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3–PROBLÈMESDECHUTE
Ce chapitre est accessible en ligne à l’adresse :
http://femto-physique.fr/mecanique/meca_C3.php
Sommaire
3.1 Le principe d’équivalence .............................. 36
3.1.1 Enoncé .................................... 36
3.1.2 Tester le principe d’équivalence ....................... 36
3.2 La chute libre sans frottement ............................ 37
3.2.1 Cas unidimensionnel ............................. 37
3.2.2 Cas bidimensionnel .............................. 37
3.3 Chute libre avec frottement ............................. 39
3.3.1 Cas unidimensionnel ............................. 39
3.3.2 Cas bidimensionnel .............................. 41
3.3.3 Ordres de grandeur .............................. 41
35

CHAPITRE 3. PROBLÈMES DE CHUTE 36
3.1 Le principe d’équivalence
3.1.1 Enoncé
Le principe d’équivalence est la pierre angulaire de la théorie de la Relativité Générale qu’Albert
Einstein proposa en 1915 pour traiter la gravitation dans un cadre relativiste. En l’état actuel de
nos connaissances, ce principe ne trouve pas d’explication, ce qui explique qu’on l’érige en principe.
Il identifie deux propriétés de la matière conceptuellement différentes :
¶ La masse inerte m qui mesure l’effort à exercer pour changer l’état de mouvement d’un corps.
Plus cette masse est grande, plus il est difficile de changer la vitesse d’un corps. Il s’agit
d’une propriété qui se rapporte à l’inertie du mouvement.
¶ La masse grave mú qui mesure le couplage entre un corps et le champ de gravitation. Plus cette
masse est grande, plus la force d’attraction dans le champ de gravitation sera importante.
Principe d’équivalence
Pour tous les corps, la masse grave est proportionnelle à la masse inerte. Plus exactement, le
rapport k = mú/m est indépendant de la composition chimique. On choisit k =1ce qui permet
d’adopter une seule unité pour la masse grave et inerte : le kilogramme, défini à partir d’un
bloc cylindrique de Platine iridié (90%Pt-10%Ir), conservé au Bureau International des Poids et
Mesures situé à Sèvres, depuis 1889.
3.1.2 Tester le principe d’équivalence
Une conséquence de ce principe est l’universalité de la chute libre dans le vide. En effet si l’on
considère un corps matériel de masse inerte m , de masse grave mú tombant dans le vide dans un
champ de pesanteur
≠æg
, alors l’équation fondamentale de la dynamique m≠æa = mú≠æg donne, si
m=mú,≠æa=≠ægpour tous les corps
Ainsi une plume et un marteau tombent à la même vitesse dans le vide. Pour l’anecdote, cette
expérience fut réalisée sur la Lune en 1971 lors de la mission Apollo 15, par le commandant David
Scott 1.
La violation du principe d’équivalence signerait l’émergence d’une nouvelle physique ; c’est pourquoi
il est important de savoir avec quelle précision est vérifiée ce principe ne serait ce pour fixer des
contraintes sur les nouvelles théories alternatives.
Avant la fin du XIX
e
siècle, l’étude précise de l’isochronisme des pendules permit de vérifier le
principe d’équivalence avec une précision de 10
≠5
près (Bessel 1830). On doit au Baron Von Eötvös,
un scientifique hongrois, un test du principe d’équivalence en 1890, avec un gain de précision de
trois ordres de grandeur. Eötvös inventa une balance de torsion capable de mesurer très précisément
les variations de pesanteur et réalisa que son appareil pouvait également servir à tester le principe
d’équivalence : deux masses de composition différente sont suspendues aux extrémités d’un pendule
de torsion ; la mesure consiste à vérifier que le bras du pendule tourne de 180 ° lorsque la tête du fil
de suspension tourne de la même quantité. Les masses subissant l’attraction gravitationnelle de
la Terre et la force centrifuge due à la rotation de celle-ci, une différence devait être enregistrée
si le rapport k = mú/m dépendait de la composition chimique
2
. Eötvös vérifia ainsi le principe
d’équivalence avec une précision de 5 . 10
≠8
. Plus récemment, Adelberger trouva avec la même
technique, une précision de 2.10≠13.
1 . une vidéo est disponible sur le site de la NASA à l’adresse http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/lunar/
apollo_15_feather_drop.html
2 .M.M.Nieto. “Actually, Eötvös did publish his results en 1910 it’s just that no one knows about it...” In :
Am. J. Phys. 57.5 (1989).

CHAPITRE 3. PROBLÈMES DE CHUTE 37
A partir de la fin du XX
e
siècle, des expériences de chute libre dans des tours à vide furent également
réalisées. Dans ces tours, la précision est limitée par la résistance de l’air résiduel et par le bruit
sismique. Elle est de l’ordre de 10
≠10 ≠
10
≠12
tout de même. Le meilleur vide que l’on connaît
étant celui qui règne dans l’espace, l’étude des astres du système solaire en chute libre dans le
champ de gravitation du Soleil permet également de tester le principe d’équivalence. Par exemple,
grâce aux réflecteurs installés sur la Lune lors des missions Apollo, les scientifiques peuvent, par
télémétrie laser, mesurer précisément la position de la Lune. Les compositions internes de la Terre
et de la Lune étant différentes, ces deux astres devraient être accélérés différemment vers le Soleil
en cas de violation du principe d’équivalence. La télémétrie laser confirme le principe d’équivalence
avec une précision de 2.10≠13 !
3.2 La chute libre sans frottement
Commençons tout d’abord par traiter le problème simple de la chute libre dans le vide. Considérons
un point matériel M de masse m en chute libre dans un champ de pesanteur uniforme. Le principe
fondamental de la dynamique associé au principe d’équivalence nous dit que
≠æa=≠æg=∆≠æv=≠ægt+≠æ
v0(3.1)
où
≠æ
v0 désigne la vitesse initiale. Le mouvement uniformément accéléré est alors soit rectiligne soit
plan. Analysons ces deux cas de figure.
3.2.1 Cas unidimensionnel
Si le corps est lancé avec une vitesse initiale colinéaire à
≠æg
, la trajectoire est nécessairement
rectiligne puisque l’accélération est à chaque instant colinéaire à la vitesse. Notons z ( t )l’altitude
du point matériel à l’instant tet hl’altitude initiale. L’équation (3.1) aboutit à
˙z=v0≠gt =∆z=v0t≠1
2gt2+h
Il est facile de montrer que le corps atteint le sol avec une vitesse vs =
Òv2
0+2gh
. Dans le cas
particulier où le corps est lâché sans vitesse initiale on obtient la fameuse formule :
vs=2gh ¸(3.2)
La vitesse de chute est indépendante de la masse et de la forme du corps. Notez que cette loi
est la même que celle à laquelle obéissent les liquides peu visqueux lors de la vidange d’un
récipient cylindrique. La vitesse d’écoulement varie comme la racine carré du niveau d’eau entre
la surface libre et l’orifice de sortie (cf. formule de Torricelli à l’adresse http://femto-physique.
fr/mecanique_des_fluides/mecaflu_C2.php).
3.2.2 Cas bidimensionnel
Si initialement le corps est lancé avec un vecteur vitesse non colinéaire à
≠æg
, la trajectoire n’est
plus rectiligne. En revanche elle est nécessairement plane 3.
3 . On observe une trajectoire plane quand le vecteur accélération et le vecteur vitesse restent constamment dans
le même plan ; propriété violée par exemple lorsqu’on tient compte de la rotation terrestre dans l’étude de la chute
libre.

CHAPITRE 3. PROBLÈMES DE CHUTE 38
x
≠ægM
≠æv(t)
≠æ
v0
◊
z
Figure 3.1 – Position du problème.
Plaçons le corps matériel à l’origine d’un système d’axes ( x O z ) et lançons le avec une vitesse
≠æ
v0
formant un angle ◊ par rapport à l’axe (O x ). L’équation (3.1) projetée sur l’axe O x donne
˙x=v0cos◊=∆x=v0tcos◊
Le mouvement suivant Oxest uniforme. En projetant selon Ozon obtient
˙z=v0sin◊≠gt =∆z=v0tsin◊≠1
2gt2
Le mouvement suivant O z est uniformément accéléré. L’élimination du temps permet de trouver
l’équation de la trajectoire :
z=≠1
2
g
v2
0cos2◊x2+xtan◊
Le point M décrit une trajectoire parabolique.
La portée xmax du lancé désigne la distance à laquelle retombe le projectile. Il est facile de montrer
que
xmax =v2
0sin2◊
g
La valeur de l’angle ◊ qui permet de lancer le projectile le plus loin possible correspond donc
à
sin2◊=1 soit ◊= 45°
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
≠æg
Figure 3.2 – Influence de l’angle ◊sur la trajectoire.

CHAPITRE 3. PROBLÈMES DE CHUTE 39
3.3 Chute libre avec frottement
Envisageons maintenant la présence de frottements et cherchons l’influence qu’ils ont sur la
trajectoire et la vitesse. Pour simplifier, on considère que le frottement se résume à une force de
trainée Ft.
3.3.1 Cas unidimensionnel
Notion de vitesse limite
Lâchons un corps matériel de masse m , de volume V et de masse volumique fl dans un fluide de
masse volumique flf . On observe une phase accélérée suivie d’un mouvement uniforme à la vitesse
vŒ dite vitesse limite. En effet, à suffisamment grande vitesse, la force de frottement Ft compense
les effets de la pesanteur (poussée d’Archimède inclue) ce qui impose une accélération nulle et
donc une vitesse constante. La poussée d’Archimède, étant l’opposée du poids du fluide déplacé,
s’écrit ≠æ
⇧=≠flfV≠æg=≠flf
flm≠æg
De sorte que la somme du poids et de la poussée d’Archimède peut s’interpréter comme un poids
apparent de champ de pesanteur ≠ægÕ
≠æP+≠æ
⇧=m≠ægÕavec ≠ægÕ=31≠flf
fl4≠æg
et la vitesse limite est donnée par l’équation
m|gÕ|=Ft
La vitesse limite dépend donc de la masse et du fluide. Cherchons la durée caractéristique de la
phase accélérée ainsi que l’expression de la vitesse limite en étudiant deux modèles simplistes.
Frottement linéaire
Dans le cas des petites vitesses, on peut modéliser la force de traînée, en première approximation,
par une force linéaire en vitesse ≠æ
Ft=≠–≠æv
où – désigne un coefficient de frottement qui dépend de la taille du corps et de la viscosité du fluide.
La vitesse limite s’écrit vŒ = mgÕ/– . A partir de la vitesse limite et de la pesanteur apparente, on
peut construire une grandeur homogène à un temps que nous appellerons · = vŒ/gÕ . La relation
fondamentale de la dynamique se met alors sous une forme canonique
m˙v=mgÕ≠–v=∆˙v+v
·=vŒ ·
dont la solution est
v(t)=vŒË1≠e≠t/·È
Le temps caractéristique · représente donc le temps de relaxation de la vitesse. Pour une durée
de 5 · on fait une erreur inférieure à 1% en écrivant vƒvŒ . On pourra donc considérer que 5 ·
représente la durée du régime transitoire.