2. - Institut Fresnel

Electrostatique et
Magnétostatique
Notes du cours
Evgeni Popov
B
I
www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013.pdf
Electrostatique et Magnétostatique
Notes du cours
(Cours d’Electromagnétisme pour L2 Sciences Physiques et Chimiques)
Auteur : Evgeni Popov, Institut Fresnel, Université d’Aix-Marseille (AMU)
Web : www.fresnel.fr/perso/popov/coursEM2013
Copyright 2013 : Evgeni Popov, AMU
AMU, 2013
Notes du Cours
d’Electromagnétisme :
Electrostatique et magnétostatique
(L2 Physique - Chimie)
E. Popov
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
1
Plan de cours
Electrostatique
Charge électrique, types de charges. Loi de Coulomb.
Champ électrique, lignes de champ
Dipôle électrostatique
Flux du champ électrostatique, théorème de Gauss
Energie et potentiel du champ électrostatique
Théorème d’Ostrogradski, théorème de Gauss – présentation différentielle
Equations de Laplace et de Poisson
Discontinuité de champ électrique
Type de matériels : conducteurs, isolateur et semi-conducteurs
Conducteurs dans champ électrostatique. Cage électrostatique. Corona décharge
Courant électrique et la loi d’Ohm
Condensateurs
Diélectriques dans champ électrostatique, constante diélectrique, permittivité
relative, polarisabilité de milieu
Magnétostatique
Force magnétique, champ magnétique. Loi de Biot et Savart.
Force sur charge en mouvement dans un champ magnétique, la force de Lorentz
Mouvement cyclotron et aurore boréale
Loi de Laplace, effet Hall
Champ créé par une charge en mouvement et un courant électrique
Flux de champ magnétique
Dipôle magnétique
Interactions magnétiques
Théorème d’Ampère, théorème de Stokes
LES équations principales d’électrostatique et magnétostatique
Discontinuité de champ magnétique
Force magnétohydrodynamique
Potentiel vecteur
Electromagnétisme (dynamique)
L’induction électromagnétique et la première des équations de Maxwell
Inductance mutuelle
Courant de déplacement et la deuxième des équations de Maxwell
LES équations de Maxwell et les ondes électromagnétiques
Propriétés magnétiques des matériaux (diamagnétisme, paramagnétisme et
ferromagnétisme)
Champ H, susceptibilité et perméabilité magnétique
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
2
Pourquoi faire et à quoi ça sert ?
Electrostatique
1. Courants électriques, loi d’Ohm, circuits électriques
2. Diélectriques, semiconducteurs
puces intégrales
transistors, diodes
TV, PC, portables, Hi-Fi
3. Structure de la matière (atomes et molécules, propriétés
chimiques)
Magnétostatique
1. Boussoles, compasses
2. Aurore boréale, mouvement cyclotron, séparation d’isotopes
3. Dipôle magnétique, aimantes, magnétisation de milieu
Electromagnétisme
1. Les ondes électromagnétiques : la lumière, radio et TV
émissions, télécommunications
2. Micro-ondes, radiothérapie
3. Radars aériens, maritimes, radioastronomiques et policiers
4. Relativité restreinte
5. Optique et spectroscopie
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
3
Horaires :
12 cours de 2 heures
26 séances de TD (2 fois par semaine)
Examen partiel en électrostatique conte pour 50% d’électrostatique
(en totale – pour 25%)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
4
Charge électrique
1. Charge
crée
force électrique
s’exerce
sur les charges
2. Deux signes :
+ et
-:
deux types de forces (d’attraction et de répulsion)
1+
F21
1
F21
F12
-2
+
+
F12
2
Principe de l’action et de
la réaction :


F12 = −F21
3. Quantification des charges :
électron proton
+
ep+
e = -1.6 x 10-19 [C]
1 coulomb = 1A . 1 s
4. Conservation
∆Q = ∑ charges entrantes − ∑ charges sortantes
S
Q
5. Les charges sont additives :
  
q1′+q1″→F21=F21′+F21″
+
proton
neutron
-
électron
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
5
Types de charges
Dans la nature : l’électron et le proton (les quarks n’existent
pas séparément)
Approximations utiles :
I. Charge ponctuelle :
D
d
si
D observation >> d e, p
ou
D >> d source
caractéristiques : charge, position, vitesse
Remarque : Une sphère chargée uniformément crée un
champ comme une charge ponctuelle
ρs = cte
ou
ρv = cte
D <<d, D ~ d et D >>d
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
6
II. Charges continues
1. Charge volumique : densité de charge volumique

 dq( r )
ρ v (r ) =
[Cm −3 ] .
dv
V, Q
dv dq
2. Charge surfacique : densité surfacique

(
dq
r)

ρs ( r ) =
[Cm − 2 ]
ds
S, Q
ds dq
e.g. conducteurs :
Les charges libres sont repoussées
jusqu’à la surface
3. Charge linéique ( D >> Φ ): densité linéique
D
Φ
dl

 dq( r )
ρ ( r ) =
[Cm −1 ]
d
def : un volume, une surface ou un fil sont chargés
uniformément si ρ = cte et Qtotal = ρ . V, S ou L
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Remarque :
Notations :
ρ  = λ , ρS = σ ,
mais par fois l – longueur d’onde et s - conductivité
7
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
8
Loi de Coulomb
Charles Augustin de Coulomb - 1785
Règles de Coulomb :
1. Les charges similaires se repoussent,
les charges opposées s’attirent.
2. L’attraction ou la répulsion s’exerce
sur la ligne droite entre les charges.
3. La magnitude (la norme) de la force
est proportionnelle au carré de
l’inverse de la distance entre les
charges.
4. La force est proportionnelle à la
magnitude de chacune des charges
et les charges sont additives.
0
Q
Q/2 Q/2
poids
q2
q1
r
si
r → r′
2
F→F'=F r 2
r'
Division des charges
Hypothèses :
1. La force électrique créée par une petite sphère est la même
que si la charge est ponctuelle.
2. L’isotropie d’une charge ponctuelle : la force ne dépend pas
de l’orientation de la sphère dans l’espace.
3. L’indépendance mutuelle des forces électrique, élastique et
gravitationnelle.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
9
Expression mathématique :
 

r21 r2 − r1

r̂21 =
=
r
r

qq 
F21 = k 12 2 r̂21
r
q1

F21

r̂21
(charge active)

r1
q2
(charge passive,
charge d’essai)

r2
q1q 2 > 0 ⇒ F ↑↑ r21 : répulsion
q1q 2 < 0 ⇒ F ↑↓ r21 : attraction
La constante de Coulomb k
k = 10 −7 c 2 ≈ 8.95x109 [ Nm 2C −2 ]
1
=
4πε0
1
permittivité du vide
ε0 =
9
36π10
Autre propriété de la force électrique (linéarité, principe de
superposition) :
Les sources différentes
sommation vectorielle des forces
q1′′

 

′
q 2 F21
′
F = F + F′′
q1′

′′
F21
21
21
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
10
Champ électrique
Notion de champ électrostatique : la propriété d’une charge de
modifier les caractéristiques de l’espace : chaque autre charge est
soumise à une force électrostatique.
Cause
résultat : charge
champ
force
1. Le champ ne dépend pas de la charge qui est soumise à la force
(dite charge passive).
2. Le champ représente le ‘porteur’ d’action à distance de la charge
qui le crée (dite charge active).
Def. Dans une région d’espace il existe un champ électrostatique si
une charge placée dans la région est soumise à une force
électrostatique
Propriétés :
1. Le champ est proportionnel à la force, donc vecteur
2. Le champ ne dépend pas de la magnitude de la charge passive,
donc est égal à la force exercée
 sur une charge passive unitaire :
 F
E = [NC-1], usuelle [Vm-1]
q
Remarque : électrostatique : les charges ne bougent pas et il n’y a pas
d’influence des charges passive sur les charges actives (‘collées’ dans
l’espace).


Le champ
la force :
F = qE
Le champ est additif (principe de superposition) :
 ∑ Fj

Fj
E=
= ∑ ≡ ∑Ej
q
q
q1
q2

E2

E1

E
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
11
Lignes de champ
Représentation graphique de champ (introduite par Faraday) :
les lignes tangentes au vecteur de champ


Si d  = (dx, dy, dz) est un élément de ligne, d 
donc
dx dy dz

=
=
= c( r )
Ex E y Ez



E ⇒ d  = cE
dl = (dx, dy, dz)
La densité des lignes est proportionnelle à la magnitude du champ
I.
Champ d’une charge ponctuelle q 0 située à l’origine du système
de coordonnées :
 
E( r ) =
1 q0 
1 q0 
r
r̂
=
4πε0 r 3
4πε0 r 2
radiale :
densité = N / S = N / 4πr 2 (N – nombre de lignes)
E (→ ∞ ) diverge sur r
(densité → ∞ )
S
0
Propriétés des lignes de champ :
1. Les lignes ne se croisent
que sur les charges (le
champ est unique)
E’
ou E” ?
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
12
2. Les lignes commencent sur la charge positive (pourquoi ?) et
finissent sur la charge négative.
Cas particuliers
1. Le champ électrostatique créé dans un point P(r) par un élément de
volume dv ayant une densité volumique de charge dρ v et situé dans
P’(r’) est donné par l’équation :


1 ρ v ( r ′)dv( r ′)  
( r − r ′)
 
4πε 0 r − r ′ 3
Le champ créé par un volume V est obtenu par intégration
tridimensionnelle sur V :
 
dE( r , r ′) =
 
E( r ) =
=
1
4πε0
1
4πε0
∫∫∫


ρ v ( r ' )dv( r ' )   '
(r − r )
 ' 3
r−r
∫∫∫


ρ v ( r ' )dv( r ' ) 
∆ r̂
 ' 2
r−r
V
V
.
2. Champ des charges surfaciques :
 
dE ( r , r ′) =


1 ρ s ( r ′)ds( r ′)  
  3 ( r − r ′) et
4πε 0 r − r ′
 
E( r ) =
1
4πε0
∫∫
S


ρs ( r′)dS( r′)  
  3 ( r − r′)
r − r′
3. Champ des charges linéiques :
 
dE( r , r ′) =


1 ρ  ( r ′)d( r ′)  
  3 ( r − r ′)
4πε 0 r − r ′
 
E( r ) =
et
1
4πε0
∫
L


ρ ( r′)d( r′)  
  3 ( r − r′) .
r − r′
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
13
Remarque préliminaire :
dv ∝ r 3 ⇒ ∫∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0
ds ∝ r 2 ⇒ ∫∫ ne diverge pas quand ∆ r → 0
d ∝ r ⇒
ponctuelle)
∫
diverge quand ∆ r → 0 (comme pour charge
Pourquoi ? La définition de charge ponctuelle et linéique nécessite que
la distance d’observation soit beaucoup plus grand que les dimension
de charge, donc on n’a pas le droit de se situer sur r → 0 .
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
14
Considérations de la symétrie
Règles générales :
1. Si la distribution de charges électriques est symétrique par
rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même
symétrie.
2. Si la distribution de charges électriques est antisymétrique par
rapport à un point, ligne ou plan, le champ électrique à la même
antisymétrie.
P : plan de symétrie de Q
Exemples :
+Q
+Q
E est aussi symétrique
par rapport à P
P : plan d’antisymétrie de Q
+Q
-Q
E est aussi antisymétrique
par rapport à P
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
15
Conséquences :
1. Le champ électrique est contenu dans chaque plan de symétrie,
hors des charges.
2. Le champ électrique est perpendiculaire à chaque plan
d’antisymétrie des charges.
3. S’ils existent deux plans de symétrie non parallèles, sur
l’intersection de ces plans le champ électrique est dans la
direction de cette intersection.
Aspects pratiques :
1. Il suffit de trouver un plan d’antisymétrie de charges pour
déterminer la direction de champ électrique sur ce plan.
2. Il faut deux plans de symétrie pour déterminer la direction de
champ électrique sur son intersection.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
16
Champ d’un fil chargé uniformément
charge sur axe x,
observation sur y 0

E( x )
ρ = cte, dl = dx
Ex(x)
y
Ey
Ex(-x)
sinθ = x/r
1) E x = 0 :
dE x = −
ρ dl
θ
0
x
x
pour V charge ρdx sur x, la charge sur –x compense E x :
1 ρdx
1 ρdx
sin θ = −
x ⇒ dE x (x ) + dE x (− x ) = 0
4πε 0 r 2
4πε 0 r 3
2) dE y =
1 ρdx
cos θ
4πε 0 r 2
ρ
E y = dE y =
4πε 0
∫
x
=
-x

E(− x )
ρ
4πε 0 y 0
;
y0dθ
y 02
2
; r =
;
dx =
2
2
cos θ
cos θ
+∞
+π / 2
−∞
−π / 2
∫
1
ρ
dx 2 cos θ =
4πε 0
r
+π / 2
∫
dθ cos θ =
−π / 2
x = y 0 tgθ
2ρ
4πε 0 y 0
∫
dθ cos 2 θ
y0
cos θ
2
2
cos θ y 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
I. E = 0
Observations :
2ρ
- radial
4πε 0 y 0
III. E diverge sur les charges linéiques : E → ∞ si y 0 → 0
II. E ⊥ =
17
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
18
Champ d’un plan chargé uniformément
y
observation sur axe y
à distance D
D
ρ = cte,
ψ

 + ∞ + ∞
E = ∫∫ dE = ∫ dz ∫ Edx
z
champ d’un fil
z
S
−∞

E(z)
Ez(z)

E(−z)
Ez(-z)
D
-z
−∞
x et passant par z
y
Ey
0
ψ
x
y0
z
1) E x = 0
2) E z = 0 pour V fil par z, le fil par
–z compense E z
ρcosψ
3) dE y =dEfilcosψ=
dz
2πε0y0
ρ
E y = ∫ dE y =
2πε 0
x
z=Dtgψ⇒dz= Dd2Ψ
cos ψ
ρ
=
2πε 0
y0= D
cosψ
=
ρ
2πε 0
+π / 2
∫
−π / 2
+π / 2
cos ψ
∫ dψ =
−π / 2
+∞
∫
−∞
cos ψ
dz =
y0
cos ψ Ddψ
D cos 2 ψ
ρ
2ε 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
19
Observations :
I. E = 0
ρ
invariant de D
2ε 0
III. E a des directions opposées des deux côtés de la surface
II. E ⊥ =
IV. E ne diverge pas
V. E subit une discontinuité à la traversée de la surface chargée, égale
ρ
à s.
ε0
Explication physique :
Si on regarde le champ créé par la surface vue dans le même angle
solide à une distance différente :
E
E∝
QS
r2
mais QS = ρS ∝ ρ R 2
donc E Ω est indépendant de r
Ω
r
R~r
S ~ R2 ~ r2
S
R
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
20
Champ sur l’axe d’un fil circulaire
chargé uniformément
dl
observation sur l’axe x
à distance D
ϕ
r
r0
ψ
ρl = cte,
D
1) sur l’axe : symétrie
seul E x ≠ 0
dE x =
ρd
4πε 0 r
2

ρ
=
4πε 0
1
ρ
cos
ψ
d
∫
2
4πε 0
r

2π
∫ cos ψ
0
cos 2 ψ
D
2
D
cos ψ
d = r0 dϕ = Dtgψdϕ
r=
Dtgψdϕ
2π
ρ sin ψ cos 2 ψ
ρ sin ψ cos 2 ψ
=
∫ dϕ = 2ε 0 D
4πε 0 D
0
=
Ex
cos ψ
E Ο = ∫ dE x =
ρr0 D
2ε 0  r02 + D 2 


3
=
I. D >> r 0 : D ≈ r ⇒ E Ο →
II. D = 0, E = 0
QD
4πε 0 r 3
Q
4πε 0 r
2
x
Q = 2π r0 ρ
r0
r
D
cos ψ =
r
sin ψ =
- charge ponctuelle
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
21
Disque
ϕ
r
r0
ψmax
O
D
Ex
r0 = Dtgψ ⇒ dr0 =
r0
E  = ∫ E Ο (~r0 )d~r0 =
0
x
ψ
D
2
cos ψ
dψ
2
ρ sin ψ cos ψ Ddψ
ρ
=
∫ 2ε 0
D
cos 2 ψ 2ε 0
ψ
D
ρ
ρ 
(1 − cos ψ max ) =
1−
=
2ε 0
2ε 0 
r02 + D 2

D → 0
ρ


I.  ou  ⇒ E  →
2ε 0
r → ∞ 
0

ψ max
∫ sin ψdψ
0




(plan infini)
2
II. r0 → 0 , mais Q = πr0 = cte :
E

D
1 −
=
2ε 0 r02 
r02 + D 2
Q

Q
→
(charge ponctuelle)
2

4πε0 D

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
22
Sphère : charge surfacique uniforme
d̂
R0
θ
r
r0
D
R
π
π
ρ r0 D
E sph = ∫ E Ο dˆ = ∫ E Ο R 0 dθ = ∫
R 0 dθ
2ε 0 r 3
S
0
0
dˆ = R 0 dθ
(
)
Changement d’intégration en fonction de r :
1.
R 2 + r 2 − R 02 R 2 + r 2 − R 02
D = r cos ψ = r
=
2Rr
2R
2.
R 02 + R 2 − r 2
r
⇒ sin θdθ = −d cos θ =
cos θ =
dr
2RR 0
RR 0
3.
r0 = R 0 sin θ
π
E sph
r0
D
dθ
R 2 + r 2 − R 02 1
r
D
ρ
ρ
r0 R 0 dθ =
R
sin
R
dr
=∫
θ
0
0
3
2ε 0 r 3
2ε 0 ∫
2R
sin
RR
θ
r
0
0
r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
23
A l’extérieur (R > R 0 ) :
E sph
ρ R 0 R + R 0 r 2 + R 2 − R 02
ρ R 0 R + R 0  R 2 − R 02 
dr =
dr
=
∫
∫ 1 +
2
2
2

4ε 0 R 2 R − R 0
4
ε
r
r
0 R R −R 0 

R 2 − R 02 R 2 − R 02 
ρ R 0 
=
R + R0 − R + R0 −
+
R + R0
R − R 0 
4ε 0 R 2 
ρ R0
(2R 0 − R + R 0 + R + R 0 )
=
2
4ε 0 R
=
ρR 02
ε0R
centre
2
=
4πρR 02
4πε 0 R
2
=
Q
4πε 0 R
2
: comme si la charge est dans le
A l’intérieur (R < R 0 ) :
ρ R0
E sph
=
4ε 0 R 2
R +R0
r 2 + R 2 − R 02
ρ R0
dr
=
∫
r2
4ε 0 R 2
R 0 −R
R +R0
 R 2 − R 02 
1 +
 dr
2
∫
r

R 0 −R 
R 2 − R 02 R 02 − R 2 
ρ R0 
=
+ =
R + R0 − R0 + R −
 0
2 
4ε 0 R 
R + R0
R − R0 
Remarques :
1. A l’intérieur de la sphère le champ est zéro !
2. Le champ d’une sphère ayant une distribution de charge volumique
radiale (ρ V = ρ V (r ) ) peut être calculé par intégration sur r du
champ des charges surfaciques de chaque sphère : le même résultat
est obtenu à l’extérieur.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
24
Dipôle électrostatique
Définition : L’ensemble de deux charges ponctuelles opposées (+q et
–q) à une distance d
- charge de dipôle : q
(attn ! charge totale : zéro !)
-q
- moment dipolaire :

d

p
+q



p = qd ≡ q r+ −
1
- unité : [Cm], [D] (Debye) : 1D = 10 − 29 Cm
3
- types :
permanent
induit
mixte


p = αE externe

 
p = p 0 + αE externe
d = cte
 
p = p0
Les atomes et les molécules ont des charges positives et
négatives. Si les centres des charges coïncident (e.g., les molécules

symétriques), p 0 = 0 . Un champ externe ‘tire’ les charges différentes
dans les directions opposées, les forces intramoléculaire s’opposent.
Pour le nouvel équilibre, les centres des charges positives et négatives
sont déplacés et un dipôle induit est créé, proportionnel au champ
externe. La constante de proportionnalité α s’appelle polarisabilité du
milieu.

Si p 0 ≠ 0 (l’eau) : deux cas en absence de champ externe
- désordre chaotique (liquides, milieux amorphes, polycristaux)

p 0, total = 0
- ordre partiel : segnetoélectriques (ferroélectriques) – cristaux ayant
un dipôle naturel
Dans champ externe : deux cas

- les dipôles permanents ne bougent pas : p 0, total = cte

- les dipôles sont alignés partiellement parallèlement au E externe

 
⇒ p = p 0 + αE externe
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
25
Champ d’un dipôle électrostatique


q  r+ r− 
=
−
4πε 0  r+3 r−3 

q   1 1  d  1 1 
−
−
+
r

4πε 0   r+3 r−3  2  r+3 r−3 

E=

r−

 1
en utilisant r± = r  d .
2

d
-q

r

r+
θ
+q
r±2 = r 2  2rd cos θ + d 2
( )−3 / 2 ≈ (r 2 )−3 / 2  (− 3 / 2)(r 2 )−3 / 2−12rd cos θ
r±−3 = r±2
, d << r
= r −3 ± 3r − 4d cos θ
1
r+3
+
1
r−3
≈
2
r3
,
1
r+3
−
1
r−3
≈
6d cos θ
r4



ˆ 
q  3d cos θ d 2 
1
−
E≈
r
3p
cos
=
θ
r −p


4πε0 
r4
2 r 3  4πε 0 r 3
(
NB Soit deux charges identiques (+, +) :

E=






q  r+ r− 
q  1 1  d  1 1 
+
≈
 r  3 + 3  −  3 − 3 
3
3


πε
4
4πε0  r+ r− 
r−  2  r+ r− 
0   r+

2q r0
: le champ de charge ponctuelle de 2q
=
4πε 0 r 2
)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
26
Dipôle électrostatique
Observations :
1. Champ décroît comme
1
r
3
2. Symétrie axiale
: plus vite que le champ d’une charge (le
charge totale du dipôle est zéro)
 2p
 
:E p
3. Sur l’axe à l’extérieur : cosθ=1⇒E=
4πε0r3
 
4. Dans le plan transverse : cos θ = 0 : E p
5. Très proche d’une charge :
comme pour la charge isolée
l’axe
 
Positions principales de Gauss : E p
plan transverse
Très important :
- pour la polarisation de milieux
- les dipôles induits sont comme les oscillateurs mécaniques
oscillations
ondes électromagnétiques
- en magnétisme : les charges de base sont des dipôles magnétiques
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Champ de deux charges identiques
Observations :
1. Distance large ou très faible : comme une charge isolée

2. Dans le plan transverse : E ⊥ ligne de charges
3. Exactement entre les deux charges E = 0 (mais c’est un équilibre
instable)
27
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
28
Dipôle dans un champ électrostatique externe
F


F− = −qE −
+
+
∆F
(
+
−

F = +q E + ∆E
-
E = E +∆E
+q
)
-
E
-q
F
T
-
1. Force résultante générale :

 


∆F = F+ + F− = q∆E , pour un champ E uniforme ∆F = 0






 ∂E
∂E
∂E 
∆F → dF = q dE = q dx
+ dy
+ dz 
∂y
∂z 
d →0
 ∂x

∂E  ∂E x ∂E y ∂E z 

=
,
,
∂x  ∂x ∂x ∂x 

mais q(dx, dy, dz ) = p
  
dF = p ⋅ ∇E ,

∇E est tensor de rang 2 (représenté comme
une matrice carré)
2. Force du couple (moment de torsion) :
      
=
T d=
^ F dq=
^ E p ^ E (produit vectoriel de deux vecteurs)
T = 0 si p
E
le moment de torsion ‘tire’ le dipôle pour
l’aligner avec le champ externe
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
29
Pression électrostatique
Problème 1 : Petit disque sur un plan conducteur ; en augmentant de
la charge du plan, il existe une charge critique au-dessus de quelle le
disque se soulève brusquement. Pourquoi ?
1. Le plan et le disque sont chargés :
charge
2. Les charges se distribuent uniformément (le plan est large) avec
une densité surfacique ρs :
Face 1
Face 2
Les charges sur face 1 n’exercent aucune force sur les charges du
disque :
- Les composantes horizontales s’annulent ;
- Il n’y a pas de composantes verticales (le disque est mince)
Les charges sur face 2 exercent une force verticale
ρ
F = ρsSE = ρsS s ;
2ε 0
charge du
disque
F ρs2
:
P= =
S 2ε 0
la pression
ρs2
m
3. Le disque se soulève quand
S = mg ⇒ ρs2 = 2ε 0 g .
2ε 0
S
La charge totale sur le disque q = SρS =
2ε 0 gmS .
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
30
4. Quand le disque perd contact avec le plan, les charges sur face 1
se précipitent pour occuper la place libérée, repoussées par les
autres charges :
disque
face 1
En négligeant l’influence du disque sur la distribution des charges du
plan, les charges de disque sont repoussées par deux forces créées par
les deux plans charges :
F1
F2
disque
face 1
face 2
F = F1 + F2 = q disque 2E1 = q disque
ρ plan
ε0
(2 fois plus grand !)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
31
Problème 2 : Deux plans conducteurs : en chargeant des plans, ils se
séparent, mais doucement
E=
ρs
Q/2
=
2ε0 2ε0S
Q/2
Q/2
chaque plan exerce
une force sur l’autre,
avec une pression électrostatique :
ρs2
ρs
Q2
F (Q / 2 )E
; F=
S=
PE = =
= ρs
2ε 0
8ε0S
S
S
2ε 0
la pression gravitationnelle :
PG =
mg
S
Les plans se séparent quand
PE = PG
mg
Q2
⇔
=
S 8ε0S2
⇒ Q = 8ε0Smg
Après la séparation des plans des charges se redistribuent, mais la
force ne change pas (les quantités avec tilde – après la séparation) :
~  Q Q ~
F =  + E
4 4
Q/4
~
Q S
Q ρ
= 2 s =
2 2ε 0 2 ε 0
Q2
=
=F
8ε0S
Q/4
Q/4
Q/4
Q/4
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
32
Problème 3 : Une sphère et un disque, ayant un degré de liberté :
En chargeant la sphère, le disque se soulève, mais il s’arrête dans une
position équilibrée, qui dépende de la charge de la sphère.
r>R:
E=
tige
Q
4πε0r 2
FE =
disque
qQ
4πε0r 2
r-R
FG = mg
R
en équilibre :
mg =
qQ
qQ
2 =
;
r
⇒
2
4πε0mg
4πε0 r
si r < R, le disque reste sur la sphère ; quand r = R, il commence à se
soulever :
r=R:
E=
Q
8πε0 r 2
FE =
qQ
8πε0 r 2
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
33
Flux du champ électrostatique
Flux (def. générale) la quantité de qqch. à travers une surface
Le flux parallèle à une surface est nul

Le flux élémentaire d’un vecteur E à travers
 
dΦ = E ⋅ N SdS [Vm]
d’une surface élémentaire dS :
= E cos αdS
N
E
α
dS

N S - la normale de dS
(le signe – convention,
mais attn. - continuité)
surface
fermée :

N S vers l’extérieur
S
Observations :
1. dΦ (et Φ ) : scalaire (i.e., un nombre !)
2. Φ E=
=
EdS⊥ E
⊥ SdS

3. E S ⇒ Φ = 0
4. E est S sont additifs
 
Φ = ∫ E ⋅ NdS
Φ est additif
S
Φ∑
e.g. champ uniforme

dΦ = E ⋅ N S dS = EdS cos α
= EdS ⊥
(pour S inclinée cosα <1,
mais S > S ⊥ )
S
 
= ∑ E j ⋅ NdS = ∑ Φ j
j
S⊥
j
N
N⊥
E
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
34
Flux du champ d’une charge ponctuelle
dΦ =
1
dS cos α
;
q
2
4πε 0
r
1
qdΩ
4πε 0
q
q
⇒Φ=
Ω
=
Ω
d
4πε 0 ∫∫
4πε 0
dS cos α
= dΩ - l’angle solide sous
r

lequel on voit dS de point r = 0
2

N
⇒ dΦ =
S

r
Ω
Φ dépend seulement de l’angle solide
et non de la surface !
α
S
Donc Φ est le même pour toutes les surfaces ayant Ω constant
Explication :
1. Φ 2 = Φ 2 ⊥
R2
2. S2 ⊥ ∝ R 22 ∝ r22 ;
S1 ∝ R12 ∝ r12
3. E ∝
1
R2
E S ⊥ = cte
R1
r
S1
S2⊥
S2
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
35
Surfaces fermées
Tube des lignes de champ : l’ensemble des lignes qui s’appuient sur
un contour fermé :

N S vers l’extérieur
L’intersection du tube et d’une surface ferme : deux surfaces S 1 et S 2
V
N2
S2
N1
S1
E
Tube B
Tube A
S
I. Charge à l’extérieur : Φ S1 < 0 , Φ S2 > 0 ; même tube : Φ S1 = Φ S2
Φ tube A = Φ S1 + Φ S2 = 0 pour V tube,
Vrai pour tube B, ayant support S, la coupe transversale de V
II. Charge à l’intérieur :
L’angle solide de la sphère à l’intérieur Ω total = 4π
⇒Φ=
q
q
(donc 4π dans la constante de Coulomb)
Ω=
4πε 0
ε0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
36
Théorème de Gauss
q
pour un système général de charges:
ε0
Φ est additif, donc pour un ensemble de charges q j :
Généralisation de Φ =
{ }
Φ S = ∑ Φ S, j =
j
=0
∑ Φ S, j + ∑ Φ S, j = ∑ Φ S, j =
j∈VS
j∉VS
j∈VS
∑q j
j∈VS
ε0
=
Q int érne
ε0
Le flux total de vecteur de champ électrostatique sortant d’une surface
fermée est égal au quotient par ε 0 de la somme de charges électriques
situées a l’intérieur.
Preuve direct à partir de la loi de Coulomb pour une sphère chargée
uniformément :
= 4πR2
Φ=
∫∫
 
E ⋅ Nds =
S
Q
4πε 0 R 2
∫∫
S
ds =
Q
ε0
ds
Q
R
Observations :
1. Q V = 0 ⇔ Φ S = 0
2. Φ S ne dépend de la configuration de charges ni à l’intérieur ni à
l’extérieur
3. A l’intérieur d’une sphère avec des charges surfaciques uniformes

E ≡ 0 : Soit S R avec le même centre et r < R


Symétrie radiale ⇒ E radial ⇒ Φ = E
∫∫
SR
⇒Φ=0

ds = 4πr 2 E ⇒ E = 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
37
L’importance du théorème de Gauss
1. Il représente une forme intégrale d’une d’équations de Maxwell
(on verra plus tard)
2. Il est très utile pour déterminer le champ pour les systèmes ayant
une symétrie élevée.
Exemple 1 : Champ d’une sphère chargée uniformément (TD)
 
E R
Symétrie radiale:  
E = E(R )
Q
Gauss : Φ =
ε0
Def :
Φ=
 
E⋅Nds=E(r)
∫∫
S
Donc
E=
r
Q
R
∫∫
ds=4πr 2E
S
Q
4πε0r 2
Charges surfaciques uniformes
Charges volumiques uniformes
En fait, il suffit d’avoir une distribution radiale de charges ρ v = ρ v (r )
pour préserver la symétrie radiale
I.
II.
Champ
 à l’intérieur : r < R
Charge surfacique : E ≡ 0 (déjà fait)
Q(r) Q(R)r3 Qtotaler3
Charge volumique uniforme : Φ=
=
=
3
ε0
ε0R
ε0R 3
Φ=4πr 2E⇒
E=
Qtotale
r
3
4πε0R
dépendance de r linéaire
E(r =R)=
Qtotale
≡E
(R)
4πε0R 2 extérieur
E
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
38
Exemple 3 : Champ d’un plan chargé
Symétrie :
E ⊥S
∂E ∂E
=
=0
∂x ∂z
+
E = −E
y
S1
h
−
ρS
Gauss : s = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre
ε0
Def :
N1
= 2Φ1 = 2E + (h )S
x
S
z
S2
ρS
ρS
+
E=
⇒ ∆E=
N
2ε 0
ε0
N2
x
Exemple 2 : Champ d’un fil chargé
Symétrie :
E⊥x
∂E
=0
∂x
E = E(r )
S2
D
L
ρ L
Gauss :  = Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre
ε0
Def.
= Φ cylindre = E 2πDL
ρ
E=
2πε 0 D
S1
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
39
Exemple 4 : Champ de deux plans parallèles
 q1
+ 2ε
0
E1 = 
q
− 1
 2ε 0
 q2
+ 2ε
0
E2 = 
q
− 2
 2ε 0
y>d
y
y<d
y>0
y<0
q1
d
q2
0
Condensateur :
q1 = − q 2 = − q
y>d:
0<y<d:
y<0:
q1 + q 2
2ε 0
q − q2
E=− 1
2ε 0
q + q2
E=− 1
2ε 0
E=
E=0
E=
q
ε0
E=0
d
0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
40
Energie et potentiel du champ électrostatique
Charges
actives
champ
force
maintenant
travail

Soit E homogène (= cte). Le travail ∆W nécessaire pour déplacer
une charge q 0 entre les points A et B, est :
 
 
∆W = F ⋅ L AB = q 0 E ⋅ ∆  .
 
( dW=F⋅d  )
A
E
dl
B
Inversement, le travail effectué contre le champ a le signe opposé.
Le travail fait par le champ par charge unitaire s’appelle différence de
potentiel entre B et A (le travail nécessaire pour déplacer une charge
négative unitaire) :
  J
∆WBA

∆V = VB − VA = −
= −E ⋅ ∆   ≡ V  .
q0
C

Remarques :
1. 1ev = 1.6x10-19 [CV=J] l’énergie gagnée par l’électron quand il se
déplace de 1m dans champ de 1 V
2. V s’appelle potentiel du champ sur un point et est défini à une
constante près, car ce qui compte sont les différences de potentiel
3. Convention de signe : le signe – signifie que si une charge + se
déplace contre E son énergie augmente et ∆V > 0.
Donc, les lignes de champ pointent en direction de la diminution
de potentiel (les lignes sont dans le sens de potentiel décroissant).
4. Déplacement à travers le champ ne fait pas de travail, équivalent au
déplacement horizontal
dans le champ gravitationnel. Donc, sur les

surfaces S ⊥ E
V=cte :
Ces sont des surfaces équipotentielles.
(et elles sont perpendiculaires aux lignes du champ)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
41
Cas général : champ non-uniforme



∆L ⇒ d  → 0 : E est uniforme sur d 
WBA
B
B
A
A
B

VB − VA = − ∫ E ⋅ d 

= ∫ dW = q 0 ∫ E ⋅ d 
A
Remarque : le champ électrostatique est conservatif – le travail ne
dépend pas du chemin
Champ conservatif
B
L1
Champ non-conservatif
L2
A
WBA( L1 ) = WBA( L 2 )
WBA( L1 ) ≠ WBA( L 2 )
WBA + WAB = 0
WBA + WAB ≠ 0
pour ∀ chemin
l’énergie sur A n’est pas la même
après un aller- retour (e.g. friction)
Preuve pour une région de champ uniforme :
WBA
B
B
B
B

 
= ∫ dW = q 0 ∫ E ⋅ d  = q 0 ∫ Ed = q 0 E ∫ d = q 0 E AB = q 0 E ⋅ AB
A
A
A
A
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
42
Potentiel d’une charge ponctuelle
WL = WL + WL ⊥ = WL
C
C
 
−∫ E ⋅ d  =
− ∫ Edr
VB − VA =
B
A
=
A
q 1 1
q 1 1
−
=


 − 
4πε0  rC rA  4πε0  rB rA 
V(r ) =
B
A
q 1
+ cte
4πε 0 r
convention Coulombienne :
V(∞) = 0 ⇔ cte = 0 : l’énergie à l’infini est 0
L’énergie potentielle : l’énergie obtenue en déplaçant une charge
passive q 0 de r au point avec potentiel zéro :
U(r ) = q 0 V(r )
charge ponctuelle
=
1 qq 0
4πε 0 r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
43
 
Relation différentielle : dV = −E ⋅ d 
1. dV – différentielle totale d’une fonction scalaire de trois variables,
∂V
∂V
∂V
donc dV =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
→

Notations :
gradV≡∇V≡ ∂V , ∂V , ∂V 
 ∂x ∂y ∂z 

 
2. d  = (dx, dy, dz) ⇒ E ⋅ d  = E x dx + E y dy + E z dz
3. x, y et z sont indépendantes
→

gradV=−E
donc
avantage : V scalaire et E est obtenu par différentiation
→

Qqch. d’utile : NS =gradS
S(x,y,z)
= cte : l’équation de surface S

N S : le vecteur normal à S

S(r) = c te ⇒ dS = 0 : l’équation de la surface S
→
∂S
∂S
∂S

dS = dx + dy + dz = gradS⋅ d r
∂x
∂y
∂z
→


⇒ gradS⋅ d rS = 0 pour les déplacements d rS parallèlement à la
surface
→

⇒ gradS ⊥ rS
→

surfaces équipotentielles : V = cte ; gradV=−E , donc

E ⊥ Vcte : sens physique – l’énergie potentielle ne change pas
en se déplaçant à travers du champ
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
44
Extremum du potentiel : Si V a un extremum sur M, M est chargé.
Supposons que V a un minimum. Sur chaque point d’une petite
surface S autour de M : V S >V M , donc toutes les lignes de champ se
dirigent vers l’intérieur et par application du théorème de Gauss à
l’intérieur de S il y a une charge négative. En prenant la limite S 0,
la charge se situe sur M. Inversement, l’existence d’une charge
positive sera signalée par un maximum.
Conséquence : L’équilibre stable d’une charge dans un champ
électrostatique n’est pas possible !
L’équilibre stable nécessite que le potentiel a un minimum local : tous
les petits déplacements doivent ‘tirer’ la charge vers la position de
l’équilibre stable, donc pour une charge positive toutes les lignes du
champ créé par des autres charges doivent pointer vers l’intérieur,
donc le potentiel a un minimum, donc il existe une autre charge dans
cette position !
Un point d’équilibre M : toutes les forces F doivent pointer à
l’intérieur
F
M
Donc, par conséquence du théorème de Gauss Φ S ≠ 0 ,
S – arbitraire autour M.
S → 0 ⇒ M est chargé !
Donc, les points d’espace sans charges ne peuvent pas être des
position d’équilibre stable.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
45
La preuve générale que le champ électrostatique est conservatif
→

E = − gradV
B
WBA
B
B
→
 

= E ⋅ d  L = − gradV⋅ d  L = − dV = − V (B) + V (A )
∫
A
∫
A
donc WBA ne dépend pas du chemin
∫
A
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
46
Potentiel d’une distribution (discrète ou continue) des charges
I.
II.
III.
Voie directe : par sommation ou intégration (plus facile que E :
V est scalaire !)

Depuis E : gradV=−E
→
y
Depuis ρ : plus tard
Exemple: dipôle électrostatique
q 1 1
q r− − r+
 −  =
V=
4πε 0  r+ r−  4πε 0 r− r+
q d cos θ p cos θ
≈
=
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
r-d/2

p
r
θ d/2
r+
Attention : V écrit comme ça est une fonction de r et θ.
  ∂ 1 ∂
Dans le système des coordonnées sphériques : ∇ = r + θ
∂r
r ∂θ
2p cos θ
p sin θ
Donc : E r =
, Eθ =
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
Lignes de champ :
dr rdθ
=
Er Eθ
⇒
dr
cos θdθ
d sin θ
=2
=2
r
sin θ
sin θ
⇒ r = C sin 2 θ
Surfaces équipotentielles :
V = cte
⇒ r 2 = C cos θ
x
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Observations pour les surfaces équipotentielles:
1. Surfaces sont fermées
2. Ne se croisent pas (V – unique)
3. A côte des charges : sphère
47
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
48
Théorème d’Ostrogradski et la présentation différentielle du
théorème de Gauss
Φ+in
Φ−in
F(x,y,z) – une fonction vecteur
 
Φ = ∫ F ⋅ ds
S
Sin
+
−
Φ in
= −Φ in
N
 
 
∑ ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds = Φ
j=1 S j
S
 
Φ j = ∫ F ⋅ ds → ?
Sj
Vj→ 0
On vera que la limite existe et est
proportionelle à V j :
Sin
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
2
49
3
( ds ∝ r , ∆F ∝ rdF / dr, V ∝ r )
def.

divF = lim
 
F
∫ ⋅ ds
SV
V →0
(si elle existe).
V
Coordonnées cartésiennes :
faces :
1 – en face
2 – au fond
3 – à gauche
4 – à droit
5 – en bas
6 – en haut
(x+dx, y+dy, z+dz)
6
dy
3
2
1
5
(x, y, z)
Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + Φ 5 + Φ 6 =
4
dz
dx
≈ Fz ( x , y, z)dxdy − Fz ( x , y, z − dz)dxdy
− Fx ( x , y, z)dydz + Fx ( x + dx , y, z)dydz
− Fy ( x , y, z)dxdz + Fy ( x , y + dy, z)dxdz
Fz continue :
Fz ( x , y, z + dz) ≈ F( x , y, z) + dz
∂Fz
dz
 ∂Fx ∂Fy ∂Fz 

dxdydz
+
+
 Φ  ∂x
∂y
∂z 
∂F ∂Fy ∂Fz
=
divF =
= x+
+
dV
dxdydz
∂x
∂y
∂z


  ∂ ∂ ∂
mais ∇ =  , ,  ⇒ divF = ∇ ⋅ F
 ∂x ∂y ∂z 
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
50
  N  
Φ ≡ ∫ F ⋅ ds = ∑ ∫ F ⋅ ds ←
j=1 S j
S
N



V
div
F
≡
div
F
dV
=
∇
⋅
F
∑ j
∫
∫ dV
Vj →0 j=1
V
V
 

∫ F ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ FdV - théorème d’Ostrogradski-Gauss
S
V
Application : Flux de champ électrique
 

Q
ΦE ≡ E⋅Nds= ∇⋅EdV= V
ε0
∫
∫
S
V
V
 ρ
∇⋅E =
ε0
intégrale
∫ ρdV
V
ε0
pour chaque V
représentation différentielle

Rappel : E = −∇V , V – potentiel de champ électrique
2
2 
 ∂2
ρ
∂
∂
∆V ≡ ∇ V ≡  2 + 2 + 2 V = −
 ∂x
ε0
∂y
∂z 
opérateur 
2
l’équation
de Poisson
Laplacien
Dans les régions
sans charges :
de
théorème de Gauss pour le champ électrique
 

Q
E
d
s
E
dV
⋅
=
∇
⋅
=
=
∫
∫
ε0
S
représentation
∆V = 0 - l’équation de Laplace
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
51
A partir de représentation intégrale ou différentielle on peut obtenir la
loi de Coulomb.
Exemple :
Loi de Coulomb – hypothèse V ∝
1
r
n
1 x
∂ 1
n
=
−
∂x r n
r n +1 r
, n=?
2
x
x
1 − ( n + 2) 2
r n + 2 − x (n + 2)r n +1
2
∂ 1
r = −n
r
⇒ 2 n = −n
2
∂x r
rn+2
rn+2
( )
⇒∆
1
r
n
= −n
pour que ∆
1
r
n
3 − ( n + 2)
r
n+2
;
= 0 il faut n = 0 ou 1
n = 1 – loi de Coulomb
n = 0 – V = cte, E = 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
52
Problème :
dans le théorème d’Ostrogradski-Gauss F – continue
si
Fz discontinue (e.g. charge surfacique sur le plan x-y) :
∂F
Fz ( x , y, z + dz) ≈ F( x , y, z) + J (Fz ) + dz z
dz
(J – saut de F z )
Fz ( x , y, z)dxdy − Fz ( x , y, z − dz)dxdy ≈ J (Fz )dxdy
mais J ( E z ) =
ρ
ε0
 J (E )dydz
ρ
ρ
⇒ divE =
=
= s
dv
ε0dz ε0
(ρs est la charge dans une couche dz)
La mathématique plus sophistiqué :
Charge surfacique
Ez = ±
ρ
ρ
ρ
=−
+ θ(z )
2ε 0
2ε 0 ε 0
0, z < 0

θ(z ) = 
 1, z < 1

 ∂E z ρ
ρ
ρ
∇⋅E =
= θ' (z ) = δ(z ) ≡ s ;
∂z ε0
ε0
ε0
δ(z ) - fonction de Dirac
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
53
L’énergie potentielle électrostatique
d’une distribution de charges
Def. W est l’énergie nécessaire pour apporter des charges situées a
l’infinité aux positions associées au système physique étudié
(l’énergie propre)
1-ère charge : W (1) = W 11 = 0
qq

2-ème charge : W (2) = W 21 = q 2 V1 ( r2 ) = 1 2
4πε 0 r21


3-ème charge : W (3) = W 31 + W 32 = q 3 [V2 ( r3 ) + V1 ( r3 )]
......
j −1
N-ème charge : W( j) = ∑ W ji
i =1
Totale :
W = ∑ ∑ W ji
j i< j
1
W = ∑ ( ∑ W ji + Wij
2 j i< j
qj
1
= ∑ qi ∑
2 i j ≠ i4πε 0 rij
j ≠ i 4πε 0 rij
) = 1 ∑ ∑ Wij = 1 ∑ ∑
2 j≠
i
2
i
qiq j
1
W = ∑ q i Vi
2 i
V i est le potentiel crée par toutes les autres charges dans la
position de la i-ème
Distribution continue : W =
1
ρVdℜ où ℜ est la région des
2∫
ℜ
charges (volume, surface, ligne)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
54
Discontinuité de champ
Dans une région sans charges E et V sont continus (pourquoi ?)
1. Charge ponctuelle : E et V – singuliers ( → ∞ )
E∝
1
r2
, V∝
2. Charge linéique : E ∝
1
r
1
: singulier
r
∂V
ρ
⇒V=
ln(r ) + C : singularité logarithmique
∂r
2πε 0
Remarque 1 : C ≠ 0 car à l’infinie il y a des charges
Remarque 2 : E et V ont la même singularité pour des charges
linéiques non-uniformes et des lignes arbitraires
Er = −
3. Charge surfacique :
Exemple 1 :
Plan chargé uniformément
E T ≡ E x = 0 ⇒ E T continu
EN
 ρs
 + 2ε
0

≡ Ey = 
 ρs
 − 2ε
0

E=EN
, y>0
S
, y<0
E
ρ
ρ
V=− s y
,
2ε 0
ε0
! V(y → ±∞ ) →  ∞ et n’est pas nul – la convention Coulombien
ne marche pas (il y a des charges à l’infini)
∆E N ≡ E +N − E −N =
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
55
Exemple 2 : Surface sphérique chargée uniformément
A l’intérieur : E N = E T = 0
A l’extérieur : E T = 0 ,
Donc ∆E N =
EN
E=0
ρ
=E=
= S
4πε 0 R 2 ε 0
Q
ρ
et ∆E T = 0
ε0
EN
Cas général :
A
WAB + WBC + WCD + WDA = 0
B ET
D
C
Si AB et CD


+
E(A) → E(B) = E
0, 

−
E ( C) → E ( D ) = E
EN
mais aussi WBC + WDA = 0 , car BC et AD sont antiparallèles.
Donc
E T+ AB − E T− DC = 0 , donc ∆E T = 0 .
Pour E N :
ρS
Théorème de Gauss : Φ1 + Φ 2 + Φ cylindre = s
ε0
1. Φ cylindre → 0 si H → 0
2. Φ1 → E +N S
3. Φ 2 → −E −N S
ρ
Donc ∆E N = s
ε0
S1
H
EN
S
S2
ET
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
56
Type de matériaux
Conducteurs,
isolants,
semi-conducteurs,
diélectriques,
piézoélectriques, diamagnétiques, ferromagnétiques, etc.
En gros :
conducteurs : ceux qui sont capables de conduire l’électricité, d’avoir
un courant électrique
isolants : qui ne peuvent pas
courant électrique – mouvement des charges dans une direction, donc
il faut des charges libres : la propriété des conducteurs est d’avoir des
charges libres
isolant : toutes charges sont liées
abstractions :
1. Conducteur absolu (ayant conductivité infinie) – résistance zéro ;
Quantité des charges libres – infinie
2. Isolant absolu – pas de charges libres
Remarques :
1. Les deux peuvent être chargés ; dans les conducteurs les charges
supplémentaires sont aussi libres, dans les isolants elles sont fixées.
2. Pour la majorité des conducteurs des charges libres sont des
électrons, mais il y a des conducteurs ioniques (les électrolytes, les
conducteurs ionique solides, le plasma)
3. L’isolant peut être polarisé (dipôles permanents et induits)
Semi-conducteurs :
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
57
Structure atomique et moléculaire
Atome :
électrons externes
électrons
internes
+
noyau
Molécule :
électrons externes communs
+
électrons
internes
+
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
58
Matériau diélectrique : les électrons externes sont liés aux molécules
séparées
+
+
Conducteurs : une partie des électrons externes sont partagés entre
les ‘molécules’ (atomes) et sont communs au corps entier
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
59
Semiconducteurs : une partie des électrons externes en état
d’excitation peuvent devenir communs au corps entier. Dans un
état moins excité : comme les diélectriques
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
60
La bande énergétique d’états liés : bande d’états liés (bande de
valance)
La bande énergétique d’états communs : bande conductrice
L’énergie minimale nécessaire de transférer un électron d’une bande à
l’autre : bande interdite E c .
Pour les métaux : E c = 0
Pour les diélectriques : E c = 7 – 20 eV
Pour les semiconducteurs : E c = 0.5 – 5 eV
(rappel : ça va dire qu’un électron doit être soumis au
potentiel V = E c /e)
Remarque : Cette énergie est différente à l’énergie d’ionisation
nécessaire pour ejecter un électron de l’atome complètement : dans la
bande conductrice l’électron reste lié aux atomes
Exemple : l’électron dans l’état énergétique le plus bas de l’atome d’
hydrogène (r = 0.053 nm) : le champ de la force électrostatique est
5 x 1011 V/m !
Pour l’air sec : 3 x 106 V/m = 30 kV/cm
Les diélectriques peuvent être polarisés dans un champ électrique
externe, on en a déjà parlé, et le résultat est la création des dipôles

 
électriques caractérisés par ses moments dipolaires p = p 0 + αE , sauf

quelques exceptions, p 0 = 0 .
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
61
Conducteurs dans champ électrostatique
I. La surface S de conducteur : équipotentielle (V = cte)

Explication : V = cte sur S V ⇔ E ⊥ S V (pas de travail fait en
déplacement à travers le champ)
Si  S n’est pas équipotentielle,
⇔ E T ≠ 0 (la composante tangente de
champ).
N



E
E T ≠ 0 ⇒ FT = eE T
S
ET
déplacement de charges libres ;
redistribution de charges libres
création d’un nouveau champ
par des charges redistribuées jusqu’à

la compensation de E T

⇒ E T = 0 sur S
S est équipotentielle en équilibre

II. A l’intérieur : E = 0 (si non, champ va exercer une force sur les
charges libres)
Conséquences :
1. Courant électrique
2. Corona décharge
3. Cages électrostatiques (cages de Faraday)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
62
Cage électrostatique
S metal : équipotentielle – aussi vrai pour une surface intérieure.
Sur S int fermée V = cte. Si Q int = 0
V volume intérne = cte aussi
Théorème : soit une fonction f continue et bornée dans une région P
bornée et constante sur les limites L de P
f = cte sur P ou f a
l’extremum dans P :
3
Ou
1) f = cte, ou
2) f a le maximum (2’)
ou le minimum (2’’)
3) ou les deux
2’
1
L1
L2
2’’
On a vu que dans l’extremum de V il y a des charges
V = cte a l’interieur
E=0
I.
Le champ externe ne pénetre pas dans une cavité interne d’un
conducteur (on est protégé)
II.
Il n’y a pas de charges sur S int : E int = 0 , E conducteur = 0 ,
ρ
∆E N = s
⇒ ρs = 0
ε0
(th. Gauss)
Charge Q à l’interieur
charge –Q sur S int
III.
-- - -
-
-
E
+
+
Sint
+
+
++
+
Sext
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
-- - -
E
-
63
+
Q+
Sint
+
-
+
+
++
+
Sext
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
64
Corona décharge
1 q
,
R plus petit
V plus grand
4πε0 R
Mais V = cte pour deux conducteurs en contact ; en fait la relation
est :
R plus petit
q plus petite.
V de sphère : V =
Mais : E = −
V
, donc R plus petit
R
E plus grand pour V = cte.
Au voisinage d’une partie pointue d’objet – le champ est plus fort.
Exemple :
R
V
Er = ER = −
r
r
et V ne dépend que de R,
si r << R
R
ρ
1
Mathématique : S cond. = S(V) = cte ; ∇ 2 V = s ; ∇ 2S ∝
ε0
R courbure
1
⇒ ρs ∝
R courbure
Application : paratonnerre
grande sphère – la Terre
Attn. Le paratonnerre n’est pas fait pour attirer les éclairs mais
pour réduire le potentiel localement :
V fort
micro-décharges dans l’air autour
ions+ : libérés,
électrons attirés
la différence de potentiel local diminue
r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
65
Courant électrique
Conducteur dans un champ électrique
libres
équilibre (champ intérieur nul)
+
-
E
-
-- - -
+
+
+
Conducteur
branché :
courrant
+
mouvement des charges
-
e
-- - -
-
+
-
++
+
+
-
+
+
+
e
++
+
-
Conducteur branché en équilibre : la différence de potentiel est
annulée
0
0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
66
Pour préserver le courant il faut préserver la différence V (source de
V cte, e.g. prise électrique).
Remarque : avec l’alternance de signe de potentiel ce n’est pas nécessaire
de transférer les électrons le long du circuit entier

Si V = cte, la force électrique sur chaque électron F = −eV va

accélérer l’électrons avec accélération constante
la vitesse v
monte sans limite. En fait – ce n’est pas possible – il y a d’autres
forces, des collisions, etc.

Equilibre dynamique : les forces en équilibre, v = cte.
Approche phénoménologique :
force électrique F et force de résistivité F R :


1) v = 0 ⇒ FR = 0


2) FR et v : antiparallèles


F = −FR ;

v

FR
Hypothèse la plus simple :

~ v ,
FR = −ρ
~
ρ ≥ 0.
Courant électrique
I : la quantité de charge passant par seconde en

direction L à travers une surface S
Nq
Nq
S
L


∆L

= NqS⊥ v , N – nombre de charges q par volume
I = NqS⊥
∆t
[A] (1 Amper = 1 Coulomb/1 sec)



FR
qE
Nq 2S⊥
I=
NqS⊥
− NqS⊥
=
=
−
∆V ,
ρ
ρ
ρ L
− ∆V
)
L
I et ∆V antiparallèles, indépendamment du signe de q
E uniforme : ( E =
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
I=
S⊥
S
1
V = σ ⊥ V = V,
ρL
L
R
~
ρ
ρ=
2
67
la loi d’Ohm
–
résistivité,
σ=
1
ρ
–
Nq
L
1
résistance,
- admittance
R =ρ
S⊥
R
R∝
L
S
conductivité,
en séries : résistance = la somme des résistances
en parallèle : l’admittance = la somme des admittances
Remarque : Les lois de circuits électriques à partir de lois
d’électromagnétisme – pendant les TD
Densité de courant électrique :



 def . I
FR
qE 1 

J =
= Nqv = Nq ~ = Nq ~ = E , ou
S⊥
ρ
ρ ρ
 
J =σE
Remarque : le courant I représente la forme intégrale de densité de
courant à traverse d’une surface (par exemple, la section d’un fil) :
 
=
I ∫ J ⋅ NSdS
S
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
68
Condensateurs
2 plans chargés anti-symétriquement (-Q et +Q) créent un champ
homogène :
condensateur :
y
y>d:
E=0
ρ
0<y<d: E= S
ε0
y<0:
E=0
∆V =
ρS
d
ε0
Questions :
1. Condense quoi ?
2. Pourquoi faire ?
3. Comment ?
∆V → ∆VC = ∆V
∆VC
V=0
ρ
V = S (d − y )
ε0
ρ
V= Sd
ε0
-Q
d
+Q
0
Condense des charges et
les préserve (e.g. les mémoires électroniques)
e
Ι
source
∆V
+
e
Si la source est coupée, les charges restent sur les plans, car
E extérieur = 0 ! (en fait, il y a toujours des fuites : l’air n’est pas un
isolant parfait, il a des rayons cosmiques dans le vide aussi)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Q = SρS =
C=
Q
V
∆Vε 0S
d
69
pour V=cte, Q si S ou d . La capacité C de
stocker des charges est mesurée comme
ε 0S

C
condensateur
plan
:
=
=
F
−
Farad
C

 V
d
Condensateurs en parallèle : comme si on somme la surface C = ∑ C j
Condensateurs en séries : comme si on somme la distance
(preuve rigoureuse : TD)
La dernière possibilité pour changer C : ε 0
1
1
=∑
C
Cj
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
70
Diélectriques dans champ électrostatique
Observation expérimentale :
Un diélectrique placé dans un condensateur : le potentiel diminue
Ι=0
V
+Q
-Q
Insertion de diélectrique : Q ne change pas (pas de courant, E ext. = 0)
Ι=0
+Q
Veff = ?
-Q
Branchement de la même source : ∆I supplémentaire
e
V
∆Q
∆Ι
-
+Q + ∆Q
source
V
-Q - ∆Q
e
+
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Q
∆Q
d
Ceff = 1 > C
V1
ε 0S
 ε S
Comment C  = 0  a changé (S = cte, d = cte) ?
 d 
∆V = V − Veff =
Il reste ε 0 !
Def. constante diélectrique (permittivité relative) statique (freq. 0)
εr =
Comme si
l’air
l’eau
Pourquoi ?
V
Veff
ε0 → ε = ε r ε0
ε r = 1.00059
ε r = 78.3
Ceff = εC
71
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
72
Rappel : 1) il n’y a pas des charges libres
2) peuvent être polarisés
Les atomes et les molécules ont des charges positives et
négatives. Un champ externe ‘tire’ les charges différentes dans
les directions opposées, les forces intramoléculaire s’opposent,
en l’équilibre nouveau les centres de charges positives et
négatives sont déplacés et un dipôle induit est créé,
proportionnel au champ externe. La constante de
proportionnalité α s’appelle polarisabilité de milieu.

Si p 0 ≠ 0 (l’eau) : deux cas en absence de champ externe
désordre chaotique (liquides, milieux amorphes,

polycristaux) p 0, total = 0
ordre partiel : segnetoélectriques – cristaux ayant un
dipôle naturel
Dans champ externe : deux cas

les dipôles permanents ne bougent pas : p 0, total = cte
les dipôles sont alignés partiellement parallèlement au




E externe ⇒ p moyen = p 0 + αE externe
V
0
+
Dans le volume : les charges négatives et positives se compensent

Sur la surface : excèdent des charges Qinterne ∝ p moyen =
αE externe
-Q
Equivalent macroscopique :
+Qint
Veff.
-Qint
+Q
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
le moment dipolaire induit
73
E
Q effective = Q − Qint . ⇒ Veffectif =
Qint a le signe opposé à Q
Q effectived
<V
ε 0S
la capacité avec diélectrique : Cdiél. =
Q
>C
Veff .
Relation entre α et ε r :
Pour préserver V = cte, la source ajoute Qint . à Q
⇒ C diél. =
p diél. = Qint .d
Q + Qint Q + Qint  Qint 
=
= 1 +
C ≡ ε r C
Q
V
Q/C


et
p diél. = NαE ,
N – nombre total de dipôles
N
αE
Qint
Nα
N
d
= 1+
= 1+
Qint . = αE ⇒ ε r = 1 +
Q
ε 0SE
Sd ε 0
d
N 0α
,
ε0
ε ≡ ε r ε 0 = ε 0 + N 0α
εr = 1 +
N0 =
N
– densité volumique de dipôles ≥ 0
Sd
α>0
⇒ εr ≥ 1
N 0α = χe - susceptibilité électrique ,


P = χe E - vecteur de polarisation
Conception : si la loi de Coulomb est mesurée dans un milieu avec
1
⇒ F → F ⇔ ε0 → ε = ε r ε0
εr ≠ 1
εr
1

1 − εr
Champ supplémentaire : ∆E = E eff − E =  − 1E =
E
ε
ε
 r 
r
∆E est linéairement proportionnel au E et a le signe opposé
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
74
Force magnétique
Aimants naturels, magnétisation par induction, démagnétisation par
choc ou température, etc.
Propriétés :
similarités avec la force électrique
1. Il y a 2 types de pôles
2. Les pôles opposés s’attirent, les pôles similaires se repoussent
différence
3. Ils n’existent qu’en paires
N
S
N
N
+
S + N
S
S
Comme des dipôles électrostatiques :
+
différence :
en divisant progressivement le dipôle électrostatique, on arrive à
séparer les charge électriques ; pour les aimants – personne n’est
encore arrivé à séparer les pôles magnétiques.
Hypothèse : le dipôle magnétique est l’élément fondamental
magnétique (d’Ampère)
+ propriétés : la force s’exerce à distance, sans contact direct ;
la conception de champ magnétique qui est le porteur de
la force (à vérifier qu’on peut bien définir les
caractéristiques de champ qui ne dépendent pas de
‘détecteur’ mais seulement de la source)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
75
champ magnétique : vecteur B F magn. et normalisé correctement
(pour être indépendant de détecteurs)
comment mesurer : avec détecteurs qui ne modifient pas le champ,
e.g., petits aimants ‘passifs’
présentation : avec la carte de lignes tangentielles à la force
(attn. pas de charges séparées : pas de début et fin de lignes)
N
S
On peut continuer l’étude du champ magnétique séparément du champ
électrique, mais les liens sont si importants, qu’il est préferable de les
étudier ensemble.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
76
1600 William Gilbert : « De Magnète »
220 ans - rien
1819 H. Oerstead (danois) trouva par hasard (pendant le cours) que le
courant électrique dévie l’aiguille aimantée d’une boussole :
I
Faits expérimentaux :
1. Le courant électrique crée une force sur l’aimant. Sans courant –
aucune force
2. Charges sans mouvements : pas de champ magnétique ; champ
magnétique n’exerce pas de force sur les charges au repos
3. La force est perpendiculaire à la direction du courant
4. La force est proportionnelle à la magnitude de courant et a la
puissance de l’aimant
5. Le principe de l’action et de la réaction nécessite que l’aimant
exerce la même force (direction opposée) sur les charges de
courant et le courant diminue (travail fait pour tourner l’aiguille
diminue la vitesse des charges)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
77
Conclusion : le courant électrique crée un champ magnétique et
le champ magnétique exerce une force sur les charges en mouvement
B
I
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
78
1820 : Jean Baptiste Biot et Félix Savart – mesure quantitative
Loi de Biot et Savart (champ magnétique crée par un segment de
courant) :
 r̂

µ0
dB =
I d ^ 2
4π
r
dB
I
r
(correspond à la loi de Coulomb)
dl
1. B ⊥ dl, r (la triade dl, r, B est directe – règle du
bonhomme d’Ampère ou règle du tire-bouchon de
Maxwell)
2. B ~ I
3. B ~ 1/r2
4. µ 0 = 4π 10-7 : perméabilité magnétique du vide
B [T – Tesla] : 1T = 1N/(1A 1m) ; pourquoi – plus tard !
1G (Gauss) = 10-4 T
Pourquoi B F (peut-on définir B comme F/qqch ?)
(en fait, B F entre les aimants et les aimants sont équivalents aux
dipôles magnétiques)
Il faut définir la force magnétique exercée sur des charges en
mouvement (elle existe dû au principe de l’action et de la réaction)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
79
Force sur une charge en mouvement dans un champ magnétique
Expérience par la pensée :
Mouvement de charges dans B homogène (créé par deux grands
aimants) :
Section transverse :
N
v ϕ
q
S
Observations :
1. Dans la région du champ la trajectoire tourne en cercle ayant une
courbure constante dans le plan transverse de B.
2. La vitesse reste inchangée en module.
3. La courbure est proportionnelle à q, B, v et sinϕ (si v//B : pas
d’influence)
4. S
N : la courbure change de signe
Conclusions :
La charge est soumise à une force F ⊥ v et B,
F ~ v, B, q :

 
Fmag. = qv ^ B
F
.
v
B
F = 0 si v // B,
prenons ça comme def. du champ
magnétique ; donne des unités :
[B] = [F] /([q ][ v]) = N /(Cms −1 ) = NA −1m −1
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
80
La force de Lorentz
(champ magnétique et champ électrique)
 

  
F = Félec. + Fmag. = q (E + v × B)

~ F
mag.
?
Répétons la question : Peut-on définir B comme B =
qqch.
La conception de champ nécessite que le champ soit déterminé
indépendamment de l’objet d’essai, donc de v.
 
1. F⊥v
2. F ~ v
 
~
3. F ∝ v ⟨ operation⟩ B
operation = produit vectoriel

Attn. Fmag. ne fait pas de travail sur les charges libres :
WBA

t ( B)
 t ( B)  d 
 
= ∫ F ⋅ d  = ∫ F ⋅ dt = ∫ F ⋅ v dt ≡ 0
dt
B
A
t (A)


car Fmag.⊥v
t (A)
Notre expérience a montré que v = cte
W cinétique = cte.
B

dl
A
tB

v
 
dl = vdt

F
tA

F
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
81
Mouvement cyclotron
y
v
E = 0, B uniforme,
v
x
F
v
I.
B
trajectoire: cercle
mv 2
Fmag. = qvB =
R
v
z
R=
fréquence: f =
v⊥B
mv
qB
rayon cyclotron ;
1
v
qB
(ne dépend pas de R !)
=
=
T 2πR 2πm
1. Sers à mesurer le rapport q/m
2. La même charge et masse différente (e.g. isotopes ionisés)
R et f différent
- R différent : les isotopes différent peuvent être capturés dans
les régions différentes (séparation d’isotopes)
- f peut être mesurée par effets résonants : détermination du
contenu isotopique
y
v
F
z
B
x
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
82
II. v = v ⊥ + v
 
F⊥v ⇒ v = cte ; dans plan transverse : mouvement circulaire
B
Exemples:
1. Aurore boréale
atmosphère
La Terre
particules
cosmique
champ
magnétique
Les particules cosmiques sont capturées par le champ magnétique et
se ‘glissent’ en parallèle de B jusqu’aux pôles. En entrant dans
l’atmosphère, elles ionisent l’air
aurore boréale
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
83
3. Cyclotrons :
B
E~
B
Deux cages semicylindriques métalliques avec potentiel électrique
alterné pour accélérer les particules chargées quand ils passent les
bouches.
Le champ magnétique homogène pour faire tourner la trajectoire en
une spire :
Avec l’accélération la masse augmente (l’effet de la relativité) nécessite le changement de la fréquence du E ou de la magnitude de B
(ou les deux) - synchrophasotrones
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
84
L’autre possibilité – les champ magnétique et électrique en
parallèle du faisceau (B est plus fort en approchant les mures de la
chambre) :
B, E
p+
B, E
E accélère les protons en augmentant v . v ⊥ est modifié par B de
façon que les particules restent toujours à l’intérieur.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
85
Loi de Laplace
(force d’un champ magnétique externe sur un élément de courant)
B externe exerce une force F (donnée par l’expression
de Lorentz) sur

chaque charge q d’un élément de courant Id  :

 
dFq = q v × B ;

(dQ charge totale mobile dans d  )

 
⇒ dF = dQ v × B
 dQ 

mais Id  =
d  = dQ v
dt

 
⇒ dF = Id  × B

 
fil droit, champ uniforme : ⇒ F = I L × B
Conséquences :
1. Chaque segment L d’un fil est ‘tiré’ par une force F ⊥ (B et L) ;
2. F ~ B, I, L, sin<L, B>
Densité de courant et loi de Laplace :
dQ = ρdV ;
Charges volumiques :
S



 I Id  Id 
J≡ =  =
S Sd  dV
  
⇒ dF = J × B dV
I
dl
Charges surfaciques :
dl
L
dQ = ρs dS ;
I




I Id  Id 
Js ≡ =  =
L Ld  dS
  
⇒ dF = Js × B dS
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
86
Effet Hall
On a étudié :
1. Charges libres dans champ externe uniforme
2. Élément du courant dans champ externe uniforme
Maintenant : charges libres formant le courant (e.g. métaux, plasma)
e.g. conducteur :
L
H
I
W
E

 
dans champ magnétique : force transverse ( Ft = qv × B )
I
E
B
Déplacement de charges négatives vers le ‘bas’, l’excès de charges
négatives en ‘bas’ et de charges
positives en ‘haut’ crée un potentiel

transversale et un champ E t
I
Et
B
E
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
En équilibre
87

 
Et = v × B ⇒ Et = v B
J = N 0qv (densité de courant)
⇒ Et =
Et =
1
JB
N 0q
Ut
I
I
; J= =
,
W
S WH
K=
⇒ Ut =
1
IB
N 0qH
1
- coefficient de Hall, spécifique pour chaque matériau
N 0q
le signe de K donne le signe de porteurs de courant.
Dans beaucoup de métaux N 0 ~ nombre d’atomes, donc presque
chaque atome donne un électron libre.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
88
Champ créé par une charge en mouvement
Rappel : Loi de Biot et Savart :
 µ 0  r
dB =
Id  ^ 3
4π
r
dB
I
r
dl
mais, par définition :
 dQ 

Id  =
d  = dQ v ⇒
dt
 µ 0  r
B=
Qv^ 3
4π
r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
89
Champ créé par une ligne de courant
y
 µ 0  r
dB =
Id  ^ 3
4π
r
B


B = ∫ dB
+x
ϕ
B
-x
 
1) B⊥d  ≡ dx ⇒ B x = 0
2) dB y (− x ) = −dB y ( x ) ⇒ B y = 0
+∞ µ
x
r
z
=2
y0dϕ
µ 0I π sin ϕ
µ0I π
Bz = ∫
I 3
dx =
=
∫
∫ sin ϕdϕ
3
2
4π 0 ( y0 / sin ϕ) sin ϕ 4πy0 0
− ∞ 4π r ( x )
Bz =
µ0I
2πy 0
0
sin ϕ( x )


 r = y 0 ; x = − y 0 ⇒ dx = y 0 

sin ϕ
tgϕ
sin 2 ϕ 

B
I
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
90
Question : pour les calculs de E le théorème de Gauss etait très utile.
Est-ce que il n’existe pas qqch. pour B ?
Flux de champ magnétique
 
def. dΦ B = B ⋅ NSdS = BdS cos α
 
Φ B = ∫ B ⋅ NSdS
NS
B
α
dS
S
S
L‘analogue du théorème de Gauss existe :
 
Φ B ≡ ∫ B ⋅ NSdS = 0
S
B a la même dépendance de r comme E, mais la direction de B est
différente.
Exemple : un élément de courant et une surface de rotation
B tangentiel à S partout
 
B ⋅ NS ≡ 0
ΦB = 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
91
Preuve générale : théorème d’Ostrogradski Gauss
 

∫ F ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ FdV - théorème d’Ostrogradski-Gauss
S
V
Application : Flux de champ magnétique
Champ créé en r par une charge placée en origine se déplacent à une
 µ 0  r
vitesse v : B =
Q v× 3
4π
r
 Qµ 0     1 
Qµ 0    1  
∇ ⋅ v ^ r 3  = −
∇ ⋅ r 3 ^ v
divB =
r 
4π
4π

 r

Qµ 0    1  
=
−
 ∇ ^ r 3  ⋅ v ; v ne dépende pas du point d’observation ;
4π 
r 


r
en plus, rot 3 =
0 ⇒ divB =
0
r
 

Φ B ≡ ∫ B ⋅ d s = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0 représentation
S
V
intégrale
du
théorème de Gauss pour le champ magnétique
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
92
Théorème du flux – présentation différentielle
 
∫ B ⋅ ds = 0
représentation intégrale du théorème de
S
Gauss pour le champ magnétique

∇⋅B = 0
représentation différentielle
  Q
E
∫ ⋅ d s = ε0
représentation intégrale du théorème de
S
Gauss pour le champ électrique
 

Q
E
⋅
d
s
=
∇
⋅
E
dV
=
=
∫
∫
ε0
S
 ρ
∇⋅E =
ε0
V
∫ ρdV
V
ε0
pour chaque V
représentation différentielle
L’importance : les représentations différentielles sont la moitié
des équations de Maxwell.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
93
Dipôle magnétique
Qu’est-ce qu’il s’est passé avec des aimants ?
Hypothèse d’Ampère : le magnétisme dans la matière est dû au
moyen d’une multitude de petits anneaux de courants électriques
distribués à l’intérieur de la substance. Pour l’instant on n’a pas
trouvé de monopoles magnétiques.
Champ magnétique d’une spire de courant à grande distance :
z
M ∈ ( x, z)
L ∈ ( x , y)
r >> R,

r0
y
cos θ = cos θ0 cos ϕ
ϕ

R
Br0
M
θ0
θ

d
Bθ0

r
x
 µ0I  
dB =
d  ^ r (loi de Boit-Savart)
4πr 3
r = r02 + R 2 − 2Rr0 cos θ ,





R

 
r = r0 − R = r0 − R 0R ,  R 0 = 
R

 3 3



− R 0r − r r (2R − 2r0 cos θ)
∂  r 
R
0 + 3 r0 cos θ
2
=
−
 3=
∂R  r 
R = 0 r03
r6
r04






 R0
r
r
r
R
0 cos θ  = 0 + 3 0 R cos θ −
−
R
3
≈
+
+
 r3
 r3
r 3 r03
r04
r04
r03
 0
 0

r

r0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique

 µ 0 I d  ^ r
=
B
≈
3

∫
4π L r
94
0
-2S


 
 
 r0 1
µ 0 I    r0
 ∫ d   ^ 3 + 3  ∫ d R cos θ  ^ 4 − 3 ∫ d  ^ R 
4π  L  r0

L
 r0 r0 L


∫ d R cos θ = cos θ0 ∫ d R cos ϕ
L
R cos ϕ = x L

d  x = dx L

d  y = dy L

d z = 0
y
L
R
L

 

cos θ0 ∫ d R cos ϕ  = − cos θ0 ∫ x Ldx = 0


x
L
L

 
cos θ0  ∫ d R cos ϕ  = cos θ0 ∫ x L dy = cos θ0 S


y
L
L

 µ 0 IS 
µ 0 IS
µ0m
µ0   
 
B=3 N+3
cos
θ
y
^
r
=
+
3
( m ^ r0 ) ^ r0
(
)
0
0
0
2πr0
4πr04
2πr03
4πr05


m = IS
- moment dipolaire magnétique
coordonnées sphériques :
Br =
µ0m
sin θ0 ,
3
2πr0

d
Bθ =
µ0m
4πr03
même comme le dipôle électrique
cos θ0
ϕ
x
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
95
E
B
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
96
Force d’un champ externe sur un dipôle magnétique
1. Force résultante :
 

dF = Id  ^ B

 
⇒F=
I ∫ dr ^ B
L
Si l’axe z est choisi parallèle à m, on peut démontrer (TD), que :
Fx = m z
∂Bx
,
∂z
Fy = m z

 
F = ∇B ⋅ m
∂B y
∂z
,
Fz = m z
∂Bz
ou
∂z
  
(dipôle électrique : F = p ⋅ ∇E )
2. Moment de torsion :
   
 
=
dT r=
^ dF Ir ^ dr ^ B
(
)

  

 
  

=
T I ∫ r ^ dr =
^ B I ∫ dr r ⋅ B + B ( dr ⋅ r ) 


L
(
)
L
(
)
     
 
(d r × r ) × B = r (d r ⋅ B) − d r (r ⋅ B)
  
     
 
= r (d r ⋅ B) + d r (r ⋅ B) + r (r ⋅ dB) − r (r ⋅ dB) − 2d r (r ⋅ B)
 
 
 
= d r (r ⋅ B) − r (r ⋅ dB) − 2d r (r ⋅ B)
[
]
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
97
 I
  
  
=
⋅
+
T
2dr
r
B
I
B
( dr ⋅ r )


∫
∫
2L
L
(
)
  
   
  
I

=
−  ∫ ( dr ^ r ) × B + ∫ d r r ⋅ B − ∫ r r ⋅ dB


2L
L
L
(
)
(
)
  

 + I ∫ B ( dr ⋅ r )
 L
 
 
I      1
≈ −  ∫ dr ^ r  × B + IB ∫ d ( r ⋅ r ) =IS ^ B
2 L
2L

  
T=m^B
  
(dipôle électrique T = p ^ E )
Conclusions :
1. Si le moment du dipôle magnétique est parallèle à B, pas de
torsion
2. La force générale ~ Grad B (et pas à B)
3. Le champ du dipôle – comme le champ d’un aimant
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Interactions magnétiques
Pour l’instant :
I. Champ :
1. Champ créé par une charge en mouvement
 µ 0q  r
B=
v^ 3
4π
r
2. Champ créé par un élément de courant :
 µ 0 I  r
B=
d  ^ 3 (Biot-Savart)
4π
r

 µ 0  dˆ
3. Champ de fil droit B =
(d – distance de fil)
I^
2πd
d
4. Champ de boucle de courant : dipôle magnétique
II. Force magnétique sur
1. Charge

 
F = qv ^ B (partie magnétique de la force de Lorentz)
effet Hall, mouvement cyclotron
 

2. Elément de courant : dF = Id  ^ B - loi de Laplace

 
3. Fil droit : F = I L ^ B

 
4. Dipôle magnétique : F = ∇B ⋅ m (force résultante)
  
T = m ^ B (moment de torsion)
98
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
99
Maintenant :
III. Interactions entre les ‘éléments’ magnétiques
1. Force sur une charge en mouvement exercée par une ligne
droite de courant

 µ 0  dˆ
B=
I^
2πd
d

 µ
  ˆ
F = 0 qIv ^ L 0 ^ d
2πd

 
F = qv ^ B ,
(
)
Pour v – parallèle à I :
v
d
B
L0

 µ0
F=
qIvd̂ - force de l’attraction ou de la répulsion par la
2πd
ligne
2. Force entre deux lignes de courant parallèle :
 µ0

 µ0
F=
I1q 2 v 2d̂ =
I1I 2 L 2d̂
2πd
2πd


F µ
⇒ = 0 I1I 2d̂
L 2πd
e.g. courant I = 50 A, d = 1 cm :
d
F / m = 4π10− 7.50.50 / 2π10− 2 N / m = 0.05 N / m
Courants co-directionnels : attraction
contre-directionnels : répulsion
(les mesures faites par Ampère)
I1
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
100
Théorème d’Ampère
Circulation de champ magnétique est égale à la somme des
 
courants multipliée par µ 0 : ∫ B ⋅ dc = µ 0
C
I4
I6
I5
I3
I6
I2
∑I
encerclés par C
I1
S
C
dc
Remarques :
1. Les contributions
de I 1,3,4 > 0
de I 2,5 < 0
de I 6 = 0
2. Le théorème ne dépend pas de S (C – contour de S)
3. Il joue le même rôle pour calculer le champ magnétique que
le théorème de Gauss pour le champ électrique
4. Il représente la forme intégrale de la quatrième équation de
Maxwell (cas statique)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
101
Démonstration :
1. Une ligne de courant droite :
Β
dc
r
ϕ
µ I
dB = 0
2πr
 
B
∫ ⋅ dc = ∫ BdcB = ∫ Brdϕ
C
=
C
µ0I 1
µ0I
ϕ
=
rd
dϕ
∫
∫
2π r
2π
C
∫ dϕ =
C
C
C
C
2π - la prolongation de d traverse C
0 - la prolongation de d ne traverse pas C
ϕ
ϕ
Remarque : car B⊥I et B⊥r ,
⇒ dc B = rdϕ pour chaque C (circulaire ou non, plat ou non)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
102
2. Cas général (ou presque – Ampère utilisa trois expériments)
dBd =
µ0Id
4πR
3
z
R cos θ
O
dc
ϕ
µ 0I rdθ cos3 θ r
=
cos θ
4π cos 2 θ r 3 cos θ
r
θ
R
rdθ 
z

=
tg
θ
⇒
dz
=
d
=

2 
r
cos
θ



r
dl
R =



cos θ
µ I cos θ
µ I cos θ
dθrdϕ
⇒ dBd = 0
dθ ⇒ ∫ dBd dc B = 0 ∫
4π r
4π
r
C
Ο
C
Ο
ϕ
ϕ
Ο – à l’extérieur- le contour est passé 2 fois dans les directions
opposées : dϕ = 0 .
∫
C
O – à l’intérieur :
∫ dϕ = 2π
C
µ0I
cos θdθ
⇒ ∫ dBddc B = 2
0
C
1
=
µ
dBdc
I
B
0
∫
2
C
=0
+π / 2
∫ d sin θ = µ0I
−π / 2
O – à l’intérieur
Ο – à l’extérieur
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
3. Cas plus général
(e. g. la preuve ne
marche pas pour le
courant suivant :)
Si on considère un seul segment,
les résultats sont différents :
prenons une ligne pour z < 0 (ou >0)
∫ cos θdθ = 1 et non 2
z<0
Question : Un segment – existe-t-il ?
Oui : une ligne entre les deux sphères chargées
Mais ce cas n’est pas statique – on verra plus tard
103
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
104
Théorème de Stokes :
 
∫ F ⋅ dc =
C
 
∫ rotF.dS
S
SC
C
dc
preuve (comme le théorème d’Ostrogradski-Gauss) :
S – divisée en deux :
 
∫ F ⋅ dc =
C
 
∫ F ⋅ dc +
C1
 
∫ F ⋅ dc
S
C2
C
(les contribution des parties
internes s’annulent)
S – divisée en N parties :
 
∫ F ⋅ dc
  N   N Cj
∫ F ⋅ dc = ∑ ∫ F ⋅ dc = ∑
j=1 C j
C
j=1
Sj
Sj
espérons que la
 limite
 suivante existe et appelons cette limite
rotationnel de F (rot F ) :

 
rotF ⋅ N̂ = lim

(
)
Par exemple : rotF x
 
F
∫ ⋅ dc = lim
(
Cj
Sj
 
= rotF ⋅ x̂ , etc.
S j →0
 
F
∫ ⋅ dc
∑Sj
Cj
Sj
S j →0 j
C

∫ F ⋅ dc
)
∞
= ∑ lim S j lim
j=1 S j →0
 
 
= ∑ lim S j rotF.N̂S = ∫ rotF.N̂Sds
∞
j=1S j →0
S
 
F
∫ ⋅ dc
S j →0
Cj
Sj
dc
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
105
L’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes
 
Boucle rectangulaire avec N̂ = ẑ :
y
3
4
2
1
x
 
F
∫ ⋅ dc = ∫ Fx dx + ∫ Fydy + ∫ Fx dx + ∫ Fydy
C
1
2
∫ Fx dx + ∫ Fx dx ≈
1
3
+
≈
x + ∆x
∫
x
4
∂Fx ( x , y) 

(
)
F
x
,
y
x  dx
+
x

∂x

x
∂Fx ( x , y + ∆y) 

(
)
x  dx
+
∆
+
F
x
,
y
y
∫  x
∂x

x + ∆x
x + ∆x
∫
x
−
3
∂Fx ( x , y) 

(
)
+
F
x
,
y
x  dx
 x
∂x

x + ∆x 
∫
x
≈−

∂Fx (x , y )
∂Fx ( x , y)
∂ 2Fx ( x , y)
(
)
+
∆
+
+
∆
F
x
,
y
y
x
yx
 x
 dx
∂y
∂x
∂x∂y


x + ∆x
∫
x
 ∂Fx (x , y ) 
∂Fx (x , y )
∂Fx (x , y )
∆
y
dx
y
x
≈
−
∆
∆
=
−
∆s
 ∂y

∂y
∂y


E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
même :
∫ Fydy + ∫ Fydy ≈
2
4
∂Fy
∂x
106
∆s
(rotF)z = ∂Fy − ∂Fx ;


(rotF)y

(rotF)x
∂x
∂y
∂F ∂F
= x − z;
∂z
∂x
∂Fz ∂Fy
=
−
∂y
∂z
Rotationnel de B :
def.

 Stokes
 
 
∫ rotB.dS = ∫ B ⋅ dc = µ0 ∑ I j = µ0 ∫ J.dS
SC
C
Ampère


rotB = µ0 J
j
pour chaque S
Sc
(J – densité de courant)
Rotationnel de E :
Déjà vu :
B

q ∫ E ⋅ dc = WBA - travail pour déplacer q entre A et B ne
A
dépend pas du chemin AB
  B  A 
∫ E ⋅ dc = ∫ E ⋅ dc + ∫ E ⋅ dc = 0
C
A
B

⇒ rotE = 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
107
Les équations principales d’électrostatique et
magnétostatique
Forme différentielle :

rotE = 0
intégrale :
sens physique :
 
∫ E ⋅ dc = 0
force conservative
C
 ρ
divE =
ε0
  Q VS
E
∫ ⋅ d s = ε0
conservation de charge
S


rotB = µ0 J
 
∫ B ⋅ dc = µ 0 I C
courants stationnaires
C

divB = 0
 
∫ B ⋅ ds = 0
pas de charge magnétiques
S
Conséquence pour J : div(rotB) = 0

⇒ divJ = 0
Valable pour des courants stationnaires (qui ne dépendent pas de

 
temps) : divJ = 0 ⇔ ∫ J ⋅ d s = 0 - flux de courant à traverse
S
d’une surface fermée est nul (si non, on va avoir l’accumulation
de charges).
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
108
Le théorème d’Ampère joue le même rôle en magnétostatique
que le théorème de Gauss en électrostatique (on a vu que le
théorème de Gauss pour le champ magnétique n’est pas très utile
pour calculer le champ).
Exemple 1 :
µ0I =
Champ d’une ligne de courant
∫ Bd = B2πR ⇒ B =
cercle
Exemple 2 :
µ0I
2πR
B
R
Tore
r
I
vert :
∫ Bd = 2πrB = 0
C
bleu :
∫ Bd = 2πrB = 0
∑I = 0
C
rouge :
∫ Bd = 2πrB = µ0IN ⇒ B = µ0I
C
I
N
N
= µ0I
2πr
L
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Exemple 3 :
109
Champ d’un solénoïde (bobine cylindrique)
B
I
I
z
Calculer ‘sans calculs’ :
L (longueur) >> diamètre :
1. B ne dépend pas de z loin des bouches :
H1
2. solénoïde = tore ( r → ∞ )
V1
champ à l’extérieur 0
V2
H2
r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
110
à l’intérieur :
 
µ0IN = ∫ B ⋅ dc =
C
∫ B(r)dc + ∫ 0dc + ∫ 0dc + ∫ 0dc
V1
V2
H1
H2
µ0IN = B(r )L , mais le résultat ne dépend pas de r
B = µ0In , n – densité de tours
Exemple 4 : Nappe de courant
B
B
-
J
µ0IL = B+ L − B− L ;
⇒ B+ = − B− =
symétrie : B
µ0I / L µ0J
=
2
2
+
= B−
B+
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
111
Discontinuité de champ magnétique
1. Nappe plane avec J uniforme :
B N = 0 ⇒ ∆B N = 0 ,
∆BT = µ0J et ∆BT ⊥J

ˆ 
⇒ ∆BT = NS ^ J
2. Cas général (une surface arbitraire et l’existence d’autres
sources)
BN+
a)
S+
Scyl.
S
S
∫
=
0
BN

B ⋅ dS
-
∑S


= ∫ BT ⋅ dScyl + ∫ B+N dS − ∫ B−N dS →
S+
Scyl
S−
±
Scyl →0
∫ (B
S±
+
N
− B−N ) dS
⇒ B+N =
B−N
valable pour chaque S
b)
 
µ 0JL = ∫ B ⋅ dc →
±
L
±
+
−
B
dc
−
B
∫ T ∫ Tdc =
L ⊥ →0 +
L
L−
⇒ ∆BT = µ0J ou

ˆ 
⇒ ∆BT = µ 0 NS ^ J
pour chaque L
(∫ BT+ − BT− )dc
L±
+
L⊥
BT
-
L
-
L
BT
+
J
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
112
Force magnétohydrodynamique
Si B 1 et B 2 sont des valeurs tangentielles du champ magnétique
aux deux côtés de surface d’une nappe de courant ayant une
densité de courant J :
BT,moyen =
Champ moyen :
1
(B1 + B 2 )
2
1
(B1 + B2 ) J
2
1
1
B12 − B22
= (B1 + B2 ) (B1 − B2 ) =
2
µ0
2µ 0
La force sur 1m2 :
F/S =
Sans champ externe B1 = B2 : pas de force.





Dans champ externe Bext =B N + B/ / J + B⊥ J , la partie normale

à le surface B N va dévier le courant dans le plan de la nappe, la

partie parallèle au courant B/ / J ne va pas réagir sur le courant et
la partie tangentielle de la nappe et perpendiculaire au courant
B⊥ J va s’ajouter au composants tangentielles du champ créé par
le courant de la nappe B 1 et B 2 (qui ont les signes différentes à
deux côtés de la nappe) :
FN
S
B + B ) − (B − B )
(=
1

⊥J
2
1
2µ 0

⊥J
2
2 J B⊥ J
Cette force va dévier le courant en direction perpendiculaire de
la nappe.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
113
Potentiel vecteur
Pour le champ électrique on à introduit le potentiel :
V=
∫
Volume
ρv
dv
4πr
et le champ électrique est égal au gradient V :


E = −∇V .
Pour le champ magnétique ça n’est marche pas, car rotB ≠ 0 est


∇ ^ ( ∇U ) = 0, ∀U ( ∇ est parallèle à ∇ U).
On peut introduire une fonction vectoriel, appelée potentiel
vecteur :


A : B = rotA .
La deuxième équation pour B ( ∇ ⋅ B = 0) est automatiquement
satisfaite pour A.
Comme le potentiel électrique, A est défini à une fonction près :
Si



A → A′ = A + gradϕ ⇒ B reste le même.
Au lieu d’ajouter gratϕ, on est libre de choisir différemment
divA :


′
divA = divA + ∇ 2ϕ ⇒ pour chaque A on peut choisir ϕ :


∇ 2ϕ = −divA ⇒ divA′ = 0 sans changement de rotA.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
114
En magnétostatique la meilleur choix est divA = 0 (on verra
immédiatement pourquoi).
Détermination de A :


rotB = µ 0 J


⇒ rot (rotA) = µ0 J est-ce que cette équation est plus utile ?
Utilisons divA = 0 :




2
rot (rotA) = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A = µ 0 J
Ca représente 3 équations de Poisson pour les trois composants
de A :
∇ 2A x , y, z = −µ0J x , y, z
2
Rappel pour le potentiel électrique : ∇ V = −
ayant la forme :
1
V ( x , y, z ) =
4πε0

µ
⇒ A ( x , y, z ) = 0
4π
???
∫
volume
de toutes
les ch arg es
∫
volume
de tous
les courants
divA = 0
ρ
avec solution
ε0
x , ~y, ~z ) ~
ρ(~
 ~ dv
r−r
 ~~~
J ( x , y, z ) ~
 ~ dv
r−r
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
   µ0
∇( r ) ⋅ A ( r ) =
4π
µ
=− 0
4π
∫
VJ
∫
VJ
115
 ~
 1
 J ( r ) ~ µ0  ~
(
J
(
r
)
r )  ~ d~
v
⋅
∇
∇( r ) ⋅  ~ dv =
∫
4π
r−r
r
r
−
V
 1
 ~
~
J ( r ) ⋅ ∇( r )  ~ d~
v
r−r
J
divJ = 0
   
 1  ~
 ~
1
~
~
~
∫  ∇(r )⋅ J ( r ) r − ~r + J ( r ) ⋅ ∇(r ) r − ~r dv

VJ 
 ~
 ~
 ~



J( r )
µ J( r ) ⋅ ds ( r )
µ
v=− 0∫
= − 0 ∫ ∇(~r ) ⋅   ~  d~
 ~
4π
4
π
r
r
r−r
−


VJ
S
µ
=− 0
4π
[
]
µ 0  ~  ~
J ( r ) ⋅ d s ( r ) = 0 pour les courant stationaires.
4π ∫
S
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
116
L’induction électromagnétique
1. Un fil avec un courant constant produit un champ magnétique
constant.
2. Un fil avec un courant constant placé dans un champ
magnétique constant est soumis à une force perpendiculaire
au courant.
Question : est-ce que le champ magnétique peut créer un courant
électrique ?
I.
Quelques expériences de Faraday (entre 1831 et 1839) :
interrupteur
aiguilles
aimantées
batterie
deux bobines
6 couches
chacune
bobine
de fil
bobine de fil
galvanomètre
Deux aiguilles – la première pour compenser l’influence du
champ magnétique terrestre. La déviation de la deuxième
mesure le champ magnétique créé, donc le courant induit.
Interrupteur branché ou non – pas de déviation. Seulement
pendant le branchement et de débranchement l’aiguille bouge.
Pour mesurer plus précisément ce mouvement
Faraday remplaça le galvanomètre par un autre
détecteur qui ‘écrivait’ les changement de court
durée - une bobine et une tige d’acier nonaimanté : le courant induit amènent la tige dans
un sens ou l’autre.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
117
Deuxième expérience : deux plaques de cuivre ; en
rapprochant et écartant les plaques l’aiguille de galvanomètre
vibre
batterie
galvanomètre
Conclusions :
Le courant électrique est induit :
a) par changement de courant inducteur
b) par mouvement relatif des fils
Quand les fils s’approchent, le courant induit est opposé au
courant inducteur.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
118
Explication :
Mouvement de charges dans un champ magnétique crée une
force sur des charges
Exemple 1 : Tige conductrice en mouvement dans un champ
magnétique uniforme
B
Les charges libres sont soumises à
une force

 
F = qv × B
F
v
Elles se déplacent en direction de
la force et un champ électrique est
créé. En équilibre


q E = −F .
Pour étudier les courants, regardons une boucle en mouvement
inertiel dans un champ uniforme :
La redistribution des charges
crée un champ électrique qui
compense la force de Lorentz,
le mouvement de charges
relatif à la boucle est arrêté.
B
F
E=-F
(La boucle doit inclure les
détecteurs)
Conclusion : mouvement dans un champ magnétique uniforme
ne crée pas de courant.
v
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
119
Exemple 2 : Un contour rectangulaire en mouvement inertiel
dans un champ magnétique non-uniforme
B1
L
B1 > B2 ⇒ F1 > F2
W
La différence des forces
crée un courant électrique
(aussi en équilibre !)
F2
F1
B2
Force électromotrice : le travail par unité de charge
1
vdt
 v ( B1 − B2 ) W
=
F ⋅ ∆=
( B1 − B2 ) W
q
dt
 −Φ

 +Φ
 −Φ
 −Φ

B1WdL − B2 WdL
Φ
Φ
2
1
2
1
=
=
−
=
−
dt
dt
dt
dΦ
Φ − Φ1
Φ (t + dt) − Φ (t)
=
− 2
=
−
=
−
dt
dt
dt

=
~
Φ
B1
L
W
t
v
dΦ
d  
−
=
− ∫ B ⋅ dS
=
dt
dt SC
1  
 = ∫ F ⋅ d  =
qC
B2
 
∫ E ⋅ d  =
C
 
∫ rotE ⋅ dS
SC
t+dt
vdt


dB
⇒ rotE = −
dt
v
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
120
Exemple 3 : un contour arbitraire dans un champ stationnaire

  
1  
 
− ∫ B ⋅ v ^ d 
 =∫ F ⋅ d  =
∫C v ^ B ⋅ d  =
qC
C


1  
1    
= − ∫ B ⋅ vdt ^ d  =
− ∫ B ⋅ ( r + dr − r ) ^ d  
B −stationaire dt 
dt C
C

1   
1   
=
− ∫ B ⋅ ( r + dr ) ^ d   + ∫ B ⋅  r ^ d  
dt
dt
(
(
)
(
)
)
C
C
1  
1  
Φ (t + dt) + Φ (t)
dΦ
=
− ∫ B ⋅ dS(t + dt) + ∫ B ⋅ dS(t) =
−
=
−
dt C
dt C
dt
dt
dS

 
r × d  = dS
r+dr
dr = vdt
r
dl
Remarque : l’équation est valable aussi pour la déformation du
contour, pas seulement pour son déplacement
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
121
Exemple 4 : Une boucle stationnaire avec la source du champ
en mouvement
Principe d’équivalence des systèmes inertiels
résultat
même
v
v
Exemple 5 : La source et la boucle stationnaires, le champ
changeant
Réponse instantanée – pas de courant induit
Relativité restreinte : le changement se propage avec la
vitesse c :
B+dB B
c
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
122
système
équivalant
moment t : B
t + dt : B + dB
 = (B1-B2)cW = -dBcW
= -d(BLW)/dt = - dΦ/dt
B+dB B
c
L
W
Règle la plus générale (la loi de l’induction électromagnétique) :
=-
dΦ
dt
Si la force électromotrice s’applique dans un circuit, elle crée un
courant électrique, qui crée un champ magnétique ayant la
direction opposée au changement qui l’induit. Cette règle
s’appelle loi de Lenz. Cette loi exprime la loi générale de la
nature que chaque système a la tendance de s’opposer au
changement.
On à déjà démontré, qu’à partir de la loi d’induction :


∂B
rotE = −
∂t
une (la première) des équations de Maxwell

(en électrostatique rotE = 0 )
Remarque importante : cette loi est aussi valable si il n’y a pas
de circuits est de charges !
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
123
Inductance mutuelle
Prenons deux circuits C 1 et C 2 ayant une géométrie fixée. Si le
circuit C 1 est alimenté avec un courant I 1 , le flux Φ 21 du champ
magnétique B 1 , crée par C 1 , à travers de C 2 est proportionnel au
I1 :
Φ 21 = M 21I1.
Soit la variation de I 1 est lente. Si non, les points différents de
C 2 recevraient dans un moment fixé l’information différente de
I 1 , car cette information se propage avec la vitesse de la lumière
c.
dI1 L 2
<< I1 , ou L 2 est la longueur de C 2 .
dt c
Dans ce cas, la force électromotrice induite dans C 2 est donnée
par :
dΦ 21
dI
 21 =
−
=
− M 21 1 .
dt
dt
M 21 – coefficient d’inductance mutuelle
C1
I1
dl1
r12
dl2
C2
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
124
Propriété : M 21 = M 12 .
La preuve :


Φ 21 = ∫ B1 ⋅ dS2 =
S2
 
∫ rotB1.d 2 =
C2
µ
⇒ M 21 = 0
4π
 

 d 1 .d  et
∫  ∫ r21  2
C 2  C1

mais r 21 = r 12
M 21 = M 12
 
∫ A1.d 2 =
C2
M12
µ
= 0
4π
 

 µ 0 I d 1 .d 
∫  4π 1 ∫ r21  2
C2 
C1

 

 d  2 .d 
∫  ∫ r12  1
C1  C 2

E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
125
Courant de déplacement
Problème I : déjà


rotB = µ 0 J

divJ = 0 - magnétostatique (mouvement
∂ρ
stationnaire de charges :
= 0)
∂t
Si les charges peuvent changer la densité ?
Conservation de charges :
 
∂Q V
(signe moins, parce que J est dirigé vers
⋅
=
−
J
d
S
∫
∂t
SV
l’exterieur)
 

∫ J ⋅dS = ∫ divJdV

∂ρ
pour ∀ V ⇒ divJ = −
∂Q V
∂ρ
∂t
= ∫ dV
∂t
∂t
SV
V
V
contradiction




mais, rotB = µ 0 J ⇒ µ 0divJ = div( rotB) ≡ 0
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
126
Problème II :
 
Théorème d’Ampère : ∫ B ⋅ d  = µ 0
SC
∑I
pour chaque S
∈ SC
Soit un condensateur chargé. Fermons le circuit par une
résistance et appliquons le théorème d’Ampère pour une courbe
C autour de fil.
S2
Sur S 1 :
S1
2πR C B = µ0I( t )
mais on peut utiliser la
surface S 2 qui passe
entre le plaques où I = 0.
C
R
I
Remarque : on a déjà discuté qu’on ne peut pas utiliser le
théorème d’Ampère pour les segments ouverts et c’est le cas !
Maxwell (1865) ajouta au courant des charges un autre courant
J d , appelé ‘courant de déplacement’ :
  
J → J + Jd :


∂E
Jd = ε0
∂t



∂E
et l’équation pour rotB ⇒ rotB = µ 0 J + µ 0ε0
.
∂t
Questions :
1. Pourquoi exactement ce terme ?
2. Pourquoi Faraday ne l’a-t-il pas découvert ?
3. Quels sont les conséquences ?
B
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
127

∂E
Pourquoi + ε0
?
∂t

∂ρ
Conservation de la charge ⇒ divJ = −
∂t
 ρ
Mais
divE =
ε0


 ∂ρ


∂E
∂E 
⇒ 0 = divJ +
= divJ + ε0div
= div J + ε0 
∂t
∂t
∂t 


 
∂E
et si J → J + ε0
1) la charge est conservée
∂t

2) div( rotB) = 0 est satisfaite.
Conséquence I : Un champ électrique en train de varier induit
un champ magnétique.
Pourquoi Faraday ne l’a-t-il pas découvert ?
I
Retournons au condensateur :
 
∫ B ⋅ d  = 2πR Γ1 B
B
S2
Γ1
E
Г2
S 1 : 2πR Γ B=µ0I
1
 
S 2 : 2πR Γ B = ∫ B ⋅ d  =
1
Γ1
∂
=
ε 0µ 0
∂t
E ≠ 0 à l'interieur
S1
Г1
 
∫ rotB ⋅ dS = ε0µ0
S2
∫
Γ2

∂E 
⋅ dS
∂t
 
∂ Q
E
⋅
d
S
=
ε
µ
= µ0I
0 0
∫
∂t ε0
S1 +S2
même résultat en mesurant I ou ∂E ∂t
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
128
En fait, la seule raison est que le courant de déplacement
n’affecte pas l’équation responsable pour l’induction
rotE = − ∂B ∂t .
Si ∂E ∂t est obtenu par le changement de courant, son effet
direct, donne par la deuxième partie de l’équation



∂E
est bien masquée par la première partie.
rotB = µ 0 J + µ0ε0
∂t
Pour détecter directement l’influence de la deuxième partie il
faut ou
1) que la variation de champ électrique se produit pendant le
temps que met la lumière pour traverser l’appareil, ou
2) qu’il n’y a pas de courant des charges (e.g., les ondes dans le
vide, détectées 20 ans plus tard (1888) par Hertz
Conséquence II :
Les équations de Maxwell :


∂B
rotE = −
∂t
l’équation d’induction



∂E
rotB = ε0µ0
+ µ0 J
∂t
le
 ρ
divE =
ε0
la conservation de la charge et la loi

divB = 0
l’absence de charges magnétiques
théorème
d’Ampère
+
la
contribution de Maxwell
de Coulomb
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
129
Conséquence III : Les ondes électromagnétiques.
Sans charges et courants :


∂B
rotE = −
∂t

divE = 0


∂E
rotB = ε0µ0
∂t

divB = 0



∂
∂ 2E
⇒∇^ ∇^E = −
∇ ^ B = −ε0µ 0 2
∂t
∂t
(
)
(
)
2
2



∂ E
∂ E
⇒ ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2E = −ε0µ 0 2 ⇒ ∇ 2E − ε0µ 0 2 = 0
∂t
∂t
rien que l’équation de propagation d’onde dans le temps et
l’espace
e.g. une solution – l’onde plane monochromatique :
 
E = z 0E 0 sin(kx − ωt ) ; k – fréquence spatiale (nombe
d(onde),
ω – fréquence temporel circulaire
Observations :
2
2
1. k = ε0µ 0ω , mais
ω
= v - la vitesse de propagation de
k
l’onde. Maxwell nota que numériquement pour la vitesse de la
lumière :
c = v = ε0µ0
et conclut que la lumière est une onde électromagnétique
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique


∂B
2. rotE = −
,
∂t
130
 
rotE = y0k cos(kx − ωt )
  k

⇒ B = y0 sin( kx − ωt ) = y0 B0 cos(kx − ωt )
ω
avec cB0 = E 0 ,
donc l’onde électromagnétique est une onde transversale : E et B
sont perpendiculaires à la direction de propagation.
moment t :
y
B
z
E
x
y
moment t + dt :
B
z
E
x
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
131
Propriétés magnétiques des matériaux
Rappel :

 
force résultante sur un dipôle magnétique : F = ∇B ⋅ m


( m = IS - moment dipolaire magnétique)
  
moment de torsion : T = m ^ B
Dans électrostatique :
moment dipolaire électrique
permanent
induit
Le moment permanent est tourné dans la direction de E,
le moment induit est induit dans la direction de E.
1) le champ induit interne diminue le champ externe
2) les diélectriques et les conducteurs (neutres) sont retirés dans
la direction d’augmentation du module du champ électrique

   
F = p.∇E , p moyen ∝ E
Champ magnétique ?
Solénoïde – spire de courant, ou boucles multiples coaxiales, ou
nappe cylindrique de courant (identiques) :
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
132
B
I
Observations :
1. Objet placé dans le milieu (B plus fort) - pas de force (champ
uniforme ou équilibre instable)
2. La force est plus forte près des bouts ( ∇B plus grand)
3. Trois types de réaction :
- répulsion (eau, cuivre, diamant ... diamagnétiques)
- attraction (sodium, aluminium, oxygène liquide …
paramagnétiques)
- forte attraction :104 fois plus forte (fer, magnétite ferromagnétiques)
4. La direction ne dépend pas de la direction du courant
5. F ∝ B pour les ferromagnétiques
F ∝ B2 pour les dia- et paramagnétiques
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
133
Explication :
1. Diamagnétisme – création de dipôles induits
2. Paramagnétisme – réorientation de dipôles existants
3. Ferromagnétisme – l’existence de grand nombre de dipôles
non-compensés
Les électrons dans les atomes et les molécules – comme boucle
de courant

ev
evR 


m = IS = −
û
πR 2û = −
2πR
2
moment orbital :


L = m e vrû
−

û
v
e 

L
⇒m=−
2m e
e
- facteur gyromagnétique (magnétomécanique) orbital
2m e
L’électron possède un autre moment cinétique – le spin

h
Lspin =
4π
ou h est la constante de Planck.
Le moment magnétique associé :
e 
eh

(le facteur gyromagnétique est
mspin = −
Lspin = −
me
4πm e
2 fois plus grand)
Dans le champ magnétique externe B le spin et le moment
orbital magnétique doivent s’orienter dans la direction de B
(dipôles magnétiques). Ca va créer une force d’attraction –
paramagnétisme.
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
L’agitation thermique et les forces moléculaires tendent de
désorienter le rangement d’une façon chaotique. Le résultat est
que le champ magnétique induit est proportionnel au B et
inversement proportionnel à la température T.
Mais les lois de la mécanique quantique exigent que les
électrons sont groupés par paires, avec le spin et le moment
orbital dans chaque paire en direction opposés. Ca annule
complètement l’effet paramagnétique dans les molécules qui
regroupent des électrons par pairs.
Quelques molécules seulement contiennent un nombre
d’électrons impairs.
Quelques atomes (e.g. fer) contiennent électrons avec spin non
apparié.
Les conducteurs ayant les électrons libres ont un comportement
paramagnétique.
134
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
135
-
e
Et le diamagnétisme ?
v
R
Un électron pour B externe = 0 :
Augmentation du champ magnétique B doit créer un champ
électrique (l’induction de Faraday) :
 
2 dB
.
E
d
2
RE
R
⋅

=
π
=
−
π
∫
dt
-
e
E
B
E doit accélérer la charge :
me
E
dv
eR dB
= −eE =
dt
2 dt
eR
∆v =
∆B
2m e
v
R
-
e
B
R
Les vitesses des électrons vont changer : ± v → ± v + ∆v . Ca
va être équivalent à un changement de la vitesse angulaire
∆ω =
∆v
e
=
B (appelée fréquence de Larmor).
R 2m e
Le changement de moment dipolaire magnétique :
e2R 2 
 − eR
∆m =
∆v = −
∆B
2
2m e
est dans la direction opposée au changement de B,
indépendamment du signe de charge et de la direction de
rotation (loi de Lenz).
Donc, aussi pour les électrons appairés le champ uniforme
externe B va créer un moment magnétique opposé au B (et
proportionnel au B). Ca va créer une force de répulsion – le
diamagnétisme.
v+∆v
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
136
Question : la vitesse a changé, le rayon non – qu’est-ce qu’il se
passe avec l’équilibre des forces ?
e2
Sans B :
me v 2
=
2
R
4πε0R
Avec B :
m e (v + ∆v )2
+ e(v + ∆v )B =
2
R
4πε0R
e2
?
En négligeant (∆v )
2
∆v =
2m e
me v2
m e v∆v
ev
v
2
+
∆
≈
+
eR
R
R
4πε0R 2
e2
eR
B
2m e
OK
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
Le ferromagnétisme :
Paramagnétisme extrême : les calculs très simples à partir des
mesures de la magnitude d’effet et l’équation
e2R 2 
 − eR
∆m =
∆v = −
∆B
2
2m e
montre que le ferromagnétisme inclue entre 1 et 2 électrons par
atome. En fait, ces sont les effets quantiques : certains états de
matériaux ferromagnétiques sont plus probables (l’énergie plus
bas) si tous les spins et moments magnétiques d’électrons non
appairés sont alignés – alignement spontané.
Les domaines macroscopiques (les dimensions dépendent de la
température) ont le moment magnétique non nul. Ces domaines
sont alignés facilement en parallèle au champ magnétique
externe.
137
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
138
Champ H, susceptibilité et perméabilité magnétique
Le moment magnétique total par unité de volume :
M – polarisation magnétique ou aimantation
Par analogie avec le champ électrique (P = χe E) on peut introduire la
susceptibilité magnétique χ m : M = χ mB, mais habituellement on
utilise un autre vecteur H :


B 
H=
− M - champ H, ou champ magnétique ;
µ0
B – induction magnétique
Pourquoi ?
A l’extérieur d’un milieu magnétique H ~ B. A l’intérieur, H exprime
le champ magnétique créé par le courants libres et par les sources
externes, hors des sources magnétiques internes, créées par le courants
liés :
 
 



J total = J liés + J libres , rotM = J liés ⇒ rotH = J libres
En fait, dans l’expérience physique, on s’intéresse au champ créé par
les courants libres, qui sont variés et mesurés.
Dans les cas statiques l’analogie avec E et plus prononcée pour H que
pour B :

 
rotE = 0 ⇔ rotH = J libres = 0 sans courants libres même pour les
milieux magnétisés et non-magnétisés.
Sans aimantation
= 0



divE = 0 ⇔ divH = −divM 
≠ 0 Avec aimantation

(‘charges’ magnétique)
E. Popov : Electrostatique et Magnétostatique
139
Par analogie avec E, ou le vecteur de polarisation de milieu P = χ e E :
susceptibilité magnétique χ m : M = χ mH

 


⇒ B = µ 0 (H + M ) = µ 0 (1 + χ m )H = µH avec
µ = µ 0 (1 + χ m ) - perméabilité magnétique
Paramagnétiques : µ > µ 0
(pour les diélectriques toujours ε ≥ ε 0 )
Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont attirées :
Diamagnétiques : µ < µ 0
Dans un champ externe uniforme les lignes du champ sont repousées :