i. enregistrement du mouvement

TP physique n° 12
ETUDE DE LA CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE DANS L’AIR
OBJECTIFS :
- enregistrer le mouvement de chute verticale d’un parachute dans l’air ;
- exploiter l’enregistrement pour connaître l’évolution de la vitesse au cours du temps ;
- établir l’équation différentielle du mouvement et chercher sa solution ;
- comparer les résultats expérimentaux aux résultats obtenus à partir de calculs théoriques.
I. ENREGISTREMENT DU MOUVEMENT
1) La prise de vue
Une webcam filme le mouvement de chute d’un parachute dans l’air, les images sont prises à intervalles de temps
égaux dt. Elles sont stockées sur le disque dur de l’ordinateur.
2) Exploitation de l’enregistrement par le logiciel AVIMECA (dans icône MECANIQUE)
 Ouvrir AVIMECA, puis Fichier, Ouvrir un clip vidéo, et sélectionner « chute dans un fluide », puis « chute
dans l’air» puis parachute 10g.
 Agrandir le clip : clic sur la 2ème icône, puis cocher Adapter, OK , puis valider oui.
 Observer l’enregistrement : en bas, à gauche, puis revenir à l’image n° 1
 Etalonner l’image : dans l’onglet « étalonnage » à droite de l’écran :
- valider système d’axes, choisir Oy vers le bas et positionner l’origine O des axes sur le point A,
point du contact fil-objet;
- valider échelle verticale, cocher « 1er point » et pointer le haut de la règle de 1 m qui a été placée
dans le champ de la caméra. Cocher « 2ème point » et pointer le bas de la règle.
 Effectuer les mesures : sélectionner l’onglet « mesures ». Un tableau de mesures apparaît : pour chaque
position du pointeur validée par un clic, les coordonnées x et y du pointeur sont stockées dans ce
tableau. A chaque clic, le film avance automatiquement d’une image.
- pointer soigneusement les positions successives de A jusqu’à la fin de la chute.
- la 1ère image ne correspond pas au début du lâcher. Revenir à la 1ère image, faire défiler dans le
tableau, et repérer l’image qui correspond au lâcher. Choisir l’origine des dates t = 0 (en bas du
tableau) pour qu ‘elle corresponde à l’image qui précède juste le lâcher.
 Copier le tableau de mesures dans le presse-papier : icône PP (avec tableau), puis OK.
 Fermer AVIMECA .
3) Traitement des mesures par le logiciel EXCEL (dans icône UTILITAIRES)
a) Evolution de la vitesse au cours de la chute.
 Ouvrir EXCEL, puis Edition Coller : les mesures de AVIMECA sont transférées dans une feuille de
calculs.
 Supprimer la colonne des x, et aménager le tableau pour obtenir :
A
B
C
D
E
F
1
t (s)
y (m)
Vexp (m.s-1)
2
0
0
3
= ………………..
 Entrer dans la cellule D3 la formule qui permet de calculer la vitesse vexp. Puis effectuer les calculs de la
colonne D par un clic glissé.
 Sélectionner les colonnes A et D, puis utiliser l’assistant graphique et tracer la courbe vexp = f (t).
b) Interprétation de la courbe vG = f(t)
Reproduire l’allure générale de la courbe ci-contre.
- Commenter l’évolution de vG :
t(s)
v (m.s
G-1)
0

- déterminer la valeur de la vitesse limite vlim =
- Déterminer la date t pour laquelle la vitesse limite est atteinte : t = ………
- On admet qu’il existe un temps caractéristique  et que la vitesse limite est atteinte pratiquement quand t = 5 ,
déterminer l’ordre de grandeur de : …………….
- Au vu de l’allure de la courbe vG = f(t) et par analogie avec le dipôle RC, proposer une expression pour la fonction
vG (t).
II. ETUDE THEORIQUE DU MOUVEMENT
On étudie le mouvement de chute du parachute dans le référentiel terrestre. Les conditions initiales sont les
suivantes :
A la date t = 0, le centre d’inertie G quitte le point O sans vitesse initiale, vG(0) = 0.
Les positions ultérieures de G sont repérées sur l’axe vertical Oy.
1) Application de la 2ème loi de Newton
 Faire le bilan des forces extérieures au parachute et les représenter sur le dessin.
 Appliquer la 2ème loi de Newton et projeter la relation obtenue sur l’axe Oy :
 En déduire l’expression de l’accélération aG :
 dans la 1ère phase du mouvement :
Comment évolue l’accélération au cours de cette phase ?
Comment évolue la force de frottement ?
Quelle est la valeur initiale de l’accélération ? aGo =
 dans la 2ème phase, quand la vitesse limite est atteinte :
Que peut-on dire des forces extérieures au parachute ?
Quelle est alors la valeur de la force de frottement ?
2) Equation différentielle du mouvement
Comme la force de frottement a une valeur f qui augmente quand la vitesse de G augmente, on cherche un modèle
pour les forces de frottement fluide.
On écrira vG = v pour alléger les écritures.
Les expressions f = k v et f = k v2 peuvent convenir, mais il faut les confronter à l’expérience.
Seul le modèle f = k v sera testé ici, dans lequel k est une constante qui dépend du parachute.
La force de frottement est colinéaire à Oy, elle a le sens contraire à Oy et sa valeur est f = kv.
 Etablir, à partir de la 2ème loi de Newton la relation qui lie v et sa dérivée dv/dt :
 L’expression obtenue est l’équation différentielle du mouvement, elle est du premier ordre. Sa solution v(t)
est donc une fonction ………………………………………..
G
O
y

Par analogie avec le dipôle RC, donner une expression de v(t) : v = ……………………………..
3) Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’ Euler
a) Principe de la méthode
C’est une méthode itérative : connaissant les conditions initiales : vo = 0 et aGo = 9,8 m.s-2, on calcule la valeur v1 de
la vitesse pour un pas de calcul dt petit devant le temps caractéristique . Puis on calcule successivement, par la
même méthode, les valeurs de v aux dates 2dt, 3dt, 4 dt, etc……
Si on connaît, à la date ti, les valeurs de vi et de aGi = (dv/dt) i , on peut calculer vi +1  vi + aGi . dt
b) Détermination des constantes qui figurent dans l’équation différentielle :
m = …………………….. kg
Détermination de la constante k :
- quelle est la valeur de dv/dt quand la vitesse limite est atteinte ?
- utiliser alors l’équation différentielle pour déterminer l’expression de k, puis sa valeur numérique, en unités
SI :
- calculer la valeur du rapport k/m.
c) Calcul des premières valeurs
- La durée séparant deux images du film est dt = 0,033 s. Vérifier que dt est petit devant  et qu’il peut servir
comme pas de calcul pour la méthode d’ Euler.
- A partir de l’équation différentielle, établir la relation donnant aGi en fonction de vi.
- Effectuer les calculs correspondant aux premières valeurs :
t
v ( m.s-1 )
aG= (dv/dt) en m.s-2
0
vo = 0
aGo =
dt = 0,033 s
v1 =
aG1 =
2 dt = 0,066 s
v2 =
aG2 =
d) Calculs pour l’ensemble du mouvement
- Compléter la feuille de calculs d’Excel :
A
B
C
D
E
F
1
t (s)
y (m )
vexp ( m.s-1 )
veuler ( m.s-1 )
a ( m.s-2 )
2
0
0
0
9,8
3
0.033
- Chercher les formules à entrer dans les cellules E3 et F3 pour que le tableur effectue les calculs de la
méthode d’ Euler.
- Valider les deux cellules, puis effectuer un clic glissé jusqu’en bas du tableau.
- Sélectionner les colonnes A, D et E pour tracer les graphes vexp = f(t) et vEuler = f(t).
- Comparer les résultats expérimentaux à ceux qui sont obtenus par la méthode d’ Euler.
- La modélisation F = - k v de la force de frottement paraît-elle satisfaisante ?