Exercice 3.1 : la convexité des préférences du consommateur On

L2S3 – SEG – Microéconomie TD – Théorie du consommateur – Exercice 3.1 –questions 2 et 3 – Convexité des préférences
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Exercice 3.1 : la convexité des préférences du consommateur
On répond ci-dessous aux deux parties des questions 2 et 3, que sont :
2- Que peut-on en conclure sur le lien entre décroissance de l’utilité marginale et convexité
des préférences ? Sur la nature ordinale ou cardinale de la propriété de décroissance de
l’utilité marginale ?
3- Que peut-on conclure sur la nature ordinale ou cardinale de la décroissance du taux
marginal de susbstitution le long d’une courbe d’indifférence ?
Une question assez proche est celle de la question b) de l’exercice 3.3.
Réponse détaillée aux questions
- On vérifie généralement la convexité des préférences par la géométrie : la position de
l’épigraphe de la courbe représentative est caractéristique. Et, une fonction convexe
est une fonction dont l’épigraphe est convexe.
- En économie il suffit de représenter la courbe d’indifférence (U = U
°
), et une
combinaison (x0,y0) (on sait qu’il s’agit d’un vecteur de consommations dans l’espace
à 3 dimensions), choisie par le consommateur. Il est alors possible de définir la partie
(ci-dessous hachurée) correspondant à l’ensemble des combinaisons considérées par
lui comme préférable ou équivalente à (x0,y0) (soit (x
i
, y
i
) préféré à (x0,y0). La forme
des courbes d’indifférence garantit que cet ensemble est un ensemble convexe.
Ensuite on justifie ce résultat. La convexité signifie que le consommateur doit, pour
conserver un niveau constant de satisfaction (U = U
°
), lorsqu’il accroît la quantité consommée
de l’un des biens, réduire celle de l’autre bien. Et inversement. Mais il réalise ceci
proportionnellement aux quantités de biens dont il dispose (ou suivant leur rareté en un point).
Ce qui peut être illustré par le graphique des points F et G ci-dessous

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C’est le différentiel de variation qu’il s’agit d’interpréter : ∆
x
=> ∆
y
’ < ∆
y..
On remarque en
effet que la même variation à la baisse de x, à partir de G ou F, est réalisée en contrepartie
d’une faible (partant de G) ou importante (partant de F) quantité de l’autre bien. Ceci
s’explique par la rareté relative du bien y en chacun des points. En F, le consommateur est
prêt à compenser la baisse de x, par une forte contrepartie de y, car ce bien étant relativement
abondant, il lui accorde une faible importance. En G, la situation est opposée, puisque la
rareté de y, conduit le consommateur à lui accorder une plus grande importance.
Donc en F une grande variation de y est suffisante pour compenser la baisse de x, tandis qu’en
G, une faible variation est nécessaire.
- La convexité des préférences est la mieux exprimée par la baisse du taux marginal de
susbstitution (TMS).
Formule générale du TMS
y
/
x
= (- ∆
y
/ ∆
x
) = - (dy / dx) =
y
U
x
U
∂
∂
∂
∂
= U’
x
/ U’
y
La première expression (1) est le rapport des variations relatives du graph ci-dessous. La
seconde (2) est la limite de ces variations, ou la dérivée (graph suivant). La troisième (3) est
le rapport des utilités marginales en notation différentielle, reprise par la quatrième (4) ou
rapport des dérivées partielles. La valeur du TMS est la même quelque soit la formule utilisée.
= Le taux auquel le consommateur doit substituer une quantité de l’un des biens à
celle de l’autre, pour conserver le même niveau de satisfaction (U = U
°
), est le TMS, ou la
pente (- ∆
y
/ ∆
x
) de la droite (BC) ci-dessous :
Aux points G et F
5 unités additionnelles de y permettent de
compenser la diminution de 3 unités de x.
Le TMS = - (5/3). Sa valeur change donc
si l’on prend deux autres points de la
courbe.

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= Il suffit de passer à la limite en rapprochant les deux points qui se confondent en
un seul (G), pour redéfinir la pente comme la dérivée de la courbe d’indifférence y = f (U
°
, x),
soit TMS = y’
x
= - (dy/dx). Le graphique devient :
Dans les deux cas (les deux graphes), le TMS est décroissant le long de la courbe
d’indifférence. La convexité des préférences est assimilée à cette décroissance du TMS (voir
graph ci-dessous).
 La conclusion : La convexité des préférences (ou TMS décroissant) diffère donc du
principe de l’utilité cardinale marginale décroissante. L’expression « TMS décroissant » est
tout simplement substituée à celle d’« utilité marginale décroissante ». Seul est important le
rapport des utilités marginales, non leur niveau.
Dans la théorie ordinale de l’utilité, la fonction de préférences (U) représente un préordre des
préférences (ou un classement). Et, plusieurs fonctions sont susceptibles de représenter et
correspondre à des préférences convexes, sans pour autant vérifier toutes la propriété de
décroissance de l’utilité marginale. Pour certaines l’utilité marginale peut être croissante ou
constante.
Pour synthétiser ce résultat, on formule que la fonction de préférence (U) est définie à une
transformation monotone croissante près. La fonction (U) n’a donc plus besoin d’être
strictement quasi-concave, mais quasi-concave (la concavité n’étant pas préservée pour
n’importe quelle transformation monotone croissante.) En effet :
L’hypothèse de quasi concavité s’écrit :
U
i
(x
i1
) < U
i
(x
i2
)
⇒
U
i
(x
i1
) < U
i
(x
i1
) + (1-α) x
i2
) pour 0 < α < 1.
Sa représentation dans l’espace à trois dimensions (U,0,x
i1
,x
i2
) est alors :
Soit : convexité des préférences = Décroissance du TMS
y/x

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Ce qui signifie que la concavité n’est donc pas une notion ordinale.
La décroissance du TMS s’interprète
dans ce graph en constatant que le
consommateur à partir du point G,
dispose de quantités décroissantes du
bien y (segments d’ordonnée plus
courts), à substituer aux quantités
croissantes du bien x. Il compense ainsi
ces dernières par une baisse de moins en
moins importante de y.
La quasi concavité des préférences constatée dans le
graph, a pour corollaire la quasi convexité des courbes
d’indifférence dans le repère à deux dimensions (y0x)
(ou simplement convexité). Il suffit de projeter d’un
plan à l’autre.
La quasi concavité stricte consiste en un passage à la
limite et s’écrit
U
i
(x
i1
) ≤ U
i
(x
i2
)
⇒
U
i
(x
i1
) < U
i
(x
i1
) + (1-α) x
i2
) pour 0
< α < 1
Elle a pour corollaire de courbes d’indifférence
strictement convexes.