Examen de géométrie pour la vision Exercice unique

Examen de géométrie pour la vision
Durée : 2 heures, tous documents autorisés
Adrien Bartoli
Janvier 2008
Notation : les matrices en caractères sans-sérifs, e.g.
en gras, e.g.
q.
A
et les vecteurs
Tous les vecteurs et matrices sont homogènes. L'égalité à un
facteur près est notée
∼. Le partitionnement des matrices ou vecteurs en une
qT = (q̄T q).
partie ane et un scalaire est notée e.g.
Conseil : Lisez l'intégralité du sujet avant de commencer votre rédaction.
Exercice unique : Reconstruction 3D automatique de
caméras et de droites
On cherche dans cet exercice un algorithme permettant la reconstruction
3D d'un ensemble de caméras et de droites à partir de plusieurs images d'une
scène rigide.
Les principales étapes de l'algorithme sont :
1. la détection de droites dans les images
2. la mise en correspondance de ces droites
3. la reconstruction 3D des caméras et des droites
Question 1. Voyez-vous des avantages à l'utilisation de droites par
rapport aux points ? Indiquez, le cas échéant, quels sont ces avantages.
1 Détection des droites image
Les droites auxquelles nous nous intéressons sont des contours linéaires.
Cela signie que l'intensité lumineuse de l'image varie fortement sur la droite,
ou de part et d'autre de la droite. Etant donnée une image, on suppose qu'un
algorithme nous indique quels sont les pixels de contours. On suppose de
1
même qu'un algorithme segmente ces points en groupes colinéaires. On note
sk
avec
k = 1, . . . , l
un ensemble de pixels de contour colinéaires.
sk , indiquez comment
l (un vecteur-3) de la droite qui passe au mieux
Question 2. Etant donnés les points image
trouver l'équation
par ces points, où au mieux signie au sens des moindres carrés.
Donnez une interprétation géométrique de l'erreur minimisée.
2 Mise en correspondance des droites image
Un descripteur de l'apparence des droites est utilisé an de les mettre en
correspondance entre les diérentes images. Les correspondances obtenues
comprennent en général des erreurs.
Question 3. Comment peut-on identier les fausses correspondances ? De combien d'images a-t-on besoin au minimum, en sachant que dans l'espace, deux plans s'intersectent en général en
une droite ? Précisez le nom de l'algorithme d'estimation robuste.
A l'issue de cette étape, on suppose qu'un ensemble de
visible sur les
n
m
droites est
images, et qu'il n'y a pas de fausse correspondance.
3 Reconstruction 3D des caméras et des droites
Modèle de projection
On utilise le modèle de projection ane.
Question 4. Rappelez les équations décrivant le modèle de projection ane non calibré. Dans quelles conditions ce modèle est-il
valide, c'est-à-dire, une bonne approximation du modèle perspectif ?
Reconstruction par factorisation
On montre comment adapter l'algorithme de factorisation vu en cours
pour les points dans le cas des droites. On représente les points d'une droite
3D par une combinaison linéaire :
Q̄(λ) = B̄ + λD̄,
avec
B̄
le point de base de la droite, et
2
D̄
sa direction.
Question 5. Discutez les avantages et inconvenients de la représentation point + direction ci-dessus par rapport aux représentations
vues en cours.
Projettons un point
Q(λ)
avec la caméra
(P̄ t)
:
q̄(λ) = P̄B̄ + λP̄D̄ + t = b̄ + λd̄,
avec :
b̄ = P̄B̄ + t
d̄ = P̄D̄.
Question 6. Quelle est l'interprétation géométrique de
signie
Soit
l
b̄ et d̄ ? Que
d̄ = P̄D̄ ?
la droite image sur laquelle se projette le point 3D
calculer la direction
d
l
en intersectant la droite
On peut
et la droite à l'inni l∞ .
Question 7. Quelle est l'équation
T
l'image ? Soit l
Q(λ).
de cette droite : c'est un point à l'inni. Il est obtenu
l∞
de la droite à l'inni dans
∼ (a b c), donnez d en fonction de a, b et c.
d̄ contenant les deux premiers éléments
Indication : seul le vector
de
d
est utile.
En considérant les équations sur la direction de la droite, nous obtenons,
pour la reconstruction 3D, les équations suivantes :
d̄ij ∼ P̄i D̄j
avec
i = 1, . . . , n
et
j = 1, . . . , m.
Question 8. Qu'évoquent ces équations ? Quel parallèle faites vous
avec un probléme étudié en cours ?
Re-écrivons ces équations en introduisant explicitement les facteurs d'échelle :
∃µij ∈ R∗ , µij d̄ij = P̄i D̄j .
Question 9. Supposons les facteurs d'échelle
µij
connus. Proposez
une méthode permettant, à partir d'une matrice de mesure
(2n × m), de
directions 3D Dj .
taille
calculer les matrices de projection
3
P̄i
L
de
et les
Nous regardons maintenant comment estimer les facteurs
µij .
Il existe
une méthode exacte basée sur le tenseur trifocal ane, qui sort du contexte
du cours de vision 3D. Nous proposons d'étudier une méthode itérative plus
simple :
1. initialiser
µij ← 1
2. factoriser
L
pour obtenir les
3. recalculer les
µij
P̄i
à partir des
4. aller à l'étape 2 si les
µij
et
P̄i
D̄j
et
D̄j
ont changé signicativement
Question 10. Donnez la solution pour résoudre l'étape 3 de cet
algorithme, c'est-à-dire pour recalculer les
4
µij .