Étude de la boucle `a verrouillage de phase par impulsions de

Nod’ordre : 717
TH` ESE
pr´esent´ee `a
l’Institut National des Sciences Appliqu´ ees de Toulouse
pour l’obtention du titre de
DOCTEUR
de l’Institut National des Sciences Appliqu´ees de Toulouse
Sp´ecialit´e : Automatique
par
Pascal ACCO
Laboratoire d’´ Etude des Syst` emes Informatiques et Automatiques
´
Ecole Doctorale Syst`emes
Titre de la th`ese :
´
Etude de la boucle `a verrouillage de phase
par impulsions de charge
Prise en compte des aspects hybrides
Soutenue le 17 D´ecembre 2003, devant le jury :
Pr´esident : M. Germain Garcia Professeur, INSA Toulouse
Rapporteurs : M. Claude Iung Professeur, ENSEM Nancy
M. Jean–Paul Louis Professeur, ENS Cachan
Examinateurs : M. Jamal Daafouz Maˆıtre de conf´erence, ENSEM Nancy
Mme Dani`ele Fournier–Prunaret Professeur, INSA Toulouse
M. Jean–Louis Noullet Industriel, ChipYards Toulouse
Membre invit´e : M. Abdel–Kaddous Taha Docteur de l’INSA de Toulouse
M. Luca Bertolini Industriel, MOTOROLA Toulouse

Table des mati`eres
Introduction 2
Chapitre 1 Introduction 5
1.1 R´eflexion sur la notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Phase et fr´equence dans le cas des signaux p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phase et fr´equence dans le cas des signaux quasi–p´eriodiques . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Observation de la phase d’un oscillateur `a relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Leverrouillagedephase ..................................... 11
1.2.1 Historique......................................... 13
1.2.2 Les boucles `a verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 ClassificationdesBVP.................................. 15
1.2.4 ´ Etat de l’art de l’analyse des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.5 LaBVP–IC........................................ 16
1.2.6 ´ Etat de l’art de l’analyse des BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.7 Apportpersonnel..................................... 17
Chapitre 2 Mod´elisation 19
2.1 Mod´elisation des diff´erentes parties de la BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Mod`ele du DPF et du g´en´erateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Mod`ele du filtre passe–bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Mod`eledel’OCT..................................... 22
2.1.4 Diviseurdefr´equence .................................. 23
2.2 Choix des variables r´eduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 BVP–ICsimilaires .................................... 24
2.2.2 Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Normalisation de la BVP–IC du troisi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Mod`elelin´eairecontinu ..................................... 28
2.3.1 La boucle d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Fonctionsdetransfert .................................. 29
2.3.3 Validit´edumod`ele.................................... 30
2.4 Mod`elelin´eairediscret...................................... 31
2.4.1 Approximation de l’impulsion de courant de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Mod`ele `a base d’impulsions de Dirac ......................... 32
i

ii Table des mati`eres
2.4.3 Mod`ele `a base d’une impulsion approch´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Mod´elisation avec un ´echantillonneur–bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.5 Validit´e des mod`eles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Mod`ele non–lin´eaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Mod`elelin´earis´ediscret ..................................... 39
2.7 Mod`ele non–lin´eaire inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Mod`eleshybrides......................................... 42
2.8.1 Les diff´erents types de mod`eles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.2 D´efinition du mod`ele hybride de Pettersson .................... 43
2.8.3 Mod`ele hybride continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.4 Discr´etisation du mod`ele hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.5 Discr´etisation du mod`ele hybride continu le long d’une s´equence . . . . . . . . . . 47
2.8.6 Discr´etisation p´eriodique du mod`ele Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.7 Discr´etisation quasi–p´eriodique du mod`ele Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8.8 Simulation des mod`eles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Mod`eles´ev´enementiels...................................... 51
2.9.1 Mod`ele ´ev´enementiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9.2 Mod`ele ´ev´enementiel du troisi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.10R´ecapitulatif ........................................... 54
2.11Quelquessimulations....................................... 56
2.11.1 Simulations locales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.11.2 Simulations globales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chapitre 3 Analyse 59
3.1 ´ Etude du mod`ele lin´eaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Stabilit´eabsolue ..................................... 61
3.1.2 Contrainte de stabilit´e robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3 Contrainte de rapidit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Rejetdesbruits...................................... 63
3.1.5 Rejet du bruit en entr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.6 Rejet du bruit `a la sortie de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.7 Saturation de la commande `a l’entr´ee de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.8 Calculdufiltre ...................................... 66
3.1.9 Conclusion ........................................ 67
3.2 ´ Etude du mod`ele lin´eaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 Condition de stabilit´e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.2 Condition de stabilit´e robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Conclusion sur l’´etude lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Stabilit´ed’unes´equence ..................................... 69
3.3.1 Calcul du multiplicateur d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.2 Calcul du multiplicateur `a partir du mod`ele lin´earis´e discret . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3 Conclusion ........................................ 73

iii
3.4 Stabilit´e quelles que soient les s´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.1 Uncontre–exemple.................................... 74
3.4.2 M´ethode directe de Lyapunov et extension aux syst`emes hybrides . . . . . . . . . 75
3.4.3 Stabilit´e des syst`emes non–lin´eaires commut´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Stabilit´equadratique....................................... 79
3.5.1 Repr´esentation du syst`eme sous forme polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune . . . . . . . . . . . 81
3.6 Stabilit´e Poly–quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Stabilit´e poly–quadratique dans un ensemble de s´equences r´eduit . . . . . . . . . . 82
3.6.2 Validit´e du r´esultat pour le syst`eme non–lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Stabilit´e poly–quadratique relˆach´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7.1 Lin´earisation de Lyapunov des mod`eles non–lin´eaires discrets commut´es . . . . . 83
3.7.2 La S–proc´edure...................................... 85
3.7.3 Partitionnement du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8 Approximation de la r´egion de stabilit´e par une grille de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9 V´erification exp´erimentale des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.10 Optimisation par force brute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Conclusion et perspectives 97
Annexe A Signaux Analytiques 99
A.1 Leconceptdephaseur ...................................... 99
A.2 Extension aux signaux quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Annexe B Relation de similarit´e entre BVP–IC 101
B.1 D´efinition de la relation de similarit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.2 Condition de similarit´e entre deux commutations du courant de charge . . . . . . . . . . . 101
B.2.1 Similarit´e des ´etats Eet E0............................... 101
B.2.2 Similarit´e entre voct et v0
oct ............................... 102
B.2.3 Similarit´e des phases ϕbet ϕb0............................. 102
B.3 Preuve pour tout tpar raisonnement r´ecurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.4 Extension aux BVP–IC du troisi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.4.1 Similarit´e des tensions vcet voct ............................ 103
B.4.2 Relation de similarit´e des BVP–IC du troisi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Annexe C Calcul du mod`ele NL–DL 105
C.1 Calcul de τk+1 .......................................... 105
C.1.1 Cas de deux charges cons´ecutives : cas «+ + ».................... 105
C.1.2 Cas d’une charge suivie d’une d´echarge : cas «+ - »................. 106
C.1.3 Cas d’une d´echarge suivie d’une charge : cas «- + »................. 106
C.1.4 Cas de deux d´echarges cons´ecutives : cas «- - ».................... 107
C.2 Domainesded´efinition...................................... 107