Charge spécifique de l`électron

Exp´erience no38
Charge sp´ecifique de l’´electron
La mesure directe des grandeurs physiques de l’´electron (e−) est difficile car celles-ci
sont tr`es petites : e∼
=1.6·10−19 C, m∼ =9.1·10−31 kg. Plusieurs m´ethodes permettent
cependant la mesure de sa charge sp´ecifique e/m. La m´ethode simple et pr´ecise utilis´ee
dans cette exp´erience a ´et´e mise au point par H.Busch en 1922.
1 Mouvement d’une charge dans un champ ´electro-
magn´etique
La force exerc´ee par le champ ´electromagn´etique sur une particule charg´ee vaut :
~
F=q~ E
|{z}
force ´electrique
+µ0q(~v ×~ H)
| {z }
force magn´etique
(1)
o`u qest la charge de la particule, ~v sa vitesse, ~ Ele champ ´electrique, ~ Hle champ
magn´etique et µ0la constante d’induction (µ0= 4π·10−7Henry m−1).
Si la vitesse de la particule est petite par rapport `a la vitesse de la lumi`ere (vc),
les ´equations du mouvement s’´ecrivent :
m˙ ~v =q~ E+µ0q(~v ×~ H) (2)
1.1 Champ ´electrique nul, champ magn´etique constant
Dans ce cas, l’effet du champ magn´etique seul se d´ecrit par
m˙ ~v =µ0q(~v ×~ H).(3)
Il est important de remarquer que la force magn´etique (force de Lorentz) est toujours
perpendiculaire `a ~v et, par cons´equent, ne travaille pas. Elle ne modifie donc pas l’´energie
cin´etique de la particule (rappel : A1→2=R~ F·d~x =R~ F·~v dt=E(2)
cin −E(1) cin).
La solution de l’´equation (3) avec la condition initiale ~v(t= 0) = ~vl+~vr(o`u ~vl
et ~vrsont parall`ele et perpendiculaire `a ~ H, respectivement) est la superposition d’un
mouvement `a la vitesse constante vldans la direction du champ magn´etique et d’un
mouvement circulaire `a la vitesse radiale vrperpendiculairement `a celui-ci (voir fig. 1).
La trajectoire parcourue s’appelle une h´elice.
Le rayon rdu cercle d´ecrit s’obtient en consid´erant l’´equation du mouvement radial
mv2
r/r =µ0q vrH, d’o`u
r=mvr
µ0qH .(4)
Il est int´eressant de remarquer qu’une r´evolution compl`ete de la charge se fait dans
un temps ind´ependant du rayon de la circonf´erence d´ecrite, et donc de la vitesse vr:
T=2πr
vr
=2π
(q/m)µ0H.(5)
1

y
z
x
H
Fig. 1 – Trajectoire d’une charge (n´egative) dans un champ magn´etique constant.
Par cons´equent, si l’on consid`ere plusieurs charges ´emises d’un mˆeme endroit A, ayant
chacune une vitesse radiale diff´erente mais la mˆeme vitesse parall`element au champ, ces
charges termineront leur r´evolution simultan´ement en A0, ind´ependamment du rayon de
leur trajectoire (voir fig. 2).
q < 0
q < 0
q > 0
q > 0
y
z
x
y
z
x
AA'
A'
A,
A,
A'
A'
Fig. 2 – Trajectoires de particules ayant des vitesses radiales vrdiff´erentes.
1.2 Champ ´electrique constant, champ magn´etique nul
L’´equation (1) se r´eduit `a m˙ ~v =q~ Equi s’int`egre trivialement. La variation de l’´energie
cin´etique d’une particule entre deux points 1 et 2 de sa trajectoire vaut :
E(2)
cin −E(1) cin =A1→2=qZ2
1
~
E·d~x (6)
1
2mv2
2−1
2mv2
1=q V (7)
o`u V=R2
1~
E·d~x est la tension entre 1 et 2.
2

2 Principe de l’exp´erience
La formule (5) montre que si l’on connaˆıt la p´eriode de r´evolution Td’une particule
charg´ee dans un champ magn´etique Hconnu, on peut calculer sa charge sp´ecifique e/m.
Pratiquement, la mesure de Telle-mˆeme demanderait un appareillage trop sophistiqu´e
pour un laboratoire de premi`ere ann´ee. Par contre, comme le montre la figure 2, si au
point Ala particule est anim´ee d’une vitesse ~v =~vl+~vr, elle va d´ecrire une trajectoire
en h´elice dont le pas AA0=l, plus facile `a mesurer, sera donn´e par :
l=vlT=vl
2π
(q/m)µ0H(8)
De plus, si vlest obtenue par acc´el´eration dans un champ ~ E, l’´equation (7) est appli-
cable. Celle-ci se simplifie si on peut admettre que v1v2. Dans ce cas :
vl=s2qV
m,(9)
l=s8π2V
(q/m)µ2
0H2.(10)
D’o`u l’on peut tirer :
q
m=8π2V
l2µ2
0H2(11)
Avec :
q:charge de la particule (C) ; pour l’´electron q=−e=−1.602 ·10−19 C
m:masse de la particule (kg) ; pour l’´electron m= 9.109 ·10−31 kg
V:tension d’acc´el´eration de la particule (V)
l:longueur du pas de l’h´elice (m)
µ0:constante d’induction (Vs/Am)
V:champ magn´etique (A/m)
L’appareil permettant la d´etermination de la charge sp´ecifique de l’´electron par la
relation (11) doit poss´eder les caract´eristiques suivantes :
1. acc´el´erer les e−jusqu’`a la vitesse vlavec une tension Vconnue
2. donner aux e−, au point A(fig. 2), des vitesses vr(sans modifier vl)
3. cr´eer un champ Hhomog`ene dans lequel baignent les e−
4. permettre la mesure de l, la longueur du pas de l’h´elice r´esultant de la combinaison
de vlet H
Il peut ˆetre r´ealis´e en pla¸cant un tube cathodique dans un sol´eno¨ıde (voir fig. 2).
3

Fig. 3 – Dispositif exp´erimental : un tube cathodique est plong´e dans le champ
magn´etique d’un sol´eno¨ıde.
k:cathode chauff´ee par le filament ch., ´emet des ´electrons
a1,a2,a3:anodes d’acc´el´eration et de focalisation
D1,D2:plaques de d´eflection verticale et horizontale
H:champ magn´etique
h:trajectoire h´elico¨ıdale
A:origine apparente des h´elices
A0, A00, A000 :focalisations successives
l:longueur du pas de l’h´elice
s:sol´eno¨ıde
E:´ecran
3 Champ magn´etique, inhomog´en´eit´e
La d´etermination de e/m au moyen de la relation (11) suppose que Hest constant,
tout au moins dans le voisinage de l’axe du faisceau d’´electrons.
Le champ magn´etique produit par un soleno¨ıde dont la longueur Lest beaucoup plus
grande que le rayon Rest constant sur son axe et vaut
H=NI
L(12)
o`u Nest le nombre de spires et Ile courant dans le soleno¨ıde.
Lorsque la condition LRn’est pas r´ealis´ee, comme dans le cas de cette exp´erience,
le champ Hpeut ˆetre calcul´e `a partir de la loi de Biot et Savart (fig. 4) :
d~ H=I
4π
d~s ×~r
r3(13)
4

r
r
ds
ds
I
dH
dH
Fig. 4 – Calcul du champ magn´etique `a l’aide de la loi de Biot et Savart.
On peut ainsi v´erifier que sur l’axe de notre soleno¨ıde, le champ magn´etique est donn´e
par
H(x) = NI
2L"L
2−x
qR2+ (L
2−x)2+
L
2+x
qR2+ (L
2+x)2#(14)
o`u
N:Nombre de spires
I:courant dans la bobine (A)
L:longueur de la bobine (m)
R:rayon de la bobine (m)
x:position sur l’axe (m), `a partir du centre de la bobine.
Au centre de la bobine, le champ vaut
H(x= 0) = Hc=NI
√L2+ 4R2.(15)
Pour x6= 0 et se rapprochant de L/2, Hdiminue. Les ´electrons dans leur trajectoire
du point A`a l’´ecran Ene voient donc pas un champ magn´etique constant. Pratiquement,
H(x) varie suffisamment peu sur cette distance pour que l’on puisse approximer H2dans
la formule (11) par un champ moyen
H(x)2=G2H2
c.(16)
On aura donc, `a partir de (11) :
e
m=8π2V
l2µ2
0G2H2
c
.(17)
La tension d’acc´el´eration V´etant connue et le champ magn´etique au centre Hccalcu-
lable par (15), pour pouvoir d´eterminer e/m, il reste donc `a mesurer l, la longueur du
pas de l’h´elice, et G2.
D´etermination de l: la distance AE (fig. 2) ´etant ´egale `a D, si mest le nombre
de pas d’h´elice d´ecrits par les ´electrons sur cette distance, on aura l=D/m. Pour la
d´etermination de m, voir la section 4.1.
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