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Fiche  FONCTIONS DE REFERENCE 
FONCTIONS ASSOCIEES 1S
TECHNIQUE 1  DEFINITION DE FONCTIONS AFFINES :
Définition : Les fonctions affines sont les fonctions de la forme
f ( x)  ax  b , où a et b sont deux réels quelconques.

Le coefficient a est appelé coefficient directeur.

Le coefficient b est appelé ordonnée à l'origine.
Propriétés, Variations : Pour toute fonction affine de type
f ( x)  ax  b , les variations dépendent du signe du coefficient directeur
a:

Si a  0 , la fonction est strictement croissante sur 4.

Si a  0 , la fonction est strictement décroissante sur 4.

Si a  0 , la fonction est constante sur 4.
Tableau de variations d'une fonction affine :
Si a>0
Si a<0
Remarques :

Parfois, il faut bien réduire l'expression pour reconnaître la forme
f ( x)  ax  b .

Le coefficient directeur peut être présent dans le 2ème terme comme
dans f ( x)  4  3x : le coefficient directeur est 3.
TECHNIQUE 2  FONCTION CARRE :
Définition : La fonction carré est la fonction est définie sur 4 et qui à
tout réel x, associe le réel f ( x)  x ² .
Courbe représentative : La courbe de la fonction carré est une
parabole.
TECHNIQUE 3  FONCTION CUBE :
Définition : La fonction cube est la fonction qui est définie sur 4 et qui
à tout réel x, associe le réel f ( x)  x3 .
Courbe représentative : La courbe de la fonction cube est de la forme.
La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère O.
Variations de la fonction cube :

Sur 4, la fonction cube est strictement croissante.
Tableau de variations de la fonction cube :
On remarquera que la courbe passe par l'origine O du repère.
Conséquence sur la comparaison de cubes :
Pour comparer deux nombres au cube, il faut :

Connaître la comparaison des deux nombres.

Utiliser alors la propriété des variations de la fonction cube.

Il n'y a pas de condition de signe comme la fonction carré.
1. Si a<b,
2. et comme la fonction cube est strictement croissante sur 4,
3. alors a3<b3.
3
3
Equations de cubes : On admettra : a  b  a  b .
Remarques :

Si dans les données, on part de x3, c'est que l'on a des propriétés en
ordonnées et que donc on recherche des abscisses x.

Si dans les données, on part de x (et simplement de x), c'est que l'on
parle d'abscisses et que donc on recherche des ordonnées x3.
TECHNIQUE 4 − FONCTION INVERSE :
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Variations de la fonction carré :

Sur l'intervalle ];0], la fonction carré est strictement
décroissante.

Sur l'intervalle [0;+[, la fonction carré est strictement croissante.
Tableau de variations de la fonction carré :
On remarquera que la fonction carré admet un minimum qui vaut 0, en
x=0.
Conséquence sur la comparaison de carrés :
Pour comparer deux nombres au carré, il faut :

Que les deux nombres soient de même signe.

Connaître la comparaison des deux nombres.

Utiliser alors la propriété des variations de la fonction carré.
1. Si a<b0,
1. Si 0a<b,
2. et comme la fonction carré
2. et comme la fonction carré
est strictement décroissante
est strictement croissante sur
sur ];0],
[0;+[,
3. alors a²>b²0².
3. alors 0²a²<b².
Remarques :

Si dans les données, on part de x², c'est que l'on a des propriétés en
ordonnées et que donc on recherche des abscisses x.

Si dans les données, on part de x (et simplement de x), c'est que l'on
parle d'abscisses et que donc on recherche des ordonnées x².
Définition : La fonction inverse est la fonction qui est définie sur 4* et
1
qui à tout réel x non nul, associe le réel f ( x )  .
x
Courbe représentative : La courbe de la fonction inverse est
l'hyperbole.
La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère O.
Variations de la fonction inverse :

Sur]−;0[, la fonction inverse est strictement décroissante.

Sur ]0;+[, la fonction inverse est strictement décroissante.
Tableau de variations de la fonction inverse :
Conséquence sur la comparaison d'inverses :
Pour comparer des inverses de deux nombres, il faut :

Que les deux nombres soient de même signe et non nul.

Connaître la comparaison des deux nombres.

Utiliser alors la propriété des variations de la fonction inverse.
PROFESSEURS ASSOCIÉS – 1 bis rue Alexandre Dumas – 78100 Saint-Germain-en-Laye - Tél 01.30.61.72.12
1.
2.
Si a<b<0,
et comme la fonction
inverse est strictement
décroissante sur ];0[,
1 1
3. alors  .
a b
Remarques :


1.
2.
3.
Si 0<a<b,
et comme la fonction inverse
est strictement décroissante
sur ]0;+[,
1 1
alors  .
a b
1
, c'est que l'on a des propriétés en
x
ordonnées et que donc on recherche des abscisses x.
Si dans les données, on part de x (et simplement de x), c'est que l'on
1
parle d'abscisses et que donc on recherche des ordonnées .
x
Variations de la fonction valeur absolue :

Sur l'intervalle ];0], la fonction valeur absolue est strictement
décroissante.

Sur l'intervalle [0;+[, la fonction valeur absolue est strictement
croissante.
Tableau de variations de la fonction valeur absolue :
Si dans les données, on part de
TECHNIQUE 5 − FONCTION RACINE CARRE :
Définition : La fonction racine carré est la fonction qui est définie sur
[0;+[ et qui à tout réel x positif ou nul, associe le réel f ( x)  x .
Courbe représentative : La courbe de la fonction racine carré est la
suivante :
On remarquera que la fonction valeur absolue admet un minimum qui
vaut 0, en x=0.
Conséquence sur la comparaison de valeurs absolues :
Pour comparer des inverses de deux nombres, il faut :

Que les deux nombres soient de même signe.

Connaître la comparaison des deux nombres.

Utiliser alors la propriété des variations de la fonction valeur
absolue.
1. Si a<b0,
1. Si 0a<b,
2. et comme la fonction valeur 2. et comme la fonction valeur
absolue est strictement
absolue est strictement
décroissante sur ];0],
croissante sur [0;+[,
3. alors a  b  0 .
3. alors 0  a  b .
TECHNIQUE 6  COMPARAISON D'IMAGES :
Variations de la fonction racine carré :

Sur [0;+[, la fonction racine carré est strictement croissante.
Tableau de variations de la fonction racine carrée :
On remarquera que la fonction racine carrée admet un minimum qui vaut
0, en x=0.
Conséquence sur la comparaison de racines carrés :
Pour comparer deux racines carrées, il faut :

Que les deux nombres soient positifs ou nuls.

Connaître la comparaison des deux nombres.

Utiliser alors la propriété des variations de la fonction racine carré.
1. Si 0a<b,
2. et comme la fonction racine carré est strictement croissante sur
[0;+[,
3. alors 0  a  b .
Remarques :

Si dans les données, on part de x , c'est que l'on a des propriétés
en ordonnées et que donc on recherche des abscisses x.

Si dans les données, on part de x (et simplement de x), c'est que l'on
parle d'abscisses et que donc on recherche des ordonnées
x.
TECHNIQUE 6  FONCTION VALEUR ABSOLUE :
Définition : La fonction absolue est la fonction définie sur 4 et qui à
tout réel x de 4, associe le réel f ( x)  x .
But : il s'agit de comparer les images f(a) et f(b).
Méthode :
1. Il faut d'abord comparer les antécédents a et b.
2. Il faut ensuite connaître les variations de la fonction affine f.
3. On applique ensuite les propriétés suivantes :

Si a  b ET f est strictement croissante sur un intervalle
contenant a et b, alors f (a)  f (b) .

Si a  b ET f est strictement décroissante sur un intervalle
contenant a et b, alors f (a )  f (b) .

Si a  b ET f est constante sur un intervalle contenant a et b,
alors f (a )  f (b) .
Remarques :

Les fonctions f seront les fonctions de référence : il faudra alors se
souvenir des variations de ces fonctions-là.

Il faut commencer par comparer les antécédents, et à l'aide des
variations des fonctions de référence, on peut comparer les images.
Exemples :

Si f est strictement croissante et comme 2  1  2  3 , alors
f (2  1)  f (2  3) .

Si f est strictement décroissante et comme 2 5  1  2 3  1 , alors
f (2 5  1)  f (2 3  3) .
Technique 10  Croissances comparées :
Idée : il s'agit ici de comparer les images d'un même nombre mais avec
des fonctions différentes.
Propriété :
Soient les fonctions
:
1
f1( x) 
;
x
f 2 ( x )  x3 ;
f3 ( x)  x2 ;
f 4 ( x)  x ;
Propriété de simplification :

Pour tout réel x0, x  x .

f5 ( x)  x
De courbe
respective C1 ; C2,
C3, C4 et C5.
Pour tout réel x0, x   x .
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Graphiquement, on observe que :




1
Sur ]0;1[, x  x  x  x  .
x
1
Sur ]1;+[,  x  x  x 2  x3 .
x
Si x=1, les courbes C1, C2, C3, C4 et C5 se coupent. Donc si x=1 ,
1
x3  x 2  x  x   1 .
x
Si x=0, les courbes C2, C3, C4 et C5 se coupent. Donc si x=0 ,
3
2
x3  x 2  x  x  0 .
Conclusion : pour comparer, ou ordonner un nombre, son carré et sa
racine carré, il faut comparer ce nombre à 0 et 1.
Astuce : on peut voir une racine carré comme une puissance ½ (
1
x  x1/2 ) et l'inverse comme une puissance 1(  x 1 ) et x  x1 .
x
Alors si x]0;1[, plus la puissance est grande, plus le nombre est petit, et
si x]1;+[, plus la puissance est grande, plus le nombre est grand.
2 1
2 1
. On remarque que 0 
 1 , donc
2 3
2 3
Exemple : Soit le réel
3
2
 2 1   2 1   2 1 

  
  
 
 2  3  2  3  2  3
 2 1   2  3 

  

 2  3   2 1 
Technique 11 – D'une courbe à l'autre, Fonctions associées :
La fonction u est une fonction (en général, une fonction de référence).

Addition par un nombre : Sur un intervalle I, pour tout réel k, les
fonctions u et f=u+k ont les mêmes variations.

Multiplication par un nombre positif : Sur un intervalle I, pour
tout réel >0, les fonctions u et f=u ont les mêmes variations.

Multiplication par un nombre négatif : Sur un intervalle I, pour
tout réel <0, les fonctions u et f=u ont des variations contraires.

Racine d'une fonction : Sur un intervalle I, où la fonction u est
positive ou nulle, les fonctions u et f= u ont les mêmes
variations (car la fonction racine carrée est strictement croissante
donc conserve l'ordre et aussi les variations).

Inverse d'une fonction strictement positive : Sur un intervalle I,
1
où la fonction u est strictement positive , les fonctions u et f 
u
ont des variations contraires (car la fonction inverse est strictement
décroissante sur ]0;+∞[, donc change l'ordre et change aussi les
variations).

Inverse d'une fonction strictement négative : Sur un intervalle I,
1
où la fonction u est strictement négative, les fonctions u et f 
u
ont des variations contraires (car la fonction inverse est strictement
décroissante sur ]∞;0[, donc change l'ordre et change aussi les
variations).

Carré d'une fonction positive : Sur un intervalle I, où la fonction
u est strictement positive, la fonction u et u² ont les mêmes
variations (car sur [0;+∞[, la fonction carré est strictement
croissante donc conserve l'ordre et aussi les variations).

Carré d'une fonction négative : Sur un intervalle I, où la fonction
u est strictement négative, la fonction u et u² ont des variations
contraires (car sur ]∞;0], la fonction carré est strictement
décroissante donc change l'ordre et change aussi les variations).
Exemples :

Addition par un nombre : Soit u ( x)  x ² et
f ( x)  u ( x)  7  x ²  7 . La fonction u est strictement croissante
sur [0;+[. Par addition d'un nombre (7), la fonction f est aussi
strictement croissante sur [0;+[.

Inverse d'une fonction : Soit u ( x)  2 x  1 et
1
1
f ( x) 

.
u ( x) 2 x  1
(i)
La fonction u est strictement croissante et strictement positive
sur ]1/2;+[. Par inverse d'une fonction, la fonction f est
strictement décroissante (et strictement positive) sur ]1/2;+[.
(ii)
La fonction u est strictement croissante et strictement négative
sur ];1/2[. Par inverse d'une fonction, la fonction f est
strictement croissante (et strictement négative) sur ];1/2[.

Multiplication ppar un nombre négatif : Soit u ( x)  x3 et

f ( x)  3u( x)  3x3 . La fonction u est strictement croissante sur
4. Par produit d'un nombre négatif (3), la fonction f est
strictement décroissante sur 4.
Racine d'une fonction : Soit u ( x)  x  2 et
f ( x)  u ( x)  x  2 . La fonction u est strictement croissante et
positive ou nulle sur [2;+[. Par racine carré d'une fonction, la
fonction f est strictement croissante sur [2;+[.
Exemple n°1 de tableau de variations :
Soit f la fonction définie sur 4\{2} par : f ( x)  2  (3) 
1
.
x2
Posons alors la fonction de référence u ( x)  x  2 .
L'algorithme de passage de u à f est alors : inverse ; (3) ; +2.
D'où le tableau de variations suivant :
Exemple n°2 de tableau de variations :
Soit f la fonction définie sur ]∞;2]∪[2;+∞[ par f ( x)  3  2  x ²  4 .
Posons alors la fonction de référence u ( x)  x ² .
L'algorithme de passage de u à f est alors : 4 ; racine carré ; 2 ; +3
D'où le tableau de variations suivant :
Nombres de conditions requises :

Addition par un nombre : Une seule condition : connaître les
variations de u.

Multiplication par un nombre : Deux conditions : le signe du
coefficient multiplicateur ET les variations de u.

Racine d'une fonction : Deux conditions : la positivité ET les
variations de la fonction u.

Inverse d'une fonction : Deux conditions : le signe de la fonction
ET les variations de la fonction u.
PROFESSEURS ASSOCIÉS – 1 bis rue Alexandre Dumas – 78100 Saint-Germain-en-Laye - Tél 01.30.61.72.12