Corrigé de : Chapitre6. Exercice 8 « Transformateur monophasé en

gnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 8 - 1 - MagnElecPro Electroma
Corrigé de : Chapitre6. Exercice 8
« Transformateur monophasé en régime alternatif sinusoïdal»
I Hypothèse du circuit magnétique linéaire: (B = µ.H avec µ=constante)
En régime alternatif sinusoïdal, si on néglige la chute de tension aux bornes de la résistance par rapport à la
tension d’alimentation, on peut utiliser la formule de Boucherot : U
1
r
max11 ....44,4 BSfN
eff
=
Sachant que le transformateur est alimenté sous sa tension primaire nominale, la valeur maximale de l’induction
à laquelle il est soumis est donc 1,6 T.
Pour déterminer la force magnétomotrice nécessaire à l’obtention de cette induction, on utilise le théorème
d’Ampère :
AHHIN sjosjoferfero 591412,2.250... int
max
int
maxmax
11
=
+
=
+= ll
Le courant est alternatif sinusoïdal AIN eff
o418
2
591
.11 ==⇒
II Circuit magnétique sans hypothèse particulière:
(On ne conserve pas l’hypothèse simplificatrice B = µ.H avec µ=constante)
2.a) A vide, VVIr eff
o10000783,029,0.7,2. 11
<
<== . On peut donc négliger la chute de tension aux
bornes de par rapport à la tension d’alimentation (Attention, on ne néglige jamais dans l’absolu, mais
toujours « par rapport à »)
1
r
A vide , la résistance est sans influence
2
r
2.b) On peut donc toujours utiliser la formule de Boucherot : Umax11 ....44,4 BSfN
eff
=
(car celle-ci est
indépendante du comportement du circuit magnétique).
spires
BSf
U
Neff 1564
6,1.018,0.50.44,4
10000
....44,4 max
1
1===⇒
En régime alternatif sinusoïdal, on peut retenir le modèle suivant :
2
i
1
i
2
u
1
u
2f
L2
r
F
R
1f
L
1
r
m
1
H
L
m
i1
2
i.m
12 e.me
=
1
e
Plusieurs modélisations sont possibles pour décrire le comportement du transformateur : on peut globaliser les
fuites au primaire (dans ce cas ) ou les globaliser au secondaire (dans ce cas ) ou encore les
répartir entre le primaire et le secondaires.
0
2=
f
L0
1=
f
L

gnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 8 - 2 - MagnElecPro Electroma
Mais quel que soit le choix retenu, le rapport de transformation reste sensiblement
1
2
N
N
m=pour un
transformateur industriel (car les flux de fuites sont très faibles par rapport au flux principal dans le circuit
magnétique).
« à vide », par définition, le courant secondaire est nul, donc )(.)( 12 temtu
=
. Le courant primaire à vide est
faible par rapport au courant nominal (en charge « nominale »), donc pour un transformateur industriel usuel :
à vide :
()
)t(e)t(e
dt
)t(id
.L)t(i.r)t(u 11
1
1f111 −≈−+= .
En conclusion : à vide :
1
2
1
1
1
2
)(
)(.
)(
)(
N
N
m
te
tem
tu
tu −=−=
−
=
0224,0
10000
224
1
2
1
2====⇒ N
N
m
U
U
videà
eff
videà
eff
spiresN
N
m35
1564
0224,0 2
2=⇔==⇒
(On retrouve le même résultat en appliquant la formule de Boucherot au bobinage secondaire :
spires
BSf
U
Neff 35
6,1.018,0.50.44,4
224
....44,4 max
2
2===
2.c) A vide, on peut donc négliger la chute de tension aux bornes de par rapport à la tension d’alimentation.
1
r
o
P
1
⇒ est la puissance active dissipée dans
F
R
La valeur efficace de la composante active du courant qui traverse
o
I1
F
R vaut :
A
U
P
I
eff
o
eff
a
o12,0
10000
1200
1
1
1===
La valeur efficace de la composante réactive du courant qui traverse
o
I1 1
H
L vaut :
()
()
A
U
PIU
U
Q
I
eff
ooeff
eff
eff
o
eff
r
o264,0
10000
120029,0.10000
.2
2
1
2
1
2
11
1
1
1=
−
=
−
==
On peut également trouver en remarquant que
eff
r
o
I1a
o
I1 et r
o
I1 sont en quadrature.
AIII eff
r
ooeff
eff
r
o264,012,029,0 22
2
1
2
11 =−==−=⇒

gnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 8 - 3 - MagnElecPro Electroma
On en déduit : Ω=== k
I
U
R
eff
a
o
o
F3,83
12,0
10000
1
1 ou Ω=== k
P
U
R
o
o
F3,83
1200
100002
1
2
1
Et Ω=== k
I
U
L
eff
r
o
o
H87,37
264,0
10000
.
1
1
1
ω ou Ω=== k
Q
U
L
o
o
H87,37
2640
10000
.
2
1
2
1
1
ω
2.d) En se plaçant dans l’hypothèse de Kapp, on peut ensuite établir un « modèle équivalent ramené au
secondaire » (voir le cours) :
Ce modèle est représenté en complexe car le
régime est alternatif sinusoïdal.
2
1m.r
12 E.mE =
2
r
ω
.L.j fs
1
U.m 2
U
2
I
m
I1
s
Z
charge
Si on établit un court-circuit au secondaire :
(
)
2s2fs2
2
112 I.ZI..L.jrm.rU.m0U =++=⇔=
ω
⇒ En court-circuit :
2
1
.
I
Um
Zs=. On en déduit : Ω== 02627,0
500
600.0223,0
s
Z
Lors de l’essai en court-circuit les pertes fer sont négligeables devant les pertes Joule :
WPP cc
Joule 720
1=≈⇒
(
)
()
ωω .L.jr.L.jrm.rZ fssfs2
2
1s +=++=
(
)
2
2
2
22
2
1
2
22
2
11 .... effs
effeffeff
Joule IrIrmrIrIrP =+=+= .
Lors de l’essai en court-circuit : Ω==⇒==≈= −3
2
2
2
21 10.88,2
500
720
500..720 ss
eff
ccsJoule
cc rrIrPP
() Ωωω 0261,000288,002627,0rZ.L.LrZ 22
2
s
2
sfs
2
fs
2
ss =−=−=⇒+=
La chute de tension en charge obtenue par la formule approchée du cours est :
)sin(..)cos(... 2222212
ϕ
ϕ
eff
s
eff
s
effeff IXIRUUmU
+
=−=∆
VU 44,10.500.0261,01.500.10.88,2 3
2=+=∆⇒ −
Donc U VUUm effeff 6,22244,1224. 212 =−
=
∆−= en charge nominale résistive.

gnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 8 - 4 - MagnElecPro Electroma
2.e) Avec l'hypothèse de Kapp, on a établi dans le cours un schéma équivalent "ramené au primaire" :
ω
.L.j 1
H
F
R
10
i
2
I.m
2
ch
m
Z
2
2
m
r
1
r
1
U
ω .
m
L
.j 2
fs
1
I
Soit
ω
ω
.L.jr
m
.L
.j
m
r
rZ pp
2
fs
2
2
1p +=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+=
Et sachant que
(
)
()
ωω .L.jr.L.jrm.rZ fssfs2
2
1s +=++= ,
On en déduit : Ω=== −
74,5
0224,0
10.88,2
2
3
2
m
r
rs
p et
Ω
ω
ω 52
0224,0
0261,0
m
.L
.L 22
fs
fp ===
L’impédance ch
Z constitue la charge appliquée aux bornes du secondaire.