Electrostatique et Magnétostatique Notes du cours Evgeni Popov B I www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013.pdf Electrostatique et Magnétostatique Notes du cours (Cours d’Electromagnétisme pour L2 Sciences Physiques et Chimiques) Auteur : Evgeni Popov, Institut Fresnel, Université d’Aix-Marseille (AMU) Web : www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013 Copyright 2013 : Evgeni Popov, AMU AMU, 2013 Notes du Cours d’Electromagnétisme : Electrostatique et magnétostatique (L2 Physique - Chimie) E. Popov E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 1 Plan de cours Electrostatique Charge électrique, types de charges. Loi de Coulomb. Champ électrique, lignes de champ Dipôle électrostatique Flux du champ électrostatique, théorème de Gauss Energie et potentiel du champ électrostatique Théorème d’Ostrogradski, théorème de Gauss – présentation différentielle Equations de Laplace et de Poisson Discontinuité de champ électrique Type de matériels : conducteurs, isolateur et semi-conducteurs Conducteurs dans champ électrostatique. Cage électrostatique. Corona décharge Courant électrique et la loi d’Ohm Condensateurs Diélectriques dans champ électrostatique, constante diélectrique, permittivité relative, polarisabilité de milieu Magnétostatique Force magnétique, champ magnétique. Loi de Biot et Savart. Force sur charge en mouvement dans un champ magnétique, la force de Lorentz Mouvement cyclotron et aurore boréale Loi de Laplace, effet Hall Champ créé par une charge en mouvement et un courant électrique Flux de champ magnétique Dipôle magnétique Interactions magnétiques Théorème d’Ampère, théorème de Stokes LES équations principales d’électrostatique et magnétostatique Discontinuité de champ magnétique Force magnétohydrodynamique Potentiel vecteur Electromagnétisme (dynamique) L’induction électromagnétique et la première des équations de Maxwell Inductance mutuelle Courant de déplacement et la deuxième des équations de Maxwell LES équations de Maxwell et les ondes électromagnétiques Propriétés magnétiques des matériaux (diamagnétisme, paramagnétisme et ferromagnétisme) Champ H, susceptibilité et perméabilité magnétique E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 2 Pourquoi faire et à quoi ça sert ? Electrostatique 1. Courants électriques, loi d’Ohm, circuits électriques 2. Diélectriques, semiconducteurs puces intégrales transistors, diodes TV, PC, portables, Hi-Fi 3. Structure de la matière (atomes et molécules, propriétés chimiques) Magnétostatique 1. Boussoles, compasses 2. Aurore boréale, mouvement cyclotron, séparation d’isotopes 3. Dipôle magnétique, aimantes, magnétisation de milieu Electromagnétisme 1. Les ondes électromagnétiques : la lumière, radio et TV émissions, télécommunications 2. Micro-ondes, radiothérapie 3. Radars aériens, maritimes, radioastronomiques et policiers 4. Relativité restreinte 5. Optique et spectroscopie E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 3 Horaires : 12 cours de 2 heures 26 séances de TD (2 fois par semaine) Examen partiel en électrostatique conte pour 50% d’électrostatique (en totale – pour 25%) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 4 Charge électrique 1. Charge crée force électrique s’exerce sur les charges 2. Deux signes : + et -: deux types de forces (d’attraction et de répulsion) 1+ F21 1 F21 F12 -2 + + F12 2 Principe de l’action et de la réaction : F12 = −F21 3. Quantification des charges : électron proton + ep+ e = -1.6 x 10-19 [C] 1 coulomb = 1A . 1 s 4. Conservation ∆Q = ∑ charges entrantes − ∑ charges sortantes S Q 5. Les charges sont additives : q1′+q1″→F21=F21′+F21″ + proton neutron - électron E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 5 Types de charges Dans la nature : l’électron et le proton (les quarks n’existent pas séparément) Approximations utiles : I. Charge ponctuelle : D d si D observation >> d e, p ou D >> d source caractéristiques : charge, position, vitesse Remarque : Une sphère chargée uniformément crée un champ comme une charge ponctuelle ρs = cte ou ρv = cte D <<d, D ~ d et D >>d E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 6 II. Charges continues 1. Charge volumique : densité de charge volumique dq( r ) ρ v (r ) = [Cm −3 ] . dv V, Q dv dq 2. Charge surfacique : densité surfacique ( dq r) ρs ( r ) = [Cm − 2 ] ds S, Q ds dq e.g. conducteurs : Les charges libres sont repoussées jusqu’à la surface 3. Charge linéique ( D >> Φ ): densité linéique D Φ dl dq( r ) ρ ( r ) = [Cm −1 ] d def : un volume, une surface ou un fil sont chargés uniformément si ρ = cte et Qtotal = ρ . V, S ou L E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Remarque : Notations : ρ = λ , ρS = σ , mais par fois l – longueur d’onde et s - conductivité 7 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 8 Loi de Coulomb Charles Augustin de Coulomb - 1785 Règles de Coulomb : 1. Les charges similaires se repoussent, les charges opposées s’attirent. 2. L’attraction ou la répulsion s’exerce sur la ligne droite entre les charges. 3. La magnitude (la norme) de la force est proportionnelle au carré de l’inverse de la distance entre les charges. 4. La force est proportionnelle à la magnitude de chacune des charges et les charges sont additives. 0 Q Q/2 Q/2 poids q2 q1 r si r → r′ 2 F→F'=F r 2 r' Division des charges Hypothèses : 1. La force électrique créée par une petite sphère est la même que si la charge est ponctuelle. 2. L’isotropie d’une charge ponctuelle : la force ne dépend pas de l’orientation de la sphère dans l’espace. 3. L’indépendance mutuelle des forces électrique, élastique et gravitationnelle. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 9 Expression mathématique : r21 r2 − r1 r̂21 = = r r qq F21 = k 12 2 r̂21 r q1 F21 r̂21 (charge active) r1 q2 (charge passive, charge d’essai) r2 q1q 2 > 0 ⇒ F ↑↑ r21 : répulsion q1q 2 < 0 ⇒ F ↑↓ r21 : attraction La constante de Coulomb k k = 10 −7 c 2 ≈ 8.95x109 [ Nm 2C −2 ] 1 = 4πε0 1 permittivité du vide ε0 = 9 36π10 Autre propriété de la force électrique (linéarité, principe de superposition) : Les sources différentes sommation vectorielle des forces q1′′ ′ q 2 F21 ′ F = F + F′′ q1′ ′′ F21 21 21 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 10 Champ électrique Notion de champ électrostatique : la propriété d’une charge de modifier les caractéristiques de l’espace : chaque autre charge est soumise à une force électrostatique. Cause résultat : charge champ force 1. Le champ ne dépend pas de la charge qui est soumise à la force (dite charge passive). 2. Le champ représente le ‘porteur’ d’action à distance de la charge qui le crée (dite charge active). Def. Dans une région d’espace il existe un champ électrostatique si une charge placée dans la région est soumise à une force électrostatique Propriétés : 1. Le champ est proportionnel à la force, donc vecteur 2. Le champ ne dépend pas de la magnitude de la charge passive, donc est égal à la force exercée sur une charge passive unitaire : F E = [NC-1], usuelle [Vm-1] q Remarque : électrostatique : les charges ne bougent pas et il n’y a pas d’influence des charges passive sur les charges actives (‘collées’ dans l’espace). Le champ la force : F = qE Le champ est additif (principe de superposition) : ∑ Fj Fj E= = ∑ ≡ ∑Ej q q q1 q2 E2 E1 E E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 11 Lignes de champ Représentation graphique de champ (introduite par Faraday) : les lignes tangentes au vecteur de champ Si d = (dx, dy, dz) est un élément de ligne, d donc dx dy dz = = = c( r ) Ex E y Ez E ⇒ d = cE dl = (dx, dy, dz) La densité des lignes est proportionnelle à la magnitude du champ I. Champ d’une charge ponctuelle q 0 située à l’origine du système de coordonnées : E( r ) = 1 q0 1 q0 r r̂ = 4πε0 r 3 4πε0 r 2 radiale : densité = N / S = N / 4πr 2 (N – nombre de lignes) E (→ ∞ ) diverge sur r (densité → ∞ ) S 0 Propriétés des lignes de champ : 1. Les lignes ne se croisent que sur les charges (le champ est unique) E’ ou E” ? E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 12 2. Les lignes commencent sur la charge positive (pourquoi ?) et finissent sur la charge négative. Cas particuliers 1. Le champ électrostatique créé dans un point P(r) par un élément de volume dv ayant une densité volumique de charge dρ v et situé dans P’(r’) est donné par l’équation : 1 ρ v ( r ′)dv( r ′) ( r − r ′) 4πε 0 r − r ′ 3 Le champ créé par un volume V est obtenu par intégration tridimensionnelle sur V : dE( r , r ′) = E( r ) = = 1 4πε0 1 4πε0 ∫∫∫ ρ v ( r ' )dv( r ' ) ' (r − r ) ' 3 r−r ∫∫∫ ρ v ( r ' )dv( r ' ) ∆ r̂ ' 2 r−r V V . 2. Champ des charges surfaciques : dE ( r , r ′) = 1 ρ s ( r ′)ds( r ′) 3 ( r − r ′) et 4πε 0 r − r ′ E( r ) = 1 4πε0 ∫∫ S ρs ( r′)dS( r′) 3 ( r − r′) r − r′ 3. Champ des charges linéiques : dE( r , r ′) = 1 ρ ( r ′)d( r ′) 3 ( r − r ′) 4πε 0 r − r ′ E( r ) = et 1 4πε0 ∫ L ρ ( r′)d( r′) 3 ( r − r′) . r − r′ E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 13 Remarque préliminaire : dv ∝ r 3 ⇒ ∫∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0 ds ∝ r 2 ⇒ ∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0 d ∝ r ⇒ ponctuelle) ∫ diverge quand ∆ r → 0 (comme pour charge Pourquoi ? La définition de charge ponctuelle et linéique nécessite que la distance d’observation soit beaucoup plus grand que les dimension de charge, donc on n’a pas le droit de se situer sur r → 0 . E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 14 Considérations de la symétrie Règles générales : 1. Si la distribution de charges électriques est symétrique par rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même symétrie. 2. Si la distribution de charges électriques est antisymétrique par rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même antisymétrie. P : plan de symétrie de Q Exemples : +Q +Q E est aussi symétrique par rapport à P P : plan d’antisymétrie de Q +Q -Q E est aussi antisymétrique par rapport à P E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 15 Conséquences : 1. Le champ électrique est contenu dans chaque plan de symétrie, hors des charges. 2. Le champ électrique est perpendiculaire à chaque plan d’antisymétrie des charges. 3. S’ils existent deux plans de symétrie non parallèles, sur l’intersection de ces plans le champ électrique est dans la direction de cette intersection. Aspects pratiques : 1. Il suffit de trouver un plan d’antisymétrie de charges pour déterminer la direction de champ électrique sur ce plan. 2. Il faut deux plans de symétrie pour déterminer la direction de champ électrique sur son intersection. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 16 Champ d’un fil chargé uniformément charge sur axe x, observation sur y 0 E( x ) ρ = cte, dl = dx Ex(x) y Ey Ex(-x) sinθ = x/r 1) E x = 0 : dE x = − ρ dl θ 0 x x pour V charge ρdx sur x, la charge sur –x compense E x : 1 ρdx 1 ρdx sin θ = − x ⇒ dE x (x ) + dE x (− x ) = 0 4πε 0 r 2 4πε 0 r 3 2) dE y = 1 ρdx cos θ 4πε 0 r 2 ρ E y = dE y = 4πε 0 ∫ x = -x E(− x ) ρ 4πε 0 y 0 ; y0dθ y 02 2 ; r = ; dx = 2 2 cos θ cos θ +∞ +π / 2 −∞ −π / 2 ∫ 1 ρ dx 2 cos θ = 4πε 0 r +π / 2 ∫ dθ cos θ = −π / 2 x = y 0 tgθ 2ρ 4πε 0 y 0 ∫ dθ cos 2 θ y0 cos θ 2 2 cos θ y 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique I. E = 0 Observations : 2ρ - radial 4πε 0 y 0 III. E diverge sur les charges linéiques : E → ∞ si y 0 → 0 II. E ⊥ = 17 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 18 Champ d’un plan chargé uniformément y observation sur axe y à distance D D ρ = cte, ψ + ∞ + ∞ E = ∫∫ dE = ∫ dz ∫ Edx z champ d’un fil z S −∞ E(z) Ez(z) E(−z) Ez(-z) D -z −∞ x et passant par z y Ey 0 ψ x y0 z 1) E x = 0 2) E z = 0 pour V fil par z, le fil par –z compense E z ρcosψ 3) dE y =dEfilcosψ= dz 2πε0y0 ρ E y = ∫ dE y = 2πε 0 x z=Dtgψ⇒dz= Dd2Ψ cos ψ ρ = 2πε 0 y0= D cosψ = ρ 2πε 0 +π / 2 ∫ −π / 2 +π / 2 cos ψ ∫ dψ = −π / 2 +∞ ∫ −∞ cos ψ dz = y0 cos ψ Ddψ D cos 2 ψ ρ 2ε 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 19 Observations : I. E = 0 ρ invariant de D 2ε 0 III. E a des directions opposées des deux côtés de la surface II. E ⊥ = IV. E ne diverge pas V. E subit une discontinuité à la traversée de la surface chargée, égale ρ à s. ε0 Explication physique : Si on regarde le champ créé par la surface vue dans le même angle solide à une distance différente : E E∝ QS r2 mais QS = ρS ∝ ρ R 2 donc E Ω est indépendant de r Ω r R~r S ~ R2 ~ r2 S R E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 20 Champ sur l’axe d’un fil circulaire chargé uniformément dl observation sur l’axe x à distance D ϕ r r0 ψ ρl = cte, D 1) sur l’axe : symétrie seul E x ≠ 0 dE x = ρd 4πε 0 r 2 ρ = 4πε 0 1 ρ cos ψ d ∫ 2 4πε 0 r 2π ∫ cos ψ 0 cos 2 ψ D 2 D cos ψ d = r0 dϕ = Dtgψdϕ r= Dtgψdϕ 2π ρ sin ψ cos 2 ψ ρ sin ψ cos 2 ψ = ∫ dϕ = 2ε 0 D 4πε 0 D 0 = Ex cos ψ E Ο = ∫ dE x = ρr0 D 2ε 0 r02 + D 2 3 = I. D >> r 0 : D ≈ r ⇒ E Ο → II. D = 0, E = 0 QD 4πε 0 r 3 Q 4πε 0 r 2 x Q = 2π r0 ρ r0 r D cos ψ = r sin ψ = - charge ponctuelle E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 21 Disque ϕ r r0 ψmax O D Ex r0 = Dtgψ ⇒ dr0 = r0 E = ∫ E Ο (~r0 )d~r0 = 0 x ψ D 2 cos ψ dψ 2 ρ sin ψ cos ψ Ddψ ρ = ∫ 2ε 0 D cos 2 ψ 2ε 0 ψ D ρ ρ (1 − cos ψ max ) = 1− = 2ε 0 2ε 0 r02 + D 2 D → 0 ρ I. ou ⇒ E → 2ε 0 r → ∞ 0 ψ max ∫ sin ψdψ 0 (plan infini) 2 II. r0 → 0 , mais Q = πr0 = cte : E D 1 − = 2ε 0 r02 r02 + D 2 Q Q → (charge ponctuelle) 2 4πε0 D E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 22 Sphère : charge surfacique uniforme d̂ R0 θ r r0 D R π π ρ r0 D E sph = ∫ E Ο dˆ = ∫ E Ο R 0 dθ = ∫ R 0 dθ 2ε 0 r 3 S 0 0 dˆ = R 0 dθ ( ) Changement d’intégration en fonction de r : 1. R 2 + r 2 − R 02 R 2 + r 2 − R 02 D = r cos ψ = r = 2Rr 2R 2. R 02 + R 2 − r 2 r ⇒ sin θdθ = −d cos θ = cos θ = dr 2RR 0 RR 0 3. r0 = R 0 sin θ π E sph r0 D dθ R 2 + r 2 − R 02 1 r D ρ ρ r0 R 0 dθ = R sin R dr =∫ θ 0 0 3 2ε 0 r 3 2ε 0 ∫ 2R sin RR θ r 0 0 r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 23 A l’extérieur (R > R 0 ) : E sph ρ R 0 R + R 0 r 2 + R 2 − R 02 ρ R 0 R + R 0 R 2 − R 02 dr = dr = ∫ ∫ 1 + 2 2 2 4ε 0 R 2 R − R 0 4 ε r r 0 R R −R 0 R 2 − R 02 R 2 − R 02 ρ R 0 = R + R0 − R + R0 − + R + R0 R − R 0 4ε 0 R 2 ρ R0 (2R 0 − R + R 0 + R + R 0 ) = 2 4ε 0 R = ρR 02 ε0R centre 2 = 4πρR 02 4πε 0 R 2 = Q 4πε 0 R 2 : comme si la charge est dans le A l’intérieur (R < R 0 ) : ρ R0 E sph = 4ε 0 R 2 R +R0 r 2 + R 2 − R 02 ρ R0 dr = ∫ r2 4ε 0 R 2 R 0 −R R +R0 R 2 − R 02 1 + dr 2 ∫ r R 0 −R R 2 − R 02 R 02 − R 2 ρ R0 = + = R + R0 − R0 + R − 0 2 4ε 0 R R + R0 R − R0 Remarques : 1. A l’intérieur de la sphère le champ est zéro ! 2. Le champ d’une sphère ayant une distribution de charge volumique radiale (ρ V = ρ V (r ) ) peut être calculé par intégration sur r du champ des charges surfaciques de chaque sphère : le même résultat est obtenu à l’extérieur. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 24 Dipôle électrostatique Définition : L’ensemble de deux charges ponctuelles opposées (+q et –q) à une distance d - charge de dipôle : q (attn ! charge totale : zéro !) -q - moment dipolaire : d p +q p = qd ≡ q r+ − 1 - unité : [Cm], [D] (Debye) : 1D = 10 − 29 Cm 3 - types : permanent induit mixte p = αE externe p = p 0 + αE externe d = cte p = p0 Les atomes et les molécules ont des charges positives et négatives. Si les centres des charges coïncident (e.g., les molécules symétriques), p 0 = 0 . Un champ externe ‘tire’ les charges différentes dans les directions opposées, les forces intramoléculaire s’opposent. Pour le nouvel équilibre, les centres des charges positives et négatives sont déplacés et un dipôle induit est créé, proportionnel au champ externe. La constante de proportionnalité α s’appelle polarisabilité du milieu. Si p 0 ≠ 0 (l’eau) : deux cas en absence de champ externe - désordre chaotique (liquides, milieux amorphes, polycristaux) p 0, total = 0 - ordre partiel : segnetoélectriques (ferroélectriques) – cristaux ayant un dipôle naturel Dans champ externe : deux cas - les dipôles permanents ne bougent pas : p 0, total = cte - les dipôles sont alignés partiellement parallèlement au E externe ⇒ p = p 0 + αE externe E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 25 Champ d’un dipôle électrostatique q r+ r− = − 4πε 0 r+3 r−3 q 1 1 d 1 1 − − + r 4πε 0 r+3 r−3 2 r+3 r−3 E= r− 1 en utilisant r± = r d . 2 d -q r r+ θ +q r±2 = r 2 2rd cos θ + d 2 ( )−3 / 2 ≈ (r 2 )−3 / 2 (− 3 / 2)(r 2 )−3 / 2−12rd cos θ r±−3 = r±2 , d << r = r −3 ± 3r − 4d cos θ 1 r+3 + 1 r−3 ≈ 2 r3 , 1 r+3 − 1 r−3 ≈ 6d cos θ r4 ˆ q 3d cos θ d 2 1 − E≈ r 3p cos = θ r −p 4πε0 r4 2 r 3 4πε 0 r 3 ( NB Soit deux charges identiques (+, +) : E= q r+ r− q 1 1 d 1 1 + ≈ r 3 + 3 − 3 − 3 3 3 πε 4 4πε0 r+ r− r− 2 r+ r− 0 r+ 2q r0 : le champ de charge ponctuelle de 2q = 4πε 0 r 2 ) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 26 Dipôle électrostatique Observations : 1. Champ décroît comme 1 r 3 2. Symétrie axiale : plus vite que le champ d’une charge (le charge totale du dipôle est zéro) 2p :E p 3. Sur l’axe à l’extérieur : cosθ=1⇒E= 4πε0r3 4. Dans le plan transverse : cos θ = 0 : E p 5. Très proche d’une charge : comme pour la charge isolée l’axe Positions principales de Gauss : E p plan transverse Très important : - pour la polarisation de milieux - les dipôles induits sont comme les oscillateurs mécaniques oscillations ondes électromagnétiques - en magnétisme : les charges de base sont des dipôles magnétiques E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Champ de deux charges identiques Observations : 1. Distance large ou très faible : comme une charge isolée 2. Dans le plan transverse : E ⊥ ligne de charges 3. Exactement entre les deux charges E = 0 (mais c’est un équilibre instable) 27 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 28 Dipôle dans un champ électrostatique externe F F− = −qE − + + ∆F ( + − F = +q E + ∆E - E = E +∆E +q ) - E -q F T - 1. Force résultante générale : ∆F = F+ + F− = q∆E , pour un champ E uniforme ∆F = 0 ∂E ∂E ∂E ∆F → dF = q dE = q dx + dy + dz ∂y ∂z d →0 ∂x ∂E ∂E x ∂E y ∂E z = , , ∂x ∂x ∂x ∂x mais q(dx, dy, dz ) = p dF = p ⋅ ∇E , ∇E est tensor de rang 2 (représenté comme une matrice carré) 2. Force du couple (moment de torsion) : = T d= ^ F dq= ^ E p ^ E (produit vectoriel de deux vecteurs) T = 0 si p E le moment de torsion ‘tire’ le dipôle pour l’aligner avec le champ externe E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 29 Pression électrostatique Problème 1 : Petit disque sur un plan conducteur ; en augmentant de la charge du plan, il existe une charge critique au-dessus de quelle le disque se soulève brusquement. Pourquoi ? 1. Le plan et le disque sont chargés : charge 2. Les charges se distribuent uniformément (le plan est large) avec une densité surfacique ρs : Face 1 Face 2 Les charges sur face 1 n’exercent aucune force sur les charges du disque : - Les composantes horizontales s’annulent ; - Il n’y a pas de composantes verticales (le disque est mince) Les charges sur face 2 exercent une force verticale ρ F = ρsSE = ρsS s ; 2ε 0 charge du disque F ρs2 : P= = S 2ε 0 la pression ρs2 m 3. Le disque se soulève quand S = mg ⇒ ρs2 = 2ε 0 g . 2ε 0 S La charge totale sur le disque q = SρS = 2ε 0 gmS . E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 30 4. Quand le disque perd contact avec le plan, les charges sur face 1 se précipitent pour occuper la place libérée, repoussées par les autres charges : disque face 1 En négligeant l’influence du disque sur la distribution des charges du plan, les charges de disque sont repoussées par deux forces créées par les deux plans charges : F1 F2 disque face 1 face 2 F = F1 + F2 = q disque 2E1 = q disque ρ plan ε0 (2 fois plus grand !) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 31 Problème 2 : Deux plans conducteurs : en chargeant des plans, ils se séparent, mais doucement E= ρs Q/2 = 2ε0 2ε0S Q/2 Q/2 chaque plan exerce une force sur l’autre, avec une pression électrostatique : ρs2 ρs Q2 F (Q / 2 )E ; F= S= PE = = = ρs 2ε 0 8ε0S S S 2ε 0 la pression gravitationnelle : PG = mg S Les plans se séparent quand PE = PG mg Q2 ⇔ = S 8ε0S2 ⇒ Q = 8ε0Smg Après la séparation des plans des charges se redistribuent, mais la force ne change pas (les quantités avec tilde – après la séparation) : ~ Q Q ~ F = + E 4 4 Q/4 ~ Q S Q ρ = 2 s = 2 2ε 0 2 ε 0 Q2 = =F 8ε0S Q/4 Q/4 Q/4 Q/4 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 32 Problème 3 : Une sphère et un disque, ayant un degré de liberté : En chargeant la sphère, le disque se soulève, mais il s’arrête dans une position équilibrée, qui dépende de la charge de la sphère. r>R: E= tige Q 4πε0r 2 FE = disque qQ 4πε0r 2 r-R FG = mg R en équilibre : mg = qQ qQ 2 = ; r ⇒ 2 4πε0mg 4πε0 r si r < R, le disque reste sur la sphère ; quand r = R, il commence à se soulever : r=R: E= Q 8πε0 r 2 FE = qQ 8πε0 r 2 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 33 Flux du champ électrostatique Flux (def. générale) la quantité de qqch. à travers une surface Le flux parallèle à une surface est nul Le flux élémentaire d’un vecteur E à travers dΦ = E ⋅ N SdS [Vm] d’une surface élémentaire dS : = E cos αdS N E α dS N S - la normale de dS (le signe – convention, mais attn. - continuité) surface fermée : N S vers l’extérieur S Observations : 1. dΦ (et Φ ) : scalaire (i.e., un nombre !) 2. Φ E= = EdS⊥ E ⊥ SdS 3. E S ⇒ Φ = 0 4. E est S sont additifs Φ = ∫ E ⋅ NdS Φ est additif S Φ∑ e.g. champ uniforme dΦ = E ⋅ N S dS = EdS cos α = EdS ⊥ (pour S inclinée cosα <1, mais S > S ⊥ ) S = ∑ E j ⋅ NdS = ∑ Φ j j S⊥ j N N⊥ E E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 34 Flux du champ d’une charge ponctuelle dΦ = 1 dS cos α ; q 2 4πε 0 r 1 qdΩ 4πε 0 q q ⇒Φ= Ω = Ω d 4πε 0 ∫∫ 4πε 0 dS cos α = dΩ - l’angle solide sous r lequel on voit dS de point r = 0 2 N ⇒ dΦ = S r Ω Φ dépend seulement de l’angle solide et non de la surface ! α S Donc Φ est le même pour toutes les surfaces ayant Ω constant Explication : 1. Φ 2 = Φ 2 ⊥ R2 2. S2 ⊥ ∝ R 22 ∝ r22 ; S1 ∝ R12 ∝ r12 3. E ∝ 1 R2 E S ⊥ = cte R1 r S1 S2⊥ S2 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 35 Surfaces fermées Tube des lignes de champ : l’ensemble des lignes qui s’appuient sur un contour fermé : N S vers l’extérieur L’intersection du tube et d’une surface ferme : deux surfaces S 1 et S 2 V N2 S2 N1 S1 E Tube B Tube A S I. Charge à l’extérieur : Φ S1 < 0 , Φ S2 > 0 ; même tube : Φ S1 = Φ S2 Φ tube A = Φ S1 + Φ S2 = 0 pour V tube, Vrai pour tube B, ayant support S, la coupe transversale de V II. Charge à l’intérieur : L’angle solide de la sphère à l’intérieur Ω total = 4π ⇒Φ= q q (donc 4π dans la constante de Coulomb) Ω= 4πε 0 ε0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 36 Théorème de Gauss q pour un système général de charges: ε0 Φ est additif, donc pour un ensemble de charges q j : Généralisation de Φ = { } Φ S = ∑ Φ S, j = j =0 ∑ Φ S, j + ∑ Φ S, j = ∑ Φ S, j = j∈VS j∉VS j∈VS ∑q j j∈VS ε0 = Q int érne ε0 Le flux total de vecteur de champ électrostatique sortant d’une surface fermée est égal au quotient par ε 0 de la somme de charges électriques situées a l’intérieur. Preuve direct à partir de la loi de Coulomb pour une sphère chargée uniformément : = 4πR2 Φ= ∫∫ E ⋅ Nds = S Q 4πε 0 R 2 ∫∫ S ds = Q ε0 ds Q R Observations : 1. Q V = 0 ⇔ Φ S = 0 2. Φ S ne dépend de la configuration de charges ni à l’intérieur ni à l’extérieur 3. A l’intérieur d’une sphère avec des charges surfaciques uniformes E ≡ 0 : Soit S R avec le même centre et r < R Symétrie radiale ⇒ E radial ⇒ Φ = E ∫∫ SR ⇒Φ=0 ds = 4πr 2 E ⇒ E = 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 37 L’importance du théorème de Gauss 1. Il représente une forme intégrale d’une d’équations de Maxwell (on verra plus tard) 2. Il est très utile pour déterminer le champ pour les systèmes ayant une symétrie élevée. Exemple 1 : Champ d’une sphère chargée uniformément (TD) E R Symétrie radiale: E = E(R ) Q Gauss : Φ = ε0 Def : Φ= E⋅Nds=E(r) ∫∫ S Donc E= r Q R ∫∫ ds=4πr 2E S Q 4πε0r 2 Charges surfaciques uniformes Charges volumiques uniformes En fait, il suffit d’avoir une distribution radiale de charges ρ v = ρ v (r ) pour préserver la symétrie radiale I. II. Champ à l’intérieur : r < R Charge surfacique : E ≡ 0 (déjà fait) Q(r) Q(R)r3 Qtotaler3 Charge volumique uniforme : Φ= = = 3 ε0 ε0R ε0R 3 Φ=4πr 2E⇒ E= Qtotale r 3 4πε0R dépendance de r linéaire E(r =R)= Qtotale ≡E (R) 4πε0R 2 extérieur E E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 38 Exemple 3 : Champ d’un plan chargé Symétrie : E ⊥S ∂E ∂E = =0 ∂x ∂z + E = −E y S1 h − ρS Gauss : s = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre ε0 Def : N1 = 2Φ1 = 2E + (h )S x S z S2 ρS ρS + E= ⇒ ∆E= N 2ε 0 ε0 N2 x Exemple 2 : Champ d’un fil chargé Symétrie : E⊥x ∂E =0 ∂x E = E(r ) S2 D L ρ L Gauss : = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre ε0 Def. = Φ cylindre = E 2πDL ρ E= 2πε 0 D S1 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 39 Exemple 4 : Champ de deux plans parallèles q1 + 2ε 0 E1 = q − 1 2ε 0 q2 + 2ε 0 E2 = q − 2 2ε 0 y>d y y<d y>0 y<0 q1 d q2 0 Condensateur : q1 = − q 2 = − q y>d: 0<y<d: y<0: q1 + q 2 2ε 0 q − q2 E=− 1 2ε 0 q + q2 E=− 1 2ε 0 E= E=0 E= q ε0 E=0 d 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 40 Energie et potentiel du champ électrostatique Charges actives champ force maintenant travail Soit E homogène (= cte). Le travail ∆W nécessaire pour déplacer une charge q 0 entre les points A et B, est : ∆W = F ⋅ L AB = q 0 E ⋅ ∆ . ( dW=F⋅d ) A E dl B Inversement, le travail effectué contre le champ a le signe opposé. Le travail fait par le champ par charge unitaire s’appelle différence de potentiel entre B et A (le travail nécessaire pour déplacer une charge négative unitaire) : J ∆WBA ∆V = VB − VA = − = −E ⋅ ∆ ≡ V . q0 C Remarques : 1. 1ev = 1.6x10-19 [CV=J] l’énergie gagnée par l’électron quand il se déplace de 1m dans champ de 1 V 2. V s’appelle potentiel du champ sur un point et est défini à une constante près, car ce qui compte sont les différences de potentiel 3. Convention de signe : le signe – signifie que si une charge + se déplace contre E son énergie augmente et ∆V > 0. Donc, les lignes de champ pointent en direction de la diminution de potentiel (les lignes sont dans le sens de potentiel décroissant). 4. Déplacement à travers le champ ne fait pas de travail, équivalent au déplacement horizontal dans le champ gravitationnel. Donc, sur les surfaces S ⊥ E V=cte : Ces sont des surfaces équipotentielles. (et elles sont perpendiculaires aux lignes du champ) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 41 Cas général : champ non-uniforme ∆L ⇒ d → 0 : E est uniforme sur d WBA B B A A B VB − VA = − ∫ E ⋅ d = ∫ dW = q 0 ∫ E ⋅ d A Remarque : le champ électrostatique est conservatif – le travail ne dépend pas du chemin Champ conservatif B L1 Champ non-conservatif L2 A WBA( L1 ) = WBA( L 2 ) WBA( L1 ) ≠ WBA( L 2 ) WBA + WAB = 0 WBA + WAB ≠ 0 pour ∀ chemin l’énergie sur A n’est pas la même après un aller- retour (e.g. friction) Preuve pour une région de champ uniforme : WBA B B B B = ∫ dW = q 0 ∫ E ⋅ d = q 0 ∫ Ed = q 0 E ∫ d = q 0 E AB = q 0 E ⋅ AB A A A A E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 42 Potentiel d’une charge ponctuelle WL = WL + WL ⊥ = WL C C −∫ E ⋅ d = − ∫ Edr VB − VA = B A = A q 1 1 q 1 1 − = − 4πε0 rC rA 4πε0 rB rA V(r ) = B A q 1 + cte 4πε 0 r convention Coulombienne : V(∞) = 0 ⇔ cte = 0 : l’énergie à l’infini est 0 L’énergie potentielle : l’énergie obtenue en déplaçant une charge passive q 0 de r au point avec potentiel zéro : U(r ) = q 0 V(r ) charge ponctuelle = 1 qq 0 4πε 0 r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 43 Relation différentielle : dV = −E ⋅ d 1. dV – différentielle totale d’une fonction scalaire de trois variables, ∂V ∂V ∂V donc dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z → Notations : gradV≡∇V≡ ∂V , ∂V , ∂V ∂x ∂y ∂z 2. d = (dx, dy, dz) ⇒ E ⋅ d = E x dx + E y dy + E z dz 3. x, y et z sont indépendantes → gradV=−E donc avantage : V scalaire et E est obtenu par différentiation → Qqch. d’utile : NS =gradS S(x,y,z) = cte : l’équation de surface S N S : le vecteur normal à S S(r) = c te ⇒ dS = 0 : l’équation de la surface S → ∂S ∂S ∂S dS = dx + dy + dz = gradS⋅ d r ∂x ∂y ∂z → ⇒ gradS⋅ d rS = 0 pour les déplacements d rS parallèlement à la surface → ⇒ gradS ⊥ rS → surfaces équipotentielles : V = cte ; gradV=−E , donc E ⊥ Vcte : sens physique – l’énergie potentielle ne change pas en se déplaçant à travers du champ E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 44 Extremum du potentiel : Si V a un extremum sur M, M est chargé. Supposons que V a un minimum. Sur chaque point d’une petite surface S autour de M : V S >V M , donc toutes les lignes de champ se dirigent vers l’intérieur et par application du théorème de Gauss à l’intérieur de S il y a une charge négative. En prenant la limite S 0, la charge se situe sur M. Inversement, l’existence d’une charge positive sera signalée par un maximum. Conséquence : L’équilibre stable d’une charge dans un champ électrostatique n’est pas possible ! L’équilibre stable nécessite que le potentiel a un minimum local : tous les petits déplacements doivent ‘tirer’ la charge vers la position de l’équilibre stable, donc pour une charge positive toutes les lignes du champ créé par des autres charges doivent pointer vers l’intérieur, donc le potentiel a un minimum, donc il existe une autre charge dans cette position ! Un point d’équilibre M : toutes les forces F doivent pointer à l’intérieur F M Donc, par conséquence du théorème de Gauss Φ S ≠ 0 , S – arbitraire autour M. S → 0 ⇒ M est chargé ! Donc, les points d’espace sans charges ne peuvent pas être des position d’équilibre stable. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 45 La preuve générale que le champ électrostatique est conservatif → E = − gradV B WBA B B → = E ⋅ d L = − gradV⋅ d L = − dV = − V (B) + V (A ) ∫ A ∫ A donc WBA ne dépend pas du chemin ∫ A E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 46 Potentiel d’une distribution (discrète ou continue) des charges I. II. III. Voie directe : par sommation ou intégration (plus facile que E : V est scalaire !) Depuis E : gradV=−E → y Depuis ρ : plus tard Exemple: dipôle électrostatique q 1 1 q r− − r+ − = V= 4πε 0 r+ r− 4πε 0 r− r+ q d cos θ p cos θ ≈ = 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 r-d/2 p r θ d/2 r+ Attention : V écrit comme ça est une fonction de r et θ. ∂ 1 ∂ Dans le système des coordonnées sphériques : ∇ = r + θ ∂r r ∂θ 2p cos θ p sin θ Donc : E r = , Eθ = 4πε 0 r 3 4πε 0 r 3 Lignes de champ : dr rdθ = Er Eθ ⇒ dr cos θdθ d sin θ =2 =2 r sin θ sin θ ⇒ r = C sin 2 θ Surfaces équipotentielles : V = cte ⇒ r 2 = C cos θ x E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Observations pour les surfaces équipotentielles: 1. Surfaces sont fermées 2. Ne se croisent pas (V – unique) 3. A côte des charges : sphère 47 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 48 Théorème d’Ostrogradski et la présentation différentielle du théorème de Gauss Φ+in Φ−in F(x,y,z) – une fonction vecteur Φ = ∫ F ⋅ ds S Sin + − Φ in = −Φ in N ∑ ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds = Φ j=1 S j S Φ j = ∫ F ⋅ ds → ? Sj Vj→ 0 On vera que la limite existe et est proportionelle à V j : Sin E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 2 49 3 ( ds ∝ r , ∆F ∝ rdF / dr, V ∝ r ) def. divF = lim F ∫ ⋅ ds SV V →0 (si elle existe). V Coordonnées cartésiennes : faces : 1 – en face 2 – au fond 3 – à gauche 4 – à droit 5 – en bas 6 – en haut (x+dx, y+dy, z+dz) 6 dy 3 2 1 5 (x, y, z) Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + Φ 5 + Φ 6 = 4 dz dx ≈ Fz ( x , y, z)dxdy − Fz ( x , y, z − dz)dxdy − Fx ( x , y, z)dydz + Fx ( x + dx , y, z)dydz − Fy ( x , y, z)dxdz + Fy ( x , y + dy, z)dxdz Fz continue : Fz ( x , y, z + dz) ≈ F( x , y, z) + dz ∂Fz dz ∂Fx ∂Fy ∂Fz dxdydz + + Φ ∂x ∂y ∂z ∂F ∂Fy ∂Fz = divF = = x+ + dV dxdydz ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ mais ∇ = , , ⇒ divF = ∇ ⋅ F ∂x ∂y ∂z E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 50 N Φ ≡ ∫ F ⋅ ds = ∑ ∫ F ⋅ ds ← j=1 S j S N V div F ≡ div F dV = ∇ ⋅ F ∑ j ∫ ∫ dV Vj →0 j=1 V V ∫ F ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ FdV - théorème d’Ostrogradski-Gauss S V Application : Flux de champ électrique Q ΦE ≡ E⋅Nds= ∇⋅EdV= V ε0 ∫ ∫ S V V ρ ∇⋅E = ε0 intégrale ∫ ρdV V ε0 pour chaque V représentation différentielle Rappel : E = −∇V , V – potentiel de champ électrique 2 2 ∂2 ρ ∂ ∂ ∆V ≡ ∇ V ≡ 2 + 2 + 2 V = − ∂x ε0 ∂y ∂z opérateur 2 l’équation de Poisson Laplacien Dans les régions sans charges : de théorème de Gauss pour le champ électrique Q E d s E dV ⋅ = ∇ ⋅ = = ∫ ∫ ε0 S représentation ∆V = 0 - l’équation de Laplace E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 51 A partir de représentation intégrale ou différentielle on peut obtenir la loi de Coulomb. Exemple : Loi de Coulomb – hypothèse V ∝ 1 r n 1 x ∂ 1 n = − ∂x r n r n +1 r , n=? 2 x x 1 − ( n + 2) 2 r n + 2 − x (n + 2)r n +1 2 ∂ 1 r = −n r ⇒ 2 n = −n 2 ∂x r rn+2 rn+2 ( ) ⇒∆ 1 r n = −n pour que ∆ 1 r n 3 − ( n + 2) r n+2 ; = 0 il faut n = 0 ou 1 n = 1 – loi de Coulomb n = 0 – V = cte, E = 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 52 Problème : dans le théorème d’Ostrogradski-Gauss F – continue si Fz discontinue (e.g. charge surfacique sur le plan x-y) : ∂F Fz ( x , y, z + dz) ≈ F( x , y, z) + J (Fz ) + dz z dz (J – saut de F z ) Fz ( x , y, z)dxdy − Fz ( x , y, z − dz)dxdy ≈ J (Fz )dxdy mais J ( E z ) = ρ ε0 J (E )dydz ρ ρ ⇒ divE = = = s dv ε0dz ε0 (ρs est la charge dans une couche dz) La mathématique plus sophistiqué : Charge surfacique Ez = ± ρ ρ ρ =− + θ(z ) 2ε 0 2ε 0 ε 0 0, z < 0 θ(z ) = 1, z < 1 ∂E z ρ ρ ρ ∇⋅E = = θ' (z ) = δ(z ) ≡ s ; ∂z ε0 ε0 ε0 δ(z ) - fonction de Dirac E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 53 L’énergie potentielle électrostatique d’une distribution de charges Def. W est l’énergie nécessaire pour apporter des charges situées a l’infinité aux positions associées au système physique étudié (l’énergie propre) 1-ère charge : W (1) = W 11 = 0 qq 2-ème charge : W (2) = W 21 = q 2 V1 ( r2 ) = 1 2 4πε 0 r21 3-ème charge : W (3) = W 31 + W 32 = q 3 [V2 ( r3 ) + V1 ( r3 )] ...... j −1 N-ème charge : W( j) = ∑ W ji i =1 Totale : W = ∑ ∑ W ji j i< j 1 W = ∑ ( ∑ W ji + Wij 2 j i< j qj 1 = ∑ qi ∑ 2 i j ≠ i4πε 0 rij j ≠ i 4πε 0 rij ) = 1 ∑ ∑ Wij = 1 ∑ ∑ 2 j≠ i 2 i qiq j 1 W = ∑ q i Vi 2 i V i est le potentiel crée par toutes les autres charges dans la position de la i-ème Distribution continue : W = 1 ρVdℜ où ℜ est la région des 2∫ ℜ charges (volume, surface, ligne) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 54 Discontinuité de champ Dans une région sans charges E et V sont continus (pourquoi ?) 1. Charge ponctuelle : E et V – singuliers ( → ∞ ) E∝ 1 r2 , V∝ 2. Charge linéique : E ∝ 1 r 1 : singulier r ∂V ρ ⇒V= ln(r ) + C : singularité logarithmique ∂r 2πε 0 Remarque 1 : C ≠ 0 car à l’infinie il y a des charges Remarque 2 : E et V ont la même singularité pour des charges linéiques non-uniformes et des lignes arbitraires Er = − 3. Charge surfacique : Exemple 1 : Plan chargé uniformément E T ≡ E x = 0 ⇒ E T continu EN ρs + 2ε 0 ≡ Ey = ρs − 2ε 0 E=EN , y>0 S , y<0 E ρ ρ V=− s y , 2ε 0 ε0 ! V(y → ±∞ ) → ∞ et n’est pas nul – la convention Coulombien ne marche pas (il y a des charges à l’infini) ∆E N ≡ E +N − E −N = E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 55 Exemple 2 : Surface sphérique chargée uniformément A l’intérieur : E N = E T = 0 A l’extérieur : E T = 0 , Donc ∆E N = EN E=0 ρ =E= = S 4πε 0 R 2 ε 0 Q ρ et ∆E T = 0 ε0 EN Cas général : A WAB + WBC + WCD + WDA = 0 B ET D C Si AB et CD + E(A) → E(B) = E 0, − E ( C) → E ( D ) = E EN mais aussi WBC + WDA = 0 , car BC et AD sont antiparallèles. Donc E T+ AB − E T− DC = 0 , donc ∆E T = 0 . Pour E N : ρS Théorème de Gauss : Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre = s ε0 1. Φ cylindre → 0 si H → 0 2. Φ1 → E +N S 3. Φ 2 → −E −N S ρ Donc ∆E N = s ε0 S1 H EN S S2 ET E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 56 Type de matériaux Conducteurs, isolants, semi-conducteurs, diélectriques, piézoélectriques, diamagnétiques, ferromagnétiques, etc. En gros : conducteurs : ceux qui sont capables de conduire l’électricité, d’avoir un courant électrique isolants : qui ne peuvent pas courant électrique – mouvement des charges dans une direction, donc il faut des charges libres : la propriété des conducteurs est d’avoir des charges libres isolant : toutes charges sont liées abstractions : 1. Conducteur absolu (ayant conductivité infinie) – résistance zéro ; Quantité des charges libres – infinie 2. Isolant absolu – pas de charges libres Remarques : 1. Les deux peuvent être chargés ; dans les conducteurs les charges supplémentaires sont aussi libres, dans les isolants elles sont fixées. 2. Pour la majorité des conducteurs des charges libres sont des électrons, mais il y a des conducteurs ioniques (les électrolytes, les conducteurs ionique solides, le plasma) 3. L’isolant peut être polarisé (dipôles permanents et induits) Semi-conducteurs : E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 57 Structure atomique et moléculaire Atome : électrons externes électrons internes + noyau Molécule : électrons externes communs + électrons internes + E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 58 Matériau diélectrique : les électrons externes sont liés aux molécules séparées + + Conducteurs : une partie des électrons externes sont partagés entre les ‘molécules’ (atomes) et sont communs au corps entier E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 59 Semiconducteurs : une partie des électrons externes en état d’excitation peuvent devenir communs au corps entier. Dans un état moins excité : comme les diélectriques E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 60 La bande énergétique d’états liés : bande d’états liés (bande de valance) La bande énergétique d’états communs : bande conductrice L’énergie minimale nécessaire de transférer un électron d’une bande à l’autre : bande interdite E c . Pour les métaux : E c = 0 Pour les diélectriques : E c = 7 – 20 eV Pour les semiconducteurs : E c = 0.5 – 5 eV (rappel : ça va dire qu’un électron doit être soumis au potentiel V = E c /e) Remarque : Cette énergie est différente à l’énergie d’ionisation nécessaire pour ejecter un électron de l’atome complètement : dans la bande conductrice l’électron reste lié aux atomes Exemple : l’électron dans l’état énergétique le plus bas de l’atome d’ hydrogène (r = 0.053 nm) : le champ de la force électrostatique est 5 x 1011 V/m ! Pour l’air sec : 3 x 106 V/m = 30 kV/cm Les diélectriques peuvent être polarisés dans un champ électrique externe, on en a déjà parlé, et le résultat est la création des dipôles électriques caractérisés par ses moments dipolaires p = p 0 + αE , sauf quelques exceptions, p 0 = 0 . E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 61 Conducteurs dans champ électrostatique I. La surface S de conducteur : équipotentielle (V = cte) Explication : V = cte sur S V ⇔ E ⊥ S V (pas de travail fait en déplacement à travers le champ) Si S n’est pas équipotentielle, ⇔ E T ≠ 0 (la composante tangente de champ). N E E T ≠ 0 ⇒ FT = eE T S ET déplacement de charges libres ; redistribution de charges libres création d’un nouveau champ par des charges redistribuées jusqu’à la compensation de E T ⇒ E T = 0 sur S S est équipotentielle en équilibre II. A l’intérieur : E = 0 (si non, champ va exercer une force sur les charges libres) Conséquences : 1. Courant électrique 2. Corona décharge 3. Cages électrostatiques (cages de Faraday) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 62 Cage électrostatique S metal : équipotentielle – aussi vrai pour une surface intérieure. Sur S int fermée V = cte. Si Q int = 0 V volume intérne = cte aussi Théorème : soit une fonction f continue et bornée dans une région P bornée et constante sur les limites L de P f = cte sur P ou f a l’extremum dans P : 3 Ou 1) f = cte, ou 2) f a le maximum (2’) ou le minimum (2’’) 3) ou les deux 2’ 1 L1 L2 2’’ On a vu que dans l’extremum de V il y a des charges V = cte a l’interieur E=0 I. Le champ externe ne pénetre pas dans une cavité interne d’un conducteur (on est protégé) II. Il n’y a pas de charges sur S int : E int = 0 , E conducteur = 0 , ρ ∆E N = s ⇒ ρs = 0 ε0 (th. Gauss) Charge Q à l’interieur charge –Q sur S int III. -- - - - - E + + Sint + + ++ + Sext E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique -- - - E - 63 + Q+ Sint + - + + ++ + Sext E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 64 Corona décharge 1 q , R plus petit V plus grand 4πε0 R Mais V = cte pour deux conducteurs en contact ; en fait la relation est : R plus petit q plus petite. V de sphère : V = Mais : E = − V , donc R plus petit R E plus grand pour V = cte. Au voisinage d’une partie pointue d’objet – le champ est plus fort. Exemple : R V Er = ER = − r r et V ne dépend que de R, si r << R R ρ 1 Mathématique : S cond. = S(V) = cte ; ∇ 2 V = s ; ∇ 2S ∝ ε0 R courbure 1 ⇒ ρs ∝ R courbure Application : paratonnerre grande sphère – la Terre Attn. Le paratonnerre n’est pas fait pour attirer les éclairs mais pour réduire le potentiel localement : V fort micro-décharges dans l’air autour ions+ : libérés, électrons attirés la différence de potentiel local diminue r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 65 Courant électrique Conducteur dans un champ électrique libres équilibre (champ intérieur nul) + - E - -- - - + + + Conducteur branché : courrant + mouvement des charges - e -- - - - + - ++ + + - + + + e ++ + - Conducteur branché en équilibre : la différence de potentiel est annulée 0 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 66 Pour préserver le courant il faut préserver la différence V (source de V cte, e.g. prise électrique). Remarque : avec l’alternance de signe de potentiel ce n’est pas nécessaire de transférer les électrons le long du circuit entier Si V = cte, la force électrique sur chaque électron F = −eV va accélérer l’électrons avec accélération constante la vitesse v monte sans limite. En fait – ce n’est pas possible – il y a d’autres forces, des collisions, etc. Equilibre dynamique : les forces en équilibre, v = cte. Approche phénoménologique : force électrique F et force de résistivité F R : 1) v = 0 ⇒ FR = 0 2) FR et v : antiparallèles F = −FR ; v FR Hypothèse la plus simple : ~ v , FR = −ρ ~ ρ ≥ 0. Courant électrique I : la quantité de charge passant par seconde en direction L à travers une surface S Nq Nq S L ∆L = NqS⊥ v , N – nombre de charges q par volume I = NqS⊥ ∆t [A] (1 Amper = 1 Coulomb/1 sec) FR qE Nq 2S⊥ I= NqS⊥ − NqS⊥ = = − ∆V , ρ ρ ρ L − ∆V ) L I et ∆V antiparallèles, indépendamment du signe de q E uniforme : ( E = E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique I= S⊥ S 1 V = σ ⊥ V = V, ρL L R ~ ρ ρ= 2 67 la loi d’Ohm – résistivité, σ= 1 ρ – Nq L 1 résistance, - admittance R =ρ S⊥ R R∝ L S conductivité, en séries : résistance = la somme des résistances en parallèle : l’admittance = la somme des admittances Remarque : Les lois de circuits électriques à partir de lois d’électromagnétisme – pendant les TD Densité de courant électrique : def . I FR qE 1 J = = Nqv = Nq ~ = Nq ~ = E , ou S⊥ ρ ρ ρ J =σE Remarque : le courant I représente la forme intégrale de densité de courant à traverse d’une surface (par exemple, la section d’un fil) : = I ∫ J ⋅ NSdS S E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 68 Condensateurs 2 plans chargés anti-symétriquement (-Q et +Q) créent un champ homogène : condensateur : y y>d: E=0 ρ 0<y<d: E= S ε0 y<0: E=0 ∆V = ρS d ε0 Questions : 1. Condense quoi ? 2. Pourquoi faire ? 3. Comment ? ∆V → ∆VC = ∆V ∆VC V=0 ρ V = S (d − y ) ε0 ρ V= Sd ε0 -Q d +Q 0 Condense des charges et les préserve (e.g. les mémoires électroniques) e Ι source ∆V + e Si la source est coupée, les charges restent sur les plans, car E extérieur = 0 ! (en fait, il y a toujours des fuites : l’air n’est pas un isolant parfait, il a des rayons cosmiques dans le vide aussi) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Q = SρS = C= Q V ∆Vε 0S d 69 pour V=cte, Q si S ou d . La capacité C de stocker des charges est mesurée comme ε 0S C condensateur plan : = = F − Farad C V d Condensateurs en parallèle : comme si on somme la surface C = ∑ C j Condensateurs en séries : comme si on somme la distance (preuve rigoureuse : TD) La dernière possibilité pour changer C : ε 0 1 1 =∑ C Cj E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 70 Diélectriques dans champ électrostatique Observation expérimentale : Un diélectrique placé dans un condensateur : le potentiel diminue Ι=0 V +Q -Q Insertion de diélectrique : Q ne change pas (pas de courant, E ext. = 0) Ι=0 +Q Veff = ? -Q Branchement de la même source : ∆I supplémentaire e V ∆Q ∆Ι - +Q + ∆Q source V -Q - ∆Q e + E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Q ∆Q d Ceff = 1 > C V1 ε 0S ε S Comment C = 0 a changé (S = cte, d = cte) ? d ∆V = V − Veff = Il reste ε 0 ! Def. constante diélectrique (permittivité relative) statique (freq. 0) εr = Comme si l’air l’eau Pourquoi ? V Veff ε0 → ε = ε r ε0 ε r = 1.00059 ε r = 78.3 Ceff = εC 71 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 72 Rappel : 1) il n’y a pas des charges libres 2) peuvent être polarisés Les atomes et les molécules ont des charges positives et négatives. Un champ externe ‘tire’ les charges différentes dans les directions opposées, les forces intramoléculaire s’opposent, en l’équilibre nouveau les centres de charges positives et négatives sont déplacés et un dipôle induit est créé, proportionnel au champ externe. La constante de proportionnalité α s’appelle polarisabilité de milieu. Si p 0 ≠ 0 (l’eau) : deux cas en absence de champ externe désordre chaotique (liquides, milieux amorphes, polycristaux) p 0, total = 0 ordre partiel : segnetoélectriques – cristaux ayant un dipôle naturel Dans champ externe : deux cas les dipôles permanents ne bougent pas : p 0, total = cte les dipôles sont alignés partiellement parallèlement au E externe ⇒ p moyen = p 0 + αE externe V 0 + Dans le volume : les charges négatives et positives se compensent Sur la surface : excèdent des charges Qinterne ∝ p moyen = αE externe -Q Equivalent macroscopique : +Qint Veff. -Qint +Q E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique le moment dipolaire induit 73 E Q effective = Q − Qint . ⇒ Veffectif = Qint a le signe opposé à Q Q effectived <V ε 0S la capacité avec diélectrique : Cdiél. = Q >C Veff . Relation entre α et ε r : Pour préserver V = cte, la source ajoute Qint . à Q ⇒ C diél. = p diél. = Qint .d Q + Qint Q + Qint Qint = = 1 + C ≡ ε r C Q V Q/C et p diél. = NαE , N – nombre total de dipôles N αE Qint Nα N d = 1+ = 1+ Qint . = αE ⇒ ε r = 1 + Q ε 0SE Sd ε 0 d N 0α , ε0 ε ≡ ε r ε 0 = ε 0 + N 0α εr = 1 + N0 = N – densité volumique de dipôles ≥ 0 Sd α>0 ⇒ εr ≥ 1 N 0α = χe - susceptibilité électrique , P = χe E - vecteur de polarisation Conception : si la loi de Coulomb est mesurée dans un milieu avec 1 ⇒ F → F ⇔ ε0 → ε = ε r ε0 εr ≠ 1 εr 1 1 − εr Champ supplémentaire : ∆E = E eff − E = − 1E = E ε ε r r ∆E est linéairement proportionnel au E et a le signe opposé E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 74 Force magnétique Aimants naturels, magnétisation par induction, démagnétisation par choc ou température, etc. Propriétés : similarités avec la force électrique 1. Il y a 2 types de pôles 2. Les pôles opposés s’attirent, les pôles similaires se repoussent différence 3. Ils n’existent qu’en paires N S N N + S + N S S Comme des dipôles électrostatiques : + différence : en divisant progressivement le dipôle électrostatique, on arrive à séparer les charge électriques ; pour les aimants – personne n’est encore arrivé à séparer les pôles magnétiques. Hypothèse : le dipôle magnétique est l’élément fondamental magnétique (d’Ampère) + propriétés : la force s’exerce à distance, sans contact direct ; la conception de champ magnétique qui est le porteur de la force (à vérifier qu’on peut bien définir les caractéristiques de champ qui ne dépendent pas de ‘détecteur’ mais seulement de la source) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 75 champ magnétique : vecteur B F magn. et normalisé correctement (pour être indépendant de détecteurs) comment mesurer : avec détecteurs qui ne modifient pas le champ, e.g., petits aimants ‘passifs’ présentation : avec la carte de lignes tangentielles à la force (attn. pas de charges séparées : pas de début et fin de lignes) N S On peut continuer l’étude du champ magnétique séparément du champ électrique, mais les liens sont si importants, qu’il est préferable de les étudier ensemble. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 76 1600 William Gilbert : « De Magnète » 220 ans - rien 1819 H. Oerstead (danois) trouva par hasard (pendant le cours) que le courant électrique dévie l’aiguille aimantée d’une boussole : I Faits expérimentaux : 1. Le courant électrique crée une force sur l’aimant. Sans courant – aucune force 2. Charges sans mouvements : pas de champ magnétique ; champ magnétique n’exerce pas de force sur les charges au repos 3. La force est perpendiculaire à la direction du courant 4. La force est proportionnelle à la magnitude de courant et a la puissance de l’aimant 5. Le principe de l’action et de la réaction nécessite que l’aimant exerce la même force (direction opposée) sur les charges de courant et le courant diminue (travail fait pour tourner l’aiguille diminue la vitesse des charges) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 77 Conclusion : le courant électrique crée un champ magnétique et le champ magnétique exerce une force sur les charges en mouvement B I E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 78 1820 : Jean Baptiste Biot et Félix Savart – mesure quantitative Loi de Biot et Savart (champ magnétique crée par un segment de courant) : r̂ µ0 dB = I d ^ 2 4π r dB I r (correspond à la loi de Coulomb) dl 1. B ⊥ dl, r (la triade dl, r, B est directe – règle du bonhomme d’Ampère ou règle du tire-bouchon de Maxwell) 2. B ~ I 3. B ~ 1/r2 4. µ 0 = 4π 10-7 : perméabilité magnétique du vide B [T – Tesla] : 1T = 1N/(1A 1m) ; pourquoi – plus tard ! 1G (Gauss) = 10-4 T Pourquoi B F (peut-on définir B comme F/qqch ?) (en fait, B F entre les aimants et les aimants sont équivalents aux dipôles magnétiques) Il faut définir la force magnétique exercée sur des charges en mouvement (elle existe dû au principe de l’action et de la réaction) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 79 Force sur une charge en mouvement dans un champ magnétique Expérience par la pensée : Mouvement de charges dans B homogène (créé par deux grands aimants) : Section transverse : N v ϕ q S Observations : 1. Dans la région du champ la trajectoire tourne en cercle ayant une courbure constante dans le plan transverse de B. 2. La vitesse reste inchangée en module. 3. La courbure est proportionnelle à q, B, v et sinϕ (si v//B : pas d’influence) 4. S N : la courbure change de signe Conclusions : La charge est soumise à une force F ⊥ v et B, F ~ v, B, q : Fmag. = qv ^ B F . v B F = 0 si v // B, prenons ça comme def. du champ magnétique ; donne des unités : [B] = [F] /([q ][ v]) = N /(Cms −1 ) = NA −1m −1 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 80 La force de Lorentz (champ magnétique et champ électrique) F = Félec. + Fmag. = q (E + v × B) ~ F mag. ? Répétons la question : Peut-on définir B comme B = qqch. La conception de champ nécessite que le champ soit déterminé indépendamment de l’objet d’essai, donc de v. 1. F⊥v 2. F ~ v ~ 3. F ∝ v 〈 operation〉 B operation = produit vectoriel Attn. Fmag. ne fait pas de travail sur les charges libres : WBA t ( B) t ( B) d = ∫ F ⋅ d = ∫ F ⋅ dt = ∫ F ⋅ v dt ≡ 0 dt B A t (A) car Fmag.⊥v t (A) Notre expérience a montré que v = cte W cinétique = cte. B dl A tB v dl = vdt F tA F E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 81 Mouvement cyclotron y v E = 0, B uniforme, v x F v I. B trajectoire: cercle mv 2 Fmag. = qvB = R v z R= fréquence: f = v⊥B mv qB rayon cyclotron ; 1 v qB (ne dépend pas de R !) = = T 2πR 2πm 1. Sers à mesurer le rapport q/m 2. La même charge et masse différente (e.g. isotopes ionisés) R et f différent - R différent : les isotopes différent peuvent être capturés dans les régions différentes (séparation d’isotopes) - f peut être mesurée par effets résonants : détermination du contenu isotopique y v F z B x E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 82 II. v = v ⊥ + v F⊥v ⇒ v = cte ; dans plan transverse : mouvement circulaire B Exemples: 1. Aurore boréale atmosphère La Terre particules cosmique champ magnétique Les particules cosmiques sont capturées par le champ magnétique et se ‘glissent’ en parallèle de B jusqu’aux pôles. En entrant dans l’atmosphère, elles ionisent l’air aurore boréale E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 83 3. Cyclotrons : B E~ B Deux cages semicylindriques métalliques avec potentiel électrique alterné pour accélérer les particules chargées quand ils passent les bouches. Le champ magnétique homogène pour faire tourner la trajectoire en une spire : Avec l’accélération la masse augmente (l’effet de la relativité) nécessite le changement de la fréquence du E ou de la magnitude de B (ou les deux) - synchrophasotrones E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 84 L’autre possibilité – les champ magnétique et électrique en parallèle du faisceau (B est plus fort en approchant les mures de la chambre) : B, E p+ B, E E accélère les protons en augmentant v . v ⊥ est modifié par B de façon que les particules restent toujours à l’intérieur. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 85 Loi de Laplace (force d’un champ magnétique externe sur un élément de courant) B externe exerce une force F (donnée par l’expression de Lorentz) sur chaque charge q d’un élément de courant Id : dFq = q v × B ; (dQ charge totale mobile dans d ) ⇒ dF = dQ v × B dQ mais Id = d = dQ v dt ⇒ dF = Id × B fil droit, champ uniforme : ⇒ F = I L × B Conséquences : 1. Chaque segment L d’un fil est ‘tiré’ par une force F ⊥ (B et L) ; 2. F ~ B, I, L, sin<L, B> Densité de courant et loi de Laplace : dQ = ρdV ; Charges volumiques : S I Id Id J≡ = = S Sd dV ⇒ dF = J × B dV I dl Charges surfaciques : dl L dQ = ρs dS ; I I Id Id Js ≡ = = L Ld dS ⇒ dF = Js × B dS E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 86 Effet Hall On a étudié : 1. Charges libres dans champ externe uniforme 2. Élément du courant dans champ externe uniforme Maintenant : charges libres formant le courant (e.g. métaux, plasma) e.g. conducteur : L H I W E dans champ magnétique : force transverse ( Ft = qv × B ) I E B Déplacement de charges négatives vers le ‘bas’, l’excès de charges négatives en ‘bas’ et de charges positives en ‘haut’ crée un potentiel transversale et un champ E t I Et B E E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique En équilibre 87 Et = v × B ⇒ Et = v B J = N 0qv (densité de courant) ⇒ Et = Et = 1 JB N 0q Ut I I ; J= = , W S WH K= ⇒ Ut = 1 IB N 0qH 1 - coefficient de Hall, spécifique pour chaque matériau N 0q le signe de K donne le signe de porteurs de courant. Dans beaucoup de métaux N 0 ~ nombre d’atomes, donc presque chaque atome donne un électron libre. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 88 Champ créé par une charge en mouvement Rappel : Loi de Biot et Savart : µ 0 r dB = Id ^ 3 4π r dB I r dl mais, par définition : dQ Id = d = dQ v ⇒ dt µ 0 r B= Qv^ 3 4π r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 89 Champ créé par une ligne de courant y µ 0 r dB = Id ^ 3 4π r B B = ∫ dB +x ϕ B -x 1) B⊥d ≡ dx ⇒ B x = 0 2) dB y (− x ) = −dB y ( x ) ⇒ B y = 0 +∞ µ x r z =2 y0dϕ µ 0I π sin ϕ µ0I π Bz = ∫ I 3 dx = = ∫ ∫ sin ϕdϕ 3 2 4π 0 ( y0 / sin ϕ) sin ϕ 4πy0 0 − ∞ 4π r ( x ) Bz = µ0I 2πy 0 0 sin ϕ( x ) r = y 0 ; x = − y 0 ⇒ dx = y 0 sin ϕ tgϕ sin 2 ϕ B I E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 90 Question : pour les calculs de E le théorème de Gauss etait très utile. Est-ce que il n’existe pas qqch. pour B ? Flux de champ magnétique def. dΦ B = B ⋅ NSdS = BdS cos α Φ B = ∫ B ⋅ NSdS NS B α dS S S L‘analogue du théorème de Gauss existe : Φ B ≡ ∫ B ⋅ NSdS = 0 S B a la même dépendance de r comme E, mais la direction de B est différente. Exemple : un élément de courant et une surface de rotation B tangentiel à S partout B ⋅ NS ≡ 0 ΦB = 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 91 Preuve générale : théorème d’Ostrogradski Gauss ∫ F ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ FdV - théorème d’Ostrogradski-Gauss S V Application : Flux de champ magnétique Champ créé en r par une charge placée en origine se déplacent à une µ 0 r vitesse v : B = Q v× 3 4π r Qµ 0 1 Qµ 0 1 ∇ ⋅ v ^ r 3 = − ∇ ⋅ r 3 ^ v divB = r 4π 4π r Qµ 0 1 = − ∇ ^ r 3 ⋅ v ; v ne dépende pas du point d’observation ; 4π r r en plus, rot 3 = 0 ⇒ divB = 0 r Φ B ≡ ∫ B ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0 représentation S V intégrale du théorème de Gauss pour le champ magnétique E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 92 Théorème du flux – présentation différentielle ∫ B ⋅ ds = 0 représentation intégrale du théorème de S Gauss pour le champ magnétique ∇⋅B = 0 représentation différentielle Q E ∫ ⋅ d s = ε0 représentation intégrale du théorème de S Gauss pour le champ électrique Q E ⋅ d s = ∇ ⋅ E dV = = ∫ ∫ ε0 S ρ ∇⋅E = ε0 V ∫ ρdV V ε0 pour chaque V représentation différentielle L’importance : les représentations différentielles sont la moitié des équations de Maxwell. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 93 Dipôle magnétique Qu’est-ce qu’il s’est passé avec des aimants ? Hypothèse d’Ampère : le magnétisme dans la matière est dû au moyen d’une multitude de petits anneaux de courants électriques distribués à l’intérieur de la substance. Pour l’instant on n’a pas trouvé de monopoles magnétiques. Champ magnétique d’une spire de courant à grande distance : z M ∈ ( x, z) L ∈ ( x , y) r >> R, r0 y cos θ = cos θ0 cos ϕ ϕ R Br0 M θ0 θ d Bθ0 r x µ0I dB = d ^ r (loi de Boit-Savart) 4πr 3 r = r02 + R 2 − 2Rr0 cos θ , R r = r0 − R = r0 − R 0R , R 0 = R 3 3 − R 0r − r r (2R − 2r0 cos θ) ∂ r R 0 + 3 r0 cos θ 2 = − 3= ∂R r R = 0 r03 r6 r04 R0 r r r R 0 cos θ = 0 + 3 0 R cos θ − − R 3 ≈ + + r3 r3 r 3 r03 r04 r04 r03 0 0 r r0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique µ 0 I d ^ r = B ≈ 3 ∫ 4π L r 94 0 -2S r0 1 µ 0 I r0 ∫ d ^ 3 + 3 ∫ d R cos θ ^ 4 − 3 ∫ d ^ R 4π L r0 L r0 r0 L ∫ d R cos θ = cos θ0 ∫ d R cos ϕ L R cos ϕ = x L d x = dx L d y = dy L d z = 0 y L R L cos θ0 ∫ d R cos ϕ = − cos θ0 ∫ x Ldx = 0 x L L cos θ0 ∫ d R cos ϕ = cos θ0 ∫ x L dy = cos θ0 S y L L µ 0 IS µ 0 IS µ0m µ0 B=3 N+3 cos θ y ^ r = + 3 ( m ^ r0 ) ^ r0 ( ) 0 0 0 2πr0 4πr04 2πr03 4πr05 m = IS - moment dipolaire magnétique coordonnées sphériques : Br = µ0m sin θ0 , 3 2πr0 d Bθ = µ0m 4πr03 même comme le dipôle électrique cos θ0 ϕ x E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 95 E B E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 96 Force d’un champ externe sur un dipôle magnétique 1. Force résultante : dF = Id ^ B ⇒F= I ∫ dr ^ B L Si l’axe z est choisi parallèle à m, on peut démontrer (TD), que : Fx = m z ∂Bx , ∂z Fy = m z F = ∇B ⋅ m ∂B y ∂z , Fz = m z ∂Bz ou ∂z (dipôle électrique : F = p ⋅ ∇E ) 2. Moment de torsion : = dT r= ^ dF Ir ^ dr ^ B ( ) = T I ∫ r ^ dr = ^ B I ∫ dr r ⋅ B + B ( dr ⋅ r ) L ( ) L ( ) (d r × r ) × B = r (d r ⋅ B) − d r (r ⋅ B) = r (d r ⋅ B) + d r (r ⋅ B) + r (r ⋅ dB) − r (r ⋅ dB) − 2d r (r ⋅ B) = d r (r ⋅ B) − r (r ⋅ dB) − 2d r (r ⋅ B) [ ] E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 97 I = ⋅ + T 2dr r B I B ( dr ⋅ r ) ∫ ∫ 2L L ( ) I = − ∫ ( dr ^ r ) × B + ∫ d r r ⋅ B − ∫ r r ⋅ dB 2L L L ( ) ( ) + I ∫ B ( dr ⋅ r ) L I 1 ≈ − ∫ dr ^ r × B + IB ∫ d ( r ⋅ r ) =IS ^ B 2 L 2L T=m^B (dipôle électrique T = p ^ E ) Conclusions : 1. Si le moment du dipôle magnétique est parallèle à B, pas de torsion 2. La force générale ~ Grad B (et pas à B) 3. Le champ du dipôle – comme le champ d’un aimant E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Interactions magnétiques Pour l’instant : I. Champ : 1. Champ créé par une charge en mouvement µ 0q r B= v^ 3 4π r 2. Champ créé par un élément de courant : µ 0 I r B= d ^ 3 (Biot-Savart) 4π r µ 0 dˆ 3. Champ de fil droit B = (d – distance de fil) I^ 2πd d 4. Champ de boucle de courant : dipôle magnétique II. Force magnétique sur 1. Charge F = qv ^ B (partie magnétique de la force de Lorentz) effet Hall, mouvement cyclotron 2. Elément de courant : dF = Id ^ B - loi de Laplace 3. Fil droit : F = I L ^ B 4. Dipôle magnétique : F = ∇B ⋅ m (force résultante) T = m ^ B (moment de torsion) 98 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 99 Maintenant : III. Interactions entre les ‘éléments’ magnétiques 1. Force sur une charge en mouvement exercée par une ligne droite de courant µ 0 dˆ B= I^ 2πd d µ ˆ F = 0 qIv ^ L 0 ^ d 2πd F = qv ^ B , ( ) Pour v – parallèle à I : v d B L0 µ0 F= qIvd̂ - force de l’attraction ou de la répulsion par la 2πd ligne 2. Force entre deux lignes de courant parallèle : µ0 µ0 F= I1q 2 v 2d̂ = I1I 2 L 2d̂ 2πd 2πd F µ ⇒ = 0 I1I 2d̂ L 2πd e.g. courant I = 50 A, d = 1 cm : d F / m = 4π10− 7.50.50 / 2π10− 2 N / m = 0.05 N / m Courants co-directionnels : attraction contre-directionnels : répulsion (les mesures faites par Ampère) I1 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 100 Théorème d’Ampère Circulation de champ magnétique est égale à la somme des courants multipliée par µ 0 : ∫ B ⋅ dc = µ 0 C I4 I6 I5 I3 I6 I2 ∑I encerclés par C I1 S C dc Remarques : 1. Les contributions de I 1,3,4 > 0 de I 2,5 < 0 de I 6 = 0 2. Le théorème ne dépend pas de S (C – contour de S) 3. Il joue le même rôle pour calculer le champ magnétique que le théorème de Gauss pour le champ électrique 4. Il représente la forme intégrale de la quatrième équation de Maxwell (cas statique) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 101 Démonstration : 1. Une ligne de courant droite : Β dc r ϕ µ I dB = 0 2πr B ∫ ⋅ dc = ∫ BdcB = ∫ Brdϕ C = C µ0I 1 µ0I ϕ = rd dϕ ∫ ∫ 2π r 2π C ∫ dϕ = C C C C 2π - la prolongation de d traverse C 0 - la prolongation de d ne traverse pas C ϕ ϕ Remarque : car B⊥I et B⊥r , ⇒ dc B = rdϕ pour chaque C (circulaire ou non, plat ou non) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 102 2. Cas général (ou presque – Ampère utilisa trois expériments) dBd = µ0Id 4πR 3 z R cos θ O dc ϕ µ 0I rdθ cos3 θ r = cos θ 4π cos 2 θ r 3 cos θ r θ R rdθ z = tg θ ⇒ dz = d = 2 r cos θ r dl R = cos θ µ I cos θ µ I cos θ dθrdϕ ⇒ dBd = 0 dθ ⇒ ∫ dBd dc B = 0 ∫ 4π r 4π r C Ο C Ο ϕ ϕ Ο – à l’extérieur- le contour est passé 2 fois dans les directions opposées : dϕ = 0 . ∫ C O – à l’intérieur : ∫ dϕ = 2π C µ0I cos θdθ ⇒ ∫ dBddc B = 2 0 C 1 = µ dBdc I B 0 ∫ 2 C =0 +π / 2 ∫ d sin θ = µ0I −π / 2 O – à l’intérieur Ο – à l’extérieur E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 3. Cas plus général (e. g. la preuve ne marche pas pour le courant suivant :) Si on considère un seul segment, les résultats sont différents : prenons une ligne pour z < 0 (ou >0) ∫ cos θdθ = 1 et non 2 z<0 Question : Un segment – existe-t-il ? Oui : une ligne entre les deux sphères chargées Mais ce cas n’est pas statique – on verra plus tard 103 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 104 Théorème de Stokes : ∫ F ⋅ dc = C ∫ rotF.dS S SC C dc preuve (comme le théorème d’Ostrogradski-Gauss) : S – divisée en deux : ∫ F ⋅ dc = C ∫ F ⋅ dc + C1 ∫ F ⋅ dc S C2 C (les contribution des parties internes s’annulent) S – divisée en N parties : ∫ F ⋅ dc N N Cj ∫ F ⋅ dc = ∑ ∫ F ⋅ dc = ∑ j=1 C j C j=1 Sj Sj espérons que la limite suivante existe et appelons cette limite rotationnel de F (rot F ) : rotF ⋅ N̂ = lim ( ) Par exemple : rotF x F ∫ ⋅ dc = lim ( Cj Sj = rotF ⋅ x̂ , etc. S j →0 F ∫ ⋅ dc ∑Sj Cj Sj S j →0 j C ∫ F ⋅ dc ) ∞ = ∑ lim S j lim j=1 S j →0 = ∑ lim S j rotF.N̂S = ∫ rotF.N̂Sds ∞ j=1S j →0 S F ∫ ⋅ dc S j →0 Cj Sj dc E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 105 L’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes Boucle rectangulaire avec N̂ = ẑ : y 3 4 2 1 x F ∫ ⋅ dc = ∫ Fx dx + ∫ Fydy + ∫ Fx dx + ∫ Fydy C 1 2 ∫ Fx dx + ∫ Fx dx ≈ 1 3 + ≈ x + ∆x ∫ x 4 ∂Fx ( x , y) ( ) F x , y x dx + x ∂x x ∂Fx ( x , y + ∆y) ( ) x dx + ∆ + F x , y y ∫ x ∂x x + ∆x x + ∆x ∫ x − 3 ∂Fx ( x , y) ( ) + F x , y x dx x ∂x x + ∆x ∫ x ≈− ∂Fx (x , y ) ∂Fx ( x , y) ∂ 2Fx ( x , y) ( ) + ∆ + + ∆ F x , y y x yx x dx ∂y ∂x ∂x∂y x + ∆x ∫ x ∂Fx (x , y ) ∂Fx (x , y ) ∂Fx (x , y ) ∆ y dx y x ≈ − ∆ ∆ = − ∆s ∂y ∂y ∂y E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique même : ∫ Fydy + ∫ Fydy ≈ 2 4 ∂Fy ∂x 106 ∆s (rotF)z = ∂Fy − ∂Fx ; (rotF)y (rotF)x ∂x ∂y ∂F ∂F = x − z; ∂z ∂x ∂Fz ∂Fy = − ∂y ∂z Rotationnel de B : def. Stokes ∫ rotB.dS = ∫ B ⋅ dc = µ0 ∑ I j = µ0 ∫ J.dS SC C Ampère rotB = µ0 J j pour chaque S Sc (J – densité de courant) Rotationnel de E : Déjà vu : B q ∫ E ⋅ dc = WBA - travail pour déplacer q entre A et B ne A dépend pas du chemin AB B A ∫ E ⋅ dc = ∫ E ⋅ dc + ∫ E ⋅ dc = 0 C A B ⇒ rotE = 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 107 Les équations principales d’électrostatique et magnétostatique Forme différentielle : rotE = 0 intégrale : sens physique : ∫ E ⋅ dc = 0 force conservative C ρ divE = ε0 Q VS E ∫ ⋅ d s = ε0 conservation de charge S rotB = µ0 J ∫ B ⋅ dc = µ 0 I C courants stationnaires C divB = 0 ∫ B ⋅ ds = 0 pas de charge magnétiques S Conséquence pour J : div(rotB) = 0 ⇒ divJ = 0 Valable pour des courants stationnaires (qui ne dépendent pas de temps) : divJ = 0 ⇔ ∫ J ⋅ d s = 0 - flux de courant à traverse S d’une surface fermée est nul (si non, on va avoir l’accumulation de charges). E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 108 Le théorème d’Ampère joue le même rôle en magnétostatique que le théorème de Gauss en électrostatique (on a vu que le théorème de Gauss pour le champ magnétique n’est pas très utile pour calculer le champ). Exemple 1 : µ0I = Champ d’une ligne de courant ∫ Bd = B2πR ⇒ B = cercle Exemple 2 : µ0I 2πR B R Tore r I vert : ∫ Bd = 2πrB = 0 C bleu : ∫ Bd = 2πrB = 0 ∑I = 0 C rouge : ∫ Bd = 2πrB = µ0IN ⇒ B = µ0I C I N N = µ0I 2πr L E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Exemple 3 : 109 Champ d’un solénoïde (bobine cylindrique) B I I z Calculer ‘sans calculs’ : L (longueur) >> diamètre : 1. B ne dépend pas de z loin des bouches : H1 2. solénoïde = tore ( r → ∞ ) V1 champ à l’extérieur 0 V2 H2 r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 110 à l’intérieur : µ0IN = ∫ B ⋅ dc = C ∫ B(r)dc + ∫ 0dc + ∫ 0dc + ∫ 0dc V1 V2 H1 H2 µ0IN = B(r )L , mais le résultat ne dépend pas de r B = µ0In , n – densité de tours Exemple 4 : Nappe de courant B B - J µ0IL = B+ L − B− L ; ⇒ B+ = − B− = symétrie : B µ0I / L µ0J = 2 2 + = B− B+ E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 111 Discontinuité de champ magnétique 1. Nappe plane avec J uniforme : B N = 0 ⇒ ∆B N = 0 , ∆BT = µ0J et ∆BT ⊥J ˆ ⇒ ∆BT = NS ^ J 2. Cas général (une surface arbitraire et l’existence d’autres sources) BN+ a) S+ Scyl. S S ∫ = 0 BN B ⋅ dS - ∑S = ∫ BT ⋅ dScyl + ∫ B+N dS − ∫ B−N dS → S+ Scyl S− ± Scyl →0 ∫ (B S± + N − B−N ) dS ⇒ B+N = B−N valable pour chaque S b) µ 0JL = ∫ B ⋅ dc → ± L ± + − B dc − B ∫ T ∫ Tdc = L ⊥ →0 + L L− ⇒ ∆BT = µ0J ou ˆ ⇒ ∆BT = µ 0 NS ^ J pour chaque L (∫ BT+ − BT− )dc L± + L⊥ BT - L - L BT + J E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 112 Force magnétohydrodynamique Si B 1 et B 2 sont des valeurs tangentielles du champ magnétique aux deux côtés de surface d’une nappe de courant ayant une densité de courant J : BT,moyen = Champ moyen : 1 (B1 + B 2 ) 2 1 (B1 + B2 ) J 2 1 1 B12 − B22 = (B1 + B2 ) (B1 − B2 ) = 2 µ0 2µ 0 La force sur 1m2 : F/S = Sans champ externe B1 = B2 : pas de force. Dans champ externe Bext =B N + B/ / J + B⊥ J , la partie normale à le surface B N va dévier le courant dans le plan de la nappe, la partie parallèle au courant B/ / J ne va pas réagir sur le courant et la partie tangentielle de la nappe et perpendiculaire au courant B⊥ J va s’ajouter au composants tangentielles du champ créé par le courant de la nappe B 1 et B 2 (qui ont les signes différentes à deux côtés de la nappe) : FN S B + B ) − (B − B ) (= 1 ⊥J 2 1 2µ 0 ⊥J 2 2 J B⊥ J Cette force va dévier le courant en direction perpendiculaire de la nappe. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 113 Potentiel vecteur Pour le champ électrique on à introduit le potentiel : V= ∫ Volume ρv dv 4πr et le champ électrique est égal au gradient V : E = −∇V . Pour le champ magnétique ça n’est marche pas, car rotB ≠ 0 est ∇ ^ ( ∇U ) = 0, ∀U ( ∇ est parallèle à ∇ U). On peut introduire une fonction vectoriel, appelée potentiel vecteur : A : B = rotA . La deuxième équation pour B ( ∇ ⋅ B = 0) est automatiquement satisfaite pour A. Comme le potentiel électrique, A est défini à une fonction près : Si A → A′ = A + gradϕ ⇒ B reste le même. Au lieu d’ajouter gratϕ, on est libre de choisir différemment divA : ′ divA = divA + ∇ 2ϕ ⇒ pour chaque A on peut choisir ϕ : ∇ 2ϕ = −divA ⇒ divA′ = 0 sans changement de rotA. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 114 En magnétostatique la meilleur choix est divA = 0 (on verra immédiatement pourquoi). Détermination de A : rotB = µ 0 J ⇒ rot (rotA) = µ0 J est-ce que cette équation est plus utile ? Utilisons divA = 0 : 2 rot (rotA) = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = µ 0 J Ca représente 3 équations de Poisson pour les trois composants de A : ∇ 2A x , y, z = −µ0J x , y, z 2 Rappel pour le potentiel électrique : ∇ V = − ayant la forme : 1 V ( x , y, z ) = 4πε0 µ ⇒ A ( x , y, z ) = 0 4π ??? ∫ volume de toutes les ch arg es ∫ volume de tous les courants divA = 0 ρ avec solution ε0 x , ~y, ~z ) ~ ρ(~ ~ dv r−r ~~~ J ( x , y, z ) ~ ~ dv r−r E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique µ0 ∇( r ) ⋅ A ( r ) = 4π µ =− 0 4π ∫ VJ ∫ VJ 115 ~ 1 J ( r ) ~ µ0 ~ ( J ( r ) r ) ~ d~ v ⋅ ∇ ∇( r ) ⋅ ~ dv = ∫ 4π r−r r r − V 1 ~ ~ J ( r ) ⋅ ∇( r ) ~ d~ v r−r J divJ = 0 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ ∫ ∇(r )⋅ J ( r ) r − ~r + J ( r ) ⋅ ∇(r ) r − ~r dv VJ ~ ~ ~ J( r ) µ J( r ) ⋅ ds ( r ) µ v=− 0∫ = − 0 ∫ ∇(~r ) ⋅ ~ d~ ~ 4π 4 π r r r−r − VJ S µ =− 0 4π [ ] µ 0 ~ ~ J ( r ) ⋅ d s ( r ) = 0 pour les courant stationaires. 4π ∫ S E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 116 L’induction électromagnétique 1. Un fil avec un courant constant produit un champ magnétique constant. 2. Un fil avec un courant constant placé dans un champ magnétique constant est soumis à une force perpendiculaire au courant. Question : est-ce que le champ magnétique peut créer un courant électrique ? I. Quelques expériences de Faraday (entre 1831 et 1839) : interrupteur aiguilles aimantées batterie deux bobines 6 couches chacune bobine de fil bobine de fil galvanomètre Deux aiguilles – la première pour compenser l’influence du champ magnétique terrestre. La déviation de la deuxième mesure le champ magnétique créé, donc le courant induit. Interrupteur branché ou non – pas de déviation. Seulement pendant le branchement et de débranchement l’aiguille bouge. Pour mesurer plus précisément ce mouvement Faraday remplaça le galvanomètre par un autre détecteur qui ‘écrivait’ les changement de court durée - une bobine et une tige d’acier nonaimanté : le courant induit amènent la tige dans un sens ou l’autre. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 117 Deuxième expérience : deux plaques de cuivre ; en rapprochant et écartant les plaques l’aiguille de galvanomètre vibre batterie galvanomètre Conclusions : Le courant électrique est induit : a) par changement de courant inducteur b) par mouvement relatif des fils Quand les fils s’approchent, le courant induit est opposé au courant inducteur. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 118 Explication : Mouvement de charges dans un champ magnétique crée une force sur des charges Exemple 1 : Tige conductrice en mouvement dans un champ magnétique uniforme B Les charges libres sont soumises à une force F = qv × B F v Elles se déplacent en direction de la force et un champ électrique est créé. En équilibre q E = −F . Pour étudier les courants, regardons une boucle en mouvement inertiel dans un champ uniforme : La redistribution des charges crée un champ électrique qui compense la force de Lorentz, le mouvement de charges relatif à la boucle est arrêté. B F E=-F (La boucle doit inclure les détecteurs) Conclusion : mouvement dans un champ magnétique uniforme ne crée pas de courant. v E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 119 Exemple 2 : Un contour rectangulaire en mouvement inertiel dans un champ magnétique non-uniforme B1 L B1 > B2 ⇒ F1 > F2 W La différence des forces crée un courant électrique (aussi en équilibre !) F2 F1 B2 Force électromotrice : le travail par unité de charge 1 vdt v ( B1 − B2 ) W = F ⋅ ∆= ( B1 − B2 ) W q dt −Φ +Φ −Φ −Φ B1WdL − B2 WdL Φ Φ 2 1 2 1 = = − = − dt dt dt dΦ Φ − Φ1 Φ (t + dt) − Φ (t) = − 2 = − = − dt dt dt = ~ Φ B1 L W t v dΦ d − = − ∫ B ⋅ dS = dt dt SC 1 = ∫ F ⋅ d = qC B2 ∫ E ⋅ d = C ∫ rotE ⋅ dS SC t+dt vdt dB ⇒ rotE = − dt v E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 120 Exemple 3 : un contour arbitraire dans un champ stationnaire 1 − ∫ B ⋅ v ^ d =∫ F ⋅ d = ∫C v ^ B ⋅ d = qC C 1 1 = − ∫ B ⋅ vdt ^ d = − ∫ B ⋅ ( r + dr − r ) ^ d B −stationaire dt dt C C 1 1 = − ∫ B ⋅ ( r + dr ) ^ d + ∫ B ⋅ r ^ d dt dt ( ( ) ( ) ) C C 1 1 Φ (t + dt) + Φ (t) dΦ = − ∫ B ⋅ dS(t + dt) + ∫ B ⋅ dS(t) = − = − dt C dt C dt dt dS r × d = dS r+dr dr = vdt r dl Remarque : l’équation est valable aussi pour la déformation du contour, pas seulement pour son déplacement E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 121 Exemple 4 : Une boucle stationnaire avec la source du champ en mouvement Principe d’équivalence des systèmes inertiels résultat même v v Exemple 5 : La source et la boucle stationnaires, le champ changeant Réponse instantanée – pas de courant induit Relativité restreinte : le changement se propage avec la vitesse c : B+dB B c E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 122 système équivalant moment t : B t + dt : B + dB = (B1-B2)cW = -dBcW = -d(BLW)/dt = - dΦ/dt B+dB B c L W Règle la plus générale (la loi de l’induction électromagnétique) : =- dΦ dt Si la force électromotrice s’applique dans un circuit, elle crée un courant électrique, qui crée un champ magnétique ayant la direction opposée au changement qui l’induit. Cette règle s’appelle loi de Lenz. Cette loi exprime la loi générale de la nature que chaque système a la tendance de s’opposer au changement. On à déjà démontré, qu’à partir de la loi d’induction : ∂B rotE = − ∂t une (la première) des équations de Maxwell (en électrostatique rotE = 0 ) Remarque importante : cette loi est aussi valable si il n’y a pas de circuits est de charges ! E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 123 Inductance mutuelle Prenons deux circuits C 1 et C 2 ayant une géométrie fixée. Si le circuit C 1 est alimenté avec un courant I 1 , le flux Φ 21 du champ magnétique B 1 , crée par C 1 , à travers de C 2 est proportionnel au I1 : Φ 21 = M 21I1. Soit la variation de I 1 est lente. Si non, les points différents de C 2 recevraient dans un moment fixé l’information différente de I 1 , car cette information se propage avec la vitesse de la lumière c. dI1 L 2 << I1 , ou L 2 est la longueur de C 2 . dt c Dans ce cas, la force électromotrice induite dans C 2 est donnée par : dΦ 21 dI 21 = − = − M 21 1 . dt dt M 21 – coefficient d’inductance mutuelle C1 I1 dl1 r12 dl2 C2 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 124 Propriété : M 21 = M 12 . La preuve : Φ 21 = ∫ B1 ⋅ dS2 = S2 ∫ rotB1.d 2 = C2 µ ⇒ M 21 = 0 4π d 1 .d et ∫ ∫ r21 2 C 2 C1 mais r 21 = r 12 M 21 = M 12 ∫ A1.d 2 = C2 M12 µ = 0 4π µ 0 I d 1 .d ∫ 4π 1 ∫ r21 2 C2 C1 d 2 .d ∫ ∫ r12 1 C1 C 2 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 125 Courant de déplacement Problème I : déjà rotB = µ 0 J divJ = 0 - magnétostatique (mouvement ∂ρ stationnaire de charges : = 0) ∂t Si les charges peuvent changer la densité ? Conservation de charges : ∂Q V (signe moins, parce que J est dirigé vers ⋅ = − J d S ∫ ∂t SV l’exterieur) ∫ J ⋅dS = ∫ divJdV ∂ρ pour ∀ V ⇒ divJ = − ∂Q V ∂ρ ∂t = ∫ dV ∂t ∂t SV V V contradiction mais, rotB = µ 0 J ⇒ µ 0divJ = div( rotB) ≡ 0 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 126 Problème II : Théorème d’Ampère : ∫ B ⋅ d = µ 0 SC ∑I pour chaque S ∈ SC Soit un condensateur chargé. Fermons le circuit par une résistance et appliquons le théorème d’Ampère pour une courbe C autour de fil. S2 Sur S 1 : S1 2πR C B = µ0I( t ) mais on peut utiliser la surface S 2 qui passe entre le plaques où I = 0. C R I Remarque : on a déjà discuté qu’on ne peut pas utiliser le théorème d’Ampère pour les segments ouverts et c’est le cas ! Maxwell (1865) ajouta au courant des charges un autre courant J d , appelé ‘courant de déplacement’ : J → J + Jd : ∂E Jd = ε0 ∂t ∂E et l’équation pour rotB ⇒ rotB = µ 0 J + µ 0ε0 . ∂t Questions : 1. Pourquoi exactement ce terme ? 2. Pourquoi Faraday ne l’a-t-il pas découvert ? 3. Quels sont les conséquences ? B E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 127 ∂E Pourquoi + ε0 ? ∂t ∂ρ Conservation de la charge ⇒ divJ = − ∂t ρ Mais divE = ε0 ∂ρ ∂E ∂E ⇒ 0 = divJ + = divJ + ε0div = div J + ε0 ∂t ∂t ∂t ∂E et si J → J + ε0 1) la charge est conservée ∂t 2) div( rotB) = 0 est satisfaite. Conséquence I : Un champ électrique en train de varier induit un champ magnétique. Pourquoi Faraday ne l’a-t-il pas découvert ? I Retournons au condensateur : ∫ B ⋅ d = 2πR Γ1 B B S2 Γ1 E Г2 S 1 : 2πR Γ B=µ0I 1 S 2 : 2πR Γ B = ∫ B ⋅ d = 1 Γ1 ∂ = ε 0µ 0 ∂t E ≠ 0 à l'interieur S1 Г1 ∫ rotB ⋅ dS = ε0µ0 S2 ∫ Γ2 ∂E ⋅ dS ∂t ∂ Q E ⋅ d S = ε µ = µ0I 0 0 ∫ ∂t ε0 S1 +S2 même résultat en mesurant I ou ∂E ∂t E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 128 En fait, la seule raison est que le courant de déplacement n’affecte pas l’équation responsable pour l’induction rotE = − ∂B ∂t . Si ∂E ∂t est obtenu par le changement de courant, son effet direct, donne par la deuxième partie de l’équation ∂E est bien masquée par la première partie. rotB = µ 0 J + µ0ε0 ∂t Pour détecter directement l’influence de la deuxième partie il faut ou 1) que la variation de champ électrique se produit pendant le temps que met la lumière pour traverser l’appareil, ou 2) qu’il n’y a pas de courant des charges (e.g., les ondes dans le vide, détectées 20 ans plus tard (1888) par Hertz Conséquence II : Les équations de Maxwell : ∂B rotE = − ∂t l’équation d’induction ∂E rotB = ε0µ0 + µ0 J ∂t le ρ divE = ε0 la conservation de la charge et la loi divB = 0 l’absence de charges magnétiques théorème d’Ampère + la contribution de Maxwell de Coulomb E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 129 Conséquence III : Les ondes électromagnétiques. Sans charges et courants : ∂B rotE = − ∂t divE = 0 ∂E rotB = ε0µ0 ∂t divB = 0 ∂ ∂ 2E ⇒∇^ ∇^E = − ∇ ^ B = −ε0µ 0 2 ∂t ∂t ( ) ( ) 2 2 ∂ E ∂ E ⇒ ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2E = −ε0µ 0 2 ⇒ ∇ 2E − ε0µ 0 2 = 0 ∂t ∂t rien que l’équation de propagation d’onde dans le temps et l’espace e.g. une solution – l’onde plane monochromatique : E = z 0E 0 sin(kx − ωt ) ; k – fréquence spatiale (nombe d(onde), ω – fréquence temporel circulaire Observations : 2 2 1. k = ε0µ 0ω , mais ω = v - la vitesse de propagation de k l’onde. Maxwell nota que numériquement pour la vitesse de la lumière : c = v = ε0µ0 et conclut que la lumière est une onde électromagnétique E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique ∂B 2. rotE = − , ∂t 130 rotE = y0k cos(kx − ωt ) k ⇒ B = y0 sin( kx − ωt ) = y0 B0 cos(kx − ωt ) ω avec cB0 = E 0 , donc l’onde électromagnétique est une onde transversale : E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation. moment t : y B z E x y moment t + dt : B z E x E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 131 Propriétés magnétiques des matériaux Rappel : force résultante sur un dipôle magnétique : F = ∇B ⋅ m ( m = IS - moment dipolaire magnétique) moment de torsion : T = m ^ B Dans électrostatique : moment dipolaire électrique permanent induit Le moment permanent est tourné dans la direction de E, le moment induit est induit dans la direction de E. 1) le champ induit interne diminue le champ externe 2) les diélectriques et les conducteurs (neutres) sont retirés dans la direction d’augmentation du module du champ électrique F = p.∇E , p moyen ∝ E Champ magnétique ? Solénoïde – spire de courant, ou boucles multiples coaxiales, ou nappe cylindrique de courant (identiques) : E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 132 B I Observations : 1. Objet placé dans le milieu (B plus fort) - pas de force (champ uniforme ou équilibre instable) 2. La force est plus forte près des bouts ( ∇B plus grand) 3. Trois types de réaction : - répulsion (eau, cuivre, diamant ... diamagnétiques) - attraction (sodium, aluminium, oxygène liquide … paramagnétiques) - forte attraction :104 fois plus forte (fer, magnétite ferromagnétiques) 4. La direction ne dépend pas de la direction du courant 5. F ∝ B pour les ferromagnétiques F ∝ B2 pour les dia- et paramagnétiques E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 133 Explication : 1. Diamagnétisme – création de dipôles induits 2. Paramagnétisme – réorientation de dipôles existants 3. Ferromagnétisme – l’existence de grand nombre de dipôles non-compensés Les électrons dans les atomes et les molécules – comme boucle de courant ev evR m = IS = − û πR 2û = − 2πR 2 moment orbital : L = m e vrû − û v e L ⇒m=− 2m e e - facteur gyromagnétique (magnétomécanique) orbital 2m e L’électron possède un autre moment cinétique – le spin h Lspin = 4π ou h est la constante de Planck. Le moment magnétique associé : e eh (le facteur gyromagnétique est mspin = − Lspin = − me 4πm e 2 fois plus grand) Dans le champ magnétique externe B le spin et le moment orbital magnétique doivent s’orienter dans la direction de B (dipôles magnétiques). Ca va créer une force d’attraction – paramagnétisme. E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique L’agitation thermique et les forces moléculaires tendent de désorienter le rangement d’une façon chaotique. Le résultat est que le champ magnétique induit est proportionnel au B et inversement proportionnel à la température T. Mais les lois de la mécanique quantique exigent que les électrons sont groupés par paires, avec le spin et le moment orbital dans chaque paire en direction opposés. Ca annule complètement l’effet paramagnétique dans les molécules qui regroupent des électrons par pairs. Quelques molécules seulement contiennent un nombre d’électrons impairs. Quelques atomes (e.g. fer) contiennent électrons avec spin non apparié. Les conducteurs ayant les électrons libres ont un comportement paramagnétique. 134 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 135 - e Et le diamagnétisme ? v R Un électron pour B externe = 0 : Augmentation du champ magnétique B doit créer un champ électrique (l’induction de Faraday) : 2 dB . E d 2 RE R ⋅ = π = − π ∫ dt - e E B E doit accélérer la charge : me E dv eR dB = −eE = dt 2 dt eR ∆v = ∆B 2m e v R - e B R Les vitesses des électrons vont changer : ± v → ± v + ∆v . Ca va être équivalent à un changement de la vitesse angulaire ∆ω = ∆v e = B (appelée fréquence de Larmor). R 2m e Le changement de moment dipolaire magnétique : e2R 2 − eR ∆m = ∆v = − ∆B 2 2m e est dans la direction opposée au changement de B, indépendamment du signe de charge et de la direction de rotation (loi de Lenz). Donc, aussi pour les électrons appairés le champ uniforme externe B va créer un moment magnétique opposé au B (et proportionnel au B). Ca va créer une force de répulsion – le diamagnétisme. v+∆v E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 136 Question : la vitesse a changé, le rayon non – qu’est-ce qu’il se passe avec l’équilibre des forces ? e2 Sans B : me v 2 = 2 R 4πε0R Avec B : m e (v + ∆v )2 + e(v + ∆v )B = 2 R 4πε0R e2 ? En négligeant (∆v ) 2 ∆v = 2m e me v2 m e v∆v ev v 2 + ∆ ≈ + eR R R 4πε0R 2 e2 eR B 2m e OK E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique Le ferromagnétisme : Paramagnétisme extrême : les calculs très simples à partir des mesures de la magnitude d’effet et l’équation e2R 2 − eR ∆m = ∆v = − ∆B 2 2m e montre que le ferromagnétisme inclue entre 1 et 2 électrons par atome. En fait, ces sont les effets quantiques : certains états de matériaux ferromagnétiques sont plus probables (l’énergie plus bas) si tous les spins et moments magnétiques d’électrons non appairés sont alignés – alignement spontané. Les domaines macroscopiques (les dimensions dépendent de la température) ont le moment magnétique non nul. Ces domaines sont alignés facilement en parallèle au champ magnétique externe. 137 E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 138 Champ H, susceptibilité et perméabilité magnétique Le moment magnétique total par unité de volume : M – polarisation magnétique ou aimantation Par analogie avec le champ électrique (P = χe E) on peut introduire la susceptibilité magnétique χ m : M = χ mB, mais habituellement on utilise un autre vecteur H : B H= − M - champ H, ou champ magnétique ; µ0 B – induction magnétique Pourquoi ? A l’extérieur d’un milieu magnétique H ~ B. A l’intérieur, H exprime le champ magnétique créé par le courants libres et par les sources externes, hors des sources magnétiques internes, créées par le courants liés : J total = J liés + J libres , rotM = J liés ⇒ rotH = J libres En fait, dans l’expérience physique, on s’intéresse au champ créé par les courants libres, qui sont variés et mesurés. Dans les cas statiques l’analogie avec E et plus prononcée pour H que pour B : rotE = 0 ⇔ rotH = J libres = 0 sans courants libres même pour les milieux magnétisés et non-magnétisés. Sans aimantation = 0 divE = 0 ⇔ divH = −divM ≠ 0 Avec aimantation (‘charges’ magnétique) E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique 139 Par analogie avec E, ou le vecteur de polarisation de milieu P = χ e E : susceptibilité magnétique χ m : M = χ mH ⇒ B = µ 0 (H + M ) = µ 0 (1 + χ m )H = µH avec µ = µ 0 (1 + χ m ) - perméabilité magnétique Paramagnétiques : µ > µ 0 (pour les diélectriques toujours ε ≥ ε 0 ) Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont attirées : Diamagnétiques : µ < µ 0 Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont repousées :