Chapitre 2

Université Pierre et Marie Curie
Prof. : Emmanuel Rollinde
Notes de cours : UE LP101B
Energie et Travail
Chapitre 1 : Introduction
1-1 Caractéristiques d’un mouvement
Nous avons montré au cours précédent comment les forces agissent sur un mouvement. Un
objet qui n’est soumis à aucune force garde une vitesse constante.
Si on connait les forces qui s’appliquent à un objet, alors on connait la variation de sa vitesse
(vecteur) :
- la position X (avec trois coordonnées)
- la vitesse, soit la dérivée de la position par rapport au temps
- l’accélération, soit la dérivée seconde de la position
Les lois de Newton relient les forces (qui peuvent dépendre de la position et de la vitesse) à
l’accélération. On obtient alors des équations différentielles du second ordre (car elles
contiennent des dérivées secondes…) par rapport à la position de l’objet.
Donc il suffit de connaitre la position et la vitesse initiale pour décrire le mouvement d’un
objet ponctuel.
Ex. chute libre d’un objet, lâché à une hauteur h, avec une vitesse verticale nulle :
F = m a
la force est égale au poids : F = - m g z
Donc selon les axes x et y, l’accélération est nulle, la vitesse est constante.
Selon l’axe Selon l’axe z :
-g = az = dvz/dt (1)
donc, vz = -g t + C avec C = vz(t=0) = 0 (2)
dz/dt = vz , donc, z = -1/2 g t2 + z(t=0) = -1/2 g t2 + h (3)
On peut donc en conclure que cet objet atteindra le sol lorsque z = 0, donc pour
t2 = 2h/g ---- si h est en mètre, et g en m/s2 (accélération), on obtiendra t en seconde

La projection de la vitesse selon l’axe z est alors obtenue en remplaçant t par sa valeur dans
l’équation (2). vz = sqrt(2 g h) --- « racine de 2 gh »
Le caractère vectorielle de ces relations permet de comprendre que le mouvement selon l’axe
z est indépendant du mouvement selon l’axe x ou y. Ainsi, un objet A lancé avec une vitesse
initiale horizontale va atteindre le sol au même moment qu’un objet B lancé sans vitesse
initiale ; leur vitesse projetée sur l’axe z sera la même ; par contre, la norme de leur vitesse
sera différente car l’objet A conserve une vitesse horizontale non nulle.
La comparaison de ces deux mouvements est visible sur un film (amateur) sur dailymotion :
http://www.dailymotion.com/video/x724wr_chute-libre_people
1-2 Description locale et globale
Les lois de Newton sont une description locale du mouvement. Elles sont idéales pour décrire
la trajectoire suivie au cours du temps par un objet. Mais la résolution de ces équations peut
parfois être compliquée.
Il est alors possible, et recommandé, d’utiliser une description globale, qui s’attache
uniquement à la variation de quantité (que nous allons définir) entre le début et la fin du
mouvement. Ces quantités, les énergies, vont caractériser de manière unique le mouvement et
remplaceront donc la position d’une part (l’énergie potentielle) et la vitesse d’autre part
(l’énergie cinétique).
Pour passer d’une description locale à une description globale, nous allons agir comme en
mathématique pour passer de la pente de la tangente à la pente d’une corde, nous allons
intégrer les équations du mouvement.
En faisant ce travail, nous allons comprendre comment définir proprement les énergies
caractéristiques du mouvement. Ce sera l’objet du chapitre suivant.
Avant de poursuivre, il faut insister sur le fait que l’énergie est une notion abstraite, comme la
notion de force au chapitre précédent. Elle concerne l’état d’un système.
Les physiciens définissent des grandeurs qui décrivent l’état d’un système, de telle sorte que
l’on puisse toujours vérifier, pour un système isolé, la conservation de l’énergie ; ce qui sera
traité ensuite.
Chapitre 2 : De la loi de Newton aux premières énergies
2-1 le Théorème de l’Energie cinétique
Remarque : cette section va vous montrer la démonstration du théorème de l’énergie cinétique
(TEC) à partir de la loi de Newton. Vous pouvez évidemment utiliser le TEC sans
comprendre cette démonstration. Mais, comme toujours, il est préférable de comprendre
l’origine des relations que vous utilisez.

Dans la loi de Newton, nous avons une égalité entre deux fonctions, la force et l’accélération,
qui dépendent du temps (via la position et la vitesse pour la force) :
Un objet est soumis à une force F le long d’une trajectoire.
F = ma = m dv/dt
Il parcourt une certaine trajectoire du point A au point B. Cette loi est valable en tout point de
la trajectoire. Les positions A et B sont connues (départ et arrivée), mais nous ne connaissons
pas à priori la trajectoire suivie par le système.
a / projection de la loi de Newton le long de la trajectoire
Nous avons le droit d’imaginer un petit bout de la trajectoire, et de projeter cette relation sur
le vecteur directeur de cette trajectoire, dl.
- projection de la force :
La force n’est pas nécessairement dirigée selon dl. Vous pouvez imaginer le poids d’un objet
se déplaçant sur une table horizontale. Dans ce cas particulier, le poids n’a aucun effet sur le
mouvement. Ou encore, si vous tirez un objet sur un rail, alors que votre bras n’est pas
parallèle à ce rail (cas du dessin ci-dessus), seule une partie de votre force est utilisée pour
modifier le mouvement. C’est ce qu’on peut appeler la partie « utile » de la force, celle qui
va dans le sens du déplacement, soit la projection de la force, Fdl. Ce n’est plus un vecteur,

mais seulement la norme de la projection selon l’axe dl. Pour projeter un vecteur, on utilise le
produit scalaire :
Fdl = F . dl = F dl cos(θ)
Pour le calculer, il faut connaitre
- la norme de la force
- l’angle entre la force et la trajectoire
- projection de l’accélération
On utilise de la même manière le produit scalaire, m a.dl.
L’accélération est reliée à la vitesse par : a = dv/dt
La trajectoire est obligatoirement orientée selon la vitesse. Pendant un instant dt, la longueur
parcourue est dl = v dt (en norme). Donc (en vecteur) dl = v dt
Ainsi, a.dl = dv/dt . v dt = dv.v = d(1/2 v2) !!!
- projection de la loi de Newton
En remettant les deux parties ensemble, on obtient :
F.dl = d(1/2 m v2)
b / intégration entre le départ et l’arrivée
préliminaire :
On sait que dF correspond à une petite variation d’une fonction F. Par ailleurs, si F dépend de
x, et que F’(x) = f(x) alors
dF = f (x) dx. F est la primitive de f.
Lorsqu’une intégrale peut s’écrire sous la forme ∫ f(x) dx = ∫ dF , alors le résultat est égale à
f(B) – f(A) = Δf
Et ne dépend pas de la façon dont le trajet va de A à B.
Dans la suite, je note l’intégrale entre A et B avec le signe ∫ sans spécifier les points de
départ et d’arrivée.
Il faut distinguer
df : variation infinitésimale (locale)
Δf : variation globale
Le TEC… A CONNAITRE PAR COEUR
∫ F.dl = ∫ d(1/2 m v2) = Δ (1/2 m v2)
Soit un système soumis à une force F sur un trajet allant de A à B
- un travail sur un petit déplacement (travail infinitésimal) par dW = F.dl
- le travail WA-B comme l’intégrale de dW WA-B = ∫AB F.dl
- l’énergie cinétique : Ec = ½ m v2
WA-B = Ec(B) – Ec(A)

Ainsi, la 2ème loi de Newton, projetée dans la direction du mouvement et intégrée, nous dit
que la variation d’une forme d’énergie (Ec) est égale à la variation d’une autre forme
d’énergie associée à une force (W).
L’unité d’une énergie doit donc être celle de mv2
C'est-à-dire kg.m2s-2 ou N.m ou encore le Joule [J] ; dimension : ML2T-2
Le travail a les mêmes unités que F.dl soit F.L donc à nouveau N.m
Le travail et l’énergie ont la même unité, le Joule, et correspond à l’effet d’une force de 1N
appliquée sur un système sur une longueur de 1 m
Il reste encore à comprendre comment doit être calculé le travail W.
2-2 Travail
a/ calcul direct du travail
Nous allons calculer le travail dans différent cas, et appliquer le TEC. Selon les cas, la
difficulté principale consiste en définir correctement le vecteur dl.
• Chute libre
On considère un système de masse m, tombant d’une hauteur h. On cherche sa vitesse au sol.
La force unique, le poids, est dirigée selon l’axe Oz.
On définit les axes Ox, Oy et Oz avec les vecteurs unitaires ex ey ez respectivement.
Quelque soit le déplacement exacte (qui dépend de la vitesse horizontale initiale), la
projection du poids sur le déplacement s’écrit :
F. dl = -mg ez . (dx ex + dy ey + dz ez) = - mg dz --- l’axe Oz étant orienté vers le haut
Donc W = ∫ -mg dz = - mg ∫ dz = - mg (0-h) = mg h
La norme de la vitesse peut se décomposer selon la vitesse verticale et la vitesse dans le plan
Oxy : V2 = Vz2 + Vxy2
Le TEC nous dit :
½ m (V(z=0)2 – V(z=h)2) = W = mgh
Mais il faut utiliser la loi de Newton pour justifier que la vitesse Vxy ne varie pas.
Ainsi,
½ m (Vz(z=0)2 – Vz(z=h)2) = mgh
On retrouve, pour une vitesse verticale nulle au départ, la relation :
Vz2 = 2 gh
• Chariot sur coussin d’air horizontal
Le coussin d’air permet de dire qu’il n’y a pas de frottement. Donc la seule force est le poids,
vertical, et la réaction du support, vertical également. Or, le mouvement est par définition
horizontal.
On peut alors