Exercice 3.1 : la convexité des préférences du consommateur On répond ci-dessous aux deux parties des questions 2 et 3, que sont : 2- Que peut-on en conclure sur le lien entre décroissance de l’utilité marginale et convexité des préférences ? Sur la nature ordinale ou cardinale de la propriété de décroissance de l’utilité marginale ? 3- Que peut-on conclure sur la nature ordinale ou cardinale de la décroissance du taux marginal de susbstitution le long d’une courbe d’indifférence ? Une question assez proche est celle de la question b) de l’exercice 3.3. Réponse détaillée aux questions - On vérifie généralement la convexité des préférences par la géométrie : la position de l’épigraphe de la courbe représentative est caractéristique. Et, une fonction convexe est une fonction dont l’épigraphe est convexe. - En économie il suffit de représenter la courbe d’indifférence (U = U°), et une combinaison (x0,y0) (on sait qu’il s’agit d’un vecteur de consommations dans l’espace à 3 dimensions), choisie par le consommateur. Il est alors possible de définir la partie (ci-dessous hachurée) correspondant à l’ensemble des combinaisons considérées par lui comme préférable ou équivalente à (x0,y0) (soit (xi, yi) préféré à (x0,y0). La forme des courbes d’indifférence garantit que cet ensemble est un ensemble convexe. Ensuite on justifie ce résultat. La convexité signifie que le consommateur doit, pour conserver un niveau constant de satisfaction (U = U°), lorsqu’il accroît la quantité consommée de l’un des biens, réduire celle de l’autre bien. Et inversement. Mais il réalise ceci proportionnellement aux quantités de biens dont il dispose (ou suivant leur rareté en un point). Ce qui peut être illustré par le graphique des points F et G ci-dessous L2S3 – SEG – Microéconomie TD – Théorie du consommateur – Exercice 3.1 –questions 2 et 3 – Convexité des préférences - Page 1 sur 4 C’est le différentiel de variation qu’il s’agit d’interpréter : ∆x => ∆y’ < ∆y.. On remarque en effet que la même variation à la baisse de x, à partir de G ou F, est réalisée en contrepartie d’une faible (partant de G) ou importante (partant de F) quantité de l’autre bien. Ceci s’explique par la rareté relative du bien y en chacun des points. En F, le consommateur est prêt à compenser la baisse de x, par une forte contrepartie de y, car ce bien étant relativement abondant, il lui accorde une faible importance. En G, la situation est opposée, puisque la rareté de y, conduit le consommateur à lui accorder une plus grande importance. Donc en F une grande variation de y est suffisante pour compenser la baisse de x, tandis qu’en G, une faible variation est nécessaire. - La convexité des préférences est la mieux exprimée par la baisse du taux marginal de susbstitution (TMS). ∂U Formule générale du TMSy/x = (- ∆y/ ∆x) = - (dy / dx) = ∂x = U’x/ U’y ∂U ∂y La première expression (1) est le rapport des variations relatives du graph ci-dessous. La seconde (2) est la limite de ces variations, ou la dérivée (graph suivant). La troisième (3) est le rapport des utilités marginales en notation différentielle, reprise par la quatrième (4) ou rapport des dérivées partielles. La valeur du TMS est la même quelque soit la formule utilisée. = Le taux auquel le consommateur doit substituer une quantité de l’un des biens à celle de l’autre, pour conserver le même niveau de satisfaction (U = U°), est le TMS, ou la pente (- ∆y/ ∆x) de la droite (BC) ci-dessous : Aux points G et F 5 unités additionnelles de y permettent de compenser la diminution de 3 unités de x. Le TMS = - (5/3). Sa valeur change donc si l’on prend deux autres points de la courbe. L2S3 – SEG – Microéconomie TD – Théorie du consommateur – Exercice 3.1 –questions 2 et 3 – Convexité des préférences - Page 2 sur 4 = Il suffit de passer à la limite en rapprochant les deux points qui se confondent en un seul (G), pour redéfinir la pente comme la dérivée de la courbe d’indifférence y = f (U°, x), soit TMS = y’x = - (dy/dx). Le graphique devient : Dans les deux cas (les deux graphes), le TMS est décroissant le long de la courbe d’indifférence. La convexité des préférences est assimilée à cette décroissance du TMS (voir graph ci-dessous). Soit : convexité des préférences = Décroissance du TMSy/x La conclusion : La convexité des préférences (ou TMS décroissant) diffère donc du principe de l’utilité cardinale marginale décroissante. L’expression « TMS décroissant » est tout simplement substituée à celle d’« utilité marginale décroissante ». Seul est important le rapport des utilités marginales, non leur niveau. Dans la théorie ordinale de l’utilité, la fonction de préférences (U) représente un préordre des préférences (ou un classement). Et, plusieurs fonctions sont susceptibles de représenter et correspondre à des préférences convexes, sans pour autant vérifier toutes la propriété de décroissance de l’utilité marginale. Pour certaines l’utilité marginale peut être croissante ou constante. Pour synthétiser ce résultat, on formule que la fonction de préférence (U) est définie à une transformation monotone croissante près. La fonction (U) n’a donc plus besoin d’être strictement quasi-concave, mais quasi-concave (la concavité n’étant pas préservée pour n’importe quelle transformation monotone croissante.) En effet : L’hypothèse de quasi concavité s’écrit : Ui(xi1) < Ui(xi2) ⇒ Ui(xi1) < Ui(xi1) + (1-α) xi2) pour 0 < α < 1. Sa représentation dans l’espace à trois dimensions (U,0,xi1,xi2) est alors : L2S3 – SEG – Microéconomie TD – Théorie du consommateur – Exercice 3.1 –questions 2 et 3 – Convexité des préférences - Page 3 sur 4 La quasi concavité des préférences constatée dans le graph, a pour corollaire la quasi convexité des courbes d’indifférence dans le repère à deux dimensions (y0x) (ou simplement convexité). Il suffit de projeter d’un plan à l’autre. La quasi concavité stricte consiste en un passage à la limite et s’écrit Ui(xi1) ≤ Ui(xi2) ⇒ Ui(xi1) < Ui(xi1) + (1-α) xi2) pour 0 <α<1 Elle a pour corollaire de courbes d’indifférence strictement convexes. Ce qui signifie que la concavité n’est donc pas une notion ordinale. La décroissance du TMS s’interprète dans ce graph en constatant que le consommateur à partir du point G, dispose de quantités décroissantes du bien y (segments d’ordonnée plus courts), à substituer aux quantités croissantes du bien x. Il compense ainsi ces dernières par une baisse de moins en moins importante de y. L2S3 – SEG – Microéconomie TD – Théorie du consommateur – Exercice 3.1 –questions 2 et 3 – Convexité des préférences - Page 4 sur 4