Mécanique des fluides TD6 TSI2015-2016

Mécanique des fluides TD6 TSI2015-2016
Exercice 1 : Donne-moi ton flux et ta circulation et je
te dirai qui tu es !
Un expérimentateur a à disposition :
U
n débitmètre
Un «
circulomètre
»
Il indique
le volume de
fluide le traversant (sa
géométrie étant une
surface ܵ inscrite dans un
carré)
Il est
constitué de 4
petits capillaires
߁
ଵ
,
߁
ଶ
,
߁
ଷ
,
et ߁
ସ
. Si de l’eau traverse
un capillaire, c’est que
l’écoulement présente une
direction commune avec
celle du capillaire.
L’écoulement stationnaire sera décrit en repérage
cartésien et s’effectue « en sens unique » :
L’expérimentateur effectue les observations suivantes :
Condition
s
de la mesure
Observations
Débitmètre dans un plan
parallèle à
(
ݔܱݕ
)
à la côte
ݖ
Débit nul
Débitmètre dans un plan
parallèle à
(
ݕܱݖ
)
à la côte
ݔ
Débit nul
Débitmètre dans un plan
parallèle à
(
ݔܱݖ
)
à la côte
ݕ
Débit non nul
de valeur
ܦ
଴
Débitmètre dans un plan
parallèle à
(
ݔܱݖ
)
à la côte
ݕ
+
݀ݕ
Débit non nul
de valeur
ܦ
଴
Circulomètre dans un
plan
parallèle à
(
ݔܱݖ
)
à la côte
ݕ
Aucun
capillaire
traversé par un
écoulement
Circulomètre dans un
plan
parallèle à
(
ݕܱݖ
)
à la côte
ݔ
Deux capillaires sont
traversés par de l’eau
mais la circulation
totale est nulle
Circulomètre dans un plan
parallèle à
(
ݕܱݔ
)
à la côte
ݖ
Deux capillai
res sont
traversés par de l’eau
mais la circulation
totale est nulle
Décrire précisément le champ des vitesses (direction(s)
et invariance(s))
Les différentes observations conduisent
successivement aux résultats suivants :
ݒԦ=ቌݒ
௫
(ݔ,ݕ,ݖ)
ݒ
௬
(ݔ,ݕ,ݖ)
ݒ
௭
(ݔ,ݕ,ݖ)ቍ=൭ݒ
௫
(ݔ,ݕ,ݖ)
ݒ
௬
(ݔ,ݕ,ݖ)
0൱=൭ 0
ݒ
௬
(ݔ,ݕ,ݖ)
0൱
ݒԦ=൭ 0
ݒ
௬
(ݔ,ݖ)
0൱=൭ 0
ݒ
௬
(ݔ)
0൱=൭0
ݒ
௬
0൱
Le champ est donc uniforme et unidirectionnel.
Exercice 2 : Calcul de débits
On observe un écoulement axial de symétrie cylindrique
dans une conduite cylindrique de rayon ܴ. Calculer le
débit volumique et la vitesse moyenne de l’écoulement
(appelée aussi vitesse débitante) si :
- ݒ
௭
=ݒ
଴
exp (−
଼௥
మ
ோ
మ
) avec ݒ
଴
vitesse en ݎ=0 (on
prendra exp(−8)≪1)
- ݒ
௭
=ݒ
଴
(1−
௥
మ
ோ
మ
) avec ݒ
଴
vitesse en ݎ=0
Avec le profil gaussien, on a :
ܦ
௩
=ඵ ݒ
଴
exp (−8ݎ
ଶ
ܴ
ଶ
)ݎ݀ݎ݀ߐ
ௌ
=2ߨݒ
଴
න ݎexp (−8ݎ
ଶ
ܴ
ଶ
)݀ݎ
ோ
଴
ܦ
௩
=2ߨݒ
଴
ቈ−R
ଶ
16exp (−8ݎ
ଶ
ܴ
ଶ
)቉
଴
ோ
=ݒ
଴
πR
ଶ
8(1−exp(−8))
ܦ
௩
=
௩
బ
గோ
మ
଼
soit une vitesse moyenne donnée par
௩
బ
଼
Avec le profil Poiseuille, on a :
ܦ
௩
=ඵ ݒ
଴
(1−ݎ
ଶ
ܴ
ଶ
) ݎ݀ݎ݀ߐ
ௌ
ܦ
௩
=2ߨݒ
଴
ቈr
ଶ
2−ݎ
ସ
4ܴ
ଶ
቉
଴
ோ
=ߨݒ
଴
ܴ
ଶ
2
Soit une vitesse moyenne donnée par
௩
బ
ଶ
Exercice 3 : Problème de physique concernant
l’écoulement incompressible d’air dans une conduite
On considère un écoulement stationnaire, homogène
(donc incompressible et de masse volumique donnée)
d’air dans une conduite cylindrique de 50 cm de
diamètre, à une pression de 1,5 bar et une vitesse
moyenne de 2 m.s
-1
. Cet air, à la température de 300K,
peut être considéré comme parfait.
Combien d’installation comme celle-ci permettent de
respecter les normes en vigueur dans une cantine

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scolaire servant 400 repas. Calculer le débit massique
de l’installation complète.
Soit ܰ le nombre d’installations, on a un débit volumique
donné alors par : ܦ
௩
=ܰݒ
଴
ܵ et une consigne imposant
ܦ
௩
=400×
ଶ଴
ଷ଺଴଴
on trouve ܰ=6
L’hypothèse incompressible permet de relier facilement
le débit massique et volumique par : ܦ
௠
=ߩܦ
௩
.
La masse volumique nous ait donnée par la loi des gaz
parfait : ߩ=
ெ௉
ோ்
on peut alors trouver le débit massique
de 4kg/s
Exercice 4 : Vitesse d’un liquide dans une conduite de
section variable
Dans une conduite de 20cm de diamètre circule, de
manière stationnaire, du pétrole avec un débit de
100L.s
-1
. Le fluide passe ensuite dans une conduite de
diamètre 10cm. Calculer les vitesses moyennes dans les
deux conduites.
L’hypothèse incompressible (et homogène) est implicite
pour ce fluide et sachant que l’écoulement est
stationnaire, on a donc conservation du débit
volumique : ݒ
ଵ
ܵ
ଵ
=ݒ
ଶ
ܵ
ଶ
=ܦ
௩
Donc ݒ
ଵ
=
஽
ೡ
ௌ
భ
=
଴,ଵ
గ(଴,ଵ)
మ
≈3݉.ݏ
ିଵ
et ݒ
ଶ
=
஽
ೡ
ௌ
మ
=
଴,ଵ
గ(଴,଴ହ)
మ
≈
12݉ݏ
ିଵ
: diviser par deux la section revient à multiplier
par 4 la vitesse de l’écoulement
Exercice 5 : Equation de conservation de la masse à 1D
et 3D
On considère un écoulement unidirectionnel et
unidimensionnel donné par ݒԦ=ݒ
௬
(ݕ,ݐ)ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
en repérage
cartésien.
1) Obtenir l’équation de conservation de la masse
à une dimension en effectuant une analyse
locale sur un élément de volume ܸ݀.
2) Généraliser l’expression précédente en se
plaçant à 3 dimensions.
߲ߩ݀ࢂ
߲ݐ =߲ߩ ߲ݐ݀ࢂ=݆
௬
(ݕ,ݐ)݀ݔ݀ݖ−݆
௬
(ݕ+݀ݕ,ݐ)݀ݔ݀ݖ
=−൫݆
௬
(ݕ+݀ݕ),ݐ൯−݆
௬
(ݕ,ݐ)݀ݔ݀ݖ
Soit :
డఘ
డ௧
݀࣎=−
డ௝
೤
డ௬
݀ݕ݀ݔ݀ݖ=−
డ௝
೤
డ௬
݀࣎
Et donc :
డఘ
డ௧
=−
డ௝
೤
డ௬
Dans le cas d’un problème à trois dimensions ଔԦ=݆
௫
݁
௫
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
+
݆
௬
݁
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
+݆
௭
݁
௭
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
߲ߩ
߲ݐ=−߲݆
௫
߲ݔ−߲݆
௬
߲ݕ−߲݆
௭
߲ݖ=−݀݅ݒଔԦ
Exercice 6 : Divergence et rotationnel d’un champ de
vecteur
1) En travaillant dans en repérage cartésien,
exprimer, pour les vecteurs unitaires,
݀݅ݒݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,݀݅ݒݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,݀݅ݒݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
d’une part et ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
d’autre part ?
2) On se place en repérage cylindrique, exprimer
݀݅ݒݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,݀݅ݒݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
En reprenant le travail qualificatif vu en cours, on peut
prévoir, sans calcul, que la divergence des vecteurs
unitaires ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
,ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
et ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
est nulle. De même, la circulation
de ces mêmes vecteurs est nulle.
On peut, sans utiliser les définitions de l’opérateur
divergent et rotationnel dans la base cylindrique)
trouver :
- ݀݅ݒݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
en calculant le flux à travers une surface
fermée telle que : (−ݎ݀ߐ݀ݖ+(ݎ+݀ݎ)݀ߐ݀ݎ)=
݀ݎ݀ߐ݀ݖ=݀݅ݒݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݎ݀ݎ݀ߐ݀ݖ soit ݀݅ݒݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
ଵ
௥
- ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=0
ሬ
Ԧ
- ݀݅ݒݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=0
- ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݎ݀ݎ݀ߐݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=݀ݎ݀ߐ soit ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
௨
೥
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
௥
Exercice 7 : Ecoulement puits et source
On appelle source, un tuyau filiforme (de section
négligeable), rectiligne (confondu avec l’axe ܱݖ des
coordonnées cylindriques), supposé infini, poreux et
alimenté en eau. Ce tuyau est alors responsable d’un

Mécanique des fluides TD6 TSI2015-2016
écoulement radial de la forme ݒ
௥
(ݎ,ߐ,ݖ,ݐ) en repérage
cylindrique.
1) On suppose l’écoulement stationnaire, à
symétrie cylindrique et incompressible (de
masse volumique ߩ
଴
uniforme). Montrer alors
ݒ
௥
(ݎ)=
௄
௥
où ܭ est une constante.
Détaillons les conséquences de chaque hypothèse :
- Champ radial :ݒԦ=൭ݒ
௥
(ݎ,ߐ,ݖ,ݐ)
0
0൱
- Stationnaire : ݒ
௥
(ݎ,ߐ,ݖ)
- La symétrie cylindrique entraîne alors que ݒ
௥
(ݎ)
- Incompressible et de masse volumique ߩ
଴
: d’après
l’équation de conservation la vitesse est à flux
conservatif et ݀݅ݒݒԦ=0 donc
ଵ
௥డ௥௩
ೝ
డ௥
=0 soit ݒ
௥
=
௄
௥
.
On peut retrouver ce résultat en faisant un bilan
local de flux ݀߶=ݒ(ݎ+݀ݎ)(ݎ+݀ݎ)݀ߐ݀ݖ−
ݒ(ݎ)ݎ݀ߐ݀ݖ=
డ௥௩
డ௥
݀ݎ݀ߐ݀ݖ=0
2) On note ܦ
௩,௟
le débit volumique linéique (c’est-
à-dire pour un mètre de tuyau) sortant du
tuyau. Exprimer le champ des vitesses en
fonction, entre autre, de ܦ
௩,௟
Pour mesurer facilement ce débit, dont l’intensité est
indépendante du choix de la surface ouverte, prenons
un cylindre d’axe Oz, de rayon ݎ et longueur unitaire:
ܦ
௩,௟
=ඵ ݒ(ݎ)ݎ݀ݖ݀ߐ
ௌ
=2ߨܭ
On a donc bien un flux qui se conserve si l’on considère
un tube de champ. Donc ݒ
௥
=
஽
ೡ,೗
ଶగ௥
3) Vérifier que l’écoulement est irrotationnel
On peut analyser les lignes de champ : la circulation sur
un contour élémentaire fermé est nulle, donc ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ=0
ሬ
Ԧ
.
Ou utiliser le formulaire et aussi vérifier que ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ=0
ሬ
Ԧ
4) A un écoulement irrotationnel (on parle aussi
d’écoulement potentiel) on peut associer une
fonction scalaire, appelée potentiel des
vitesses, donnée par ݒԦ=݃ݎܽ݀
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
߶. Calculer ߶ à
une constante près que l’on prendra nulle.
5) Représenter des lignes de courant et des
équipotentielles d’une source
6) Le tuyau est maintenant une pompe
d’aspiration (on parle de puits). Reprendre la
question précédente pour un puits.
Le potentiel est donc donné par
ௗథ
ௗ௥
=ݒ
௥
donc ߶=
஽
ೡ,೗
ଶగ
݈݊ݎ
On donne les opérateurs suivants en coordonnées
cylindriques pour un champ de vecteur ܽԦ et une fonction
݂:
݃ݎܽ݀
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݂=
ۉ
ۈ
ۈ
ۇ
߲݂
߲ݎ
1ݎ߲݂
߲ߐ
߲݂
߲ݖ
ی
ۋ
ۋ
ۊ
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ܽԦ(ܯ)=
ۉ
ۈ
ۈ
ۇ
1ݎ߲ܽ
௭
߲ߴ−߲ܽ
ణ
߲ݖ
߲ܽ
௥
߲ݖ−߲ܽ
௭
߲ݎ
1ݎ߲ݎܽ
ణ
߲ݎ −1ݎ߲ܽ
௥
߲ߴ
ی
ۋ
ۋ
ۊ
݀݅ݒܽԦ(ܯ)=1ݎ߲ݎܽ
௥
߲ݎ +1ݎ߲ܽ
ణ
߲ߴ+߲ܽ
௭
߲ݖ
Exercice 8 : Rotation d’un solide
Soit une hélice en rotation par le passage d’un
écoulement d’air.
On étudie le mouvement circulaire de rayon ݎ d’un point
ܯ de l’hélice tournant à la vitesse angulaire ߱(ݐ)
1) A l’aide du cours de cinématique de 1
e
année,
donner l’expression de la vitesse ݒ
ெ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
/ோ
du
point ܯ dans le référentiel terrestre ܴ.
2) Montrer que le résultat précédent vérifie la
relation ݒ
ெ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
/ோ
=߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)∧ܱܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
où ߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ) est le
vecteur instantanée de rotation donné par
߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)=߱(ݐ)ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
.
3) Montrer que ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒ
ெ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
/ோ
=2߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
4) Que dire d’un écoulement orthoradial et à
symétrie cylindrique tel que ݒԦ=ݎ߱ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
En cylindrique, on obtient rapidement :

Mécanique des fluides TD6 TSI2015-2016
ݒԦ=ݎ߱ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)∧ܱܯ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=൭ 0
0
߱(ݐ)൱∧ቆݎ0
0ቇ
On peut utiliser le formulaire :
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ(ܯ)=൮ 0
0
1ݎ߲ݎ
ଶ
߱
߲ݎ ൲=2߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
Ou, utiliser un contour élémentaire fermé :
݀ܥ=(ݎ+݀ݎ)߱×(ݎ+݀ݎ)݀ߐ−ݎ߱×ݎ݀ߐ=߱݀ߐ×߲ݎ
ଶ
߲ݎ݀ݎ
݀ܥ=2߱ݎ݀ߐ݀ݎ=2߱݀ܵ=ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ.݀ܵԦ
Soit : ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ(ܯ)=2߱ሬ
ሬ
Ԧ
(ݐ)
Si un écoulement possède ce type de rotationnel, il est
donc tourbillonnaire et les particules de fluides ont
tendances à tourner sur elle-même sous l’action des
forces de viscosité (en plus de leur mouvement de
rotation). Son vecteur tourbillon est donc Ω
ሬ
ሬ
Ԧ
=߱ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Exercice 9 : Description d’une tornade
L’écoulement d’une tornade peut être décrit par deux
modèles simplifiés d’un champ des vitesses stationnaire,
orthoradial et à symétrie cylindrique :
A) 1
e
modèle : l’écoulement est irrotationnel en
tout point (sauf en O)
1) Trouver le champ des vitesses à un facteur ܭ
près.
2) Pour le premier modèle, on peut, en dehors de
O, considérer l’écoulement comme
irrotationnel et donc lui associer une fonction
potentiel scalaire ߶ telle que ݒԦ=݃ݎܽ݀
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
߶.
Calculer ߶ à une constante près (prise nulle).
Représenter les lignes de courant et quelques
équipotentielles pour ce 1
e
modèle.
Avec les hypothèses : ݒԦ=൭ 0
ݒ
௾
(ݎ)
0൱ et
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ(ܯ)=ቌ0
0
ଵ
௥డ௥௩
ഛ
డ௥
ቍ soit
డ௥௩
ഛ
డ௥
=0 et ݒԦ=
௄
௥
ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
On peut retrouver ce résultat avec un bilan de
circulation sur un contour élémentaire :
݀ܥ=ݒ(ݎ+݀ݎ)݀ߐ−ݒݎ݀ߐ=݀ߐ×߲ݎݒ
߲ݎ݀ݎ=0
Le potentiel des vitesses du 1
e
écoulement est donné
par :߶=ܭߐ
B) 2
e
modèle : ݒԦ=
௄
௥
ݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
si ݎ>ݎ
଴
et ݒԦ=߱ݎݑ
௾
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
si
<ݎ
଴
. Avec ܭ et ߱ constantes
Déterminer le vecteur tourbillon en fonction
de ߱.
Pour lever ce problème définition, on utilise le 2
e
modèle, plus réaliste :
- Si ݎ<ݎ
଴
: ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ(ܯ)=2߱ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
donc le vecteur
tourbillon est ߱ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
- Si ݎ>ݎ
଴
: ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ(ܯ)=0
ሬ
Ԧ
et le vecteur tourbillon est
nul
Exercice 10 : Problème de physique
Etablir que, si les lignes de champ des vitesses d’un
écoulement stationnaire et homogène (incompressible)
et irrotationnel sont des droites parallèles dans une
région vide de courant, alors ݒԦ est uniforme.
Si ݒԦ=ݒ(ݔ,ݕ,ݖ)݁
௫
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
alors avec ݀݅ݒݒԦ=0 ܤሬ
Ԧ
=ݒ(ݕ,ݖ)݁
௫
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
et
ݎ݋ݐ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ݒԦ=0
ሬ
Ԧ
=
డ௩
డ௬
ݑ
௭
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=
డ௩
డ௭
ݑ
௬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ce qui impose ݒԦ=ݒ݁
௫
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Exercice 11 : Modélisation d’un écoulement autour d’un
obstacle*
Un cylindre immobile de rayon de base ܴ et d’axe ܱݖ est
placé dans un fluide dont l’écoulement loin de cet
obstacle se fait à vitesse uniforme ݒ
଴
ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. Pour étudier
l’effet du cylindre sur l’écoulement supposé
incompressible (de masse volumique ρ) et stationnaire,
on utilise une méthode de superposition.

Mécanique des fluides TD6 TSI2015-2016
L’écoulement est considéré comme l’association d’une
source ܵ en (−݀,0,ݖ) (permettant de « repousser »
l’écoulement) et d’un puits ܲ en (+݀,0,ݖ) (permettant de
contourner l’obstacle), de même débit volumique par
unité de longueur ܦ. On note ܵܯ=ݎ
௦
et ܵܲ=ݎ
௣
.
1) Donner l’expression du potentiel ߶
ௗ
(ݎ
௦
,ݎ
௣
)
associé à ce dipôle source-puits.
2) On envisage la limite du doublet précédente
lorsque ݀→0 et ܦ→∞ de telle sorte que le
produit 2ܦ݀ demeure égal à une valeur finie
notée ݌. Exprimer alors ߶
ௗ
(ݎ,ߐ) en un point ܯ
en repérage cylindrique dans ce cadre.
3) Donner le potentiel ߶
ஶ
(ݎ,ߐ) associé à
l’écoulement de vitesse ݒ
଴
ݑ
௫
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
4) En déduire le potentiel total (߶
௧௢௧
=߶
ௗ
+߶
ஶ
)
et le champ des vitesses associé.
5) Monter qu’un débit volumique nécessairement
nul en ݎ=ܴ conditionne l’expression de ݌
6) Décrire et esquisser les lignes de champ de
cet écoulement.
7) Le cylindre tourne autour maintenant de son
axe ܱݖ. On observe les lignes de champ ci-
dessous. Localiser les zones « à plus grande
vitesse » et « moins grande vitesse »
d’écoulement. Justifier
8) Comment faudrait-il modifier le potentiel
précédent pour tenir compte de la rotation du
cylindre à la vitesse angulaire ߱ autour de son
axe ܱݖ ?
En utilisant les résultats du TD :
߶
ௗ
=ܦ
2ߨ൫݈݊ݎ
௦
−݈݊ݎ
௣
൯=ܦ݈݊ݎ
௦
ݎ
௣
ݎ
௦
=ඥ݀
ଶ
+ݎ
ଶ
+2݀ݎܿ݋ݏߐ≈ݎ൬1+݀ݎܿ݋ݏߐ൰
ݎ
௣
=ݎ൬1−݀ݎܿ݋ݏߐ൰
߶
ௗ
=ܦ
2ߨ݈݊ቀ1+݀ݎܿ݋ݏߐቁ
ቀ1−݀ݎܿ݋ݏߐቁ≈ܦ
2ߨ݈݊൬1+݀ݎܿ݋ݏߐ൰
ଶ
߶
ௗ
=ܦ
2ߨ݈݊൬1+2݀ݎܿ݋ݏߐ൰≈ ݌ 2ߨݎܿ݋ݏߐ
L’écoulement à l’infini est : ݒ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=൬ݒ
଴
ܿ݋ݏߐ
−ݒ
଴
ݏ݅݊ߐ൰ et donc :
߶
௩
బ
=ݒ
଴
ݎܿ݋ݏߐ
Donc le potentiel total est :
߶
௧௢௧
=݌
2ߨݎܿ݋ݏߐ+ݒ
଴
ݎܿ݋ݏߐ
On en déduit le champ des vitesses :
ݒԦ=൮ቀݒ
଴
−݌
2ߨݎ
ଶ
ቁܿ݋ݏߐ
−ቀݒ
଴
+݌
2ߨݎ
ଶ
ቁݏ݅݊ߐ൲
Et si l’on souhait avoir un débit nul sur l’obstacle
imperméable alors la vitesse radiale est nulle ݌=
2ߨݒ
଴
ܴ
ଶ
.
Et donc :
ݒԦ=ݒ
଴
ۉ
ۈ
ۇ
ቆ1−ܴ
ଶ
ݎ
ଶ
ቇܿ݋ݏߐ
−ቆ1+ܴ
ଶ
ݎ
ଶ
ቇݏ݅݊ߐ
ی
ۋ
ۊ
Loin de l’obstacle, on retrouve ݒ
଴
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
. Sur l’obstacle, seule
la vitesse est orthoradiale existe et l’on note deux
points d’arrêt (en ߐ=0 et ߐ=π). Sur l’obstacle la
situation est symétrique ainsi :