Exercices : Electrostatique

ELECTROSTATIQUE - MAGNETOSTATIQUE page 1/6
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MP 2016/2017
Exercices : Electrostatique- Magnétostatique
Electrostatique
EMG 001 : Champ crée par des charges ponctuelles
On considère un triangle équilatéral ABC de côté a. On place en A la charge +q et en B la charge -3q (q>0).
a) Montrer qu’il existe sur la droite AB, un point M où le champ électrique crée est nul. Donner la position
de M.
b) Donner les caractéristiques dans le repère orthonormé (BCx, By), du champ crée aux points C, G centre
de gravité du triangle, A’ et B’ milieux respectifs de BC et de AC.
c) Reprendre la question précédente en calculant cette fois les potentiels électrostatiques aux points C, G, A’
et B’.
Applications numériques : a = 5 cm, q = 2 nC
EMG 012 : distribution de charge à symétrie sphérique
On considère, dans le vide, le champ électrostatique )M(E créé, au point M, par une répartition de charges à
symétrie sphérique de centre O. On pose
.
r
OM r e
=
Ce champ est radial et ne dépend que de r :
( )
E M
= E ( r ) .
r
e , La valeur algébrique E ( r) est donnée par les
expressions :
E ( r ) = k /2ε
o
pour r
∈
[ 0, R ] ;
E ( r ) = k R
2
/(2ε
o
r
2
) pour r
∈
[ R, +
∞
[ ;
k et R sont des constantes positives.
1- Potentiel électrostatique V(r)
On pose, par convention, lim V(r )
+∞
→
= 0
1-1- Déterminer le potentiel V ( r) de cette distribution de charges, pour les valeurs suivantes de r :
a) r
∈
[ 0, R ]
b) r
∈
[ R, +
∞
[ ;
1-2- Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction V(r).
2- Charge volumique ρ(r)
On définit la charge volumique par :
ρ( r ) = ρ
1
(r) pour r
∈
[ 0, R ] ;
ρ( r ) = ρ
2
(r) pour r
∈
[ R, +
∞
[ ;
2-1- En appliquant le théorème de Gauss à l’intérieur de la sphère de rayon R, déterminer l’expression de ρ
1
(r).
2-2- A partir du résultat du 2-1 et en appliquant le théorème de Gauss à l’extérieur de la sphère de rayon R,
montrer que ρ
2
(r) = 0.
2-3-Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction ρ(r).
3- Charge totale q
0
3-1- Déterminer, en fonction de k et de R, la charge totale q
o
de cette répartition de charges à symétrie sphérique.
3-2- Montrer que pour r > R, cette distribution volumique est équivalente, d’un point de vue électrostatique, à une
charge électrique ponctuelle q
0
placée au point O.

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EMG 015 : modélisation de l'atome d'hydrogène
On modélise l'atome d'hydrogène par un proton fixe en O et le nuage électronique par un électron en mouvement
sans trajectoire précise. Le potentiel électrostatique créé par l'ensemble est à symétrie sphérique et est de la forme
:
0
0
( ) exp( / )
4
e
V r r a
r πε
= − ; où e est la charge positive de l'électron, r en coordonnée sphérique et a
0
une
constante (par exemple le rayon de la première orbite de Bohr).
a) Calculer le champ
E
en tout point de l'espace.
b) Vérifier que la charge totale de l'espace est bien nulle (atome neutre) et qu'en O il y a une charge concentrée
correspondant au proton ;
EMG 061 : Symétries
Soit un plan repéré par les axes (Ox) et (Oy). Une charge q placée en P crée un champ électrostatique qui vaut le
vecteur représenté au point M. Nous faisons suivre la même transformation aux points P et M.
~
Représenter le champ
E
cours de ces transformations.
(P,M)
translation
→
(P
1
,M
1
)
(P,M)
'rotation d angle α
→
(P
2
,M
2
)
(P,M)
( )symétrie par rapport à yOz
→
(P
3
,M
3
)
(PM)
intsymétrie par rapport au po O
→
(P
4
,M
4
)
EMG 063 :deux fils parallèles de charges opposées.
Soient deux fils rectilignes infinis, parallèles à l’axe (Oz) et d’équations cartésiennes respectives x = + a et x = - a
, de charges linéiques uniformes + λ et - λ ( λ > 0 ) . On note A
1
et A
2
leur intersection respective avec le plan
(xOy) .
Un point M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ , z ) et on note r
1
et r
2
les distances entre M et le
premier fil d’une part, M et le second fil d’autre part.
On choisit l’origine des potentiels au point O origine du repère.
1) Montrer que le champ électrique créé par un fil infini portant la distribution linéique de charge uniforme λ à
une distance r de celui-ci s’écrit :
0
.
2
r
E e
r
λ
πε
=
2) Etablir l’expression du potentiel en M en fonction de λ , r
1
et r
2
.
3) En posant k =
0 0
2
exp
V
πε
λ
, établir en coordonnées cartésiennes l’équation de la surface équipotentielle lieu
des points M tels que V (M) = V
0
. Montrer qu’il s’agit d’un cylindre dont l’intersection avec le plan (xOy) est un
cercle dont on précisera le centre et le rayon.
4) Interpréter la carte des équipotentielles et des lignes de champ tracée ci-dessous dans un plan z = cte :

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EMG 064 :Topographie du champ électrostatique - Lecture d’une carte de champ et
de potentiel électrostatiques.
On considère une distribution constituée uniquement de charges ponctuelles + q et –q (avec q > 0).
On donne ci-dessous les cartes de champ et des équipotentielles.
a) Quels sont les plans de symétrie ? d’antisymétrie ?
b) Que peut-on dire du champ électrostatique au centre ?
c) Y-a-t-il des points où le champ est nul ?
d) Commenter soigneusement les cartes de lignes de champ et d’équipotentielles
e) Conclure sur la disposition des charges.

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EMG 065 :Champ de gravitation terrestre
La Terre est assimilée à une sphère de centre O, de rayon R
T
= 6380 km, de masse M
T
= 5,98.10
24
kg,
uniformément répartie dans tout le volume.
1-a) Déterminer le champ de gravitation
T
G
en tout point de l’espace.
1-b) Tracer G
T
=
T
G
en fonction de r =
OM
.
1-c) Calculer G
0
, valeur de G
T
à la surface de la Terre.
L’étude des ondes sismiques révèle que le modèle d’une masse uniformément répartie n’est pas réaliste. Le modèle
décrit par la courbe ci-dessous est plus conforme aux observations.
2-a) Tracer sur le même graphique la courbe obtenue à la question précédente quand on supposait une masse
volumique uniforme, en précisant soigneusement le raisonnement.
2-b) Calculer la masse volumique moyenne du noyau terrestre (0 < r < R
1
).
On prendra R
1
= 3500 km.
2-c) Tracer l’allure de la masse volumique ρ (r) de la Terre. Préciser en particulier si ρ (r) est croisante ou
décroissante dans le manteau terrestre (R
1
<r < R
T
).
EMG 067 : Modélisation d’un nuage mince
On considère, dans le vide et loin de toute charge, un nuage électrique Π suffisamment étendu pour le considérer
d’épaisseur négligeable, d’équation z = h et chargé avec la densité surfacique constante négative σ .
1) Déterminer le champ électrostatique créé en tout point M de l’espace par le nuage.
2) On considère maintenant que le plan Oxy représentant le sol porte une densité surfacique opposée à celle du
nuage. Déterminer le champ électrostatique total créé par le solet le nuage pour 0 < z < h.
3) En déduire le potentiel électrostatique total créé par le sol et le nuage pour 0 < z < h sachant que V(0) = 0.
4) Le condensateur modélise un nuage carré de a = 10 km de côté à une hauteur h = 2 km.
Déterminer la capacité de ce condensateur et effectuer l’application numérique.
5) On considère maintenant un nuage d’orage. Sachant que lorsque l’éclair se forme, le champ électrique a pour
valeur 25 kV.m
-1
, déterminer le potentiel V
0
du nuage.
G
T
G
0
R
1
R
T
r

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Magnétostatique
EMG 201 : Force magnétique
On considère un ruban métallique plat de forme parallélépipédique de longueur a, de largeur b et d'épaisseur c,
plongé dans un champ magnétique uniforme orthogonal aux grandes faces du ruban.
Le métal est en outre traversé suivant son épaisseur par un courant d'intensité I uniformément réparti.
a) Calculer la force de Laplace s'exerçant sur les électrons libres du métal.
b) Monter que cette force conduit à une accumulation de charges négatives sur l'une des faces latérales du
conducteur et ainsi à un défaut de charges négatives sur la face opposée.
c) Il apparaît en conséquence une différence de potentiel U aux bornes des deux faces latérales du conducteur.
Donner le champ électrique résultant de cette ddp. Ce champ est appelé champ de hall.
d) Les électrons arrivant ensuite sont ainsi soumis aux deux forces électrique et magnétique se compensant
exactement en régime permanent. Si on appelle n la densité volumique d'électrons dans le métal, donner alors la
relation liant le champ de hall et le champ magnétique. Cet effet qui se nomme l'effet hall, est mis à profit dans
les sondes de mesure du champ magnétique.
EMG 202 : Force de Laplace
On considère un fil supposé infini selon l’axe Oz, parcouru par un
courant I. Le champ magnétique créé en tout point de l’espace par le fil
a été calculé à l’exercice .
On place un second fil rectiligne de longueur a dans le plan Oyz selon le
segment AC parallèle à Oz, à la distance h de cet axe, A appartenant à
l’axe Oy. Ce fil est parcouru par un courant I de A vers C.
1- Déterminer la résultante
F
des forces de Laplace qui s’exercent sur
le fil AC.
2- Déterminer le moment M O( ) en O des forces de Laplace qui
s’exercent sur le fil AC.
3- En déduire dans ces conditions la distance b qui sépare le point A du point K de AC, point où la force unique
F
peut être appliquée à AC.
EMG 207 :Calcul du champ magnétique créé par une spire circulaire en un point
proche de son axe
On considère une spire circulaire de rayon R, de centre O, d’axe Oz, parcourue par
le courant I
1) Montrer que le champ magnétique en un point M de son axe peut s’écrire sous la
forme :
z
0
B(M) B (z).u
=
Discuter de la parité de B
0
(z).
2) Le but de cette question est d’exprimer le champ magnétique en un point M’, à
la côte z mais à une distance r de l’axe (r est faible par rapport à R mais r
≠
0)
a) Montrer que :
r r z z
B(M') B (z,r).u B (z).u
= +
b) Quelle est la propriété fondamentale du flux du champ magnétostatique.
c) En déduire que le champ magnétostatique en M’ peut s’écrire pour r << R :
2
2
0 0
r 0 z
2
dB (z) d B (z)
r r
B(M') .u B (z) .u
2 dz 4 dz
= − + −
EMG 217: Lignes de champs magnétostatique ?
Les figures ci-dessous représentent dans le plan z = cste quelques lignes de champs bidimensionnels de la forme :
( , ) ( , ). ( , ).
x y
x y
a x y a x y e a x y e
= +
M
z
O
I
z
x
y
C
A
O
I
I
h
a