Mémoire présenté devant l`ENSAE Paris Tech pour l`obtention du

Mémoire présenté devant l’ENSAE Paris Tech
pour l’obtention du diplôme de la filière Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
18 décembre 2015
Par :
Clémence ABRAHAMIAN
Titre: Volcans, météorites et convergence
Confidentialité :
 NON
 OUI (Durée :  1 an
 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de l’Institut
des Actuaires
signature
Entreprise :
Nom : Scor IP
Signature :
Membres présents du jury de la filière
Directeur de mémoire en entreprise :
Nom : Edern Le Roux
Signature :
Invité :
Nom :
Signature :
Autorisation de publication et de
mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels
(après expiration de l’éventuel délai de
confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat
Signature du candidat
Bibliothèque :
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE)
3, Avenue Pierre Larousse – 92245, MALAKOFF CEDEX, FRANCE
Résumé
Mots clés : catastrophe naturelle, modèle catastrophe, volcan, météorite, quantile, loi
empirique, convergence, période de retour.
Du fait de sa probabilité d’occurrence faible, le risque associé aux éruptions volcaniques
et aux chutes de météorites n’est pas toujours modélisé. Ces catastrophes naturelles sont
malgré tout couvertes dans certains contrats d’assurance et de réassurance.
L’objectif de ce mémoire est de construire pour ces deux périls un modèle catastrophe
permettant de déterminer une distribution de pertes à l’échelle d’un pays et à l’échelle
mondiale.
Ces modèles utilisent le PIB par habitant croisé avec la densité de population pour déterminer l’exposition. La modélisation de l’aléa se base sur une observation de la fréquence
et de la sévérité historique. La vulnérabilité à l’aléa volcanique se base sur des rapports de
destruction pour les événements historiques majeurs. Pour les météorites, la vulnérabilité
est déterminée par le lien entre l’énergie dégagée et le taux de destruction similaire à celui
observé lors d’explosions nucléaires.
On observe une grande volatilité des résultats pour ces périls de faible fréquence et de
sévérité extrême. Une étude des théorèmes de convergence de la distribution empirique
permet de maîtriser cette volatilité. On détermine ainsi un intervalle de confiance pour
chaque période de retour dépendant du nombre d’années de simulation et du modèle
sous-jacent.
Abstract
Key words : natural disaster, catastrophe modelling, volcano, meteorite, quantile, empirical distribution, convergence, return period.
Due to their low occurrence probability, the risks related to volcanic eruptions and
meteorite falls are not always modeled. Still, these natural disasters are covered by some
insurance and reinsurance contracts.
The main goal of this thesis is to build a catastrophe model for these two perils for determining a loss distribution at the country level and at the global scale.
These models use the GDP per capita and the population density in order to determine
the exposure. The hazard modelling is based on observation of the historical frequency
and severity. The vulnerability to volcanic hazard draws on destruction reports about the
significant historical events. For meteorites, vulnerability is determined by the relationship between the total energy released and the destruction rate similar to that observed
in nuclear explosions.
There is a high volatility in results for those perils with low frequency and extreme severity.
Study on convergence theorems for empirical distribution enable to control this volatility.
Thus, it is possible to calculate a confidence interval for each return period depending on
the number of years simulated and the underlying model.
2
Remerciements
Je tiens particulièrement à remercier la SCOR pour m’avoir donné l’opportunité de réaliser
mon stage de fin d’études dans un environnement professionnel de qualité.
J’adresse toute ma gratitude à Edern LE ROUX pour avoir accepté d’encadrer mon mémoire
et pour sa disponibilité, sa pédagogie et ses encouragements.
Je remercie l’équipe ILS de SCOR Investment Partners pour m’avoir accueillie dans leur
équipe.
Je suis reconnaissante à l’INSA de Toulouse ainsi qu’à l’ENSAE pour la qualité de leurs enseignements.
Je tiens également à remercier les stagiaires de la SCOR, notamment Morgane BARDON, Clothilde DAVESNE, Léa MALAPERT, Sara MARZAK et Julie PLOUTON pour leurs conseils,
leurs partages d’expérience et leur sympathie au quotidien.
3
Table des matières
1 Présentation
1.1 Les catastrophes naturelles . . . . . . . . . . . .
1.2 Modèles CAT [12] . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Module exposition . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Module aléa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Module vulnérabilité . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Module financier . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Périls non modélisés . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Couverture assurantielle des périls non modélisés
1.5 Différentes approches de modélisation du risque .
1.5.1 Modélisation basée sur l’historique . . . .
1.5.2 Modélisation purement physique . . . . .
1.5.3 Approche hybride . . . . . . . . . . . . .
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2 Convergence des lois empiriques
2.1 Inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Théorème de Glivenko-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Convergence quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Approximation de la distribution de quantiles empiriques
2.8 Distribution statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Distribution du quantile empirique de loi uniforme . . . .
2.10 Loi du quantile empirique de variables aléatoires . . . . .
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3 Modèle d’éruption volcanique
3.1 Description du risque . . . . . . .
3.1.1 Origine . . . . . . . . . .
3.1.2 Formation et composition
3.1.3 Impact . . . . . . . . . . .
3.2 Modélisation . . . . . . . . . . .
3.2.1 Étapes préliminaires . . .
3.2.2 Module vulnérabilité . . .
3.2.3 Module aléa . . . . . . . .
3.2.4 Module exposition . . . .
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4 Météorites
4.1 Introduction et description du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Evénements historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Étapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Étude de la vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Module aléa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Exposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Evénements historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Étude de la répartition des pertes économiques à l’échelle mondiale
4.3.7 Résultat à l’échelle mondiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.8 Résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.9 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.8
Approche exacte du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Période de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approche par simulation du modèle 1 et étude sur la convergence
3.4.1 Fonctions empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Distribution des quantiles empiriques du modèle . . . . .
Du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 « Fit » de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Distribution des quantiles empiriques . . . . . . . . . . . .
Modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . .
Modèle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des modèles et résultats par pays . . . . . . . . . .
3.8.1 Comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Conclusion
86
Annexes
A
Indice d’explosivité volcanique (VEI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Estimation de paramètres de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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94
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5
Introduction
La plupart des contrats d’assurance et de réassurance couvrent le risque d’exposition aux
catastrophes naturelles. L’occurrence d’une ou plusieurs de ces catastrophes peut causer des
pertes importantes pour l’assureur et le réassureur, voire mettre à mal sa solvabilité.
Afin d’évaluer ce type de risques, les compagnies utilisent des modèles catastrophes (RMS,
EQE, AIR) permettant de simuler des événements naturels et de déterminer leur impact financier sur un portefeuille.
Il existe des modèles pour de nombreux périls comme les ouragans Atlantique et les tremblements de terre Californie mais certaines catastrophes telles que les éruptions volcaniques et
les chutes de météorites ne sont pas encore modélisées.
Ce mémoire s’intéresse au risque induit par une éruption volcanique et au risque consécutif
à un impact météoritique. L’objectif de ce mémoire est de construire pour ces deux périls un
modèle catastrophe permettant de déterminer une distribution de pertes à l’échelle mondiale
et à l’échelle de certains pays.
Les propriétés et théorèmes sur la convergence des fonctions empiriques sont également discutés et un résultat sur la distribution des quantiles empiriques en fonction du nombre de
simulation et du modèle sous-jacent est présenté.
La première partie du mémoire fait l’objet d’une description du contexte de l’étude. En premier
lieu sont introduits les catastrophes naturelles et les modèles CAT associés. En second lieu,
les périls non modélisés sont présentés.
La deuxième partie présente les propriétés sur la convergence des fonctions empiriques et
propose un résultat sur la distribution des quantiles empiriques.
La troisième partie s’intéresse à la modélisation de ces deux périls supercatastrophique : les
éruptions volcaniques et les chutes de météorites. Chacun de ces risques est traité en deux
grandes étapes : une présentation détaillée du risque étudié suivi de la modélisation du péril.
6
1
Présentation
1.1
Les catastrophes naturelles
Les tempêtes, les inondations, les tremblements de terres, les tsunamis, les éruptions volcaniques sont des exemples de phénomènes naturels entraînant des dommages à la fois matériels
et humains. Ces catastrophes sont définies comme naturelles en opposition aux catastrophes
« man-made » causées par l’homme (AZF, Wall Trade Center, Costa Concordia...).
La carte ci-dessous localise les catastrophes naturelles de l’année 2012.
Figure 1.1 : Catastrophes naturelles de l’année 2012
D’un point de vue assurantiel, les catastrophes naturelles sont des sinistres pouvant affecter
un grand nombre de polices. L’assurance et la réassurance interviennent en effet dans l’aide
à l’indemnisation de ce type de dommages.
7
Une distinction est faite entre pertes assurées, pertes économiques et pertes humaines. Les
pertes économiques correspondent au coût total d’une catastrophe naturelle. Elles incluent
les pertes liées aux dommages non assurés (bâtiments publics, centrales nucléaires, franchises
...).
Seule une partie des dommages occasionnés sont couverts par l’assurance. Le taux de pénétration de l’assurance aux catastrophes naturelles dépend notamment du type de biens couverts
(bâtiments publics, automobiles, résidentiel, commercial) et du pays. Par exemple, on estime
qu’en France métropolitaine, 99% [5] des biens résidentiels sont assurés contre le tremblement
de terre alors qu’au Japon, 28% [4] du marché est assuré.
Les tableaux 1.2, 1.3 et 1.4 reflètent ces différentes visions de l’impact des catastrophes naturelles. Le tableau 1.2 représente les événements les plus coûteux depuis 1980 en terme de
pertes économiques. Le tableau 1.3 considère les pertes assurées. Le tableau 1.4 représente les
événements les plus meurtriers de ces 35 dernières années.
Selon la vision de l’impact choisie, les événements recensés ne sont pas les mêmes. L’industrie
de l’assurance et de la réassurance s’intéresse principalement aux dommages assurés.
Figure 1.2 : Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de pertes économiques.
8
Figure 1.3 : Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de dommages assurés
Figure 1.4 : Catastrophes naturelles les plus meurtrières
Un assureur/réassureur s’engage à prendre en charge une partie de ces risques en échange
d’une prime. Les assureurs comme les réassureurs doivent donc comprendre les effets et les
causes de tels événements afin de mieux les anticiper et honorer leurs engagements en cas de
sinistres. Afin d’estimer les impacts financiers liés à ces catastrophes naturelles, des modèles
catastrophes (appelés modèles CAT) ont fait leur apparition dans les années 90. Les principaux
9
modèles CAT sur le marché sont AIR (1987) [1], RMS (1988)[21] et EQE (1994) [6].
1.2
Modèles CAT [12]
Un modèle CAT est chargé d’évaluer l’impact d’un péril naturel sur un portefeuille d’assurance
en prenant en compte la résistance des polices à ce péril (vulnérabilité) et les conditions
financières de ces polices (franchises, limites ...). Tous les modèles CAT sont construits suivant
le même schéma et incluent les modules suivants :
• Module exposition
• Module aléa
• Module vulnérabilité
• Module financier
Figure 1.5 : Schéma de la structure d’un modèle CAT
1.2.1
Module exposition
Ce module est utilisé pour identifier la localisation géographique de chaque police en fonction
des informations fournies. Cette géolocalisation est souvent définie par une adresse et non
des coordonnées géographiques. Il faut alors réussir à faire correspondre à cette adresse des
coordonnées géographiques. On parle de géocodage.
Parfois, une police peut être localisée dans une zone (un département par exemple) et non à
10
un emplacement précis. Le modèle doit alors « désagréger » cette police sur l’ensemble de la
zone. A la fin de l’exécution du module exposition, les polices doivent être positionnées avec
précision sur une carte. Leur emplacement aura un impact direct sur l’exposition à l’aléa.
1.2.2
Module aléa
Le module aléa a pour but de déterminer à quelle fréquence et à quelle intensité le risque
se matérialise. Ce module doit permettre de générer un catalogue stochastique d’événements.
Ce module doit également extrapoler à partir d’un historique de données limité un ensemble
plus large d’événements probables. Le module aléa peut être construit à partir de données
historiques, de modélisation physique ou stochastique1 .
1.2.3
Module vulnérabilité
L’analyse de la vulnérabilité consiste en l’estimation des conséquences d’un aléa sur le plan
économique ou humain. Plus précisément, ce module crée des courbes de vulnérabilité reliant
une intensité physique (vitesse de vent, mouvement de sol, hauteur d’eau...) à un taux de
destruction en fonction des caractéristiques des biens (type de bâtiments, âge du bâtiment...).
Ces fonctions sont croissantes en fonction de l’intensité de l’événement. Elles peuvent être
déterminées à l’aide d’une expertise ingénierie ou d’une analyse des sinistres historiques. Cependant, deux structures ayant les mêmes caractéristiques et subissant un aléa identique ne
réagiront pas toujours de la même façon. Il existe donc une incertitude autour de la valeur
moyenne.
Figure 1.6 : Courbe de vulnérabilité et incertitude, RMS
La courbe de vulnérabilité permet ainsi de déterminer un taux de destruction pour une police
à partir de l’intensité de l’aléa.
1
Cf Section 1.4
11
1.2.4
Module financier
Ce module transforme une perte brute en une perte nette. La perte nette est obtenue en
appliquant à la perte brute les franchises, les limites, les traités de réassurance par risque, la
coassurance... Par exemple, dans le cas où les conditions financières se limitent à l’application
d’une franchise et d’une limite, l’expression de la perte nette est la suivante :
P erteN ette = max(min (P erteBrute − F ranchise, Limite) , 0)
La perte nette est la somme qui est à charge de l’assureur. C’est la perte assurée.
1.3
Périls non modélisés
Certains périls ne sont pas modélisés par les modèles CAT. Ceci peut s’expliquer par différentes
raisons :
• La puissance de calculs nécessaire : Certains risques comme les inondations ou la
grêle doivent être étudiés de façon très précise puisqu’ils varient fortement en fonction
de la localisation (gradient de risque important). La maille d’analyse (en mètres) de ces
risques est d’environ 10m×10m et requière donc des capacités de calcul importantes. Par
exemple, simuler les évènement inondations à une maille 10m×10m en Europe nécessite
de modéliser les interactions physiques entre 1011 cellules.
• La petite probabilité d’occurrence : Les assureurs et réassureurs attachent peu
d’importance à certains périls ayant une faible fréquence d’apparition (éruptions volcaniques, impacts de météorite...).
• Exclusion de la feuille de route des modélisateurs : Certains risques ne sont pas
encore modélisés par les modèles CAT par faute de temps. Les modélisateurs privilégient
certains périls, notamment pour des raisons commerciales. Par exemple, les modèles de
tremblements de terre et d’ouragans aux États-Unis ont été les premiers développés.
Ainsi, les inondations au Canada, les tempêtes en Australie, la grêle en Europe, les éruptions volcaniques, les chutes de météorites... sont des périls peu ou pas modélisés en 2015.
L’occurrence d’une de ces catastrophes peut néanmoins avoir des conséquences majeures pour
l’industrie de l’assurance.
1.4
Couverture assurantielle des périls non modélisés
Certains contrats d’assurance couvrent contre l’occurrence de périls non modélisés.
En France, la loi 82-600 du 13 juillet 1982 relative à l’indemnisation des victimes de catastrophes naturelles introduit la garantie catastrophes naturelles. Voici un extrait de l’article 1
de cette loi :
12
Figure 1.7 : Extrait de la loi 82-600 du 13 juillet 1982
Ainsi, cette garantie assure la couverture de tous les périls naturels, qu’ils soient modélisés ou
non modélisés.
Cependant, la législation autour de la couverture des catastrophes naturelles varie suivant les
pays, voir au sein d’un même pays. Aux États-Unis, il existe par exemple des modalités de
couverture spécifiques pour les tremblements de terre en Californie.
Les périls couverts dans les contrats de réassurance dépendent de l’écriture du contrat. Selon
les contrats, les périls non modélisés peuvent être inclus ou exclus des couvertures. Ci-dessous
un exemple de clause de contrat de réassurance.
Figure 1.8 : Extrait d’un contrat de réassurance
Les contrats d’assurance/réassurance évoluent dans le temps ainsi que le montrent les deux
contrats ci-dessous, les périls concernant les éruptions volcaniques et les chutes de météorites
n’apparaissant qu’en 2015.
13
Figure 1.9 : Évolution des périls couverts dans les contrats de réassurance
1.5
1.5.1
1.5.1.1
Différentes approches de modélisation du risque
Modélisation basée sur l’historique
Approche « burning cost »
L’approche « burning cost » repose sur l’étude historique d’un échantillon de données. C’est
une méthode par expérience basée sur la sinistralité observée dans le passé afin d’estimer la
sinistralité future.
Voici un exemple d’estimation de la perte annuelle moyenne en utilisant l’approche « burning
cost » :
Figure 1.10 : Cas pratique « burning cost »
Le montant de la perte annuelle moyenne selon cette approche représente la moyenne des
pertes par année soit 16 635 544 e.
Ainsi dans cet exemple, l’approche « burning cost » ne modélise pas l’occurrence d’une catastrophe naturelle de perte supérieure à 45 millions d’e. Cette méthode de modélisation
14
purement historique est limitée par les événements antérieurs. Elle ne rend pas compte de
l’ensemble des scénarios probables.
La modélisation des catastrophes naturelles convient mal à une approche « burning cost » car
ce type de péril a généralement une faible fréquence et une forte intensité. Il arrive que l’on
ne dispose pas d’historique de pertes pour ce type de péril.
1.5.1.2
Approches par simulations basées sur l’historique
Ces approches se servent des données historiques afin d’extrapoler de nouvelles données en
générant des événements non observés mais probables.
Figure 1.11 : Exemple de « fit » d’une loi de fréquence à partir de l’historique
Certains modèles peuvent se servir de l’historique des pertes afin de calibrer des lois de
fréquence et de sévérité.
Cependant, l’application de cette théorie sur un échantillon faible (faible historique) conduit à
de fortes incertitudes d’estimations. En d’autres termes, ces techniques statistiques ne garantissent pas forcément la précision physique du catalogue des risques. C’est ici qu’interviennent
les modèles purement physiques comme les modèles climatiques, utilisés depuis longtemps par
la communauté scientifique pour mieux comprendre le système terrestre.
1.5.2
1.5.2.1
Modélisation purement physique
Les modèles climatiques
Les modèles physiques d’évaluation du risque tels que les modèles climatiques permettent de
mieux comprendre le système terrestre et les risques qui sont liés. Ils peuvent être utilisés
15
dans l’évaluation des risques naturels en apportant une précision physique.
Ces modèles sont des copies informatiques de la Terre et résolvent les équations qui régissent
l’atmosphère et les océans. Leur objectif est de reproduire aussi fidèlement que possible
le comportement du climat terrestre. La figure
1.12 illustre la structure en 3D d’un modèle
climatique. Les modèles climatiques peuvent
être utilisés afin de concevoir des modules de
risques liés à des phénomènes climatiques extrêmes complexes.
Les simulations à long terme de ces modèles peuvent produire des événements extrêmes représentatifs des changements climatiques. On peut ainsi créer des modules
de risques spécifiques adaptés au futur environnement de la Terre et réaliser des
études sur l’impact des changements climatiques.
Figure 1.12 : Modèle de climat (ccstib)
En pratique, un modèle purement physique peut
s’avérer trop complexe à appliquer. Actuellement, les modèles climatiques sont utilisés pour des prévisions climatiques mais la résolution
spatio-temporelle des calculs diminue avec le temps de prévision. Les résultats de ces modèles
sont précis à très court terme (1jour), satisfaisants entre 2 et 7 jours et médiocres au-delà.
1.5.2.2
Application à l’évaluation du risque sismique
Des modèles physiques pourraient modéliser de façon plus précise certains risques comme le
risque sismique. Il serait alors possible d’étudier les plaques tectoniques et leur vitesse de
déplacement, leur résistance, la force de tension... Les tremblements de terre et l’intensité
associée pourraient alors être prédits.
1.5.2.3
Application à l’évaluation du risque volcanique
Le risque volcanique pourrait être évalué par des modèles physiques. Pour chaque volcan, il
est possible d’étudier la formation du magma, de suivre précisément l’évolution de la pression
à l’intérieur de la chambre magmatique, d’analyser le type de roches et d’en déduire la probabilité d’éruption et d’explosion. Des scientifiques réalisent d’ailleurs de nos jours ce genre
d’études sur certains volcans et sont capables de faire des prédictions à court terme. Cependant, ces études requièrent du temps, un travail approfondi et des connaissances physiques
poussées. Il faut donc trouver un compromis entre des modèles statistiques et des études
purement physiques.
16
1.5.3
Approche hybride
La plupart des modèles CAT ont aujourd’hui une modélisation hybride. C’est un mélange
entre modèles statistiques et caractéristiques physiques.
Prenons l’exemple d’un modèle ouragan Atlantique classique. Une approche basée sur l’historique peut déterminer le lieu de formation ainsi que la trajectoire de l’ouragan en utilisant les
lieux de formation historiques et leurs trajectoires. Les caractéristiques physiques permettent
ensuite de déduire l’empreinte de vent associée par exemple.
Il serait également possible de déterminer les points de formation d’ouragan de manière hybride : utiliser les ouragans passés afin d’obtenir des historiques de températures à la surface
de l’eau, des profondeurs d’eau et des cisaillements de vent verticaux. Utiliser les caractéristiques physiques afin de créer une fonction de ces différents paramètres pourrait permettre de
simuler la création de ce type de phénomène :
17
2
Convergence des lois empiriques
Ce chapitre rappelle les théorèmes et résultats des lois empiriques puis présente une propriété
sur la distribution des quantiles empiriques1 .
2.1
Inverse généralisé
L’inverse généralisé de la fonction de répartition F de X est défini par :
∀p ∈ [0, 1], FX−1 (p) = inf {x ∈ R : F (x) ≥ p}
Par convention F (−∞) = lim F (x), F (+∞) = 1 et inf ∅ = +∞.
x→−∞
On appelle qp =
2.2
FX−1 (p)
le quantile d’ordre p de la loi de X.
Fonction de répartition empirique
La fonction de répartition empirique d’un échantillon X1 , ..., Xn est définie par
∀x ∈ R, Fn (x) =
2.3
n
1X
1
.
n i=1 (Xi ≤x)
Théorème de Glivenko-Cantelli
Soit X1 , ..., Xn une suite de variables aléatoires i.i.d. de fonction de répartition F et soit Fn
la fonction de répartition empirique de F . Alors
p.s.
a) ∀x ∈ R, Fn (x) −→ F (x);
n→∞
p.s.
b) sup|Fn (x) − F (x)| = ||Fn − F ||∞ −→ 0
n→∞
x∈R
D’après le théorème de Glivenko-Cantelli la fonction de répartition empirique converge presque
sûrement vers la fonction de répartition théorique.
1
Informations tirées de [30, 3, 7, 8, 13]
18
2.4
Statistique d’ordre
Soit X1 , ..., Xn une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. (X(1,n) , ..., X(n,n) )
est la statistique d’ordre obtenue après réarrangement croissant de l’échantillon. On a donc :
X(1,n) ≤ X(2,n) ≤ ... ≤ X(n,n)
avec X(1,n) = min(X1 , X2 , ..., Xn ) et X(n,n) = max(X1 , X2 , ..., Xn ).
Ainsi la statistique d’ordre de rang i d’un échantillon correspond à la i-ème plus petite valeur.
2.5
Quantiles empiriques
Avec les notations précédentes, on définit le quantile empirique d’ordre p de l’échantillon
X1 , ..., Xn noté Qn,p = Fn−1 (p) comme étant
Qn,p = limX([np−]+1,n)
→0
(
=
X(np,n)
si np est entier
X([np]+1,n)
sinon.
où [np] désigne la partie entière de np.
2.6
Convergence quantiles empiriques
Soit p ∈ [0, 1]. Lorsque F est continue strictement croissante, la suite des quantiles empiriques
converge presque sûrement vers les quantiles théoriques qp . Autrement dit
p.s.
Qn,p −→ qp
n→∞
2.7
Approximation de la distribution de quantiles empiriques
Voici un résultat sur la convergence des quantiles empiriques qui permet de connaître la vitesse
de convergence.
Soit un échantillon X1 , ..., Xn , on a p ∈]0, 1[ et qp le quantile théorique d’ordre p. On suppose
que ∀i ∈ {1...n}, Xi possède une densité f continue en qp telle que f (qp ) > 0. On se place
dans le cas où np est entier. X(k,n) = X(np,n) est la statistique d’ordre de rang k et correspond
au quantile empirique d’ordre p pour un nombre de simulation n. On a la convergence en loi
suivante :
!
p(1 − p)
Loi
X(np,n) − qp −→ N 0,
n→∞
nf 2 (qp )
On en déduit que pour n assez grand,
V ar(X(np,n) ) =
p(1 − p)
−→ 0
nf 2 (qp ) n→∞
19
2.8
Distribution statistique d’ordre
Soit X1 , ...Xn un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de fonction de répartition FX . La fonction de répartition de la k-ème statistique d’ordre
est alors :
P X(k,n) ≤ x) = FX(k,n) (x) = P (au moins k des n X sont ≤ x)
=
=
n
X
j=k
n
X
j=k
!
n
P(X1 ≤ x)j (1 − P(X1 ≤ x))n−j
j
!
n
F (x)j (1 − F (x))n−j
j
En dérivant FX(k,n) (x) par rapport à x, la densité suivante est obtenue :
!
n
fX(k,n) (x) = k
F (x)k−1 (1 − F (x))n−k f (x)
k
2.9
Distribution du quantile empirique de loi uniforme
Proposition.
Soit X1 , ..., Xn un n-échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme U[0, 1].
On définit k tel que
(
[np] si np entier
k=
[np] + 1 sinon
Alors, le quantile empirique d’ordre p correspond à la k-ème statistique d’ordre et suit une loi
Beta : B(k, n − k + 1)
Démonstration.
X1 , ..., Xn ∼ U[0, 1].
(
f (x) =
F (x) =
1 ∀x ∈ [0, 1]
0 sinon.



 0 ∀x < 0
x ∀x ∈ [0, 1[


 1 ∀x ≥ 1
20
800 1000
600
0
200
400
Densité
n=10 000
0.997
0.9972
0.9974
0.9976
0.9978
0.998
0.9982
0.9984
0.9986
0.9988
0.999
0.9992
0.9994
0.9996
0.9998
1
0.9988
0.999
0.9992
0.9994
0.9996
0.9998
1
0.9988
0.999
0.9992
0.9994
0.9996
0.9998
1
Tirages
2500
1500
0
500
Densité
3500
n=100 000
0.997
0.9972
0.9974
0.9976
0.9978
0.998
0.9982
0.9984
0.9986
Tirages
20000
0
10000
Densité
30000
40000
n=10 000 000
0.997
0.9972
0.9974
0.9976
0.9978
0.998
0.9982
0.9984
0.9986
Tirages
Figure 2.1 : Densité de loi Beta pour différentes valeurs de n et p = 0.999
!
n
F (x)k−1 (1 − F (x))n−k f (x)
fX(k,n) (x) = k
k
!
n k−1
=k
x (1 − x)n−k
k
n!
=k
xk−1 (1 − x)n−k
k!(n − k)!
n!
=
xk−1 (1 − x)n−k ∼ B(k, n − k + 1)
(k − 1)!(n − k)!
2.10
Loi du quantile empirique de variables aléatoires
Proposition.
Soit X1 , ..., Xn un échantillon de variables aléatoires de fonction de répartition FX . Alors,
∀p ∈ [0, 1], ∀n ∈ N, la fonction de répartition du quantile empirique Qn,p de X s’écrit :
21
FQn,p (x) = FZ (FX (x)) où Z ∼ B(k, n − k + 1)
On rappelle que k est défini tel que
(
k=
[np] si np entier
[np] + 1 sinon
Figure 2.2 : Illustration de la distribution du quantile empirique
Soit Qn,p = FX−1 (U(k,n) , alors la fonction de répartition de Qn,p s’écrit :
FQn,p (x) = P(Qn,p ≤ x) = P(FX−1 (U(k,n) ) ≤ x)
= P(FX (FX−1 (U(k,n) )) ≤ FX (x))
= P(U(k,n) ≤ FX (x))
= FU(k,n) (FX (x))
U(k,n) représente la k-ème statistique d’ordre d’un échantillon de loi uniforme U[0, 1] et suit
une loi Beta B(k, n − k + 1).
22
La distribution du quantile empirique s’obtient par composition de la fonction de répartition
d’une loi Beta correctement paramétrée (en fonction du nombre d’années de simulation n et
de l’ordre du quantile) et de la fonction de répartition de X. En dérivant FQn,p , l’expression
suivante de la densité fQn,p est obtenue :
fQn,p (x) = FU0 (k,n) (FX (x)) × FX0 (x)
= fU(k,n) (FX (x)) × fX (x)
23
3
Modèle d’éruption volcanique
Après une description du phénomène physique et des exemples historiques, l’objectif de cette
partie est la modélisation d’éruptions volcaniques.
3.1
Description du risque
Le nombre exact de volcans dans le monde est inconnu. Environ 1 500 volcans sont connus
pour avoir été actifs au cours des 10 000 dernières années. On observe en moyenne 50 à 70
éruptions dans le monde chaque année. Les informations ci-après sont tirées de [22, 25, 28].
3.1.1
Origine
La Terre est composée de plusieurs
couches comme le montre la figure 3.1.
Le noyau est divisé en deux parties ;
la partie externe du noyau est à l’état
fondu, alors que la partie interne est
à l’état solide. Autour, on distingue le
manteau inférieur et le manteau supérieur. La croûte terrestre englobe cet ensemble.
Deux phénomènes sont à l’origine de la
création des volcans :
- Lorsque les plaques tectoniques se déplacent au-dessus d’un point chaud fixe
très profond, on parle de volcanisme de
point chaud. Les îles volcaniques dans les
océans sont de ce type. C’est le cas par
exemple de l’île de la Réunion ou de l’arFigure 3.1 : Structure interne de la Terre
chipel d’Hawaï.
- Lorsqu’une plaque océanique s’enfonce
sous une plaque continentale ou sous une autre plaque océanique, ce phénomène entraîne la
formation d’une cordillère ou d’un arc insulaire. On parle alors de volcanisme de subduction.
La ceinture de feu du Pacifique (Ring of Fire) est constituée d’arcs volcaniques.
Le magma est un mélange de gaz et de roches en fusion. Il est issu de la fusion d’une partie
des roches du manteau supérieur et de la croûte terrestre. On retrouve dans le magma de
24
la vapeur d’eau, du dioxyde de carbone et du dioxyde de soufre. La viscosité du magma
dépend de sa température, de sa teneur en eau, de sa teneur en gaz, de son acidité et de la
présence de sodium, calcium, magnésium et de fer. L’acidité dépend de sa teneur en silice. Un
magma acide a une viscosité élevée, il est riche en silice (plus de 66%). L’évolution du magma
est différente en fonction de sa composition et de sa localisation. On différencie le magma
basaltique, andésitique et rhyolitique. Le magma tend à remonter à la surface puisqu’il est
moins dense que les roches qui l’entourent (la densité du manteau est de 3.4 et celle du magma
de 2.9). Lors de sa remontée, il peut s’accumuler à certains endroits appelés les chambres
magmatiques. Lors d’une éruption, le magma remonte de la chambre magmatique à la surface
par la cheminée volcanique.
3.1.2
Formation et composition
Il y a deux grandes catégories d’éruptions :
les éruptions effusives et les éruptions explosives :
- Les volcans effusifs résultent du phénomène
de point chaud. Le magma des éruptions effusives peut atteindre 1 200◦ ) et est plutôt fluide.
Il contient peu de silice (environ 45%). Quand
une éruption survient, le magma sort aisément
et produit ainsi des coulées de laves relativement
calmes. Le magma fluide engendre des roches basaltiques.
Figure 3.2 : Schéma d’un volcan
- Les volcans explosifs sont la conséquence d’un
phénomène de subduction. Le magma des éruptions explosives est moins chaud (800◦ ) mais
plus visqueux. Ce type de magma contient beaucoup de silice (70%). Lorsque le magma
remonte dans la cheminée, un dôme se crée et la pression à l’intérieur du volcan augmente
jusqu’à ce qu’une explosion ait lieu. Le magma des volcans explosifs engendre des roches
volcaniques de type andésites.
25
3.1.3
3.1.3.1
Impact
Effets des éruptions
- Les coulées de lave sont des coulées de roche en fusion (1000◦ ).
Elles détruisent tout sur leur passage
mais avancent lentement (environ 100
m/h). Elles sont caractéristiques des
éruptions effusives.
- Les coulées de nuées ardentes (ou
pyroclastiques) sont des nuages de
gaz et de tephra se déplaçant à très
grande vitesse (200 à 600 km/h) et de
haute température (100◦ -500◦ ). Le tephra est un mélange de particules de
roches et de cendres.
- Phénomènes supplémentaires : Les
coulées de lahars, mélange d’eau et
de débris de roches s’ajoutent parfois
à l’éruption. Elles peuvent s’apparenter à des coulées de boue. De plus,
une éruption volcanique peut être à
l’origine d’un séisme ou, si elle se produit dans la mer et proche des côtes,
à l’origine d’un tsunami.
3.1.3.2
Figure 3.3 : Éruption du Lascar, Chili (1993)
Exemples de dégâts historiques
Ce paragraphe présente quelques exemples d’éruptions historiques et leurs impacts :
• L’éruption du Mont Pinatubo, Philippines (1991)
Elle est l’éruption de VEI 61 la plus récente et éjecta 10 km3 de magma. Environ 17 Mt de
SO2 furent injectés dans la stratosphère. Le nuage de cendres recouvrit plus de 300 000 km2.
400 km2 de terres furent totalement brûlées par les lahars. 2 000 km2 furent recouverts de
10cm de cendres et 120 000 km2 d’au moins 10mm. Cette éruption eut un impact sur les
températures mondiales avec un refroidissement global de 0.6◦ dans l’hémisphère Nord.
1
Le VEI mesure l’intensité de l’explosion. Pour une description détaillée du VEI, se référer à l’Annexe 1
26
• L’éruption du Mont Tambora, Indonésie (1815)
L’éruption du Mont Tambora est la plus récente éruption de VEI 7. Le son de l’explosion
fut entendu à plus de 2 600 km du volcan. L’explosion fut 52 000 fois plus puissante que le
bombardement d’Hiroshima [11] et environ 10 000 personnes furent directement tuées. Cette
éruption dégagea plus de 100 km3 de matériaux dans l’atmosphère et environ 400 000 km2
furent recouverts d’au moins 10 mm de tephra. Les rejets de SO2 dans l’atmosphère furent tels
que le climat mondial subit en moyenne un refroidissement de 3◦ . L’année 1816 fut appelée
l’année sans été. Selon [20], le bilan humain de cette catastrophe a été estimé à plus de 100
000 morts.
Figure 3.4 : 1816, l’année sans été
• L’éruption du Krakatoa, Indonésie (1883)
L’intensité de l’éruption de 1883 du Krakatoa est estimée de VEI 6. Les explosions furent
entendues à plus de 5 000 km. Le Krakatoa rejeta environ 20 km3 de matériaux. Cette annéelà, les températures moyennes mondiales chutèrent de 1.2◦ C. Une des particularités de cette
éruption fut la succession de tsunamis qui suivirent l’éruption. La vague la plus haute atteingnit 47m. Le bilan humain fut catastrophique, le nombre de victimes étant estimé à plus de
30 000 morts.
• L’éruption du Mont St. Helens, États-Unis (1980)
Le Mont St Helens se trouve dans l’Etat de Washington. L’éruption de 1980 de VEI 5 est
l’éruption récente la plus importante aux États-Unis2 . L’explosion dégagea une énergie équivalente à 1 600 fois celle d’Hiroshima. 1.2 km3 de matériaux furent rejetés et de la cendre se
propagea sur plus de 57 000 km2 . 57 personnes furent tuées et les pertes économiques ont été
estimées entre deux et trois milliards de dollars.
2
dans les 48 États continentaux hors Alaska
27
• Caldeira de Yellowstone, États-Unis
Figure 3.5 : Localisation de la Caldeira de Yellowstone
La Caldeira de Yellowstone au nord-ouest des Etats-Unis est également appelée le super-volcan
de Yellowstone. S’étendant sur trois Etats (Wyoming, Idaho et Montana), c’est l’un des plus
grands super-volcans du monde, capable de produire une éruption de VEI 8. Trois éruptions
historiques furent de cette intensité et sont à l’origine de la formation de la caldeira : la plus
violente connue s’est déroulée il y a 2.1 millions d’années, rejetant 2 450 km3 de matières.
Une seconde éruption il y a 1.2 million d’années émit 280 km3 de matières volcaniques. Une
troisième connue sous le nom de l’éruption de Lava Creek s’est produite il y a 640 000 ans et
rejeta 1 000 km3 de matériaux.
• Le volcanisme en France
Le risque volcanique concerne principalement les DOM-TOM : Guadeloupe, Martinique et
Réunion. Des volcans en sommeil sont présents en Polynésie française et en métropole dans
le Massif Central. A titre d’exemple, l’éruption de la montagne Pelée en 1902 est à l’origine de la disparition de la ville de Saint-Pierre en Martinique. C’est une des éruptions les
plus meurtrières du XXème siècle (30 000 victimes). Le Piton de la Fournaise sur l’île de la
Réunion est reconnu comme l’un des volcans les plus actifs de la planète ; ses éruptions sont
fréquentes (plusieurs fois par an) mais de faible intensité. En métropole, on peut citer les
volcans d’Auvergne considérés comme éteints.
28
3.2
Modélisation
Cette partie a pour objectif d’évaluer le risque volcanique en modélisant les éruptions les plus
destructrices (VEI ≥ 6). Les étapes de la modélisation sont similaires à celles des modèles
CAT. Après avoir créé la base de données, les taux de destruction seront déterminés dans
le module vulnérabilité. Le module aléa associera la probabilité d’occurrence d’une éruption
extrême à un aléa géographique. Le module exposition utilisera la densité de population ainsi
que le PIB par habitant pour finalement pouvoir estimer les pertes associées.
3.2.1
3.2.1.1
Étapes préliminaires
Création de la base de données
L’objectif est de créer une base de données des éruptions volcaniques de VEI ≥ 6.
La recherche a été effectuée à partir de plusieurs sources disponibles sur internet. Afin de
maximiser la fiabilité de la base de données, les éruptions retenues sont les éruptions citées
par plusieurs sources [22, 25, 27, 9, 26]. La figure 3.6 est un extrait de cette base.
Figure 3.6 : Extrait de la base de données
Pour chaque éruption, le VEI, le nom, l’année, le lieu et les coordonnées correspondantes sont
renseignés. Cette base compte 93 éruptions de VEI ≥ 6 sur plusieurs millions d’années.
3.2.1.2
Discrétisation de la Terre
La surface de la Terre est divisée en 64 800 carrés. Chaque carré représente 1◦ de longitude et
1◦ de latitude. Le périmètre de la Terre est de 40 075 km à l’équateur et correspond à 360◦ .
Par conséquent, un degré équivaut à 111,32km à l’équateur. 1◦ de latitude correspond toujours
à 111,32km mais 1◦ de longitude varie selon la latitude. 1◦ de longitude à une latitude de 60◦
(latitude de Saint-Pétersbourg par exemple) correspond environ à 55,8km. La discrétisation
de la Terre dans le modèle ne prend pas en compte ce phénomène et divise la Terre en carrés
de 100km par 100km quel que soit la longitude et la latitude. On considérera donc par la suite
que l’aire de chaque carré est égale à 10 000 km2 . La superficie totale de la Terre à partir du
modèle est donc de 650 millions de km2 . En comparaison, la superficie réelle de la Terre est
510 millions de km2 .
29
3.2.1.3
Détection des pays
Il faut associer chaque carré à un pays. Pour ce faire, on teste tout d’abord si le centre de
chaque cellule correspond à un pays. Pour tous les carrés dont le centre n’appartient à aucun
pays, on procède au même test en considérant cette fois-ci le coin Nord-Ouest du carré. Ainsi
de suite pour les trois autres coins du carré. A la fin de ces tests, tous les carrés ayant au moins
une portion dans un pays sont rattachés à ce pays. La figure 3.7 illustre cette méthodologie.
Figure 3.7 : Illustration de la méthodologie de détection des pays
Cette méthode teste si chaque carré est dans un pays ou non. Cependant, lorsqu’un pays est
partiellement dans le carré, toute l’aire du carré est identifiée comme faisant partie de ce pays.
C’est le cas dans l’illustration ci-dessus avec la France. Une approximation de la superficie est
donc introduite par cette méthode.
Voici une comparaison entre la superficie réelle et celle estimée pour certain pays.
Figure 3.8 : Comparaison de la superficie de certains pays
Ce phénomène sera amplifié pour les formes de pays non régulières ainsi que pour les îles. Au
total, 23866 carrés sur 64800 sont rattachés à un pays. Ceci équivaut à 36% de la planète, un
nombre supérieur à la proportion réelle connue qui est de 29%.
3.2.2
Module vulnérabilité
Ce module a pour but d’estimer le taux de destruction lié à une éruption volcanique de VEI
élevé. La destruction est estimée en étudiant les dégâts des éruptions historiques de VEI≥ 6.
30
L’éruption du Mont Tambora en 1815, de VEI 7, dégagea environ 100km3 de matières. Des
dépôts de cendres volcaniques d’au moins un mètre furent enregistrés dans un rayon de 75km
autour du volcan.
Figure 3.9 : Destruction estimée de l’éruption du Mont Tambora (1815)
L’éruption du Pinatubo en 1991, de VEI 6, dégagea environ 10km3 de matériaux dans l’atmosphère. Les 2 000 km2 alentour furent recouverts d’au moins 10 cm de cendres. Deux bases
militaires américaines qui se trouvaient dans la région ont été sévèrement endommagées. Elles
étaient situées respectivement à 75 km SO et 25 km E de l’éruption.
31
Figure 3.10 : Destruction estimée du Pinatubo (1991)
D’après ces informations historiques, on supposera par la suite que le taux de destruction d’une
éruption volcanique de VEI élevé est de 40%
dans un rayon de 50 km autour du volcan. Les
100 km supplémentaires alentour seront supposés partiellement détruits (1%). La figure 3.11
schématise la matrice de destruction correspondante.
La perte totale en chaque carré sera calculée comme Figure 3.11 : Schéma de matrice de desla somme des pertes des carrés endommagés, en truction
utilisant la matrice de destruction.
32
3.2.3
3.2.3.1
Module aléa
Probabilité d’occurrence
La base de données créée recense 54 éruptions de VEI 6, 30 éruptions de VEI 7 et 9 éruptions
de VEI 8 remontant à plusieurs millions d’années. La base de données est plus précise pour
les époques récentes. On constate une augmentation de la fréquence avec le temps comme le
montre la figure ci-dessous sur les éruptions de VEI 6.
Figure 3.12 : Évolution dans le temps du nombre d’éruptions volcaniques
Selon la base, 21 éruptions de VEI 6 se sont produites durant les 2 derniers millénaires. Seulement 11 éruptions ont eu lieu durant les 2 millénaires précédents. Entre 2 000 et 4 000 ans
avant notre ère, 4 éruptions sont recensées dans cette base. Il n’y a pas de raison justifiée pour
que le nombre d’éruptions augmente avec le temps. Ceci peut en revanche s’expliquer par
une meilleure observation des éruptions récentes, toutes les anciennes éruptions n’ayant pas
encore été découvertes à ce jour. C’est pourquoi l’étude de la fréquence de ce type d’éruption
sera réalisée sur l’historique des 2 000 dernières années.
Sur cet historique, la base de données indique 21 éruptions de VEI 6 et 4 éruptions de VEI
7. Au total, 25 éruptions de VEI ≥ 6 se sont produites sur les 2 000 dernières années ce qui
donne donc une probabilité d’occurrence de 25/2000 = 0.0125.
Ainsi, la probabilité qu’il y ait une éruption de VEI ≥ 6 dans l’année est de p6/7 = 0.0125. La
probabilité que l’intensité soit de VEI 6 sachant que l’éruption a eu lieu est p6 = 21/25 = 0.84
et la probabilité qu’elle soit de VEI 7 est p7 = 4/25 = 0.16.
33
Par la suite, on ne fera pas de distinction entre la destruction d’un VEI 6 et d’un VEI 7 :
on supposera donc que la probabilité d’occurrence d’une éruption de VEI élevé est 0.0125
en appliquant la matrice de destruction déterminée dans le module vulnérabilité (mélange de
VEI 6 et de VEI 7).
3.2.3.2
Aléa géographique
L’aléa géographique concerne l’étude de la répartition des volcans dans le monde.
Figure 3.13 : Répartition des volcans dans le monde
La base de données utilisée contient 1578 volcans et provient de [18, 25].
On calcule la probabilité que l’éruption ait lieu dans un carré donné. S’il n’y a pas de volcan
dans un carré, alors la probabilité est de zéro. 811 carrés sont de probabilité non nulle c’est-àdire sont des zones à volcan. Certains carrés peuvent compter jusqu’à 14 volcans selon la zone.
Remarque : La probabilité d’occurrence est calculée sur un historique d’éruptions de VEI
supérieur ou égal à 6. On fait donc l’hypothèse que tous les volcans dans la base de données
sont susceptibles de générer une éruption d’une telle intensité.
3.2.4
Module exposition
L’objectif est d’associer un PIB (Produit Intérieur Brut) à chaque carré en utilisant la densité
de population et le PIB par pays.
34
3.2.4.1
Étude sur la densité de population
La base de données pour la densité de population utilisée est tirée de la NASA [16]. C’est un
format « raster » de résolution 1◦ . Il faut étendre le « raster » au même format que celui des
probabilités d’éruption et ainsi obtenir 64800 cellules. Le nombre d’habitants par carré est
obtenu en multipliant chaque cellule de densité par l’aire de chaque carré soit 10 000 km2 .
La méthode de discrétisation de la Terre entraîne une approximation du nombre d’habitants.
La population mondiale estimée est de 9 694 328 737 habitants pour une population mondiale
réelle d’environ 7 330 675 000.
3.2.4.2
Étude du PIB par habitant
Rappelons que le PIB est un indicateur économique de la richesse produite par année dans
un pays donné. Le PIB par habitant mesure le niveau de vie des habitants d’un pays.
La base de données utilisée provient de la banque mondiale [24]. Elle indique les PIB par pays.
En superposant le « raster » de détection des pays et celui du PIB par pays, on obtient le PIB
par habitant pour chaque cellule du « raster ». On peut ainsi en déduire le PIB de chaque
carré en multipliant le PIB par habitant par le nombre d’habitants dans chaque carré. La
richesse de chaque carré sera supposée par la suite égale au PIB par carré.
Le PIB obtenu est une approximation. La figure ci-dessous compare le PIB par pays issu de
nos approximations au PIB par pays issu de la base de données pour certains pays.
Figure 3.14 : Comparaison du PIB de certains pays
Les PIB estimés sont tous supérieurs aux réels. Ceci est lié à la surestimation de la superficie
des pays.
Ce module permet ainsi d’estimer le coût de chaque carré. Le taux de destruction du module
vulnérabilité pourra être appliqué sur ces coûts.
35
3.3
Approche exacte du modèle 1
3.3.1
Principes et hypothèses du modèle
Il ne peut y avoir qu’une éruption dans l’année avec probabilité d’occurrence p. La probabilité
d’occurrence pour une éruption de VEI ≥ 6 est p = 0.0125. On rappelle qu’aucune distinction
n’est faite sur les pertes engendrées par des éruptions de VEI 6 ou 7. La matrice de destruction
considérée est celle présentée dans le module vulnérabilité de la section précédente. Le modèle
s’écrit :
(
X=
C si I = 1
0 si I = 0
X est une variable aléatoire représentant la perte annuelle.
I est une variable aléatoire de Bernoulli représentant l’occurrence d’une éruption dans l’année.
I ∼ Bern(p) avec p = 0.0125.
C représente la loi de coût lorsqu’une éruption survient. C dépend de la localisation des
volcans3 .
I supposé ⊥
⊥ C.
3.3.2
Fonction de répartition
La fonction de répartition globale des pertes annuelles à l’échelle mondiale s’écrit en fonction
de la fonction de répartition de la loi de coût. Cette fonction de répartition peut s’écrire
simplement. En effet,
P(X ≤ x) = P(X ≤ x|I = 1)P(I = 1) + P(X ≤ x|I = 0)P(I = 0)
= p × P(C ≤ x) + (1 − p)
= p × FC (x) + (1 − p)
p est la probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption de VEI ≥ 6.
C est la loi de coût lorsqu’une éruption a lieu.
FC (x) représente la fonction de répartition de la loi de coût.
FC (x) = P (C ≤ x) =
64800
X
P(Cj ≤ x|J = j) ∗ P(J = j)
j=1
Il y a 64800 lieux d’éruptions possibles.
Cj représente le coût lorsque l’éruption survient dans le carré j. J est donc à valeurs dans
{1, ..., 64800} et P(J = j) = pj est la probabilité que l’éruption ait lieu dans le carré j.
La figure ci-dessous présente la fonction de répartition de cette loi de coût.
3
cf 2.2.3 Aléa géographique
36
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Probability
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
50
100
200
300
400
500
600
Costs ($bn)
Figure 3.15 : Fonction de répartition de la loi de coût
Si une éruption de VEI ≥ 6 a lieu, la probabilité que son coût soit supérieur à 10 milliards de
dollars est environ égale à 10%.
Figure 3.16 : Décomposition du coût maximal ($ md)
37
Les coûts varient entre 0 et 611 milliards de dollars. Le coût maximal de 611 milliards correspond à la perte si une éruption de VEI ≥ 6 a lieu aux alentours de Tokyo.
D’après les taux de destruction d’une éruption de VEI ≥ 6, si la zone de Tokyo est touchée
par une éruption de cette intensité, la destruction à 40% de cette zone entraînerait un coût
de 600 milliards de dollars. En ajoutant les coûts des zones adjacentes, la perte totale liée à
une éruption dans cette zone (carré vert sur la figure 3.16) serait de 611 milliards de dollars.
La figure 3.17 représente la fonction de répartition de la perte annuelle dans le modèle.
Figure 3.17 : Fonction de répartition de la perte annuelle
La probabilité que la perte annuelle soit supérieure à 10 milliards de dollars est de 0.122%.
En effet,
P(X ≤ x) = p × FC (x) + (1 − p)
Et pour x = 10 milliards, P(X ≤ x) = 0.9987801 donc P(X > x) = 1 − P(X ≤ x) = 0.122%.
38
3.3.3
Période de retour
La fonction de répartition du modèle peut être représentée en fonction des périodes de retour.
La perte associée à une période de retour T est définie comme étant :
Perte (T ) =
FX−1
1
1−
T
Un évènement entraînant une perte x de période de retour de 100 ans signifie que cet événement a une probabilité de 1/100 = 1% de dépasser x dans l’année.
600
500
Costs ($ bn)
400
300
200
100
0
100
200
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
40 000
100 000
Return Period (years)
Figure 3.18 : Pertes en fonction des périodes de retour du modèle 1
Une période de retour de T années correspond au quantile d’ordre 1 − T1 . Ainsi, la période
de retour de 1 000 ans correspond dans le modèle 1 au quantile d’ordre 0.999 et sa valeur
est de 12.68 milliards de dollars. Le quantile d’ordre 0.9999 correspondant à une période de
retour de 10 000 ans est 103.36 milliards de dollars.
On dispose de la fonction de répartition exacte du modèle 1. Nous allons nous servir de ce
modèle pour étudier la convergence d’une approche par simulation pour ce type d’événement
(faible fréquence/sévérité extrême).
39
3.4
Approche par simulation du modèle 1 et étude sur la
convergence
Une simulation représente une année et n correspond au nombre d’années de simulations
effectuées. Comme dans la partie précédente, chaque année a une probabilité p = 0.0125
d’entraîner une éruption. Les années où une éruption survient, la perte associée est tirée
aléatoirement en fonction de la probabilité liée à la répartition géographique des volcans. Une
année sans éruption n’entraîne pas de perte.
3.4.1
3.4.1.1
Fonctions empiriques
Fonction de répartition empirique
La figure ci-dessous représente 20 fonctions de répartition empirique créées à partir de 100
000 années de simulation.
Figure 3.19 : Fonctions de répartition empirique pour 100 000 années de simulation
40
3.4.1.2
Période de retour empirique
La figure 3.20 représente les pertes du modèle 1 en fonction des périodes de retour à partir de
100 000 années et 10 millions d’années de simulations. La courbe rouge est la courbe théorique.
n=100 000
700
600
Costs ($ bn)
500
400
300
200
100
0
100
200
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
40 000
100 000
10 000
20 000
40 000
100 000
Return Period (years)
n=10 000 000
700
600
Costs ($ bn)
500
400
300
200
100
0
100
200
500
1 000
2 000
5 000
Return Period (years)
Figure 3.20 : Comparaison des pertes en fonction des périodes de retour pour 100 000 et 10
millions d’années de simulation
La figure 3.20 illustre la convergence des quantiles empiriques4 . Ce phénomène n’est pas vérifié
aux points de discontinuité (fonction de répartition discrète). Le paragraphe suivant étudie la
distribution des quantiles empiriques de ce modèle.
3.4.2
Distribution des quantiles empiriques du modèle
Cette partie s’intéresse à la distribution des quantiles empirique du modèle 1.
On prend l’exemple de la distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999 suivant le
nombre d’années de simulation n.
4
Cf chapitre 2
41
On rappelle5 l’expression de la fonction de répartition du quantile Qn,p :
FQn,p (x) = FU(k,n) (FX (x))
On rappelle que k est défini tel que :
(
k=
[np] si np entier
[np] + 1 sinon
U(k,n) représente la k-ème statistique d’ordre d’un échantillon de loi uniforme U[0, 1] et suit
une loi Beta B(k, n − k + 1).
La distribution du quantile peut alors être déterminée pour différentes valeurs de n.
0.1
0
0.05
probabilité
0.15
0.2
n=10 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
valeur du quantile ($ md)
0.25
0.15
0
0.05
probabilité
0.35
n=100 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
valeur du quantile ($ md)
0.3
0.2
0.1
0
probabilité
0.4
0.5
n=10 millions
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
valeur du quantile ($ md)
Figure 3.21 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
5
Cf section 2.10
42
Remarques sur la distribution du quantile empirique
La valeur théorique du quantile d’ordre 0.999 est 12.68 milliards de dollars. Pour n=10 millions
années de simulation, le quantile d’ordre 0.999 prend trois valeurs avec probabilité non nulle :
11, 13 et 14.5 milliards. Les sauts s’expliquent par la fonction de répartition du modèle 1. La
loi de ce modèle est discrète et comporte des zones de discontinuité :
F (X ≤ 10.86) = 0.9989861
F (X ≤ 12.68) = 0.9990019
F (X ≤ 14.31) = 0.9990098
La figure 3.22 représente un zoom de la fonction de répartition entre les probabilités 0.998 et
1. Le cercle gris cible une zone de forte discontinuité autour de 12 milliards de dollars.
Figure 3.22 : Zoom de la fonction de répartition du modèle 1
La figure 3.23 représente la distribution du quantile pour 1 milliard et 10 milliards d’années de
simulations. Le quantile prend alors respectivement deux valeurs avec probabilité non nulle,
puis, une unique valeur correspondant au quantile théorique.
43
0.75
0.6
0
0.15
0.3
0.45
probabilité
0.6
0.45
0
0.15
0.3
probabilité
0.75
0.9
n=10 milliards
0.9
n=1 milliard
1
3
5
7
9
11
14
17
20
23
26
29
1
3
5
7
9
valeur du quantile ($ md)
11
14
17
20
23
26
29
valeur du quantile ($ md)
Figure 3.23 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
Ayant déterminé la distribution du quantile en fonction de n, l’espérance et la variance peuvent
être calculées en utilisant les probabilités associées à chaque quantile.

f
X



E[Q
]
=
yi pi

n,p


i=1
f


X

2


E[Q
]
=
yi2 pi

n,p
i=1
y1 , ..., yi , ..., yf correspondent aux quantiles associés aux probabilités p1 , ..., pi , ..., pf .
V ar(Qn,p ) = E[Q2n,p ] − E[Qn,p ]2 =
f
X
yi2 pi − (
i=1
f
X
yi pi )2
i=1
Pour les trois différentes valeurs de n utilisées ci-dessus, les espérances et variances correspondantes sont présentées dans le tableau ci-dessous.
Nb années de
Espérance
Variance
($ md)
($ md)
1 000
13.37
46.44
10 000
13.12
7.54
100 000
13.22
1.13
1 000 000
12.72
0.07
10 000 000
12.68
2.34e-09
simulations
Table 3.1 : Espérance et variance pour différentes valeurs de n
44
Tirages et intervalle de confiance
La figure 3.24 représente pour différentes valeurs de n, le tirage de 1000 quantiles d’ordre
0.999.
Figure 3.24 : Représentation des quantiles empiriques d’ordre 0.999 en fonction de n
Pour ce quantile d’ordre 0.999, les pertes varient approximativement entre 0 et 100 milliards
de dollars. Le trait horizontal rouge représente la valeur théorique de ce quantile, soit 12.68
milliards de dollars. L’intervalle de confiance à 95% est représenté en vert sur la figure 3.24.
On appelle intervalle de confiance pour θ de niveau de confiance 1 − α tout intervalle IC tel
que :
P(θ ∈ IC) = 1 − α
Dans le cas présent, θ est le quantile théorique. Un intervalle de confiance à 95% signifie qu’il
y a 95% de chance pour que la valeur théorique du quantile soit dans cet intervalle.
La distribution du quantile empirique d’ordre p du modèle 1 pour n années de simulation
Qn,p a pour expression :
FQn,p (x) = FU(k,n) (FX (x))
Pour calculer l’intervalle de confiance à 95% il faut s’intéresser aux quantiles qp d’ordre p =
0.025 et p = 0.975. L’intervalle de confiance est alors :
IC = [q0.025 , q0.975 ]
45
h
i
IC = FQ−1
(0.025), FQ−1
(0.975)
n,p
n,p
où qp = FQ−1
(p) = inf {x ∈ R, FQn,p (x) ≥ p}
n,p
= inf {x ∈ R, FU(k,n) (FX (x)) ≥ p}
Nb années de
Borne inf
Borne sup
($ md)
($ md)
1 000
3
49
10 000
5
30.5
100 000
10.5
19
1 000 000
11
15.5
10 000 000
11
14.5
simulations
Table 3.2 : Valeurs IC pour certaines valeurs de n
La figure 3.25 représente la distribution du quantile empirique d’ordre 0.999 en fonction de n.
L’intervalle de confiance à 95% est représenté en bleu et le quantile théorique est représenté
en rouge.
Figure 3.25 : Distribution du quantile empirique en fonction de n
46
3.5
Du discret au continu
La loi de coût issue du modèle 1 est une loi discrète. Pour simplifier le modèle et afin de ne
pas avoir à conserver la distribution discrète, on cherche dans cette section à approximer la
loi de coût avec une loi continue. Autrement dit, afin de « lisser » les résultats du modèle, on
cherche à « fitter » la loi de coûts discrète par une distribution continue.
3.5.1
« Fit » de loi
La figure 3.26 représente la distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu.
Figure 3.26 : Distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu
Les lois de sévérité usuelles sont la loi lognormale, la loi de pareto, la loi gamma, la loi d’extremum généralisée, la loi de pareto généralisée6 ...
Ces lois peuvent être paramétrées, par exemple, par la méthode du maximum de vraisemblance, la méthode des moments ou encore par la méthode des moindres carrés7 .
La figure 3.27 compare la répartition des coûts et plusieurs répartitions « fittées ».
6
7
Détails en annexe
Détails en annexe
47
Figure 3.27 : Comparaison des distributions paramétrées
Aucune des lois ci-dessus ne « fit » la distribution initiale des coûts de manière satisfaisante.
On fait le choix d’utiliser une loi GEV dans le cas continu car cette dernière modélise les
faibles périodes de retour de manière satisfaisante (erreur par la méthode des moindres carrés
la plus faible sur les périodes de retour de 1 à 100 ans).
On rappelle que la loi GEV a trois paramètres : un paramètre de position µ, un paramètre de
dispersion σ et un paramètre de forme ξ. Selon le paramètre de forme ξ, on parle de distribution de Gumbel, Fréchet et Weibull. Dans notre modèle, le « fit » correspond à un ξ > 0,
c’est donc une loi de Fréchet.
3.5.2
Distribution des quantiles empiriques
Ce paragraphe a pour objectif de déterminer la distribution des quantiles empiriques. La méthodologie suivie est identique à celle de la section 3.4.2. Comme précédemment, l’exemple de
la distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999 est donc choisi.
48
En utilisant la distribution des coûts issue de la loi de Fréchet, la fonction de répartition des
pertes du modèle est continue. La distribution des quantiles empiriques correspondant est
alors régulière.
Soit Q(n,p) le quantile empirique d’ordre p pour n années de simulation. La fonction de répartition de Q(n,p) est :
FQn,p (x) = P(Qn,p ≤ x) = FU(k,n) (F̂X (x))
FU(k,n) est la fonction de répartition d’une loi Beta B(k, n − k + 1)8 .
F̂X est la fonction de répartition continue issue du « fit » par la loi de Fréchet.
1.61−08
0
5.38−09
probabilité
2.69−08
n=10 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
valeur du quantile ($ md)
1.61−08
0
5.38−09
probabilité
2.69−08
n=10 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
valeur du quantile ($ md)
1.61−08
0
5.38−09
probabilité
2.69−08
n=10 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
valeur du quantile ($ md)
Figure 3.28 : Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n
La figure 3.28 présente la distribution du quantile d’ordre 0.999 pour différentes valeurs de n
dans le cas où la loi de coût utilisée dans le modèle est la loi de Fréchet.
8
Cf section 2.9
49
La figure 3.29 est une représentation de la distribution du quantile empirique d’ordre p = 0.999
en fonction de n. Les densités pour n = 10000 et n = 100000 années sont précisées en bleu,
ainsi que les bornes de l’intervalle de confiance à 95% en pointillés bleus. Les pointillés rouges
représentent la valeur du quantile théorique soit 5.15 milliards de dollars.
Figure 3.29 : Représentation de la distribution du quantile empirique en fonction de n
50
3.6
3.6.1
Modèle 2
Principes et hypothèses du modèle
Ce modèle suppose qu’il peut y avoir au maximum par année une éruption de VEI≥ 6 par
carré. Chaque carré j suit une loi de Bernoulli de paramètre bj .
X=
64800
X
Cj B j
j=1
Cj représente le coût du carré j.
Bj ∼ Bern(bj )
p × (Nb Volcanoes In i)
= p × pj
Total nb Volcanoes
On rappelle que p est la probabilité d’occurrence annuelle d’une éruption de VEI ≥ 6.
X est la perte annuelle.
Les Bj sont supposés ⊥
⊥.
bj =
3.6.2
Fonction de répartition théorique
Voici l’écriture de la fonction de répartition théorique :
FX = P(X ≤ x) = P(
64800
X
Ci Bi ≤ x)
i=1
= P(C1 B1 + C2 B2 + ... + C64800 B64800 ≤ x)
= P(
811
X
Ci Bi ≤ x)
i=1
La somme est réduite à 811 puisque c’est le nombre de carrés ayant une probabilité non nulle
d’éruption. Sur ces 811 carrées, il y en a 175 qui correspondent à des zones de coût nul. Ainsi,
lorsqu’une éruption survient, il y a environ 78% de chance qu’elle engendre des pertes.
Cette fonction de répartition est en escalier et on peut déterminer le nombre de sauts :
n
X
k=0
n
k
!
=
n
X
n!
k!(n − k)!
k=0
Par la formule du binôme de Newton, on en déduit :
n
X
k=0
n
k
!
=
n
X
k n−k
1 1
k=0
n
k
!
= (1 + 1)n
= 2n
n = 811 donc la fonction de répartition est à 2811 = 1.365609 e+244 sauts. Il n’existe pas de
formule fermée pour cette fonction de répartition. Il est donc nécessaire de l’estimer empiriquement.
51
3.6.3
Simulations et résultats empiriques
On garde uniquement les carrés avec au moins un volcan soit 811 carrés. On effectue n années
de simulations. Les années de simulations sans éruptions volcaniques sont ignorées dans un
premier temps. Pour les n années ayant subi au moins une éruption, le coût correspondant
est calculé. Chacun des coûts obtenus est équiprobable soit de probabilité n1 . Une fonction
de répartition empirique est obtenue en ordonnant les coûts et en prenant la probabilité cumulée. Les années sans éruptions ayant été ignorées jusqu’ici, on calcule par cette méthode
P(X ≤ x|X > 0).
Figure 3.30 : Fonction de répartition empirique du modèle 2
Pour obtenir la fonction de répartition complète de X, la formule des probabilités totale est
utilisée, X étant une variable aléatoire positive.
P(X ≤ x) = P(X ≤ x|X = 0)P(X = 0) + P(X ≤ x|X > 0)P(X > 0)
= P(X = 0) + P(X ≤ x|X > 0)(1 − P(X = 0))
52
car P(X ≤ x|X = 0) = 1
La fonction de répartition empirique obtenue pour 10 millions d’années de simulation est représentée par la figure 3.30.
La probabilité pour que la perte annuelle dépasse 10 milliards de dollars est environ de 0.106%.
En effet, P(X ≤ x) = 0.9989372 pour x = 10milliards donc P(X > x) = 1 − P(X ≤ x) =
0.106%.
La figure suivante correspond aux pertes en fonction des périodes de retour.
700
600
Costs ($ bn)
500
400
300
200
100
75
50
25
0
100
200
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
40 000
100 000
Return Period (years)
Figure 3.31 : Pertes du modèle 2 en fonction des périodes de retour
La période de retour de 1 000 ans correspond au quantile d’ordre 0.999 et a pour valeur 10.36
milliards de dollars.
53
3.7
3.7.1
Modèle 3
Principes et hypothèses du modèle
Ce modèle estime un nombre d’éruptions dans l’année puis relie chaque éruption à un coût.
(P
X=
N
i=1 Ci
0
si N > 0
si N = 0
La loi de fréquence est notée N.
N ∼ P(p) avec p = 0.0125
Ci le coût de l’éruption i.
N⊥
⊥ Ci et les Ci iid.
Le montant de perte d’une éruption a une fonction de répartition FC
La perte annuelle X a une distribution de Poisson composé de paramètres p et FC .
3.7.2
Fonction de répartition théorique
Voici l’expression de la fonction de répartition de ce modèle :
FX (x) = P (X ≤ x)
= P(0 ≤ x|N = 0) × P(N = 0) +
∞
X
(
P(N = n) × P(
n=1
= P(N = 0) +
∞
X
n
X
)
Ci ≤ x|N = n)
i=1
{P(N = n) × FC1 +...+Cn (x)}
n=1
= P(N = 0) + P(N = 1)FC1 (x) + P(N = 2)FC1 +C2 (x) + ...
On rappelle que Ci représente le coût de l’éruption i. Cette fonction de répartition n’a pas
de formule fermée. La fonction de répartition empirique permet donc d’estimer la fonction de
répartition réelle.
3.7.3
Simulations et résultats empiriques
On effectue n années de simulation. On conserve uniquement les années ayant connu au moins
une éruption. On déduit le coût associé à chaque éruption. Une perte par année d’éruption
est ainsi calculée. On associe une probabilité à chacune de ces pertes. Un retraitement sur
la fonction de répartition est nécessaire puisque les années de simulations sans éruptions ont
été ignorées. La fonction de répartition empirique estimée est en effet P(X ≤ x|N > 0). En
utilisant les probabilités totales, on retrouve la fonction de répartition complète.
FX = P(X ≤ x) = P(X ≤ x|N = 0)P(N = 0) + P(X ≤ x|N > 0)P(N > 0)
= P(N = 0) + P(X ≤ x|N > 0)(1 − P(N > 0))
54
A partir de la fonction de répartition empirique, il est possible de déterminer les périodes de
retour correspondantes. La figure 3.32 représente les pertes en fonction des périodes de retour
pour un nombre de simulation n = 10 millions.
700
600
Costs ($ bn)
500
400
300
200
100
75
50
25
0
1
10
100
200
500
1 000
2 000
5 000
10 000
20 000
40 000
100 000
Return Period (years)
Figure 3.32 : Pertes du modèle 3 en fonction des périodes de retour
La période de retour de 1 000 ans correspond au quantile d’ordre 0.999 et a pour valeur 12.48
milliards de dollars.
55
3.8
Comparaison des modèles et résultats par pays
Cette section compare dans un premier temps les résultats des modèles 1,2 et 3. Un paragraphe
est consacré à l’étude de sensibilité à la matrice de destruction. Enfin, des résultats détaillés
par pays sont présentés.
3.8.1
Comparaison des modèles
Les hypothèses des trois modèles présentés sont différentes. Ce paragraphe présente des résultats de comparaison de ces trois modèles. Le modèle 1 est un modèle simple dont l’hypothèse
principale est qu’il ne peut y avoir qu’une éruption par année. L’avantage de ce modèle est
qu’on dispose de la fonction de répartition exacte. Le modèle 2 suppose qu’il peut y avoir,
chaque année, une éruption dans chaque carré. Le modèle 3 estime un nombre d’éruption par
année puis relie chaque éruption à un lieu. Un même lieu peut subir plusieurs éruptions dans
la même année. Les modèles 2 et 3, plus complexes, nécessitent une approche par simulation.
Figure 3.33 : Pertes des 3 modèles en fonction des périodes de retour
56
La figure 3.33 représente sur le même graphique la distribution des pertes des trois modèles
en fonction des périodes de retour. Les pertes des modèles 2 et 3 sont issues de n = 1 million
d’années de simulation.
Le tableau 3.3 compare quantitativement les pertes pour les périodes de retour de 1 000 ans, 5
000 ans et 10 000 ans pour les trois modèles. Les résultats sont exprimés en milliards de dollars.
Période de retour
Modèle 1
Modèle 2
Modèle 3
100 ans
0.001
-
-
1 000 ans
12.68
10.70
10.82
5 000 ans
57.16
55.37
57.16
10 000 ans
103.36
80.19
103.36
Table 3.3 : Comparaison de pertes pour certaines périodes de retour
Liens entre les modèles.
On considère les trois modèles équivalents pour les faibles périodes de retour (inférieur à 6
400 ans). Ces périodes de retour correspondent en effet à la probabilité qu’il y ait moins de
1
deux éruptions dans l’année : 0.0125
2 = 6400.
Le modèle 3 est équivalent au modèle 1 lorsque N = 1 c’est à dire lorsqu’il y a au maximum
une éruption dans l’année.
L’équivalence des modèles 2 et 3 peut s’expliquer par le paradigme de Poisson.
Paradigme de Poisson :
On considère un grand nombre n de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre bj
(j = 1, 2, ..., n) correspondant à n événements tels que l’évènement j se réalise avec la probabilité bj . Si les bj sont « petits » (environ < 0.1), alors le nombre de réalisations de ces
P
événements peut être approximé par une loi de Poisson de paramètre nj=1 bj .
On rappelle que le modèle 2 suppose qu’il peut y avoir au maximum par année une éruption de
forte intensité par carré. Chaque carré j suit une loi de Bernoulli de paramètre bj . Le nombre
d’éruption dans l’année correspond donc à une somme de Bernoulli. Le modèle 3 est un modèle
« fréquce-coût » et le nombre d’éruption par année suit une loi de Poisson P(p = 0.0125).
En utilisant les notations des modèles présentés, la somme des variables de Bernoulli du modèle
P
P
2 peut être approximé par une loi de Poisson de paramètre λ = nj=1 bj = nj=1 p × pj = p,
équivalente à la loi de fréquence du modèle 3.
57
3.8.2
3.8.2.1
Étude de sensibilité
Sensibilité aux taux de destruction
L’objectif de ce paragraphe est d’étudier la sensibilité des modèles à la matrice de destruction.
Cette matrice a été déterminée dans la section 3.2.2 en étudiant les dégâts historiques d’éruption de VEI 6 et de VEI 7 et en prenant comme références l’éruption du Pinatubo en 1991
(VEI 6) et l’éruption du Mont Tambora en 1815 (VEI 7). Cependant, il est difficile d’obtenir
des informations détaillées concernant les dégâts de ce type d’éruption et il est souvent délicat
de juger de leur fiabilité quand bien même les informations sont disponibles.
Le tableau 3.4 ainsi que la figure 3.34 introduisent les différents taux de destruction utilisés
pour étudier cette sensibilité.
Taux de destruction
central
Taux de destruction
secondaire
Modèle initial
0.4
0.01
Version 1
0.4
0
Version 2
0.4
0.2
Version 3
1
0.01
Version 4
0.3
0.01
Table 3.4 : Hypothèses des taux de destruction
Figure 3.34 : Schéma des taux de destruction
Le tableau 3.5 compare ensuite les pertes du modèle pour certaines périodes de retour pour
les différents taux de destruction présentés. Les pertes du tableau sont exprimées en milliards
de dollars.
58
Période de retour
Modèle initial
Version 1
Version 2
Version 3
Version 4
100 ans
0.001
0
0.01
0.001
0.001
1 000 ans
12.68
9.67
50.43
25.03
10.20
5 000 ans
57.16
41.45
339.04
124.69
44.55
10 000 ans
103.36
83.00
463.28
227.86
82.61
Coût max
611.91
600.61
826.65
1512.83
461.76
Table 3.5 : Sensibilité du modèle 1 aux taux de destruction
3.8.2.2
Sensibilité à la fréquence des éruptions
La fréquence annuelle d’éruptions volcaniques de VEI ≥ 6 a été déterminée dans le module
aléa (section 3.2.3). Cette probabilité, notée p, est alors fixée à p = 0.0125. Cette section
étudie la sensibilité de cette probabilité d’occurrence.
Le tableau 3.6 compare les pertes du modèle pour certaines périodes de retour lorsque la
fréquence annuelle d’éruptions volcaniques de VEI ≥ 6 est modifiée. Les pertes du tableau
sont exprimées en milliards de dollars.
p=0.01
p=0.01125
p=0.0125
p=0.01375
p=0.015
100 ans
0
0
0.001
0.016
0.035
1000 ans
9.76
10.6
12.68
16.96
17.44
5 000 ans
52.19
52.19
57.16
62.52
62.52
10 000 ans
67.10
69.59
103.36
107.77
107.77
Période de retour
Table 3.6 : Sensibilité du modèle 1 à la fréquence des éruptions
59
3.8.3
Résultats par pays
L’objectif de cette section est d’analyser pour certains pays la fonction de répartition des
pertes liées à la probabilité d’éruption volcanique.
3.8.3.1
Les États-Unis
La base de données recense 106 volcans aux États-Unis. 1 223 carrés sont considérés dans ce
pays. Les volcans se trouvent dans 69 carrés.
La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption dans le monde est p = 0.0125. Cependant,
106
la probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption aux États-Unis est pU SA =
×0.0125 =
1578
0.00083. On rappelle que le nombre total de volcans dans le monde est de 1578.
La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption aux États-Unis dans une zone9 donnée
varie entre 0 (pour les zones des États-Unis sans volcans) et pU SA =4.75e-05 (pour la zone des
États-Unis à 6 volcans, l’Oregon). Toutes les zones à un volcan ont une probabilité annuelle
d’éruption de pU SA =7.92e-6. Le nombre de volcans et les zones dans lesquelles ils se trouvent
sont illustrés par la carte ci-dessous.
Figure 3.35 : Nombres de volcans aux États-Unis
Intéressons-nous aux résultats du modèle 1 pour les États-Unis.
La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de 0.9991603. En effet,
ceci correspond aux réalisations des événements suivants :
• A : Il n’y a pas d’éruption dans l’année.
• B : Il y a une éruption dans l’année mais elle ne se produit pas aux États-Unis.
9
un carré issu de la discrétisation de la Terre
60
Autrement dit :
P(XU SA ≤ 0) = (1 − 0.0125) + 0.0125 ×
|
{z
A
}
|
(1578 − 106)
1578
{z
B
= 0.9991603
}
Si une éruption se produit aux ÉtatsUnis, la perte varie entre 5.5 millions
et 46 milliards de dollars selon le PIB
de la zone. La perte minimale correspond à une zone en Alaska. La figure
3.36 indique en vert les trois zones des
États-Unis où la perte excède 10 milliards de dollars si une éruption survient dans cette zone.
Figure 3.36 : Coûts les plus élevés
Voici la fonction de répartition correspondante à la perte annuelle aux États-Unis. La représentation se fait en fonction des périodes de retour.
Figure 3.37 : Représentations de la fonction de répartition USA d’après le modèle 1
Le tableau 3.7 présente les pertes associées à quelques périodes de retour.
61
Périodes de retour
Pertes ($ milliards)
100 ans
0
1000 ans
0
5 000 ans
2.3
10 000 ans
4.2
Table 3.7 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volcanique aux États-Unis
3.8.3.2
Le Japon
La base de données recense 78 volcans au Japon. 74 carrés sont dénombrés dans ce pays et
les volcans sont présents dans 30 carrés.
La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption au Japon dans une zone donnée varie
entre 0 et pJP N =5.54e-05. Cette dernière valeur correspond à la probabilité de la zone à 7
volcans. Toutes les zones à 1 volcan ont une probabilité annuelle d’éruption de pJP N =7.92e-6.
Le nombre de volcans dans chaque zone est illustré par la carte ci-dessous.
Figure 3.38 : Nombre de volcans au Japon
La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de 0.9993821. En effet :
(1578 − 78)
≤ 0) = (1 − 0.0125) + 0.0125 ×
|
{z
}
1578
|
}
P(XJP N
A
{z
B
= 0.9993821
Les pertes au Japon si une éruption survient varient entre 2 et 611 milliards de dollars. Sur
les 30 carrés pouvant subir une éruption au Japon, 24 génèreraient une perte supérieure à 10
milliards de dollars.
62
Figure 3.39 : Pertes au Japon en fonction des périodes de retour
La figure ci-dessus représente les pertes annuelles dues aux éruptions volcaniques au Japon
en fonction des périodes de retour. Le tableau 3.8 présente les pertes associées à quelques
périodes de retour.
Périodes de retour
Pertes ($ milliards)
100 ans
0
1000 ans
0
5 000 ans
48.5
10 000 ans
62.5
Table 3.8 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volcanique au Japon
63
3.8.3.3
La France métropolitaine
La base de données recense 2 volcans en France métropolitaine. 78 carrés sont considérés dans
ce pays et les volcans sont présents dans 2 carrés.
La probabilité annuelle d’occurrence d’une éruption en France métropolitaine dans une zone
donnée varie entre 0 et pF RA = 7.92e − 06.
La probabilité que la perte annuelle soit inférieure ou égale à zéro est de0.9999842 En effet :
P(XF RA ≤ 0) = (1 − 0.0125) + 0.0125 ×
|
{z
A
}
|
(1578 − 2)
1578
{z
}
B
= 0.9999842
Les pertes en France si une éruption survenait seraient de 4.7 milliards de dollars (volcan
pyrénéen) ou de 168.8 milliards de dollars (volcan d’Auvergne).
Figure 3.40 : Pertes en France métropolitaine en fonction des périodes de retour
La figure 3.40 représente les pertes annuelles dû aux éruptions volcaniques en France métropolitaine en fonction des périodes de retour. Le quantile d’ordre 0.99999 correspondant à une
période de retour de 100 000 ans a pour valeur 4.7 milliards de dollars.
64
4
Météorites
4.1
Introduction et description du risque
Une distinction doit être faite entre météorïde, météore et météorite1 :
• Les météorides sont des fragments d’astéroïdes ou de comètes. La plupart proviennent
de la collision d’astéroïdes et se déplacent dans le système solaire.
• Dès lors qu’une méteorïde franchie l’atmosphère terrestre, elle brûle et se désintègre
tout en se déplaçant à grande vitesse (entre 10km/sec et 75km/sec). On parle alors de
météore ou de bolide. Les météores sont communément appelés des étoiles filantes.
• Les météorites sont des fragments de météroïdes qui n’ont pas eu le temps de se
désintégrer dans l’atmosphère et qui atteignent la surface de la Terre avant d’exploser.
Figure 4.1 : Illustration de météores (Manhattan Prep et The Telegraph)
1
Informations tirées de [2]
65
4.2
Evénements historiques
Environ 150 cratères d’impact ont été découverts à ce jour[23].
La météorite de Chicxulub qui explosa il y a 65 millions d’année dans la péninsule du Yucutan au Mexique dégagea une énergie totale équivalente à plus de 100 millions de mégatonnes
de TNT. A titre de comparaison, la puissance de cette explosion est équivalente à plus de 1
milliard de fois la puissance de celle d’Hiroshima. Cette météorite, la plus grande découverte
à ce jour, serait à l’origine de l’extinction des dinosaures.
Aujourd’hui, l’impact d’une météorite de ce type causerait des dégâts à l’échelle mondiale. La
période de retour de ce type d’événement est cependant de plusieurs millions d’années.
La météorite Barringer d’environ 50 mètres de diamètre et plus de 300 000 tonnes explosa il
y a 50 000 ans dans le nord de l’Arizona. L’énergie totale dégagée par l’explosion est estimée
à 150 fois celle d’Hiroshima2 , équivalente à 2.5 mégatonnes de TNT. Le cratère Barringer est
à ce jour le cratère météoritique le plus connu au monde et le plus étudié.
Figure 4.2 : Cratère Barringer en Arizona
Les impacts de météorites ne sont pas les seuls événements météoritiques pouvant entraîner
des dégâts : les explosions de météorides dans l’atmosphère sont à prendre en compte.
La NASA enregistre chaque année plusieurs explosions de météorides dans l’atmosphère. Ces
bolides, de diamètre inférieur à 100 mètres, se désintègrent dans l’atmosphère et explosent
avant d’atteindre la surface de la Terre. La NASA a enregistré en 2015 37 explosions dans
l’atmosphère. Ces explosions de météorides détectées correspondent à des énergies supérieures
2
Informations tirées de [14, 28]
66
à 1 GJ [15].
L’American Meteor Society (AMS) récupère depuis 2005 des rapports d’explosion de météoride soumis par le public. En 2015, 11 255 rapports ont été envoyés à l’AMS et 2 970 explosions
météoritiques ont ainsi été recensées [2].
Ces événements ont tendance à être moins intenses que les impacts météoritiques mais plus
fréquents. Ce type d’évènement peut entraîner des dégâts.
Un exemple récent est la météoride qui franchit l’atmosphère en février 2013 au-dessus de
Chelyabinsk en Russie. Cette météoride faisait initialement entre 15 et 20 mètres de diamètre pour un poids estimé à 10 000 tonnes. Elle a parcouru l’atmosphère pendant 30
secondes à une vitesse d’environ 65 000 km/h
avant d’exploser à 23km au-dessus de la surface
de la Terre. Cette météore dégagea une énergie totale d’environ 1.8 millions de GJ, ce qui
correspond à une explosion d’environ 500 kilotonnes de TNT. L’énergie dégagée par l’explosion est ainsi équivalente à plus de 30 fois Hiroshima.
L’explosion de 1908 à Toungouska en Sibérie est
l’explosion de météore la plus forte de ces dernières
années. Selon la NASA [17], ce bolide de 100 000
tonnes parcourut l’atmosphère à une vitesse d’envi- Figure 4.3 : Toungouska, environ 20
ron 60 000 km/h. Il explosa entre 5 et 10 km au- ans après l’explosion de 1908 (the Leodessus du sol et libéra une énergie d’environ 3 mé- nid Kulik Expedition)
gatonnes de TNT soit 185 fois Hiroshima.
L’objectif de cette section est de créer un modèle d’évaluation du risque météoritique.
67
4.3
Modèle
La structure de ce modèle est identique à celle du modèle volcan3 . La création du modèle
sera basée sur une étude de l’exposition, une étude du module vulnérabilité et une étude du
module aléa. A la fin de cette section, les résultats du modèle seront présentés.
4.3.1
Étapes préliminaires
4.3.1.1
Création de la base de données
La NASA enregistre depuis 1994 les explosions de météores dans l’atmosphère et mesure
les intensités associées. Sur cette carte, la NASA caractérise l’intensité des explosions de
météorides en utilisant l’énergie rayonnante en GigaJoule.
Figure 4.4 : Explosions de météores enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013
Radiant Energy (GJ)
100
500
1 000
10 000
100 000
1 000 000
Nb of Event
202
65
28
9
3
1
Table 4.1 : Résumé des explosions enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013
3
Cf Section 3.2
68
Les énergies enregistrées par la NASA ne sont pas représentatives de l’ensemble des intensités
d’explosion possibles puisqu’elles s’étendent de 100 à 1 million de GJ. On souhaite trouver
une fonction qui relie une intensité d’explosion à un nombre d’événements.
On observe que le nombre d’événements sur 20 ans pour les énergies supérieures à 1 000 GJ
évolue par un facteur de 3 toutes les puissances de 10.
On choisit alors arbitrairement d’utiliser la fonction suivante :
N b = 36−log10 (Energie)
(4.1)
log10 correspond au logarithme de base 10.
Il est ainsi possible d’estimer un nombre d’événements sur 20 ans pour des intensités supérieures à celles enregistrées par la NASA. La figure 4.5 compare le nombre d’explosions de
météores sur 20 ans issu de l’équation (4.1) avec le nombre d’explosions enregistré par la
NASA. Le nombre d’explosions historiques correspond aux points bleus et le nombre d’explosions issu de l’équation (4.1) est représenté en rouge. Le tableau 4.2 présente, à partir de cette
fonction, le nombre d’événements sur 20 ans, la fréquence annuelle correspondante ainsi que
la période de retour pour différentes intensités.
Figure 4.5 : Nombre d’explosions de météores sur 20 ans en fonction de l’énergie
69
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
100 000 000
≥ 1 000 000 000
27
9
3
1
0.33
0.11
0.056
Annual frequency
1.35
0.45
0.15
0.05
0.0167
0.0056
0.0028
Return period
0.741
2.22
6.67
20
60
180
360
Radiant Energy (GJ) 1 000
Nb of event
Table 4.2 : Synthèse des résultats issus de la fonction (4.1)
On estime ainsi par cette méthode qu’un évènement de même intensité que Toungouska (environ 10 millions de GJ d’énergie rayonnante) se produit environ une fois tous les 60 ans.
Les résultats de cette section seront utilisés par la suite pour déterminer la fréquence et la
sévérité du modèle4 .
4.3.1.2
Discrétisation de la Terre
De la même façon que le modèle volcan, cette étude se base sur une discrétisation de la Terre
en carrés. La surface de la Terre est divisée en 259 200 carrés. Chaque carré représente cette
fois-ci 0.5◦ de longitude et 0.5◦ de latitude. On considèrera dans ce modèle que l’aire de chaque
carré est égale à 50km × 50km soit 2 500 km2 .
4.3.2
4.3.2.1
Étude de la vulnérabilité
Matrice de destruction
L’objectif de ce paragraphe est de déterminer une matrice de destruction en fonction de
l’intensité de l’explosion de météore. On utilisera dans cette section les équivalents TnT et
non les énergies rayonnantes en GigaJoule. Cette étude de vulnérabilité s’appuiera sur la
destruction liée aux explosions atomiques.
Les intensités enregistrées par la NASA sont des énergies rayonnantes en GigaJoule. Peter
Brown et d’autres scientifiques ont proposé une expression pour relier l’énergie rayonnante E0
en kilotonne TNT à une énergie totale E en kilotonne TNT :
E = 8.2508 × E00.885
La conversion peut être ainsi faite en utilisant la conversion d’un kilotonne de TNT en Joule :
1 kt = 4.185 × 1012 J
Les résultats de deux simulateurs[19, 10] d’explosion atomique sont utilisés pour estimer les
matrices de destruction associées aux explosions météoritiques, en fonction de l’énergie dégagée en équivalent TnT . Ces simulateurs indiquent les rayons de surpression générés par
une détonation au sol. On estime qu’une zone en surpression de 5 psi (345 hPa) subit une
4
Cf section 4.2.3
70
destruction de 25%. Une surpression de 2 psi entraîne une destruction de 5%. Le tableau 4.3
présente les rayons de surpression (2 et 5 psi) en fonction de l’intensité en kilotonne de TNT.
Puissance explosion TNT (kt)
136
500
1 000
8 000
60 000
500 000
Rayon de surpression 5 psi (km)
2.33
3.59
4.52
9.04
17.7
35
Rayon de surpression 2 psi (km)
4.07
6.28
7.92
15.84
45
95
Table 4.3 : Rayons de surpression en fonction de l’intensité de l’explosion
Les taux de destruction pour les différentes intensités d’explosion sont déterminés en faisant
le rapport entre la superficie des cercles de destruction et la superficie des carrés du modèle.
La figure 4.6 illustre la méthode d’estimation des matrices de destruction dans le cas d’une
explosion de 8 mégatonnes de TNT (équivalente à l’intensité de Toungouska).
Figure 4.6 : Méthode d’estimation de la matrice de destruction associée à une explosion de
8 Mt TNT
Cette méthode est appliquée aux différentes intensités d’explosion. La figure 4.7 schématise
71
les matrices de destruction ainsi obtenues.
Figure 4.7 : Schéma des matrices de destruction en fonction de l’intensité de l’explosion
4.3.3
4.3.3.1
Module aléa
Étude de la fréquence
Ce paragraphe a pour but d’étudier la fréquence annuelle d’explosions de météores.
Les explosions d’énergie inférieure à 100 000 GJ ne seront pas modélisées car supposées non
risquées de pertes nulles. On s’intéresse à la probabilité d’occurrence d’explosions dégageant
une énergie radiante supérieure ou égale à 100 000 GJ (équivalente à 136 kilotonnes de TNT).
Les énergies considérées dans le modèle vont de 100 000 GJ (136 Kt) à 1 milliard de GJ (500
Mt TNT). En reprenant les résultats de l’étude préliminaire5 , la probabilité d’occurrence d’une
5
Cf Section 4.2.1
72
explosion d’énergie ≥ 100 000 GJ est calculée comme la somme des fréquences annuelles de
chaque intensité d’explosion.
Soit I l’ensemble discret des énergies considérées, alors la fréquence annuelle d’explosion p est
telle que :
X
p=
AnnualF reqi
i∈I
Les énergies en Mt TNT considérées dans le modèle sont {0.136; 1; 8; 60; 500} et les fréquences
annuelles associées sont {0.15; 0.05; 0.0167; 0.0056; 0.0028}. La probabilité d’occurrence d’une
explosion est donc p = 0.15 + 0.05 + 0.0167 + 0.0056 + 0.0028 = 0.225.
On fait le choix arbitraire d’utiliser une loi de Poisson pour caractériser la fréquence d’explosions et on a donc P(p) = P(0.225).
Remarque : La fréquence annuelle d’explosions de météores d’intensité 500 Mt TNT utilisée
est en réalité la fréquence annuelle d’explosions d’intensité supérieure à 500 Mt TNT. Les
probabilités d’occurrence d’explosions d’intensité plus importante que 500 Mt TNT sont donc
prises en compte dans la probabilité d’occurrence d’une explosion météoritique. La loi de
fréquence permet ainsi d’estimer le nombre d’événements d’énergie ≥ 100 000 GJ.
4.3.3.2
Étude de la sévérité
Il faut ensuite déterminer la probabilité que ce soit telle ou telle intensité lorsqu’il y a une
explosion d’énergie ≥ 100 000 GJ.
La probabilité que l’explosion corresponde à une énergie donnée est déterminée par la fréquence annuelle de ce type d’événements divisée par la fréquence annuelle totale d’explosions
soit
AnnualF reqi
P(energyi | Event) =
p
Le tableau 4.4 présente ainsi la probabilité de l’intensité de l’explosion sachant qu’une explosion a eu lieu.
Equivalent TNT (Mt)
0.136
1
8
60
≥ 500
Probability
0.667
0.222
0.074
0.0247
0.0123
Table 4.4 : Probabilités liées à la sévérité de l’explosion
4.3.3.3
Aléa géographique
Le modèle suppose que la répartition des chutes de météorites est uniforme géographiquement.
La probabilité que l’explosion ait lieu dans un carré est identique pour tous les carrés.
73
4.3.4
Exposition
De la même façon que dans le modèle volcan, le PIB de chaque carré est déterminé en utilisant
la densité de population et le PIB par pays.
Figure 4.8 : Représentation de l’exposition en Europe
4.3.5
Evénements historiques
Selon [29], l’explosion de Chelyabinsk en 2013 correspond à une perte de 33 millions de dollars.
Selon le modèle, si la même explosion survenait de nouveau, la perte serait de 43 millions de
dollars.
Une explosion de la même intensité que celle de Chelyabinsk (environ 500 kilotonnes TNT)
entraînerait 725 millions de dollars de dégâts si cette-dernière survenait au-dessus de Paris.
La perte correspondante serait de 3 milliards à New-York et 2.15 milliards de dollars à Tokyo.
Le modèle estime que le bolide qui explosa au-dessus de Toungouska en 1908 entraînerait une
perte de 2 millions dollars si cet évènement se reproduisait aujourd’hui au même endroit.
74
Une explosion identique à l’évènement de Toungouska entraînerait une perte de 4.6 milliards
de dollars au-dessus de Paris, 18 milliards à New-York et 13 milliards à Tokyo.
La figure 4.9 représente la décomposition de la perte liée à une explosion de météorïde dans
la région parisienne dégageant une énergie équivalente à 60 Mt TNT. La perte économique
totale pour cet évènement serait ainsi de 22 milliards de dollars.
Figure 4.9 : Décomposition de la perte (en million de $ ) sur Paris pour une explosion
d’intensité 60 Mt TNT
4.3.6
Étude de la répartition des pertes économiques à l’échelle mondiale
Les figures 4.10 et 4.11 représentent la répartition des coûts sachant qu’une explosion de
respectivement 136 kt TNT et 500 Mt TNT a eu lieu.
75
Figure 4.10 : Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 136 kilotonnes TNT a eu
lieu
Figure 4.11 : Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 500 mégatonnes TNT a eu
lieu
76
La figure 4.11 présente donc la répartition des pertes sachant qu’une explosion d’énergie
équivalente à 500 Mt TNT est survenue. Le modèle estime que la perte économique maximale
à l’échelle mondiale est à Tokyo. Ainsi, l’explosion d’une météoride dégageant 500 Mt TNT
dans cette zone entraînerait une perte de 190 milliards de dollars. D’après la construction du
modèle, sachant qu’il y a eu une explosion de météoride d’énergie équivalente à 500 Mt TNT,
la probabilité pour que l’explosion est lieu à Tokyo est de 1/259200. La figure 4.12 représente
la décomposition des pertes si une explosion de météoride de 500 Mt TNT survenait à Tokyo.
Figure 4.12 : Répartition des pertes économiques pour une explosion de 500 Mt TNT à
Tokyo
77
La période de retour associée à cette perte est cependant très grande. En effet, la probabilité
pour que cette situation se produise correspond à la survenance des trois événements suivants :
il faut qu’il y ait une explosion, que cette explosion soit d’intensité équivalente à 500 Mt TNT
et que cette explosion survienne au-dessus de Tokyo. En probabilité, on a donc 0.225×0.0123×
(1/259200) ce qui correspond à une période de retour de 93 millions d’années.
4.3.7
Résultat à l’échelle mondiale
Le modèle utilise d’abord la fréquence annuelle d’explosion d’énergie ≥ 100 000 GJ pour déterminer le nombre d’explosions de météores par année.
En utilisant l’hypothèse de répartition uniforme géographique, le modèle relie chaque explosion à une localisation.
L’étude de sévérité permet d’associer chaque explosion à une intensité.
Les matrices de destruction de l’étude de vulnérabilité permettent ensuite de relier chaque
explosion à un coût.
Les résultats sont obtenus par simulation : n années sont simulées et les années ayant connu
au moins une explosion de météore d’énergie supérieure ou égale à 100 000 GJ sont conservées. Les pertes par année de simulation sont calculées. Une probabilité est ensuite associée
à chacune des pertes, de façon empirique. La fonction de répartition empirique obtenue est
conditionnelle la survenance d’au moins un évènement dans l’année. En utilisant les probabilités totales, la fonction de répartition empirique complète est obtenue.
A partir de cette fonction de répartition empirique, il est possible de déterminer les périodes
de retour correspondantes.
Le tableau 4.5 présente quantitativement les pertes économiques mondiales associées aux
périodes de retour de 100, 1000, 5 000, 10 000 et 100 000 ans et estimées à partir de 10
millions d’années de simulation.
Périodes de retour
Pertes ($ million)
100 ans
25
1000 ans
435
5 000 ans
1 664
10 000 ans
3 041
100 000 ans
19 654
Table 4.5 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle
La figure 4.13 présente les pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodes
de retour estimées à partir de 10 millions d’années de simulation.
78
Figure 4.13 : Pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodes de retour
4.3.8
Résultats par pays
Cette section étudie le risque météoritique à l’échelle de certains pays : les États-Unis, la
France et le Japon.
La répartition géographique du risque étant supposée uniforme, plus la superficie du pays est
grande et plus le risque est important.
4.3.8.1
Résultats pour la France
Il y a 290 carrés de 25 000 km2 rattachés à la France soit une superficie de 725 000 km2 . On
rappelle que la méthode de discrétisation de la Terre surestime la superficie réelle des pays.
Les pertes associées à la France varient entre 2,5 millions de dollars et 63 milliards. Le tableau
4.6 présente les pertes économiques pour le risque météoritique en France pour certaines
périodes de retour issues de 10 millions d’années de simulation.
79
Périodes de retour
Pertes ($ million)
100 ans
0
1000 ans
0
5 000 ans
115
10 000 ans
208
100 000 ans
1 328
Table 4.6 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour la France
La figure 4.14 représente les pertes économiques pour le risque météoritique en France en
fonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.14 : Pertes économiques à l’échelle de la France en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.7 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion météoritique en France. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensité de
l’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT)
0.136
1
8
60
≥ 500
Période de retour (années)
5 958
17 876
53 627
160 883
321 913
Table 4.7 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions en France
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une fois
80
tous les 50 000 ans en France.
4.3.8.2
Résultats pour les États-Unis
Il y a 4 739 carrés de 25 000 km2 rattachés aux États-Unis soit une superficie de 11 847 500
km2 . Ceci représente environ 2% de la superficie totale de la Terre selon le modèle.
Les pertes pouvant être engendrées par une explosion météoritique aux États-Unis varient
entre 4 892 dollars (explosion équivalente à 136 kt TNT au nord-est de l’Alaska) et 183 milliards de dollars (explosion équivalente à 500 Mt TNT à New-York).
La figure 4.15 représente les pertes économiques pour le risque météoritique aux États-Unis
en fonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.15 : Pertes économiques à l’échelle des États-Unis en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.8 présente les pertes économiques pour le risque météoritique aux États-Unis
pour certaines périodes de retour issues de 10 millions d’années de simulation.
81
Périodes de retour
Pertes ($ million)
100 ans
0
1000 ans
80
5 000 ans
436
10 000 ans
831
100 000 ans
6 537
Table 4.8 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météoritique aux États-Unis
Le tableau 4.9 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion météoritique aux États-Unis. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensité
de l’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT)
Période de retour (années)
0.136
1
8
60
≥ 500
365
1 094
3 282
9 845
19 699
Table 4.9 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions aux États-Unis
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une fois
tous les 3 000 ans aux États-Unis.
4.3.8.3
Résultats pour le Japon
Il ya a 238 carrés de 25 000 km2 rattachés au Japon soit une superficie de 595 000 km2 .
Les pertes pouvant être engendrées par une explosion météoritique au Japon varient entre 15
millions de dollars (explosion équivalente à 136 kt TNT au nord de l’île d’Hokkaido) et 190
milliards de dollars (explosion équivalente à 500 Mt TNT à Tokyo). Le tableau 4.10 présente
les pertes économiques pour le risque météoritique au Japon pour certaines périodes de retour
issues de 10 millions d’années de simulation.
Périodes de retour
Pertes ($ million)
100 ans
0
1000 ans
0
5 000 ans
118
10 000 ans
359
100 000 ans
2 923
Table 4.10 : Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météoritique au Japon
82
La figure 4.16 représente les pertes économiques pour le risque météoritique au Japon en
fonction des périodes de retour, pour 10 millions d’années de simulation.
Figure 4.16 : Pertes économiques à l’échelle du Japon en fonction des périodes de retour
Le tableau 4.11 présente les périodes de retour associées à l’occurrence d’une explosion météoritique au Japon. Le tableau présente les périodes de retour en fonction de l’intensité de
l’explosion.
Énergie de l’explosion (Mt TNT)
0.136
1
8
60
500
Période de retour (années)
7 260
21 781
65 344
196 034
392 246
Table 4.11 : Périodes de retour de certaines intensités d’explosions au Japon
Ainsi, le modèle estime qu’un évènement d’intensité similaire à Toungouska a lieu une fois
tous les 65 000 ans au Japon.
83
4.3.9
Étude de sensibilité
Cette section évalue la sensibilité du modèle à certaines hypothèses.
4.3.9.1
Sensibilité aux taux de destruction
Lors de l’étude de vulnérabilité, un choix arbitraire a été fait pour traduire la surpression
en taux de destruction. L’hypothèse initiale suivante a été faite : Une zone de surpression de
5 psi subit une destruction de 25% et une surpression de 2 psi entraîne une destruction de
5%. Étudions d’abord comment sont modifiés les résultats du modèle lorsqu’on change cette
hypothèse initiale et qu’on considère une destruction de 50% pour une zone de surpression de
5 psi et une destruction de 10% pour une surpression de 2 psi. Le tableau 4.12 compare alors
ce résultat pour différentes périodes de retour. Les pertes sont exprimées en millions de dollars.
Période de retour
Modèle initial
Nouvelle hypothèse
100 ans
25
41
1 000 ans
435
770
5 000 ans
1 664
4 663
10 000 ans
3 041
9 586
Table 4.12 : Sensibilité du modèle aux taux de destruction
Le tableau 4.13 compare les pertes de différentes périodes de retour pour différentes variations
des taux de destruction autour du modèle initial. Les pertes sont exprimées en millions de
dollars.
Variation taux de destruction
-5%
-1%
Modèle initial
+1%
+5%
100 ans
0
0
25
151
637
1 000 ans
8
81
435
1 993
8 115
5 000 ans
389
943
1 664
5 542
20 983
10 000 ans
889.5
1 884
3 041
8 010
28 620
Période de retour
Table 4.13 : Sensibilité du modèle aux taux de destruction
4.3.9.2
Sensibilité à la fréquence
La fréquence annuelle d’explosions de météores d’énergie ≥ 100 000 GJ est déterminée dans
le module aléa. Elle est déterminée en additionnant les fréquences annuelles d’explosions de
chaque intensité considérée dans le modèle. Ces fréquences annuelles ont été déterminées à
partir du nombre d’explosions sur 20 ans calculé d’après la fonction suivante :
N b = 36−log10 (Energie)
84
Cette fonction a été déterminée en se basant sur la fréquence de « petites » explosions de
météorites (entre 100 GJ et 1 million GJ d’énergie rayonnante). Cependant, plus l’explosion
de météorite est intense et plus cette fonction surestime la fréquence. Un évènement du type
Chixculub par exemple a une période de retour de 400 000 ans avec le modèle initial. Ce
phénomène peut être corrigé en modifiant la fonction initiale par la fonction ci-dessous :
N b = 56−log10 (Energie)
La période de retour d’un évènement de type Chixculub correspond à présent à 39 millions
d’années. Ceci modifie également les explosions de faible intensité. Le nombre d’explosions de
météores de 1 000 GJ sur 20 ans, initialement de 27 devient alors 125.
Le tableau 4.14 compare les résultats de ces deux hypothèses pour différentes périodes de
retour. Les pertes sont exprimées en million de dollars.
Période de retour
Modèle initial
Nouvelle hypothèse
100 ans
25
40
1 000 ans
435
435
5 000 ans
1 664
1 120
10 000 ans
3 041
1 565
Table 4.14 : Sensibilité du modèle à la fréquence
Plus généralement, la probabilité d’occurrence d’une explosion dans le modèle initial est de
0.225. Le tableau 4.15 présente les pertes pour différentes périodes de retour lorsque la fréquence annuelle d’explosion est modifiée. Les pertes du tableau sont exprimées en million de
dollars.
Variation fréquence annuelle d’explosion
-20%
-10%
0
+10%
+20%
100 ans
17
22
25
30
35
1000 ans
360
402
435
470
503
5 000 ans
1 399
1 480
1 664
1 744
1 934
10 000 ans
2 615
2 678
3 041
3 115
3 444
100 000 ans
15 216
14 747
19 654
17 581
20 255
Période de retour
Table 4.15 : Sensibilité du modèle à la fréquence
85
5
Conclusion
Nous avons construit deux modèles catastrophes permettant de modéliser la perte économique
résultant d’éruption volcanique et d’impact météoritique.
Le modèle d’éruption volcanique se base sur la fréquence historique des éruptions ayant un indice d’explosivité volcanique (VEI) supérieur à 6. La localisation des éruptions dans le modèle
se base sur une densité spatiale paramétrée par le nombre de volcans dans la zone étudiée.
Une fois les éruptions simulées, leur coût économique est estimé en appliquant un taux de
destruction au PIB de la zone de l’éruption. On obtient ainsi une distribution de pertes économiques à l’échelle mondiale. On peut également obtenir des distributions de pertes par pays
en se restreignant aux pertes issues du pays concerné. On obtient les résultats suivants (en
milliards de dollars) :
Périodes de retour
Pertes Monde
Pertes US
Pertes Japon
Pertes France
100 ans
0
0
0
0
200 ans
0.6
0
0
0
500 ans
4.3
0
0
0
1 000 ans
12.6
0
0
0
5 000 ans
57.2
2.3
48.5
0
10 000 ans
103.4
4.2
62.5
0
100 000 ans
557.8
31.4
107.8
4.7
1 000 000 ans
611.9
46.3
611.9
16.9
Pertes max
611.9
46.3
611.9
16.9
Table 5.1 : Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et à
l’échelle de trois pays pour le modèle volcan (en milliards de dollars)
Le modèle d’impact météoritique se base sur la distribution récente des entrées atmosphériques qui est extrapolée avec une loi de type Gutenberg Richter : N b = 36−log10 (Energie) . On
détermine les coûts associés à chaque météorite simulée en reliant la puissance d’une entrée
atmosphérique avec la puissance dégagée par une explosion atomique. Le modèle donne les
résultats suivants (en milliards de dollars) :
86
Période de retour
Pertes Monde
Pertes US
Pertes Japon
Pertes France
100 ans
0.03
0
0
0
200 ans
0.07
0
0
0
500 ans
0.2
0.02
0
0
1 000 ans
0.44
0.08
0
0
5 000 ans
1.7
0.4
0.1
0.1
10 000 ans
3
0.8
0.4
0.2
100 000 ans
18.8
7
3
1.3
1 000 000 ans
64.3
26
19
10
Pertes max
190
183
190
63
Table 5.2 : Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et à
l’échelle de trois pays pour le modèle météorite (en milliards de dollars)
Après avoir construit les modèles, une analyse de la vitesse de convergence a été effectuée.
Cette analyse permet de déterminer un intervalle de confiance dépendant du nombre d’années
de simulation pour chaque période de retour.
Ces modèles permettent d’obtenir de manière rapide une vision probabiliste de ces deux périls
à faible fréquence et grande sévérité. Les principales limites des modèles sont dues aux fortes
approximations effectuées à chaque étape de la construction des modèles :
- détermination de la fréquence,
- taux de destruction induits par un évènement,
- exposition économique dans chaque zone.
Afin d’améliorer les résultats des modèles, une analyse plus fine de chacun des points s’avèrent
nécessaire.
Les résultats des deux modèles représentent des pertes économiques. Les notions de franchises,
de limites... ne sont pas modélisées. Une recherche sur le taux de pénétration de l’assurance
par pays pour calculer des pertes assurées et non des pertes économiques pourrait être envisagée.
87
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
Catastrophes naturelles de l’année 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de pertes économiques.
Catastrophes naturelles les plus coûteuses en terme de dommages assurés .
Catastrophes naturelles les plus meurtrières . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de la structure d’un modèle CAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbe de vulnérabilité et incertitude, RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extrait de la loi 82-600 du 13 juillet 1982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extrait d’un contrat de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution des périls couverts dans les contrats de réassurance . . . . . . . .
Cas pratique « burning cost » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple de « fit » d’une loi de fréquence à partir de l’historique . . . . . .
Modèle de climat (ccstib) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
Densité de loi Beta pour différentes valeurs de n et p = 0.999 . . . . . . . . . . 21
Illustration de la distribution du quantile empirique . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
Structure interne de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma d’un volcan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Éruption du Lascar, Chili (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1816, l’année sans été . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Localisation de la Caldeira de Yellowstone . . . . . . . . . . . . . . . .
Extrait de la base de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Illustration de la méthodologie de détection des pays . . . . . . . . . .
Comparaison de la superficie de certains pays . . . . . . . . . . . . . .
Destruction estimée de l’éruption du Mont Tambora (1815) . . . . . .
Destruction estimée du Pinatubo (1991) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma de matrice de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution dans le temps du nombre d’éruptions volcaniques . . . . . .
Répartition des volcans dans le monde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison du PIB de certains pays . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction de répartition de la loi de coût . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition du coût maximal ($ md) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction de répartition de la perte annuelle . . . . . . . . . . . . . . .
Pertes en fonction des périodes de retour du modèle 1 . . . . . . . . .
Fonctions de répartition empirique pour 100 000 années de simulation
88
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7
8
9
9
10
11
13
13
14
14
15
16
24
25
26
27
28
29
30
30
31
32
32
33
34
35
37
37
38
39
40
3.20 Comparaison des pertes en fonction des périodes de retour pour 100 000 et 10
millions d’années de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.21 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . .
3.22 Zoom de la fonction de répartition du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.23 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . .
3.24 Représentation des quantiles empiriques d’ordre 0.999 en fonction de n . . . .
3.25 Distribution du quantile empirique en fonction de n . . . . . . . . . . . . . .
3.26 Distribution des coûts sachant qu’une éruption a eu lieu . . . . . . . . . . . .
3.27 Comparaison des distributions paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.28 Distribution quantile empirique pour différentes valeurs de n . . . . . . . . .
3.29 Représentation de la distribution du quantile empirique en fonction de n . . .
3.30 Fonction de répartition empirique du modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.31 Pertes du modèle 2 en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . .
3.32 Pertes du modèle 3 en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . .
3.33 Pertes des 3 modèles en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . .
3.34 Schéma des taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.35 Nombres de volcans aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.36 Coûts les plus élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.37 Représentations de la fonction de répartition USA d’après le modèle 1 . . . .
3.38 Nombre de volcans au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.39 Pertes au Japon en fonction des périodes de retour . . . . . . . . . . . . . . .
3.40 Pertes en France métropolitaine en fonction des périodes de retour . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
.
.
.
.
.
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.
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.
.
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Illustration de météores (Manhattan Prep et The Telegraph) . . . . . . . . . . .
Cratère Barringer en Arizona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toungouska, environ 20 ans après l’explosion de 1908 (the Leonid Kulik Expedition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Explosions de météores enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013 . . . . . .
Nombre d’explosions de météores sur 20 ans en fonction de l’énergie . . . . . .
Méthode d’estimation de la matrice de destruction associée à une explosion de
8 Mt TNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma des matrices de destruction en fonction de l’intensité de l’explosion . .
Représentation de l’exposition en Europe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition de la perte (en million de $ ) sur Paris pour une explosion
d’intensité 60 Mt TNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 136 kilotonnes TNT a eu lieu
Distribution des coûts sachant qu’une explosion de 500 mégatonnes TNT a eu
lieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition des pertes économiques pour une explosion de 500 Mt TNT à Tokyo
Pertes économiques à l’échelle mondiale en fonction des périodes de retour . . .
Pertes économiques à l’échelle de la France en fonction des périodes de retour .
Pertes économiques à l’échelle des États-Unis en fonction des périodes de retour
Pertes économiques à l’échelle du Japon en fonction des périodes de retour . .
89
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
52
53
55
56
58
60
61
61
62
63
64
65
66
67
68
69
71
72
74
75
76
76
77
79
80
81
83
1
VEI USGS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
90
Liste des tableaux
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
5.1
5.2
Espérance et variance pour différentes valeurs de n . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs IC pour certaines valeurs de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison de pertes pour certaines périodes de retour . . . . . . . . . . . .
Hypothèses des taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du modèle 1 aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du modèle 1 à la fréquence des éruptions . . . . . . . . . . . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volcanique aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque volcanique au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé des explosions enregistrées par la NASA entre 1994 et 2013 . . . . .
Synthèse des résultats issus de la fonction (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rayons de surpression en fonction de l’intensité de l’explosion . . . . . . . . .
Probabilités liées à la sévérité de l’explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle . . . . . . . . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour la France . . .
Périodes de retour de certaines intensités d’explosions en France . . . . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météoritique aux États-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Périodes de retour de certaines intensités d’explosions aux États-Unis . . . .
Présentation de quelques résultats quantitatifs du modèle pour le risque météoritique au Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Périodes de retour de certaines intensités d’explosions au Japon . . . . . . . .
Sensibilité du modèle aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du modèle aux taux de destruction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du modèle à la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensibilité du modèle à la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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44
46
57
58
59
59
. 62
. 63
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68
70
71
73
78
80
80
. 82
. 82
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82
83
84
84
85
85
Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et
à l’échelle de trois pays pour le modèle volcan (en milliards de dollars) . . . . . 86
Résultats quantitatifs pour plusieurs périodes de retour à l’échelle mondiale et
à l’échelle de trois pays pour le modèle météorite (en milliards de dollars) . . . 87
91
Bibliographie
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[3]
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[4]
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the japan times (2015).
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p. 57–70.
[6] CoreLogic. url : http://eqecat.com.
[7]
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lois de valeurs extrêmes. http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/mrf.html. 2008.
[8]
Léonard Gallardo. Chapitre 4 : Notions sur les statistiques d’ordre et les distributions
d’échantillonage. http://www.lmpt.univ- tours.fr/~gallardo/Stat2008- 4.pdf.
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[9] Geology. url : http://geology.com/volcanoes.
[10] HYDESim. url : http://meyerweb.com/eric/tools/gmap/hydesim.html.
[11]
Jessica KANDLBAUER. Impact environnemental de l’éruption de Tambora de 1815 à
l’horizon 2015. University of Bristol, 2009.
[12]
Edern Le Roux. Mélange de modèles catastrophes à l’échelle d’un bassin. ISUP, 2013.
[13]
Florent Malrieu. Test de Kolmogorov-Smirnov-Convergence des quantiles empiriques.
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~malrieu/AGREG/quantiles.pdf. 2014-2015.
[14] NASA. Earth Observatory. url : http://earthobservatory.nasa.gov.
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[18] NOAA, National Oceanic and Atmospheric Administration. url : https://www.ngdc.
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[19] NukeMap. url : http://nuclearsecrecy.com/nukemap/.
92
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David Stock. “Spectacular Earth Impact Craters”. In : New Scientist (2009).
[24] The World Bank. url : http://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.CD.
[25] United States Geological Survey. url : http://volcanoes.usgs.gov.
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www.bgs.ac.uk/vogripa.
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[30]
Ryszard Zielinski. Optimal Quantile estimators small sample approach. http://www.
impan.pl/~rziel/Preprint653.pdf. IMPAN 2004.
93
Annexes
A
Indice d’explosivité volcanique (VEI)
L’indice d’explosivité volcanique ou VEI pour Volcanic Explosivity Index permet de décrire
la taille ou magnitude des éruptions explosives volcaniques. Cette échelle d’explosivité dépend principalement du volume des matériaux éjectés et de la hauteur du nuage d’éruption.
Cette échelle va de 0 à 8 comme l’illustre la figure ci-dessous. Chaque numéro représente une
augmentation d’un facteur d’environ 10 dans le volume des matériaux en km3 .
Figure 1 : VEI USGS
94
B
Lois de probabilités
Loi Gamma
La distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres : un paramètre de forme k et
un paramètre d’échelle θ. La densité de probabilité de cette loi est de la forme :
f (x; k, θ) =
x
1
xk−1 e− θ x > 0
Γ(k)θk
L’espérance et la variance d’une loi Gamma de paramètre {k; θ} sont :
E[X] = kθ et V ar(X) = kθ2
Loi Log-Normale
Supposons que X ∼ N (µ, σ 2 ), alors Y = exp X ∼ LN (µ, σ 2 ).
La densité de Y est donnée par
1
1 log(y) − µ 2
f (y; µ, σ) = p
exp [− (
) ]
2
2
σ
y (2πσ )
Ses premiers moments s’obtiennent à partir de la transformée de Laplace de la gaussienne :
E[Y t ] = E[exp Xt] = exp tµ + σ 2
t2
2
Loi de Pareto
La loi de Pareto notée Pa(α, λ) admet pour densité
f (x; α, λ) =
On a notamment :
E[X] =
αλα
α>0
(λ + x)α+1
λ
αλ2
et V ar(X) =
α−1
(α − 1)2 (α − 2)
Loi d’extremum généralisée
La loi d’extremum généralisée ou GEV pour Generalized Extreme Value est connue sous le
nom de la loi de Fisher-Tippett. La fonction de répartition est
x − µ −1/ξ
F (x; µ, σ, ξ) = exp (−[1 + ξ(
)]+ )
σ
avec (1 + ξ(x − µ)/σ)+ = max(0, 1 + ξ(x − µ)/σ).
µ ∈ R est un paramètre de position, σ > 0 est un paramètre de dispersion et ξinR est un
paramètre de forme.
Les valeurs ξ = 0, ξ > 0 et ξ < 0 correspondent respectivement aux lois de Gumbel, Fréchet
et Weibull :
95
• Loi de Gumbel
F (x; µ, σ, 0) = exp (− exp (−(x − µ)/σ)) , ∀x ∈ R
• Loi de Fréchet
(
0
si x ≤ µ.
−1/ξ
exp (−((x − µ)/sigma)
) si x > µ
F (x; µ, σ, ξ) =
• Loi de Weibull, (σ > 0)
(
F (x; µ, σ, ξ) =
exp (−(−(x − µ)/sigma)−1/ξ ) si x < µ
1
si x ≥ µ.
Loi de Pareto généralisée
La loi de Pareto généralisée ou GPD pour Generalized Pareto Distribution regroupe trois
distributions selon les valeurs du paramètre de forme, loi de Pareto usuelle pour ξ > 0, loi de
Pareto de type II pour ξ < 0 et la loi exponentielle pour ξ = 0. La fonction de répartition est
G(x; µ, σ, ξ) =

x−µ − 1ξ


(1 − (1 + ξ σ ) )1x∈]µ,µ− σ [



(1 − exp (− x−µ
σ ))1x≥0
x−µ − 1ξ
(1 − (1 + ξ σ ) )1x≥0
96
ξ
si ξ < 0
si ξ = 0
si ξ > 0
C
Estimation de paramètres de loi
En statistique classique, l’estimation des paramètres d’une loi de probabilité peut se faire
en utilisant différentes méthodes et notamment la méthode des moments ou la méthode du
maximum de vraisemblance. Illustrons ces méthodes pour la loi exponentielle.
Soit X1 , ..., Xn des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle exp (λ),
λ > 0, la fonction de densité est définie pour x > 0 comme
f (x; λ) = λ exp (−λx)
Estimation par la méthode des moments
L’espérance de cette loi est E(X) = 1/λ
P
La moyenne empirique X̄ = n1 ni=1 Xi est utilisée comme estimateur de l’espérance.
L’estimateur de λ par la méthode des moments est donc
λ̂ = 1/X̄
Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance La vraisemblance est la
suivante :
L(x1 , ..., xn ; λ) =
=
n
Y
i=1
n
Y
f (xi ; λ)
λ exp (−λxi )
i=1
= λn
n
Y
exp (−λxi )
i=1
n
= λ exp (−λ
n
X
xi )
i=1
La log de vraisemblance s’écrit donc :
n
log L(x1 , ..., xn ; λ) = log(λ exp (−λ
n
X
xi )) = n log(λ) − λ
i=1
n
X
xi
i=1
L’estimateur du maximum de vraisemblance λ̂ de λ est obtenu en annulant la dérivé première :
n
n X
∂ log L(x1 , ..., xn ; λ)
= −
xi = 0
∂λ
λ i=1
d’où
λ̂ =
1
1
n
Pn
i=1 xi
Il faut vérifier que la dérivé seconde est bien négative :
∂ 2 log L(x1 , ..., xn ; λ)
n
=− 2 ≤0
2
∂λ
λ
97