Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle
Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 1 / 22
6. Analyse statistique de la houle réelle
6.1. Introduction
Le comportement des ondes à la surface de la mer et des océans relève,
de toute évidence, bien moins de l'analyse déterministe, que de l'analyse
stochastique qui est l'étude du calcul des probabilités appliqué au
traitement des statistiques.
Il est donc raisonnable d'étudier les aspects stochastiques des états de
mer, ainsi que ceux des réponses des ouvrages, structures, navires et
engins marins qui y sont soumis.
Une telle approche est nécessairement soumise à des hypothèses
simplificatrices qui permettent, sous réserve qu'elles soient vérifiées, la
mise en œuvre de l'outil mathématique. Ces hypothèses de base
concernent, bien sûr, la modélisation des états de mer, mais aussi celle
de la réponse des ouvrages, structures, navires et engins marins.
Dans ce qui suit, les processus aléatoires seront supposés être stables
(ou stationnaires), ergodiques et linéaires. Ils ne font intervenir que des
variables gaussiennes indépendantes.
6.2. Décomposition d'une houle irrégulière en houles simples
L'ensemble de la théorie stochastique de la houle réelle repose sur
l'hypothèse fondamentale que la dénivelée η (M;t) de la surface libre d'une
houle irrégulière peut être considérée comme étant la somme d'une
infinité d'ondes sinusoïdales simples, chacune se propageant avec sa
célérité propre qui n'est fonction que de sa période et de la profondeur
d'eau.
En supposant que l'axe des abscisses x coïncide avec la direction de
propagation, la dénivelée de la surface libre peut donc se mettre sous la
forme générale :
(6.1) η π λψ ( ; )M t Hx t
T
i
i i
i
i
= − +
=
∞
22
1
sin
Ainsi, en un point M fixé, la dénivelée de la surface libre est supposée
pouvoir s'écrire comme la somme d'un très grand nombre N de fonctions
aléatoires indépendantes variant sinusoïdalement avec le temps dont les
phases ϕ
i
sont des grandeurs aléatoires uniformément réparties dans
l'intervalle [0,2 π ]:
(6.2)
( )
η ω ϕ ( )t a t
i i i
i
N
= +
=
 sin
1

Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle
Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 2 / 22
Cette formulation suppose implicitement que le processus aléatoires est
linéaire. C'est à dire que les interactions entre les différentes houles
simples qui composent la houle irrégulière sont négligeables, ce qui est
pratiquement toujours vérifié pour des profondeurs pas trop petites avec
des hauteurs de houle pas trop grandes.
Par ailleurs, il est à noter qu'en eau peu profonde, des groupements de
vagues sont souvent observables, ce qui est en contradiction avec la
répartition des phases supposée aléatoire et uniforme dans l'intervalle
[0,2 π ].
En supposant le processus ergodique, il est possible d'identifier la
moyenne temporelle de la fonction aléatoire η (M;t) avec sa moyenne
statistique ou spatiale. En notant respectivement d'un point et de deux
points les dérivées temporelles première et seconde de la dénivelée il en
résulte que les espérances mathématiques ou moyennes temporelles des
trois fonctions sont nulles :
(6.3) η ( )t=0 ( ) η t=0 ( ) η t=0
Ce qui ne prend en compte ni la limitation de hauteur par le déferlement,
ni les dissymétries du profil de la houle dues à sa cambrure.
Par ailleurs, les moyennes quadratiques des trois fonctions s'expriment à
partir des différents moments d'ordres pairs du processus :
η
2 2
0
1
1
2
( )t a m
i
i
N
= =
=
η η ( ) ( )t t =0
(6.4)
( ) η ω
2 2 2
2
1
1
2
t a m
i i
i
N
= =
=
η η ω ( ) ( )t t a m
i i
i
N
= =
=
1
2
2 2
1
2
( ) η ω
2 4 2
4
1
1
2
t a m
i i
i
N
= =
=
( ) ( ) η η t t =0
Le théorème de Lyapounov stipule que lorsque leur nombre N tend vers
l'infini, la distribution d'une somme de fonctions aléatoires indépendantes
tend vers une loi normale de variance m
0
.
Ainsi, pourvu que N soit assez grand, η (t) et ses dérivées temporelles
première et seconde suivent des lois normales centrées de variances
respectivement égales à m
0
, m
2
et m
4
. La densité de probabilité qui est la
probabilité que la dénivelée soit comprise entre deux valeurs z et z+dz,
s'écrit donc :
(6.5)
Prob[ ( ) ] lim ( ) expz t z dz T T dt P z dz m
z
mdz
NN
n
n
N
≤ < + = →∞ = = −
=
ηπ
1 1
22
10
2
0

Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle
Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 3 / 22
Les différents termes qui interviennent dans cette expression sont
matérialisés sur la figure 6.1.
Figure 6.1 : Probabilité que la dénivelée soit comprise dans l'intervalle
[z,z+dz].
6.3. Analyse vague par vague
Les deux fonctions aléatoires η (t) et ( )
η
t étant, par construction,
statistiquement indépendantes ( η η ( ) ( )t t =0), la densité de probabilité de
leur couple ( η (t), ( )
η
t) s'obtient par simple produit des deux lois. D'où :
(6.6) P z z m m
m z m z
m m
( , ) exp = − +
1
22
0 2
2
2
0
2
0 2
π
6.3.1. Passage par un niveau z donné
La probabilité que la dénivelée passe par un niveau z donné par valeurs
croissantes
[
,
[
z
∈
∞
0
est égale au produit de l'espérance mathématique
de la fréquence de cet événement par le temps dt pendant lequel il se
produit, ce qui impose la relation
dz
z
dt
=
. Il vient donc :
(6.7) Prob[ ( ) ; ( )] ( , )[ ]z t z dz t P z z dzdz E N dt
z
≤ < + ≤ = =
∞+
η η 0
0
Ainsi, après avoir remplacé dz par son expression en fonction de dt , ce qui
rend l'intégration immédiate, il en résulte les égalités suivantes :
(6.8) E N E N E N m
m
z
m
z z
z
[ ] = [ ] = [ ]
2=
+ -
1
2 2
2
0
2
0
π
exp −
La période de passage de la dénivelée au niveau
z par valeurs
croissantes (z up-crossing) s'écrit donc :

Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle
Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 4 / 22
(6.9) TE N
m
m
z
m
z
uc +
(z) = 1
[ ] = 2 2
0
2
2
0
π exp
La longueur d'onde associée à cette période s'obtient en remarquant que
les moments m’n correspondant à une formulation en nombre d'onde sont
donnés en fonction des moments de la formulation en pulsation mn par :
(6.10) ωω
n n
n
n n
n
n
kgm m m
g
→ = 
⇔ → ′=
2
2
Elle est donc définie par la relation :
(6.11) λ π
uc
(z) = 2 2
0
4
2
0
gm
m
z
m
exp
6.3.2. Passage par le niveau moyen
De même que précédemment, la probabilité que la dénivelée passe par le
niveau moyen η (t) =0 par valeurs croissantes ( ) [ , [
η
t
∈
∞
0 s'obtient
immédiatement :
(6.12) Prob[ ( ) ; ( )] ( , )[ ]0 0 0
00
≤ < + ≤ = =
∞+
η η t dz t P z dzdz E N dt
D'où les égalités suivantes :
(6.13) E N E N E N m
m
[ ] = [ ] = [ ]
2=
+ -
0 0
0 2
0
1
2 π
La période de passage de la dénivelée au niveau moyen par valeurs
croissantes (zero up-crossing) s'écrit donc :
(6.14) TE N
m
m
uc +
=1
[ ] =
0
0
2
2 π
La longueur d'onde associée à cette période étant alors définie par :
(6.15) λ π
uc
= 2
0
4
gm
m

Les états de mer naturels 06 - Analyse statistique de la houle réelle
Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 06 - 5 / 22
6.3.3. Passage par un extremum
Un maximum relatif de la dénivelée est défini comme un passage de la
dérivée ( )
η
t par zéro par valeurs décroissantes ( ) ] , ]
η
t
∈
−
∞
0. Les deux
fonctions aléatoires ( )
η
t et ( )
η
t étant, par construction, statistiquement
indépendantes, il résulte immédiatement de ce qui précède que :
(6.16) E N E N E N m
m
[ ] = [ ] = [ ]
2=
+ -
max max
max
1
2
4
2
π
d'où la période qui sépare en moyenne le passage entre deux maxima
consécutifs :
(6.17) TE N
m
m
max +
=1
[ ] =
max
2
2
4
π
La longueur d'onde associée à cette période étant alors définie par :
(6.18) λ π
max
= 2
4
8
gm
m
6.3.4. Distribution des extrema
Il s'agit désormais de déterminer, en terme de probabilités, les valeurs de
la dénivelée lorsqu'elle passe par un maximum relatif. Il faut donc pour
cela considérer la probabilité d'un ensemble de trois fonctions
gaussiennes ( η (t) , ( )
η
t , ( )
η
t ). Or, si les deux couples de fonctions
( η (t) , ( )
η
t ) et ( ( )
η
t , ( )
η
t ) sont respectivement indépendants, il n'en va
pas de même du couple ( η (t) , ( )
η
t ) puisque η η ( ) ( ) t t m =
2
. Dans ces
conditions, la densité de probabilité des trois fonctions aléatoires
gaussiennes se présente sous la forme suivante :
(6.19) P z z z m
z
m
m z m zz m z
( , , )( ) exp = − − + +
1
22
2
2
32
2
2
2
4
2
2 0
2
π ∆ ∆
Avec :
(6.20) ∆ = − m m m
0 4 2
2
La probabilité que la dénivelée η (t) soit maximale, avec donc ( )
η
t =0 et
( )
η
t <0 dans l'intervalle [ z,z+dz ] s'écrit ainsi, avec
d
z
z
dt
=
:
(6.21)
G z dz P z z dzdzdz( ) ( , ,)  =
−∞
0
0