Méthode d`Euler

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
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Approfondissement n° 1 : METHODE D'EULER
I) Forces exercées par un fluide
1)
:
Poussée d'Archimède
Un solide est accroché à un dynamomètre (dans l'air) : le solide est en
équilibre sous l'action de deux forces, son poids et la tension du
dynamomètre :
:
→
T
+
→
P
=
→
0
Le dynamomètre indique la valeur du poids puisque T = P
On immerge le solide dans de l'eau : on constate que la valeur indiquée
par le dynamomètre diminue : le solide est en équilibre sous l'action de
trois forces :
→
T
+
→
P
+
→
F
=
→
0
F
→ est la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le solide. C'est la
résultante des forces qu'exerce le fluide sur toute la surface du solide.
Nous admettrons le théorème d'Archimède :
La poussée exercée par un fluide de masse volumique ρfluide sur un objet totalement
immergé de volume Vobjet, est une force verticale, dirigée vers le haut, dont la droite d'action
passe par le centre de poussée C, et dont la mesure est F = ρfluide.Vobjet.g.
Le centre de poussée C est le barycentre du volume de l'objet.
2) Frottement fluide
La poussée d'Archimède peut parfois avoir des effets négligeables (objet dense suspendu à
un fil dans l'air). Mais nous savons que lorsqu'un objet se déplace dans un fluide, il subit des
frottements liés à ce déplacement. En effet :
:
Lorsqu'un solide est en mouvement dans milieu fluide il subit de la part de ce fluide, des
actions de contact différentes de celles qu'il subirait à vitesse nulle (poussée d'Archimède) :
On modélise ces actions en considérant, outre la poussée d'Archimède, des forces appelées
forces de frottement fluide
La force de frottement fluide f
→ a même direction que le vecteur vitesse du solide mais un
sens opposé, sa valeur dépend de la valeur de la vitesse du solide et de la nature du fluide :
. Nous admettrons que :
- pour de faibles valeurs de la vitesse (quelques cm.s−1), on a : f = k.v (f est une fonction
linéaire de la vitesse).
- pour des vitesses élevées, on a : f = k'.v2 (f est une fonction quadratique de la vitesse).
Les coefficients k et k' dépendent de la nature du fluide mais aussi de la forme de l'objet et
de sa taille mais pas de la masse volumique de l'objet.
Exemple : Dans le cas d'une vitesse faible et d'un solide sphérique, on a la formule de
Stokes : f = 6.π.r.η.v donc k = 6.π.r.η où r est le rayon de la sphère et η est la
viscosité du fluide.
II) Chute verticale d'un solide dans un fluide
1)
:
Equation différentielle
On étudie la chute verticale d'une bille de masse volumique ρB et de volume V (de masse
mB = ρB.V) dans un fluide de masse volumique ρF. La bille est lâchée sans vitesse initiale
dans le champ de pesanteur uniforme
:
→
0
g
. Nous admettrons que les vitesses restent faibles.
Système : la bille
Référentiel
: le référentiel du laboratoire ou terrestre (considéré comme galiléen).

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Bilan des forces
- son poids
: Lors de la chute dans fluide, la bille est soumise à :
→
P
: vertical dirigé vers le bas et tel que P = mB.g0.
- la poussée d'Archimède
→
F
: verticale dirigée vers le haut et telle que
F = ρF.V.g0 = mF.g0, où mF la masse de fluide "déplacée".
- la force de frottement fluide
→
f
: verticale dirigée vers le haut et telle que
f = k.v en supposant que la mesure v de la vitesse reste faible.
Application de la deuxième loi de Newton
→
P
: +
→
F
+
→
f
= mB.
→
G
a
Choix du repère
→
i
: étant donnée la symétrie du problème, on ne définit qu'un seul axe vertical
dirigé vers le bas et orienté par le vecteur unitaire : soit x'x cet axe d'origine O, point de
départ de la bille et qui constitue l'instant initial.
On a : Px.
→
i
+ Fx.→
i
+ fx.→
i
= mB.aGx.
→
i
ou Px + Fx + fx = mB.aGx
Et avec : Px = P = mB.g0 ; Fx = − F = − mF.g0 ; fx = − f = − k.vx et aGx = dvx/dt
D'où mB.g0 − mF.g0 − k.vx = mB.
dt
dvx
D'où :
dt
dv
x
= −
B
m
k
.vx +
B
0FB
mg).mm( −
ou
dt
dv
= −
B
m
k
.v +
B
0FB mg).mm( −
C'est une équation différentielle en vx(t) ou v(t).
Remarque : Si on étudiait une chute verticale dans l'air, avec une vitesse de quelques
dizaines de m.s−1, on utiliserait l'expression f = k'.v2 des frottements fluide.
2) Résolution de l'équation différentielle
a) Méthode numérique d'Euler :
:
Soit à résoudre une équation différentielle de la forme : a(t) = dv/dt = α.v(t) + β,
où α = − k/mB et β = (mB − mF).g0/mB sont connus ou peuvent être déterminés.
Supposons qu'à la date t1 (qui peut être l'instant initial), on connaisse la valeur de
l'accélération a(t1) et de la vitesse v(t1).
A une date t2 très voisine de t1, telle que t2 = t1 + δt où δt est très petit, on sait que :
dt
)t(dv )t1 ≈
t
)t(v)tt(v 11
δ
−δ+ ceci est d'autant plus juste que δt est petit. On peut déterminer :
- la valeur de la vitesse par l'expression : v(t2) = v(t1 + δt) ≈ v(t1) +
dt )t(dv
)t1.δt
Soit v(t2) = v(t1) + a(t1).δt
- la valeur de l'accélération à l'aide de l'équation différentielle : a(t) =
dt )t(dv
= α.v(t) + β
Soit a(t2) = α.v(t2) + β
Par itérations successives, on pourra déterminer numériquement les différentes valeurs
de la vitesse v(t) et de l'accélération a(t). Donc, si on connaît les conditions initiales, on
peut, pas à pas construire d'une façon numérique, la solution de l'équation différentielle.
Exercice : Une bille de rayon r = 7,2 mm et de masse volumique ρB = 3000 kg.m−3, est
lâchée sans vitesse initiale dans du glycol, de masse volumique ρF = 1260 kg.m−3, et de
viscosité η = 2,8 N.s.m−2. g0 = 9,81 m.s−2.
La formule de Stokes est : f = 6.π.r.η.v. On considérera que les vitesses restent faibles.
Retrouver l'équation différentielle et déterminer la valeur de α et β.
A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice et en prenant un pas de δt = 5 ms construire le
tableau à trois colonnes des valeurs de t, v(t) et a(t).
Editer le graphique v = v(t) de la solution de l'équation différentielle.
Comparer les résultats en prenant un pas δt = 1 ms puis un pas de δt = 9 ms.

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Solution : On établit l'équation différentielle :
dt
)t(dv = −
B
m
k
.v(t) +
B
0FB mg).mm( −
Dans laquelle : mB = ρB.V = ρB.
3
4
.π.r3 ; mF = ρF.V = ρF.3
4.π.r3 ; k = 6.π.r.η.
Soit l'équation : a(t) = dv(t)/dt = α.v(t) + β dans laquelle on a posé :
α = − B
m
k
= − 3
3
4
Br... .r..6
πρ
ηπ = −
2
B
r..2 .9 ρ
η
= − 81,0 s−1 ;
β =
B
0FB
mg).mm( −
=
B
0FB
g).(
ρ
ρ−ρ
= 5,69 m.s−2
a(t) = − 81,0.v(t) + 5,69
On introduit les valeurs dans les différentes cellules du tableur :
Conditions initiales : à t = 0 s ; v(0) = 0 m.s−1 ; donc a(0) = 5,69 m.s−2.
Cellules : A2 : 0,000 [t0] ; B2 : 0,00001 [V(0)] ; C2 : 5,690 [a(0)]
Données fixes :
Cellules : D2 : 0,005 [δt] ; E2 : − 81,0 [α] ; F2 : 0,005 [β]
Formules récurrentes : (le signe $ fixe la colonne ou la ligne lors d'une recopie)
Cellules : A3 : =A2+$D$2 [t1] ; B3 : =B2+C2*$D$2 [v1] ; C3 : =$E$2*B3+$F$2 [a1]
On recopie "vers le bas", alors les cellules A3, B3 et C3, jusqu'à la ligne 21 :
A
B
C
D
E
F
1
t (s)
v (m.s−1)
a (m.s−2)
δ
t
α
(s−1)
β
(m.s−2)
2
0,000
0,0000
5,690
0,005
-81,0
5,69
3
0,005
0,0285
3,386
4
0,010
0,0454
2,014
5
0,015
0,0554
1,199
6
0,020
0,0614
0,713
7
0,025
0,0650
0,424
8
0,030
0,0671
0,252
9
0,035
0,0684
0,150
10
0,040
0,0691
0,089
11
0,045
0,0696
0,053
12
0,050
0,0699
0,032
13
0,055
0,0700
0,019
14
0,060
0,0701
0,011
15
0,065
0,0702
0,007
16
0,070
0,0702
0,004
17
0,075
0,0702
0,002
18
0,080
0,0702
0,001
19
0,085
0,0702
0,001
20
0,090
0,0702
0,000
21
0,095
0,0702
0,000
Remarque : Plus le pas δt est choisi petit et plus la détermination de la solution est
précise, mais plus le nombre d'itérations est grand !
La représentation graphique montre que le mouvement de la bille se décompose en :
- un régime initial ou transitoire pendant lequel le mouvement est accéléré.
- un régime asymptotique ou permanent pour lequel la vitesse est constante, c'est la
vitesse limite (vlim = 0,0702 m.s−1).
Remarque : En comparant la courbe calculée numériquement à une courbe obtenue
expérimentalement, on peut vérifier si le modèle choisi pour l'expression de
la force de frottement est correct.

Méthode d'Euler
Page 152 Christian BOUVIER
b) Méthode analytique :
Soit à résoudre une équation différentielle :
dt
dv
= − B
m
k.v +
B
0FB mg).mm( −
Qu'on écrit
dt )t(dv
+
B
m
k
.v(t) =
B
0FB mg).mm( −
Remarque : On retrouve le même type d'équation différentielle que lors de l'étude de la
charge d'un condensateur dans un circuit RC ou lors de l'étude de
l'établissement du courant dans un circuit RL.
Attention !
Par analogie avec l'étude de la charge d'un condensateur, on cherche les solutions sous
la forme : v(t) = vlim.(1 −
: La remarque précédente n'est vraie que si l'intensité de la force de frottement
fluide est une fonction linéaire de la mesure de la vitesse (f = k.v), ce ne serait
plus vrai si la force de frottement fluide était une fonction quadratique de la
mesure de la vitesse (f = k.v2) : la solution est hors programme !
τ
−t
e
)
En portant cette expression dans l'équation différentielle, on obtient : (exercice)
τ =
k
m
B
et vlim =
k
m
B
.
B
0FB mg).mm( −
=
kg).mm(
0FB
−
Remarque : Si on devait étudier une chute verticale dans l'air, avec une vitesse de
quelques m.s−1, on trouverait une vitesse limite : vlim =
'k g).mm( 0FB −
.
3) Vitesse limite
Au départ la bille est lâchée sans vitesse initiale : v(0) = 0
:
On en déduit d'ailleurs que l'accélération initiale est : aG(0) =
dt
dv
)0 =
B
0FB mg).mm( −
Ensuite, la vitesse croit, puis, au bout d'un temps long (t = ∞), on peut imaginer que la
vitesse ne varie plus :
dt
dv
)∞ = 0, d'après l'équation différentielle, on voit que :
B
m
k
.vlim =
B
0FB mg).mm( −
soit vlim =
kg).mm( 0FB −
Remarque : Dans l'exercice proposé plus haut on trouve vlim = (mB − mF).g0/k = 0,0702 m.s−1
en parfait accord avec la détermination de la méthode d'Euler.
4) Temps caractéristique ou constante de temps
Si la bille ne subissait aucun frottement dans le fluide et n'était soumise qu'à son poids et à
la poussée d'Archimède, l'équation différentielle deviendrait :
:
a(t) =
dt )t(dv
=
B
0FB mg).mm( −
= β = cte
Dont la solution est v(t) = β.t : la vitesse croîtrait indéfiniment.
On appelle temps caractéristique τ, le temps au bout duquel la vitesse atteinte v(τ) = β.τ
(sans frottement) serait égale à la vitesse limite vlim =
kg).mm( 0FB −
(obtenue avec
frottement). avec β =
B
0FB mg).mm( −
, on a : τ =
k
mB
C'est aussi la constante de temps τ de la solution v(t) = vlim.(1 − τ
−t
e
)

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A RETENIR
I) Forces exercées par un fluide
1)
:
Poussée d'Archimède
F
→ est la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le solide. C'est la résultante des forces
qu'exerce le fluide sur toute la surface du solide.
:
La poussée exercée par un fluide de masse volumique ρfluide sur un objet totalement
immergé de volume Vobjet, est une force verticale, dirigée vers le haut, dont la droite d'action
passe par le centre de poussée C, et dont la mesure est F = ρfluide.Vobjet.g.
2) Frottement fluide
La force de frottement fluide f
→ a même direction que le vecteur vitesse du solide mais un
sens opposé, sa valeur dépend de la valeur de la vitesse du solide et de la nature du fluide :
:
- pour de faibles valeurs de la vitesse (quelques cm.s−1), on a : f = k.v (f est une fonction
linéaire de la vitesse).
- pour des vitesses élevées, on a : f = k'.v2 (f est une fonction quadratique de la vitesse).
Les coefficients k et k' dépendent de la nature du fluide mais aussi de la forme de l'objet et
de sa taille mais pas de la masse volumique de l'objet.
II) Chute verticale d'un solide dans un fluide
1)
:
Equation différentielle :
Bilan des forces
- son poids
: Lors de la chute dans fluide, la bille est soumise à :
→
P
: vertical dirigé vers le bas et tel que P = mB.g0.
- la poussée d'Archimède
→
F
: verticale dirigée vers le haut et telle que
F = ρF.V.g0 = mF.g0, où mF la masse de fluide "déplacée".
- la force de frottement fluide
→
f
: verticale dirigée vers le haut et telle que f = k.v
en supposant que la mesure v de la vitesse reste faible.
Application de la deuxième loi de Newton :
→
P
+
→
F
+
→
f
= mB.
→
G
a
D'où :
dt
dv
= −
B
m
k
.v +
B
0FB
mg).mm( −
2) Résolution de l'équation différentielle
a) Méthode numérique d'Euler :
:
Soit à résoudre une équation différentielle de la forme : a(t) = dv/dt = α.v(t) + β
On peut déterminer :
- la valeur de la vitesse par l'expression : v(t2) = v(t1 + δt) ≈ v(t1) +
dt
)t(dv )t1.δt
Soit v(t2) = v(t1) + a(t1).δt
- la valeur de l'accélération à l'aide de l'équation différentielle : a(t) =
dt )t(dv
= α.v(t) + β
Soit a(t2) = α.v(t2) + β
Si on connaît les conditions initiales, on peut, pas à pas construire d'une façon numérique,
la solution de l'équation différentielle.