Mémoire présenté devant l`ENSAE Paris Tech pour l`obtention du

Mémoire présenté devant l’ENSAE Paris Tech
pour l’obtention du diplôme de la filière Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires
18 décembre 2015
Par :
Clémence ABRAHAMIAN
Titre:
Volcans, météorites et convergence
Confidentialité :
 NON  OUI (Durée :  1 an  2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de l’Institut
des Actuaires
signature
Entreprise :
Nom : Scor IP
Signature :
Membres présents du jury de la filière
Directeur de mémoire en entreprise :
Nom : Edern Le Roux
Signature :
Invité :
Nom :
Signature :
Autorisation de publication et de
mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels
(après expiration de l’éventuel délai de
confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat
Signature du candidat
Bibliothèque :
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE)
3, Avenue Pierre Larousse – 92245, MALAKOFF CEDEX, FRANCE

Résumé
Mots clés : catastrophe naturelle, modèle catastrophe, volcan, météorite, quantile, loi
empirique, convergence, période de retour.
Du fait de sa probabilité d’occurrence faible, le risque associé aux éruptions volcaniques
et aux chutes de météorites n’est pas toujours modélisé. Ces catastrophes naturelles sont
malgré tout couvertes dans certains contrats d’assurance et de réassurance.
L’objectif de ce mémoire est de construire pour ces deux périls un modèle catastrophe
permettant de déterminer une distribution de pertes à l’échelle d’un pays et à l’échelle
mondiale.
Ces modèles utilisent le PIB par habitant croisé avec la densité de population pour déter-
miner l’exposition. La modélisation de l’aléa se base sur une observation de la fréquence
et de la sévérité historique. La vulnérabilité à l’aléa volcanique se base sur des rapports de
destruction pour les événements historiques majeurs. Pour les météorites, la vulnérabilité
est déterminée par le lien entre l’énergie dégagée et le taux de destruction similaire à celui
observé lors d’explosions nucléaires.
On observe une grande volatilité des résultats pour ces périls de faible fréquence et de
sévérité extrême. Une étude des théorèmes de convergence de la distribution empirique
permet de maîtriser cette volatilité. On détermine ainsi un intervalle de confiance pour
chaque période de retour dépendant du nombre d’années de simulation et du modèle
sous-jacent.
Abstract
Key words : natural disaster, catastrophe modelling, volcano, meteorite, quantile, em-
pirical distribution, convergence, return period.
Due to their low occurrence probability, the risks related to volcanic eruptions and
meteorite falls are not always modeled. Still, these natural disasters are covered by some
insurance and reinsurance contracts.
The main goal of this thesis is to build a catastrophe model for these two perils for deter-
mining a loss distribution at the country level and at the global scale.
These models use the GDP per capita and the population density in order to determine
the exposure. The hazard modelling is based on observation of the historical frequency
and severity. The vulnerability to volcanic hazard draws on destruction reports about the
significant historical events. For meteorites, vulnerability is determined by the relation-
ship between the total energy released and the destruction rate similar to that observed
in nuclear explosions.
There is a high volatility in results for those perils with low frequency and extreme severity.
Study on convergence theorems for empirical distribution enable to control this volatility.
Thus, it is possible to calculate a confidence interval for each return period depending on
the number of years simulated and the underlying model.
2

Remerciements
Je tiens particulièrement à remercier la SCOR pour m’avoir donné l’opportunité de réaliser
mon stage de fin d’études dans un environnement professionnel de qualité.
J’adresse toute ma gratitude à Edern LE ROUX pour avoir accepté d’encadrer mon mémoire
et pour sa disponibilité, sa pédagogie et ses encouragements.
Je remercie l’équipe ILS de SCOR Investment Partners pour m’avoir accueillie dans leur
équipe.
Je suis reconnaissante à l’INSA de Toulouse ainsi qu’à l’ENSAE pour la qualité de leurs en-
seignements.
Je tiens également à remercier les stagiaires de la SCOR, notamment Morgane BARDON, Clo-
thilde DAVESNE, Léa MALAPERT, Sara MARZAK et Julie PLOUTON pour leurs conseils,
leurs partages d’expérience et leur sympathie au quotidien.
3

Table des matières
1 Présentation 7
1.1 Les catastrophes naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 ModèlesCAT[12] .................................. 10
1.2.1 Moduleexposition .............................. 10
1.2.2 Modulealéa.................................. 11
1.2.3 Module vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Modulefinancier ............................... 12
1.3 Périlsnonmodélisés ................................. 12
1.4 Couverture assurantielle des périls non modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Différentes approches de modélisation du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Modélisation basée sur l’historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Modélisation purement physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.3 Approchehybride .............................. 17
2 Convergence des lois empiriques 18
2.1 Inversegénéralisé................................... 18
2.2 Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Théorème de Glivenko-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Statistiqued’ordre .................................. 19
2.5 Quantilesempiriques................................. 19
2.6 Convergence quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Approximation de la distribution de quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Distribution statistique d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Distribution du quantile empirique de loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10 Loi du quantile empirique de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Modèle d’éruption volcanique 24
3.1 Descriptiondurisque................................. 24
3.1.1 Origine .................................... 24
3.1.2 Formation et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Impact..................................... 26
3.2 Modélisation ..................................... 29
3.2.1 Étapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Module vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Modulealéa.................................. 33
3.2.4 Moduleexposition .............................. 34
4

3.3 Approche exacte du modèle 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 Périodederetour............................... 39
3.4 Approche par simulation du modèle 1 et étude sur la convergence . . . . . . . . 40
3.4.1 Fonctions empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2 Distribution des quantiles empiriques du modèle . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Dudiscretaucontinu ................................ 47
3.5.1 «Fit»deloi ................................. 47
3.5.2 Distribution des quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Modèle2 ....................................... 51
3.6.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Modèle3 ....................................... 54
3.7.1 Principes et hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.2 Fonction de répartition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.3 Simulations et résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8 Comparaison des modèles et résultats par pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8.1 Comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8.2 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8.3 Résultatsparpays .............................. 60
4 Météorites 65
4.1 Introduction et description du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Evénementshistoriques ............................... 66
4.3 Modèle......................................... 68
4.3.1 Étapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Étude de la vulnérabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3 Modulealéa.................................. 72
4.3.4 Exposition .................................. 74
4.3.5 Evénements historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.6 Étude de la répartition des pertes économiques à l’échelle mondiale . . . 75
4.3.7 Résultat à l’échelle mondiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.8 Résultatsparpays .............................. 79
4.3.9 Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Conclusion 86
Annexes 94
A Indice d’explosivité volcanique (VEI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B Loisdeprobabilités.................................. 95
C Estimation de paramètres de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5