4.10 1) (a)

4.10 1) (a) Fixons un indice ioù 16i6n.
Vu que m1, m2,...,mnsont des entiers deux à deux premiers entre
eux, on a que pgcd(mi, mj) = 1 pour tout j6=i.
Il en résulte que pgcd(mi,Mi) = 1, c’est-à-dire que les entiers mi
et Misont premiers entre eux.
La proposition de la première page implique que l’équation Mix≡1
mod miadmet une solution xi.
En particulier, Mixi≡1 mod miimplique biMixi≡bimod mi,
au vu de l’exercice 4.1 1).
(b) Soit 16i6n.
Comme midivise Mjpour tout j6=i, on obtient Mj≡0 mod mi.
Par suite, bjMjxj≡0 mod mipour tout j6=i.
Il en découle que x≡biMixi≡bimod mi.
Attendu que xvérifie x≡bimod mipour tout 16i6n, il apparaît
que xconstitue une solution du système de congruences.
2) Soient xet x′deux solutions du système de congruences.
Par définition, x≡bimod miet x′≡bimod mipour tout 16i6n.
Cela signifie que x≡x′≡bimod mipour tout 16i6n.
Étant donné que les entiers m1, m2,...,mnsont deux à deux premiers
entre eux, l’exercice 4.4 implique :
x≡x′mod m1m2. . . mn
|{z }
M
c’est-à-dire x≡x′mod M .
Théorie des nombres : théorème chinois des restes Corrigé 4.10