Étude de la boucle `a verrouillage de phase par impulsions de

No d’ordre : 717
THÈSE
présentée à
l’Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse
pour l’obtention du titre de
DOCTEUR
de l’Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse
Spécialité : Automatique
par
Pascal ACCO
Laboratoire d’Étude des Systèmes Informatiques et Automatiques
École Doctorale Systèmes
Titre de la thèse :
Étude de la boucle à verrouillage de phase
par impulsions de charge
Prise en compte des aspects hybrides
Soutenue le 17 Décembre 2003, devant le jury :
Président :
M. Germain Garcia
Professeur, INSA Toulouse
Rapporteurs :
M. Claude Iung
Professeur, ENSEM Nancy
M. Jean–Paul Louis
Professeur, ENS Cachan
M. Jamal Daafouz
Maı̂tre de conférence, ENSEM Nancy
Mme Danièle Fournier–Prunaret
Professeur, INSA Toulouse
M. Jean–Louis Noullet
Industriel, ChipYards Toulouse
M. Abdel–Kaddous Taha
Docteur de l’INSA de Toulouse
M. Luca Bertolini
Industriel, MOTOROLA Toulouse
Examinateurs :
Membre invité :
Table des matières
Introduction
2
Chapitre 1 Introduction
5
1.1
1.2
Réflexion sur la notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Phase et fréquence dans le cas des signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Phase et fréquence dans le cas des signaux quasi–périodiques . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Observation de la phase d’un oscillateur à relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Le verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2
Les boucles à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3
Classification des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.4
État de l’art de l’analyse des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.5
La BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.6
État de l’art de l’analyse des BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.7
Apport personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Chapitre 2 Modélisation
2.1
2.2
2.3
2.4
19
Modélisation des différentes parties de la BVP
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.1
Modèle du DPF et du générateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.2
Modèle du filtre passe–bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.3
Modèle de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.4
Diviseur de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Choix des variables réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.1
BVP–IC similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.2
Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.3
Normalisation de la BVP–IC du troisième ordre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3.1
La boucle d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.2
Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.3
Validité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.1
Approximation de l’impulsion de courant de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4.2
Modèle à base d’impulsions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
i
ii
Table des matières
2.4.3
Modèle à base d’une impulsion approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.4.4
Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4.5
Validité des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5
Modèle non–linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.6
Modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.7
Modèle non–linéaire inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.8
Modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.8.1
Les différents types de modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.8.2
Définition du modèle hybride de Pettersson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.8.3
Modèle hybride continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.8.4
Discrétisation du modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.8.5
Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence . . . . . . . . . .
47
2.8.6
Discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8.7
Discrétisation quasi–périodique du modèle Hyb–CNC
. . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8.8
Simulation des modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Modèles événementiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.9.1
Modèle événementiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.9.2
Modèle événementiel du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.10 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.9
2.11 Quelques simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.11.1 Simulations locales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.11.2 Simulations globales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Chapitre 3 Analyse
3.1
3.2
3.3
59
Étude du modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.1.1
Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.1.2
Contrainte de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.1.3
Contrainte de rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.1.4
Rejet des bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.5
Rejet du bruit en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.1.6
Rejet du bruit à la sortie de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.1.7
Saturation de la commande à l’entrée de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.8
Calcul du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.1.9
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Étude du modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.2.1
Condition de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.2.2
Condition de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2.3
Conclusion sur l’étude linéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Stabilité d’une séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.1
Calcul du multiplicateur d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.2
Calcul du multiplicateur à partir du modèle linéarisé discret
. . . . . . . . . . . .
72
3.3.3
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
iii
3.4
Stabilité quelles que soient les séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.4.1
Un contre–exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.4.2
Méthode directe de Lyapunov et extension aux systèmes hybrides . . . . . . . . .
75
3.4.3
Stabilité des systèmes non–linéaires commutés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Stabilité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.5.1
Représentation du système sous forme polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.5.2
Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune . . . . . . . . . . .
81
Stabilité Poly–quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.6.1
Stabilité poly–quadratique dans un ensemble de séquences réduit . . . . . . . . . .
82
3.6.2
Validité du résultat pour le système non–linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Stabilité poly–quadratique relâchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.7.1
Linéarisation de Lyapunov des modèles non–linéaires discrets commutés . . . . .
83
3.7.2
La S–procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.7.3
Partitionnement du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.8
Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.9
Vérification expérimentale des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.10 Optimisation par force brute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.5
3.6
3.7
Conclusion et perspectives
97
Annexe A Signaux Analytiques
99
A.1 Le concept de phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
A.2 Extension aux signaux quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Annexe B Relation de similarité entre BVP–IC
101
B.1 Définition de la relation de similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B.2 Condition de similarité entre deux commutations du courant de charge . . . . . . . . . . . 101
B.2.1 Similarité des états E et E 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
0
B.2.2 Similarité entre voct et voct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.2.3 Similarité des phases ϕb et ϕb 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.3 Preuve pour tout t par raisonnement récurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.4 Extension aux BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.4.1 Similarité des tensions vc et voct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.4.2 Relation de similarité des BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Annexe C Calcul du modèle NL–DL
105
C.1 Calcul de τk+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C.1.1 Cas de deux charges consécutives : cas « + + » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C.1.2 Cas d’une charge suivie d’une décharge : cas « + - » . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
C.1.3 Cas d’une décharge suivie d’une charge : cas « - + » . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
C.1.4 Cas de deux décharges consécutives : cas « - - » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
C.2 Domaines de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1
Annexe D Calcul du modèle NL–D-1
109
D.1 Unicité du modèle inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.1.1 Exclusion d’une solution éligible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.1.2 Inversion du cas « - - » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
D.1.3 Inversion du cas « - + » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
D.2 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Annexe E Réalisation expérimentale de la BVP–IC
113
E.1 Le détecteur de phase–fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
E.2 Le générateur d’impulsions de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
E.3 Le détecteur de séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Annexe F Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux
117
Liste des symboles
123
Liste des acronymes
129
Index
131
Index des auteurs
133
Bibliographie
135
Introduction
Historiquement, le principe de la boucle à verrouillage de phase, appelée plus communément PLL
(en anglais Phase-Locked loop), remonte aux années 1930. Il a été imaginé par le physicien français
Henri de Bellescize qui, cherchant à améliorer les conditions de réception de signaux radioélectriques
fortement noyés dans le bruit, a inventé le principe de la régulation automatique de phase.
Bien que cette invention fut d’une grande importance, en particulier dans le domaine des télécommunications et de la télédétection, les contraintes technologiques de l’époque (utilisation de composants
à tubes) ont limité son développement, et il a fallu attendre l’avènement des circuits électroniques à
semi-conducteurs dans les années 1950 pour que le principe des asservissements de phase jouisse d’une
expansion rapide dans beaucoup de domaines.
De nos jours le verrouillage de phase trouve des applications aussi nombreuses que variées qui vont
de la traditionnelle modulation/démodulation (application native) à la télémétrie par effet Doppler en
passant par la reconstitution ou la synthèse des horloges de synchronisation des dispositifs électroniques
analogiques et numériques.
Il existe diverses architectures de boucles à verrouillage de phase et le choix de la structure à adopter
dépend aussi bien de l’application dans laquelle elle est impliquée que de la nature analogique et/ou
numérique des signaux qu’elle met en oeuvre.
L’architecture communément rencontrée dans des applications de synthèse d’horloge et présentant des
caractéristiques très attrayantes en termes d’accrochage et de comportement dynamique, est la Boucle à
Verrouillage de Phase par Impulsion de Charges (nous préférons utiliser le sigle BVP–IC à son équivalent
anglais CP–PLL signifiant Charge Pump–PLL). Ce travail de thèse s’articule autour de cette architecture
particulière.
Problématique
La BVP–IC est un circuit très apprécié pour sa bonne capacité d’acquisition et la qualité de son régime
transitoire. Ce circuit tire ses performances d’un détecteur très particulier constitué d’une machine à
deux, trois ou cinq états qui lui confère la capacité de détecter les erreurs de phase et de fréquence.
Ce détecteur de phase à logique séquentielle commande et coexiste avec des systèmes purement analogiques comme le filtre ou l’oscillateur contrôlé en tension. Bien qu’il soit facile de modéliser le détecteur
de phase d’une part et les fonctions analogiques d’autre part, il est difficile de modéliser les interactions
entre le système séquentiel à temps discret et les systèmes analogiques à temps continu.
Jusqu’à présent cette difficulté a été franchie en assimilant le comportement du détecteur de phase
séquentiel à celui d’un détecteur de type analogique très utilisé et très maı̂trisé. Ces travaux ont été
initiés dans les années 1970 essentiellement par Floyd M. Gardner et font référence dans les milieux de
la recherche et de l’industrie.
Dans les années 1990, deux types de modèles prenant en compte de manière exacte le détecteur de
phase ont été établis de manière indépendante par Mark van Paemel et par Christian D. Hedayat. En
revanche, aucune méthode d’analyse n’a été proposée à partir de ces modèles dont les simulations laissent
entrevoir une plage de stabilité beaucoup plus grande que celle estimée auparavant.
Ces simulations montrent que l’analyse de la stabilité de la BVP–IC à partir des modèles exacts ne
représente pas seulement une difficulté théorique intéressante pour un chercheur mais aussi une extension
des possibilités de conception pour l’ingénieur.
2
3
L’avènement de la théorie des systèmes hybrides lors de ces trente dernières années devrait rendre
possible une telle analyse. Cette théorie vise à modéliser et analyser les systèmes hybrides où coexistent
des dynamiques continues dans le temps avec des systèmes événementiels à temps discret. Cette théorie a
été surtout développée pour l’étude de systèmes automatiques supervisés par des systèmes décisionnels.
Le cloisonnement entre la discipline des télécommunications traitant notamment du verrouillage de
phase et la discipline de l’automatique traitant des asservissements de niveau décisionnel a empêché le
rapprochement entre la BVP–IC et les systèmes hybrides dont elle fait pourtant partie.
Nous proposons dans ce mémoire d’effectuer ce rapprochement qui devrait permettre d’effectuer la
première analyse exacte de la stabilité de la BVP–IC.
Organisation de ce mémoire
Les travaux de thèse sont présentés en trois chapitres :
Le Chapitre 1 – Introduction – tente d’amener une large gamme de lecteurs le plus loin possible
dans la compréhension du principe et de l’utilité de l’asservissement de phase. Le choix d’exemples
simples qui ne sont pas issus d’applications électroniques permet d’aborder le fonctionnement d’un
oscillateur contrôlé, ainsi que la définition de sa phase instantanée. Toujours à l’aide d’un exemple
simple le principe du verrouillage de phase et ses enjeux techniques sont abordés. Sous des termes
plus techniques, les boucles à verrouillage de phase, l’historique et l’état de l’art de leur analyse sont
présentés. Nous introduisons la BVP–IC et son principe de fonctionnement après un bref exposé des
différentes architectures.
Le chapitre 2 – Modélisation – aborde les nombreux modèles de la BVP–IC d’ordre deux et trois.
Chaque bloc fonctionnel est d’abord décrit et mis en équation. Pour faire face au grand nombre de
paramètres entrant en jeu dans l’écriture de ces équations nous démontrons que la dynamique de la
BVP–IC dépend uniquement de deux ou trois paramètres. Ces paramètres réduits sont ensuite utilisés
pour l’écriture des modèles linéaires et des modèles exacts. Les deux modèles exacts proposés dans la
littérature sont mis sous la forme de systèmes hybrides. Des simulations significatives sont présentées
pour caractériser le domaine de validité de quelques modèles et en proposer une classification sur
cette base.
Le chapitre 3 – Analyse – met en oeuvre la théorie des systèmes linéaires puis celle des systèmes
hybrides pour dégager une condition de stabilité la plus large possible pour la BVP–IC d’ordre
deux. Les analyses linéaires continue et discrète sont présentées de manière à démontrer la souplesse
et la facilité avec laquelle elles peuvent être utilisées. Nous abordons ensuite l’analyse à partir des
modèles exacts à l’aide d’une part de la section de Poincaré et d’autre part de la méthode directe
de Lyapunov. Les résultats théoriques sont finalement confrontés à des mesures expérimentales
réalisées sur une platine à composants discrets conçue à cet effet.
4
Introduction
Chapitre 1
Introduction
Sommaire
1.1
Réflexion sur la notion de phase . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phase et fréquence dans le cas des signaux périodiques . . . .
1.1.2 Phase et fréquence dans le cas des signaux quasi–périodiques
1.1.3 Observation de la phase d’un oscillateur à relaxation . . . . .
1.2 Le verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Les boucles à verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Classification des BVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 État de l’art de l’analyse des BVP . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 La BVP–IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 État de l’art de l’analyse des BVP–IC . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Apport personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . .
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6
6
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8
11
13
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15
16
16
17
17
6
1.1
Chapitre 1. Introduction
Réflexion sur la notion de
phase
La phase et la fréquence instantanée sont des
notions communément admises qui sont, la plupart
du temps, utilisées sans être précisément définies.
Dans l’étude d’un asservissement de phase, il est
important de définir cette notion avec précision car
elle intervient dans la modélisation des signaux.
Ce problème de la représentation mathématique
des signaux et de leur analyse sont l’objet de la
théorie du signal [Rou79][dC84][Spă70].
La définition de fréquence et de spectre instantanés sont un problème ardu de cette théorie faisant
appel à la relation d’incertitude entre la précision
temporelle et la précision fréquentielle de l’observation d’un signal.
L’étude de la stabilité d’un asservissement de
phase ne nécessite pas, en général, une analyse des
signaux très poussée comme par exemple l’analyse
par ondelettes ; la transformée de Fourier est un
outil suffisant pour ce genre d’étude.
Par contre, l’étude fait appel à une représentation mathématique temporelle des signaux qui doit
être adaptée aux signaux rencontrés, et qui permet
une modélisation aisée du système.
La modélisation des signaux d’un asservissement
de phase se fait en calculant l’évolution de leur
phase instantanée ou de leur fréquence instantanée, la fréquence étant définie comme la dérivée
temporelle de la phase. Une modélisation rigoureuse doit définir ces deux notions et établir leur
lien avec l’amplitude du signal.
Nous envisageons, pour cela, une définition de
la fréquence instantanée établie par approximation
locale du signal. Une réflexion sur l’observabilité
de la phase d’un signal carré, qui est la forme des
signaux rencontrés dans ce mémoire, montre les
limites de la définition.
On définit alors la notion de phase instantanée
à partir des variables d’état d’un oscillateur à relaxation. Cette définition permet de représenter le
signal par un signal analytique de même phase et
d’amplitude telle que le signal réel soit de forme
carré.
On obtient ainsi une représentation mathématique du signal faisant apparaı̂tre sa phase et sa
fréquence instantanée qui, de plus, admet une représentation physique aisée de ces notions.
1.1.1
Phase et fréquence dans le cas
des signaux périodiques
Prenons les définitions des termes phase et fréquence issues du « Nouveau Petit Robert » :
Définition 1 – Phase : n.f. – (1903) phys.
Constante angulaire caractéristique d’un mouvement périodique. Le déphasage, différence de
phase entre deux mouvements de même période.
Mouvements de même période en phase (débutant en même temps, leurs fonctions ayant leurs
maximums et leurs minimums pour des valeurs
identiques de leurs variables), en opposition de
phase (avec un angle de phase de 180◦ ), en quadrature retard ou avance de phase, déphasés d’un
quart de période. Courant électrique constitué de
plusieurs composantes sinusoı̈dales présentant des
différences de phase. ⇒ polyphasé ; biphasé,
triphasé.
Définition 2 – Fréquence : n.f. – (1890
électr. ; 1753 phys.) Nombre de cycles identiques d’un phénomène par unité de temps (en
général, par seconde). Fréquence d’un diapason. Fréquence sonore. Fréquence respiratoire :
nombre de cycles respiratoires par minutes. Fréquence temporelle, circulaire, angulaire. Inverse
de la fréquence ⇒ période. Fréquence d’un courant alternatif ou d’une onde électromagnétique
(⇒ audiofréquence, hyperfréquence, radiofréquence). Bande de fréquence ( ⇒ fréquentiel ; passe–bas ; passe–haut). Intervalle de fréquence. ⇒ décade, octave.) Fréquence musicale
ou acoustique, correspondant aux tons audibles.
Modulation de fréquence. ⇒ F.M.
La phase et la fréquence sont donc des caractéristiques constantes du signal établies pour des
signaux périodiques. La phase est une constante
angulaire définie par rapport à une référence temporelle, généralement l’instant initial, ou par rapport à la phase d’un signal de référence.
La fréquence est définie par rapport à une durée d’observation pendant laquelle le nombre d’occurrences de cycles identiques est compté. Dans le
cas d’un simple signal sinusoı̈dal, l’amplitude A, la
phase ϕ, et la pulsation ω apparaissent explicitement dans l’écriture du signal e(t) :
e(t) = A sin (ω t + ϕ)
La phase étant exprimée en radians, la pulsation
est exprimée en radians par secondes. Un simple
changement d’unité permet de lier la pulsation ω
et la fréquence f par ω = 2π f .
1.1. Réflexion sur la notion de phase
Cette définition de la phase n’est plus valable
lorsque les caractéristiques des signaux varient
dans le temps. C’est le cas des signaux quasi–
périodiques, comme les signaux modulés en phase
et/ou en fréquence.
La phase et la fréquence ne sont plus, dans ce
cas–là, des caractéristiques constantes du signal et
leur mesure dépend alors de la période d’observation.
Par extension, une observation de durée infinitésimale permet de définir la notion de phase instantanée, de fréquence instantanée et de phase initiale.
1.1.2
Phase et fréquence dans le cas
des signaux quasi–périodiques
Une extension rigoureuse de la notion de fréquence instantanée des signaux quasi–périodiques
est difficile car elle demande d’exprimer mathématiquement une notion extrapolée intuitivement du
cas périodique.
La phase instantanée est alors vue comme une
information sur l’état d’avancement du cycle à un
instant t, ayant pour valeur 2π à la fin du cycle, 0 à
son début et de croissance monotone. La fréquence
instantanée est liée à la vitesse d’exécution d’un
cycle prise à un instant t.
Dans le cas d’un signal sinusoı̈dal quasi–
périodique A sin (φ(t)) d’amplitude constante, on
assimile la valeur φ(t) à la phase instantanée du signal puisque celle–ci est une valeur en radian égale
à 2π à la fin d’un cycle et nulle au début. La phase
initiale φ(t0 ) est la valeur de la phase instantanée
à l’instant initial.
Par contre la définition de la fréquence instantanée n’est pas immédiate, car elle nécessite une
observation du signal pendant au moins un cycle
complet.
Définition de la fréquence instantanée par
approximation locale du signal
Une première proposition de définition, illustrée
par la fig. 1.1, consiste à approcher le signal quasi–
périodique de forme quelconque s(t) à l’instant
t par une sinusoı̈de e(t) de fréquence constante :
cette fréquence définit la fréquence instantanée du
signal à l’instant t.
On dit que les fonctions s(t) et e(t) sont semblables à l’instant t, si leurs amplitudes sont égales
et si le premier terme de leurs développements en
7
1
e(t) = s(t)
et
e0 (t) = s0 (t)
0.5
0
t
0.5
−0.5
1.5
2
temps
s(t)
e(t)
−1
Fig. 1.1 : La fréquence instantanée du signal Chirp
(en trait plein), modulée par un message m(t) = t,
est déduite de celle d’une sinusoı̈de e(t) (en pointillés)
semblable à s(t) à l’instant t.
série de Taylor sont égaux :

 s(t + ∆t) = s(t) + ∆t s0 (t) + . . .
 e(t + ∆t) = e(t) + ∆t e0 (t) + . . .
La fréquence instantanée du signal s(t) est alors
celle du signal sinusoı̈dal e(t) de même amplitude
vérifiant e(t) = s(t) et e0 (t) = s0 (t). On obtient
ainsi les relations suivantes :

 e(t) = A sin (ω t) = s(t)
i
(1.1)
 e0 (t) = A ω cos (ω t) = s0 (t)
i
i
À partir de ces égalités, l’expression de la fréquence instantanée, en fonction de la mesure s(t)
du signal et de sa dérivée s0 (t), est unique :
s0 (t)
ωi (t) = p
(1.2)
A2 − s(t)2 Remarque 1 Ce résultat est obtenu en remplaçant le terme cos (ωi (t)) dans l’expression
e0 (t) = qs0 (t) par sa valeur en fonction du si2
nus : ± 1 − sin (ωi (t)) . La fréquence instantanée étant par définition positive, l’inversion du
carré du cosinus se fait sans ambiguı̈té de signe.
Remarque 2 Dans le cas d’un signal sinusoı̈dal quasi–périodique à amplitude constante
A sin (φ(t)), cette définition devient la relation
bien connue entre phase et pulsation : ωi = ∂(φ(t))
∂t .
Remarque 3 Cette définition de la fréquence instantanée est dans une certaine mesure arbitraire.
En imposant dans la définition l’égalité entre
les seconds termes du développement de Taylor
s00 (t) = e00 (t), on obtient une fréquence instantanée qui peut être complexe ou multiple. Une telle
définition n’aurait pas de sens physique.
8
Chapitre 1. Introduction
Illustrons cette définition avec le cas d’un signal
modulé en fréquence par un message m(t). La pulsation instantanée du signal ωi (t) est, par définition de la modulation, celle de la porteuse ω0 augmentée de l’écart de fréquence k m(t) proportionnel au message.
La fig. 1.1 représente un signal de type Chirp
dont le message m(t) est proportionnel au temps
et dont la fréquence porteuse est nulle.
L’expression du signal faisant apparaı̂tre explicitement la pulsation instantanée ωi , et la phase
initiale ϕ0 est :


Zt
s(t) = A sin 
1.1.3
Observation de la phase d’un
oscillateur à relaxation
Le principe de l’oscillateur à relaxation est
d’emmagasiner de l’énergie tant qu’une limite supérieure n’est pas atteinte – période de charge ; –
le système change alors de comportement et libère
l’énergie tant qu’une limite inférieure n’est pas atteinte – période de relaxation.
Le système retrouve alors son comportement initial et commence une nouvelle période de charge :
il oscille ainsi entre les deux limites.
La fig. 1.2 représente un type simple d’oscillateur à relaxation : le shishi odoshi 1 .
ωi (τ ) dτ + ϕ0 
0

Zt
= A sin ω0 t +

 (1.3)
m(τ ) dτ  + ϕ0 
0
Si on approche à l’instant t ce signal par une sinusoı̈de de fréquence constante, déterminée à l’aide
de l’équation(1.2) en remplaçant s(t) par l’expression précédente, on retrouve bien la fréquence instantanée du signal ω0 + k m(t).
Dans le cas de signaux sinusoı̈daux modulés,
cette définition est valable car la valeur physique
du signal s(t) est liée à la phase du signal.
Remarquons que la formule (1.2) est indéterminée au niveau des extrema de la courbe, lorsque
s0 (t) = 0 et s(t) = A : le résultat dépend alors des
seconds membres du développement de Taylor.
Cette singularité apparaı̂t car, au niveau des extrema, la phase n’influence plus le signal et rend la
mesure de ses variations impossibles en ces points
isolés. Si le signal n’est pas lié à la phase à chaque
instant, comme dans un signal carré, cette définition ne donne plus de résultats physiquement cohérents.
Un signal carré est constant partout sauf en
quelque points où il commute entre deux valeurs
constantes. L’observation de la fréquence instantanée d’un tel signal conduirait à une fréquence nulle
partout et infinie aux points de discontinuité.
La définition n’est donc pas valable lorsque la
phase du signal n’est pas observable partout à
l’aide de la mesure du signal et de sa dérivée.
Nous proposons de définir la phase d’un tel
signal en observant les variables d’état du système générant ce signal. Dans cette étude, nous
nous intéressons exclusivement aux signaux quasi–
périodiques générés par un oscillateur à relaxation.
Fig. 1.2 : Le shishi odoshi.
Il s’agit d’un type de fontaine constitué d’une
tige de bambou creuse, dont une extrémité est rendue étanche par un contre–poids, cette tige pouvant pivoter autour d’un axe solidaire du sol.
Son fonctionnement est le même que celui d’un
vase de Tantale : en position de repos, vignette
gauche de la fig. 1.3, l’extrémité ouverte du bambou est dirigée vers le haut permettant ainsi à un
filet d’eau de le remplir.
Le niveau d’eau, augmentant progressivement,
finit par faire basculer le bambou autour de son
axe, vignette centrale de la fig. 1.3, et libère soudainement la masse d’eau emmagasinée.
La tige retourne alors dans sa position initiale
entraı̂née par le contre–poids et vient frapper le sol
en émettant un son caractéristique, vignette droite
de la figure. La fréquence de basculement du bam1 mot japonais signifiant « effrayer (odoshi) les biches
(shishi) ». Ce type de fontaine était utilisé autrefois aux
abords des rizières pour effrayer les animaux par son claquement soudain, ou comme clepsydre mesurant le temps
de méditation des moines. De nos jours on le rencontre en
décoration dans les fontaines des jardins japonais.
1.1. Réflexion sur la notion de phase
9
Fig. 1.3 : Description du cycle observé par le shishi odoshi : la tige se remplit – phase de charge – (vignette
de gauche) ; puis bascule lorsqu’un certain niveau est atteint – phase de relaxation – (vignette centrale) ; la tige
retombe en arrière et claque sur le sol (vignette de droite). Se retrouvant dans la configuration initiale un nouveau
cycle commence . . .
bou dépend, entre autre, du débit d’eau remplissant plus ou moins rapidement la tige creuse.
Définition hybride simple de l’oscillateur à
relaxation
Cette fontaine est l’analogie hydraulique du
montage très utilisé en électronique consistant à
charger et décharger une capacité avec un courant
dont on contrôle la valeur. Dans les deux cas, il
s’agit d’un oscillateur à relaxation contrôlé en courant.
Sans adopter le formalisme exact de la modélisation hybride, discuté plus en détail dans le § 2.8
(page 42), nous pouvons établir un modèle hybride
simple des oscillateurs à relaxation.
Nous avons vu que l’oscillateur à relaxation possède deux comportements : la charge pendant laquelle l’énergie du système augmente vers une valeur e ; et la relaxation, pendant laquelle cette énergie décroı̂t vers une valeur e.
En choisissant un vecteur d’état X, on peut établir un modèle différentiel continu pour chaque
comportement :
Ce type de circuit est très utile car il permet de
générer directement un signal carré dont on peut
contrôler la fréquence d’oscillation.
Un observateur, regardant la tige de bambou ne
peut en connaı̂tre la fréquence d’oscillation à un
instant t. Il ne peut que mesurer la période s’écoulant entre deux changements de position de la tige
et obtenir une mesure de la fréquence moyennée
sur cette période.
La phase du shishi odoshi n’est pas observable à
partir de la seule information de sa position, tout
comme la phase du signal carré n’est pas observable à partir de la mesure de sa valeur physique.
Par contre, un observateur pouvant mesurer la
hauteur d’eau à l’intérieur du bambou ainsi que
son évolution récupère une information sur l’état
d’avancement du cycle périodique.
Le niveau d’eau h est une variable d’état qui
croı̂t à partir d’une valeur inférieure hmin vers une
valeur supérieure hmax avant de faire basculer la
tige et de revenir rapidement à la valeur hmin .
Le niveau d’eau est donc une image instantanée
de la phase du signal qui n’est pas exprimée en
radian mais entre les deux valeurs hmin et hmax .
Nous pouvons généraliser cette définition en établissant un modèle hybride simple des oscillateurs
à relaxation.
Ẋ = fi (X) i ∈ {0, 1}
Le champ différentiel f0 correspondant au comportement de relaxation et le champ f1 à celui de
charge. L’énergie est alors une fonction du vecteur
d’état E(X) de l’oscillateur.
La fig. 1.4 montre un exemple d’évolution de
cette énergie dans un plan de phase de dimension
deux. Dans l’état de charge, le système commute
lorsque l’énergie E(X) atteint la valeur e.
La relation E(X) = e définit une frontière de
commutation dans le plan de phase du système
f1 . De même, E(X) = e définit une frontière de
commutation du système f0 .
Le système hybride est alors défini par une équation différentielle jusqu’à ce que sa frontière de
commutation soit atteinte. À ce moment l’équation
différentielle change et le vecteur d’état conserve sa
valeur lors de cette commutation.
Remarque 4 Certains oscillateurs, comme le
shishi odoshi, observent une période de relaxation
10
Chapitre 1. Introduction
E(x, y)
y
E(x, y) = e
e
iso–énergie
Arc de
charge
Ė > 0
Arc de
relaxation
Ė < 0
iso–énergie
e
E(x, y) = e
x
temps
Charge
Relaxation
Fig. 1.4 : Évolution de l’énergie d’un oscillateur à relaxation dans le plan de phase.
très courte que l’on peut négliger devant la période de charge. Dans ce cas, la modélisation peut
se faire à l’aide d’un seul système différentiel f ,
correspondant à la charge, dont on ré–initialise
tout ou partie des variables d’états lorsque la frontière de commutation E(X) = e est atteinte par
le système. Le vecteur d’état est initialisé directement à sa valeur en fin de décharge sur la frontière
E(X) = e.
Remarque 5 Une entrée u(t) doit être ajoutée au
modèle des oscillateurs à relaxation contrôlés. Un
oscillateur contrôlé en fréquence comportera une
entrée u(t) agissant sur la vitesse de variation de
l’énergie du système, le débit du filet d’eau remplissant la tige du bambou dans l’exemple précédant.
Il existe des conditions nécessaires à l’apparition d’oscillations dans un tel système, telle que la
décroissance (resp. croissance) de l’énergie le long
d’une trajectoire de f0 (resp. f1 ) lorsque E(X) ≥ e
(resp. E(X) ≤ e). Ces conditions, utiles à la
conception de l’oscillateur, ne sont pas discutées
dans ce mémoire.
Définition de la phase instantanée de l’oscillateur à relaxation
Lorsque l’oscillateur est bien conçu, l’énergie
E(X) oscille entre les deux limites en décrivant une
trajectoire cyclique dans le plan de phase (voir la
fig. 1.4) définie par deux arcs : un arc correspondant à la charge où E(X) est croissante Ė(X) > 0
et un arc correspondant à la relaxation avec une
énergie décroissante Ė(X) < 0.
La valeur de cette énergie et le signe de sa variation donne toute l’information nécessaire sur l’état
d’avancement du mouvement cyclique : la phase.
Nous pouvons donc proposer la définition suivante de la phase instantanée d’un signal généré
par un oscillateur à relaxation.
Définition 3 – Phase instantanée du signal
d’un oscillateur à relaxation : – toute variable d’état à croissance monotone liée à l’énergie emmagasinée par l’oscillateur, et au signe de
sa variation, prenant une valeur nulle en un point
du mouvement cyclique – point de référence, – une
valeur égale à 2π à la fin du premier cycle débuté
en ce point de référence et k 2π à la fin du kème
cycle.
On peut adopter, de la même manière, une définition de la phase instantanée qui soit contenue
dans l’ensemble [0, 2π[. La phase observe alors une
discontinuité en 2π lors de la fermeture d’un cycle
qui peut compliquer la définition de la fréquence
instantanée.
La modélisation d’un oscillateur à relaxation
peut être faite en choisissant une variable d’état
ϕ, correspondant à la définition 3, dont la représentation physique peut être facilement construite.
En reprenant l’exemple du shishi odoshi , la
phase est définie à partir du niveau d’eau oscillant
entre les valeurs hmin et hmax .
La période de relaxation étant très courte, on
peut la négliger devant la durée de la phase de
charge. La phase est obtenue par une simple homothétie ramenant la valeur du niveau d’eau entre
min
0 et 2π : ϕ(t) = 2π hh(t)−h
max −hmin
Modélisation du signal carré et définition de
sa fréquence instantanée
Le signal carré s(t) est défini, sans perte de généralité, en fonction de la phase instantanée ϕ(t)
1.2. Le verrouillage de phase
11
par :

 1 si 0 ≤ ϕ(t) mod 2π < π
s(t) =
 0 sinon
L’utilisation du concept de signal analytique, décrit dans l’annexe A, permet de définir le signal
carré et d’obtenir une définition de la fréquence
instantanée.
On peut représenter le signal carré sous la forme
d’un signal analytique complexe zs (t) = a(t) e i ϕ(t)
ayant pour phase instantanée la phase de l’oscillateur à relaxation ϕ(t) définie plus haut. Le module
a(t), donnant une forme carrée au signal, est défini
par :

1

si 0 ≤ ϕ(t) mod 2π < π
cos ϕ(t)
a(t) =
 0
sinon
Les propriétés des signaux analytiques sont vérifiées, c’est–à–dire, < [zs (t)] = s(t) et =[zs (t)] =
H[s(t)]. Les termes <[.], =[.] et H[.] désignent respectivement la partie réelle, la partie imaginaire et
la transformée de Hilbert. On hérite ainsi de la
définition 4 de la fréquence instantanée d’un signal
analytique.
Définition 4 – Fréquence instantanée d’un
signal analytique : – La dérivée temporelle
de l’argument ϕ(t) du signal analytique zs (t) =
a(t) e i ϕ(t) , défini comme sa phase instantanée, divisée par 2 π.
fi (t) =
1 ∂(ϕs (t))
2π
∂t
(1.4)
Lors de la modélisation de l’oscillateur à relaxation, la phase instantanée du signal sera prise
comme variable d’état et la fréquence instantanée
sera alors déduite de la dérivée de cette variable
d’état, c’est–à–dire, son équation d’état.
La modélisation de l’oscillateur constituant le
circuit que l’on étudie est réalisée de cette manière
par la suite. On obtient une modélisation du circuit dont les variables d’état ont un sens physique,
et une notion de phase et de fréquence instantanée rigoureusement définies « en phase » avec la
conception intuitive que l’on lie à ces grandeurs.
1.2
Le verrouillage de phase
Le principe de verrouillage de phase est basé sur
l’utilisation d’un oscillateur dont la fréquence est
contrôlée. Il consiste à synchroniser les oscillations
de cet oscillateur sur celles d’un signal d’entrée.
Cette synchronisation fait tendre la phase de l’oscillateur vers celle du signal de référence par le
biais d’une rétroaction.
Un exemple simple est celui du rythme biologique d’un être vivant, tel que l’être humain, qui
vit en phase avec l’alternance du jour et de la nuit.
Les recherches récentes en biologie, résumées dans
[Rei97], montrent que l’Homme comporte en lui
des oscillateurs qui influencent et cadencent ses
rythmes biologiques tels que l’alternance repos–
activité, les sensations de faim et de soif, les variations de température du corps, la génération d’hormones. . .
Chez l’être humain une des horloges biologiques
a été identifiée : le noyau suprachiasmatique (NSC)
situés dans l’hypothalamus au–dessus du chiasma
optique2 . Il s’agit d’un réseau de neurones dont
l’activité électrique varie toute les 24 heures. Ces
cycles durant une journée sont dit circadiens. Le
NSC sécrète à l’éveil de l’arginine–vasopressine
(AVP) qui éveille les autres parties du cerveau, et
la nuit le vasointestinal peptide à l’action hypnogène.
Ces signaux sont transmis par le noyau suprachiasmatique à la glande pinéale qui, par l’intermédiaire de la sécrétion nocturne de mélatonine, informe l’organisme entier de la survenue de la nuit.
Chez le rat, le NSC est l’horloge biologique principale ; son ablation entraı̂ne la perte de cohésion
de tous ses rythmes biologiques.
Le NSC se synchronise en fonction de signaux
extérieurs tels que l’alternance jour–nuit mais
aussi, de manière prépondérante chez l’homme, par
des facteurs socio–écologiques : l’alternance bruit–
silence ; chaud–froid ; activité–repos des autres individus de l’espèce.
Chez l’Homme, ce sont essentiellement les impératifs horaires de la vie sociale qui synchronisent le
NSC, l’alternance jour–nuit et les prises de repas
sont des synchroniseurs faibles.
Le noyau suprachiasmatique peut être qualifié
d’horloge biologique car il garde une activité rythmique unitaire même déconnecté du reste du cerveau.
Des expériences [Asc81][Wei81] montrent que
des sujets en isolement temporel, à l’intérieur
d’une grotte sans information temporelle et à température constante, maintiennent une rythmicité
circadienne en libre cours d’une période de 25
heures et ce pendant quinze jours.
2 région
où se croisent les deux nerfs optiques
12
Les signaux synchroniseurs, tels que l’heure du
réveil chez l’Homme, permettent d’asservir le NSC
de manière à ce que le maximum de mélatonine
(entre 2 et 5 heures), signalant la période nocturne
au reste du corps, soit en phase avec le rythme
imposé par les facteurs socio–écologiques.
Pour cela le cerveau humain capte les décalages
de phase entre son activité électrique et celle perçue par les signaux synchroniseurs. En fonction de
cette différence de phase le cortex cérébral agit sur
le NSC de façon à maintenir un décalage faible
entre la phase des cycles du NSC et celle de la
société.
L’être humain comporte donc en lui tous les
éléments composant un asservissement de phase.
Tout comme la plupart des oscillateurs éléctroniques, le NSC rejoint en l’absence de signaux synchroniseurs, une période d’oscillation qui lui est
propre (environ 25 heures). Cette période d’oscillation est appelée période d’oscillation en libre cours
par les chrono–biologistes et période d’oscillation
libre par les électroniciens.
Le mode de fonctionnement de ce « verrouillage
de phase humain » est similaire à celui des circuits chargés de construire l’horloge d’un micro–
processeur. En effet, l’horloge doit se synchroniser
pour être en phase avec les signaux extérieurs afin
de travailler en cohérence avec les autres éléments.
L’analogie se poursuit en constatant qu’en général la fréquence d’oscillation libre d’un tel circuit est choisie légèrement inférieure à la fréquence
nominale de fonctionnement du circuit (ceci dans
le but d’augmenter la finesse de la plage de commande), tout comme le NSC oscille en libre cours
à une fréquence légèrement inférieure au rythme
circadien.
Un autre mode de fonctionnement est la poursuite de la phase des synchroniseurs. Ceci apparaı̂t
lors d’un long trajet traversant rapidement plus de
6 fuseaux horaires. Dans le cas d’un voyage Paris–
Sydney, par exemple, les signaux synchroniseurs
observent soudainement une avance de phase de
12 heures (180 degrés), voir la fig. 1.5.
Le NSC du voyageur doit augmenter la fréquence de son cycle circadien pendant une phase
transitoire et revenir à une période de 24 heures
lorsque l’activité du voyageur est redevenue en
phase avec la société locale.
Pendant cette phase transitoire les cycles circadiens ne sont plus en phase et génèrent les
symptômes gênants du syndrome du décalage horaire : fatigue, troubles du sommeil, manque de
concentration et dans certains cas des troubles
de l’humeur, de l’anorexie et des malaises gastro-
Chapitre 1. Introduction
Synchroniseur
veille
repos
temps
Taux de mélatonine
Vol
Phase transitoire
temps
Fig. 1.5 : Lors d’un vol Paris–Sydney, les signaux synchroniseurs (alternance activité–repos de la société) se
décalent dans le temps. Le taux de mélatonine permet d’observer les perturbations de l’horloge interne
du voyageur (NSC) qui se synchronise après une phase
transitoire.
intestinaux.
Ce décalage horaire est absorbé plus ou moins
rapidement selon les métabolismes et selon les
cycles concernés : le cycle de veille–sommeil est
recouvert plus rapidement que le cycle de variation de la température. Un être humain réagit
plus rapidement à une avance de phase (voyage
d’est en ouest), qu’à un retard de phase (de l’ouest
vers l’est), son comportement n’est donc pas symétrique.
Ce type de comportement en poursuite de phase
correspond au comportement des circuits de démodulations dans les télécommunications ou dans la
télémesure. La phase des signaux synchroniseurs
est dans ce type d’applications modulée ou simplement perturbée par l’information à véhiculer (télécommunications) ou par l’information liée à la
grandeur à mesurer (mesure par effet Doppler).
Dans ces applications la phase transitoire doit
être la plus courte possible. Pour cela on cherche
à faire varier rapidement la fréquence de l’oscillateur, souvent par un procédé non–linéaire, jusqu’à
ce que les fréquences soient suffisamment proches
puis on corrige l’erreur de phase avec de faibles
variations.
Cette technique est utilisée pour corriger les effets du décalage horaire sur l’homme : en injectant
pendant la nuit de la mélatonine dans le corps humain (ou simplement en s’obligeant à ne pas dormir le jour) on force la synchronisation pendant un
cycle circadien, ce qui provoque un fort effet correctif dans le cerveau humain qui va faire varier
rapidement la fréquence du NSC.
Les systèmes modifiant la fréquence d’une horloge interne pour obtenir des variations qui soient
en phase avec celles d’un signal de référence sont
1.2. Le verrouillage de phase
des asservissements de phase.
Il ne faut pas confondre l’asservissement de
phase, comme celui de l’homme sur l’alternance
jour–nuit, avec le couplage de phase entre oscillateurs, comme le couplage des cycles de veille–
sommeil d’individus vivants dans la même pièce
sans repère temporel.
Dans le cas de l’asservissement de phase, l’horloge interne de l’homme s’adapte à la rotation de
la Terre autour du Soleil ; dans le cas du couplage,
les horloges internes de chaque individus sont interdépendantes et finissent par se synchroniser.
1.2.1
Historique
Outre les asservissements de phase réalisés par
la Nature, l’Homme a créé ses propres asservissements de phase à des fins multiples. La réalisation
électronique d’un asservissement de phase par rétroaction est appelée une boucle à verrouillage de
phase.
L’utilisation des boucles à verrouillage de phase,
que l’on notera BVP par la suite, est tellement répandue de nos jours qu’un foyer occidental moyen
comporte au moins une dizaine d’exemplaires de ce
circuit (au moins 2 exemplaires dans un téléviseur,
4 dans un ordinateur, 1 dans une radio, 1 dans un
téléphone, 1 dans une télécommande, etc.).
Une des premières observations scientifiques
du phénomène de synchronisation a été celle de
Huygens en 1673 qui a observé la synchronisation de deux horloges à balancier.
Les premières études systématiques avec une
réalisation électronique d’un asservissement de
phase semblent être celle de Appleton en 1922
[App22], et de van der Pol en 1927 [vdP27], qui
ont montré que l’on pouvait asservir la phase d’un
oscillateur à triodes au moyen d’un signal de fréquence légèrement différente.
La première description connue d’une BVP
par rétroaction est publiée par l’ingénieur français de Bellescize en 1932 [dB32] à propos de la réception synchrone de signaux radio.
de Bellescize proposait un asservissement de
phase dans le but de reconstruire la porteuse d’un
signal modulé en amplitude pour opérer à la réception de ce signal.
Ce principe de réception dit hétérodyne a été en
un premier temps délaissé, car trop complexe, au
profit de la réception synchrone pendant quelques
années. La réception hétérodyne est ensuite devenue incontournable avec le besoin d’accroı̂tre les
performances et avec la réduction des coûts apportée par l’électronique intégrée.
13
La première utilisation intensive de la BVP a
été la synchronisation horizontale et verticale des
balayages des postes de télévision. Le départ du
balayage de chaque ligne et celui de chaque demi–
trame d’une image télévisée est donné par une impulsion dans le signal vidéo.
Une méthode directe pour construire le balayage
du tube de télévision consiste à faire partir une
trame de balayage dès l’apparition d’une impulsion. Mais cette méthode étant très sensible à l’absence d’impulsion et aux bruits, l’utilisation de
deux oscillateurs libres synchronisés sur les impulsions du signal vidéo a été mise en oeuvre en utilisant le verrouillage de phase.
Ceci permet d’obtenir un balayage en l’absence
d’impulsion et surtout de rejeter l’effet du bruit
sur le déclenchement des trames provoquant des
tremblements de l’image et une mauvaise résolution.
Les vols spatiaux ont apporté des contraintes
fortes sur les circuits de télécommunication : faible
puissance des signaux porteurs (10mW) et donc
fort rapport signal–bruit, mais aussi un déplacement de la fréquence porteuse dû à la dérive en
température des oscillateurs embarqués et à l’effet
Doppler lié au déplacement des satellites.
Ces exigences ont inspiré d’énormes progrès
dans la maı̂trise des BVP et ont étendu les domaines d’application :
– les transpondeurs qui localisent et identifient
le véhicule dans lequel ils sont embarqués en
renvoyant le signal d’un radar en multipliant
sa fréquence par un rapport n/m identifiant
l’appareil ;
– les modulateurs et démodulateurs de fréquence utilisés principalement dans les télécommunications ;
– les onduleurs générant la commande des machines asynchrones, et la synchronisation d’un
alternateur sur le réseau électrique ;
– les multiplieurs et diviseurs de fréquence ;
– la synchronisation des transmissions digitales
utilisée notamment dans les transmissions
NRZ3 , les réseaux ethernet, le stockage sur
support magnétique ou optique, les télécommandes, etc. ;
– les générateurs de fréquence dans les téléphones à fréquence vocale, les synthétiseurs
musicaux ;
– les générateurs d’horloge pour les microprocesseurs et leurs périphériques ;
– les convertisseurs tension–fréquence et fré3 codage
en Non Retour à Zéro
14
Chapitre 1. Introduction
quence–tension ;
– etc.
De toutes ces applications se sont dégagées un
nombre important de solutions, donnant naissance
à des types de BVP qui différent selon les signaux
traités et la réalisation de chacune des parties qui
les composent.
1.2.2
Les boucles à verrouillage de
phase
Bien qu’il y ait de nombreuses manières de réaliser la BVP, sa structure globale, présentée dans
la fig. 1.6, n’évolue pas. Une BVP est constituée
des trois blocs suivants :
– un Détecteur de Phase ou d’un Détecteur de
Phase–Fréquence 4 fournissant une information sur l’erreur de phase entre le signal d’entrée vref et le signal bouclé vb , cette information dépend aussi de l’erreur de fréquence
dans le cas du DPF ;
– un Filtre Passe–Bas chargé de filtrer les perturbations, stabiliser la boucle, et lisser la tension voct transmise à l’oscillateur contrôlé en
tension ;
– un Oscillateur Contrôlé en Tension ou un
Oscillateur Contrôlé Numériquement 5 qui délivre un signal de fréquence instantanée directement proportionnelle à la tension d’entrée.
Sortie de la
démodulation
de phase
Sortie de la
démodulation
de fréquence
vref
vb
DP
ou
v
DPF charge
vref
f
Filtre Passe-Bas
vs
Signal reconstruit
OCT
La BVP effectue un asservissement sur la phase
du signal bouclé vb . Lorsque le signal de sortie vs
est en retard sur le signal d’entrée vref , le DP, à
travers le filtre et l’OCT, augmente la fréquence
du signal de sortie, ce qui a pour effet de réduire
ce retard. Inversement, une diminution de la fréquence de l’OCT réduit l’écart de phase lorsque la
sortie est en avance.
La notion d’entrée et de sortie d’une BVP est
relative au type d’application qui lui est destinée, la fig. 1.6 montre les points d’entrée–sortie
de quelques applications.
Dans le cas d’une modulation de fréquence, le
signal de modulation est additionné à l’entrée du
VCO et le signal modulé est récupéré à sa sortie,
l’entrée du DPF étant cadencée par la fréquence
porteuse. Dans le cas d’une démodulation de fréquence, le signal à démoduler entre sur le DPF, et
le signal démodulé est récupéré à la sortie du filtre.
Le bouclage de la BVP permet de réaliser une
fonction directement mais aussi indirectement par
asservissement du signal issu de la fonction inverse.
Cela est utile lorsqu’une opération est techniquement difficile à réaliser directement, mais facile à
réaliser à l’inverse.
C’est le cas de la multiplication de la fréquence
d’un signal par un nombre rationnel N/P . Il est
facile de diviser la fréquence d’un signal binaire en
utilisant par exemple des compteurs, par contre sa
multiplication est beaucoup plus difficile.
Pour multiplier la fréquence f d’un signal par
N , on peut introduire un Diviseur de Fréquence,
comme dans la fig. 1.7, pour boucler le signal de
sortie vs vers le DPF. Le signal bouclé vb est alors
de fréquence N fois inférieure à celle du signal de
sortie.
voct
vb
DP vcharge
ou
DPF
voct
OCT
vs
+
+
Entrée de la
modulation
de fréquence
f
Nf
1/N
Diviseur de fréquence
Fig. 1.7 : La BVP en multiplieur de fréquence
Fig. 1.6 : La boucle à verrouillage de phase
4 Phase
Detector ou Phase Frequency Detector en anglais, dénommé DP et DPF par la suite
5 Voltage Controlled Oscillator ou Numerically Controlled Oscillator en anglais, dénommé OCT et OCN par la
suite
L’asservissement de phase assure alors une fréquence f identique entre le signal bouclé vb et le
signal d’entrée vref ce qui permet d’obtenir un signal de sortie de fréquence N f . Il suffit alors de
diviser la fréquence de sortie par P pour finale-
1.2. Le verrouillage de phase
15
Tab. 1.1 : Nomenclature des BVP.
Type de Détecteur de Phase
Type d’Oscillateur Contrôlé
Analogique (VCO)
Numérique (NCO)
S–PLL
DS–PLL
Sampled PLL
Digital Sampled PLL
A–PLL
D–PLL
Analog PLL
Digital PLL
Logique
XOR–PLL
XOR–DPLL
Séquentiel
CP–PLL
CUDD–PLL
Charge Pump PLL
Counting Up/Down Digital PLL
—
Soft–PLL
Échantillonneur
Multiplieur
Logiciel
Software PLL
ment obtenir le rapport de fréquence N/P .
Pour plus de détails sur les différents types de
BVP et leurs applications, on peut consulter les
références suivantes [Kol99][Ste98].
1.2.3
Classification des BVP
De la littérature concernant les BVP se dégage
un grand nombre d’appellations ne désignant parfois pas le même système. On peut remarquer par
exemple l’appellation de DPLL désignant tantôt
une BVP comportant un détecteur de phase logique, tantôt une BVP comportant un OCN.
Globalement, une classification est utilisée implicitement distinguant les différents types de BVP
selon :
– le type de DP, pouvant être un détecteur
échantillonneur, multiplieur, séquentiel ou logique ;
– le type d’oscillateur, contrôlé par une commande numérique ou analogique.
Le type de filtre utilisé pouvant être déduit de
la nature du DP et de l’oscillateur, celui-ci n’influence pas en général l’appellation de la BVP. Le
tableau 1.1 liste les différents types de BVP les plus
courantes ainsi que l’appellation issue de l’anglais.
Selon le détecteur de phase on distingue les
BVP analogiques – dont le détecteur de phase et
l’oscillateur sont analogiques, – des BVP semi–
numérique – dont le détecteur de phase est numérique et l’oscillateur analogique.
Le choix du détecteur de phase dépend principa-
lement des signaux qu’il reçoit. Lorsque le signal en
entrée et le signal bouclé sont de type sinusoı̈dal
ou de manière plus générale à phase observable,
les détecteurs de phases analogiques (multiplieurs,
échantillonneurs, etc.) sont préférés aux détecteurs
numériques car ces derniers sont très sensibles au
bruit.
Lorsque les signaux sont mixtes, dans les conversions de signaux carrés en signaux sinusoı̈daux par
exemple, l’utilisation de détecteurs de phase analogiques demeure avantageuse, notamment celle d’un
détecteur par échantillonnage qui se trouve particulièrement adapté à cette situation.
Lorsque les signaux sont tous deux de forme carrée, dont la phase n’est pas observable à tout instant, les détecteurs numériques s’imposent car ils
peuvent détecter les transitions successives du signal.
Lorsque la BVP est intégrée sur une puce, celle–
ci se trouve souvent être la seule partie analogique
du circuit, c’est le cas dans les circuits purement
numériques comme les microprocesseurs, les DSP,
les micro–contrôleurs et leurs périphériques.
Cette partie analogique devient coûteuse car elle
empêche l’utilisation de certaines technologies à
très basse tension utilisées en numérique et demande des efforts de conception qui doivent être
renouvelés à chaque changement de technologie.
C’est pourquoi des BVP entièrement numériques ont été réalisées en utilisant des détecteurs
de phase numériques et en remplaçant le filtre et
l’OCT par leurs équivalents numériques.
16
Chapitre 1. Introduction
Elles sont alors conçues et intégrées avec les outils de conception numériques, fondues avec les
mêmes technologies et peuvent être directement
réutilisées lors de changement de technologies.
La conception de l’OCN est faite à partir
d’une horloge externe de haute fréquence dont
on compte le nombre de cycles. Cependant il
existe des OCN n’exploitant pas d’horloges externes [Ols01][Acc02b].
Dans certaines applications où un processeur est
disponible, on peut remplacer les circuits numériques par un micro–programme exécuté par le
processeur.
Celui–ci mesure le signal d’entrée par un de ses
périphériques, simule le fonctionnement du détecteur de phase, du filtre et de l’OCN – en utilisant
l’horloge du processeur comme horloge de haute
fréquence, – calcule le signal de sortie et le transmet via un périphérique.
Ces types de BVP sont qualifiées de BVP logicielles, ou Software PLL en anglais. Beaucoup
de micro–contrôleurs comportent une implémentation des éléments d’une BVP , et permettent de
les contrôler par le micro–programme.
Il ne faut pas confondre ces BVP dites programmables avec une BVP logicielle dont au moins une
des parties de la BVP doit être implémentée par
le micro–programme.
1.2.4
État de l’art de l’analyse des
BVP
Les BVP ont été surtout étudiées à partir de leur
première utilisation intensive dans les postes de télévision. De 160 articles publiés en 1966, le nombre
a franchi les 1000 articles en 1980 et a progressé
avec la diversité des applications. De nos jours, une
recherche sur internet avec la phrase « phase locked
loop » atteint les 270000 réponses.
La BVP analogique est la première et la
plus étudiée des boucles à verrouillage de phase.
Comme tous ses composants sont analogiques, elle
peut être modélisée par un système d’équations
différentielles ordinaires ; cette simplicité d’analyse en fait une base de référence pour l’étude des
autres types d’architecture.
De très bons livres [Vit66][Kla72][Bla76][Gar79],
deux numéros spéciaux IEEE [Gar80b][Lin82], et
un tutorial [Gup75] sont consacrés à la théorie et
aux applications des APLL.
Alors que la théorie des APLL est très développée, la théorie des BVP numériques et semi–
numériques est en constant développement.
D’une manière générale les non–linéarités des
BVP entièrement numériques sont négligées et ont
fait l’objet de relativement peu de travaux.
Par exemple, l’effet de la quantification de
la fréquence de l’OCN, initialement étudié par
Gardner fait l’objet de travaux et de nouveaux
résultats. La quantification provoque l’apparition
d’un cycle limite dont le comportement a été analysé de manière empirique dans [Gar96] et explicité
récemment à partir de l’analyse non–linéaire dans
[Tep99][Tep00].
Une autre type de BVP est celui dont les détecteurs de phase comportent une mémoire des
états passés. Citons les détecteurs de phase séquentiels et les détecteurs de phase échantillonneurs–
bloqueurs qui ont fait l’objet de peu de travaux.
La difficulté de l’analyse vient de l’aspect hybride du système mélangeant l’état continu du
filtre et de l’OCT avec les états discrets du DP évoluant au cours d’événements. C’est dans l’optique
de mieux maı̂triser les modèles et de fournir des
résultats d’analyse concernant ces types de BVP
que s’inscrivent ces travaux de thèse.
1.2.5
La BVP–IC
Une étude exhaustive de toute les variétés de
BVP à détecteurs de phase séquentiels serait beaucoup trop vaste. Nous nous limiterons par la suite
à une variété de BVP dénommée Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsion de Charge 6 (notée BVP–IC) ou encore Boucle à Verrouillage de
Phase par Pompe de Charge.
La figure 1.8 présente la structure générale de
la BVP–IC. Le circuit comprend un détecteur de
phase–fréquence séquentiel à trois états décrit dans
le §2.1.1, commandant deux sources de courant
stabilisées7 .
Le courant est injecté dans un filtre passe bas,
décrit au §2.1.2, lissant le signal délivré dans
l’OCT, décrit au §2.1.3.
La sortie de l’OCT peut être bouclée sur le DPF
à travers un diviseur par N , ce qui permet d’obtenir un signal de sortie de fréquence N fois supérieure à celle en entrée.
Un exemple de réalisation intégrée de ce type de
BVP ainsi que les différentes caractéristiques mesurées sur un circuit réel sont publiés dans [You92].
6 Charge
7 Charge
Pump Phase Locked Loop en Anglais
Pump en Anglais
1.2. Le verrouillage de phase
17
Ic
vref
vb
vhaut
DPF
III
ic
voct
vbas
OCT
vs
R
Ic
C
1
N
Fig. 1.8 : Structure d’une BVP–IC
1.2.6
État de l’art de l’analyse des
BVP–IC
La BVP–IC avec un détecteur de phase à trois
états a été introduite dans les années 1976 par
Sharpe dans [Sha76] afin d’améliorer la phase
transitoire du circuit.
La première modélisation a été proposée par
Gardner dans [Gar80a] sous forme d’un système
de récurrences non–linéaires quasi–exactes dont la
résolution numérique permet d’obtenir une simulation du transitoire.
Ces équations ont été linéarisées pour permettre
l’analyse de stabilité de la boucle. Cette linéarisation est faite en remplaçant la forme exacte des
signaux discrets issus du DPF par une approximation continue de leur moyenne. Le modèle se trouve
être alors celui d’une BVP analogique.
Cette
méthode
d’analyse,
appelée
l’approximation quasi–continue (AQC), fait
référence et est encore très utilisée à l’heure
actuelle. Dans ce même article, il est établi que
l’AQC donne des résultats similaires à ceux
obtenus avec les récurrences non–linéaires quasi–
exactes, lorsque la fréquence de référence est
largement supérieure à celle de la bande passante
de la boucle.
Un modèle discret non–linéaire exact a été proposé par van Paemel dans [vP94] sur la base de
ces travaux. Les équations proposées sont établies
sans approximation sur la forme des signaux, il en
résulte une quadruple définition des équations du
système. Le système d’équation à utiliser parmi les
quatre possibles est déterminé à l’aide d’un algorithme.
Ce modèle est valable uniquement lorsque l’erreur de phase n’excède pas un cycle complet, près
de l’état d’accrochage. Une simulation exacte de
la phase transitoire est tout de même possible en
utilisant un algorithme de calcul analytique. Dans
cet article l’analyse de stabilité n’est pas développée. Ce modèle a été établi uniquement pour les
BVP–IC du second ordre.
Les travaux d’Hedayat [Hed97] établissent un
modèle événementiel de la BVP–IC. Ce modèle
est composé d’une récurrence non–linéaire non–
autonome permettant de simuler la phase transitoire de manière exacte. Ce modèle, dont le pas de
calcul dans le temps est variable, est analytique et
équivalent à celui de van Paemel pour le second
ordre.
Hedayat a étendu cette modélisation au cas de
la BVP–IC du troisième ordre [Hed99]. Aucune
analyse de stabilité spécifique à ce modèle n’est
proposée, par contre une analyse statistique intéressante des caractéristiques du circuit est réalisée
à partir des simulations de ce modèle exact.
Des non–linéarités on été rajoutées dans le modèle telles que la zone morte du DPF et la saturation de la tension de commande. L’absence de
facilité d’analyse mathématique de ces deux derniers modèles font que le modèle linéaire et les résultats obtenus par Gardner en 1980 sont encore
utilisés.
1.2.7
Apport personnel
Les modèles de van Paemel et Hedayat
offrent la possibilité de faire des simulations rapides beaucoup plus précises que celles faites avec
les modèles linéaires, par contre aucune méthode
d’analyse de la stabilité n’est proposée pour ces
modèles.
Nous avons tenté de combler cette lacune pendant ces travaux de thèse afin de pourvoir à une
analyse plus fine de la stabilité des BVP–IC, ce qui
18
permettrait de relâcher les contraintes de conception.
Après une première recherche sur la base des
modèles exacts de van Paemel et Hedayat, la
traduction de ces modèles sous la forme de modèles
hybrides s’est avérée très fructueuse.
Les progrès effectués en analyse des systèmes hybrides, basés autour de la définition de fonctions
de Lyapunov multiples, ont permis d’apporter une
première preuve de stabilité locale faite sans approximation.
Les travaux
Étant donné le nombre de paramètres importants entrant en jeu dans la conception de la BVP–
IC (6 paramètres pour l’ordre deux), une classe
d’équivalence a été établie entre des circuits de paramètres différents.
Cette classe d’équivalence donne les relations nécessaires et suffisantes entre les paramètres de deux
BVP–IC pour que leurs comportements soient
strictement similaires.
On isole ainsi les deux paramètres déterminant
totalement la dynamique du circuit, ce qui permet
de réduire l’analyse de stabilité sur un espace des
paramètres de dimension deux au lieu de six. Cet
espace des paramètres de dimension deux est appelé l’espace des paramètres réduits.
Chacune des modélisations suivantes a été écrite
ou récrite en variables réduites puis étudiée :
– Les modèles linéaires proposé par Gardner
permettent d’obtenir facilement les conditions
de stabilité du circuit. Des contraintes de rejet
des bruits peuvent être aussi ajoutées.
Les limites de stabilité et de rejet des bruits
ont été établies par Gardner et sont écrites
dans ce mémoire en variables réduites et présentées dans le plan des paramètres réduits.
Cette représentation permet de dimensionner
rapidement les composants et de minimiser la
taille du circuit en fonction des contraintes de
conception.
– Le modèle non–linéaire discret proposé par
van Paemel permet de traiter la linéarisation exacte du système proposé. Ce modèle a
été repris en variables réduites avec le formalisme de la modélisation hybride.
Pour certaines séquences simples du détecteur de phase, ce modèle a permis d’établir une condition de stabilité moins restrictive que celles obtenues avec les modèles linéaires. Ces résultats ont été publiés
Chapitre 1. Introduction
dans [Acc01c] [Acc01b].
La nouvelle limite de stabilité a été validée par une simulation comportementale sous
Verilog–A et une réalisation expérimentale.
– Le modèle événementiel proposé par
Hedayat permet des simulations rapides du
système et donc son optimisation. Il a été
repris en variables réduites et légèrement
modifié de manière à intégrer les phénomènes
de bruit.
Un critère d’optimisation facile à calculer
et paramétrable permet d’estimer les performances principales du circuit : stabilité, rapidité, rejet des bruits.
Une méthode de calcul des paramètres du système basée sur cette technique a été publiée
dans [Acc01a].
– La modélisation sous forme hybride est proposée dans cette thèse. Elle a permis d’établir
la première preuve de stabilité de la BVP–IC
sans effectuer d’approximation sur les commutations du circuit : stabilité globale au sens de
l’état discret.
Grâce à l’utilisation du modèle inverse proposé dans [Acc02a], les contraintes de stabilité
ont pu être relâchées donnant une condition
de stabilité moins restrictive que celle donnée
par l’analyse linéaire. Ces travaux n’ont pas
encore été publiés.
Pour valider les résultats théoriques précédents,
une étude par force brute du plan paramétrique
a été rendue possible grâce à un logiciel de calcul
parallèle développé au sein du LESIA. La validation de cet outil et le principe de parallélisation du
problème sont présentés dans [Ala02].
Cette puissance de calcul permet de balayer l’ensemble des valeurs des paramètres réduits et de
tracer une carte de la stabilité observée. Les résultats ont aussi été vérifiés par une platine d’expérimentation réalisée en composants discrets.
La méthode d’analyse de stabilité de la BVP–
IC peut être étendue aux autres BVP hybrides
(à détecteur de phase séquentiels). C’est dans ce
but que les travaux ont été poursuivis lors d’un séjour dans le laboratoire du Departement of Electronic and Electrical Engineering à l’University College of Dublin où se trouvent des compétences en
BVP numériques : les DPLL. Un nouveau type de
DPLL, entièrement autonome (ne nécessitant pas
d’horloge externe) et pouvant être fabriquée uniquement à partir de blocs logiques de base, a été
proposé dans [Acc02b]. Le circuit a été modélisé
en Verilog puis synthétisé avec Synopsys.
Chapitre 2
Modélisation
Sommaire
2.1
Modélisation des différentes parties de la BVP . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Modèle du DPF et du générateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Modèle du filtre passe–bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Modèle de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Diviseur de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Choix des variables réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 BVP–IC similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Normalisation autour du point de fonctionnement unitaire . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Normalisation de la BVP–IC du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 La boucle d’asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Validité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Approximation de l’impulsion de courant de charge . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Modèle à base d’impulsions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Modèle à base d’une impulsion approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Validité des modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Modèle non–linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Modèle linéarisé discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Modèle non–linéaire inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Les différents types de modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Définition du modèle hybride de Pettersson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Modèle hybride continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Discrétisation du modèle hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence . . . . . . . .
2.8.6 Discrétisation périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Discrétisation quasi–périodique du modèle Hyb–CNC . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.8 Simulation des modèles hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Modèles événementiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Modèle événementiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Modèle événementiel du troisième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Quelques simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Simulations locales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Simulations globales en trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
20
20
21
22
23
24
24
24
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31
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35
37
37
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42
42
43
43
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47
48
48
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51
51
52
54
56
56
57
20
Chapitre 2. Modélisation
Introduction au chapitre 2
Ce chapitre traite de la modélisation de la BVP–IC du second ordre et, autant que faire se peut, du
troisième ordre. La difficulté de la modélisation d’un tel circuit tient dans la coexistence de systèmes
de nature continue (l’oscillateur et le filtre linéaire) avec un système séquentiel (la logique du détecteur
de phase). Nous cherchons à établir un modèle capable de représenter les interactions entre ces deux
systèmes de nature différente. Ces modèles doivent permettre ensuite une analyse qui est traitée dans le
chapitre 3.
Plusieurs solutions ont été apportées dans la littérature et quelques unes le sont dans ce mémoire. Une
dizaine de modèles du second ordre ainsi que cinq modèles du troisième ordre sont présentés ici. Pour
permettre au lecteur de situer un modèle particulier parmi les autres, un récapitulatif est présenté dans
le § 2.10 (page 54). La fig. 2.25 présente un récapitulatif des différents modèles.
La section 2.1 établit les équations modélisant la fonction de chaque élément de la BVP–IC : le détecteur
de phase, le filtre, l’oscillateur et le diviseur de fréquence.
Pour faire face au grand nombre de paramètres agissant sur le circuit, la section 2.2 propose d’isoler un
nombre restreint de paramètres agissant à eux seuls sur la dynamique du système. Un changement de
variables utilisant ces paramètres restreints permet de modéliser simplement le système continu.
Dans les sections 2.3 et 2.4 les modèles linéaires continus et discrets, initialement obtenus par Gardner,
sont présentés en variables réduites.
Les modélisations non–linéaires et leurs dérivées (modèle linéarisé, modèle inverse) sont présentées dans
les sections 2.5 à 2.7. Ces modèles permettent des simulations précises au prix d’une certaine complexité.
La modélisation hybride prenant explicitement en compte les interactions entre les parties continues et
discrètes du système est abordée dans les sections 2.8 et 2.9.
La section 2.10 présente un récapitulatif qui classifie tous les modèles présentés en fonction du type
d’approximations utilisées pour les établir.
Quelques simulations de ces modèles sont présentées dans la section 2.11 afin de souligner l’intérêt de
porter l’analyse sur des modèles plus précis bien que plus complexes à analyser.
2.1
Modélisation des différentes parties de la BVP
Nous présentons ici les modélisations des composantes de la BVP–IC. Il s’agit de modéliser le
comportement que doit observer un circuit idéal.
Les phénomènes parasites issus de circuits réels,
comme la dynamique des générateurs de courant
et l’existence d’une zone morte dans la caractéristique du détecteur de phase, ne sont pas considérés
dans ce mémoire.
Nous nous limitons à une modélisation fonctionnelle de chaque composante de la BVP–IC, présentée dans la fig. 2.2, dans le but d’en analyser le
comportement.
2.1.1
Modèle du DPF et du générateur de courant
L’élément caractéristique de la BVP–IC est son
détecteur de phase à logique séquentielle. Nous
nous intéressons à un détecteur de phase/fréquence
↓ vref
↓ vref
vbas = 0
vhaut = 1
ic = +Ic
↓ vb
↓ vref
vbas = 0
vhaut = 1
ic = 0
↓ vb
vbas = 0
vhaut = 1
ic = −Ic
↓ vb
Fig. 2.1 : Diagramme d’état du DPF (↓ signifiant
« front descendant de »)
dit de type III car la machine à états finis qui le
représente comporte trois états distincts. Le diagramme d’état du DPF de type III est présenté
dans la fig. 2.1.
Les sorties du DPF commandent deux commutateurs de courant de telle sorte que le courant ic
à l’entrée du filtre passe–bas prend trois valeurs
possibles −Ic , 0 et +Ic .
Les états de la machine séquentielle sont donc
2.1. Modélisation des différentes parties de la BVP
21
Ic
vhaut
vref
vb
DPF
III
ic
voct
vbas
vs
OCT
R
Ic
C
1
N
Fig. 2.2 : Les composantes de la BVP–IC
nommés −Ic , 0 et +Ic car ils correspondent aux
trois combinaisons autorisées des sorties vbas et
vhaut générant ces trois valeurs du courant de
charge.
Dans le cas d’une modélisation du comportement idéal, cette représentation par machine à état
est utilisée. On utilise alors une variable d’état
E(t) ∈ {−1, 0, 1} signifiant que le DPF se trouve
dans les états respectifs −Ic , 0 et +Ic . La valeur
du courant de charge est alors exprimée par l’équation :
ic (t) = E(t) Ic
(2.1)
Le DPF étant à caractère discret asynchrone,
des approximations doivent être effectuées pour
obtenir un modèle linéaire.
Une solution consiste à estimer le courant de
charge moyen ic sur une période du signal d’entrée
en fonction de l’erreur de phase θe entre le signal
de référence et le signal bouclé.
Cette approximation néglige l’influence de l’erreur de fréquence sur le comportement du DPF en
supposant que les deux signaux sont accrochés à
une fréquence voisine.
La caractéristique linéaire par morceaux valable
pour les petites erreurs de fréquence ainsi obtenue
est présentée dans la fig. 2.3.
Cette caractéristique s’obtient aisément en traçant la forme du signal ic (t) pour un déphasage
constant entre les signaux d’entrée.
Si l’on considère de plus que l’erreur de phase
est inférieure en valeur absolue à 2π on obtient la
i¯c
+Ic
−4π −2π
0
2π
4π
6π
θe
−Ic
Fig. 2.3 : Caractéristique approchée du DPF
relation linéaire simple i¯c =
2.1.2
Ic
2π θe .
Modèle du filtre passe–bas
Le filtre passe–bas peut être actif ou passif, linéaire ou non–linéaire. Nous nous limitons aux
filtres les plus simples à concevoir et à modéliser :
les filtres linéaires passifs.
Les BVP–IC comportant un filtre du premier
ordre sont appelées BVP–IC du second ordre car
leur modèle linéaire est d’ordre deux.
De même, on appelle BVP–IC du troisième
ordre, les circuits comportant un filtre du second
ordre.
La conception rendant l’utilisation de source de
courant plus aisée que celle de tension contrôlée,
le filtre est attaqué en courant.
La sortie du filtre doit fournir une tension la plus
stable possible à l’entrée de l’OCT. Les filtres pas-
22
Chapitre 2. Modélisation
t−t0
t−t0
voct (t) = vc (t) + (voct (t0 ) − vc (t0 )) e− τ + iCc 2τ 1 − e− τ
h
i
t−t
ic τ
τ
− τ0
avec vc (t) = vc (t0 ) + RC
(v
(t
)
−
v
(t
))
−
1
−
e
+
oct
0
c
0
C
+C
1
1
2
ic
C1 +C2
(t − t0 )
(2.2)
C2
et τ = R CC11+C
2
sifs linéaires du premier et second ordre considérés
sont présentés dans la fig. 2.4.
ic
ic
R
C
vc
R
voct
C1
C2
voct
vc
voct
voct
t
ic
t
ic
t
t
Fig. 2.4 : Filtres linéaires passif du premier ordre à
gauche et second ordre à droite
Comme le montre cette figure, la tension de sortie du filtre RC du premier ordre est très irrégulière car elle comporte des sauts en tension dûs au
passage du courant constant dans la résistance.
Le filtre du premier ordre n’est donc que rarement utilisé. Le concepteur préfère rajouter une
seconde capacité en sortie pour lisser ces sauts de
tension. Ceci n’est pas sans compliquer l’étude du
circuit.
Nous étudions donc, en première approximation,
la BVP–IC du second ordre et essaierons de prolonger l’étude au troisième ordre dans la mesure
du possible.
En négligeant les non–linéarités des composants,
la fonction de transfert exprimant voct en fonction
de ic correspond à l’impédance du filtre. Cette impédance est entièrement linéaire et peut donc être
exprimée avec la variable de Laplace p.
Les fonctions de transfert du filtre du premier
ordre et du second ordre sont les suivantes :
voct (p)
RCp + 1
=
ic (p)
Cp
(2.3)
1
RC1 p + 1
voct (p)
=
ic (p)
p RC1 C2 p + (C1 + C2 )
(2.4)
Le courant émis par le DPF est de forme linéaire commutée. La représentation de Laplace
peut être utilisée sur les portions constantes du
signal en y intégrant les conditions initiales.
Dans ce cas, on peut calculer l’évolution de la
tension aux bornes des capacités lorsque le courant est constant. L’hypothèse de continuité permet d’affirmer que la tension vc aux bornes des capacités reste constante lors des commutations de
courants.
On peut donc intégrer de commutation en commutation la valeur de ces tensions : le signal voct
peut facilement être déduit de la connaissance de
ces tensions et de la valeur du courant en entrée
du filtre.
L’évolution de voct et vc (t) entre deux commutations est donc déterminée en fonction de ic et
de l’état initial par l’équation (2.5) dans le cas du
filtre du premier ordre et l’équation(2.2) dans le
cas d’un second ordre.
voct (t) = vc (t) + ic (t)R
vc (t) =
2.1.3
ic (t)
C t
(2.5)
Modèle de l’OCT
Le rôle de l’OCT est de générer un signal de fréquence instantanée proportionnelle à la tension en
entrée. Sa conception est délicate car la caractéristique du circuit doit être linéaire et de plus la
fréquence de sortie doit être élevée avec une pureté
spectrale maximale.
L’OCT est souvent réalisé à la manière d’un shishi odoshi dont on contrôle le débit d’eau l’alimentant, c’est–à–dire, en chargeant une capacité avec
un courant i (voct (t)) dont la valeur est contrôlée
par l’entrée de l’OCT.
Lorsque la charge accumulée aux bornes de la
capacité de l’OCT atteint une certaine valeur, le
sens du courant de charge i (voct (t)) est inversé et
2.1. Modélisation des différentes parties de la BVP
ainsi de suite. La sortie du comparateur commandant le sens du courant génère alors un signal de
forme carrée dont la fréquence instantanée est proportionnelle à la commande en entrée.
On assimile alors la phase instantanée du signal
de sortie à la charge accumulée aux bornes de la
capacité au cours du temps. On obtient une phase
croissante en la définissant comme l’intégrale de la
variation de charge quel que soit le sens de cette
charge :
Zt
ϕ(t) = ϕ(t0 ) +
|i (voct (t)) |
dt
C
23
foct
Point de
fonctionnement
réelle
affine
linéaire
Fol
voct
(2.6)
0
vs
t0
Une autre technique de réalisation de l’OCT
consiste à connecter un nombre impair d’inverseurs
en boucle. Le temps de commutation de chaque inverseur est contrôlé par la tension d’entrée.
Cette architecture, simple, génère des signaux
de très bonne pureté spectrale, en revanche la caractéristique de la fréquence de sortie en fonction
de la tension en entrée n’est pas très linéaire. Dans
cette réalisation, la phase instantanée est assimilée
à la charge accumulée dans les entrées de chaque
inverseur.
Dans le § 1.1 (page 6), on montre que la fréquence instantanée est liée à la fréquence par la
relation :
Zt
ϕ(t) = ϕ(t0 ) + 2π
F (τ ) dτ
(2.7)
t0
La fréquence instantanée foct du signal de sortie de l’OCT est donc assimilée directement à la
variation de charge accumulée dans la capacité de
l’OCT qui est directement proportionnelle au courant de charge i (voct ).
Quelle que soit la manière dont l’OCT est conçu,
sa caractéristique exprimant la fréquence instantanée de sortie en fonction de la tension en entrée dépend directement de la qualité de l’asservissement
du courant de charge. Une caractéristique typique
est présentée dans la fig. 2.5.
Dans la suite, nous négligerons cette non–linéarité ainsi que la dynamique de l’asservissement du
courant de charge (ou du temps de commutation
des inverseurs) par la tension en entrée.
La dérivée de la phase instantanée (2.6) proportionnelle à la valeur du courant chargeant la capacité de l’OCT est approchée par une relation affine
avec la tension voct . La fréquence instantanée est
alors donnée par la relation affine suivante :
foct (t) = Koct voct (t) + Fol
(2.8)
Fig. 2.5 : Caractéristiques réelle, affine et linéaire de
l’OCT
La pente Koct de la caractéristique est appelée
gain de l’OCT et l’abscisse à l’origine Fol de la
caractéristique est appelée fréquence d’oscillation
libre de l’OCT .
On peut remplacer F (t) par l’expression (2.8) et
obtenir l’expression de la phase du signal de sortie
ϕoct en fonction de la tension en entrée :
(2.9)
ϕoct (t) = ϕoct (t0 )+
2π
(t − t0 )Fol + Koct
Rt
!
voct (τ ) dτ
t0
Une représentation linéaire est obtenue en négligeant la part de la fréquence d’oscillation libre Fol
devant la part apportée par le gain de fréquence
Koct . On obtient ainsi la fonction de transfert de
l’OCT idéal en utilisant la variable de Laplace :
ϕoct (p)
2π Koct
=
voct (p)
p
(2.10)
Comme le montre la fig. 2.5, cette approximation peut être forte selon le type de l’OCT.
2.1.4
Diviseur de fréquence
Le diviseur de fréquence est un circuit logique
qui fournit à sa sortie un signal de fréquence N
fois inférieure à celle du signal en entrée.
Dans le cas de signaux binaires, comme dans la
grande majorité des BVP–IC, le diviseur compte
les fronts du signal de sortie de l’OCT et génère
un front à sa sortie lorsque la valeur du compteur
atteint N . Le compteur est alors réinitialisé pour
compter les prochains fronts.
24
Chapitre 2. Modélisation
Le diviseur de fréquence permet de boucler un
signal vb à l’entrée du DPF de même fréquence que
le signal d’entrée tout en ayant une fréquence de
sortie N fois supérieure.
Dans le cas idéal, la phase de sortie du diviseur,
ϕb (t), est alors simplement N fois inférieure à celle
du signal de sortie de l’OCT :
ϕb (t) =
ϕoct (t)
N
(2.11)
Dans beaucoup d’analyses, ce diviseur de fréquence n’est pas directement pris en compte : le
comportement d’une BVP–IC est le même si on
considère le circuit sans diviseur de fréquence mais
avec un gain de l’OCT N fois inférieur.
Ce genre de simplification très utile est le sujet
de la section suivante.
2.2
Choix des variables réduites
Les équations issues de la modélisation du
système traitée dans la section précédente dépendent de beaucoup de paramètres. Pour un circuit d’ordre deux, le vecteur des paramètres Γ =
[R, C, Ic , Koct , Fol , N, T ] est de dimension 7.
Parmi ces paramètres, certains sont des degrés
de liberté utiles à la conception, et d’autres sont
des paramètres imposés par la fonction que doit
exercer le circuit. Il est utile de discerner les degrés
de liberté, qui vont influencer le comportement de
la BVP, des autres constantes afin de réduire la
dimension de l’espace des paramètres à étudier.
Dans cette section, on définit une relation
d’équivalence entre des BVP–IC de paramètres différents dans le but de déterminer et de regrouper sous la même classe les BVP–IC observant des
comportements identiques.
On considère alors le comportement d’une BVP–
IC à travers un jeu de paramètres et de variables
d’état réduit correspondant à une BVP–IC similaire unique.
Ceci permet de passer d’un vecteur de paramètres Γ = [R, C, Ic , Koct , Fol , N, T ] à un vecteur
de paramètres réduit de dimension deux.
Remarque 6 La période du signal d’entrée T , qui
n’est pas un paramètre intrinsèque de la BVP–IC,
a été rajoutée dans le vecteur de paramètres afin
de faciliter l’écriture des équations.
2.2.1
BVP–IC similaires
On établit donc une classe d’équivalence qui lie
deux BVP–IC dont les comportements sont similaires. On considère la dynamique des circuits en
observant l’évolution des variables d’état de chacun, cette évolution dépendant des paramètres et
des conditions initiales.
L’état d’une BVP–IC peut être entièrement décrit par les trois variables d’état suivantes :
– E(t) – l’état du DPF défini dans le § 2.1.1
(page 20),
– vc (t) – la tension aux bornes de la capacité,
– ϕb (t) – la phase du signal bouclé vb à travers
le diviseur de fréquence.
On considère alors deux BVP–IC comme équivalentes si leurs variables d’état évoluent identiquement à un facteur d’échelle près. Considérons une
BVP–IC dont le vecteur de paramètres est appelé
Γ, et une deuxième de paramètres Γ0 ; leur comportement sera similaire s’il existe un couple de
facteurs d’échelle (α, β), et des conditions initiales,
tels que la relation suivante soit vérifiée pour tout
t>0:



v (t, Γ) = β voct (α t, Γ0 )

 oct
ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 )



 E (t, Γ) = E (α t, Γ0 )
(2.12)
On démontre dans l’annexe B que deux BVP–
IC sont similaires si et seulement si les relations
entre les vecteurs de paramètres Γ et Γ0 suivantes
sont vérifiées :















2.2.2
Fol
Fol 0
N = α N0
Koct
α Koct 0
N = β N0
Ic
Ic 0
C = α β C0
(2.13)
Ic R = β Ic 0 R0
Normalisation
autour
du
point de fonctionnement unitaire
Pour étudier une BVP–IC de paramètres Γ, nous
considérons une BVP–IC similaire dont les paramètres Γ0 sont autant que possible simplifiés.
Comme il existe une infinité de circuits similaires
à un autre, il faut poser des conditions de manière
à désigner un circuit équivalent qui soit unique.
La première condition simplificatrice consiste à
2.2. Choix des variables réduites
25
fixer les facteurs d’échelle α et β en imposant un
point de fonctionnement le plus simple possible à
la BVP–IC similaire.
Définition du point de fonctionnement
Le point de fonctionnement d’un circuit est
la valeur des variables d’état, où l’on désire les
conduire, lorsque le système est stabilisé.
Dans le cas de la BVP–IC, le point de fonctionnement est caractérisé par la tension vs à l’entrée
de l’OCT générant un signal de sortie à la période
T
désirée N
.
La valeur de vs est donc la solution de l’équation :
foct = Koct vs + Fol =
⇔ vs =
N
T
N −Fol T
Koct T
(2.14)
La fréquence du signal d’entrée, supposée
connue, impose le point de fonctionnement vs autour duquel doit fluctuer le signal voct .
Nous appelons point de fonctionnement unitaire
un point de fonctionnement qui observe une tension vs égale à l’unité (1V), pour une fréquence
d’entrée unitaire (1Hz). Ce point de fonctionnement unitaire sert à fixer les facteurs d’échelles de
la relation d’équivalence.
Réduction du vecteur de paramètres
En choisissant le point de fonctionnement unitaire, la relation de similarité entre les BVP–IC
(2.12) impose l’égalité β vs = 1.
La BVP–IC similaire devant fonctionner pour
une fréquence d’entrée de 1 Hertz, le facteur
d’échelle temporel α est donc égal à T1 .
Le couple (α, β) peut être remplacé par ces valeurs dans les relations (2.13) et définir la relation
suivante entre les paramètres Γ de la BVP–IC et
ceux de sa BVP–IC similaire simplifiée Γ :
Fol
T Fol
=
N
N
Koct
Koct Koct T 2
=
N N − Fol T
N
Koct
Koct
Ic R =
Ic R T
N
N
Koct Ic
Koct Ic 2
=
T
N C
N C
(2.15a)
circuits fonctionnant autour du point unitaire qui
soient similaires à un circuit de paramètres Γ.
Il faut de plus fixer deux autres paramètres du
circuit similaire unitaire pour désigner à chaque
vecteur de paramètres Γ un unique circuit équivalent. On peut donc fixer arbitrairement deux paramètres du circuit normalisé sans compromettre
la relation de similarité.
Si l’on choisit de fixer arbitrairement la valeur
de N à l’unité, la valeur de Fol est imposée par la
relation (2.15a) et la valeur de Koct par la relation
(2.15b).
Il reste à fixer une variable parmi les trois restante : Ic ; R et C. Nous choisissons de fixer la
valeur du courant de charge à 1 Ampère, laissant
ainsi les paramètres du filtre être les seuls degrés
de liberté de l’analyse.
On étudie donc un circuit de paramètres Γ en
considérant le circuit équivalent fonctionnant autour du point unitaire, stimulé par une fréquence
d’entrée de 1 Hertz, ne comportant pas de diviseur
de fréquence (N = 1), et dont le courant de charge
est de 1 Ampère. Ce circuit similaire unique est
appelé par la suite circuit normalisé ou BVP–IC
normalisée.
Nous avons ainsi défini une unique BVP–IC similaire à une infinité de BVP–IC. Cette normalisation permet de ne considérer qu’un vecteur de
paramètres normalisé comprenant deux degrés de
liberté, dans ce cas–là R et C.
L’espace de paramètres caractérisant les différents comportements de la BVP–IC est ainsi réduit à la dimension deux. Nous caractérisons par
la suite le comportement d’une BVP–IC par les
deux paramètres a et b, issus des relations (2.15c)
et (2.15d), définis par :
a=
b=
Koct
N Ic R T
Koct Ic 2
N CT
(2.16)
Les paramètres c et d, correspondant aux deux
premières expressions de la relation (2.15), sont
arbitrairement fixés sans perte de généralité :
(2.15b)
(2.15c)
c=
d=
(2.15d)
Nous obtenons quatre relations entre les six paramètres de la BVP–IC et les six paramètres de la
BVP–IC normalisée. Il existe donc une infinité de
T Fol
N
2
1 (Koct T )
N N −Fol T
(2.17)
Les degrés de liberté du concepteur se trouvent
souvent réduits au calcul des valeurs du filtre R et
C. Les valeurs des autres paramètres sont imposées soit par la fonctionnalité du circuit (la valeur
26
Chapitre 2. Modélisation
de N ), soit par les contraintes de performance (Ic
est lié à la consommation du circuit, Koct et Fol
sont liées à la plage de fonctionnement), soit à la
technologie mise en oeuvre.
Nous avons choisi de ne pas fixer a et b, car ils
font intervenir, contrairement à c et d, les valeurs
des degrés de liberté du concepteur : R et C. On
facilite ainsi l’interprétation d’une étude dans le
plan paramétrique réduit (a, b).
Le paramètre a étant lié à l’élément dissipatif du
circuit – R – et le paramètre b étant lié à l’élément
réactif – 1/C – du circuit.
Variables normalisées
Au lieu d’étudier le circuit avec les variables
d’état E(t), vc (t) et ϕb (t) nous utilisons des variables d’état normalisées. Ceci permet d’écrire les
équations du système de manière simplifiée en faisant apparaı̂tre uniquement les paramètres réduits
a et b déterminant le comportement du circuit.
Les expressions que nous établissons ici sont valables lorsque l’état discret E(t) reste constant.
Les interactions entre les états vc (t) et ϕb (t) avec
l’état du DPF E(t) seront abordées dans le § 2.8
(page 42) traitant des systèmes hybrides.
Nous reprenons les expressions (2.1) (2.5) et
(2.11) des variables d’état vc (t) ϕb (t) et E(t) en
les remplaçant par les variables d’état x(t) et y(t)
définies par :



t = t/T




 x(t) = ϕb ( Tt )
2π
K

oct
 y(t) = N T vc ( Tt )





e(t) = E( Tt )
On constate que ces équations font apparaı̂tre le
paramètre fixe c et que de plus le point de fonctionnement de ce circuit n’est pas l’origine.
Variables normalisées centrées
Il peut être intéressant d’écrire des équations
telles que les variables d’états soient nulles lorsque
le système est stabilisé autour de son point de fonctionnement.
Pour obtenir ∂x/∂t|(x=0,y=0) = 0, le changement
de variable y = y + c − 1 est immédiat. Pour remplacer x, il faut choisir une variable d’état qui permet d’exprimer la phase de l’OCT sans diverger,
de sorte que la condition ∂y/∂t|(x=0,y=0) = 0 soit
vérifiée.
Lorsque le système converge vers son point fixe,
l’erreur de phase entre le signal de référence et le
signal bouclé tend vers 0. On peut donc définir
la variable x comme l’erreur de phase normalisée
entre le signal bouclé vb et le signal de référence
vref .
En temps normalisé, la phase du signal de référence est :
Zt
ϕref (t) = ϕref (t0 ) +
t0
Si nous reprenons l’expression de la phase normalisée du signal bouclé (2.19) en y intégrant la
nouvelle définition de y, nous obtenons l’égalité :
(2.18)
(y(τ ) + 1 + a e(τ ))dτ (2.22)
x(t) = x(t0 ) +
t0
ϕ −ϕ
En posant x(t) = b 2 πref , on obtient, par soustraction de la phase du signal de référence à la
définition (2.22), l’expression suivante :
Zt
x(t) = x(t0 ) +
(y(τ ) + a e(τ ))dτ
(2.23)
t0
(2.19)
Le système peut être représenté sous sa forme
différentielle :

 dx (t) = y(t) + a e(t) + c
dt
(2.20)
 dy (t) = b e(t)
dt
(2.21)
Zt
On obtient ainsi, à partir des relations (2.5),
(2.9) et (2.11), le système d’équations normalisées
suivant :



x(t) = x(t0 )+




Rt
(y(τ ) + a e(τ ) + c)dτ


t0



 y(t) = y(t0 ) + b e(t) (t − t0 )
1 dτ
Finalement nous reprenons les expressions (2.5)
et (2.11) des variables d’état vc (t) et ϕb (t) en les
remplaçant par les variables d’état x(t) et y(t) définies par :



t = t/T




 x(t) = ϕb (t)−ϕref (t)
2π
(2.24)
T
Koct T


vc (t) + Fol
−1
y(t)
=

N
N



 e(t) = E(t)
2.2. Choix des variables réduites
27
On obtient ainsi le système normalisé et centré sur
l’origine suivant :


Rt

 x(t) = x(t0 ) + (y(τ ) + a e(τ ))dτ
(2.25)
t0


 y(t) = y(t0 ) + b e(t) (t − t0 )
Ce système peut être représenté sous sa forme
différentielle :

 dx (t) = y(t) + a e(t)
dt
(2.26)
 dy (t) = b e(t)
dt
Les paramètres influençant la dynamique du système peuvent bien se réduire aux paramètres a et
b, exprimant à eux seul la dynamique du système
continu.
2.2.3
Normalisation de la BVP–IC
du troisième ordre
On peut réduire, avec la même technique que
précédemment, l’espace des paramètres Γ =
[R, C1 , C2 , Ic , Koct , Fol , N, T ] de la BVP–IC du
troisième ordre à un espace paramétrique réduit
de dimension trois.
L’étude d’un circuit de vecteur de paramètres Γ
peut être faite en considérant une BVP–IC équivalente fonctionnant autour du point de fonctionnement unitaire défini dans la section précédente.
Le vecteur de paramètres Γ du circuit équivalent unitaire est déduit de la relation de similarité (B.16) établie dans l’annexe B.
Le point de fonctionnement unitaire détermine
la valeur des facteurs d’échelle : α = 1/T et β =
Koct T
1
vs = N −Fol T . La relation entre les paramètres Γ
d’un circuit quelconque et les paramètres Γ d’un
circuit équivalent unitaire devient :
Fol
T Fol
=
N
N
Koct
Koct Koct T 2
=
N N − Fol T
N
τ
τ=
T
R C1
R C1 =
T
Koct Ic
Koct Ic
=
T2
N (C1 + C2 )
N C1 + C2
de paramètres unique Γ à chaque vecteur de paramètres Γ.
En prenant N = 1 on fixe ainsi les valeurs de
Fol et Koct, puisque les deux premières relations
(2.27a) et (2.27b) sont les mêmes que dans le cas
du second ordre. Les paramètres c et d définis dans
la section précédente sont là aussi considérés fixés.
Parmi les paramètres restants, seul Ic n’appartient pas aux paramètres du filtre. Pour les mêmes
raisons, on fixe Ic à 1 Ampère, ce qui permet de
conserver les paramètres du filtre comme degrés de
liberté.
On étudie donc une BVP–IC du troisième ordre
de paramètres Γ en considérant le circuit similaire
stimulé par une période d’entrée de 1 Hertz, ne
comportant pas de diviseur de fréquence, ayant un
courant de charge de 1 Ampère et se stabilisant
autour du point de fonctionnement unitaire. Ce
circuit similaire normalisé est unique.
On définit alors les trois paramètres réduits du
circuit normalisé, influençant à eux seuls sa dynamique continue, par les trois dernières relations de
(2.27) :
τ
T
τ1 = RTC1
oct Ic
p = NK
(C1 +C2 )
τn =
(2.28)
T2
Les paramètres τn et τ1 sont liés aux constantes
de temps de charge de voct et vc , tandis que le
paramètre p, à ne pas confondre avec la variable
de Laplace, correspond à la pente de charge des
deux capacités lors d’une impulsion de courant.
Un changement de variable d’état permet
d’écrire les équations du système à l’aide de ces
paramètre réduits et en simplifie l’expression.
(2.27a)
Variables normalisées du troisième ordre
(2.27b)
L’écriture des équations du système du troisième
ordre se trouve grandement simplifiée en opérant
le changement de variable suivant :
(2.27c)
(2.27d)
(2.27e)
Ces cinq relations entre les sept paramètres des
vecteurs Γ et Γ montrent qu’il faut fixer deux paramètres supplémentaires pour désigner un vecteur



t = t/T




ϕ (t)


x(t) = b2πT


y(t) = KNoct T vc ( Tt )





z(t) = KNoct T voct ( Tt )




 e(t) = E( t )
T
(2.29)
28
Chapitre 2. Modélisation
En reprenant les expressions (2.1), (2.2) et (2.11)
des variables d’état vc (t), voct (t) ϕb (t) et E(t) avec
les nouvelles variables d’état, on obtient le système
suivant :


Zt




x(t) = x(t0 ) + (z(τ ) + c) dτ





t0

(2.30)




y(t)
=
y(t
)
+
e(t)
p
(t
−
t
)
+

0
0



t−t0
τn z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p τ1
1 − e− τn
 τ1










z(t) = z(t0 ) + e(t) p (t − t0 ), +





t−t
 τ n − τ1 − τn0

z(t0 ) − y(t0 ) − e(t)pτ1 1 − e

τ1
Le système peut être représenté sous sa forme
différentielle :

dx


(t) = z + c


dt




dy
(2.31)


(t) = e(t) p +


 dt

 1 t−t0
z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p e− τn
 τ1




dz


(t) = e(t) p +


dt



t−t0

τn + τ1 

z(t0 ) − y(t0 ) − τ1 e(t) p e− τn
τn τ1
On constate que ces équations font apparaı̂tre le
paramètre fixe c et que la variable x est divergente
puisqu’elle représente la phase de l’OCT.
Un second changement de variable permet d’obtenir un système dont le point de fonctionnement
se trouve à l’origine.
Variables normalisées centrées du troisième
ordre
On effectue le même type de changement de variable :

ϕ ( t )−ϕ
(t)


t = Tt x(t) = b T 2π ref T




 y(t) = Koct T v ( t ) + Fol T − 1
c T
N
N
(2.32)
Fol T
Koct T
t


v
(
)
+
−1
z(t)
=
oct T

N
N



 e(t) = E( t )
T
Les équations d’une trajectoire deviennent :


Zt




(z(τ )) dτ
=
x(t
)
+
x(t)

0




t0

(2.33)




y(t)
=
y(t
)
+
e(t)
p
(t
−
t
)
+

0
0



t−t
τn − τn0
z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p τ1
1−e

τ1










z(t) = z(t0 ) + e(t) p (t − t0 ), +





t−t0
τ n − τ1 

z(t0 ) − y(t0 ) − e(t)pτ1 1 − e− τn

τ1
En dérivant ces équations, on obtient le système
différentiel suivant :

dx


(t) = z


dt




dy
(2.34)


(t) = e(t) p +



dt

 1 t−t0
z(t0 ) − y(t0 ) − e(t) p e− τn

τ
1




dz


(t) = e(t) p +


dt



t−t0

τn + τ1 

z(t0 ) − y(t0 ) − τ1 e(t) p e− τn
τn τ1
Le comportement du système d’ordre trois dépend uniquement des trois paramètres réduits τn ,
τ1 et p.
Les équations établies dans cette section dépendent de l’état e(t) du DPF et sont valables
lorsque cet état reste constant. Les interactions
entre l’état du DPF et les états continus rendent
la modélisation du circuit difficile.
La méthode de modélisation la plus simple
consiste à approcher le courant de charge Ic E(t)
par une variable continue.
2.3
Modèle linéaire continu
Le modèle linéaire, nommé par la suite modèle
LC, a été établi par Gardner dans [Gar80a] et
beaucoup étudié dans la littérature. Il est cependant basé sur une modélisation du DPF approchée
imposant des limites de validité.
Le modèle linéaire du DPF est établi en estimant
le courant moyen attaquant le filtre ; cette approximation, nommée Approximation Quasi Continue,
n’est valable que si la fréquence des impulsions de
charge corrigeant le système est très supérieure à
la fréquence naturelle du circuit. Le problème de
l’AQC est abordé par la suite.
2.3. Modèle linéaire continu
2.3.1
29
La boucle d’asservissement
Le modèle linéaire continu est obtenu en assemblant les fonctions de transfert de chaque élément
de la BVP–IC. On obtient donc le schéma d’asservissement de la fig. 2.6 à partir des modèles linéaires obtenus dans le § 2.1 (page 20).
θref
θe
+
Kdpf
ic
Zf (p)
voct
2πKoct
p
θs
lation (2.10), établie dans le § 2.1.3 (page 22),
appliquée à la tension moyenne d’entrée voct :
2π Koct
θs (p)
=
voct (p)
p
(2.39)
L’angle de phase du signal bouclé θb est donné
par la relation (2.11), déterminée dans le § 2.1.4
(page 23), appliquée au signal de sortie θs :
−
DPF
θb
Filtre
OCT
θb (p)
1
=
θs (p)
N
1
N
2.3.2
Fig. 2.6 : Modèle linéaire continu de la BVP–IC
L’angle de phase du signal de référence θref est
obtenu, pour un signal de fréquence constante et
égale à Fref = T1 , en appliquant (2.7) :
θref (t) = θref (t0 ) + 2π
(t − t0 )
T
(2.35)
L’erreur de phase θe est définie par la différence
entre l’angle de phase θref du signal d’entrée et
celui du signal bouclé θb :
θe (t) = θref (t) − θb (t)
(2.36)
Le courant de charge moyen ic , déterminé dans
le § 2.1.1 (page 20), est approché par la valeur
Ic
Kdpf θe où le gain Kdpf a pour valeur 2π
.
L’impédance du filtre Zf (p), déterminée dans le
§ 2.1.2 (page 21), peut être du premier ordre (Zf 1 )
ou du second ordre (Zf 2 ) :
RC p+1
Cp
1
R C1 p + 1
Zf 2 (p) =
p R C1 C2 p + (C1 + C2 )
(2.40)
Fonctions de transfert
La fonction de transfert de ce système en boucle
ouverte est donc :
G(p) =
Zf (p)
θs (p)
= Koct Ic
θe (p)
p
En prenant en compte le bouclage à travers le diviseur de fréquence on obtient la fonction de transfert en boucle fermée suivante :
H(p) =
G(p)
1 + 1/N G(p)
= Koct Ic N
On appelle voct la tension moyenne à la sortie
du filtre. Cette tension moyenne peut être obtenue
directement à partir du courant moyen car le filtre
est linéaire :
(2.42)
BVP d’ordre deux
Dans le cas d’un filtre du premier ordre, on remplace Zf par Zf 1 , dès lors on obtient la fonction
de transfert en boucle ouverte suivante :
G2 (p) = Koct Ic
RC p + 1
C p2
(2.43)
La fonction de transfert du système en boucle
fermée est celle d’un système du second ordre avec
un zéro :
H2 (p) = N
N
Koct Ic
voct (p) = Zf (p) ic (p)
Zf (p)
Koct Ic Zf (p) + p
Selon le type de filtre utilisé on obtient une BVP
d’ordre deux ou trois.
Zf 1 (p) =
(2.37)
(2.41)
RC p + 1
C p2 + RC p + 1
(2.44)
(2.38)
L’angle de phase du signal à la sortie de
l’OCT est appelé θs . Il est déterminé par la re-
Ces équations s’expriment simplement avec les
paramètres normalisés a et b établis dans le § 2.2.2
(page 24). Un tel changement de variable n’affecte
30
Chapitre 2. Modélisation
H3 (p) = N
N
Koct Ic
RC1 C2
p3
RC1 p + 1
N
2
+ Koct
Ic (C1 + C2 )p + RC1 p + 1
pas les fonctions de transfert car celles–ci sont le
rapport entre des grandeurs de même nature : des
angles de phase.
On obtient donc les fonctions de transfert en
fonction des paramètres normalisés suivantes :
p+1
p2
a/b T p + 1
H2 (p) = N 2 2
T /b p + a/b T p + 1
G2 (p) = b N
a/b T
(2.46)
(2.47)
Remarque 7 Le paramètre N apparaı̂t dans les
équations car les fonctions de transfert calculées
sont le rapport entre la grandeur de sortie θs
et celle d’entrée. Si nous prenons comme sortie
l’angle de phase du signal bouclé θb le facteur N
disparaı̂t.
Les fonctions de transfert de la BVP–IC équivalente unitaire s’obtiennent en remplaçant T et N
par 1 dans les expressions précédentes :
2.3.3
Validité du modèle
Les fonctions de transfert que nous venons d’établir sont fondées sur une approximation qui ne
prend en compte que le comportement moyen de
la boucle, ce qui permet de considérer la BVP–IC
comme un système continu.
Or le courant de charge est commuté par les signaux vhaut et vbas du DPF. La modélisation du
DPF ne prend pas en compte les commutations périodiques du circuit liées aux fronts descendants du
signal d’entrée et celles liées aux fronts du signal
bouclé vb .
L’AQC est donc valide si la fréquence de ces
commutations est suffisamment supérieure à la dynamique du système.
Dans le cas de la BVP–IC du second ordre, on
peut identifier la fonction de transfert du système à
celle d’un système du second ordre classique comportant un zéro :
H(p) = K
Gu2 (p)
=b
a/b p
+1
p2
a/b p + 1
H2u (p) = 1 2 a
/b p + /b p + 1
(2.48)
(2.49)
BVP d’ordre trois
RC1 p + 1
Koct Ic 1
C2
2
C1 + C2 p R CC1+C
p+1
1
2
(2.50)
La fonction de transfert du système en boucle
fermée (2.45) est aussi celle d’un système du troisième ordre. On peut l’exprimer en variables réduites :
1 τ1 s + 1
s2 τn s + 1
τ1 s + 1
H3u (s) = N τn 3 1 2
s
+
p
p s + τ1 s + 1
αp + 1
2 + 2ξ/ω p + 1
p
n
n
1/ω 2
(2.52)
L’identification terme à terme permet de déterminer la valeur du gain K, de la pulsation naturelle
ωn et du coefficient d’amortissement du système ξ :
√
Koct Ic
= b
NC
r
a
R Koct Ic C
= √
ξ=
N
2
2 b
α = R C = a/b
r
De la même manière, si l’on utilise un filtre
d’ordre deux, on obtient un système d’ordre trois.
En remplaçant Zf par Zf 2 dans (2.41) on obtient :
G3 (p) =
(2.45)
Gu3 (s) = N p
(2.51)
La variable de Laplace est notée s dans cette
équation pour éviter la confusion avec le paramètre
p.
ωn =
(2.53)
La dynamique du système est caractérisée par
sa pulsation naturelle ωn ; on peut ainsi quantifier
la validité du modèle LC en comparant cette pulsation avec la pulsation des signaux de sortie du
DPF.
Cette dernière pulsation étant sensiblement
égale à la pulsation du signal d’entrée ωref on obtient la condition de validité suivante :
ωn ωref
(2.54)
De manière plus générale, le modèle reste valide
si la bande passante du système est très inférieure
à la pulsation d’entrée. On néglige ici l’influence
du zéro sur la bande passante du système.
2.4. Modèle linéaire discret
31
vref
vb
T
θb = 2πn
Cas idéal
T
t
θb = 2π(n + 2)
θb = 2π(n + 1)
tk+1
tk
tk+2
t
tp = |θe |
Cas approché
T
2π
ic
voct
θe > 0
t
θe < 0
Fig. 2.7 : Approximation du courant de charge par Gardner
2.4
Modèle linéaire discret
Pour pallier le problème de validité du modèle
LC, Gardner propose un modèle linéaire discret
dans [Gar80a]. Dans cette modélisation, l’auteur
effectue des approximations établies sur la forme
du courant lui permettant d’aboutir à une récurrence discrète.
Plusieurs manières de représenter la forme de
l’impulsion du courant de charge sont abordées
dans cette section. Trois récurrences discrètes sont
proposées.
2.4.1
Approximation de l’impulsion
de courant de charge
Pour tenir compte de l’aspect granulaire8 du
temps – notamment lorsque la pulsation des signaux est proche de la pulsation naturelle du circuit, – Gardner propose d’établir un modèle linéaire discrétisé par la période du signal d’entrée
T considérée comme constante.
Le courant de charge ic n’est plus approché par
une valeur continue proportionnelle à l’erreur de
phase. Il s’agit d’introduire des commutations périodiques du courant de charge liées aux fronts
descendants du signal d’entrée dans le but de se
8 pour reprendre le terme granularity
Gardner.
utilisé par
rapprocher le plus possible de la forme réelle des
impulsions.
Les commutations provoquées par les fronts du
signal bouclé vb sont asynchrones par rapport à
la période T du signal d’entrée. Il est alors nécessaire d’approcher l’effet de ces commutations
asynchrones lors de chaque période T .
Pour cela les impulsions de courant doivent être
estimées en effectuant les deux approximations suivantes :
– à chaque front du signal d’entrée tk = k T débute une impulsion du courant ic d’une durée
tp , le courant reste ensuite nul jusqu’à l’itération suivante ;
– la durée de l’impulsion tp est approchée par
T
, l’amplitude de
la relation tp = |θref − θs | 2π
l’impulsion dépend de l’erreur de phase à l’instant tk et vaut Ic signe (θe (tk ))9 .
La fig. 2.7 compare la forme des signaux idéaux
de la BVP–IC avec celle des signaux constituant
l’approximation effectuée.
Le courant de charge ip lors de l’impulsion est
égal à ±Ic selon le signe de l’erreur de phase à
l’instant tk . Lorsque l’erreur de phase est positive
ip = Ic et lorsqu’elle est négative ip = −Ic .
Les modèles discrets du second ordre sont établis
9 signe(x) désigne la fonction signe égale à 1 pour x > 0,
−1 pour x < 0 et 0 pour x = 0
32
Chapitre 2. Modélisation
à partir des équations normalisées centrées (2.25),
que l’on représente ici sous forme intégrale :


Rt



 x(t) = x(t0 ) + (y(τ ) + a e(τ ))dτ
t0

Rt


y(t)
=
y(t
)
+
b e(t)dτ

0

sur la figure), soit une impulsion d’amplitude
−xk de durée 1 pour la variable d’état e(t).
Impulsions
approchées
Impulsion
de Dirac
(2.55)
Impulsion
de largeur tp
Impulsion
de largeur
T
Ic
θe < 0
t0
Le modèle discret est obtenu en intégrant les variables d’état x et y de l’instant normalisé tk = k à
l’instant tk+1 = k + 1. Les valeurs de ces variables
d’état à l’instant tk sont notées xk et yk respectivement. De même, on note xk+1 et yk+1 les variables
d’état prises à l’instant tk+1 .
Les modèles discrets du troisième ordre découlent du système d’équation centré (2.33), la variable d’état z ajoutée est notée zk et zk+1 aux
instants respectifs tk et tk+1 .
La forme de l’impulsion de courant influence le
système différentiel par le biais de la variable d’état
discrète e(t) représentant l’état du DPF. Une impulsion de courant d’amplitude Ic pendant une période réelle tp est alors représentée par une impulsion de l’état discret e(t) d’amplitude 1.
La durée tp de cette impulsion en temps normalisé, qui est notée par le même symbole tp
par la suite, s’exprime directement en fonction de
la phase normalisée centrée x(t) par tp = |xk |,
puisque x(t) correspond à l’opposé de l’erreur de
phase en temps normalisé.
Le sens de l’impulsion de e(t) est lié au signe de
la phase normalisée centrée x(tk ) par la relation
e(tk ) = signe (−x(tk )).
À partir de l’impulsion de largeur tp proposée
par Gardner, nous proposons dans ce mémoire
d’autres durées d’impulsions tout en conservant la
(tk )
même quantité de charge Ic T θe2π
injectée dans
le filtre.
Les trois formes d’impulsions, présentées en valeur réelles dans la fig. 2.8, utilisées pour déterminer les modèles discrets sont les suivantes :
– une impulsion de Dirac dont l’amplitude
(tk )
équivaut à la quantité de charge Ic T θe2π
à
transmettre au filtre (bâtonnets en gras sur la
figure), soit un Dirac d’amplitude −xk pour
l’état e(t) ;
– une impulsion de durée tp dont l’amplitude
vaut Ic signe (θe (tk )) (trait plein et surface
en gris clair sur la figure), soit une impulsion
d’amplitude signe (−xk) et de durée normalisée tp pour la variable d’état e(t) ;
– une impulsion de durée T dont l’amplitude est
(tk )
Ic θe2π
(petit tirets et surface en gris foncé
t
|θ |
Ic
e
tp = T 2π
θe
2π
T
T
Fig. 2.8 : Les trois formes d’impulsion de courant
considérées
Chaque impulsion devant apporter une quantité
de charge équivalente, les aires représentées à des
instant différents par les surfaces en gris, doivent
être égales entre elles et correspondre à l’amplitude
de l’impulsion de Dirac.
L’impulsion de Dirac permet de faciliter grandement les calculs du modèle discret, notamment
pour le calcul du modèle du troisième ordre.
L’impulsion de durée tp est la forme la plus
proche du signal réel. C’est la voie adoptée par
Gardner pour obtenir son modèle discret.
L’impulsion de largeur T correspond à l’échantillonnage de période T de la valeur du courant de
(tk )
charge moyen ic = Ic θe2π
utilisé dans le modèle
LC.
L’échantillonnage d’un système continu est un
classique de l’automatique. Des méthodes simples
permettent d’obtenir un modèle discret à partir de
la fonction de transfert du modèle continu.
Chacune de ces trois méthodes permet d’obtenir
des modèles dont le comportement peut être très
différent des autres. Les différences seront mises en
évidence dans le § 2.11 (page 56) confrontant les
simulations des différents modèles.
2.4.2
Modèle à base d’impulsions de
Dirac
Dans cette modélisation, l’impulsion du courant
de charge est alors représentée par une impulsion
de Dirac dont l’amplitude correspond à la quantité de charge introduite dans le filtre au cours de
chaque période. Ce modèle est noté par la suite
modèle LDδ.
La variable d’état discrète e(t) est donc repré-
2.4. Modèle linéaire discret
33
sentée à partir de l’instant tk par :
e(t ≥ tk ) = −x δ(tk )
(2.56)
où δ(t) représente l’impulsion de Dirac
L’intégration des équations (2.55) en remplaçant
e(t) par cette expression devient triviale. En effet,
les termes devant l’impulsion de Dirac δ(t) sont
extraits directement de l’intégrale en remplaçant
le Dirac par un échelon de Heaviside.
Système discret du second ordre
En intégrant les équations du système du second
ordre (2.55) de l’instant tk à tk+1 , on obtient directement le système récurent discret linéaire suivant :
xk+1 = xk (1 − a − b) + yk
yk+1 = yk − b xk
(2.57)
soit en écriture matricielle
Xk+1 = A Xk
 
xk
avec Xk =  
yk
(2.58)


1−a−b 1

et A = 
−b
1
Le polynôme caractéristique P (λ) de cette récurrence est obtenu à partir de la matrice dynamique A par la relation :
P (λ) = det (A − λ I2 )
(2.59)
2
= (λ − 1) + (λ − 1) (a + b) + b
où I2 est la matrice identité de rang deux
Ce système d’équation est autonome puisque la
période du signal d’entrée, considérée constante,
est prise comme variable de discrétisation.
Dans le cas d’une entrée non perturbée, on peut
écrire l’équation autonome de l’erreur de phase θe .
Cette erreur de phase peut être ajoutée comme sortie du système θe (tk ) = −2π xk = [−2π 0] Xk =
C Xk . En utilisant la transformée en z, on exprime
l’évolution de l’erreur de phase à partir du vecteur
d’état initial X0 :
−1
θe (z) = z C (z I2 − A) X0
z
[1 − z − 1] X0
=
P (z)
(2.60)
On obtient en choisissant un vecteur d’état initial X0 = [0 c − 1]T correspondant à une erreur
de phase initiale nulle et à une tension vc initiale
nulle :
2π z
(2.61)
θe (z) =
2
(z − 1) + (z − 1) (a + b) + b
Remarque 8 La variable d’état xk est de signe
opposé à l’erreur de phase normalisée. On peut
donc facilement extraire la phase du signal d’entrée et la phase du signal bouclé de cette équation d’état. Le système comporte alors en entrée
la phase du signal de référence, ce qui permettrait
d’analyser l’influence des bruits ou des modulations de cette entrée.
Cependant les paramètres réduits a et b sont dépendants de la période d’entrée T et ne sont donc
plus valides lorsque la période d’entrée varie grandement. La notion d’entrée du système et de fonction de transfert n’a donc plus de sens en dehors
de l’hypothèse des petites variations de la période
T.
Ce modèle permet tout de même d’étudier le
comportement du système face à une entrée faiblement bruitée. Par contre les résultats correspondant à une entrée fortement bruitée ou modulée
sont d’une précision relative à l’amplitude de ces
phénomènes.
L’avantage majeur de cette modélisation est de
faciliter grandement les calculs, ce qui est très utile
pour le système d’ordre trois.
Système discret d’ordre trois
De même, en intégrant les équations du système
du troisième ordre (2.34) de l’instant tk à tk+1 ,
on obtient directement le système récurent discret
linéaire (2.62).
On obtient le polynôme caractéristique P (λ)
(2.63) en appliquant la relation (2.59) à la matrice
dynamique de dimension trois.
Cette modélisation du courant de charge par
une impulsion de Dirac est très proche de la réalité lorsque le circuit est proche de son point de
fonctionnement. La largeur des impulsions diminue
jusqu’à devenir idéalement nulle lorsque le système
converge. Elles deviennent alors très similaires à
une impulsion de Dirac.
Représenter l’impulsion de courant avec une largeur non nulle semble être plus proche de la réalité
lorsque le système est en phase transitoire. Une
telle représentation devrait donner des résultats
plus précis lorsque le système est éloigné du point
de fonctionnement.
34
Chapitre 2. Modélisation

 
1
xk+1

 

 
 yk+1  =  0

 
zk+1
−p ττn1
1+
τn
τ1
h
i
1
(τn − τ1 ) 1 − e− τn − 1
1
1 − ττn1 1 − e− τn
1
τ1 −τn
1 − e− τn
τ1 τn
h
i
1
− ττn1 (τn − τ1 ) 1 − e− τn − 1

1

τn

1 − e− τn
τ1

− τ1n
τ1 −τn
1 − τ1 τn 1 − e
i
h
i
h
1
1
P (λ) = λ3 − λ2 2 + e− τn + λ 1 + e− τn (2 + p (τn − τ1 )) + p (1 + τ1 − τn )
1
 
x
 k
 
 yk  (2.62)
 
zk
(2.63)
+ p (τn − τ1 ) − e− τn (1 + p (1 + τn − τ1 ))
2.4.3
Modèle à base d’une impulsion approchée
La forme de l’impulsion de courant la plus
proche de la réalité est celle proposée par
Gardner dans ces travaux et illustrée par la
fig. 2.7. À partir de cette impulsion de durée variable tp , on obtient une récurrence discrète qui
n’est pas linéaire. Ce modèle est noté par la suite
modèle D–Brut.
On représente cette impulsion en variable réduite par une impulsion de l’état discret e(t) d’amplitude signe(−xk ), apparaissant à l’instant tk et
de durée tp = |xk |.
La récurrence s’obtient alors en intégrant par
morceaux les équations différentielles du système
(2.55).
Le vecteur d’état continu à l’instant tk+1 , noté
Xk+1 , est obtenu en intégrant de tk à tk + tp puis
de tk + tp à tk+1 :
tk
Z+tp
∂(X (t, e = signe(−xk )))
dt
∂t
tk
(2.64)
tZk+1
∂(X (t, e = 0))
= X(tk + tp ) +
dt
∂t
X(tk + tp ) = Xk +
Xk+1
tk +tp
Système du deuxième ordre
En appliquant cette technique au système
d’ordre deux (2.55), on obtient la récurrence non–
linéaire suivante :
xk+1 = xk (1 − a − b) + yk +
b
xk |xk |
2
(2.65)
yk+1 = yk − b xk
Le terme non–linéaire xk |xk | complique l’analyse d’une telle équation. Il faudrait alors considé-
rer deux systèmes linéaires commutés selon le signe
de xk .
La modélisation et l’analyse de ce type de système est discuté plus loin dans le § 2.8 (page 42).
Cette récurrence n’est pas utilisée dans ce mémoire
car des modèles plus précis et de complexité équivalente sont utilisés.
Néanmoins, on peut remarquer que le terme
non–linéaire devient négligeable devant le terme
xk (1 − a − b) lorsque xk tend vers zéro, c’est–à–
dire, lorsque le système est près de son point de
fonctionnement.
On peut donc négliger ce terme lorsque |xk | 2
b (1 − a − b). Gardner obtient ainsi le même système linéaire que celui obtenu à partir d’impulsion
de Dirac avec un effort calculatoire bien supérieur.
Système du troisième ordre
La même technique peut être appliquée avec le
filtre du second ordre Zf 2 . Dans ce cas, les équations se compliquent car la tension à l’entrée de
l’OCT n’est plus une relation affine mais une combinaison d’exponentielles (2.2 page 22).
Dans [Gar80a], Gardner présente le dénominateur de la fonction de transfert du système du
troisième ordre sans présenter les calculs et les approximations y menant. Ce dénominateur est différent de celui obtenu avec une impulsion de Dirac
donné dans l’expression (2.63).
Nous n’avons pas tenté de retrouver les approximations faites par l’auteur pour arriver à ce résultat, nous ne présentons donc pas cette modélisation dans ce mémoire.
Les équations du système d’ordre trois peuvent
également être issues soit de l’approximation par
impulsion de Dirac, soit de l’approximation par
échantillonneur–bloqueur abordée dans la section
suivante.
2.4. Modèle linéaire discret
θref
+
θe
35
Kdpf
T
−
DPF
θb
B0 (p)
ic
Zf (p)
voct
Filtre
Bloqueur
2πKoct
p
θs
OCT
1
N
Fig. 2.9 : Modèle linéaire échantillonné
vref
vb
T
θb = 2πn
Cas idéal
T
θb = 2π(n + 1)
tk+1
tk
t
θb = 2π(n + 2)
tk+2
t
ic
Approximation
t
θe
2π Ic
t
Fig. 2.10 : Approximation du courant de charge par échantillonnage (en traits discontinus)
2.4.4
Modélisation avec un échantillonneur–bloqueur
L’échantillonneur–bloqueur est très utilisé en
automatique car il permet d’obtenir un modèle discret à partir d’un modèle continu. Il suffit pour cela
de considérer la BVP–IC comme un système dont
l’erreur de phase est échantillonnée à la période du
signal d’entrée, et est maintenue à cette valeur par
un bloqueur d’ordre zéro B0 (p) ; ce qui donne le
schéma–bloc de la fig. 2.9.
Cette modélisation est équivalente à l’utilisation
d’une impulsion de largeur T discutée précédemment dans le § 2.4.1 (page 31).
Nous présentons cependant ce modèle discret
comme l’échantillonnage d’un système continu en
utilisant les paramètres réels. C’est pourquoi il est
noté modèle LD–Éch. par la suite. On peut retrouver ce type de modélisation appliquée à la BVP–IC
en variables réelles dans [Joh96].
L’introduction d’un échantillonneur–bloqueur
modifie le modèle du DPF : à un instant tk le DPF
mesure l’erreur de phase entre le signal d’entrée et
le signal bouclé ; la valeur du courant moyen pendant la période [tk tk+1 [ est estimée à partir de
l’erreur de phase mesurée.
Cette valeur est maintenue à l’entrée du filtre
pendant l’intervalle [tk tk+1 [, permettant ainsi de
prendre en compte l’aspect granulaire du temps.
La fig. 2.10 montre le signal ic dans le cas idéal et
son approximation par échantillonnage de l’erreur
de phase.
La fonction de transfert en boucle ouverte d’un
système échantillonné avec un bloqueur d’ordre
zéro s’obtient en calculant la transformée en z suivante :
G(p)
z−1
G(z) =
Z
z
p
z−1
Koct Ic
=
Z
Zf (p)
z
p2
où Z{.} désigne la transformée en z
(2.66)
36
Chapitre 2. Modélisation
T
T
2C + R z + 2C − R
Koct Ic T
T
2C + R − 2 z +
N
H2 (z) = Koct Ic T
z2 +
Koct Ic T
N
Le système étant bouclé via un diviseur de fréquence, on obtient la fonction de transfert en
boucle fermée H(z) de manière similaire au cas
continu :
H(z) =
G(z)
1+
(2.68)
G(z)
N
Remarque 9 La fonction de transfert H(z) est le
rapport entre la phase du signal de sortie θs (z) et
la phase du signal d’entrée θref (z). Or, la période
d’échantillonnage T correspondant aux fronts actifs du signal d’entrée est constante dans cette modélisation.
Ce modèle est donc valide pour une période T du
signal d’entrée fixe ou dans l’hypothèse de petite
variations autour de cette période.
La phase du signal d’entrée doit donc être augmentée de la valeur 2π à chaque itération pour que
le modèle soit valide. L’expression en z d’une telle
2π z
phase est donc θref (z) = (z−1)
2 . On peut rajouter à ce niveau un modèle du bruit en entrée pour
l’étudier.
Dans le cas d’un signal d’entrée pur, on enlève
l’ambiguı̈té liée à la présence d’une entrée dans le
système, en écrivant l’équation autonome de l’erreur de phase θe (z) à partir de la fonction de transfert de la manière suivante :
H(z)
θe (z) = θref (z) − θs (z) = θref (z) 1 −
N
2π z
H(z)
=
1−
(2.69)
(z − 1)2
N
=
2π z
2
(z − 1) + (z − 1) a +
b
2
En remplaçant la fonction de transfert Zf (p)
par celle du filtre adéquat, on obtient la fonction de transfert en boucle ouverte du système du
deuxième ou du troisième ordre.
Modèle discret du deuxième ordre
Dans le cas d’un filtre du premier ordre, on remplace Zf par Zf 1 et on obtient la fonction de trans-
(2.67)
−R +1
fert en boucle ouverte suivante :
G2 (z) = Koct Ic T
T
2C
+R z+
T
2C
2
−R
(z − 1)
(2.70)
La fonction de transfert du système en boucle
fermée, obtenue en appliquant (2.68), est le système du second ordre comportant un zéro exprimé
par (2.67).
Ces équations s’expriment simplement avec les
paramètres normalisés a et b, on obtient alors les
fonctions de transfert suivantes :
G2 (z) = N
(b/2 + a) z + (b/2 − a)
2
(2.71)
(z − 1)
(b/2 + a) z + (b/2 − a)
H2 (z) = N 2
z + (b/2 + a − 2) z + (b/2 − a + 1)
Remarque 10 Le facteur N apparaı̂t dans la
fonction de transfert en boucle ouverte G2 (z) mais
ne correspond pas au gain statique en boucle ouverte – qui est unitaire – car les paramètres a et b
comportent un facteur 1/N dans leurs définitions.
Modèle discret du troisième ordre
Dans le cas d’un filtre du deuxième ordre, l’expression analytique des fonctions de transfert devient plus complexe. En remplaçant Zf par Zf 2 , on
obtient la fonction de transfert en boucle ouverte
suivante :
Koct Ic
n2 z 2 + n1 z + n0
C2 (C1 + C2 ) (z − 1)2 z − e−T/τ
C1 C2
τ =R
C1 + C2
C2
T
n2 = T 2
+ τ T C1 + τ 2 C1 e− /τ − 1
2
T
2 C2
2
(2.72)
n1 = T
+ 2 τ C1
1 − e− /τ
2
T
− τ T C1 e− /τ + 1
C2
T
n0 = −T 2
+ τ T C1 + τ 2 C1 e− /τ − τ 2 C1
2
G3 (z) =
+b
T
2C
2.5. Modèle non–linéaire discret
H3 (z) = N
Koct Ic n2 z 2 + n1 z + n0
2
N C2 (C1 + C2 ) (z − 1) z − e−T/τ + Koct Ic (n2 z 2 + n1 z + n0 )
La fonction de transfert du système en boucle
fermée, obtenue en appliquant (2.68), correspond
à celle du système du troisième ordre, comportant
deux zéros, exprimé par (2.73).
Remarque 11 Il est impossible d’exprimer ces
fonctions de transfert en fonction des variables réduites. Cela veut dire que le fait d’échantillonner
le système continu du troisième ordre ne permet
pas de conserver la relation d’équivalence établie
sur les équations exactes. Les modèles discrets de
deux BVP–IC du troisième ordre dynamiquement
similaires n’auront pas le même comportement dynamique.
L’approximation de l’impulsion de courant par
une impulsion de longueur T n’est donc pas
concluante. Cette forme d’impulsion est trop éloignée de la forme véritable du signal pour en approcher correctement le comportement.
2.4.5
Validité des modèles discrets
Les modèles discrets permettent de représenter l’aspect périodique de la mesure de l’erreur de
phase. Contrairement au modèle LC, ces modèles
devraient rester valides lorsque la dynamique du
système est proche de la pulsation du signal d’entrée. Les simulations du § 2.3.3 (page 30) montrent
qu’il n’en est rien.
Ces modèles supposent que l’erreur de phase
reste très inférieure à une période du signal d’entrée : ils ne sont donc pas valides dans les phases
transitoires du système.
De plus, des approximations sont faites sur la
forme du courant de charge pour obtenir des équations linéaires. On peut obtenir une plus grande
précision en n’effectuant aucune approximation
mais les équations deviennent alors non–linéaires.
Ces modèles non–linéaires prennent en compte
les commutations du courant de manière exacte au
prix d’une complexité d’analyse accrue.
2.5
37
Modèle non–linéaire discret
En considérant un signal de période T à l’entrée
du système, il est possible de déduire un modèle
discret. La discrétisation du temps à la période T
(2.73)
conduit à un modèle non–linéaire non–autonome
récursif d’ordre deux.
Ce modèle a été établi par van Paemel
dans [vP94] en émettant des hypothèses restrictives dans le plan de phase :
– l’erreur de phase entre le signal de référence
vref et le signal bouclé vb reste inférieure à
la période T permettant d’exclure des cas de
figure dont l’expression des équations est complexe ;
– la tension à l’entrée de l’OCT reste positive
afin de rester dans le domaine de validité du
modèle de l’OCT.
Le domaine de validité de ce modèle étant local,
nous le nommerons par la suite modèle NL–DL :
modèle Non–Linéaire Discret Local.
Nous n’utilisons pas les mêmes variables d’état
que dans [vP94], mais les variables normalisées suivantes :
– νk – l’erreur de tension normalisée aux bornes
de la capacité lorsque ic = 0 entre l’instant
tk
et tk+1 , soit νk = y max(tk , tk + τk ) ;
– τk – le temps normalisé entre le prochain front
descendant du signal bouclé vb et l’instant tk
qui correspond au k ème front descendant du
signal d’entrée (lorsque le signal de référence
est en avance, τk est positif et inversement).
Ces variables sont illustrées par la fig. 2.11.
En temps normalisé, on considère la période du
signal d’entrée vref constante et égale à l’unité.
Sans perte de généralité, on considère la phase initiale du signal de référence nulle et on obtient ainsi
tk = k.
Le modèle non–linéaire discret doit exprimer les
variables d’état à l’instant tk+1 , connaissant ces
variables à l’instant tk . En utilisant les équations
du système normalisé (2.19) et celles du système
normalisé centré (2.25), on exprime νk+1 de manière unique en fonction de τk+1 et νk :
νk+1 = νk + b τk+1
(2.74)
Dans [vP94], on montre que l’expression de τk+1
en fonction de τk et νk dépend de l’état du DPF
aux instants tk et tk+1 . On obtient quatre expressions distinguées par les signes de τk et τk+1 .
van Paemel détermine alors l’équation à utiliser à partir d’un algorithme estimant le signe de
τk+1 et utilisant le signe connu de τk .
38
Chapitre 2. Modélisation
vref
t
T
vb
T =1
toct
τk
y
τk+1
t
T
tk+1 = k + 1
t
T
b
νk+1
a
νk
−1
tk = k
Fig. 2.11 : Variables d’état du modèle non–linéaire discret
Afin d’alléger la présentation de ce modèle, les
calculs des quatre expressions de τk+1 au moyen
des variables d’état normalisées figurent dans l’annexe C.
On détermine aussi, dans cette annexe, les domaines de définition de chaque expression dans
le plan de phase (τk , νk ). Ces domaines de définition permettent de compléter le modèle de manière analytique sans faire appel à un algorithme
numérique.
Le modèle discret non–linéaire peut être vu
comme une transformation T qui associe le point
Xk+1 , de coordonnées (νk+1 , τk+1 ), au point Xk de
coordonnées (νk , τk ).
Cette transformation T est définie à partir
de quatre transformations composites, T++ , T+− ,
T−+ et T−− , par :


 
νk+1
ν
 = Tij  k 
T :
τk+1
τk
par les systèmes d’équations suivants :

 νk+1 = νk + b τk+1
√
:
−b? + b2? −4 a? c++
 τ
k+1 =
2 a?

 ν
k+1 = νk + b τk+1
:
1
 τ
k+1 = τk − 1 + 1+νk

 νk+1 = νk + b τk+1
√
:
−b? + b2? −4 a? c−+
 τ
k+1 =
2 a?

 νk+1 = νk + b τk+1
:
b
1−a τk − 2 τk 2
 τ
k+1 = τk − 1 +
1+νk
T++
T+−
T−+
T−−
avec a? = 2b , b? = 1 + a + νk ,
c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1
c−+ = c++ + a τk +
(2.75)
lorsque (νk , τk ) ∈ Rij
avec (i, j) ∈ Ξ
L’ensemble des indices ij repérant chacune des
transformations composites est appelé Ξ. Cet ensemble Ξ correspond donc aux quatre combinaisons {++, +−, −+, −−}.
Une transformation composite Tij est appliquée
au point Xk lorsque ce point appartient à son domaine de définition Rij . Les transformations composites, définies dans l’annexe C, sont représentées
(2.76)
b
2
τk 2
Les domaines de définition Rij , représentés avec
leurs frontières dans la fig. 2.12, sont définis par les
inégalités suivantes :
R++
R+−
R−+
R−−
avec
et
: {(ν, τ ) | (τ
: {(ν, τ ) | (τ
: {(ν, τ ) | (τ
: {(ν, τ ) | (τ
≥ 0) & (ν ≤ ν+? (τ ))}
≥ 0) & (ν ≥ ν+? (τ ))}
≤ 0) & (ν ≤ ν−? (τ ))}
≤ 0) & (ν ≥ ν−? (τ ))} (2.77)
τ
ν+? (τ ) =
1+τ
τ
ν−? (τ ) =
1 − a − 2b τ
1+τ
2.6. Modèle linéarisé discret
39
νk
quatre régions Rij : on ne peut donc pas déterminer sa stabilité avec des méthodes classiques.
F?−
R+−
F+?
ν+? (τk )
R−−
τk
R++
F−?
R−+
F?+
ν−? (τk )
2.6
Modèle linéarisé discret
Le modèle NL–DL présenté dans la section précédente est difficile à analyser du fait de sa non–
linéarité et de sa définition par morceaux.
L’étude est simplifiée si on linéarise ces équations autour du point de fonctionnement (0, 0). On
obtient alors un modèle linéaire que l’on note modèle NL–DLé signifiant modèle non–linéaire discret
linéarisé.
Pour cela, on calcule les jacobiens de chaque
transformation composite Tij au point (0, 0). On
obtient les quatre systèmes linéaires suivants :
Fig. 2.12 : Plan de phase (τk , νk )
Xk+1 = Aij Xk
En remplaçant judicieusement quatre inégalités de la définition (2.77) par des inégalités au
sens strict, on obtient une partition de l’espace
de phase. Cette partition permet de ne définir
qu’une seule transformation composite à appliquer
en chaque point de l’espace de phase.
Les ensembles fermés, obtenus avec des inégalités au sens large, se recouvrent sur les quatre frontières Fij définies en annexe C.
Sur une frontière, on applique indifféremment
l’une des deux transformations composites car
celles-ci sont toutes identiques au niveau de leurs
frontières. Les intersections des domaines de définition sont :
[
avec A++
A+−
A−+
A−−
lorsque Xk ∈ Rij


1
−
b
+
a
b
1 

=
1+a
−1
1


1−b b

(2.79)
=
−1 1


1 1 − b + a b (1 − a)
=
1+a
−1
1−a


1 − b b (1 − a)

=
−1
1−a
Les équations caractéristiques de ces systèmes
ainsi que les conditions de stabilité qui en découlent sont :
Rij couvre le plan de phase
(i,j) ∈ Ξ
et Rij
\
Rkl =
(i,j) ∈ Ξ
(k,l) ∈ Ξ
(i,j)6=(k,l)



F

 i?
F?j



 X
q
si i = k
Cas « + + » : stable pour 0 < b < 4 + 2 a
si j = l
D(λ) = (1 + a) λ2 + (b − 2 − a) λ + 1
Cas « + - » : stable pour 0 < b < 4
sinon
Le point Xq se trouve être le point fixe commun
aux quatre transformations. On appelle point fixe
d’une transformation T tout point solution de :
D(λ) = λ2 + (b − 2) λ + 1
Cas « - + » : stable pour 0 < b < 4
(2.80)
D(λ) = (1 + a) λ2 + (b − 2) λ + (1 − a)
Cas « - - » : stable pour 0 < b < 4 − 2 a
D(λ) = λ2 + (b − 2 + a) λ + (1 − a)
Xq = T (Xq )
(2.78)
La résolution de (2.78) dans les quatre régions
Rij montre que Xq est unique ; ses coordonnées
sont l’origine. La singularité est commune aux
Les domaines de stabilité de chaque transformation composite issus de chaque équation caractéristique sont illustrées dans le plan paramétrique
(a, b) par la fig. 2.13.
40
Chapitre 2. Modélisation
b
νk
b = 4 + 2, a
0
ν+?
(τk )
Tij instables
0
F?−
Tij instables
sauf T++
b=4
R0−−
1
R0++
Tij stables
sauf T−−
0
F−?
0
ν−?
(τk )
Tij stables
0
b = 4 − 2a
0
a
Fig. 2.13 : Conditions de stabilité dans le plan paramétrique
Dans un voisinage suffisamment proche de l’origine, les frontières des régions peuvent être considérées comme linéaires.
On obtient ainsi, en linéarisant les inégalités (2.77), les nouvelles définitions des régions linéarisées, que l’on note R0ij , suivantes :
R0++ : (ν, τ ) | (τ
R0+− : (ν, τ ) | (τ
R0−+ : (ν, τ ) | (τ
R0−− : (ν, τ ) | (τ
avec
et
0
≥ 0) & (ν ≤ ν+?
(τ ))
0
≥ 0) & (ν ≥ ν+?
(τ ))
0
≤ 0) & (ν ≤ ν−?
(τ ))
(2.81)
0
≤ 0) & (ν ≥ ν−?
(τ ))
0
ν+?
(τ ) = τ
0
ν−?
(τ ) = (1 − a) τ
Ces domaines de définition sont représentés dans
la fig. 2.14.
Ce modèle va permettre dans le chapitre suivant
d’établir une preuve de la stabilité de la BVP–IC.
2.7
0
F+?
R0+−
Modèle non–linéaire inverse
Dans ce paragraphe nous allons nous attacher à
l’obtention du modèle inverse non–linéaire. Il y a
deux intérêts majeurs à l’obtention d’un tel modèle :
– l’existence d’un modèle inverse génère une
relation d’équivalence entre la topologie du
plan de phase et celle de son image par la
transformée non–linéaire discrète ; ceci induit
τk
a
R0−+
0
F?+
Fig. 2.14 : Les quatre domaines de définition linéarisés dans le plan de phase
de bonnes propriétés comme, par exemple, la
connexité des bassins d’attractions des singularités ;
– le modèle inverse est un outil de base pour
tracer l’antécédent d’une région, déterminer
les courbes invariantes du système, mais aussi
exclure l’existence de certaines séquences dans
le plan de phase, ce qui est utile à l’analyse de
stabilité.
Ce modèle est obtenu à partir du modèle NL–
DL, on le nommera par la suite modèle NL–D-1
pour modèle Non–Linéaire Discret Inverse.
Soit T la transformation non–linéaire, définie
dans le § 2.5 (page 37), transformant le point du
plan de phase Xk en son image Xk+1 .
On définit la transformation inverse T −1 de T
par T −1 (T (Xk )) = Xk . La transformation T −1
existe si et seulement si il existe un point unique
Xk tel que T (Xk ) = Xk+1 .
Le modèle est dit non–inversible s’il existe plus
d’une solution ou s’il n’en existe pas. Dans le cas
où plusieurs solutions existent le modèle est dit
multiplement inversible.
Pour inverser le modèle NL–DL, il faut inverser chaque transformation composite Tij . Il ne doit
exister qu’un seul antécédent à chaque transformation composite Tij dans son domaine de définition
Rij .
2.7. Modèle non–linéaire inverse
41
ν
ν
F?−
T (.)
F+?
I
F+?
I
F?−
R+−
RI
+−
T (.)
R−−
T (.)
R++
Xq
RI
++
Xq
RI
−−
F−?
T (.)
R−+
I
F−?
F?+
τ
Domaines de définition de la transformée T
RI
−+
I
F?+
τ
Domaines de définition de la transformée inverse T −1
Fig. 2.15 : Domaines et frontières des domaines définition des transformées inverses
Les calculs de chaque inverse, figurant dans l’annexe D, donnent le résultat suivant :
−1
T++
−1
T−−
−1
T+−
−1
T−+

 ν =ν
k
k+1 − b τk+1
:
2
b τk+1
/2+a τk+1 −1
 τ =1+τ
k
k+1 + 1−b τk+1 +νk+1

 νk = νk+1 − b τk+1
√
:
 τ = −b−? − b2−? −4a−? c−−
k
2a−?

(2.82)
 ν =ν
k
k+1 − b τk+1
:
1
 τ =1+τ
k
k+1 − 1−b τk+1 +νk+1

 νk = νk+1 − b τk+1
√
:
 τ = −b−? − b2−? −4a−? c−−
k
2a−?
avec
a
a−? = , b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1
2
c−− = − b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1
c−+ = c−− +
b τk+1 2
+ a τk+1
2
On montre dans cette annexe que deux transformations composites sont inversibles alors que
les deux autres transformations comportent deux
inverses possibles.
Ces deux solutions possibles sont alors dites éligibles car l’une d’entre elles doit être rejetée et
l’autre doit être retenue.
En effet, si on ajoute les conditions d’appartenance aux domaines de définition de chaque transformation composite – on inverse Tij uniquement
pour Xk ∈ Rij – et les conditions de validité du
modèle NL–DL, on peut alors rejeter une des deux
solution. On obtient ainsi l’unique représentation
des équations du modèle inverse (2.82).
Chacune des transformées inverses Tij−1 doit être
appliqué à Xk+1 si ce point appartient à l’ensemble
image de Rij par Tij . Les images des domaines de
définition Rij , notées RIij , sont déterminées dans
l’annexe D en utilisant les propriétés topologiques
de l’espace de phase.
Les transformations composites étant des homéomorphismes (voir la définition en annexe D),
l’image d’une région définie par ces frontières est
alors la région définie par l’image de ces mêmes
frontières [Vir].
On applique donc au point (ν, τ ) la transformée inverse Tij−1 lorsque ce point appartient au
domaine de définition RIij figurant parmi les définitions suivantes :
I
RI++ : {(ν, τ ) | ν ≥ ν+?
(τ ) et τ ≥ 0}
I
RI−− : {(ν, τ ) | ν ≤ ν?−
(τ ) et τ ≤ 0}
I
RI+− : {(ν, τ ) | ν ≥ ν?−
(τ ) et τ ≤ 0}
I
RI−+ : {(ν, τ ) | ν ≤ ν+?
(τ ) et τ ≥ 0}
avec
(2.83)
b
τ
τ
k+1
k+1
I
ν+?
b+
−1−a
(τk+1 ) =
1 + τk+1
2
1
I
ν?−
(τk+1 ) =
+ b τk+1 − 1
1 + τk+1
Les domaines de définition des transformées
composites Tij et les domaines de leurs inverses
Tij−1 sont représentées dans la fig. 2.15.
42
2.8
Chapitre 2. Modélisation
Modèles hybrides
Les systèmes hybrides ne sont pas des nouveaux
types de systèmes. Ils existent au moins depuis le
premier shishi odoshi ou plus récemment depuis
les premières commandes à relais. Malgré cela, la
première référence à ces systèmes connue est celle
publiée par Witsenhausen dans [Wit66].
Ces travaux présentent un modèle d’un système
formé d’états continus et discret interagissant. Le
comportement dynamique du système a été défini
et un problème d’optimisation a pu être formulé.
La formulation et les techniques de simulation ont
été structurées dans la thèse de Celier [Cel79].
Depuis ces dix dernières années, un gros intérêt
est porté par les ingénieurs sur les systèmes à événements discrets. Ceci est probablement la conséquence des travaux portant sur la supervision d’un
système par une commande à événements discrets.
Les articles [Ram87] et [Won87] sont précurseurs, ils proposent une synthèse automatique de
lois de commandes basées sur des langages formels
supervisant un système hybride lui même modélisé
par un langage formel.
Les langages formels ont été développés par les
informaticiens au cours de leur recherche fondamentale sur les ordinateurs universels. La machine de Turin a permis de formaliser les notions
d’algorithmes et d’introduire les langages formels
[Hop79].
Beaucoup de versions dégradées de la machine
de Turin sont utilisées : les machines à états finis,
les réseaux de Pétri [Dav92]. Ces modèles sont
composés d’états discrets dont les valeurs changent
lors d’événements asynchrones, ce qui leur vaut
l’appellation d’événements discrets
Dans les applications, ces événements sont souvent liées aux informations générées par des capteurs mesurant l’évolution de phénomènes continus. Le contrôleur agit alors généralement par un
actionneur de type discret sur ce système continu.
L’intérêt grandissant porté à ces applications a
poussé les informaticiens et les automaticiens à
considérer d’une manière globale les interactions
entre les états continus du système et les états discrets d’une commande modélisée par un langage
formel.
Le comportement dynamique d’un système hybride peut être modélisé par des équations différentielles dont le second membre est discontinu.
Ce genre d’étude a été originellement effectuée par
les chercheurs Russes, dont Filippov qui a laissé
son nom à des espaces différentiels définis par morceaux [Fil88].
Beaucoup de travaux ont été effectués sur la
modélisation et l’analyse des systèmes hybrides à
l’aide de langages formels. Ils diffèrent soit par le
type d’application, soit par le type de langage formel utilisé.
Un survol des techniques d’analyse de tels système est proposé dans [Bra98] [Ant00] [Dav01]
[DeC00] et permet de s’initier rapidement à la
théorie des systèmes hybrides. Les différents modèles sont discutés dans la section suivante. Un
type particulier de modèle hybride est ensuite
adopté et utilisé pour modéliser la BVP–IC.
2.8.1
Les différents types de modèles hybrides
Il existe une multitude de définitions de modèles
hybrides dans la littérature. Ces modèles sont plus
ou moins généralistes et plus ou moins adaptés à
la simulation ou à l’analyse. Le modèle doit représenter mathématiquement le comportement et les
interactions entre les parties continues et discrètes
du système.
Certains modèles sont basés sur une représentation d’un système continu supervisé par un réseau
de Pétri dont les transitions sont influencées par
l’état continu [Pel88][Pel89][Pel93].
D’autres modèles utilisent des transformations
interfaces pour établir une relation entre le vecteur d’état réel et des événements. Ces événements
animent un automate dont l’état discret agit à son
tour sur le système continu [Sti92][Lem93][Ner93].
Beaucoup de modèles définissent des ensembles
de commutation dans l’espace de phase. Un événement est généré lorsque l’état continu pénètre
dans une de ces régions de commutation. Le
système discret stimulé par ces événements agit
sur le système continu en le faisant commuter
[Tav87][Wit66][Doğ94][Pet95][Len96].
Avec ce genre de modèle, l’état discret peut
aussi dépendre d’événements extérieurs en entrée
du système. Le modèle le plus généraliste est obtenu par Branicky dans [Bra95a][Bra94][Bra95b]
en ajoutant des sauts de valeurs dans les variables
d’état continues lors des commutations du système
discret.
Ces sauts d’état discontinus n’apparaissant pas
dans la BVP–IC, nous utilisons une représentation hybride simple, à base de systèmes continus commutés dans certaines régions. Ce type de
modélisation est proposée par Pettersson dans
[Pet99][Pet95].
2.8. Modèles hybrides
2.8.2
43
Définition du modèle hybride
de Pettersson
La définition de modèle hybride, présentée ici,
est assez générale et convient à une analyse de stabilité. La caractéristique essentielle d’un système
hybride est de contenir à la fois un vecteur d’état
continu X(t) à valeurs réelles, et un vecteur d’état
discret E(t) dont les valeurs appartiennent à un
ensemble discret dénombrable M.
Le terme de système hybride vient de la coexistence de ces deux types de variables. Le système
continu est modélisé par une équation différentielle
ordinaire, ayant la particularité de dépendre du
vecteur d’état discret E(t).
Le système discret est un système événementiel
dont les événements provoquant un changement
d’état discret sont issus soit d’une entrée discrète,
soit d’un événement lié à l’état du système continu.
Dans cette étude ces derniers événements sont
liés à la traversée par le vecteur d’état de surfaces
du plan de phase dites surfaces de commutation.
Bien qu’un système hybride puisse être aussi bien à
temps continu qu’à temps discret, nous limitons la
définition suivante aux systèmes à temps continu.
Définition 5 Un système hybride H = (Rn ×
M , Rp ×Σ , f , φ)est défini par :
– un ensemble non–vide H = Rn × M appelé
l’espace d’état hybride de H ;
– un ensemble Rp×Σ appelé l’espace des entrées
externes de H ;
– des fonctions de transition f : Df → Rn et
φ : Dφ → M où
Ẋ(t) = f (X(t), E(t), u(t))
E + (t) = φ (X(t), E(t), u(t), σ(t))
2.8.3
Modèle hybride continu
Le système différentiel normalisé (2.20) et le système normalisé centré (2.26) peuvent être remaniés
sous la forme de deux modèles hybrides.
L’équation d’état du système continu du premier
modèle hybride est de forme affine avec une variable d’état divergente, tandis que celle du second
modèle est de forme linéaire sans variable d’état
divergente.
Modèle hybride de la BVP–IC normalisé
En mettant les équations du système normalisé
de la BVP–IC sous la forme hybride exposée précédemment, on obtient un modèle hybride que l’on
note par la suite modèle Hyb–CN, signifiant modèle Hybride Continu Normalisé.
Dans le système différentiel normalisé (2.20), on
distingue deux variables d’état continues réelles x
et y, formant le vecteur d’état X et une variable
d’état discrète e prenant ces valeurs parmi l’ensemble M = {−1, 0, 1}.
La fonction de transition de l’état continu f est
donnée directement par le système (2.20) que l’on
peut exprimer sous forme matricielle affine :
˙ = A X + C + B e(t)
f X(t), E(t) = X


 
0 1
c
 ,C= 
avec A = 
0 0
0
(2.85)
 
a
et B =  
b
(2.84)
et
Df ⊆ Rn ×M×Rp
Dφ ⊆ Rn ×M×Rp ×Σ
E + (t) désignant l’état de E(t) immédiatement
après l’instant t.
Chaque élément du vecteur d’état X à valeurs
réelles du système hybride H est appelé variable
d’état continue. De même, chaque élément du vecteur d’état E à valeurs discrètes est appelé variable
d’état discrète. De manière identique pour les entrées du systèmes, on appelle chaque élément de u
une entrée continue du système, et chaque élément
de σ une entrée discrète.
La variable discrète e(t) correspond aux valeurs
du courant injecté par le DPF. Cette variable e(t)
prend les valeurs {−1, 0, +1} lorsque le courant de
charge ic est égal à {−Ic , 0, +Ic }.
Les commutations sont régies par le diagramme
d’état ci–dessous :
↓ vref
↓ vref
E(t) = 1
↓ vref
E(t) = 0
↓ vb
↓ vb
E(t) = −1
↓ vb
Fig. 2.16 : Diagramme d’état du DPF (↓ signifiant
« front descendant de »)
44
Chapitre 2. Modélisation
Les deux événements ↓ vref et ↓ vb doivent être
définis à partir des variables d’état continues et des
entrées du système :
– ↓ vref , le front descendant du signal de référence de fréquence constante, apparaı̂t lorsque
le temps normalisé traverse une valeur entière
t mod 1 = 0 ;
– ↓ vb , le front descendant du signal bouclé,
apparaı̂t lorsque la phase normalisée traverse
une valeur entière x mod 1 = 0.
À partir de ces définitions des événements et du
diagramme d’état, on déduit la fonction de transition de l’état discret φ dont la représentation analytique est la suivante :
φ X(t), E(t) = e+ (t)

 min(1, e(t) + 1)







si t mod 1 = 0


=
max(−1, e(t) − 1)





si x mod 1 = 0




 e(t) sinon
(2.86)
Le modèle Hyb–CN établi pour une fréquence
d’entrée constante, ne comporte pas d’entrée continue u(t), ni d’entrée discrète σ(t) : c’est un système hybride autonome. Il peut être vu comme un
système différentiel continu affine, commandé par
l’entrée discrète e(t) émanant d’un contrôleur séquentiel.
On peut adopter une définition équivalente avec
une transformation définie par morceaux :


 A X + C0
si e(t) = 0


˙
f X(t), E(t) = X =
A X + C1
si e(t) = 1



 AX + C
si e(t) = −1
−1


 
c−a
c
 , C0 =  
avec C−1 = 
(2.87)
−b
0


c+a

et C+1 = 
b
On obtient une représentation hybride basée sur
la commutation entre trois champs de vecteurs définis par les trois systèmes différentiels.
Le seul et unique point fixe d’un tel système est
le point tel que y = 1 − c. La variable x représentant la phase normalisée de l’OCT est par nature
divergente.
Modèle hybride de la BVP–IC normalisé
centré
On peut éviter d’avoir une variable d’état divergente et mettre les équations du système continu
sous la forme Ẋ = f(X(t), e(t)) avec f(0, e) =
0, ∀e ∈ M en utilisant le système différentiel normalisé centré (2.26). Le modèle ainsi obtenu est
noté par la suite modèle Hyb–CNC, signifiant modèle Hybride Continu Normalisé Centré.
On obtient ainsi le système hybride de forme
linéaire commandé par une commande commutée
tel que :
Ẋ = A X + B e(t)


 
0 1
a
 et B =  
avec A = 
0 0
b
(2.88)
Les commutations de la commande e(t) ∈ M
sont toujours régies par le diagramme d’état de
la fig. 2.16. Les deux événements ↓ vref et ↓ vb
doivent être redéfinis avec les nouvelles variables :
– ↓ vref , le front descendant du signal de référence de fréquence constante, apparaı̂t lorsque
le temps normalisé traverse une valeur entière
lorsque t mod 1 = 0 ;
– ↓ vb , le front descendant du signal bouclé, apparaı̂t lorsque la phase normalisée traverse une valeur entière. Ayant par définition
ϕref (t)
ϕb (t)
et en injectant la va2π
2 π = x(t) +
leur de ϕref (t) dans cette équation, on obtient l’expression de la phase du signal bouclé
ϕref (t0 )
suivante ϕ2b (t)
+ t. On peut,
π = x(t) +
2π
sans perte de généralité, considérer la phase
initiale du signal de référence nulle et obtenir
ainsi une expression de la date de l’événement
(x + t) mod 1 = 0.
La définition de la fonction de transfert φ de
l’état discret devient :
φ X(t), E(t) = e+ t



min(1, e(t) + 1)






si t mod 1 = 0


=
max(−1, e(t) − 1)





si (x + t) mod 1 = 0




 e sinon
(2.89)
Comme dans le modèle Hyb–CN précédant, on
peut exprimer ce système hybride sous une forme
2.8. Modèles hybrides
45
affine par morceaux :
f X(t), E(t) = Ẋ =



A X + C0


A X + C1



 AX + C
−1


 
0 1
−a
 , C−1 =  
avec A = 
0 0
−b
 
 
0
a
et C0 =   , C+1 =  
0
b
e(t) = 1
Ẋ = f(X, 1)
si e(t) = 0
si e(t) = 1
si e(t) = −1
e(t) = 0
Ẋ = f(X, 0)
(2.90)
Le système est alors vu comme trois champs différentiels affines parmi lesquels le système hybride
commute en fonction de l’état discret. Cette représentation est illustrée dans la fig. 2.17 du paragraphe suivant.
La variable d’état x n’est plus divergente car elle
représente l’erreur de phase. Par contre il existe
une infinité dénombrable de points fixes de coordonnées (k, 0) pour k ∈ N. Ce nombre k correspond au nombre de cycles de retard (k < 0) ou
d’avance (k > 0) pris par l’oscillateur pendant la
phase transitoire avant d’accrocher la phase du signal de référence.
L’étude de stabilité se fera autour du point (0, 0)
faisant preuve pour tout point (k, 0) dans un voisinage tel que la trajectoire ne perde plus de cycle
(lorsque x ne traverse pas de valeur entière autre
que k), c’est–à–dire, lorsque la boucle est accrochée.
e(t) = −1
Ẋ = f(X, −1)
Fig. 2.17 : Le système hybride évolue dans trois
champs de vecteurs selon la valeur de l’état discret e(t)
Dans l’état +1 et −1 le système est instable,
tandis que dans l’état 0 le système est en stabilité
simple sur l’axe des abscisses et instable en dehors.
Ces trois champs de vecteurs sont représentés dans
la fig. 2.18.
y Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = 0)
1.0
y
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
x − x0 =
y = y0
y 2 −y0 2
+ ab (y − y0 )
2b
2
2
0
− y −y
+ ab (y − y0 )
2b
x
−0.8
−0.4
0
0.4
0.8
1.2
y Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = −1)
Un exemple qualitatif de trajectoire du modèle hybride de la BVP–IC est représenté dans
la fig. 2.17. La trajectoire suit, selon la valeur de
l’état discret, un des trois champs de vecteurs jusqu’à ce qu’une commutation ait lieu. Après cette
commutation, la trajectoire emprunte une autre
ligne de l’un des deux autres champs de vecteurs
et ainsi de suite.
Pour chacun des trois champs de vecteurs on
détermine analytiquement les trajectoires dans le
plan de phase :
x − x0 =
0
−0.2
−1.0
−1.2
Trajectoires dans le plan de phase
lorsque e = +1
lorsque e = −1
lorsque e = 0
(2.91)
Champ de vecteur Ẋ = f(X, e = 1)
−1.0
−1.2
1.0
y
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
−0.4
0
0.4
0.8
1.2
Exemples de trajectoires
Convergeance vers (−1, 0)
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1.0
−1.2
x
−0.8
x
−0.8
−0.4
0
0.4
0.8
1.2
−1.0
−1.2
e = −1
e=1
Convergeance
vers (0, 0)
e=0
x
−0.8
−0.4
0
0.4
0.8
1.2
Fig. 2.18 : Les différents champs de vecteurs du système hybride (graphes du haut et graphe en bas à
gauche) et deux exemples de trajectoire dans le plan
de phase convergeant vers des points fixes différents
(graphe en bas à droite)
Pour construire une telle trajectoire il faut faire
appel à un algorithme de simulation des systèmes
hybrides, ce qui a été réalisé pour la BVP–IC en
premier par Hedayat sans utiliser explicitement
la notion de système hybride.
46
Chapitre 2. Modélisation
2.8.4
Discrétisation du modèle hybride
L’analyse d’un modèle hybride continu peut se
révéler difficile car ce système est à la fois continu
et discret. La théorie des systèmes hybrides étant
encore relativement jeune, elle n’offre pas de méthode d’analyse suffisamment générale pour apporter une solution à tous les problèmes formulés sous
forme hybride continue.
Il est parfois possible d’effectuer une discrétisation d’un tel modèle afin d’en ôter l’aspect continu.
Une telle discrétisation consiste à calculer l’évolution des variables d’états continues et discrètes à
des instants discrets, ceux–ci correspondent en général aux instants de commutations.
Lorsque les trajectoires de l’état continu et les
instants de commutations peuvent être déterminés
analytiquement, on obtient un système de récurrences purement discret dont l’analyse peut être
plus aisée.
Ce système de récurrences est appelé modèle hybride discret par la suite dans le sens où ces équations d’états ne sont pas invariantes et dépendent
des états discrets pouvant évoluer à chaque itération.
X3
t = 3T
X2
t = 2T
X1
x
La section de Poincaré est un procédé de discrétisation plus évolué décrit initialement dans
[Poi99] pour analyser les trajectoires des corps célestes.
On définit pour cela une hypersurface Πp dans
l’espace de phase qui doit être de dimension entière immédiatement inférieure à celle de l’espace
de phase (voir fig. 2.20). Lorsque la surface Πp est
bien choisie, elle est transverse aux trajectoires du
système.
z
y
x
Xk
u
Le procédé de discrétisation le plus courant, présenté dans la fig. 2.19, est l’échantillonnage ou la
discrétisation périodique. Les variables d’états sont
estimées à des instants périodiques t = k T où T
est la période d’échantillonnage ou de discrétisation.
y
Section de Poincaré
Xk+2
Xk+1
v
Discrétisation périodique
t
périodique.
Par contre l’intérêt est limité lorsqu’il existe des
excitations externes ou internes qui sont apériodiques, comme dans les systèmes autonomes et les
systèmes hybrides.
t=T
Fig. 2.19 : Discrétisation de période T d’un système
continu
Cette discrétisation paraı̂t naturelle lorsque le
système est non–autonome et plus particulièrement lorsque ceci est dû à une excitation extérieure
Πp
e section
Surface d
Fig. 2.20 : Section de Poincaré dans un espace de
dimension trois
La succession de points Xi coupant l’hypersurface Πp dans un sens donné (le sens est indiqué par
le signe du produit scalaire entre la tangente à la
trajectoire et la tangente à l’hypersurface) constitue une suite numérique discrète appelée récurrence de Poincaré.
Cette méthode de discrétisation présente le gros
avantage de réduire la dimension de l’espace de
phase, puisque la suite de points est exprimée par
les coordonnées des points appartenant à l’hypersurface Πp .
Dans l’exemple de la fig. 2.20 l’espace de phase
(x, y, z) est réduit à la surface Πp . Les points de
la récurrence sont exprimés dans le plan de phase
(u, v) de dimension deux.
Remarque 12 Le temps t peut être rajouté artificiellement dans le système d’équations : sa dynamique est définie par d(t)
dt = 1. Ceci permet d’intégrer le temps dans l’espace de phase du système.
2.8. Modèles hybrides
47
On peut donc faire une discrétisation de période
T en définissant une surface de Poincaré par t
mod T = 0.
Nous discutons dans la suite des différentes manières de sectionner l’espace hybride.
2.8.5
Section hybride
Dans les systèmes hybrides, les événements du
système discret sont aussi définis par une hypersurface de commutation dans le plan de phase continu
et peuvent servir de section lors de la discrétisation.
Ce type de discrétisation que l’on nomme discrétisation hybride peut être vu comme l’extension de
la notion de section de Poincaré.
La surface de section servant à discrétiser un
système hybride peut, contrairement à la section
de Poincaré, être définie dans l’espace hybride H
entier et dépendre des états discrets de M.
Cette extension offre la possibilité de traverser
la surface de section du plan de phase continu dans
le bon sens sans forcément itérer le modèle, comme
le montre la fig. 2.21.
Discrétisation du modèle hybride continu le long d’une séquence
Lorsqu’une surface de section hybride est définie, il est difficile d’établir la trajectoire partant
d’un point de la suite discrète au point suivant de
cette suite car des événements peuvent intervenir
et changer plusieurs fois l’allure de la trajectoire.
Pour éviter de considérer toutes les éventualités
possibles entre deux points de la récurrence, on
suppose l’existence d’une séquence.
Une séquence est définie lorsqu’un système répète une même séquence des états discrets le long
d’une trajectoire. La fig. 2.22 illustre de manière
assez abstraite une séquence de la BVP–IC où le
courant de charge suit la séquence {+Ic , 0, −Ic, 0}.
Π+0
X1 X2
Π0−
f0
X3
Πh
f+1
e=1
Xk+1
Π0+
e
f−1
Xk
X
f0
?
Π−0
y
e=0
x
Fig. 2.21 : Section hybride dans un espace continu de
dimension deux avec une variable discrète alternant
entre deux valeurs.
Dans cet exemple la frontière de section Πh (en
traits discontinus) appartient au plan de l’état discret e(t) = 1. Si une trajectoire traverse cette frontière dans le plan discret e = 1, le point appartient
à la suite numérique (points marqués en noir).
Si la trajectoire traverse cette frontière dans le
plan discret e = 0, le point n’appartient pas à la
suite discrète (points encerclés), on traverse alors
la frontière sans itérer le modèle discret.
La discrétisation hybride ne réduit pas systématiquement la dimension de l’espace de phase
continu, par contre elle permet d’éliminer une ou
plusieurs variables d’état discrètes.
Fig. 2.22 : Un exemple de séquence de la BVP–IC
La surface de section est alors définie par l’événement menant à l’élément initial de la séquence
et dont l’état discret au moment de cette commutation est celui du dernier élément de la séquence.
On discrétise alors le système en considérant
l’évolution d’un état continu Xk de cette section
vers l’état continu Xk+1 de cette même section lui
succédant à la fin de la séquence.
Dans l’exemple de la fig. 2.22, on itère le modèle lorsque le système retourne dans l’état +. La
surface de section Π0+ est définie dans l’espace
de phase continu par la relation t mod 1 = 0 et
e(t) = +1. La surface de commutation Π−0 est
définie par t mod 1 = 0 et e(t) = 0.
Une section de Poincaré simplement définie
par la surface t mod 1 = 0 donnerait lieu à une
discrétisation différente de celle proposée par la
48
Chapitre 2. Modélisation
section hybride. En effet, on effectuerait une itération sur la section Π−0 (point X ? de la figure) car
sa définition est identique à celle de Π0+ à l’état
discret près.
Ce genre de discrétisation a été appliquée par
Ueta dans [Kou99][Uet01][Kou02] sur un circuit
dont les équations sont très proches de la BVP–
IC. Ces travaux proposent une méthode d’analyse
de la stabilité d’une séquence.
Dans le circuit étudié par Ueta la discrétisation
n’offre pas de solution analytique et toute l’analyse
est basée sur l’estimation numérique du jacobien
de la transformation discrète.
Cette méthode peut donc être appliquée analytiquement sur la BVP–IC du second ordre et numériquement sur celle du troisième ordre. Ce type
de modèle est noté modèle Hyb.–Séq. par la suite.
La supposition de l’existence d’une séquence est
une hypothèse forte qui peut être difficile à vérifier. On peut envisager de calculer toutes les trajectoires possibles entre deux sections hybrides du
modèle, mais les différents cas possibles se multiplient et rendent très complexe l’expression de ces
trajectoires.
Une solution intermédiaire consiste à envisager
les séquences possibles dans un certain voisinage
du point de fonctionnement. On réduit ainsi la
quantité d’événements pouvant apparaı̂tre et la
complexité des équations au prix d’une validité du
modèle moins étendue.
2.8.6
Discrétisation périodique du
modèle Hyb–CNC
On effectue une discrétisation périodique du système en calculant la valeur des variables d’états
aux instants tels que t mod 1 = 0. Ces instants
correspondent aux fronts actifs du signal d’entré
dont la fréquence est considérée constante et égale
à l’unité.
En ajoutant la phase du signal d’entrée ϕref
dans le vecteur d’état continu du modèle Hyb–
CNC, on peut définir une surface de section par la
ϕ
(t)
relation ref
mod 1 = 0 quel que soit l’état dis2π
cret. Cette section de Poincaré permet ainsi d’effectuer une discrétisation périodique du système.
L’avantage d’une telle section est de permettre
de discrétiser le système avec des signaux en entrée
dont la fréquence n’est pas constante. Ce type de
section est utilisé dans le § 3.10 (page 94) pour
optimiser le rejet des bruits en entrée.
Lorsque la période T du signal d’entrée est
constante, on obtient un modèle discret purement
périodique. L’écriture des équations de ce modèle oblige à envisager toutes les séquences possibles apparaissant entre deux événements du signal d’entrée.
Ce problème se simplifie si l’on reste dans un
voisinage proche du point fixe. Le nombre de séquences possibles se réduit alors à quatre cas de
figures.
On obtient ainsi un modèle analytique non–linéaire défini par morceaux strictement équivalent au
modèle NL–DL décrit dans le § 2.5 (page 37).
En exprimant ce modèle avec le vecteur d’état
continu X du modèle Hyb–CNC, les équations
existent mais sont complexes. Le modèle NL–DL
opère à cette discrétisation mais utilise d’autres variables d’état qui simplifient grandement les équations tout en conservant le jeu de paramètres réduits a et b.
Le modèle NL–DL est donc une expression analytique simple de la discrétisation périodique du
modèle Hyb–CNC que l’on note modèle Hyb.–DL
pour modèle hybride discret local.
La linéarisation du modèle NL–DL autour du
point de fonctionnement, notée modèle NL–DLé,
peut être effectuée sur le modèle Hyb.–DL. Ce modèle hybride discret linéarisé, noté modèle Hyb.–
DLé, est utilisé dans le chapitre suivant pour établir une preuve de stabilité sans faire d’approximation sur les séquences.
Le modèle NL–DL et le modèle Hyb.–DL excluent les cas où un événement apparaı̂t sans modifier l’état discret du système. Ceci apparaı̂t dans
deux cas de figure :
– un front du signal d’entrée se présente alors
que le système est déjà en train de donner
une impulsion de courant positive ;
– un front du signal bouclé se présente alors que
le système est déjà en train de donner une
impulsion de courant négative.
On observe ce phénomène lorsque l’erreur de
phase est suffisamment grande, notamment pendant les transitoires. Le domaine de validité limité
aux faibles erreurs de phase peut être étendu en
redéfinissant la section du modèle Hyb–CNC de
manière à ignorer les événements inactifs.
2.8.7
Discrétisation
quasi–périodique du modèle Hyb–CNC
On peut prendre en compte les événements inactifs et modifier les expressions analytiques de la
récurrence. La discrétisation ignore alors certains
événements du signal d’entrée qui ne provoquent
pas de changement d’état.
2.8. Modèles hybrides
49
La section hybride est donc définie par la surface t mod 1 = 0 du plan de phase continu et par
e(t) = 0 ou e(t) = −1 dans le plan de phase discret.
Les événements du signal d’entrée ne provoquent
pas de changement d’état lorsque le système est
déjà en train de donner une impulsion positive de
courant (e(t) = +1).
Les équations du modèle NL–DL doivent être
modifiées de manière à prendre en compte les événements inactifs. Les événements inactifs du signal d’entrée ne modifient que l’expression (C.8)
de τk+1 du cas « + - ». Cette expression devient
alors :
τk+1 = τk −dτk e+toct = τk −dτk e+
1
(2.92)
1 + νk
Les événements liés au signal bouclé, définis par
x mod 1 = 0, sont plus difficiles à prendre en
compte. L’état discret ne change pas quand cet
événement apparaı̂t lorsque le système donne déjà
une impulsion de courant négative. Il faut intégrer
les fronts inactifs de vb dans le calcul de la période
de l’OCT toct .
Pour cela, il suffit de remarquer que les périodes
inactives devant être prises en compte apparaissent
uniquement pendant les impulsions négatives de
durée −τk (la valeur −τk est bien une durée positive car τk est négatif lors d’une impulsion de
courant négative).
Pendant cette impulsion, la phase normalisée de
l’OCT atteint une valeur xδt qui est connue :
xδt
−τk
Z
= (1 + νk − a − b τ ) dτ
=
0
b
2
(2.93)
τk2 + (1 + νk − a) τk
On détermine alors toct de telle sorte qu’à l’instant tk + τk + toct la phase normalisée soit l’entier immédiatement supérieur : dxδt e. L’expression
(C.14) de τk+1 change pour le cas « - - » et devient :
τk+1 =
dxδt e − xδt
−1
1 + νk
(2.94)
Pour le cas « - + » il suffit de remplacer la valeur
de c−+ dans l’expression (C.11) par :
c−+ = dxδt e − xδt
(2.95)
Le domaine de validité de ce modèle est ainsi
étendu à toutes les séquences possibles. C’est pourquoi il est qualifié de modèle non–linéaire discret
global (modèle NL–DG).
Par contre ce modèle perd son aspect périodique
pendant les phases transitoires puisque des événements du signal d’entrée sont ignorés. L’analyse de
stabilité d’un tel modèle pose problème à cause de
ses nombreuses non–linéarités.
Il faut pour pouvoir analyser ce modèle le linéariser dans un voisinage du point fixe, ce qui enlève
alors à ce modèle sa globalité. Bien que ce modèle
ne soit pas utilisé dans ce mémoire, il est présenté
ici dans l’espoir d’offrir à un lecteur avisé un point
de départ pour une analyse de stabilité globale.
2.8.8
Simulation des modèles hybrides
La simulation des modèles discrets précédents
ne pose pas de problème spécifique. Il suffit pour
cela d’itérer la récurrence, qu’elle soit analytique
ou non, et de mémoriser les variables d’états ainsi
que la date pour laquelle elles ont été calculées.
Les simulations des modèles hybrides continus
posent des problèmes spécifiques liés à l’interaction entre les états discrets et les états continus.
Seuls quelques systèmes hybrides admettent des
solutions analytiques.
Les systèmes hybrides linéaires ou affines
peuvent être résolus analytiquement, mais les efforts pour trouver les solutions augmentent avec
l’ordre de l’espace continu, le nombre de variables
discrètes et la complexité des frontières de commutations.
En général, une solution approchée doit être
trouvée. Comme pour les systèmes non–linéaires,
les équations différentielles peuvent être résolues
par des méthodes numériques standard, que l’on
peut trouver dans [Lam91], combinées avec des algorithmes détectant et changeant les états discrets,
modifiant ainsi le flot différentiel. Ces méthodes
numériques sont implantées sur un calculateur et
sont appelées des simulations.
Une multitude d’algorithmes utilisant ces méthodes numériques sont disponibles. Ils permettent de représenter rapidement n’importe
quel système hybride et de le simuler. Les
plus connus sont Simulink combiné avec Stateflow [Mat97a][Mat92] ; Scicos (l’équivalent en logiciel libre) [INRa][INRb] ; Omola [And94] ; Dymola
[Elm93] ; Modelica [Mat97b] et HyBrSym [Mos97].
Une étude comparative de ces logiciels est présentée dans [Mos99]. Il existe d’autres logiciels capables d’effectuer de telles simulations, notamment
les logiciels plus adaptés aux applications de l’électronique comme H–Spice et Verilog–A.
50
Chapitre 2. Modélisation
Le modèle Hyb–CNC étant un modèle affine en
l’état, sa simulation analytique est donc possible.
De plus il n’existe qu’une seule variable discrète et
les frontières de commutations sont simples, ce qui
rend les expressions analytiques très abordables.
Il est donc possible d’effectuer des simulations
analytiques du modèle discret de la BVP–IC. Ces
simulations analytiques ont de gros avantages face
aux logiciel énoncés précédemment : précision et
rapidité.
Simulation analytique d’un modèle hybride
La simulation analytique d’un modèle hybride
itère les variables d’états continues et discrètes
d’événement en événement, comme le montre les
points pleins sur la fig. 2.23.
X(t)
Xk+1
fi
ϕ X (X k
+1
)
, tk
ϕX
, t k+1
Xk
,
k
(X
Ek
, E k +1
∆p
)
tk
t
tk+1 tk+2
Fig. 2.23 : Différence entre simulations hybrides analytiques (trait plein et points pleins) et numériques
(pointillés et points encerclés)
Pour cela on utilise un algorithme qui, à partir
d’un instant tk où les variables d’état sont connues,
détermine l’état du système à l’instant tk+1 où un
événement intervient. Cette simulation nécessite
une méthode appropriée que l’on peut décomposer
en quatre étapes :
– calcul des dates ti des événements pouvant se
produire ;
– sélection de l’événement arrivant en premier,
on note sa date tk+1 ;
– calcul des variables d’états continues à l’instant tk+1 , on les notes Xk+1 ;
– calcul des variables discrète immédiatement
après la commutation ayant lieu à l’instant
tk+1 , notées Ek+1 .
Il peut arriver, au cours d’une itération, qu’un
ou plusieurs événements ne puissent pas se pro-
duire. Leurs dates sont alors fixées à l’horizon
de simulation. Ceci permet de ne pas prendre en
compte ces événements car ils arrivent en fin de
simulation.
Lorsque les frontières de commutation sont
simples, les dates ti des prochains événements possibles peuvent être exprimées analytiquement en
fonction de l’état Xk et de tk . On peut ramener
la simulation du modèle hybride continu à celle du
modèle hybride discret suivant :
tk+1 = min (ti (Xk , Ek ))
i∈E
Xk+1 = f (Xk , Ek , tk+1 )
Ek+1 = φ (Xk , Ek , tk+1 )
(2.96)
On obtient une récurrence autonome permettant de simuler mais aussi d’analyser le système.
Ce genre de modélisation et d’analyse a été étudié
et appliqué aux redresseurs à thyristors par Mira
dans [Mir90].
Les récurrences autonomes de la BVP–IC du
deuxième et troisième ordre ont été établies sous
forme d’algorithme par Hedayat. Cette modélisation, ou simulation analytique, est présentée dans
la section suivante.
Lorsque les frontières de commutations sont
compliquées, les dates ti des événements doivent
être calculées par un algorithme numérique. L’algorithme de Newton, ou un algorithme plus perfectionné, est utilisé pour trouver la solution implicite de la relation ϕX (Xk , Ek , ti ) = fi définissant la
date ti . On parle dans ce cas de simulation hybride
semi–analytique.
Comme le montre la fig. 2.23 la modélisation
analytique ou semi–analytique permet de repérer
les instants de commutations avec une précision
maı̂trisée (points pleins de la figure) contrairement
aux simulations numériques (points encerclés). En
effet le pas de simulation ∆p de la simulation numérique permet de passer au–delà de la frontière
de commutation fi , engendrant une erreur qui peut
être gênante.
Remarque 13 Les simulateurs numériques actuels proposent cependant des méthodes pour affiner le pas de simulation autour des commutations
(par exemple le bloc « hit zero crossing » permet
dans Simulink de forcer une précision autour d’un
événement).
L’inconvénient majeur des méthodes numériques est le nombre important de pas effectués
qui sont inutiles lorsque la trajectoire du système
ne subit pas de variations importantes.
2.9. Modèles événementiels
51
Bien que les méthodes à pas variables tendent
à diminuer ce défaut, le temps de calculs des différents pas reste bien supérieur à celui d’un calcul
analytique direct suffisamment simple.
La rapidité des simulations hybrides, analytiques pour la BVP–IC du deuxième ordre et semi–
analytiques pour le troisième ordre, permettent de
calculer les valeurs optimales des paramètres du
filtre par force brute.
Le critère et la technique d’optimisation sont
présentés dans le § 3.10 (page 94). Les simulations
analytiques de la BVP–IC sont présentées dans la
section suivante sous la forme de récurrences autonomes que l’on appelle par la suite modèles événementiels.
2.9
La phase w est ajoutée dans le système d’équation car elle permet de modéliser les modulations
de fréquence, le bruit en entrée, etc.
Un événement du signal d’entrée se produit
lorsque la phase normalisée traverse une valeur entière : w mod 1 = 0. À partir de l’instant tk , la
date normalisée tr du prochain front actif du signal de référence vref est la date pour laquelle la
phase w atteint la valeur entière qui lui est immédiatement supérieure. L’instant tr est donc défini
par la relation suivante :
Modèles événementiels
Les travaux présentés par Hedayat établissent
les équations de la BVP–IC du second ordre. La
méthode de simulation exposée dans la section précédente a été utilisée sans employer le formalisme
de la modélisation hybride.
Nous reprenons ces travaux en utilisant les variables réduites du modèle Hyb–CNC pour la
BVP–IC du deuxième ordre. On nomme par la
suite le système d’équations autonomes obtenu
modèle événementiel, noté modèle Évé.
Les équations normalisées de la BVP–IC du troisième ordre sont ensuite utilisées pour déduire le
modèle événementiel du troisième ordre. On obtient un système d’équation dont la date d’un événement est la solution implicite d’une relation.
L’algorithme de Newton est utilisé pour trouver numériquement cette solution. Ce modèle est
nommé par la suite modèle événementiel du troisième ordre, noté modèle Évé.–3.
2.9.1
Lorsque le signal d’entrée est de fréquence
constante, la phase normalisée w est identique, à la
phase initiale près, au temps normalisé. On considère sans perte de généralité que cette phase initiale est nulle.
Modèle événementiel du second ordre
Les trajectoires ϕX (Xk , Ek , tk ) des variables
continues x et y s’obtiennent en intégrant les
équation différentielles du modèle Hyb–CNC et en
ajoutant la phase normalisée du signal d’entrée w :
x(t) = xk + (yk + ek a) t − tk
y(t) = yk + ek b t − tk
w(t) = wk + t − tk
b t − tk
+ ek
2
2
(2.97)
tr : w(tr ) = dwk e
⇒ tr = tk + dwk e − wk
(2.98)
De même, un événement du signal bouclé vb apparaı̂t lorsque sa phase normalisée x + t (puisque
2π x = ϕb −ϕref en variables réelles) traverse la valeur entière qui lui est immédiatement supérieure.
À partir de l’instant tk , la date tb du prochain
événement du signal bouclé est alors définie par la
relation x(tb ) + tb = dxk + tk e. Sa résolution donne
les deux solutions suivantes :
tb = t k +

dxk +tk e−xk



yk +1











si ek = 0
(2.99)
√
−(yk +1+ek a)±
(yk +1+ek a)2 +2 ek b (dxk +tk e−xk )
ek b
sinon
Lorsque ek 6= 0, il existe deux solutions. Une de
ces solutions est rejetée car elle correspondrait à
une date antérieure à tk , ce qui violerait le principe
de causalité.
En remarquant que le signe de b (dxk e − xk ) est
toujours positif, on exclut la solution comportant
le signe moins devant la racine.
Le pas de simulation suivant tk+1 est donc la
date du premier des deux événements déterminée
par min(tr , tb ).
En ajoutant l’équation (2.89) de l’état discret du
modèle Hyb–CNC on obtient le modèle Évé. sous
52
Chapitre 2. Modélisation
la forme d’une récurrence autonome :



tk+1 = min(tr , tb )






xk+1 = xk + (yk + ek a) (tk+1 − tk ) +



2



ek b (tk+12−tk )






y
= yk + ek b (tk+1 − tk )

 k+1
wk+1 = wk + (tk+1 − tk )


(2.100)






min(1,
e
+
1)
k











lorsque tk+1 = tr


ek+1 =






 max(−1, ek − 1)









lorsque t
= tb
k+1
avec tr = tk + dwk e − wk , et
tb = t k +

dxk +tk e−xk



yk +1











−(yk +1+ek a)+
si ek = 0
√
(2.101)
(yk +1+ek a)2 +2 ek b (dxk +tk e−xk )
ek b
sinon
Remarque 14 Dans l’expression de tb pour ek =
−1, le terme sous la racine peut être négatif. Cela
correspond physiquement au cas où lors d’une impulsion négative la tension à l’entrée de l’oscillateur diminue tellement que la fréquence de l’OCT
serait négative.
Il s’agit du phénomène de « collage » ou de saturation de l’oscillateur dont la sortie reste constamment bloquée. Lorsque le terme sous la racine est
négatif, on donne à tb la date de la fin de simulation. Ceci permet de continuer la simulation dans
le cas où un front du signal d’entrée apparaı̂t suffisamment tôt pour empêcher le collage de l’OCT.
Si la fréquence de l’OCT devient négative, le
principe de causalité ne sera pas respecté, on arrête
alors la simulation lorsque y(t) + 1 + ek a < 0.
2.9.2
Modèle événementiel du troisième ordre
Le modèle événementiel du troisième ordre, que
l’on nomme modèle Évé.–3, est déterminé en remplaçant les équations du système continu du modèle Hyb–CNC par les équations du troisième
ordre (2.33). Le système s’écrit alors sous la forme
de la récurrence autonome (2.102).
Les événements et l’équation de transition de
l’état discret restent inchangés, par contre l’expression de tb ne peut plus être analytique, on note son
expression transcendantale teb . La date de l’événement du signal
bouclé teb est définie par la relation
implicite xk teb − teb = dxk − tk e.
Itération numérique du modèle
L’itération du modèle se fait en déterminant la valeur
de la fonction transcendantale
teb x, y, z, w, t , induite par la relation précédente,
à l’instant tk .
Pour cela on isole l’expression x(t) du système
et on cherche la racine selon t de la fonction
fimp (x, y, z, w, t) = x(t) − t − dxk − tk e avec un
algorithme numérique.
Plusieurs méthodes numériques peuvent être
utilisées pour calculer la valeur de la fonction
transcendantale teb . On trouve un bref exposé de
ces différentes méthodes adaptées à ce problème
dans [Mir94], et de manière complète et plus générale dans [Dem91][Hen64].
Les problèmes liés à ces méthodes sont principalement les critères et la rapidité de convergence. Le
choix de la méthode de Newton–Raphson permet de profiter de la connaissance analytique de la
dérivée de la fonction implicite fimp .
Cet algorithme est ainsi plus rapide et plus robuste ; cependant la convergence de l’algorithme
n’est pas garantie et dépend fortement du point
d’initialisation, comme le montre la fig. 2.24.
L’algorithme de Newton–Raphson.
Cet algorithme bien connu consiste à approcher
la fonction par sa tangente. À partir d’une abscisse
initiale t0 que l’on nomme « pari initial », on recherche l’intersection de la tangente en ce point
avec l’axe des abscisses (voir la vignette en bas de
la fig. 2.24). Cette intersection donne l’abscisse du
point suivant t1 à partir duquel une nouvelle approximation est faite.
Comme le montre la fig. 2.24, si le pari initial est
trop éloigné de la solution, l’algorithme peut diverger (cas de l’initialisation avec td ) ou converger
vers un cycle limite (cas de l’initialisation par t?0 ou
t?1 ) ou même observer un comportement chaotique
[Mir94] (non représenté).
Des critères de convergence existent et peuvent
être trouvés dans les ouvrages cités précédemment.
Ces critères imposent l’existence d’une solution
unique dans l’intervalle où la récurrence opère,
2.9. Modèles événementiels
53

tk+1 = min(tr , teb )




2

t
−tk

τn − τ1
(τk+1 − τk )

− k+1

τn
+
[(z
−
y
)
−
e
pτ
]
τ
−
t
+
τ
e
x
=
x
+
(τ
−
τ
)
x
+
e
p

k
k
k
1
k+1
k
n
k+1
k
k+1
k
k
k


2
τ1




t
−tk
τ

n
− k+1

τn

y
=
y
+
e
p
(t
−
t
)
+
[(z
−
y
)
−
e
p
τ
]
1
−
e
k+1
k
k
k+1
k
k
k
k
1


τ1




t
−tk

τ
− τ1
− k+1

τn
 zk+1 = zk + ek p (tk+1 − tk ) + n
[(z
−
y
)
−
e
pτ
]
1
−
e
k
k
k
1


τ1



wk+1 = wk + tk+1 − tk




 min(1, e + 1)



k










lorsque tk+1 = tr

(2.102)


e
=
k+1


 max(−1, e − 1)



k










lorsque tk+1 = teb





r


 avec t = tk + dwk e − wk


et teb tel que xk (teb ) − teb = dxk − tk e
fimp (t)
ils excluent aussi la présence de points d’inflexion
dans cet intervalle et garantissent une dérivée suffisamment grande en valeur absolue pour éviter la
divergence.
t?1
La vérification de ces critères par la fonction fimp
n’est pas traitée dans ce mémoire, mais pourrait
être développée. Hedayat dans ces travaux propose de faire un pari initial suffisamment proche
de la solution en approchant la fonction implicite
fimp par la fonction explicite issue du second ordre.
La valeur t0 du pari initial est calculée à partir
de la date tb établie dans la relation (2.99) pour
une BVP–IC du deuxième ordre ayant les mêmes
paramètres à l’exception de la valeur de la capacité du filtre C. Cette valeur est égale à la somme
C1 + C2 des capacités du filtre du second ordre de
manière à obtenir une constante de temps équivalente.
Il suffit donc d’itérer, à partir de cette valeur tb ,
la récurrence suivante tant que la condition d’arrêt
fimp (teb k ) < n’est pas atteinte :
teb k+1
fimp teb k
= teb k −
0
fimp
teb k
avec teb 0 = tb
(2.103)
pour C = C1 + C2
La valeur de fixe l’erreur absolue tolérée sur le
calcul de la date de l’événement.
t
t?0
td
fimp (t)
t0
t1
t2
t3
t
teb
Fig. 2.24 : Convergence de l’algorithme de Newton–
Raphson. En haut, une initialisation divergente td et
un cycle limite t?i ; en bas un agrandissement de la zone
entourée par les petits tirets montrant une initialisation convergente t0 .
54
2.10
Chapitre 2. Modélisation
Récapitulatif
Beaucoup de modélisations de la BVP–IC du
deuxième et du troisième ordre ont été proposées
dans le passé ainsi que dans ce mémoire. Dans la
majorité des cas des approximations ont été faites
pour obtenir les équations imposant un domaine
de validité plus ou moins restreint.
L’approximation la plus classique consiste à
considérer que le système est proche de son point
de fonctionnement permettant généralement de linéariser les équations autour de ce point. On parle
dans ce cas de modèle local en opposition au modèle global où le domaine de validité englobe l’espace de phase. Ce domaine de validité est défini
dans l’espace de phase du système.
Mais la BVP–IC est un circuit hybride dont la
modélisation complète nécessite un espace hybride
constitué d’un espace de phase continu et d’un espace de phase discret.
Une approximation parfois utilisée pour ce type
de système consiste à imposer certaines séquences
de commutation de l’état du DPF (comme dans
les modèles linéaires discrets) et/ou à considérer
que cet état du DPF suit un ensemble de certaines
séquences (comme la discrétisation le long d’une
séquence). Il est alors difficile d’établir un domaine
de validité dans l’espace de phase garantissant ces
suppositions.
Pour obtenir ce domaine de validité on définit
l’espace Stout de toutes les séquences générées par
l’espace des états discrets et par S l’ensemble Stout
privé des séquences ne pouvant être produites par
le circuit lorsqu’il en existe.
Le domaine de validité peut être alors exprimé
dans un espace hybride composé de l’espace des séquences possible S et de l’espace de phase continu.
Ceci nous permet de définir deux types de voisinages liés aux deux types d’approximations précédentes : l’un dans l’espace continu où se déroulent
les trajectoires ; l’autre dans l’espace des séquences
où une séquence de l’état discret du système correspond à un point de cet espace.
Les approximations dans l’espace de phase
continu conduisent aux définitions suivantes.
Définition 6 On qualifie de :
– global en trajectoire un modèle dont le domaine
de validité inclut l’espace de phase continu ;
– semi–global en trajectoire un modèle dont le
domaine de validité inclut un voisinage relativement large de la projection du point de fonctionnement dans l’espace de phase continu ;
– local en trajectoire un modèle dont la projection du domaine de validité sur l’espace de
phase continu est incluse dans un ensemble
de points adhérents à la projection du point
de fonctionnement dans ce même espace de
phase.
Les approximations dans l’espace des séquences
caractérisent les définitions suivantes.
Définition 7 On qualifie de :
– global en séquence un modèle dont le domaine
de validité inclus l’espace des séquences possibles S ;
– local en trajectoire un modèle dont la projection du domaine de validité sur Stout est strictement incluse dans S ;
– négligé en séquence un modèle dont le domaine
de validité ne peut pas être projeté sur l’espace
des séquences Stout .
Ces notions de globalité en séquence ou en trajectoire permettent, en ajoutant la notion de système à temps discret et à temps continu, de classifier l’ensemble des modèles présentés dans ce mémoire.
Cette classification est présentée dans la
fig. 2.25. On obtient en bas de cette figure les acronymes des modèles classés en fonction des types
d’approximations effectuées.
L’ensemble des modèles présentés dans ce mémoire est résumé ici :
– le modèle LC – modèle linéaire continu obtenu
en calculant le courant de charge moyen et en
négligeant les séquences des états discrets ;
– le modèle LDδ – modèle linéaire discret obtenu en approchant les impulsions de courant
de charge par une impulsion de Dirac apparaissant à chaque période du signal d’entrée ;
– le modèle D–Brut – modèle discret non–
linéaire obtenu en approchant les impulsions
de courant de charge par une impulsion de largeur variable débutant à chaque période du
signal de référence ;
– le modèle LD–Éch. – modèle linéaire discret
obtenu en échantillonnant à la période du signal d’entrée le modèle LC ;
– le modèle Hyb–CN et le modèle Hyb–CNC –
modèles hybrides continus obtenus à partir
des équations du système continu et en définissant les frontières de commutations dans
le plan de phase ;
– le modèle Hyb.–Séq. – modèle hybride discret
obtenu en sectionnant le long d’une séquence
particulière le modèle Hyb–CNC ;
55
2.10. Récapitulatif
À séquence négligée
e
liq
u
im
p
Modèles de la BVP–IC
Hyb–Séq
NL–DG
Quasi–Périodique
À temps discret
Local en Séquence
Semi–Global en trajectoire
Global en Séquence
À temps discret
NL–DL
|θe | < T
NL–DLé
Hyb–DL
À temps discret
Global en séquence
LD–Éch
Échantillonné
Local en trajectoire
À temps discret
par
approchée
Impulsion
Impulsion
Gardner
D–Brut
Hyb–DLé
Modèle récrit en variable réduite à partir d’un modèle déjà existant
Modèle établi di↑éremment pour le second et pour le troisième ordre
Modèle établi pour le deuxième ordre uniquement
Modèle établi pour le deuxième et troisième ordre
LD–δ
Dirac
de
À temps continu
LC
implique
Global en trajectoire
À temps discret
Trajectoire numérique
Hyb–Num
Global en Séquence
Évé
Trajectoire Analytique
Évé–3
Simulations du modèle Hyb–C
À temps continu
Hyb–C
Fig. 2.25 : Classification des modèles présentés dans ce mémoire. Les modèles sont classés de gauche à droite en
fonction du type d’approximation conduisant à ces modèles
56
Chapitre 2. Modélisation
– le modèle NL–DL et le modèle Hyb.–DL – modèles hybrides discrets obtenus en discrétisant
par la période du signal d’entrée le modèle
Hyb–CNC ; chaque modèle est local en trajectoire ce qui rend des séquences impossibles
(le modèle est ainsi global en séquence) ;
– le modèle NL–DLé et le modèle Hyb.–DLé –
modèles hybrides discrets obtenus en linéarisant le modèle NL–DL ou le modèle Hyb.–DL,
ces modèles diffèrent seulement par leurs variables d’état continues ;
– le modèle NL–DG – modèle hybride discrétisé par les fronts actifs de la période du
signal d’entrée (section hybride des trajectoires), toutes les séquences sont alors prises
en compte ;
– le modèle Hyb.–Num. – modèle hybride discret numérique, obtenu par une simulation numérique des trajectoires continues et des événements discrets (technique de simulation de
SciCos, Simulink, etc.) :
– le modèle Évé. – modèle hybride discret analytique issu de la simulation du modèle Hyb–
CNC. Ces simulations calculent analytiquement les valeurs des états continus à chaque
événement ; les dates des événements sont déduites analytiquement des trajectoires pour
le modèle du second ordre et numériquement pour le modèle d’ordre trois modèle
Évé.–3 (simulation semi–numérique du modèle continu).
Les simulations de ces différents modèles sont
confrontées dans la section suivante.
2.11
Quelques simulations
2.11.1
Simulations locales en trajectoire
On peut vérifier et comparer un modèle local
en trajectoire en initialisant la simulation dans un
état très proche du point de fonctionnement. Dans
les simulations suivantes l’erreur de phase initiale
est choisie nulle et la tension normalisée est légèrement augmentée de 10−3 par rapport à sa valeur
en régime stabilisé 1. Ceci permet de comparer notamment le modèle LC avec les modèles discrets.
Les simulations
(non présentées) des modèles
p
faites pour
(b) 1, ce qui correspond à la
condition de validité du modèle LC ωn ωref ,
montrent que ce modèle donne des résultats très
comparables aux modèles discrets LDδ, D–Brut et
LD–Éch.
On remarque que le modèle LD–Éch. ne donne
pas les mêmes résultats que les autres modèles
discrets. De nombreuses simulations de ce modèle
montrent des écarts importants par rapport au modèle exact (le modèle Évé.). Cette différence peut
aller jusqu’à l’instabilité du modèle LD–Éch. La représentation de la BVP–IC par un système continu
échantillonné est trop éloignée de la forme réelle du
courant de charge.
Cette modélisation ne sera pas analysée par la
suite en raison de sa très faible précision. Aucun
écart entre le modèle LDδ et le modèle D–Brut n’a
pu être mis en évidence au cours des simulations,
c’est pourquoi nous ne présentons que les trajectoires du modèle LDδ.
Lorsque la dynamique du système devient comparable à celle du signal d’entrée, pour une valeur
de b commensurable à l’unité, le modèle continu et
les modèles discrets s’éloignent du comportement
réel.
1.02
modèle LC
a = 0, 19
b = 3, 7
1.01
Les nombreux modèles sont présentés dans la
classification précédente basée sur le type des approximations effectuées pour obtenir ces modèles.
Il serait long et fastidieux de comparer chaque
modèle dans une multitude de configurations différentes et de vérifier le domaine de validité de
chacun. Ceci reviendrait à effectuer une analyse
empirique de la dynamique des différents modèles.
L’analyse de ces modèles est traitée dans le chapitre suivant.
Nous présentons dans cette section quelques simulations significatives tendant à valider ou invalider le comportement des modèles.
1.00
0.99
modèle Évé.
0.98
modèle LDδ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 2.26 : Le modèle LC donne des résultats précis
en comparaison du modèle LDδ qui est instable
Les modèles discrets pourtant censés être plus
précis que le modèle LC dans cette situation ne le
sont pas dans tous les cas. La fig. 2.26 montre un
2.11. Quelques simulations
57
cas où le modèle LC est plus proche du comportement réel car le modèle LDδ devient instable.
Pour une dissipation faible (a = 0, 001) la
fig. 2.27 montre que le modèle LDδ est cette fois–ci
plus précis car il prend mieux en compte les événements discrets.
1005e−3
a = 0, 001
b = 3, 7
modèle LC
1003e−3
1001e−3
999e−3
2.11.2
Simulations globales en trajectoire
En initialisant les simulations dans un état éloigné du point de fonctionnement, on peut mettre
en évidence les qualités des modèles globaux en
trajectoire.
Dans les simulations suivantes la phase initiale
et la tension normalisée aux bornes de la capacité
sont choisies nulles.
Les modèles Hyb–DL, NL–DG et NL–DL ne
sont pas présentés car ils donnent des résultats très
similaires au modèle Hyb.–Num. et au modèle Évé.
La fig. 2.29 confronte le modèle LDδ avec les modèles exacts, elle montre la phase transitoire de la
trajectoire suivie de la phase de stabilisation.
997e−3
y
modèle LDδ
−1
3
modèle Évé.
7
11
15
19
2.0
23
27
31
Fig. 2.27 : Le modèle LDδ est beaucoup plus précis
que le modèle LC
modèle Évé.
accrochage
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
La fig. 2.28 illustre les cas où l’on se trouve près
du point de fonctionnement alors que les modèles
linéaires ne sont pas exacts.
0.8
0.6
0.4
0.2
1.4
modèle LC convergent
modèle LDδ
t
0
0
1.2
20
Transitoire
1.0
40
60
80
100
120
Comportement linéaire
Fig. 2.29 : Les modèles linéaires ne peuvent pas représenter correctement la phase transitoire
0.8
0.6
modèle Évé.
a = 0, 5
b = 4, 5
modèle LDδ divergent
0.4
−1
3
7
11
15
19
23
27
31
Fig. 2.28 : Les modèles linéaires ne sont pas valides
lorsque la dynamique du système est rapide
Le domaine de validité des modèles discrets n’est
donc pas plus étendu que celui du modèle LD.
L’approximation faite sur les séquences lors des
modélisations discrètes ne permet pas de déterminer un domaine de validité avec précision.
On ne peut que donner un domaine de validité
très restreint pour ces modèles correspondant à celui imposé pour le modèle linéaire : ωn ωref .
L’analyse des modèles LC et LD–δ est présentée
dans le chapitre suivant.
Les modèles exacts permettent de représenter la
phase transitoire avec précision contrairement au
modèle linéaire discret. Une fois que le système
est accroché (lorsque le système passe en phase de
stabilisation), il se comporte alors de manière très
similaire à un système linéaire. Les modèles issus
de la discrétisation du modèle hybride continu sont
donc les plus performants.
Les équations du modèle Évé. sont vérifiées en
confrontant ses trajectoires avec celles obtenues en
simulant le modèle Hyb–CNC. Dans la simulation
ci–dessous, le modèle Hyb–CNC est simulé à l’aide
du logiciel SciCos.
Les trajectoires correspondent parfaitement,
mais lorsque le système est très proche de l’état
final on remarque de légères différences. En effet
le modèle Hyb.–Num. simulé par SciCos approche
la trajectoire continue avec un algorithme numérique.
58
Chapitre 2. Modélisation
y
2.9
modèle Évé.
Simulateur numérique SciCos
2.5
2.1
1.7
1.3
0.9
0.5
0.1
t
−0.3
0
4
8
12
16
20
24
28
32
Fig. 2.30 : Les erreurs des simulations numériques des
systèmes hybrides peuvent inverser l’ordre des événements du systèmes.
Comme cela est expliqué dans le § 2.8.8
(page 49), les erreurs d’intégration se répercutent
sur les dates des événements qui sont alors légèrement modifiées. Ce phénomène devient apparent lorsque la largeur des impulsions devient très
faible : l’erreur du modèle Hyb.–Num. place alors
un événement juste avant un autre et change ainsi
le sens de l’impulsion (en pointillés sur la fig. 2.30).
Conclusion sur la modélisation
Les simulations montrent que le modèle linéaire
continu et les modèles linéaires discrets sont valides lorsque les trajectoires sont proches du point
de fonctionnement et lorsque la dynamique du système est plus lente que la fréquence du signal d’entrée.
Cette dernière condition est représentée grossièrement par la condition b 1 en négligeant l’effet
du zéro de la fonction de transfert du modèle linéaire.
Il apparaı̂t que la modélisation discrète n’améliore pas outre mesure le domaine de validité de ces
modèles. La représentation de la BVP–IC par un
système continu échantillonné, pourtant proposé
dans des ouvrages destinés aux ingénieurs, donne
des résultats complètement erronés même lorsque
la dynamique du système est relativement lente.
Ce dernier modèle ne sera donc pas analysé dans
le chapitre suivant.
Par contre on obtient des simulations quasi–
exactes avec les modèles non–linéaires discrets et
avec les modèles hybrides. Parmi ces modèles, les
modèles analytiques, ou semi–analytiques pour la
BVP–IC d’ordre trois, présentent une précision et
une rapidité d’exécution largement supérieure aux
modèles numériques.
L’introduction de ces modèles hybrides nous a
poussé à discerner les modèles qui prennent en
compte avec exactitude ou non les commutations
du système – modèles globaux en séquence. Un modèle global (ou local) au sens classique du terme
est alors qualifiée de – modèle global (ou local) en
trajectoires – pour spécifier que le domaine de validité se situe uniquement dans l’espace de phase
continu.
Le modèle linéarisé discret (modèle NL–DLé) est
local en trajectoire mais, contrairement aux autres
modèles linéaires, global en séquence. Ce modèle
linéaire par morceaux permet d’établir la première
preuve de stabilité qui soit globale en séquence, au
prix d’un certain effort d’analyse présenté dans le
chapitre suivant.
Chapitre 3
Analyse
Sommaire
3.1
Étude du modèle linéaire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Contrainte de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Contrainte de rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Rejet des bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Rejet du bruit en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Rejet du bruit à la sortie de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Saturation de la commande à l’entrée de l’OCT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Calcul du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Étude du modèle linéaire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Condition de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Condition de stabilité robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Conclusion sur l’étude linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Stabilité d’une séquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Calcul du multiplicateur d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Calcul du multiplicateur à partir du modèle linéarisé discret . . . . . . . . . .
3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Stabilité quelles que soient les séquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Un contre–exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Méthode directe de Lyapunov et extension aux systèmes hybrides . . . . . . .
3.4.3 Stabilité des systèmes non–linéaires commutés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Stabilité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Représentation du système sous forme polytopique . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Recherche d’une fonction de Lyapunov quadratique commune . . . . . . . . .
3.6 Stabilité Poly–quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Stabilité poly–quadratique dans un ensemble de séquences réduit . . . . . . . .
3.6.2 Validité du résultat pour le système non–linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Stabilité poly–quadratique relâchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Linéarisation de Lyapunov des modèles non–linéaires discrets commutés . . . .
3.7.2 La S–procédure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Partitionnement du plan de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul . . . . . .
3.9 Vérification expérimentale des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Optimisation par force brute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
61
61
62
62
63
64
65
66
66
67
67
67
68
69
69
69
72
73
74
74
75
78
79
80
81
81
82
82
83
83
85
85
89
92
94
60
Chapitre 3. Analyse
Introduction au chapitre 3
Nous abordons dans ce chapitre l’analyse de stabilité de la BVP–IC d’ordre deux uniquement. Quatre
types de modèles sont utilisés pour établir des preuves de stabilité du circuit.
Dans les sections 3.1 et 3.2, nous étudions la stabilité des modèles linéaires continus et discrets. Ces
résultats sont les seuls publiés à ce jour portant sur ce type de BVP et en constituent l’état de l’art.
L’étude linéaire continue est faite de manière à démontrer l’extrême souplesse d’analyse de ce type
de modèle. Elle permet notamment d’ajouter des contraintes de stabilité robuste, d’induire l’effet de
différents bruits et d’assurer leur rejet.
L’étude linéaire discrète porte uniquement sur les analyses de stabilité absolue et robuste.
L’inconvénient majeur des techniques linéaires est de négliger les dynamiques propres à l’aspect hybride
du système. Au lieu d’approfondir l’étude linéaire, notamment en considérant un système d’ordre trois,
nous tentons de prendre en compte avec exactitude l’impact des interactions entre les états continus et
les états discrets du système.
Dans le section 3.3, une première approche simplificatrice analyse le système sans effectuer d’approximation en supposant que le système suit une séquence particulière. Nous nous intéressons alors au comportement d’une trajectoire fermée particulière que l’on appelle cycle limite.
L’analyse de la stabilité d’une telle trajectoire se fait en définissant une section de Poincaré qui a la
particularité d’être hybride. Une méthode d’analyse de la récurrence issue d’une telle section est ensuite
présentée.
Ce genre de méthode permet d’analyser tous les cycles limites du système dans leur voisinage. Une telle
analyse permet de mettre en évidence des phénomènes particuliers tels que les bifurcations du système
et l’apparition d’un comportement chaotique. Il n’est pas toujours possible de garantir la stabilité du
système pour toutes les séquences possibles avec une telle étude.
Les sections 3.4 et 3.7 traitent de la stabilité du système pour toutes les trajectoires possibles localisées
autour du point origine. Ces analyses sont basées sur l’utilisation de la méthode directe de Lyapunov.
Cette méthode permet d’apporter des conditions suffisantes mais non nécessaires de stabilité. Il en résulte
un problème lié au conservatisme des conditions suffisantes proposées.
La section 3.4 propose une méthode d’analyse par linéarisation autour du point fixe. Le conservatisme
de cette méthode est considérablement réduit dans la section 3.7.
Ces tests de stabilité s’appliquent à un système de paramètres réduits donnés. La section 3.8 adapte ces
tests de manière à pouvoir établir une région du plan de paramètres dans laquelle la stabilité pour toutes
les séquences est prouvée. Le concepteur peut ainsi choisir dans cette région le couple de paramètres qui
l’intéresse.
Ces résultats théoriques sont finalement confrontés, dans la section 3.9, à des mesures expérimentales
effectuées sur un circuit réalisé en composants discrets.
3.1. Étude du modèle linéaire continu
3.1
61
Étude du modèle linéaire
continu
Le modèle linéaire continu est très utilisé car
la souplesse de son analyse permet de caractériser plusieurs types de critères sans grande difficulté. De plus, beaucoup de travaux ont été effectués de cette manière sur les BVP analogiques
[Ega00][Kol99][Bla76], ce qui permet d’utiliser les
résultats trouvés dans la littérature pour des BVP
dont les fonctions de transfert sont équivalentes.
La fonction de transfert de la BVP–IC avec un
simple filtre RC est celle d’un système du second
ordre. Ce système présenté dans le § 2.3 (page 28)
est répété ci–dessous :
p+1
p2
a/b T p + 1
H2 (p) = N 2 2
T /b p + a/b T p + 1
G2 (p) = b N
a/b T
(3.1)
Cette fonction de transfert est similaire à celle
d’une BVP–IC analogique munie d’un filtre actif
du premier ordre de pulsation propre ωn et d’amortissement ξ :
p+1
2 + 2ξ/ω p + 1
p
n
n
r
√
Koct Ic
= b
ωn =
NC
r
a
R Koct Ic C
= √
ξ=
N
2
2 b
K=N
H(p) = K
avec
le rejet des bruits en entrée est une contrainte
forte alors que la rapidité d’acquisition du système
est une contrainte faible. Ceci est inversé dans le
cas d’un synthétiseur de signaux modulés par déplacement de fréquence10 où le circuit doit pouvoir « sauter » rapidement d’une fréquence à une
autre.
Chacune des trois contraintes doit d’abord être
spécifiée mathématiquement (par exemple en imposant une marge de stabilité de 45 degrés pour
exprimer la contrainte de stabilité robuste).
On détermine ensuite dans l’espace paramétrique (a, b) la région dans laquelle les paramètres
vérifient la contrainte imposée. Cette région est
nommée région de validité de la contrainte par la
suite.
Le concepteur choisit alors les paramètres du
filtre a et b parmi l’intersection des régions de validité des contraintes. L’intégration du condensateur sur une puce électronique étant coûteuse, le
concepteur choisit en général le couple (a, b) appartenant à cette intersection et dont l’ordonnée b est
la plus grande possible. Ceci correspond au filtre
respectant les contraintes dont le condensateur est
de la taille la plus petite possible.
2ξ/ωn
3.1.1
1/ω 2
(3.2)
On peut donc réutiliser les résultats portant sur
la BVP analogique à filtre actif pour étudier la
BVP–IC.
Dans cette section nous cherchons à maı̂triser les
trois caractéristiques suivantes du circuit :
– la stabilité du système malgré la présence de
variations des paramètres et de dynamiques
négligées lors de la modélisation ;
– la rapidité du système et sa capacité à suivre
certaines modulations de phase ou de fréquence ;
– le rejet des bruits générés dans le circuit ou à
son entrée.
Chacune de ces caractéristiques donne lieu à
une contrainte de conception réduisant les degrés
de liberté du concepteur. Certaines contraintes
peuvent être plus ou moins critiques selon le type
d’application.
Dans le cas de la reconstruction de l’horloge
d’un microprocesseur à partir d’un signal externe,
Stabilité absolue
La première qualité exigée d’un circuit est sa stabilité. Un système est dit stable si, excité par une
impulsion de Dirac, il revient à sa position initiale
d’équilibre. Il est instable dans le cas contraire.
Pour un système linéaire d’ordre n de fonction
de transfert F (p) en boucle fermée, sa réponse impulsionnelle est F (p) puisque la transformée d’une
impulsion de Dirac est 1. F (p) peut être représentée sous forme de fractions rationnelles du premier
et du second ordre :
X
X Ai
Bj p + Cj
F (p) =
+
2 ξj
p2
p − pi
j 1 + ωnj p + ωnj 2 (3.3)
i
avec i + 2 j = n
En retournant au régime temporel par la transformée inverse, on peut écrire :
X
f (t) =
Ai epi t +
i
X
(3.4)
Aj e−ξj ωnj t cos (ωj t + φj )
j
La réponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers zéro si les termes pi et −ξj ωnj sont né10 Phase
Shift Keying (FSK) en anglais
62
Chapitre 3. Analyse
gatifs. En remarquant que ce dernier terme représente la partie réelle commune aux pôles conjugués, on en déduit le théorème 1 sur la stabilité
des systèmes linéaires continus [Ahr51][dA81].
Théorème 1 Un système linéaire continu est
asymptotiquement stable en boucle fermée si et
seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative.
Dans le cas d’un système du second ordre, cette
condition de stabilité devient simplement ξ ωn > 0.
La BVP–IC est donc stable si son facteur d’amortissement et sa fréquence propre sont positifs.
Cette condition est toujours vérifiée car les paramètres a et b sont positifs.
Le modèle linéaire continu de la BVP–IC d’ordre
deux est donc toujours stable. Cependant il peut
être utile de garantir une certaine marge de stabilité censée absorber les erreurs de modélisation.
3.1.2
Contrainte de stabilité robuste
La problématique naı̂t des dynamiques et des
non–linéarités négligées dans la modélisation : un
des pôles du système peut devenir instable sous
l’influence de ces dynamiques parasites. Nous cherchons alors à garantir la stabilité malgré les variations des paramètres et l’influence des dynamiques
négligées. Cette problématique qui est celle de la
stabilité robuste a été très développée depuis les
années 80.
Parmi les méthodes garantissant la stabilité robuste du circuit, nous utilisons la plus ancienne et
la plus simple : on garantit une marge de stabilité
minimale ΦM .
Soit ϕ0 l’angle de phase du système lorsque son
gain en boucle ouverte est unitaire, la marge de
phase est obtenue en évaluant la différence entre
ϕ0 et l’angle de phase du point d’instabilité qui
vaut −π.
Le système est instable selon le théorème de
Nyquist [Jur82] lorsque cette marge de phase
ϕ0 + π est négative. En imposant une marge de
phase suffisamment importante, les dynamiques
négligées ne devraient pas déstabiliser le système.
La condition de stabilité robuste est donc :
ϕ0 + π > ΦM > 0
(3.5)
Cette condition exclut certaines combinaisons
des paramètres a et b. Pour déterminer la région
de validité de cette contrainte, il suffit d’exprimer
ϕ0 en fonction des paramètres du système. Pour
cela nous calculons la fréquence ω0 pour laquelle
le gain en boucle ouverte est unitaire :
ω0
tel que
|G2 (j ω0 )| = 1
(3.6)
où j est la variable complexe telle que j 2 = −1.
La phase ϕ0 est l’argument de la fonction de
transfert exprimée pour la fréquence ω0 :
ϕ0 = arg (G2 (j ω0 ))
(3.7)
En remplaçant ϕ0 par cette valeur dans la condition (3.5) nous obtenons la relation entre les paramètres a et b suivante :
b<
a2
|tan(ΦM ) sin(ΦM )|
(3.8)
Cette relation a nécessité l’utilisation d’un logiciel
de calcul formel pour pouvoir être écrite sous une
forme aussi simple.
Cette inégalité définit une frontière FM P représentée dans la fig. 3.6 (page 67). La marge de phase
minimale ΦM sera respectée si le couple de paramètre (a, b) se situe en dessous de la parabole FM P
de la relation précédente.
3.1.3
Contrainte de rapidité
Dans certaines applications la fréquence du signal en entrée n’est pas constante. C’est le cas de la
démodulation de fréquence où la fréquence instantanée oscille autour d’un valeur centrale. L’écart
de fréquence est proportionnel au message m(t) à
transmettre par modulation de fréquence.
Si l’on veut démoduler ce signal, il faut que la
BVP puisse suivre fidèlement l’évolution de la fréquence d’entrée. La tension à l’entrée de l’OCT est
alors proportionnelle à l’amplitude de modulation
de fréquence et est donc proportionnelle à m(t).
Le message m(t) occupe une bande de fréquence
plus ou moins étendue selon les applications :
8KHz pour une voie, 21KHz pour un son de Haute
Fidélité, etc. Pour démoduler correctement le message m(t) la bande passante en fréquence de la
BVP doit être plus large que la bande utile du signal m(t).
La fonction de transfert en fréquence de la BVP–
IC du second ordre est la même que la fonction de
transfert en phase :
H2 (p) =
θs (p)
p fs (p)
fs (p)
=
=
(3.9)
θref (p)
p fref (p)
fref (p)
Une manière de garantir cette bande passante,
illustrée dans la fig. 3.1, consiste à imposer une atténuation maximale de Ndyn décibels du gain de la
3.1. Étude du modèle linéaire continu
63
b
fonction de transfert en boucle fermée H2 (p) pour
la plus haute pulsation de la bande utile ωdyn :
|H2 (j ωdyn )|dB ≥ 20 log(N ) − Ndyn
bma
(3.10)
H2 (ωdyn ) H2 (0) > −Ndyn
dB
x
αdyn ωdyn
|H2 (j ω)| (dB)
dB
2
α2
dyn ωdyn
α2
−1
dyn
b > bmax
b < bmin
80
H2 (ωdyn ) H2 (0) < −Ndyn
b = bmax
a
αdyn ωdyn
Ndyn
αdyn ωdyn
2
αdyn −1
60
b min
40
Fdyn
20
0
b = bmin
.
bmin < b < bmax
−20
f (Hz)
−40
ωdyn
2π
10− 1
=
100
101
Fig. 3.1 : Exemple de contrainte avec une atténuation de Ndyn = 10dB sur la fonction de transfert H2
pour une fréquence de 1Hz. Les différentes valeurs de
b montrent que la fonction de transfert observe une atténuation plus forte lorsque bmin < b < bmax
Il suffit de remplacer le gain de H2 (j ωdyn ) par
son expression en fonction de a et de b pour trouver la région de validité de cette contrainte. Cette
région est délimitée par la frontière Fdyn définie
par :
2
2
ωdyn
αdyn
±
2
αdyn
−1
r
Fdyn (b) =
ωdyn
2
2
2
2
(3.11)
αdyn
ωdyn
− a2 αdyn
−1
2
αdyn
−1
avec αdyn = 10
N dyn
20
Le domaine de validité de la contrainte, présenté
sur la fig. 3.2, correspond à la région concave (laissée en blanc sur la figure) délimitée par la frontière
Fdyn de forme parabolique. Ce domaine garantit
un gain suffisamment grand pour la plus grande
des pulsations de la bande utile.
Remarque 15 Dans
certaines
applications,
comme la reconstruction de l’horloge d’un signal
codé en NRZ11 , les variations de la fréquence en
entrée ne doivent pas être suivies par la BVP.
On impose alors une atténuation minimum de
Ndyn décibels pour une fréquence ωdyn qui correspond cette fois–ci à la plus petite pulsation de la
bande de fréquence parasite.
11 Codage
en Non Retour à Zéro
Fig. 3.2 : Exemple de région de validité de la
contrainte dynamique. La frontière Fdyn impose une
limite haute bmax et basse bmin à la valeur de b. La
région grisée correspond à la zone où l’atténuation de
la fonction de transfert est supérieure à Ndyn
Cette contrainte est l’opposée de la précédente,
son domaine de validité est donc la région convexe
(en gris sur la figure) délimitée par la frontière
Fdyn .
3.1.4
Rejet des bruits
Aussi bien en télécommunication que dans les
reconstructions d’horloge ou la synthèse de fréquence, le rejet des bruits est une contrainte importante portée sur le circuit.
Les bruits sont issus de multiples sources : les
agressions électromagnétiques extérieures ou issues
du circuit lui-même, le bruit du signal d’entrée, le
bruit thermique des composants du circuit, le bruit
généré par l’OCT.
La réduction des bruits influence majoritairement la conception électronique des éléments du
circuit visant à réduire l’émission des agressions
vers d’autres circuits et la susceptibilité vis–à–vis
des agressions des autres circuits.
La dynamique globale du circuit entre aussi en
jeu afin d’éviter la contamination des bruits locaux
dans tout le circuit, mais aussi les amplifications
des bruits dues au phénomène de résonance.
Nous allons considérer l’impact de bruits apparaissant à différents endroits de la boucle indiqués
sur la fig. 3.3.
L’effet d’un bruit sera représenté par une modulation de fréquence δf ajoutée à l’endroit de
la boucle concerné. Cette modulation aléatoire est
considérée comme stationnaire, permettant ainsi
de représenter le bruit par sa densité spectrale de
puissance.
L’entrée du système n’est donc plus la fréquence
64
Chapitre 3. Analyse
δvm
δref
ωref
+ +
−
N
a p+b
p
δoct
1
p
ωs
1
N
Fig. 3.3 : Point d’impact des différents bruits sur la
boucle d’asservissement
ou la phase des signaux réels mais une modulation
de fréquence ajoutée à la fréquence centrale.
On considère ici les signaux comme des signaux
à bande étroite centrés sur une fréquence de fonctionnement nominale, en général la fréquence du
signal d’entrée sans bruit.
Un bruit est représenté par sa densité de puissance S(ωm ) en fonction de la pulsation de modulation ωm autour de la pulsation centrale. En
général cette densité est représentée par un bruit
blanc gaussien centré sur zéro.
Chaque bruit ajouté à un endroit de la boucle
est transmis vers la sortie par le système bouclé. La
densité spectrale du bruit transmis à la sortie est
donc celle de la source du bruit S(ωm ) multipliée
par le carré du module de la fonction de transfert
2
en boucle fermée |H(p = j ωm )| menant du point
d’impact du bruit vers la sortie.
Le spectre du signal de sortie est la somme des
spectres des bruits transmis vers la sortie si l’on
considère que les sources de bruits ne sont pas corrélées.
Remarque 16 L’hypothèse de bruits non–corrélés peut être une hypothèse forte. En effet les
parties numériques du circuit, telles que le diviseur
de fréquence, sont très bruyantes du fait des commutations binaires. On récupère alors un bruit sur
la tension à l’entrée de l’OCT qui est corrélé avec
la fréquence des signaux du diviseur, c’est–à–dire
principalement avec la fréquence de sortie.
Une analyse des bruits corrélés n’est pas le propos de ce mémoire, le lecteur intéressé pourra trouver des éléments de réponse dans [Ega00][Wol91].
Nous supposons dans ce mémoire, que les fonctions
continues et discrètes du circuit électronique sont
bien découplées électriquement lors de la conception.
3.1.5
Rejet du bruit en entrée
Pour évaluer l’aptitude d’une BVP à minimiser
le bruit en entrée δref , on peut déterminer la bande
passante relative à ce bruit. Supposons que la fréquence d’entrée soit modulée par un bruit δref de
densité spectrale Sref (ωm ).
La fonction de transfert menant ce bruit vers la
sortie est la fonction de transfert du système. La
densité spectrale Ss (ωm ) du bruit de modulation
à la sortie est donc :
2
Ss (ωm ) = |H2 (j ωm )| Sref (ωm )
(3.12)
En supposant un bruit blanc en entrée, sa densité de puissance Sref (ωm ) est donc constante et
égale à Sref , la variance du bruit de modulation à
la sortie est alors exprimée par :
σs2
Sref
=
2π
+∞
Z
2
|H2 (j ωm )| dωm
(3.13)
−∞
On définit alors la bande passante BP de la
BVP comme la bande passante d’un filtre passe–
bas idéal dont la variance de sa sortie est σs2 pour
un bruit blanc en entrée de puissance Sref :
1
BP =
2π
+∞
Z
2
|H2 (j ωm )| dωm
(3.14)
0
La bande passante relative au bruit de la BVP–
IC d’ordre deux, calculée à partir de H2 , est la
même que pour la BVP analogique d’ordre deux à
filtre actif puisqu’elle possède la même fonction de
transfert :
ωn
1
a
b
BP =
ξ+
= +
(3.15)
2
4ξ
4 4a
Le bruit en entrée est d’autant mieux rejeté que
la bande passante est étroite puisque la variance
du bruit de sortie est proportionnelle à la bande
passante BP .
On peut donc poser une contrainte de rejet
des bruits en entrée en imposant une bande passante maximale. On déduit de l’expression de la
bande passante (3.15) le domaine de validité de la
contrainte suivant :
b ≤ 4 a BP − a2
(3.16)
Cette région est délimitée par la frontière FBP
présentée dans la fig. 3.6.
On peut en remplacement ou en complément de
cette limite imposer une atténuation minimale de
la fonction de transfert pour une fréquence de modulation donnée.
3.1. Étude du modèle linéaire continu
65
Ceci permet d’assurer un rejet raisonnable d’un
bruit coloré comme, par exemple, le bruit véhiculé
par un signal d’entrée démodulé.
Un signal démodulé contient une composante résiduelle dont la fréquence est précisément celle de
la fréquence porteuse du signal. Il est souvent nécessaire de rejeter efficacement ce résidu au spectre
très coloré.
Comme la fonction de transfert des bruits en entrée vers la sortie est la fonction de transfert H2 du
système, ce type de contrainte est une contrainte
opposée à celle posée sur la dynamique dans la
section précédente.
Le domaine de validité d’une contrainte d’atténuation de Ne décibels des bruits de modulation
à la pulsation ωe est défini par la région convexe
(en gris sur la fig. 3.2) délimitée par la frontière
Fe . Cette frontière est définie par la même expression (3.11) en remplaçant Ndyn et ωdyn par leurs
valeurs respectives Ne et ωe .
étant de type passe–haut, la notion de bande passante relative au bruit n’a pas de sens.
On obtient un bon rejet du bruit de l’OCT en
imposant une atténuation minimale de Noct décibels à la fonction de transfert Hs (p), illustrée dans
la fig. 3.4, pour une pulsation ωoct donnée :
|Hs (j ωoct )|dB ≤ −Noct
|Hs (j ωm )|dB
(3.18)
bmin < b < bmax
b = bmax
40
Noct
b > bmax
20
0
−20
−40
−60
b < bmin
.
b = bmin
−80
3.1.6
Rejet du bruit à la sortie de
l’OCT
L’oscillateur contrôlé en tension génère un signal
dont le spectre n’est pas idéalement pur. Au bruit
thermique des composants qui le compose s’ajoute
le bruit amplifié par le phénomène de résonance
observé auprès de la fréquence d’oscillation d’un
oscillateur à relaxation. Ce phénomène est spécialement décrit dans le chapitre 3.6 de [Ega00].
Il en résulte un bruit de modulation δoct dont le
spectre Soct (ωm ) est décroissant en 1/ωm 12 avant
de devenir négligeable devant le bruit de fond thermique à partir d’une certaine pulsation ωa .
Ce bruit est transmis directement vers la sortie
(voir la fig. 3.3) mais le bouclage peut contribuer
à en atténuer l’effet.
Le spectre du bruit de modulation résiduel en
2
boucle fermée est Soct (ωm ) |Hs (j ωm )| , où Hs est
la fonction de transfert en boucle fermée de la sortie de lOCT vers la sortie du système :
Hs (p) =
p2
p2
+ ap + b
(3.17)
C’est une fonction de transfert de type passe–
haut, ce qui veut dire que le bruit thermique de
haute fréquence ne peut pas être atténué par le
bouclage. Par contre le bruit en 1/ωm peut être
atténué pour les pulsations inférieures à ωa où
ce bruit se fait ressentir. La fonction de transfert
12 flicker
noise en Anglais
10−1
ωoct
2π
=1
101
Fig. 3.4 : Exemple de contrainte d’atténuation Noct =
10dB sur la fonction de transfert Hs pour une fréquence de 1Hz. Les différentes valeurs de b montrent
que la fonction de transfert observe une atténuation
insuffisante (région grisée) lorsque bmin < b < bmax
Le domaine de validité de la contrainte est la
région concave (en gris sur la fig. 3.4) délimitée
par la frontière parabolique Foct suivante :
s
4
ωoct
2
2 2
Foct (b) = ωoct
±
2 − a ωoct
αoct
(3.19)
avec αoct = 10
N oct
20
Remarque 17 Le bruit δvm récupéré sur la tension à l’entrée de l’OCT peut être pris en compte
en considérant un bruit de modulation δoct du signal à la sortie de l’OCT équivalent.
L’OCT délivrant un signal de fréquence instantanée proportionnelle à la tension en entrée, le
bruit en entrée se traduit par une modulation de
la fréquence de sortie qui lui est proportionnelle.
Le bruit δvm de densité de puissance Svm (ω) est
donc représenté par un bruit de modulation équivalent δoct de densité :
2
Soct (ωm ) = Koct
Svm (ωm )
(3.20)
On peut ainsi utiliser la relation (3.19) pour définir
une frontière Fvm pour assurer le rejet de ce bruit.
66
Chapitre 3. Analyse
b
a par :
Hs (ωoct ) H (∞) < −Noct
s
Ic R <
dB
bma
x
2
ωoct
αoct
Hs (ωoct ) H (∞) > −Noct
s
dB
2
ωoct
a
2
ωoct
αoct
ωoct
αoct
b min
foct
Fig. 3.5 : Exemple de région de validité de la
contrainte de rejet du bruit de l’OCT. La frontière foct
impose une limite haute bmax et basse bmin à la valeur
de b. La région grisée correspond à la zone où l’atténuation de la fonction de transfert est trop faible
Lorsque la BVP fonctionne en modulateur de
fréquence, on introduit le message modulant m(t)
à l’entrée de l’OCT. Ce message qui occupe une
certaine bande passante ne doit pas être rejeté par
la boucle.
On utilise alors l’opposé d’une contrainte (3.19)
garantissant un gain suffisant pour la fréquence la
plus haute de la bande utile de m(t).
3.1.7
Saturation de la commande à
l’entrée de l’OCT
Lorsque la valeur de la résistance du filtre est
importante, la tension à l’entrée de l’OCT peut
devenir négative ou nulle. En effet, lors d’une impulsion de courant négative, la chute de tension
Ic R aux bornes de la résistance peut être supérieure à la tension accumulée sur la capacité du
filtre.
Dans cette situation, l’oscillateur peut s’arrêter
et avec certaines technologies ne plus fournir d’oscillation jusqu’à la prochaine mise hors tension. Il
est donc important d’imposer une limite maximale
à la valeur de la résistance pour éviter une saturation systématique.
La chute de tension aux bornes de la résistance
Ic R doit être inférieure à la valeur de la tension
stabilisée vs si l’on veut espérer l’absence de saturation du système autour du point nominal de
fonctionnement.
Nous obtenons ainsi une condition de non–
saturation que l’on exprime sur la variable réduite
N − Fol T
⇔ a < T (1 − c)
Koct T
(3.21)
L’étude se faisant pour la BVP–IC unitaire équivalente, nous posons sans perte de généralité c = 0
et T = 1. Tout les résultats présentés dans la suite
de ce mémoire sont donc valide uniquement pour
a < 1.
Une valeur de a supérieure à l’unité impliquerait une tension voct systématiquement négative
lors des impulsions de courant négatives. Or, le
modèle de l’OCT n’est plus valable pour une tension négative à son entrée car cela correspondrait
à une fréquence de sortie négative, ce qui n’as pas
de sens physique.
3.1.8
Calcul du filtre
Le calcul des paramètres du filtre doit respecter
les contraintes de conception décrites précédemment. Pour cela, il suffit de représenter simultanément dans le plan paramétrique les frontières des
contraintes :
– FM P (3.8) – stabilité robuste fixée par la
marge de phase minimale ΦM ;
– Fdyn (3.11) – rapidité fixée par la pulsation
maximale de fonctionnement ωdyn et son atténuation Ndyn tolérée ;
– FBP (3.16) – rejet des bruits en entrée fixé
par la bande passante maximale BP relative
au bruit ;
– Fe (3.11) – rejet des bruits colorés en entrée
fixé de manière opposée à la contrainte de rapidité en imposant une atténuation Ne suffisante à partir de la pulsation ωe ;
– Foct (3.19) – rejet du bruit à la sortie de
l’OCT fixé par la pulsation minimale ωoct en
dessous de laquelle les bruits doivent être atténués de Noct décibels au minimum.
– Fvm (3.19) – rejet du bruit à l’entrée de l’OCT
fixé de manière identique à un bruit sur la
sortie de l’OCT avec une atténuation minimale Noct majorée de deux fois le gain Koct
de l’OCT en décibels (voir la remarque 17).
Ces contraintes définissent une zone (en gris sur
la fig. 3.6) dans laquelle toutes les contraintes sont
respectées ; on appelle cette zone la région de faisabilité.
La région de faisabilité existe lorsque les
contraintes sont réalistes. Si deux contraintes opposées (comme la contrainte de stabilité robuste
FM P est opposée à la contrainte de rapidité Fdyn )
sont trop fortes, la région de faisabilité peut ne pas
3.2. Étude du modèle linéaire discret
67
b
Le modèle linéaire étant le résultat de nombreuses approximations, la section suivante établit
une étude prenant en compte l’aspect discret du
système et de son signal d’entrée en partant du
modèle discret de la BVP–IC.
FM
P
0.666
0.444
C1
FB
C2
0.222
P
3.2
Fe
Fdyn
Foct
0.000
0.000
0.500
a
Fig. 3.6 : Représentations des contraintes de conception dans le plan paramétrique
exister ou peut exister dans un domaine du plan
paramétrique correspondant à des valeurs de composants irréalisables. Il faut alors relâcher une des
deux contraintes.
Le concepteur choisit ensuite les valeurs du filtre
parmi les points de la région de faisabilité. Il peut
alors chercher à réduire le coût de réalisation en
prenant une taille de la capacité du filtre la plus petite possible (b maximum correspondant au point
C1 sur la figure), ou à réduire les bruits thermiques
en prenant une résistance de valeur la plus petite
possible (a minimum correspondant au point C2 ).
Une autre méthode consiste à choisir le point
le plus éloigné d’une des frontières de contraintes
(le point C2 est le plus éloigné de la contrainte de
rapidité par exemple), on optimise ainsi les performances du circuit au regard d’une contrainte en
respectant le cahier des charges.
3.1.9
Conclusion
Basée sur de fortes approximations, l’étude linéaire continue permet néanmoins de spécifier facilement les contraintes diverses de rejet du bruit
et de stabilité. La représentation de ces contraintes
dans le plan paramétrique permet de calculer les
valeurs du filtre.
Les contraintes de rejet du bruit en entrée, de
bruit interne et de stabilité sont représentées dans
le plan paramétrique. Cette représentation graphique permet d’optimiser une des performances
tout en respectant le cahier des charges.
Sans exploiter les derniers progrès effectués en
stabilité robuste, ni aller jusqu’au bout de l’analyse
des bruits, cette section montre la souplesse d’une
analyse linéaire continue.
Étude du modèle linéaire
discret
La BVP–IC est, de par la machine à état qu’elle
contient, un système intrinsèquement discret. Le
détecteur de phase délivre une information sur l’erreur de phase lors de chaque impulsion de courant
délivrée à intervalles de temps quasi–périodique.
L’analyse d’un tel modèle permet de mesurer l’effet de l’aspect discret du système sur sa stabilité.
Une première prise en compte de cet aspect discret est faite en considérant que l’impulsion de courant apparaı̂t à des instants périodiques. On obtient ainsi le modèle LDδ proposé initialement par
Gardner et présenté en variables réduites dans le
§ 2.4.2 (page 32).
Contrairement aux systèmes continus d’ordre
deux, la récurrence discrète linéaire du modèle LDδ
(3.22) n’est pas toujours théoriquement stable.
Une analyse de stabilité est nécessaire.
Xk+1 = A Xk
 
xk
avec Xk =  
yk
3.2.1
(3.22)


1−a−b 1

et A = 
−b
1
Condition de stabilité absolue
De la même manière que pour les systèmes continus, on considère un système discret stable s’il retourne à son état d’équilibre après avoir été excité
par une impulsion de Dirac.
Si l’on considère la fonction de transfert F (z)
du système en boucle fermée, sa réponse impulsionnelle est F (z). Elle peut être représentée sous
forme de fractions rationnelles :
n
X
Ai z
F (z) =
z
− zi
i=1
(3.23)
z
Tous les termes sont de la forme z−z
et admettent
i
pour originaux des termes de la forme eα k t avec
α < 0 si |zi | < 1 et α ≥ 0 sinon. On en déduit le
théorème 2 sur la stabilité des systèmes linéaires
discrets.
68
Chapitre 3. Analyse
Théorème 2 Un système linéaire discret est
asymptotiquement stable en boucle fermée si et
seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont de module inférieur à l’unité.
Le critère de Jury permet de déterminer l’existence de racines de modules strictement inférieurs
à 1 d’un polynôme de degré n à coefficients réels,
et ceci sans expliciter ses racines.
Théorème 3 Soit P (z) = an z n +. . .+a1 z+a0 un
polynôme de degré n à coefficients réels, on pose
a0i = ai ∀i = 0, . . . n tels que :
j
j
a
a
n−j−i 0
aj+1
=
i
j
an−j
aji (3.24)
avec
0≤j ≤n−3
et
0≤i≤n−j−1
Une condition nécessaire et suffisante pour que
le polynôme P (z) ait toutes ses racines de module
inférieur à l’unité est que les inégalités suivantes
soient vérifiées :
0 0
a0 < aj j j a0 > an−j ∀j = 1, . . . , n − 2
(3.25)
an P (1) > 0
(−1)n an P (−1) > 0
Le critère de Jury appliqué à l’équation caractéristique du système d’ordre deux (3.26) donne les
trois contraintes de stabilité suivantes :


b > 0
b < 4 − 2a
(3.28)


|1 − a| < 1
Ces contraintes définissent un triangle de stabilité dans le plan paramétrique (a, b) représenté en
gris clair dans la fig. 3.7.
1
4
R
(1 +
P (z) = det (A − z I2 ) = a2 z 2 + a1 z + a0
avec a2 = 1
(3.26)
a1 = a + b − 2
a0 = 1 − a
Les inégalités du critère de Jury dans le cas
d’un système d’ordre deux se réduisent à :
|a0 | < |a2 |
a2 P (1) > 0
a2 P (−1) > 0
(3.27)
Re(zi )
R)2
2
1 − R2
(1 − R)2
0
0
1 − R2
1
1 + R2
2
a
Fig. 3.7 : Région de stabilité absolue (gris clair) et
de stabilité robuste (gris foncé) dans le plan des paramètres
3.2.2
Les pôles d’un système discret sont les solutions
du polynôme caractéristique de la récurrence. À
partir de la connaissance des coefficients du polynôme caractéristique, le critère de Jury donne
ainsi les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité du système discret.
Le polynôme caractéristique de la BVP–IC
d’ordre deux est :
Im(zi )
b
Condition de stabilité robuste
Pour pallier les dynamiques non modélisées ainsi
que les variations des paramètres, on peut imposer
une certaine marge de stabilité. Celle–ci est censée
permettre aux pôles du système de rester dans le
cercle unité malgré les variations.
Une technique simple consiste à conserver ces
pôles à l’intérieur d’un cercle de rayon R inférieur
à l’unité. La marge de stabilité est d’autant plus
grande que le rayon R est petit.
La contrainte |zi | < R imposée aux pôles zi du
polynôme P (z) s’obtient en imposant |zi0 | < 1 aux
pôles zi0 du polynôme P (z 0 ) avec z 0 = R z.
On applique alors le critère de Jury au polynôme P (R z) pour garantir la stabilité robuste. Le
critère de Jury garantissant la présence des pôles
dans un cercle de rayon R devient pour le second
ordre :
|a0 | < R2 |a2 |
a2 P (R) > 0
a2 P (−R) > 0
(3.29)
3.3. Stabilité d’une séquence
Ce critère appliqué à la BVP–IC d’ordre deux
donne les trois contraintes de stabilité robuste suivantes :

1−R


a
b>2−R+


R

1+R
(3.30)
a
b<2+R−


R



|1 − a| < R2
Ces contraintes définissent un triangle de stabilité robuste, inscrit dans le triangle de stabilité
absolue, représenté en gris foncé sur la même figure.
3.2.3
Conclusion sur l’étude linéaire
Le modèle discret permet de prendre en compte
l’effet de l’aspect périodique de la mesure de l’erreur de phase.
La contrainte de stabilité proposée initialement
par Gardner est présentée en variables réduites.
Une contrainte de stabilité robuste est définie de
manière à garantir une distance minimale entre les
pôles et la zone d’instabilité.
Il n’y a pas à notre connaissance d’étude de l’impact des bruits faite dans la littérature à partir du
modèle discret. De plus les simulations du § 2.11
(page 56) montrent que la précision du modèle discret n’est pas meilleure que celle du modèle linéaire
dans toutes les situations.
Nous préférons donc concentrer les efforts d’analyse sur les modèles prenant en compte avec exactitude les séquences de la machine à états. Une
méthode d’analyse de la stabilité du système le
long d’une séquence particulière est proposée dans
la section suivante.
3.3
Stabilité d’une séquence
Une première approche simplificatrice permettant d’analyser le système sans effectuer d’approximation consiste à supposer que le système suit une
séquence particulière.
Pour chaque séquence nous définissons le modèle
Hyb.–Séq., proposé dans le § 2.8.5 (page 47), qui
discrétise le modèle hybride continu le long de la
séquence étudiée.
Pour cela une surface de section est définie dans
l’espace de phase hybride. Le modèle discret est
alors la récurrence de Poincaré exprimant l’évolution des coordonnées du point d’intersection de
la trajectoire avec cette surface.
69
La fig. 3.8 reprend l’exemple de la discrétisation
de la séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} présentée dans le
§ 2.8.5 (page 47).
Lorsque le système suit une séquence particulière, sa trajectoire traverse la surface de
Poincaré à des instants périodiques. Elle peut
tendre asymptotiquement vers une trajectoire fermée qui est appelée cycle limite.
L’analyse de stabilité de ce cycle limite se fait
en analysant la stabilité de la suite de points traversant la section hybride de Poincaré.
Ce type d’analyse n’est pas une discipline nouvelle. Elle a été abordée par Poincaré pour
étudier la stabilité des orbites des corps célestes
[Poi99]. L’étude des trajectoires de trois corps célestes isolés a certainement été la première approche des systèmes chaotiques13 .
L’analyse des cycles limites d’un système différentiel linéaire par morceaux a été introduite dans
[Pon62] et poursuivie par Filippov dans [Fil88].
L’avènement de la théorie du Chaos a apporté beaucoup de travaux sur l’analyse des
cycles limites de systèmes chaotiques basée
sur les équations de sensibilité des trajectoires
[Par89][Dia98][Kou99][Uet01].
Ces travaux ont été récemment généralisés pour
établir une méthode d’analyse des cycles limites
des systèmes hybrides [His00][His01]. Cette méthode générale permet notamment de prendre en
compte les sauts des variables d’état continues du
système lors des commutations.
Ce genre de discontinuité de l’état continu
n’existe pas dans les modèles des BVP–IC du
deuxième et troisième ordre. L’analyse d’un cycle
limite est faite dans la section suivante en exploitant la méthode moins générale, et donc plus
simple, proposée par Ueta dans ces travaux
[Uet01][Kou99].
Cette méthode propose de calculer numériquement le multiplicateur du cycle limite en prenant
en compte les différentes commutations du flot différentiel. La méthode a été appliquée pour tracer le
diagramme de bifurcation d’un oscillateur dont les
équations sont proches de la BVP–IC (l’oscillateur
d’Alpazur).
3.3.1
Calcul du multiplicateur d’un
cycle limite
Nous présentons la méthode d’analyse d’un
cycle limite en abordant l’exemple de la séquence
13 Poincaré
n’a pas utilisé le terme « chaos » dans son
ouvrage, mais a qualifié la propriété essentielle d’un système
chaotique : la sensibilité aux conditions initiales.
70
Chapitre 3. Analyse
T1
R
qx (X) = 0
3
f+1
f0
Π+0
Π 0−
X1
R2
p
X2
T0
X0
X3
Uk+1
T2
f−1
X4
Π 0+
Tl
Uk
p−1
Πp
f0
Π−0
T3
qt (X) = 0
Fig. 3.8 : Cycle limite lié à la séquence {+Ic, 0, −Ic, 0} de la BVP–IC, et sa section de Poincaré hybride
{+Ic , 0, −Ic , 0} présenté dans le § 2.8.5 (page 47)
et illustré par la fig. 3.8.
Cette méthode est proposée dans [Kou99] pour
un circuit à deux états discrets dont les commutations sont liées uniquement à l’état du système. La
méthode est étendue pour intégrer des événements
périodiques extérieurs dans [Kou02].
À la lumière de la remarque 12 (page 46), les
événements extérieurs de période T peuvent être
inclus en ajoutant le temps normalisé t dans le
vecteur d’état. Le modèle Hyb–CNC devient :
Ẋ = fi (X) pour i = e(t) ∈ M
avec fi = A X + Ci
 


x
0 1 0
 




 
X = y  , A = 0 0 0
 


(3.31)
t
0 0 1
 
 
 
−a
0
a
 
 
 
 
 
 
C−1 =  −b  , C0 = 0 et C+1 =  b 
 
 
 
0
0
0
Un événement périodique intervient lorsque la
trajectoire du système atteint la surface Πt définie
par :
Πt = X ∈ R3 | qt (X) = 0
avec qt (X) = t − 1
= [0 0 1] · X − 1.
(3.32)
Dans l’espace hybride, la surface de l’espace
continu Πt est l’union des deux surfaces hybrides
Π0+ ∪ Π−0 l’une définie pour e(t) = 0 et l’autre
définie pour e(t) = −1 (voir la fig. 3.8).
De même, on définit les événements liés à l’OCT
par la surface Πx = X ∈ R3 | qx (X) = 0 avec
qx (X) = x + t − 1. Dans l’espace hybride la surface
de l’espace continu Πx est l’union des deux surfaces
hybrides Π+0 ∪ Π0− l’une définie pour e(t) = +1
et l’autre définie pour e(t) = 0.
Pour établir la récurrence de Poincaré, nous
définissons les quatre transformations locales suivantes :
T0
T1
T2
T3
: Π0+
X0
: Π+0
X1
: Π0−
X2
: Π−0
X3
→
→
→
→
Π+0
X1 = f+1 (X0 , τ0 )
Π0−
X2 = f0 (X1 , τ1 )
Π−0
X3 = f−1 (X2 , τ2 )
Π0+
X4 = f0 (X3 , τ3 )
(3.33)
où ϕi (Xk , t) est la trajectoire de l’état continu,
lorsque l’état discret est i, partant du point Xk à
l’instant t = 0. Cette trajectoire atteint la surface
de commutation suivante lorsque t = τk .
La transformation de Poincaré liée à la surface
hybride Π0+ est donc la composition des transformations locales Tp = T0 ◦ T1 ◦ T2 ◦ T3 . La période
du cycle limite est alors la somme des durées de
3.3. Stabilité d’une séquence
71
P3
chaque transformation locale τp = k=0 τk .
La dérivée de la transformation de Poincaré
par rapport à la condition initiale X0 est alors le
produit des dérivées des transformations locales :
3
Y
∂Tk ∂τp =
∂X0 t=Tp
∂Xk t=τk
(3.34)
k=0
Multiplicateur d’une transformation locale
La durée τk d’une transformation locale dépend
de la condition initiale Xk . Chaque matrice jacobienne doit alors être écrite de la manière suivante :
∂ϕk ∂ϕk ∂τk
∂ϕk
∂τk
∂Tk
=
+
=
+fk
(3.35)
∂Xk
∂Xk
∂t ∂Xk
∂Xk
∂Xk
∂τk
Le terme ∂X
doit être explicité en fonction de
k
la surface de commutation. La durée τk étant l’instant où la surface de commutation qk est atteinte
(dans cet exemple qk est soit qt soit qx ), la relation
suivante est vérifiée :
qk (Xk ) = qk (ϕk (Xk , τk )) = 0
(3.36)
Comme les surfaces qk sont différentiables il vient :
∂qk
∂Xk
∂ϕk
∂τk
+ fk
∂Xk
∂Xk
=0
(3.37)
∂τk
1 ∂qk ∂ϕk
= − ∂qk
∂Xk
∂X ∂Xk
∂X fk
(3.38)
En substituant ce terme dans (3.35) on obtient
l’expression du multiplicateur d’une transformation locale :
1
∂qk
∂X
#
1 ∂qk
= In − ∂qk
∂X
∂X fk
∂qk
∂X fk
Multiplicateur de la transformation de
Poincaré
La transformée de Poincaré, équivalente au
cycle limite, transforme le point X0 de la surface
Π0+ en X4 de cette même surface. Comme tous
les éléments X4k ∈ Rn de la suite de Poincaré
appartiennent à cette surface nous pouvons les exprimer en coordonnées Uk ∈ Rn−1 locales au plan
Π0+ que l’ on nomme alors Πp .
On réduit ainsi la dimension du vecteur d’état de
Rn à ∈ Rn−1 où n vaut trois pour une BVP d’ordre
deux et quatre pour le système d’ordre trois (le
temps étant rajouté dans le vecteur d’état pour
rendre les équations autonomes).
On définit une projection biunivoque p menant
des points X4k du plan Π0+ aux points Uk du plan
Πp . La projection inverse p−1 mène d’un point Uk
au point X4k qui lui correspond (voir la fig. 3.8).
La transformée de Poincaré Tl exprimée en coordonnées locales est donc :
Tl
Puisque les trajectoires sont transverses aux surk
faces de commutation, le terme ∂q
∂t ·fk est non nul.
On peut donc multiplier l’égalité précédente par
l’inverse de ce terme scalaire et obtenir l’expres∂τk
sion de ∂X
suivante :
k
∂Tk
∂ϕk
=
−
∂Xk
∂Xk
"
numériquement l’équation différentielle suivante :
∂fk ∂ϕk
d ∂ϕk
=
dt ∂Xk
∂X ∂Xk
(3.40)
∂ϕk avec
∂Xk t=0
∂ϕk
∂Xk
∂ϕk
∂Xk
(3.39)
Pour une BVP d’ordre deux, tous les termes
de cette relation peuvent être trouvés analytiquement.
Par contre, dans le cas d’un système d’ordre
trois on ne peut qu’obtenir une expression numé∂ϕk
rique du terme ∂X
. Il faut à cet effet résoudre
k
: Πp →
Uk Πp
p ◦ Tp ◦ p−1 (Uk )
(3.41)
Remarque 18 Dans notre exemple, la section
de Poincaré est définie par t mod 1 = 0. On
peut considérer, sans perte de généralité, que t
est égal à une valeur entière quelconque lorsque
l’on se trouve sur la surface Πp . La projection p
consiste simplement à enlever la variable t du vecteur d’état. On construit la projection inverse p−1
en ajoutant cette variable avec une valeur entière
quelconque.
Un cycle limite de la séquence {+Ic , 0, −Ic , 0}
(il peut en exister plusieurs) est alors représenté
par le point fixe U? solution de :
U?
:
Tl (U? ) = U?
(3.42)
L’origine de l’espace de phase est l’unique cycle
limite de la séquence {+Ic, 0, −Ic , 0} de la BVP–
IC d’ordre deux.
Il est rare que la solution U? puisse être trouvée analytiquement. On utilise en général l’algorithme de Newton pour résoudre l’équation du
72
Chapitre 3. Analyse
point fixe. La jacobienne de la transformée JTl nécessaire à l’algorithme est alors donnée en injectant
(3.34) et (3.39) dans :
JTl (Uk ) =
∂Tl
∂p ∂Tp ∂p−1
=
∂Uk
∂X ∂Xk ∂U
(3.43)
Par définition, les multiplicateurs µi du cycle limite sont les solutions du polynôme caractéristique
κl (µ) = |JTl − µ In−1 | = 0.
L’analyse des bifurcations des cycles limites correspondants à une séquence se fait alors en résolvant l’équation suivante avec l’algorithme de
Newton et pour un vecteur de paramètres λ
donné :


Tl (U ) − U
=0
F (U, λ) = 
(3.44)
κl (µ)
On obtient ainsi la localisation du cycle limite
U? et la valeur des multiplicateurs µi caractérisant
le comportement de ce cycle. La résolution de cette
équation pour plusieurs paramètres λ permet de
mettre en évidence les bifurcations du système. Les
méthodes numériques liées à l’analyse des bifurcations sont présentées dans [Mir87][Par89][Kuz96].
Il est possible d’obtenir la valeur analytique des
multiplicateurs de l’unique cycle limite de la BVP–
IC d’ordre deux en fonction des paramètres a et b.
Le cycle limite est stable si et seulement si tous les
multiplicateurs du cycle sont de module inférieur
à l’unité. On en déduit la condition de stabilité du
cycle limite : b < 4.
– la condition b < 4 − 2a pour la séquence
{0, −Ic }.
Ces calculs analytiques sont cependant fastidieux surtout lorsque la séquence est longue. Les
résultats de l’analyse de stabilité sont établis dans
un voisinage proche de l’origine.
On peut dans ce cas profiter du choix judicieux
des variables d’état du modèle NL–DL pour étudier facilement la stabilité du cycle limite localisé
à l’origine.
3.3.2
Calcul du multiplicateur à
partir du modèle linéarisé discret
Le modèle NL–DL permet de simplifier grandement les équations du système et de plus il permet
d’exclure certaines séquences en se plaçant dans
un voisinage proche de l’origine.
On considère un certain type de séquence en déterminant l’ordre d´échange des différentes transformations composites Tij du modèle NL–DL
lorsque l’on parcourt le cycle limite.
Le graphe des séquences de la fig. 3.9 permet de
déterminer tous les types de séquences possibles
dans un voisinage proche de l’origine.
T++
Xk ∈ R++
T++
Xk ∈ R+−
Conclusion
Avec cette méthode, on peut localiser les cycles
limites d’une séquence particulière et déterminer
les multiplicateurs de ces cycles. On caractérise
alors leur comportement dans un voisinage suffisamment proche.
Cette méthode est appliquée numériquement,
dans la plupart des cas, comme celui de la BVP–
IC d’ordre trois. Pour le système d’ordre deux, on
peut appliquer cette méthode analytiquement et
obtenir les conditions de stabilité dans l’espace des
paramètres.
En s’intéressant au cycle limite localisé à l’origine de l’espace de phase, on peut ainsi déduire les
conditions de stabilité de quelques séquences :
– la condition b < 4 pour la séquence
{+Ic , 0, −Ic , 0} ;
– la condition b < 4 + 2a pour la séquence
{+Ic , 0} ;
T+−
T−+
Xk ∈ R−+
T−−
Xk ∈ R−−
T−−
Fig. 3.9 : Graphe des séquences possibles dans un voisinage suffisamment proche de l’origine
La séquence {+Ic , 0, −Ic , 0} est alors considérée
comme la composition T+− ◦ T−+ des transformations composites du modèle NL–DL. La jacobienne
du cycle est alors le produit des jacobiennes des
transformations composites Tij . Ces jacobiennes
sont les matrices d’état Aij du modèle NL–DLé
présenté dans le § 2.6 (page 39).
3.3. Stabilité d’une séquence
73
νk
Nous présentons dans la suite les conditions
de stabilité des trois types de séquences les plus
simples : T++ , T−− , T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+− .
F?−
Convergences oscillatoires
Les séquences T+− ◦T−+ et T−+ ◦T+− sont liées à
un type de trajectoire dit oscillatoire car elles correspondent à l’alternance d’une charge puis d’une
décharge de courant sur le filtre.
Après un certain nombre d’itérations k, la
fig. 3.10 montre que la trajectoire s’échange entre
les régions R+− et R−+ à chaque itération respectant ainsi les deux séquences T+− ◦ T−+ et
T−+ ◦ T+− .
Selon la région R+− ou R−+ du point initial de
la trajectoire, ces deux transformations génèrent
les sous–séries {Xk+2n } et {Xk+2n+1 } de la même
trajectoire. La condition de stabilité doit être la
même pour ces deux séquences puisqu’elles décrivent la même trajectoire prise à des instants
initiaux différents.
Les jacobiennes des transformations T+− ◦ T−+
et T−+ ◦ T+− sont respectivement J+−+ =
J (T+− ◦ T−+ ) |O et J−+− = J (T−+ ◦ T+− ) |O .
Bien que ces deux jacobiennes soient différentes,
F+?
Xk+1
Convergences sur–amorties
La séquence T++ (respectivement T−− ) correspond à un système qui charge (respectivement décharge) le filtre à chaque itération en se rapprochant asymptotiquement du point fixe. Cela correspond au comportement typique d’un système
sur–amorti. Les jacobiennes de T++ et T−− calculées autour de l’origine sont les matrices A++ et
A−− du modèle NL–DLé.
Les conditions de stabilité des séquences sont
donc directement celles des matrices A++ et A−− .
Soit la condition b < 4 + 2a pour la séquence
{+Ic , 0} et b < 4 − 2a pour la séquence {0, −Ic }.
On retrouve de manière beaucoup plus aisée les
mêmes conditions de stabilité qu’avec la méthode
précédente.
De multiples simulations du modèle NL–DL ont
été effectuées pour des valeurs de (a, b) comprises
dans [0 , 1] × [0 , 8], et pour un état initial choisi
aléatoirement dans le voisinage du point statique :
aucune occurrence des séquences T++ et T−−
n’a été observée dans un voisinage arbitrairement
proche de l’origine. L’hypothèse d’une convergence
ou d’une divergence de type sur–amortie doit être
une hypothèse forte.
R+−
R−−
0
R++
F−?
Xk
R−+
0
−1
Xq
F?+
τk
0
1
Fig. 3.10 : Exemple de trajectoire commune aux deux
cycles T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+−
elles possèdent les mêmes valeurs propres. On obtient ainsi la condition de stabilité b < 4 qui est
commune aux deux séquences.
La condition de stabilité b < 4 est moins restrictive que la condition b < 4−2a trouvée dans l’analyse linéaire discrète du § 3.2 (page 67). Plusieurs
simulations du modèle non–linéaire ont permis
d’observer les séquences T+− ◦ T−+ et T−+ ◦ T+−
[Acc01b]. Le système peut être stable pour un
couple (a, b) tel que (4 − 2a) < b < 4.
La condition de stabilité établie dans [Gar80a]
n’est donc pas vérifiée pour ce type de séquence. Le
point fixe opère une bifurcation de type « fourche »
[Kuz96] pour b = 4 où le point origine devient
instable et donne naissance à un cycle de période
2 T stable.
3.3.3
Conclusion
Deux méthodes sont proposées pour analyser la
stabilité d’un cycle limite, l’une étant plus générale
que l’autre.
La première méthode propose un algorithme numérique permettant de localiser les cycles limites
d’une séquence arbitraire et d’obtenir la valeur numérique des multiplicateurs de ce cycle.
On peut ainsi analyser le schéma de bifurcation
de la BVP–IC d’ordre trois de manière numérique
et celle d’ordre deux de manière analytique. Les
résultats de stabilité d’un cycle limite sont donnés
dans un voisinage proche du cycle limite.
La seconde méthode permet d’analyser avec une
grande facilité n’importe qu’elle séquence de la
BVP–IC d’ordre deux pouvant se produire dans
un voisinage proche de l’origine. Cette méthode
74
Chapitre 3. Analyse
ne convient pas aux cycles limites éloignés de l’origine.
En s’intéressant au cycle limite localisé à l’origine de l’espace de phase pour un système d’ordre
deux, les deux méthodes donnent les mêmes conditions de stabilité :
– la condition b < 4 pour les séquences
{+Ic , 0, −Ic , 0} et {0, −Ic , 0, +Ic } ;
– la condition b < 4 + 2a pour la séquence
{+Ic , 0} ;
– la condition b < 4 − 2a pour la séquence
{0, −Ic }.
On constate des différences importantes de comportement du système autour d’un seul et même
point selon que l’on considère telle ou telle séquence. Il est donc important, mais malheureusement difficile, de déterminer les conditions d’existence de chacune des séquences. Il faudrait pour
cela déterminer analytiquement les bassins d’attractions de chaque cycle limite.
Le choix d’un couple de paramètres dans l’intersection des trois domaines de stabilité précédents
ne permet pas de garantir la stabilité du système :
il peut exister une autre séquence dont les trajectoires sont instables.
Cette technique ne permet pas de conclure sur
la stabilité du système quelles que soient les séquences suivies par la trajectoire. Une démonstration globale en séquence de la stabilité de la BVP–
IC du second ordre est proposée dans la section
suivante.
3.4
Stabilité
quelles
soient les séquences
l’origine. Le modèle NL–DLé est utilisé par la suite
pour démontrer la stabilité locale en trajectoire et
globale en séquence de la BVP–IC d’ordre deux.
3.4.1
Un contre–exemple
Le but de cette section est de montrer qu’en général la stabilité d’un système hybride ne dépend
pas uniquement de la stabilité des systèmes continus qui le composent mais aussi des commutations
de l’état discret.
Il est commun de penser qu’un système qui
commute entre plusieurs systèmes stables soit luimême stable. L’étude approfondie des systèmes hybrides a permis de prouver que cette assertion est
fausse. Nous en présentons ici un contre–exemple
souvent rencontré dans les publications permettant de s’initier à l’analyse des systèmes hybrides
[Ant00][Dav01][Lib99].
Ce contre–exemple, illustré sur la fig. 3.11, est
basé sur la commutation entre deux systèmes linéaires stables S1 (en trait plein, vignette en haut
à gauche) et S2 (en trait discontinu, en haut à
droite).
Système linéaire S1
Système linéaire S2
Système hybride instable
Système hybride stable
que
Dans cette section nous cherchons à prouver la
stabilité du point fixe situé à l’origine du plan de
phase quelles que soient les séquences qui peuvent
se produire dans son voisinage. En utilisant les
termes des définitions 6 et 7 (page 54), on cherche
à démontrer la stabilité locale en trajectoire et globale en séquence.
Les modèles se prêtant à une étude locale en
trajectoire et globale en séquence sont le modèle
NL–DL et le modèle NL–DLé. Le modèle NL–DL
est semi–local en trajectoire (il est valide en dehors
des phases transitoires caractérisées par |τk | < T )
mais ses équations sont non–linéaires et difficiles à
étudier.
En linéarisant le modèle NL–DL autour de l’origine, on simplifie les équations au prix d’un domaine de validité restreint au voisinage proche de
Frontière S1
Frontière S2
Frontière S1
Frontière S2
Fig. 3.11 : Création d’un système hybride instable à
partir de la commutation entre deux systèmes stables
S1 et S2
La commutation du système hybride S entre les
deux systèmes S1 et S2 stables peut aussi bien
donner un système S stable (vignette en bas à
droite) qu’un système S instable (vignette en bas à
gauche). Inversement, la commutation entre deux
3.4. Stabilité quelles que soient les séquences
systèmes S1 et S2 instables peut donner naissance
à un système S aussi bien instable que stable.
Ceci s’explique par le fait que les surfaces de
commutations d’un système hybride S localisent
les trajectoires de chaque système S1 et S2 dans
une région particulière de l’espace de phase. L’analyse de stabilité du système S ne doit donc plus
considérer les trajectoires de chaque système S1 et
S2 dans l’espace de phase entier.
Pour chaque système S1 ou S2 stable, il peut
exister une région de l’espace de phase (représentée
en gris sur la figure) où les trajectoires s’éloignent
de l’origine.
Le système S1 ou S2 est localement instable dans
cette région, mais il reste cependant globalement
stable car ses trajectoires finissent toujours par
quitter cette région pour entrer dans une région
de stabilité (les région laissées en blanc sur la figure).
Le jeu des commutations d’un système hybride S
peut amener ses trajectoires majoritairement dans
les régions localement instables des systèmes S1 et
S2 entre lesquels il commute.
Dans notre exemple, pour créer un système S instable il suffit de commuter d’un système S1 ou S2
à l’autre, lorsque ce système quitte sa région d’instabilité. Il entre alors dans la région d’instabilité
du second système.
Comme le montre la vignette en bas à gauche,
la trajectoire d’un tel système S est instable. Les
frontières de commutation sont représentées en
trait gras plein pour le système S1 et en trait gras
discontinu pour le système S2.
La vignette en bas à droite de la figure montre
un système S stable créé en commutant dès que la
trajectoire pénètre la région d’instabilité de chaque
système S1 ou S2.
On ne peut donc pas prouver la stabilité de la
BVP–IC d’ordre deux en déterminant la région où
les quatre transformations Tij composant le modèle NL–DL sont stables. La condition de stabilité
b < 4 − 2a, qui correspond à cette région où tout
les sous–systèmes sont stables, n’est donc pas justifiée.
L’analyse de stabilité d’un système hybride doit
se faire avec une méthode plus générale que celle
de l’analyse linéaire basée sur la notion de valeur propre. Des bilans sur l’état d’avancement des
recherches sur ce thème sont proposés dans les
articles [Ant00][Dav01][DeC00][Lib99]. La grande
majorité des méthodes d’analyse des systèmes hybrides est basée sur l’utilisation de la méthode directe de Lyapunov.
75
3.4.2
Méthode directe de Lyapunov
et extension aux systèmes hybrides
L’analyse d’un système linéaire est chose aisée
puisque l’on peut en déterminer la stabilité à partir
des valeurs propres. Cette méthode n’est pas applicable aux systèmes non–linéaires, linéaires commutés ou linéaires d’ordre très élevé. D’autres méthodes ont été proposées.
L’étude de la stabilité d’un point singulier à
partir des équations linéarisées a été développée de manière indépendante par Poincaré et
Lyapunov à la fin du XIXème siècle. Lyapunov a
appelé ce type d’étude locale la première méthode.
Lorsque le système est différentiable, il est alors
établi que le système non–linéaire se comporte de
manière similaire à son système linéarisé dans un
voisinage du point singulier. Cette méthode trouve
ses limites pour des systèmes non–différentiables et
ne permet pas d’établir de stabilité globale.
Lyapunov propose alors une seconde méthode
appelée aussi méthode directe permettant d’établir une condition suffisante mais non nécessaire
de stabilité. Cette condition n’est plus limitée à
un voisinage arbitrairement proche du point singulier mais dans un voisinage plus large pouvant
s’étendre sur tout l’espace de phase.
Méthode directe de Lyapunov
Cette méthode directe est basée sur l’existence d’une fonction scalaire, appelée fonction
de Lyapunov, respectant les conditions du théorème 4.
Ce théorème impose à la fonction de Lyapunov,
qui joue le rôle d’une mesure abstraite de l’énergie
du système, d’être décroissante le long de n’importe quelle trajectoire du plan de phase.
Théorème 4 Un système est asymptotiquement
stable dans un voisinage du point origine si et
seulement si il existe une fonction scalaire V (x)
telle que :
(i) V (x) est continûment différentiable dans une
région S autour de l’origine ;
(ii) V (x) > 0
∀ x 6= 0 ;
(iii) V (0) = 0 ;
(iv) V̇ (x) =
dV (x)
dt
< 0 pour x 6= 0.
Un exemple de fonction de Lyapunov est donné
dans la fig. 3.12. Les conditions (i) à (iii) assurent
que V (x) est définie positive. Ainsi la relation
76
Chapitre 3. Analyse
x2
V (x)
∇V
Trajectoire stable
V (x) = c
∇V · f < 0
V (x) = c
f (x)
x1
x2
∇V · f > 0
x1
Trajectoire
instable
f (x)
V (x) = c
∇V
Trajectoire
Fig. 3.12 : Une fonction de Lyapunov et sa projection
dans le plan de phase
Fig. 3.13 : Une fonction de Lyapunov et sa projection
dans le plan de phase
V (x) = c définit une surface fermée contenue dans
la région S.
La condition (iv) implique que V̇ (x) = dVdt(x)
pour x décrivant la trajectoire soit définie négative.
En décomposant cette dérivée on obtient dVdt(x) =
dV (x) dx
dx · dt = ∇V · f où ẋ = f (x).
La fig. 3.13 montre que la condition (iv) imposant ∇V · f < 0 oblige ainsi toute trajectoire de S
à traverser la surface V (x) = c de l’extérieur vers
l’intérieur. Comme cette condition doit être vérifiée quel que soit c, les trajectoires ne peuvent que
converger vers le point origine où V (0) = 0.
pas unique. L’échec du test de stabilité effectué
avec une fonction que l’on appelle fonction candidate n’implique pas l’instabilité du système.
Remarque 19 Cette preuve de stabilité est valide uniquement dans la région S. On peut étendre
ce théorème pour assurer une stabilité globale du
point origine en modifiant la condition (i) pour
couvrir l’espace de phase entier et en ajoutant la
condition (v) suivante pour garantir l’unicité du
point fixe à l’origine. Les conditions du théorème
deviennent donc :
(i) V (x) est continûment différentiable dans tout
l’espace de phase ;
(ii) V (x) > 0
∀ x 6= 0 ;
(iii) V (0) = 0 ;
(iv) V̇ (x) < 0 pour x 6= 0.
(v)
Fonctions de Lyapunov quadratiques pour
le cas discret
La méthode directe s’applique de la même manière au système discret xk+1 = T (xk ) en interprétant la condition (iv) par :
V̇ (x) , V (xk+1 ) < V (xk )
(3.45)
On obtient ainsi le théorème 5 permettant de déterminer l’existence d’une fonction de Lyapunov
pour un système discret.
Théorème 5 Le système discret xk+1 = T (xk )
est asymptotiquement stable dans un voisinage du
point origine si et seulement si il existe une fonction définie positive V (xk ) telle que :
(i) V (xk ) est continûment différentiable pour tout
xk élément d’une région S autour de l’origine ;
(ii) V (xk ) > 0
∀ xk 6= 0 ;
(iii) V (0) = 0 ;
(iv) V (T (xk )) − V (xk ) < 0 pour x 6= 0.
lim V (x) = ∞ pour x 6= 0.
kxk→∞
La difficulté d’application de cette méthode
vient du fait qu’une fonction de Lyapunov n’est
Il est fréquent de rechercher une fonction
de Lyapunov candidate de forme quadratique
V (x) = xT P x. Les conditions (i) à (iii) sont alors
3.4. Stabilité quelles que soient les séquences
vérifiées si et seulement si la matrice P est définie
positive. La condition (iv) devient :
T
T (xk ) P T (xk ) − xk T P xk < 0
(3.46)
Un système admettant une fonction de
Lyapunov de ce type est dit quadratiquement
stable. Ce type de fonctions a été proposé initialement pour l’analyse des systèmes robustes avec
une matrice P = P constante [Bar84].
Il y a deux principaux intérêts à la recherche de
fonctions de Lyapunov quadratiques :
– la condition (iv) se présente alors sous la forme
d’une optimisation convexe dont la solution
peut être trouvée à l’aide d’algorithmes numériques ;
– ce problème est décidable, c’est–à–dire que
l’on peut déterminer s’il existe une fonction
de Lyapunov de forme quadratique au problème.
Remarque 20 Ce théorème appliqué à un système discret linéaire xk+1 = A xk donne la condition de stabilité suivante :
xk T (AT P A − P ) xk < 0
(3.47)
Il s’agit d’une inégalité matricielle linéaire14
(IML) que l’on résout en général par des algorithmes numériques.
Cette IML peut être cependant résolue de manière analytique en appliquant le théorème de
Sylvester à la matrice P ? solution de
AT P ? A − P ? = N
77
On retire beaucoup de conservatisme à la
méthode en définissant plusieurs fonctions de
Lyapunov Vi chacune attachée à une région Ωi
de l’espace hybride. La fonction d’énergie globale
V commute entre ces différentes fonctions Vi selon
l’état du système hybride.
On parle alors de fonctions de Lyapunov multiples 15 que l’on note FLM. Lors des commutations
de la fonction de Lyapunov globale, on peut imposer de différentes manières la décroissance de V
le long des trajectoires. Quelques unes de ces méthodes se trouvent dans [Pel91][Bra98][Ye98].
L’ensemble de ces résultats porte sur l’analyse
de systèmes hybrides continus qui ne sont plus
considérés comme des systèmes autonomes invariants dans le temps. L’application de la méthode
directe de Lyapunov se fait par le biais d’un théorème plus général adapté aux systèmes variants
dans le temps [Slo91][Hah67].
Le théorème 6 présente les conditions nécessaires
et suffisantes de stabilité asymptotique uniforme
dans le cas des systèmes discrets variants dans le
temps.
Théorème 6 Le système discret xk+1 = T (xk , k)
est uniformément asymptotiquement stable dans
une domaine Ω si et seulement si il existe une fonction de Lyapunov V (xk , k) et des fonctions α, α
et α0 de classe K telles que V (O, k) = 0 et
α(kxk k) ≤ V (xk , k) ≤ α(kxk k)
∀xk ∈ Ω/{0}
(3.48)
et sa différence le long de la solution de toutes trajectoires du système est décroissante :
avec N une matrice définie positive arbitraire. On
montre dans [Kal60] que cette condition revient à
appliquer le critère de Jury à la matrice A.
V (xk+1 , k + 1) − V (xk , k) ≤ −α0 (kxk k)
(3.49)
∀xk ∈ Ω/{0}
Application de la méthode directe de
Lyapunov aux systèmes hybrides
Si, de plus, la fonction α est de classe K∞ 16 et
le domaine Ω est étendu à tout l’espace de phase,
alors la stabilité est globale uniforme et asymptotique.
Il y a beaucoup de résultats dans la littérature
qui utilisent la méthode directe de Lyapunov pour
démontrer la stabilité d’un système hybride.
La manière la plus simple est de chercher une
fonction de Lyapunov quadratique commune à
tous les systèmes continus du modèle hybride.
Cette solution proposée dans [Doğ94] est dans
la plupart des cas très restrictive. Les auteurs
montrent qu’il suffit que tous les systèmes soient
instables pour qu’il n’existe pas de fonction de
Lyapunov commune.
14 linear Matrix Inequalities en Anglais, que nous notons
IML dans la suite
Remarque 21 Contrairement aux systèmes à
temps continu, il n’est pas nécessaire d’imposer à
la fonction de Lyapunov V (Xk , k) d’être continûment différentiable pour les systèmes discrets.
Ce théorème très général est difficile à exploiter
car il n’y a pas de méthode systématique pour tester l’existence d’une telle fonction V . Par contre,
15 multiple Lyapunov functions en Anglais désignées par
l’acronyme MLF.
16 On appelle fonction de classe K
∞
toute fonction de
classe K non bornée : lim α(s) = ∞
s→∞
78
Chapitre 3. Analyse
il est possible de tester l’existence de certaines
formes de fonctions de Lyapunov candidates. Le
principal problème réside alors dans le conservatisme imposé par le choix d’une forme particulière
de fonction de Lyapunov.
L’application de l’un de ces théorèmes au modèle Hyb–CNC permettrait d’établir une preuve
globale en trajectoire et globale en séquence de la
BVP–IC. Malheureusement, la présence d’événements périodiques extérieurs dans le modèle Hyb–
CNC exclut l’utilisation des quelques méthodes de
recherche proposées jusqu’ici.
La modification des théorèmes précédents dans
le but de prendre en compte l’apparition d’événements extérieurs périodiques reste un problème
ouvert d’un grand intérêt en ce qui concerne la
preuve de stabilité globale de la BVP–IC.
Nous nous débarrassons des événements périodiques extérieurs en les utilisant pour discrétiser
le modèle Hyb–CNC. Nous obtenons ainsi, par le
biais d’un changement de variable, le modèle NL–
DL qui est entièrement autonome. En revanche,
ces équations sont non–linéaires discrètes définies
par morceaux.
Nous proposons d’utiliser le théorème 6 pour
prouver la stabilité du modèle modèle NL–DLé issu
de la linéarisation du modèle NL–DL.
La linéarisation de Lyapunov permettrait ensuite de déduire la stabilité du modèle NL–DL à
partir de celle de son modèle linéarisé, le modèle
NL–DLé. Mais la première méthode de Lyapunov
ne peut être appliquée aux systèmes variants dans
le temps sans précautions particulières.
Nous proposons dans la section suivante de
démontrer la validité de la linéarisation de
Lyapunov dans le cas des systèmes discrets variants dans le temps à partir de l’utilisation d’un
fonction de Lyapunov continûment différentiable.
3.4.3
Stabilité des systèmes non–linéaires commutés
Nous appelons système non–linéaire discret
commuté tout système de la forme :
Xk+1 = Tξ(Xk ) (Xk )
avec ξ(Xk ) = i lorsque Xk ∈ Ri
(3.50)
où i appartient à l’ensemble fini Ξ
L’indice ξ(Xk ) est une fonction de Rn dans Ξ qui
dépend entièrement de Xk . Cette fonction ξ(Xk )
est une fonction qui désigne la transformation Ti
utilisée pour itérer le terme Xk . Pour alléger l’écriture, nous notons Ti (Xk ) le terme Tξ(Xk ) (Xk ).
Les transformations Ti sont des fonctions de Rn
dans Rn continûment différentiables dans un voisinage de l’origine. La fonction ξ(Xk ) est entièrement définie si les régions Ri forment une partition
de l’espace de phase.
Nous supposons, sans perte de généralité, que
l’origine est un point fixe de la récurrence. Les
fonctions Ti s’annulent donc toutes à l’origine :
Ti (O) = O où O désigne le vecteur nul de Rn .
Il est possible de déduire la stabilité locale d’un
système non–linéaire à temps continu en prouvant
la stabilité asymptotique uniforme du système obtenu par linéarisation.
Bien que l’extension d’un tel résultat aux systèmes discrets soit facile à obtenir, elle n’a pas été
trouvée dans la littérature. Nous présentons donc
ici la démonstration du théorème 7 portant sur
l’analyse locale de stabilité uniforme et asymptotique d’un système non–linéaire discret commuté.
Théorème 7 Soit un modèle non–linéaire discret
commuté de la forme (3.50).
On définit à partir de (3.50) le système discret
linéaire commuté par :
Xk+1 = Aξ(Xk ) Xk
avec
ξ(Xk ) ∈ Ξ (3.51)
où Ai sont les jacobiennes des transformations Ti
du système non–linéaire définies à l’origine O du
plan de phase : Ai = J(Ti )|O .
Le système (3.50) est uniformément stable
asymptotiquement dans un voisinage du point origine si le système (3.51) admet une fonction de
Lyapunov définie par le théorème 6 qui soit continûment différentiable.
Preuve :
La démonstration se fait en montrant qu’il existe
un voisinage S 0 du point origine tel que la fonction de
Lyapunov continûment différentiable V du système
linéaire (3.51) soit aussi une fonction de Lyapunov
du système (3.50).
La fonction V remplit les conditions du théorème 6
dans un voisinage S de l’origine. La condition (3.49)
est donc vérifiée pour tout i ∈ Ξ :
V (Ai Xk ) − V (Xk ) < −α0 (kxk k)
pour tout Xk ∈ Ri ∩ S
(3.52)
Cherchons les conditions telles que V soit une
fonction de Lyapunov du système non–linéaire (3.50)
au sens du théorème 6. Les conditions (3.48) ne dépendent pas du système : elles sont donc vérifiées par
V.
3.5. Stabilité quadratique
79
La condition (3.49) dépendant du système restant
à vérifier est :
L = V (Ti (Xk )) − V (Xk ) < −α0 (kxk k)
(3.53)
pour tout Xk ∈ Ri ∩ S
Effectuons un développement de Taylor du premier
ordre des fonctions Ti autour de l’origine :
Ti (Xk ) = Ti (O) + Ai Xk + Oi (Xk )
avec Oi (Xk ) telle que ∀αi , ∃ri tel que
(3.54)
kOi k < αi kXk k2
pour tout Xk ∈ B(ri )
On note B(r) la boule de rayon r centrée sur l’origine.
La majoration αi kXk k2 du reste de Lagrange est
valide dans la boule B(ri ) et donc, à fortiori, dans
B(ri ) ∩ Ri .
Les fonctions Ti étant nulles à l’origine, la condition (3.53) devient alors, pour tout i ∈ Ξ :
L = V (Ai Xk + Oi (Xk )) − V (Xk ) < −α0 (kxk k)
pour tout Xk ∈ Ri ∩ S
(3.55)
En choisissant αv = 1 dans le développement
(3.56), on majore |Ov (Oi (Xk ))| par kOi (Xk )k si
Xk ∈ B(rvi ). Soit rv = min rvi , la condition (3.58)
i∈Ξ
est vérifiée a fortiori pour tout i ∈ Ξ et pour tout
Xk ∈ Ri ∩ B(rv ) ∩ S si :
k∇V k kOi (Xk )k + kOi (Xk )k < kXk k2
soit kOi (Xk )k <
(3.59)
kXk k2
= β kXk k2
k∇V k + 1
La fonction V étant continûment différentiable sur
S, la norme du gradient ∇V est bornée dans le voisinage de l’origine S. Le terme β est donc strictement
positif.
On choisit alors les αi du développement (3.54)
égaux à β2 pour majorer le terme kOi (Xk )k par
β
2
2 kXk k pour Xk ∈ B(ri ).
Définissons le voisinage S 0 par :
!
\
S 0 = S ∩ B(rv ) ∩ B() ∩
B(ri )
(3.60)
i∈Ξ
La fonction V est continûment différentiable, on
peut donc effectuer un développement de Taylor de
V autour du point Xk Ai pour Oi (Xk ) suffisamment
petit, (3.55) devient pour tout i ∈ Ξ :
Dans le voisinage S , la condition (3.59) devient alors
pour tout Xk ∈ S 0 :
L = V (Ai Xk + Oi (Xk )) − V (Xk )
= V (Ai Xk ) − V (Xk ) +
(3.56)
h∇V , Oi (Xk )i + Ov (Oi (Xk ))
où hu , vi est le produit scalaire de u et v,
La fonction V est donc une fonction de Lyapunov
du système (3.50) au sens du théorème 6.
avec Ov (Oi (Xk )) tel que ∀αv ,
∃rvi tel que
|Ov (Oi (Xk ))| < αv kOi (Xk )k, ∀ Oi (Xk ) ∈ B(rvi )
On utilise ici le reste de Cauchy pour majorer le
terme |Ov (Oi (Xk ))| par αv kOi (Xk )k.
Les inégalités (3.52) étant définies au sens strict et
appliquées à un système linéaire, pour chaque i ∈ Ξ
il existe un i positif non nul tel que V (Ai Xk ) −
V (Xk ) < −i kXk k2 < 0. Soit = min i , la condii∈Ξ
tion (3.56) est vérifiée à fortiori si l’on remplace
V (Ai Xk ) − V (Xk ) par − kXk k2 ce qui donne pour
tout i ∈ Ξ et Xk ∈ Ri ∩ S :
L < h∇V , Oi (Xk )i + Ov (Oi (Xk )) − kXk k2 < 0
(3.57)
On majore l’expression L en utilisant les normes
des termes du produit scalaire h∇V , Oi (Xk )i et la
valeur absolue de Ov (Oi (Xk )), (3.57) devient pour
tout i ∈ Ξ :
L < k∇V k kOi (Xk )k + |Ov (Oi (Xk ))| − kXk k2
pour tout Xk ∈ Ri ∩ S
(3.58)
0
L = V (Ti (Xk )) − V (Xk ) < − kXk k2 (3.61)
2
Ce théorème suppose que la fonction de
Lyapunov est continûment différentiable, il ne
peut donc pas être appliqué au cas des FLM. Par
contre il permet de rechercher une fonction de
Lyapunov quadratique commune pour le modèle
NL–DL à partir du modèle NL–DLé.
3.5
Stabilité quadratique
Le modèle NL–DL de la BVP–IC d’ordre deux
a la forme d’un système non–linéaire discret commuté. Contrairement aux modèles linéaires, ce modèle a la propriété d’être global en séquence.
À l’aide du théorème 7, nous pouvons établir la
stabilité locale en trajectoire et globale en séquence
de la BVP–IC d’ordre deux à partir de la linéarisation du modèle NL–DL : le modèle NL–DLé.
Le modèle NL–DLé permet de poser le problème
de la stabilité du système sous la forme de la résolution d’une IML. Des algorithmes performants
existent et permettent d’optimiser un critère linéaire quadratique sous des contraintes exprimées
par des IML avec une grande souplesse.
80
Chapitre 3. Analyse
Les premiers résultats portant sur l’analyse des
systèmes linéaires commutés sont issus de la recherche sur les systèmes robustes. Il s’agit alors
de prouver la stabilité de systèmes dont les paramètres sont incertains et/ou variants dans le
temps.
Bien qu’il y ait relativement peu de travaux
concernant les systèmes discrets variants dans le
temps, d’intéressants résultats sont apportés dans
[Had94][dO99][Ama98][Tro99].
La matrice dynamique est alors représentée
comme une pondération de plusieurs matrices
connues et invariantes dans le temps. Dans la section suivante nous récrivons le modèle NL–DLé
sous cette forme pondérée. Le système est alors
qualifié de système polytopique.
3.5.1
Représentation du système
sous forme polytopique
Reprenons les équations du modèle NL–DLé
présentées dans le § 2.6 (page 39) :
Xk+1 = Aij Xk
lorsque Xk ∈ Rij
(3.62)
avec ij ∈ Ξ
Ce modèle est de forme linéaire autonome commutée. L’ensemble des valeurs possibles des indices
ij des matrices dynamiques Aij est l’ensemble
Ξ = {++ ; +− ; −+ ; −−}. Nous cherchons à représenter les commutations des coefficients de la
matrice dynamique par les variations d’une matrice dynamique incertaine.
On appelle matrice incertaine une matrice dont
les coefficients peuvent varier en fonction d’un paramètre λ dont on ne connaı̂t pas la valeur avec
précision.
Dans le cas d’un système commuté, on peut
considérer que l’on ne connaı̂t pas la matrice Aij
utilisée pour itérer Xk , ce qui revient à dire que
l’on ne connaı̂t pas la séquence suivie par la trajectoire.
Prouver la stabilité d’un tel système incertain
revient alors à prouver la stabilité pour toutes les
séquences possibles du système.
Les résultats de l’analyse robuste garantissant
la stabilité de ce genre de matrices incertaines
peuvent être utilisés pour des systèmes commutés.
Une matrice incertaine est représentée comme
la pondération entre plusieurs matrices fixes bien
définies.
Dans l’espace des matrices dynamiques d’ordre
deux, représenté de manière abstraite dans la
fig. 3.14, ces matrices fixées délimitent un polygone
que l’on nomme polytope. En poursuivant cette représentation géométrique, on appelle ces matrices
les sommets du polytope.
A1
fermeture
convexe
du polytope
A(t1 )
A11
A10
polytope
A7
A(t0 )
A9
A2
A3
A8
A(ti )
A4
A6
A5
Fig. 3.14 : Un polytope de 11 sommets, A1 à A11 ,
incluant le domaine de variation (en gris) de la matrice
dynamique A(ti ). Sa fermeture convexe est représentée
en trait gras.
La matrice incertaine évolue à l’intérieur d’un
domaine de variation représenté en gris sur la figure. Les sommets du polytope sont définis de manière à ce que le polytope inclut le domaine de
variation de la matrice incertaine.
L’ensemble des matrices atteintes par la pondération de ces sommets, que l’on appelle la fermeture convexe du polytope, contient à fortiori cette
région. Nous appelons par la suite système polytopique tout système pouvant être écrit en fonction
des sommets d’un polytope selon la relation (3.63).
Xk+1 =
X
ξij (k)Aij Xk
(3.63)
ij∈Ξ
Les coefficients ξij (k) sont les pondérations à
l’instant k de chaque matrice dynamique Aij . On
regroupe ces coefficients dans la fonction indicatrice ξ(k) :

ξ++ (k)


 ξ+− (k)
ξ(k) = 

 ξ−+ (k)

ξ−− (k)








(3.64)
La matrice incertaine se trouve à l’intérieur de la
fermeture convexe du polytope si les composantes
3.6. Stabilité Poly–quadratique
81
ξij de la fonction indicatrice respectent les conditions suivantes :
ξij ∈ [0 , 1]
X
ξij = 1
∀ ij ∈ Ξ
(3.65)
ij ∈ Ξ
On peut donc récrire le système commuté (3.62)
sous la forme d’un système polytopique. Ce système est alors vu comme un cas particulier des
matrices incertaines dans lequel la matrice dynamique évolue uniquement sur les sommets du polytope.
Les composantes ξij de la fonction indicatrice
prennent alors leurs valeurs dans l’ensemble discret {0 ; 1}. La somme des composantes devant
être égale à 1, il ne peut y avoir qu’une seule composante ξij égale à 1 indiquant la matrice dynamique utilisée à l’instant k.
Les résultats obtenus sur la stabilité des systèmes polytopiques peuvent donc être utilisés pour
les systèmes commutés.
3.5.2
Recherche d’une fonction de
Lyapunov quadratique commune
La fonction candidate la plus simple est une
fonction de Lyapunov constante P(ξ k ) = P
qui soit commune à tous les systèmes, la matrice P étant semi–définie positive. On trouve dans
[Bar84][Joh98][Bra98] une extension du théorème
de stabilité du cas linéaire discret invariant au cas
des systèmes polytopiques.
Théorème 8 La fonction V (xk , ξ k )) = xTk P xk
est une fonction de Lyapunov du système (3.63)
si et seulement si
ATij P Aij − P < 0, ∀ij ∈ Ξ
(3.66)
Cette condition devient, en appliquant le Lemme
de Schur :


−P ATij P

 < 0, ∀ij ∈ Ξ
(3.67)
P Aij −P
Le système est dit quadratiquement stable
lorsque les conditions de ce théorème sont respectées.
L’avantage est que la démonstration de l’existence d’une telle fonction de Lyapunov se
pose sous la forme d’une IML17 . L’existence
17 Inégalité
matricielle linéaire
d’une solution d’une IML peut être décidée à
l’aide de la programmation semi–définie positive
[Boy94][Gha95][Gah94][Nik].
L’inconvénient d’une telle méthode est que la
condition de stabilité obtenue est souvent très restrictive. Dans le cas de la BVP–IC, les résolutions
des IML montrent qu’il n’existe pas de matrice P
remplissant ces conditions dans une portion raisonnable du plan paramétrique (a, b).
La résolution de ces IML a été réalisée par les
deux logiciels suivants : le solveur SeDuMi utilisé
avec la boı̂te à outils Lmi de Matlab [Gah94] et le
paquet LmiTool fourni pour Scilab [Nik].
L’application graphique de LmiTool permettant
de saisir les inégalités matricielles a été modifiée
pour générer les fichiers destinés aux deux logiciels à partir d’un seul et même fichier initial : ceci
permet d’éviter les erreurs de saisie.
3.6
Stabilité
tique
Poly–quadra-
Les travaux publiés dans [Daa01][Daa02][Joh98]
proposent de réduire le conservatisme de la méthode en choisissant une fonction de Lyapunov
propre à chaque matrice dynamique
Aij . La foncP
tion P s’écrit alors P(ξ k ) =
ξ ij (k)Pij .
ij ∈ Ξ
L’existence d’une fonction de Lyapunov de ce
type est alors prouvée par le théorème 9.
Théorème 9 La
fonction
xTk P(ξ(k)) xk avec P(ξ(k))
V (xkP
, ξ k ))
=
=
ξ ij (k)Pij
ij ∈ Ξ
est une fonction de Lyapunov de (3.63) si :
ATij Pkl Aij − Pij < 0 ,
∀(ij, kl) ∈ Stout (3.68)
où Stout est l’ensemble des transitions du système
Ξ × Ξ.
En appliquant le Lemme de Schur la condition
devient :


Pij
ATij Pkl

 < 0 , ∀(ij, kl) ∈ Stout (3.69)
Pkl Aij
Pkl
Un système remplissant les conditions de ce
théorème est dit poly–quadratiquement stable.
L’inégalité matricielle (3.69) imposant la décroissance de la fonction de Lyapunov doit être
vérifiée pour toutes les séquences contenues dans
Ξ × Ξ. Nous appelons l’ensemble de toutes les séquences Stout . Cette méthode réduit considérablement le conservatisme des résultats.
82
Chapitre 3. Analyse
Néanmoins, dans le cas de la BVP–IC l’utilisation des algorithmes numériques montre qu’aucune fonction de Lyapunov quadratique multiple
n’existe pour les couples de paramètres (a, b) testés.
Pour réduire encore le conservatisme des résultats, nous allons ajouter de l’information sur les
commutations de la BVP–IC permettant ainsi de
relâcher des contraintes.
3.6.1
Stabilité
poly–quadratique
dans un ensemble de séquences réduit
Dans le cas de la BVP–IC, il existe des séquences
qui ne sont pas réalisables par le système. Par
exemple, la matrice A++ active à l’instant tk ne
peut pas commuter vers la matrice A−− à l’instant tk+1 .
Il suffit pour cela de consulter le diagramme des
transitions de la fig. 3.9 (page 72). Le second symbole j de l’identificateur de la matrice Aij , active à
l’instant tk , indique l’état du DPF à l’instant tk+1 .
Le premier symbole k de la matrice Akl , active à
l’instant tk+1 , indique l’état discret au début de la
période, soit à l’instant tk+1 .
Le second symbole j de la matrice dynamique
Aij doit donc être égal au premier symbole k de la
matrice dynamique Akl . Ainsi, ne peuvent succéder à la matrice A+− que les matrices dont le premier symbole est « − », c’est–à–dire les matrices
A−+ et A−− .
On peut ainsi éliminer la moitié des commutations possibles et donc réduire de moitié le
nombre de contraintes. Pour cela, on définit un
ensemble des séquences réalisables S ⊂ Stout par
S : {(ij, kl) tels que (ij, kl) ∈ Stout et j = k}
Le théorème 9 est alors appliqué en remplaçant
l’ensemble des transitions Stout par l’ensemble des
transitions réalisables S.
Les algorithmes numériques ont permis de trouver, pour plusieurs couples (a, b) du plan paramétrique, des matrices Pij définissant bien une fonction de Lyapunov. On peut donc établir pour
certains couples paramétriques (a, b) une preuve
locale en trajectoire et globale en séquence de la
BVP–IC d’ordre deux.
La domaine de stabilité dans le plan (a, b) est
déterminé en balayant l’ensemble des paramètres
(a, b) dans un domaine suffisamment étendu. On
effectue alors le test de stabilité pour une grille de
points (a, b) répartie le plus finement possible sur
l’espace paramétrique.
L’ensemble des points de la grille pour lesquels
le test de stabilité a réussi forme une région où le
système est très vraisemblablement stable.
Cependant, il est possible qu’un couple (a, b) à
l’intérieur de la région de stabilité présumée, et
situé entre des points de la grille de calcul, échoue
au test de stabilité.
On suppose que les variations des paramètres
d’un point de la grille à un point adjacent sont
suffisamment faibles pour que le résultat de stabilité soit conservé. Un élément de réponse à ce
problème est apporté dans le § 3.8 (page 89).
La fig. 3.15 montre que cette région de stabilité
présumée (en gris) se situe à l’intérieur du triangle
défini par b < 4 − 2a, a > 0 et b > 0 ; ce triangle
correspondant à la région où les quatre matrices
dynamiques Aij sont stables.
b
4.0
3.6
b < 4 − 2a
3.2
2.8
2.4
2.0
1.6
poly-quadratiquement stable
1.2
0.8
0.4
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
a
Fig. 3.15 : Région de stabilité poly-quadratique
3.6.2
Validité du résultat pour le
système non–linéaire
Grâce au théorème 9, on a pu établir une preuve
de stabilité dite poly–quadratique pour le modèle NL–DLé. Dans ce théorème, la fonction de
Lyapunov utilisée est continue par morceaux.
Les discontinuités de la fonction lors des commutations du système empêchent l’utilisation du
théorème 7 pour déduire la stabilité locale du modèle NL–DL.
Bien que la démonstration du théorème 7 puisse
être étendue facilement au cas de la stabilité poly–
quadratique, nous n’en présentons pas la démonstration directe ici.
Cette démonstration peut être inclue, selon la
remarque 23 (page 85), dans celle du théorème
plus général présenté dans le § 3.7.1. La méthode utilisant ce théorème tend à réduire encore le
3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée
conservatisme du résultat précédant, en relâchant
la contrainte liée à une transition dans la région
du plan de phase où cette transition ne peut pas
se produire. Nous présentons cette technique dans
la section suivante.
3.7
Stabilité
poly–quadratique relâchée
Comme le montre le contre–exemple du § 3.4.1
(page 74) illustré dans la fig. 3.11, il est important
de considérer la stabilité d’un système hybride en
prenant en compte les phénomènes dans les régions
du plan de phase où ils se produisent et non pas
dans l’espace de phase global.
Dans le contre–exemple de la fig. 3.11, le système
hybride est composé des deux sous–systèmes S1 et
S2. On appelle sous–système, un système continu
composant le modèle hybride. Dans le cas discret
du modèle NL–DLé, le système hybride est composé des quatre sous–systèmes Aij .
Les résultats de la section précédente proposent
des fonctions de Lyapunov liées à chaque sous–
système. Ces fonctions de Lyapunov sont de
forme quadratique définies par les matrices Pij .
La stabilité est alors prouvée en imposant aux
matrices Pij d’être, d’une part définies positives
(Pij > 0), et d’autre part d’être décroissantes le
long de toutes les transitions ij → kl possibles
(ATij Pkl Aij − Pij ).
On appelle transition de ij ∈ Ξ vers kl ∈ Ξ le
passage du vecteur d’état continu Xk de la région
Rij vers la région Rkl par la transformation non–
linéaire T ij ou par la transformation linéaire Aij .
On notera par la suite ij → kl une telle transition.
L’ensemble des transitions possibles est l’ensemble
S défini précédemment.
Ces conditions de stabilité portent sans discernement sur l’ensemble de l’espace de phase.
On réduit considérablement le conservatisme des
contraintes en :
– imposant Pij > 0 uniquement lorsque Xk ∈
Rij ;
– relâchant la contrainte de décroissance
ATij Pkl Aij − Pij liée à une transition ij → kl
dans la région de l’espace de phase où cette
transition ne peut pas apparaı̂tre.
Par le biais de la S–procédure (présentée dans
le § 3.7.2 (page 85)), il est alors possible de relâcher une contrainte de type F (X) > 0 lorsque X
se trouve dans des régions Ωi d’une certaine forme.
On peut donc appliquer cette technique pour relâ-
83
cher les deux contraintes ci-dessus dans des régions
Ωi définies de manière adéquate.
Cette méthode a été appliquée aux systèmes
hybrides continus dans [Joh98][Pel93][Ye98], puis
adaptée au cas discret affine par morceaux dans
[FT02].
Nous présentons dans la section suivante un
théorème permettant d’appliquer la linéarisation
de Lyapunov à un système non–linéaire discret
défini par morceaux et d’en démontrer la stabilité
en appliquant les techniques développées pour les
systèmes linéaires affines par morceaux.
La S–procédure permettant de relâcher les
contraintes dans des régions spécifiques du plan de
phase est présentée dans le § 3.7.2 (page 85). Le
§ 3.7.3 (page 85) propose un découpage du plan de
phase par des régions Ωi permettant de relâcher
judicieusement les contraintes de stabilité.
Le § 18 (page 88) formule finalement le test de
stabilité de la BVP–IC d’ordre deux à l’aide de
cette procédure et présente les résultats apportés
par cette méthode.
3.7.1
Linéarisation de Lyapunov des
modèles non–linéaires discrets
commutés
L’utilisation de fonctions de Lyapunov multiples nécessite des précautions particulières lorsqu’il s’agit de prouver la stabilité d’un système
non–linéaire à partir de sa linéarisation.
Nous proposons ici une manière de prouver la
stabilité d’un système non–linéaire discret commuté de la forme (3.70) à l’aide de fonctions de
Lyapunov multiples calculées pour le système linéarisé.
Xk+1
= T (Xk )
= Ti (Xk ) lorsque Xk ∈ Ri
(3.70)
où i appartient à l’ensemble fini Ξ, les régions Ri
forment une partition de plan de phase et les transformations Ti (X) sont continûment différentiables
sur leur domaine Ri .
Considérons sans perte de généralité que le point
fixe d’intérêt de la récurrence T (X) se trouve à
l’origine. Nous attachons une fonction quadratique
Vi (X) = X T Pi X à une région Ωi du plan de
phase. Les régions Ωi sont en nombre fini (i ∈
ΞΩ = 1 . . . n) et doivent former une partition du
plan de phase pour définir correctement la FLM
candidate par
V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi avec i ∈ ΞΩ
84
Chapitre 3. Analyse
Pour tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ , nous
i
définissons de plus les ensembles Zj→k
des points
X tels que les trois conditions suivantes soient vérifiées simultanément :
– X ∈ Ri
– X ∈ Ωj
– T (X) = Ti (X) ∈ Ωk
i
En d’autres termes, Zj→k
est l’ensemble des points
menant de la région Ωj à la région Ωk par la transformation Ti . La preuve de stabilité se fait alors
en imposant une condition de décroissance du type
Vk (Ti (X))−Vj (X) < 0 uniquement pour les points
i
de Zj→k
.
Il suffit de trouver, pour une partition Ωi de l’esi
pace de phase donnée, les régions Zj→k
incluant les
i
ensembles de points Zj→k pour pouvoir appliquer
le théorème 10.
Ce théorème fournit une condition suffisante de
stabilité locale, asymptotique et uniforme du système non–linéaire discret commuté à partir de sa
linéarisation autour du point origine.
Théorème 10 Soit un modèle non–linéaire discret commuté de la forme (3.70).
On définit, à partir de la linéarisation de (3.70),
les jacobiennes Ai des transformations Ti du système non–linéaire calculées à l’origine O du plan
de phase : Ai = J(Ti )|O .
Le système (3.70) est uniformément et asymptotiquement stable dans un voisinage de l’origine
s’il existe des matrices symétriques Pi avec i ∈ ΞΩ
telles que pour tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ on
ait :
ATi Pk Ai − Pj < 0
i
∀X ∈ Zj→k
(3.71)
et pour tout i ∈ ΞΩ
Pi > 0
∀X ∈ Ωi
(3.72)
Preuve :
La preuve se fait en démontrant
que la fonction V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi
est une fonction de Lyapunov multiple au sens du
théorème 6.
Démontrons tout d’abord que la fonction V (X)
est encadrée par deux fonctions de classe K. Pour
chaque matrice Pi il existe une valeur propre
maximale λmax (Pi ). La fonction λmax kXk2 , avec
λmax = max λmax (Pi ), est de classe K et majore
i ∈ ΞΩ
V (X).
De même, les inégalités (3.72) imposent que dans
chaque région Ωi la fonction V (X) est minorée par
un terme λi kXk2 strictement positif qui n’est pas
forcément la valeur propre minimale de Pi . Si l’on
prend la fonction de classe K définie par λmin kXk2 ,
où λmin = min λi , elle minore la fonction de
i ∈ ΞΩ
Lyapunov candidate.
La fonction de Lyapunov multiple V (X) est donc
encadrée par les deux fonctions de classe K suivantes :
λmin kXk2 < V (X) < λmax kXk2
(3.73)
Démontrons que la fonction de Lyapunov candidate est décroissante le long de toute trajectoire
contenue dans un voisinage S du point origine.
Les inégalités (3.71) étant linéaires et définies au
sens strict, elles peuvent être majorées par un terme
−αijk kXk2 avec αijk strictement positif. Le nombre
i
de régions Zj→k
étant fini, nous pouvons désigner
par α la valeur minimale des αijk pour tous les triplets {ijk}.
La décroissance X T Lijk X = Vk (Ai X) − Vj (X)
de la fonction de Lyapunov le long d’une trajectoire
du système linéarisé est garantie par (3.71). Les inégalités suivantes sont donc vérifiées pour tous les
triplets {ijk} :
Lijk = ATi Pk Ai − Pj < −α kXk2 < 0
i
∀X ∈ Zj→k
(3.74)
Pour chaque point Xk de S, la trajectoire du système non–linéaire part d’un région Ωj vers une région
Ωk par une transformation Ti . Chaque point Xk du
voisinage de l’origine appartient donc, par définition,
i
à une région Zj→k
qui correspond à la trajectoire issue de ce point. À chaque point Xk de la trajectoire
du système non–linéaire correspond alors une inégai
i
lité linéaire (3.74) adéquate puisque Zj→k
⊂ Zj→k
.
La transformation Ti ainsi que la fonction de
Lyapunov Vk (Xk+1 ) étant différentiables, on peut effectuer un développement de Taylor de manière similaire à celui effectué dans la démonstration du théorème 7 (3.56 page 79).
On définit alors le voisinage S tel que le reste
de Lagrange soit majoré par α2 par exemple. Le
terme V (T (Xk )) est alors majoré par Vk (Ai Xk ) +
α
2
2 kXk k . La décroissance L = V (T (Xk )) −
V (Xk) = Vk (Ti (Xk )) − Vj (Xk ) de la fonction de
Lyapunov est alors majorée en utilisant (3.74) par :
L < Lijk +
α
α
kXk k2 < − kXk2 < 0 (3.75)
2
2
La fonction de Lyapunov candidate, bien que discontinue, remplit toutes les conditions du théorème 7
pour tout point contenu dans le voisinage S du point
origine non vide ainsi défini.
3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée
85
Remarque 22 La méthode est intéressante si le
point origine O appartient à une des régions Ωi
et est adhérent à toutes les autres. Dans le cas
contraire cela revient à rechercher une fonction de
Lyapunov unique pour ce point fixe appartenant
à la région Ωi entourant l’origine.
i
Remarque 23 La recherche des régions Zj→k
i
contenant la région Zj→k
peut être difficile. Si l’on
i
l’espace de phase
prend pour chaque région Zj→k
entier, la condition de décroissance de chaque
transition est imposée dans tout l’espace de phase.
En choisissant, de plus, une partition du plan de
phase Ωi = Ri , cette méthode revient à établir la
stabilité poly–quadratique du système non–linéaire
selon le théorème 9 utilisé précédemment.
La preuve du théorème 10 permet de garantir
la stabilité du système non–linéaire à partir de la
stabilité poly–quadratique du modèle linéarisé.
Remarquons, de plus, que dans le cas où une
transition de l vers m est impossible, on peut
i
vides si j = l et k = m.
prendre des régions Zj→k
Cela permet de réduire l’ensemble des séquences
réalisables comme dans le § 3.6.1 (page 82). La
preuve précédente permet d’étendre la validité du
résultat établi pour le modèle NL–DLé au modèle
NL–DL.
3.7.2
La S–procédure
La S–procédure est une technique générale permettant de remplacer une inégalité sur une fonction soumise à des contraintes par une inégalité sur
une fonction sans contrainte. Nous détaillons cette
procédure dans le cas de fonctions quadratiques
pour des inégalités au sens large.
Soient F 0 , . . . , F κ des formes quadratiques de la
variable x ∈ Rn définies par :
T
F k (x) = xT Qk x + 2 (q k ) x + Φk
pour k = 0, . . . κ
(3.76)
Considérons la condition sur F 0 suivante :
F 0 (x) ≥ 0 pour tout x tels que
F k (x) ≥ 0,
k = 1, . . . κ
(3.77)
Théorème 11 S’il existe des λk ≥ 0, k = 1, . . . κ
tels que :
κ
X
k=1
λk F k (x)
Ainsi, en introduisant des variables supplémentaires λk ≥ 0, la condition (3.77) est exprimée sous
forme d’IML par :




κ
0
0
k
k
X
Q
q
Q
q
 x̃ ≥
 x̃
x̃T 
λk x̃T 
T
0 T
0
(q )
Φ
(q k )
Φk
k=1
 
x
(3.79)
avec x̃ =  
1
On peut ainsi remplacer une condition F 0 valide
sur une région définie par les contraintes Fi , par
une condition non–bornée mise sous forme de IML.
Remarque 24 Ce théorème est écrit pour des
contraintes quadratiques ne contenant pas forcément le point origine du plan de phase. Dans le
cas où les fonctions F 0 (X), . . . , F κ (X) sont nulles
pour X = 0, les termes q k et Φk sont nuls.
La condition (3.79) sous forme d’IML du théorème 11 se simplifie alors en :
xT Q0 x ≥
κ
X
λk xT Qk x
(3.80)
k=1
De manière intuitive, la S–procédure relâche une
contrainte F (X) > 0 dans une région Ω en imposant la contrainte
X
F (X) +
λK Qk (X) > 0
P
où le terme λK Qk (X) est défini positif si X ∈ Ω
et défini négatif sinon.
En imposant des formes quadratiques à F (X)
et Qk (X), la condition relâchée devient une
contrainte sous forme d’IML que l’on peut résoudre numériquement.
Pour imposer la contrainte Pij > 0 uniquement
dans la région Rij il suffit d’imposer une IML du
type (3.81) avec Q0 = Pij et un ensemble de matrices Qk telles que :
X T Qk X ≥ 0 ∀k = 1 . . . κ =⇒ X ∈ Rij (3.81)
Cette condition (3.77) soumise à des contraintes, peut être remplacée par une condition sans
contrainte de la manière suivante :
∀x ∈ Rn , F 0 (x) ≥
alors la condition (3.77) est vérifiée.
(3.78)
La section suivante montre comment représenter
les régions Rij sous cette forme quadratique.
3.7.3
Partitionnement du plan de
phase
Dans cette section nous proposons une partition
du plan de phase de type Ωi = Ri . Nous cheri
chons ensuite à déterminer les régions Zj→k
dans
lesquelles des conditions doivent être relâchées.
86
Nous proposons finalement une manière de rei
présenter ces régions Zj→k
sous une forme quadratique propre à l’utilisation de la S–procédure.
Il y a deux types de régions dans lesquelles des
contraintes doivent être maintenues ou relâchées :
– Rij – la fonction de Lyapunov X T Pij X doit
être définie positive uniquement dans les régions où la matrice dynamique Aij est active,
c’est–à–dire, la région Rij ;
– Rijk – la condition de décroissance
ATij Pjk Aij − Pij liée à une transition
ij → jk doit être maintenue uniquement
dans la région où cette transition peut
apparaı̂tre, nous la notons Rijk par la suite.
Nous rappelons que, pour la BVP–IC, il ne peut
pas exister de transition ij → kl avec j 6= k. C’est
pourquoi nous notons une transition du système
ij → jk et la région où elle apparaı̂t Rijk .
La partition de l’espace de phase avec Ωi = Ri
pour tout i ∈ Ξ est un cas particulier du théoi
rème 10. Les régions Zj→k
correspondant au passage de Ωj à Ωk par la transformation Ti avec i 6= j
sont vides puisque l’on applique Ti uniquement si
X ∈ Ri = Ωi .
Les seules régions non vides à déterminer sont
ij
les régions Zij→jk
pour tout ij et jk pris dans Ξ.
On note ces régions de manière plus allégée Rijk .
Les régions de définition Rij du modèle NL–DL
sont définies dans le § 2.5 (page 37) par les frontières Fij décrites dans (2.77).
Il faut déterminer les régions Rijk où la transition ij → jk se produit. Pour cela nous utilisons
le modèle NL–D-1 .
Régions de définition des transitions
Chaque transformation Tij est définie dans son
domaine Rij où i et j sont des symboles éléments
de l’ensemble fini {+; −}. Tout point Xk de la
région Rij est transformé par Tij en un point
noté Xk+1 . Le graphe des transitions de la fig. 3.9
montre que le point Xk+1 appartient soit à la région Rj+ soit à la région Rj− .
Pour tout point Xk de la région Rij , il ne peut
donc exister que les deux séquences ij → j+ et
ij → j− selon que le point itéré Xk+1 se trouve
respectivement dans les régions Rj+ et Rj− . La
région Rij est donc l’union des deux régions disjointes Rij+ et Rij− .
Remarque 25 On peut tester la stabilité du système en ne définissant que les quatre régions Rij
sous forme quadratique. On maintient alors dans
Chapitre 3. Analyse
la région Rij uniquement les trois contraintes suivantes :
Pij > 0
ATij Pj+ Aij − Pij > 0
ATij
(3.82)
Pj− Aij − Pij > 0
La région de stabilité ainsi obtenue est étendue en
dehors du triangle de stabilité du système linéaire
discret. Le découpage plus fin par des régions Rijk
permet de ne retenir qu’une seule condition de décroissance dans chaque région et donne des résultats significativement moins restrictifs. Nous poursuivons donc la détermination des régions Rijk
jusqu’au bout.
Pour définir les région Rijk , il est nécessaire
de déterminer l’ensemble des points Xk tels que
Xk+1 = Tij (Xk ) appartient à Rjk . Cet ensemble
est celui des antécédents par Tij de Rjk . Il peut
être défini grâce à la transformation inverse par
Tij−1 (Rjk ).
Nous avons vu dans l’annexe D.2 que l’existence d’une transformation inverse continue permet d’établir une relation d’équivalence entre la
topologie du plan de phase et celle de son conséquent par la transformation.
Les transformations Tij étant des difféomorphismes, on peut utiliser le théorème 14 de cette
annexe pour déterminer la région Tij−1 (Rjk ) à partir de l’image des frontières de Rjk par la transformation inverse Tij−1 .
La définition de l’ensemble Rijk est alors l’ensemble des points de Rij tels que leur image par
Tij appartient à Rjk . Les régions Rijk sont donc
définies par l’intersection suivante :
Rijk = Rij ∩ Tij−1 (Rjk )
(3.83)
Le théorème 14 permet de définir analytiquement les régions Rijk à partir de l’une des deux
frontières de Rij et de l’image par Tij−1 de l’une
des deux frontières de Rjk .
Remarque 26 Pour les régions R+++ et R−−− ,
l’intersection de la définition (3.83) est vide
lorsque respectivement b < 2 et b > 2.
Les séquences ++ → ++ et −− → −− sont
donc irréalisables par le système pour certaines valeurs du paramètre b. Dans ce cas, on enlève simplement les contraintes de décroissance liées à ces
transitions.
Le plan de phase est ainsi découpé par les régions Rijk et Rij dans lesquelles sont imposées
3.7. Stabilité poly–quadratique relâchée
des contraintes de stabilité locales à ces régions.
Pour pouvoir formuler ce type de problème sous
forme d’IML à l’aide de la S–procédure, il est impératif de représenter ces régions sous une forme
quadratique.
87
Comme le montre la fig. 3.16, la région Ωi (en
gris foncé) n’est pas forcément incluse dans sa région approchée Ω0i (en gris médian).
∂FΩ
∂x
Inclusion des régions dans une forme quadratique
i
∂FΩ
x+
∂y
i
y>ι
∂FΩ
i
∂x
x+
∂FΩ
∂y
i
y>0
y
Pour chacune des régions du type Rij et Rijk ,
nous cherchons à représenter l’appartenance du
point X à une de ces régions par une inégalité de
type X T Qi X > 0. On peut ainsi relâcher, ou imposer, une contrainte en y ajoutant, ou en retirant,
cette égalité.
Nous appelons indifféremment Ωi une région de
type Rij ou Rijk . Chacune des régions Ωi est définie à l’aide de deux frontières FΩi (X) = 0 et
FΩi (X) = 0 par :
FΩ
i
Ωi
O(x, y) > 0
x
F Ωi
Ωi
2
Ωi = {X ∈ R tels que FΩi (X) > 0 et FΩi (X) > 0}
(3.84)
Les régions Ωi issues du découpage du plan de
phase de la BVP–IC ont l’avantage d’occuper chacune un voisinage de l’origine du plan de phase : la
remarque 24 (page 85) nous permet d’affirmer que
les termes q k et Φk de l’expression quadratique du
type (3.79) sont nuls. Les frontières FΩi (X) = 0 et
FΩi (X) = 0 passent donc par l’origine.
Les frontières des régions Ωi ne sont pas des coniques du plan de phase. Il est donc impossible de
représenter la totalité de ces régions par une forme
quadratique.
La démonstration de stabilité se faisant dans un
voisinage proche de l’origine, il est alors possible de
définir une région de forme quadratique incluant la
région Ωi dans ce voisinage. Le conservatisme de
la méthode est d’autant plus réduit que la région
quadratique est proche de la région Ωi .
On approche la région Ωi en linéarisant ses frontières autour du point origine, comme proposé
dans l’expression (2.81) du § 2.6 (page 39) pour
les régions Rij .
On définit la région approchée Ω0i de Ωi par :
Ω0i = {(x, y) ∈ R2 |
et
∂FΩi (X)
∂FΩi (X)
x+
y>0
∂x
∂y
∂FΩi (X)
∂FΩi (X)
x+
y>0 }
∂x
∂y
(3.85)
Ω0i
O(x, y) < 0
Ω0i
ci
Ω
ci
Ω
∂FΩ
i
∂x
x+
∂FΩ
i
∂y
y>ι
∂FΩ
i
∂x
x+
∂FΩ
i
∂y
y>0
ci reFig. 3.16 : Définition d’une région quadratique Ω
couvrant Ωi dans un voisinage de l’origine. La valeur
de ι est choisie exagérément grande pour faciliter la
représentation
En remplaçant les frontières f (x, y) par leur li(x,y)
(x,y)
x + ∂f ∂y
y,
néarisation du premier ordre ∂f∂x
on néglige le reste de Cauchy O(x, y). Ce terme
O(x, y) tend en valeur absolue vers zéro lorsque la
norme du vecteur (x, y) tend vers zéro.
Lorsque le reste O(x, y) est négatif, le respect
de l’inégalité non–linéaire f (x, y) > 0 implique le
respect de l’inégalité linéaire
∂f (x, y)
∂f (x, y)
x+
y > −O(x, y) > 0
∂x
∂y
Par contre, lorsque le reste O(x, y) est positif, le
respect de l’inégalité non–linéaire n’implique pas
le respect de l’inégalité linéaire. Il existe alors des
points de Ωi qui n’appartiennent pas à Ω0i .
ci
Définissons maintenant la région englobante Ω
de Ωi (représentée par l’union des régions en gris
clair et gris médian sur la figure) par les inégalités
88
Chapitre 3. Analyse
condition quadratique stricte X T Qi X > 0 pour
qu’il existe un ι suffisamment petit de manière à
ci .
ce que X T Qi X > 0 implique X ∈ Ω
suivantes :
ci = {(x, y) ∈ R2 |
Ω
∂FΩi (X)
∂FΩi (X)
y>ι
x+
∂y
∂x
∂FΩi (X)
∂FΩi (X)
x+
y>ι }
∂x
∂y
(3.86)
et
où ι est un scalaire positif très petit18 .
Le respect d’une inégalité non–linéaire implique
(x,y)
(x,y)
x + ∂f ∂y
y > ι − O(x, y). Il existe un
que ∂f∂x
voisinage suffisamment proche de l’origine tel que
|O(x, y)| < ι et donc ι − O(x, y) > 0. Tout point
ci dans ce voisinage.
de Ωi est donc un point de Ω
L’utilisation du terme ι très petit permet d’élargir
le cône Ω0i de manière à englober Ωi .
ci incluant Ωi
On construit ainsi une région Ω
ci est dédans un voisinage de l’origine. La région Ω
finie par l’intersection de deux demi–plans définis
par les inégalités linéaires (3.86). Ce type de région
est facilement mis sous la forme quadratique.
ci une matrice Ei
On associe à chaque région Ω
de la manière suivante :


∂FΩ (X)
i
Ei =  ∂F ∂x(X)
Ωi
∂x
∂FΩ (X)
i
∂y

∂FΩi (X)
∂y
ci ⇒ X ∈ Ωi
Ei X ≥ ι2 ⇔ X ∈ Ω

ι
avec ι2 =  
ι
(3.87)
Dans ce cas, l’inégalité signifie que chaque composante du vecteur Ei X doit être supérieure à
ι ; cette condition est strictement équivalente à la
ci .
condition X ∈ Ω
La condition Ei X − ι2 ≥ 0 n’est pas une IML.
On obtient une IML semblable en « l’élevant au
carré », c’est–à–dire en la multipliant à gauche
par sa transposée. On obtient ainsi l’inégalité suivante :


X T Ei T Ei X+

 ≥ 0 (3.88)
X T Ei T ι2 + ι2 T Ei X + ι2 T ι2
Le premier terme X T Ei T Ei X que l’on note
X Qi X est sous forme quadratique. Les autres
termes peuvent être rendu aussi petits que possible en diminuant ι. Il suffit alors d’imposer une
T
18 Le symbole ι est la neuvième lettre de l’alphabet grec,
la plus petite de toutes, qui se prononce iota
Remarque 27 La
condition
quadratique
X T Qi X > 0 n’est pas équivalente à la condition
Ei X > 0. La condition Ei X > 0 définit l’intersection de deux demi–plans de l’espace de phase.
Cette intersection n’est pas une région symétrique
par rapport à l’origine.
Or, le passage en écriture quadratique implique
que si X remplit la condition X T Qi X > 0 alors
−X la vérifie aussi. La région de forme quadraci et la région symétique englobe donc la région Ω
ci par rapport au point origine.
trique à Ω
Pour tout point X ∈ Ωi on a X T Qi X > 0, par
contre la réciproque X T Qi X > 0 ⇒ X ∈ Ωi n’est
pas vraie.
Nous appelons par la suite Eij les matrices liées
aux régions Rij par la relation (3.87) et Eijk celles
liées aux régions Rijk .
Nous imposons donc une contrainte F (X) > 0
dans une région Rij en cherchant un réel positif λ
tel que la condition F (X) + λ Qi > 0 soit vérifiée.
Pour simplifier l’implantation des IML dans le
logiciel de résolution numérique, nous remplaçons
la recherche d’un lambda positif par la recherche
d’une matrice Uij à éléments positifs telle que
F (X) + Eij T Uij Eij > 0.
De même, on applique la S–procédure dans une
région Rijk en cherchant une matrice Uijk telle que
F (X) + Eijk T Uijk Eijk > 0.
Formulation de la condition de stabilité Poly–Quadratique relâchée par la S–
procédure
Les conditions de stabilité poly–quadratique du
théorème 10 peuvent donc être appliquées uniquement dans les régions Rijk où celles–ci sont nécessaires en utilisant la S–procédure.
On utilise alors les matrices Eij et Eijk , définies dans la section précédente, pour imposer une
contrainte dans la région Rij et respectivement
Rijk .
On impose ainsi les contraintes Pij > 0 dans
les régions Rij et les contraintes de décroissance
Aij T Pjk Aij − Pij dans les régions Rijk .
Le théorème 12 appliquant cette méthode est
une variante des résultats exposés dans [FT02] qui
permet de déduire la stabilité du système non–linéaire à partir de sa linéarisation.
3.8. Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul
Théorème 12 La fonction V (Xk ) = Vij (Xk )
lorsque Xk ∈ Rij est une fonction de Lyapunov
de (3.70), au sens du théorème 10, s’il existe des
matrices Pij , et des matrices à entrées positives
Uij et Uijk telles que :
Pij − Eij T Uij Eij ≥ 0,
∀ij ∈ Ξ
T
Aij Pjk Aij − Pij
≥ 0, ∀(ij, jk) ∈ S
+Eijk T Uijk Eijk
(3.89)
Un système vérifiant les conditions du théorème 12
est dit S–poly–quadratiquement stable.
En appliquant ce test de stabilité sur une grille
suffisamment fine du plan de paramètre (a, b), on
obtient la région de stabilité présumée représentée
en gris sur la fig. 3.17.
Cette région de stabilité peut être approchée par
la condition b . 5 − a beaucoup moins restrictive
que la condition de stabilité b < 4 − 2a du modèle
linéaire discret (en gris foncé sur la figure).
8
7
b.5−
4
b<
4−
3
a
2a
S–p
2
stabilité du modèle
linéaire discret
stabilité du système. Les algorithmes utilisés pour
résoudre les IML testant la stabilité permettent ce
genre d’optimisation. On peut notamment optimiser un critère de forme quadratique tout en respectant des contraintes émises sous forme d’IML.
Une technique plus immédiate est de tester par
force brute un ensemble de couples de paramètres
réalisables techniquement. Cet ensemble doit couvrir la région des paramètres réalisables et être le
plus dense possible (la densité des points étant limitée par la puissance de calcul).
On affiche le résultat des tests de chaque point
sur le plan paramétrique. Le plus souvent ces
points stables sont adjacents, c’est le cas de la
BVP–IC. L’ensemble formé par ces points adjacents définit une région que l’on appellera par la
suite la région de stabilité présumée.
Le concepteur peut alors choisir un couple de
paramètres à l’intérieur de cette région. Cette méthode devient de plus en plus intéressante car
la puissance de calcul des processeurs s’améliore
d’année en année.
Remarque 28 La méthode de calcul par grille se
prête facilement au calcul distribué. Il est possible
de distribuer le calcul des points du plan de phase
sur différents processeurs communiquant par un
réseau local [Ala02][pag].
On divise ainsi le temps de calcul par le nombre
de processeurs utilisés avec un certain rendement
qui dépend du coût engendré par les communications inter–processeurs.
6
5
89
stab
ili
oly– té
quad
ratiq
ue
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Fig. 3.17 : Région de stabilité S–poly–quadratique b .
5 − a moins restrictive que la condition de stabilité du
modèle linéaire discret b < 4 − 2a
3.8
Approximation de la région de stabilité par une
grille de calcul
Les méthodes présentées précédemment permettent de conclure sur la stabilité du circuit pour
un couple de paramètres (a, b) précis. Ce ne sont
pas des méthodes de conception, puisqu’elles ne
fournissent pas les valeurs des paramètres, mais
des méthodes de test de stabilité.
Une technique de synthèse consiste à introduire
les paramètres de conception comme les variables
d’un problème d’optimisation sous contrainte de
Il est cependant possible qu’un point à l’intérieur de la région de stabilité présumée échoue au
test de stabilité s’il est situé entre des points de la
grille de calcul. Ce calcul par grille suppose que les
variations des paramètres d’un point de la grille à
un point adjacent sont suffisamment faibles pour
que le résultat de stabilité soit conservé.
Même si les présomptions de stabilité sont d’autant plus forte que la grille est dense, il est impossible d’obtenir de cette manière une preuve formelle de stabilité dans cette région.
Il faut alors adapter les tests de stabilité précédents au calcul par grille. Ceci peut se faire en
effectuant un test qui soit valide pour un couple
de paramètres contenu dans un carré du plan de
phase dont les sommets sont des points adjacents
de la grille.
La preuve de stabilité d’un système, malgré des
variations de paramètres, est la problématique de
la stabilité robuste. Nous utilisons à nouveau les résultats issus de l’analyse de stabilité robuste pour
adapter le test de stabilité au calcul par grille.
90
Chapitre 3. Analyse
Stabilité des systèmes dépendants des paramètres
Supposons que les paramètres (a, b) se situent
dans un carré Dab dont les coordonnées de deux
sommets opposés sont (a, b) et (a, b).
Les matrices dynamiques Aij dépendent de ces
paramètres. Chacune de ces matrices incertaines
Aij se situent alors dans un domaine Dij de l’espace des matrices dynamiques.
Il suffit de trouver N sommets Anij , n ∈
{1 . . . N } = Nij tels que la fermeture convexe du
polytope de sommets Anij contient le domaine Dij
de la matrice Aij . La recherche d’un tel polytope
est traitée dans la section suivante.
La matrice incertaine est alors représentée par
la combinaison convexe des sommets du polytope
P
Aij =
λn Anij avec Σλn = 1. On prouve donc
n∈Nij
la stabilité du système incertain en imposant la
stabilité pour toute les combinaison des sommets
du polytope.
Le test de stabilité du théorème 12 est modifié
pour obtenir le test de stabilité du théorème 13
garantissant la stabilité sur tout le carré Dab .
Théorème 13 La fonction V (xP
=
k , ξ k ))
xTk P(ξ(k)) xk avec P(ξ(k)) =
ξ ij (k)Pij
ij ∈ Ξ
est une fonction de Lyapunov de (3.63) si il
existe des matrices Pij , et des matrices à entrées
positives Uij et Uijk telles que :
Pij − Eij T Uij Eij ≥ 0,
Anij T
Pjk Anij
− Pij
+Eijk T Uijk Eijk
∀ij ∈ Ξ
(3.90)
≥ 0, ∀(ij, jk) ∈ S, et ∀n ∈ Nij
Remarque 29 Les régions de définitions Rij et
Rijk sont elles aussi dépendantes des paramètres a
et b. Il est donc nécessaire de partitionner l’espace
ci incluant la région
de phase avec des régions Ω
Rij ou Rijk pour tout couple (a, b) ∈ Dab . Ceci
se fait sans difficulté en raisonnant sur les inégalités linéaires (3.86) utilisées pour déterminer les
matrices Eij et Eijk .
Recherche d’un polytope englobant le domaine d’une matrice incertaine
La recherche des sommets d’un polytope dont
la fermeture convexe englobe le domaine Dij d’une
matrice incertaine Aij est un point crucial de l’analyse robuste. Ce polytope doit détourer au plus
près le domaine Dij car l’utilisation d’un polytope
trop éloigné de Dij engendre un résultat trop restrictif.
Cette recherche revient à écrire toute matrice
Aij élément de Dij sous la forme d’une pondéraP
tion convexe de matrices fixes : Aij =
λn Anij .
n∈Nij
Lorsque la matrice dépend linéairement d’un
paramètre p, cette mise en forme est immédiate
puisque l’on peut écrire Aij = A0 + p Ap . Pour
p variant entre p et p (avec p < p), on obtient
Aij = λ (A0 + p Ap ) + (1 − λ) A0 + p Ap où la
p−p
pondération λ qui vaut p−p varie entre zéro et un.
Les matrices Aij de la BVP–IC sont récrites par
commodité ci–dessous :


1 1 − b + a b 
A++ =
1+a
−1
1


1−b b

A+− = 
−1 1

 (3.91)
1 1 − b + a b (1 − a)
A−+ =
1+a
−1
1−a


1 − b b (1 − a)

A−− = 
−1
1−a
Chacune de ces quatre matrices peut être mise
sous la forme d’un polytope à deux sommets dans
le cas où l’on fixe un des deux paramètres. En effet, si l’on fixe a, les matrices Aij sont linéaires
en b et permettent ainsi d’être décomposée par la
pondération de deux sommets fixes. Si l’on fixe b,
la matrice A+− est constante et la matrice A−−
linéaire en a. Les matrices A++ et A−+ peuvent
être mise sous la forme pondérée suivante :




1−b b
1 0
 + (1 − λ) 

A++ = λ 
−1 1
0 0




1−b b
1 −b (3.92)
 + (1 − λ) 

A−+ = λ 
−1 1
0 −1
1
1
1
avec λ =
∈
,
1+a
1+a 1+a
En utilisant ces sommets, on peut démontrer la
stabilité pour tout b variant entre b et b et pour a
fixé. De même on peut démontrer la stabilité pour
tout a entre a et a pour b fixé.
La fig. 3.18 montre une situation idéale où la
matrice dynamique A dépend linéairement des paramètres et peut être écrire sous la forme A =
3.8. Approximation de la région de stabilité par une grille de calcul
91
A(a, b)
Dépendance
linéaire
A(a, b)
−
→
db
(a, b)
A(a, b)
Dij
A(a, b)
−
→
da
A(a, b, c)
−
→
db
(a, b)
−
→
dc
Dab
A(a, b, c)
A(a, b, c)
−
→
da
Dépendance
non–linéaire
A(a, b, c)
Dij
A(a, b, c)
−
→
dc
terme croisé c = ab
A(a, b, c)
Fig. 3.18 : Domaine de variation des matrices dynamiques en fonction des paramètres. À gauche, le couple de
paramètres varie dans un carré Dab . À droite, la matrice dynamique varie dans une région de l’espace des matrices
dynamiques
A0 +a Aa +b Ab . Le domaine de variation de la matrice dynamique A est alors le polytope de quatre
sommets construit en calculant A(a, b) pour tout
(a, b) ∈ {a; a} × {b; b}.
Il existe dans les matrices Aij des termes croib
, qui empêchent d’utiliser ces
sés, tels que a b et 1+a
seuls sommets pour encadrer le domaine de variation. Dans ce cas, on ne peut pas décomposer les
matrices Aij sous forme de termes constants pondérés.
Par contre, on peut majorer et minorer les
termes croisés. Il suffit de considérer ces termes
non–linéaires comme des paramètres variant entre
leurs bornes inférieure et supérieure de manière indépendante des paramètres a et b. On obtient ainsi
un polytope incluant la région Dij .
Prenons par exemple le cas de la matrice A−−
représenté dans la fig. 3.18 : son domaine de variation (en gris sur la vignette du bas) peut être
inclus dans un polytope à huit sommets. Les paramètres a et b varient entre leurs bornes respectives,
tandis que le terme croisé a b est représenté par un
paramètre supplémentaire c = a b.
On majore les variations de la matrice A−− en
considérant que le paramètre c varie indépendamment de a et b entre les bornes c et c définies par
c = a b et c = a b. La matrice A−− peut ainsi être
représentée par la pondération des huit sommets
suivants :


1−b b−c

A−− (a, b, c) = 
(3.93)
−1 1 − a
pour tout (a, b, c) ∈ {a; a} × {b; b} × {c; c}
La fermeture convexe du polytope de sommets
A−− (a, b, c) inclut le domaine de variation de cette
matrice en imposant un certain conservatisme.
Conclusion sur la méthode de calcul par
grille
En appliquant cette méthode pour définir les polytopes englobant les variations des matrices Aij ,
on peut utiliser le théorème 13 pour démontrer la
stabilité du système pour des paramètres a et b
variant à l’intérieur d’un carré Dab .
On applique alors la méthode de calcul par grille
pour des carrés Dab répartis sur l’espace des para-
92
Chapitre 3. Analyse
mètres recouvrant la région des paramètres réalisables physiquement.
Les polytopes calculés pour les matrices Aij , décrivent des régions plus larges que les domaines
Dij induisant ainsi du conservatisme dans le test
de stabilité.
Ce conservatisme est d’autant plus réduit que
l’on impose une taille restreinte aux carrés Dab .
Prenons le cas limite d’un carré de taille nulle, ce
carré est confondu au point (a, b) de l’espace des
paramètres ; l’application du théorème 13 revient
à appliquer le théorème 12 pour le couple (a, b).
Les non–linéarités des coefficients des matrices
b
sont des non–linéarités
Aij tels que a b et 1+a
faibles (différentiables), il doit exister un voisinage
Dab du couple (a, b) tel que le théorème 13 est vérifié.
L’inconvénient d’une telle technique est le grand
nombre de sommets de polytopes à déterminer.
De plus, ce nombre augmente considérablement
le temps de calcul d’une grille suffisamment fine.
C’est pourquoi cette technique n’a pas encore été
appliquée à la BVP–IC.
3.9
Vérification expérimentale des résultats
Dans cette section les résultats obtenus sur la
stabilité de la BVP–IC sont confrontés à des mesures expérimentales.
Les études théoriques ont été effectuées jusqu’à
présent sur des modèles fonctionnels de la BVP–
IC. Le but de ces modèles n’est pas de représenter
le plus finement possible le comportement d’une
réalisation spécifique de la BVP–IC, mais de représenter le comportement général d’une BVP–IC
dont les blocs qui la constituent sont idéaux.
La validation de ces résultats consiste donc à
réaliser un circuit physique dont le comportement
est le plus proche possible de son modèle théorique.
Grâce à ce circuit, on vérifie d’une part l’exactitude des calculs et on mesure d’autre part l’impact
de faibles bruits et de dynamiques négligées sur ce
résultat.
En première approche, une étude de faisabilité
de cette vérification a été faite par des simulations
réalisées avec verilog–A. Ce logiciel est un véritable
simulateur de systèmes hybrides adapté aux réalisations électroniques et micro–électroniques analogiques. Les trois phénomènes indésirables suivants
ont été ajoutés dans la modélisation :
La dynamique des générateurs de courant
tout d’abord modélisée par une simple pente
représentant le temps de montée du courant,
une modélisation du second ordre a été
adoptée en filtrant le courant idéal par un
filtre du second ordre sous–amorti (z = 0.5)
et de fréquence propre telle que le temps de
montée tm soit celui spécifié ωn = t √π1−z2 .
m
Le bruit représenté par des retards ou avances
δt apparaissant sur chaque front des signaux
d’entrée et de sortie. On assure ainsi une
gigue19 de forme gaussienne centrée sur 0 et
d’écart type relativement petit σ = T /1000.
Les δt apparaissant à chaque demi–période
sont tirés d’une série aléatoire gaussienne
√ centrée sur zéro et d’écart type σ1/2 = 2 σ.
La caractéristique de l’OCT Cette caractéristique n’étant pas linéaire, une fonction arc–
tangente permet de mieux représenter l’OCT.
La fréquence d’oscillation est donc ainsi bornée par vmin et vmax avec une pente autour
du point de fonctionnement de Koct . Ceci permet d’effectuer des simulations avec des tensions momentanément négatives sans « coller » l’OCT.
L’étude a montré que le phénomène de bifurcation observé lorsque b = 4 reste observable si :
– l’écart type du bruit en entrée et en sortie de
la BVP–IC est inférieur à T /1000 ;
– le temps de montée des générateurs de courant
est inférieur à T /100.
Ces performances peuvent être rencontrées pour
des fréquences très basses de l’ordre de 10KHz.
Il suffit d’utiliser la relation de similarité pour en
déduire le comportement de BVP–IC fonctionnant
à de hautes fréquences.
Nous avons donc réalisé une BVP–IC fonctionnant autour d’une fréquence centrale de 5KHz,
présentée dans l’annexe E, à l’aide de composants
discrets du commerce.
Méthode de mesure de la stabilité du circuit
Plusieurs couples des paramètres du filtre (a, b)
ont été testés de manière à effectuer une grille de
mesure de la stabilité du circuit réel.
Il est difficile de conclure sur la stabilité du circuit à partir de l’observation de voct à l’oscilloscope
du fait de la présence d’un fort bruit sur le signal.
De plus, une observation effectuée par un manipulateur humain comporte un caractère subjectif
gênant.
19 jitter
en Anglais
3.9. Vérification expérimentale des résultats
93
Pour pallier ce problème, un signal électrique
variant en fonction de la qualité de la stabilité du
circuit est généré et mesuré. Pour cela, il suffit de
disposer un discriminateur de tension à l’entrée de
l’OCT.
Ce discriminateur de tension délivre une tension
positive V cc lorsque l’amplitude de voct se situe
dans une fourchette [Vmin , Vmax ], et une tension
nulle lorsque voct se situe en dehors de cette fourchette.
Il suffit ensuite de mesurer la tension moyenne V
de la sortie du discriminateur, à l’aide d’un voltmètre. En plaçant la fourchette [Vmin , Vmax ] autour de la tension de fonctionnement idéale, on
mesure par VVcc le pourcentage du temps passé par
le circuit à l’intérieur de la fourchette de stabilité
du circuit.
On déclare alors le système instable lorsque le
ratio VVcc descend en dessous d’une certaine valeur
fixe V? (V? = 12 dans les mesures suivantes).
La fig. 3.19 montre la région de stabilité ainsi
mesurée. Cette région correspond vaguement à
celle obtenue théoriquement.
Méthode de mesure de l’ instabilité du circuit
b
5.5
mesure
theorie
5
4
3
2
1
0
du filtre, les mesures deviennent difficiles à établir.
Le système est dans cette région très peu amorti et
converge très lentement vers le point fixe. De plus,
le bruit maintient la tension voct dans un voisinage
du point fixe qui devient de plus en plus étendu
lorsque la valeur de a diminue.
L’écart entre la courbe théorique et la courbe
mesurée pour des valeurs de a faibles peut être
justifié par le fait que les mesures ont été effectuées
dans un temps fini et par une sensibilité au bruit
accrue dans cette région.
Au vu des difficultés de mesure, les résultats
expérimentaux semblent corroborer relativement
bien les résultats théoriques.
Une tentative d’infirmation des résultats théoriques moins subjective est obtenue en traçant expérimentalement une région où l’observation d’un
comportement instable est sans appel. L’observation de l’instabilité du système pour un couple
de paramètres à l’intérieur de la région de stabilité théorique mettrait à défaut les résultats théoriques.
0
0.5
1
1.5
2
a
Fig. 3.19 : Confrontation du résultat théorique avec la
mesure expérimentale de la région de stabilité
Remarque 30 Le choix arbitraire du ratio limite
V? et de la largeur de la fourchette [Vmin , Vmax ]
influence directement la position de la frontière de
la région de stabilité. Ainsi, le choix d’un ratio V?
plus faible permet d’agrandir considérablement la
région de stabilité mesurée. Un ratio minimal plus
grand rendrait le résultat plus restrictif.
Nous avons choisi un ratio de 0.5 de manière
subjective. Cette valeur simple correspond à une
observation faite à l’oscilloscope pour laquelle le
système semble commencer à osciller entre deux
valeurs proches du point de fonctionnement.
Il faut de plus souligner que pour les faibles valeurs de a, ce qui correspond à une faible résistance
Les nombreuses observations du circuit
montrent que le circuit semble toujours se
déstabiliser en commençant par osciller entre
deux valeurs proches du point fixe. Lorsque l’on
fait évoluer un paramètre vers l’instabilité, ces
deux valeurs s’éloignent de plus en plus du point
fixe. On peut ainsi observer dans certains cas
une cascade de bifurcations correspondant à des
dédoublements de période [Mir87][Mir90].
Lorsque le circuit se met à osciller entre deux
valeurs assez éloignées, l’état du DPF suit la séquence particulière correspondant à l’alternance
entre une charge et une décharge de courant.
Une machine à états finis a été réalisée physiquement dans le but de détecter ce type de séquence.
Ce circuit séquentiel délivre un signal logique à 1
tant que cette séquence est suivie et à 0 dès qu’elle
est interrompue.
Il se trouve que lorsque le point fixe est stable, le
bruit perturbe les séquences du DPF et empêche
l’observation de cette séquence particulière.
Par contre, lorsque le point fixe se déstabilise (la
largeur des impulsions augmente), l’influence du
bruit sur les séquences devient négligeable : la sortie du détecteur de la séquence particulière passe
à 1.
On applique alors la même technique de mesure que précédemment en mesurant la tension
94
Chapitre 3. Analyse
moyenne du détecteur de séquence. Lorsque celle-ci
devient supérieure à une valeur arbitraire on peut
conclure à une instabilité.
Remarquons que cette mesure est une mesure
suffisante de l’instabilité mais non nécessaire : le
système peut se déstabiliser par le biais d’une séquence différente.
Malgré tout les efforts pour augmenter la sensibilité de ce détecteur de séquence, aucune mesure
n’a permis d’observer d’instabilité pour des valeurs
de b inférieures à 14. Cette technique de mesure
n’est pas suffisamment performante pour apporter
de l’information sur la zone d’instabilité du circuit. Aucune mesure n’a donc permis d’infirmer le
résultat théorique.
3.10
Optimisation par force
brute
Nous présentons ici un bref résumé d’une technique d’optimisation numérique de la BVP–IC développée pendant ces travaux de thèse. Ces résultats ont été publiés dans [Acc01a] dont une copie
figure dans l’annexe F pour complément d’information.
Ces travaux sont d’un intérêt théorique faible,
c’est pourquoi ils ne sont pas complètement développés dans ce mémoire. Par contre, la méthode
numérique proposée peut être d’un grand intérêt
pour le concepteur, car elle permet de prendre en
compte l’influence des bruits à partir d’un modèle
de la BVP–IC exact. De plus, cette méthode peut
être facilement étendue au circuit d’ordre trois.
Le modèle hybride continu, utilisé pour cette
optimisation, offre une précision et une rapidité d’exécution remarquable. Il est alors possible
d’exécuter un très grand nombre de simulations
différentes de manière à rechercher le meilleur comportement possible du circuit.
La technique d’optimisation proposée dans l’ annexe F balaye tout un ensemble de valeurs des paramètres (a, b) et calcule la valeur d’un critère à
partir de chaque trajectoire simulée. Les résultats
sont alors reportés sur un graphique et le couple
de paramètres optimal au sens de ce critère est
identifié.
Le critère d’évaluation choisi est l’erreur quadratique de tension à l’entrée de l’OCT facilement
calculable pendant une simulation. Ce critère mesure ainsi les erreurs de fréquences cumulées tout
au long d’une simulation. Ainsi, lors de la réponse
à un échelon de fréquence, un système lent ou très
oscillatoire va donner une valeur du critère importante ; un système rapide et bien amorti tend à
minimiser le critère.
Il a été possible d’ajouter l’effet du bruit dans
les simulations du modèle Hyb–CNC. Le calcul du
critère effectué pour une simulation avec de forts
bruits permet ainsi de mesurer l’erreur quadratique de fréquence provoquée par ce bruit. La minimisation du critère permet de trouver un système
qui rejette le bruit de manière optimale.
Cette technique permet donc d’optimiser un critère évaluant l’erreur quadratique de fréquence
provoquée par une réponse à un échelon et par
la présence de bruits. Cette optimisation peut être
facilement étendue au système du troisième ordre
au prix d’un temps de calcul plus élevé mais réalisable.
Conclusion sur le chapitre 3
Dans ce chapitre, nous avons mené une analyse
de stabilité sur plusieurs types de modèles. Nous
avons cherché à étendre le plus possible le domaine
de validité de l’analyse de stabilité en utilisant des
modèles de plus en plus globaux.
L’étude linéaire continue a été reprise sous forme
de variables réduites. Des contraintes fort utiles,
comme la stabilité robuste et le rejet des bruits,
ont été proposées sous forme de limites de validité décrites dans le plan des paramètres réduits.
Ainsi, nous proposons une méthode de calcul des
paramètres simple consistant à fixer les contraintes
de conception et à choisir les paramètres réduits
parmi une région de faisabilité.
L’étude du modèle discret apporte des résultats
différents sur la stabilité du système. Ce modèle a
été introduit par Gardner dans le but de mieux
prendre en compte l’aspect discret de la mesure de
l’erreur de phase effectuée.
Les simulations réalisées à la fin du chapitre 2
sont une réelle mise en garde contre les modèles
linéaires. Les modèles exacts prenant en compte
l’aspect hybride du système, mettent à défaut les
modèles linéaires aussi bien pendant les phases
transitoires que dans un voisinage du point fixe.
Une première approche du système hybride est
faite en considérant que l’état discret du système
suit une séquence particulière. On s’intéresse alors
à la stabilité d’un cycle limite particulier en proposant une extension de la méthode de Poincaré
aux systèmes hybrides.
Les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité de trois séquences élémentaires ont pu être éta-
3.10. Optimisation par force brute
blies. On montre qu’il existe un cycle limite stable
pour des paramètres se trouvant en dehors de la
limite de stabilité du système linéaire discret.
Une première preuve de stabilité basée sur un
modèle exact a été apportée en appliquant la méthode directe de Lyapunov au modèle hybride.
Cette preuve de stabilité, tout comme celles apportées par les systèmes linéaires, porte sur toutes
les trajectoires pouvant se produire dans un voisinage de l’origine du plan de phase. Cependant, ces
résultats sont significativement différents de l’analyse linéaire et beaucoup moins restrictifs.
Les mesures effectuées sur une platine expérimentale tendent à confirmer ces résultats théoriques. Le domaine de stabilité locale de la BVP–
IC d’ordre deux serait donc beaucoup plus étendu
que celui proposé par les études linéaires.
95
96
Chapitre 3. Analyse
Conclusion et perspectives
À la lumière de la théorie des systèmes hybrides, l’étude de la BVP–IC s’est révélée fructueuse. Ces
nouveaux modèles et leurs méthodes d’analyses émergentes ont permis de rendre compte avec exactitude
de l’interaction entre le détecteur de phase séquentiel et les parties analogiques de ce type de BVP.
Les principaux résultats apportés par cette étude sont les suivants20 :
L’identification des paramètres réduits (2+3) – Ces paramètres caractérisent à eux seuls la dynamique du circuit. L’écriture des équations s’en trouve facilitée et les degrés de liberté de l’analyse sont
clairement définis. Les résultats peuvent donc être représentés dans un espace de dimension deux ou
trois. La totalité des modèles existants et les modèles développés dans ce mémoire sont écrits à l’aide
des équations réduites.
La modélisation hybride de la BVP–IC (2+3) – Le formalisme de la théorie des systèmes hybrides
a été adopté pour la BVP–IC. Les modèles exacts préexistants dans la littérature ont été repris et
inclus dans ce formalisme. Une classification de la totalité de ces modèles, basée sur le type de
domaine de validité, est proposée.
Une première preuve exacte de la stabilité locale de la BVP–IC (2) – La stabilité du circuit a
été prouvée sans approximation pour tous types de trajectoires se produisant dans un voisinage de
l’origine. La condition de stabilité communément admise b < 4 − 2 a, qui a été déterminée à partir
du modèle linéaire discret, peut être remplacée par la condition beaucoup moins restrictive b . 5 − a
développée dans ce mémoire.
Une méthode d’optimisation par force brute de la BVP–IC (2+3) – La précision et la rapidité
d’exécution du modèle hybride continu permettent de tester une fine grille de valeurs de paramètres
de manière à optimiser un critère. Le critère proposé est une pondération entre des contraintes de
rapidité et de rejet des bruits.
Perspectives
Bien évidemment beaucoup de problèmes restent ouverts et beaucoup de voies de recherche ont été
momentanément écartées pour éviter la dispersion. Nous formulons ici les principaux axes de recherche
envisagés pour la poursuite de ces travaux sous forme de questions :
Que se passe–t–il lors du démarrage d’une BVP ? La preuve de stabilité proposée dans ce mémoire est une preuve locale. Comment garantir la stabilité de la BVP–IC lors de la mise en tension
du système ou lors d’un saut en fréquence ? Dans ces situations, le système se trouve soudainement
loin de l’origine et pose le problème de la stabilité globale du système. Les solutions envisagées à ce
jour sont l’utilisation du modèle hybride continu : des théorèmes permettent de prouver la stabilité
d’un système hybride continu mais les événements extérieurs périodiques ne sont pas pris en compte
dans ces démonstrations. . .
Le résultat obtenu est il encore trop restrictif ? Nous avons tenté de proposer une preuve de stabilité la moins conservative possible. Peut-être en découpant l’espace de phase plus finement nous
20 On indique par (2) les résultats valables uniquement pour la BVP–IC d’ordre deux, et par (2+3) les résultats étendus
jusqu’à l’ordre trois
97
98
Conclusion et perspectives
obtiendrions des résultats plus étendus ? Les efforts développés risquent de mener à une faible amélioration du résultat. Il serait intéressant d’utiliser le théorème sur l’instabilité des systèmes proposé
par Lyapunov pour établir une condition suffisante d’instabilité du système : ceci permettrait de
donner une limite supérieure à la zone de stabilité qui indiquerait la marge de résultat susceptible
d’être gagnée au prix d’efforts supplémentaires.
Peut–on enfin proposer un algorithme de synthèse du filtre ? La méthode de calcul par grille
permet de dessiner une région de stabilité dans le plan des paramètres. Mais quelle valeur choisir ? Les algorithmes de résolution d’IML offrent la possibilité d’optimiser un critère quadratique.
L’écriture d’un critère quadratique pertinent permettrait de proposer une certaine valeur du filtre au
concepteur. Il obtiendrait ainsi un système stable et optimal au sens d’un critère tel que ceux utilisés
dans les synthèses robustes de type H∞ ou H2 .
Comment maı̂triser le bruit ? Jusqu’à présent, seuls les modèles linéaires proposent des résultats sur
le rejet des bruits. La prise en compte de ces bruits dans un système hybride pose le problème plus
large de l’existence d’une entrée de nature stochastique au système. Un autre élément de réponse
serait l’utilisation des équations de sensibilité d’un cycle limite qui constituerait un premier pas vers
une analyse du bruit qui soit globale en séquence.
Un autre problème lié au bruit tient dans sa modélisation. Les circuits logiques du détecteur de phase
et du diviseur de fréquence sont très bruyants ; ces bruits parasitent les signaux analogiques du filtre
et de l’oscillateur. Il est important d’analyser dans quelle mesure ces bruits sont corrélés à l’état du
système et de proposer une modélisation du bouclage par auto–induction de ce bruit. L’hypothèse
de bruits non–corrélés peut être forte et mener dans certains cas à une instabilité du système.
Quel est l’impact d’une zone morte ? Un autre problème lié à la modélisation est la présence de
la zone morte du détecteur de phase fréquence. En effet, lorsque la largeur d’une impulsion de
courant devient faible, la rétroaction du système logique peut ignorer cette impulsion. Au contraire, le
concepteur peut introduire artificiellement une durée d’impulsion minimale pour pallier ce problème.
Dans les deux cas, il serait intéressant de modéliser ce changement de comportement, qui se situe
dans un voisinage de l’origine, par une commutation du système hybride lorsque son état continu
pénètre cette zone morte.
Et le troisième ordre ? La BVP–IC d’ordre deux est très peu utilisée dans l’industrie à cause de la
gigue observée en sortie du système causée par les sauts de tensions provoqués par la résistance du
filtre. On utilise alors une seconde capacité pour filtrer ces sauts.
L’extension de cette analyse à l’ordre trois peut se faire en écrivant le modèle hybride discret d’ordre
trois qui n’existe pas sous forme analytique. Il devrait alors être possible de linéariser numériquement
le système près de l’origine et d’étudier la stabilité du modèle linéaire commuté ainsi défini.
Une autre technique consisterait à étudier numériquement les principaux cycles limites du système
avec la méthode exposée dans ce mémoire déjà éprouvée numériquement sur d’autres circuits notamment par Ueta.
Et si on adaptait le système à la méthode ? La solution technique proposée par la BVP–IC est le
fruit de l’intuition de son créateur et n’est pas issue d’une démarche de synthèse de commande : son
analyse s’en trouve être difficile. Il peut être intéressant de proposer un nouveau type de BVP à partir
d’une synthèse de commande hybride. Ceci donnerait de nouveaux résultats issus du rapprochement
entre le verrouillage de phase et la théorie des système hybrides.
Annexe A
Signaux Analytiques
de construire une grandeur complexe ayant pour
partie réelle le signal s(t) et dont la transformée
de Fourier soit la forme unilatérale de celle de la
partie réelle.
Le spectre U (f ) du signal analytique u(t) est
obtenu par suppression des fréquences négatives
de s(t) et multiplication par deux des amplitudes
de la partie positive du spectre21 . Cette opération
s’effectue par la multiplication du spectre de s(t)
par un échelon de Heaviside de gain deux : 2(f ).
Soit s(t) et š(t) la partie réelle et la partie imaginaire du signal analytique ; S(f ) et Š(f ) leurs
transformées de Fourier, on a la relation :
Par analogie avec le formalisme de la mécanique
quantique, Gabor puis Ville [Gab46][Vil48] décident de manipuler, comme signal ou fonction
d’analyse, uniquement des grandeurs complexes
(l’introduction de l’exponentielle complexe permettant de simplifier le problème et les opérations). Le signal analytique peut être vu comme
une extension aux signaux non–sinusoı̈daux de la
représentation complexe instantanée d’un signal sinusoı̈dal utilisée en électrotechnique.
A.1
Le concept de phaseur
U (f ) = S(f ) + i Š(f )
= 2(f ) S(f )
= (1 + sign(f )) S(f )
Une grandeur sinusoı̈dale, de fréquence ω0 et de
phase initiale α, de la forme u(t) = U sin (ω0 t + α)
peut être représentée par la grandeur complexe suivante :
On en déduit que le spectre de la partie imaginaire est égal à i sign(−f ) S(f ) ce qui donne, en
appliquant la transformation inverse, la transformée de Hilbert de s(t) :
u(t) = U ei (ω0 t+α) = U ei α ei ω0 t
où U = |u| dénote le module, (ω0 t + α) = arg(u)
est la phase instantanée de u et α sa phase initiale.La grandeur réelle u(t) correspond ainsi à la
partie réelle de la grandeur complexe : u(t) = <[u]
La transformée de Fourier u
b de la valeur complexe devient U ei α δ(f − f0 ), où δ est l’impulsion de Dirac et f0 = ω0/2π. La transformée de
Fourier de la grandeur complexe u(t) est donc
nulle aux fréquences négatives. La valeur U ei α ,
appelée phaseur , contient l’information d’amplitude et de phase initiale. Le phaseur est utilisé
pour représenter le signal et effectuer des calculs
simples tels que les additions et multiplications de
signaux sinusoı̈daux fréquents en électrotechnique.
A.2
1
1
š(t) =
? s(t) =
πt
π
Z∞
s(τ )
dτ = H[s(t)]
t−τ
−∞
Le signal analytique complexe u(t), ainsi mis en
avant, se déduit de s(t) par :
u(t) = s(t) + i H[s(t)] = as (t) ei ϕs (t)
où H[s(t)] désigne la transformée de Hilbert de
s(t) définie plus haut.
On calcule ensuite l’amplitude locale par as (t) =
|u(t)| et la phase instantanée par ϕs (t) = arg u(t).
La pulsation instantanée est définie par la dérivée
temporelle de l’argument du signal :
Extension aux signaux
quelconques
νi (t) =
Pour étendre la notion de valeur instantanée
complexe aux fonctions non–sinusoı̈dales, il suffit
∂ (arg u(t))
∂(ϕs (t))
=
∂t
∂t
21 la troncature des fréquences négatives n’altère pas le
contenu d’un signal réel, dont le spectre est symétrique.
99
100
Annexe A. Signaux Analytiques
Annexe B
Relation de similarité entre BVP–IC
B.2
Dans cette annexe nous définissons une relation
d’équivalence entre des BVP–IC de paramètres différents dans le but de déterminer et de regrouper sous la même classe les BVP–IC observant
des comportements identiques. Ceci permet de ne
considérer le comportement d’une BVP–IC qu’à
travers un jeu de paramètres et de variables d’état
réduits.
Tout d’abord nous définissons la relation de
similarité entre les BVP–IC du deuxième ordre.
Nous en déduisons ensuite la relation liant les paramètres de deux BVP–IC garantissant cette similitude. Finalement ces travaux sont étendus aux
BVP–IC du troisième ordre.
B.1
Condition de similarité
entre deux commutations
du courant de charge
Supposons d’abord qu’à l’instant tn , la relation
de similitude soit vérifiée :

0


 voct (tn , Γ) = β voct (α tn , Γ )

(B.2)
ϕb (tn , Γ) = ϕb (α tn , Γ0 )



 E (t , Γ) = E (α t , Γ0 )
n
n
La variable tn+1 représente l’instant où l’état du
DPF change. Entre l’instant tn et l’instant tn+1 ,
l’état E(t) est constant et égal à une valeur e ∈
{−1, 0, 1}. La similarité de l’état du DPF sera donc
vérifiée si les instants où le DPF change d’état sont
similaires.
Définition de la relation
de similarité
On considère deux BVP–IC dynamiquement
équivalentes si leurs variables d’état E(t), vc (t)
et ϕb (t), évoluent identiquement à un facteur
d’échelle près. Nous allons considérer une BVP–IC
dont le vecteur de paramètres est appelé Γ et une
deuxième de paramètres Γ0 . Leurs comportements
sont dit similaire s’il existe un couple de facteur
d’échelle (α, β) et des conditions initiales tels que
les équations suivantes soient vérifiées pour tout
t>0:

0


 voct (t, Γ) = β voct (α t, Γ )

(B.1)
ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 )



 E (t, Γ) = E (α t, Γ0 )
B.2.1
Similarité des états E et E 0
L’état du DPF change soit lors d’un front du
signal de référence – aux instants t = k T , – soit
lors d’un front du signal bouclé – aux instants où
ϕb (t) = l 2π avec l ∈ N. Si l’on veut garantir la
relation de similarité avec E 0 , il faut que la date
de ces instants soit divisée par α. On obtient donc
la relation entre T et T 0 suivante :
t = kT =
t0
T0
T0
=k
⇔
=T
α
α
α
(B.3)
Les dates des fronts des signaux bouclés des
deux circuits respectent la relation de similarité si
les phases de ces signaux ϕb et ϕb 0 sont similaires.
La similarité des états E et E 0 sera donc vérifiée
si l’équation (B.3) et la similarité entre les états
ϕb et ϕb 0 sont vérifiées simultanément. La similarité de ϕb et ϕb 0 s’établit facilement à partir de la
0
similarité de voct et voct
.
Nous voulons trouver quelles relations entre Γ et
Γ0 garantissent la similarité entre les deux BVP–
IC. Pour cela nous allons considérer les relations de
similarité vérifiées à un instant initial, puis dégager
les contraintes induites par chacune de ces trois
relations.
101
102
Annexe B. Relation de similarité entre BVP–IC
B.2.2
0
Similarité entre voct et voct
B.3
Si nous remplaçons voct (t, Γ ou Γ0 ) par son expression (2.5) dans la relation (B.1) nous obtenons
pour tout t ≥ tn :
(B.4)
voct (tn ) + ICc e(t − tn ) + Ic eR
0
= β voct 0 (α tn ) + ICc0 e α (t − tn ) + Ic 0 eR0
La similarité à l’instant tn permet de garantir
l’égalité voct (tn ) = β voct 0 (α tn ). La relation doit
être valide pour tout tn ≤ t ≤ tn+1 ; on peut donc
identifier les termes constants et les termes en t.
On obtient ainsi les relations (B.5) garantissant la
similitude des tensions voct et voct 0 :

 α β Ic 0 = Ic
C0
C
(B.5)
 β I 0 R0 = I R
c
c
On peut maintenant établir la dernière relation
de similarité : la similarité de ϕb et ϕb 0 .
B.2.3
Similarité des phases ϕb et ϕb 0
De même, remplaçons ϕb (t, Γ ou Γ0 ) par son expression (2.11) dans la relation (B.1) ; il vient pour
tout t ≥ tn :
ϕb (tn ) +
Rt
2π
N
ϕb 0 (α tn ) +
(Koct voct (τ ) + Fol ) dτ =
tn
2π
N0
α
Rt
(Koct 0 voct 0 (τ 0 ) + Fol 0 ) dτ 0
α tn
(B.6)
Si nous opérons au changement de variable
τ 0 = α τ dans la deuxième intégrale, nous pouvons
remplacer le terme voct 0 (α τ ) apparaissant, par le
terme voctβ(τ ) . L’égalité devient donc :
ϕb (tn ) +
2π
N
ϕb 0 (α tn ) +
Rt
(Koct voct (τ ) + Fol ) dτ =
tn
2π
N0
α
Rt Koct 0
tn
β
voct (τ ) + Fol 0 dτ
(B.7)
La similarité à l’instant tn garantit l’égalité
ϕb (tn ) = ϕb 0 (α tn ). La relation doit être valide
pour tout tn ≤ t ≤ tn+1 , on peut donc identifier les
termes constants et les termes en t sous l’intégrale.
On obtient ainsi les relations (B.8) garantissant la
similitude des phases ϕb et ϕb 0 :

 α Koct 0 = Koct
β N0
N
(B.8)
 α Fol 0 = Fol
N0
N
Preuve pour tout t par
raisonnement récurrent
Nous venons de montrer ci–dessus que, si les
conditions sur les paramètres (B.3), (B.5) et (B.8)
sont vérifiées et que la similarité est vérifiée à
l’instant tn , alors la similarité sera vérifiée jusqu’à
la prochaine commutation de courant à l’instant
tn+1 .
Par récurrence et par continuité lors des commutations, nous pouvons affirmer la similarité pour
tout t ≥ t0 à condition que la similarité soit vérifiée à l’instant initial t0 . La vérification de la similarité à l’instant initial permet de déterminer la
relation entre les conditions initiales.
Deux BVP–IC ont des comportements similaires
si leurs états initiaux respectent les relations suivantes :



E(t0 ) = E(α t0 )


(B.9)
voct (t0 ) = β voct 0 (α t0 )



 ϕ (t ) = ϕ 0 (α t )
b 0
b
0
et si leurs paramètres respectent les contraintes de
similitude :

Koct
α Koct 0



β N0 = N


0

 α Fol = Fol
N0
N
(B.10)
Ic 0


α β C 0 = ICc




 β I 0 R0 = I R
c
B.4
c
Extension aux BVP–IC
du troisième ordre
Pour étendre la relation de similarité au troisième ordre, il suffit de rajouter une variable d’état
et de reprendre le raisonnement précédant avec les
nouvelles équations d’état.
L’expression de la tension voct change et devient
la relation (2.2) faisant appel à la nouvelle variable
d’état vc . Cette nouvelle variable d’état rajoute
une contrainte dans la définition de la relation de
similarité qui devient :
voct (t, Γ) = β voct (α t, Γ0 )
vc (t, Γ) = β vc (α t, Γ0 )
ϕb (t, Γ) = ϕb (α t, Γ0 )
E (t, Γ) = E (α t, Γ0 )
(B.11a)
(B.11b)
(B.11c)
(B.11d)
Les conditions de similarité de ϕb et E ne
changent pas puisque leurs équations ne sont pas
B.4. Extension aux BVP–IC du troisième ordre
103
h
i
n
ic τ
τ
− t−t
c
τ
vc (tn ) + RC
(v
(t
)
−
v
(t
))
−
1
−
e
(t − tn )
+ C1i+C
oct
n
c
n
C1 +C2
1
2
h 0
i
0 0
t−tn
i0c
i
τ
0
= β vc0 (α tn ) + Rτ0 C 0 (voct
(α tn ) − vc0 (α tn )) − C 0c+C 0
1 − e−α τ 0
+ C 0 +C
0 α (t − tn )
1
1
2
1
t−tn
t−tn
vc (t) + (voct (tn ) − vc (tn )) e− τ + iCc 2τ 1 − e− τ
t−tn
t−tn
i0c τ 0
0
= β vc0 (α t) + (voct
(α tn ) − vc0 (α tn )) e−α τ 0 + C
1 − e−α τ 0
0
(B.12)
2
(B.13)
2
modifiées. Par contre la similarité de voct doit être
redéfinie et celle de vc rajoutée.
B.4.1
Similarité des tensions vc et
voct
En remplaçant le terme vc par l’expression (2.2)
dans la relation (B.11b) on obtient la relation
(B.12).
La similarité à l’instant tn permet d’obtenir les
0
égalités voct (tn ) = voct
(α tn ) et vc (tn ) = vc0 (α tn ).
La relation de singularité devant être vérifiée pour
tout t ≥ tn et quels que soient voct (tn ) et vc (tn ),
on peut identifier les termes en t, les termes devant l’exponentielle et les termes devant les conditions initiales. On obtient les contraintes supplémentaires suivantes :
 0
τ


=τ


α


 R0 C 0
1

α





αβ
= R C1
+
C20
=
(B.14)
Ic
C1 + C2
La similarité de voct est facilement déduite en
remplaçant le terme voct par l’expression (2.2) dans
la relation (B.11a). On obtient la relation (B.13).
En identifiant les termes on obtient des contraintes
redondantes avec celles déjà établies.
B.4.2
b
0
b
Relation de similarité des
BVP–IC du troisième ordre
Les contraintes (B.3) et (B.8) garantissant la similarité des variables d’état E et ϕb dans le cas
du deuxième ordre sont inchangées. Par contre les
deux contraintes (B.5) garantissant la similarité de
voct des BVP–IC du deuxième ordre doivent être
remplacées par les trois contraintes déduites précédemment.
0
et si les contraintes suivantes sont vérifiées :

Koct
α Koct 0



β N0 = N


0


 α FNol0 = FNol


τ0
(B.16)
α =τ


0
0

R
C

 α 1 = R C1




Ic0
Ic

α β C 0 +C
0 = C +C
1
2
1
Ic0
C10
Deux BVP–IC du troisième ordre ont donc des
comportement similaires si leurs conditions initiales sont similaires :



 E(t0 ) = E(α t0 )



 v (t ) = β v 0 (α t )
oct 0
oct
0
(B.15)
0


 vc (t0 ) = β vc (α t0 )



 ϕ (t ) = ϕ 0 (α t )
2
Remarque 31 La relation de similarité des
BVP–IC du troisième ordre comporte une
contrainte de plus que celle établie pour le
deuxième ordre. Le vecteur des paramètres réduits
de la BVP–IC du troisième ordre comporte donc
bien un paramètre de plus que celui du deuxième
ordre.
104
Annexe B. Relation de similarité entre BVP–IC
Annexe C
Calcul du modèle NL–DL
les figures C.1 à C.5), de l’instant tk +τk à l’instant
tk +τk +toct , soit égale à l’unité. Comme le montre
ces figures, il existe quatre configurations menant
à quatre expressions de toct et τk+1 .
Dans cette annexe sont reportés les calculs
concernant le modèle NL–DL établi par van
Paemel dans [vP94]. Les variables d’état utilisées
sont présentées dans le § 2.5 (page 37). Les calculs
portent sur l’expression de τk+1 en fonction de τk
et νk qui dépend de l’état du DPF aux instants tk
et tk+1 .
Dans cet article, van Paemel obtient quatre
expressions de τk+1 déterminées selon le signe de
τk et τk+1 . van Paemel détermine alors l’équation
à utiliser à partir d’un algorithme estimant le signe
de τk+1 et utilisant le signe connu de τk .
Nous allons d’une part déterminer les quatre expressions de τk+1 en variables réduites, et d’autre
part déterminer les domaines de définition de
chaque expression dans le plan de phase (τk , νk ).
C.1.1
Cas de deux charges consécutives : cas « + + »
τk+1
T = 1
τk
y
toct
νk+1
νk
−1
C.1
tk = k
Calcul de τk+1
Dans le cas de la fig. C.1, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les deux morceaux linéaires de y(t) la relation suivante :
(C.1)
tZ
k +1
Où toct est le temps qui s’écoule entre les deux
fronts descendant du signal bouclé. Le temps toct
est défini comme la période telle que la phase normalisée du signal bouclé x atteigne sa prochaine
valeur entière. On définit donc toct grâce à la relation (2.22) par l’expression :
toct : x(k + τk + toct ) = dx(k + τk )e
k+τZk +toct
= x(k + τk ) +
t
T
Fig. C.1 : Cas « + + » de deux charges consécutives
L’illustration de la fig. C.1 montre que la valeur
de τk+1 s’exprime de manière unique en fonction
de τk et toct par :
τk+1 = τk + toct − 1
tk+1 = k + 1
dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1 =
(1 + νk ) dτ
tk +τk
tk +1+τ
Z k+1
+
(C.3)
(1 + νk + a + b (τ − (tk + 1))) dτ
tk +1
Les primitives de ces deux intégrales étant élémentaires, on obtient la relation reliant τk+1 à νk
et τk suivante :
(C.2)
(y(τ ) + 1 + a e(τ )) dτ
2
a?+ τk+1
+ b?+ τk+1 + c++ = 0
k+τk
dxe = l’entier immédiatement supérieur à x
avec
La valeur de toct est donc telle que l’aire entre la
courbe y(t)+b e(t) et la courbe y ≡ −1 (en gris sur
105
a?+ = 2b
(C.4)
b?+ = 1 + a + νk
c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1
106
Annexe C. Calcul du modèle NL–DL
Il existe deux expressions de τk+1 nommées τ +
et τ − ; elles correspondent aux intersections de la
parabole présentée dans la fig. C.2 avec l’axe des
abscisses. Par définition du cas « + + », la valeur
de τk+1 doit être une solution positive de l’équation (C.4). En raisonnant sur les signes des coefficients de la parabole, on détermine l’unique solution positive et sa condition d’existence.
Nous savons que la parabole est positive à l’infini puisque 2 a?+ = b > 0. En considérant que la
tension aux bornes de la capacité doit rester positive, vc (t) > 0, on obtient en valeur normalisée
y(t) > −1 et donc νk + 1 > 0. La pente à l’origine
de la parabole, b?+ = 1 + νk + a, est donc positive
puisque a > 0.
La figure ci–dessous montre qu’il existe une solution positive unique si et seulement si c++ < 0.
C.1.2
Cas d’une charge suivie d’une
décharge : cas « + - »
Dans le cas de la fig. C.3, la relation (C.2)
devient une simple intégrale du signal constant
y(t) = νk + 1 :
dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1
tk +τ
Zk +toct
=
(1 + νk ) dτ = toct (1 + νk )
(C.7)
tk +τk
T = 1
y
τk
toct
τk+1
νk
a?+ τ 2 + b?+ τ + cj+
νk+1
a?+ > 0
−1
tk = k
On obtient immédiatement avec la relation (C.1)
l’expression unique de τk+1 :
τ+
τ
τ−
b?+ > 0
cj+ < 0
Fig. C.2 : Illustration des deux solutions
L’expression de τk+1 dans le cas « + + » est
donc :
τk+1 =
q
b2?+ − 4 a?+ c++
2 a?+
lorsque c++ < 0
(C.5)
La relation (C.6) permet de distinguer le
cas « + + » du cas « + - ». Lorsque c++ devient
positif, la valeur de τk+1 devient négative ; il s’agira
alors du cas « + - ». Dans ce nouveau cas, l’équation (C.3) n’est plus valide et doit être modifiée.
τk+1 = τk − 1 + toct = τk − 1 +
(C.6)
1
(C.8)
1 + νk
Cette définition n’est valable que pour τk+1 < 0.
1
La condition τk+1 = τk − 1 + 1+ν
< 0 est
k
bien la condition opposée à c++ < 0 qui sépare
le cas « + + » du cas « + - ».
C.1.3
Cas d’une décharge suivie
d’une charge : cas « - + »
Dans le cas de la fig. C.4, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les trois morceaux linéaires de y(t) :
dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1
Ztk
(1 + νk − a − b (τ − tk )) dτ
=
tk +τk
tZ
k +1
+
c++ = (1 − τk ) (νk + 1) − 1 < 0
t
T
Fig. C.3 : Cas « + - » d’une charge suivie d’une décharge
cj+ > 0
−b?+ +
tk+1 = k + 1
(1 + νk ) dτ
(C.9)
tk
tk +1+τ
Z k+1
+
(1 + νk + a + b (τ − (tk + 1))) dτ
tk +1
C.2. Domaines de définition
107
y
y
toct
toct
τk+1
τk
τk
τk+1
T = 1
T = 1
νk
νk+1
νk+1
νk
−1
tk+1 = k + 1
tk = k
−1
tk = k
t
T
tk+1 = k + 1
Fig. C.4 : Cas « - + » d’une décharge suivie d’une
charge
t
T
Fig. C.5 : Cas « - - » de deux décharges consécutives
ceaux linéaires de y(t) :
dx(k + τk )e − x(k + τk ) = 1
Les primitives de ces trois intégrales étant élémentaires, on obtient la relation reliant τk+1 à νk
et τk suivante :
2
a?+ τk+1
Ztk
=
(C.13)
tk +τ
Zk +toct
+ b?+ τk+1 + c−+ = 0
+
avec
(1 + νk ) dτ
tk
a?+ = 2b
b?+ = 1 + a + νk
c−+ = c++ + a τk +
(1 + νk − a − b (τ − tk )) dτ
tk +τk
(C.10)
b
2
τk2
= (1 − τk ) (νk + 1) + a τk +
b
2
τk2 − 1
Comme dans le cas « + + », il existe deux expressions de τk+1 qui correspondent aux intersections d’une parabole avec l’axe des abscisses. Par
définition du cas « - + », la valeur de τk+1 doit
être une solution positive de l’équation (C.10).
Il existe une solution positive unique si et seulement si c−+ < 0. L’expression de τk+1 dans le
cas « - + » est donc :
q
−b?+ + b2?+ − 4 a?+ c−+
τk+1 =
(C.11)
2 a?+
lorsque c−+ < 0
On distingue, grâce à la relation (C.12) ci–après,
le cas « - + » du cas « - - ». Lorsque c−+ devient
positif, la valeur de τk+1 devient négative ; il s’agira
alors du cas « - - ». Dans ce nouveau cas, l’équation (C.9) n’est plus valide et doit être modifiée.
On obtient immédiatement avec la relation (C.1)
l’expression unique de τk+1 :
τk+1 = τk − 1 +
1 − a τk − 2b τk2
1 + νk
(C.14)
Cette définition n’est valable que pour τk+1 < 0.
On remarque que la condition τk+1 < 0 est bien
la condition opposée à la condition c−+ < 0 qui
sépare le cas « - + » du cas « - - ».
C.2
Domaines de définition
Dans le plan de phase (νk , τk ) ces équations définissent une transformation du point T qui associe le point Xk+1 , de coordonnées (νk+1 , τk+1 ), au
point Xk de coordonnées (νk , τk ). Les quatre expressions, différentes selon le signe de τk et τk+1 ,
divisent le plan de phase en quatre régions – R++ ,
R+− , R−+ et R−− , – montrées dans la fig. C.6.
Dans cette notation, le premier indice indique le
signe de τk et le second indice celui de τk+1 . Ces
régions, correspondant aux domaines de définition
des quatre cas, sont donc définies par :
c−+ = (1 − τk ) (νk + 1)+a τk + 2b τk2 −1 < 0 (C.12)
C.1.4
Cas de deux décharges consécutives : cas « - - »
Dans le cas de la fig. C.5, la relation (C.2) devient en intégrant par parties sur les deux mor-
R++
R+−
R−+
R−−
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
≥ 0) & (τk+1
≥ 0) & (τk+1
≤ 0) & (τk+1
≤ 0) & (τk+1
≥ 0)}
≤ 0)}
(C.15)
≥ 0)}
≤ 0)}
108
Annexe C. Calcul du modèle NL–DL
νk
F?−
R+−
F+?
ν+? (τk )
R−−
τk
R++
F−?
R−+
F?+
ν−? (τk )
Fig. C.6 : Plan de phase (τk , νk )
Les conditions sur les signes de τk et τk+1 , séparant les différentes régions, définissent les quatre
frontières F+? , F−? , F?+ et F?− – où ? indique le
signe changeant en passant d’un côté à l’autre de
la frontière.
Les frontières F+? et F−? correspondent au
changement de signe de τk+1 . Cette condition de
changement de signe τk+1 = 0 doit être exprimée
par une condition sur τk et νk afin d’éviter de déterminer les régions par le biais d’un algorithme
comme dans [vP94].
La frontière F+? sépare le cas « + + » du
cas « + - ». La condition de changement de signe
de τk+1 séparant ces deux cas est donc directement
issue de l’équation (C.6).
De même, la frontière F−? sépare le cas « - + »
du cas « - - ». La condition de changement de signe
de τk+1 séparant ces deux cas est alors directement
issue de l’équation (C.12).
Ces frontières F+? et F−? sont donc définies par
les équations suivantes, l’une définie lorsque τk ≥ 0
séparant les cas « + ? », et l’autre définie lorsque
τk ≤ 0 séparant les cas « - ? » :
F+? : (1 − τk ) (νk + 1) − 1 = 0
τk
⇔νk = ν+? (τk ) =
1 + τk
lorsque τk ≥ 0
(C.16a)
F−? : (1 − τk ) (νk + 1) + a τk + 2b τk 2 − 1 = 0
τk
⇔νk = ν−? (τk ) =
1 − a − 2b τk
1 + τk
lorsque τk ≤ 0
(C.16b)
Les frontières F?+ et F?− correspondent au
changement de signe de τk et sont donc définie
par τk = 0. Lorsque τk = 0, les conditions sur le
changement de signe de τk+1 (C.16) deviennent la
condition νk = 0. Les frontières F?+ et F?− sont
donc définies par les équations suivantes ; l’une définie lorsque νk ≥ 0 séparant les cas « ? + », et
l’autre définie lorsque νk ≤ 0 séparant les deux
autres cas :
F?+ : τk = 0 lorsque νk ≥ 0
F?− : τk = 0 lorsque νk ≤ 0
(C.17a)
(C.17b)
Les domaines de définition des transformations
composites sont obtenus à partir de leurs frontières :
R++
R+−
R−+
R−−
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
: {(νk , τk ) | (τk
≥ 0) & (νk
≥ 0) & (νk
≤ 0) & (νk
≤ 0) & (νk
≤ ν+? (τk ))}
≥ ν+? (τk ))}
≤ ν−? (τk ))}
≥ ν−? (τk ))}
(C.18)
Annexe D
Calcul du modèle NL–D-1
Dans cette annexe nous déterminons le modèle
inverse du modèle NL–DL. Cet inverse est un outil
important qui permet d’analyser le modèle dans le
plan de phase.
Soit T la transformation non–linéaire, définie
dans le § 2.5 (page 37), transformant le point du
plan de phase Xk en son image Xk+1 ; on définit la
transformation inverse T −1 de T par la transformation telle que T −1 (Xk+1 ) = Xk . T −1 existe si
et seulement si il existe un point unique Xk tel que
T (Xk ) = Xk+1 . Le modèle est dit non–inversible
s’il existe plus d’une solution ou s’il n’en existe
pas. Dans le cas où plusieurs solutions existent le
modèle est dit multiplement inversible.
Pour inverser le modèle NL–DL, il faut inverser chaque transformation composite Tij définies
dans le § 2.5 (page 38). Il ne doit exister qu’un
seul antécédent à chaque transformation composite Tij dans son domaine de définition Rij . Les
propriétés de chaque transformée inverse composite permettent de déterminer que l’image des régions connexes Rij par les transformée Tij sont des
régions connexes que l’on nomme RIij . Ces régions
images RIij seront de fait les domaines de définition
des transformées composites inverses Tij−1 .
D.1
νk ij (νk+1 , τk+1 ) = νk+1 − b τk+1
avec i, j ∈ {+, −}
Les expressions de τk+1 dépendent de la transformée composite à inverser. Dans le cas des régions R++ et R+− , il existe une unique expression inverse de τk qui sont les expressions (D.2a)
et (D.2b) respectivement :
2
b τk+1
/2
+ a τk+1 − 1
1 − b τk+1 + νk+1
pour le cas « + + »
1
τk =1 + τk+1 −
1 − b τk+1 + νk+1
pour le cas « + - »
τk =1 + τk+1 +
(D.2a)
(D.2b)
Par contre dans le cas des régions R−− et R−+
il existe deux solutions éligibles. Cela impliquerait
que le modèle soit non–inversible et que les frontières F?− et F?+ sont des lignes critiques, mais il
n’en est rien.
Unicité du modèle inverse
Pour chacune des quatre transformations composites Tij , définies par (2.76), on peut trouver les
solutions νk ij (νk+1 , τk+1 ) et τk ij (νk+1 , τk+1 ) des
quatre systèmes d’équations définis par
ij
(D.1)
D.1.1
Exclusion d’une solution éligible
Les deux cas R−− et R−+ se traitent de la même
manière : pour cela nous remplaçons l’identificateur par « −j » ; la lettre j signifiant + pour le
cas « - + » et − pour le cas « - - ».
ij
Tij (νk , τk ) = (νk+1 , τk+1 )
connaissant (νk+1 , τk+1 ).
L’expression de νk est obtenue directement de
(2.74) ; elle est identique pour les quatre transformations composites :
Les
deux
expressions
éligibles
de
τk −j (νk+1 , τk+1 )j∈{+,−} sont les intersections
avec l’axe des abscisses d’une parabole d’équa109
Annexe D. Calcul du modèle NL–D-1
110
tion :
a−? τ 2 + b−? τ + c−j = 0
pour j ∈ {+, −}
(D.3)
avec
a−? =
a
2,
et c−+ . Les deux paraboles possèdent des asymptotes en +∞ car le coefficient a−? est positif. La
condition C3 implique que le signe de b−? est négatif – soit une dérivée négative de la parabole au
point d’abscisse nulle. La forme des deux paraboles
est donnée dans la fig. D.1.
b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1
a−? τ 2 + b−? τ + c−j
c−− = −b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1 ,
c−+ = c−− +
b τk+1 2
2
+ a τk+1
a−? > 0
Dans ce cas les deux solutions éligibles sont exprimées par :
√
−b−? ± b2−? −4a−? c−j
τk−j (νk+1 , τk+1 ) =
(D.4)
2a−?
c−j > 0
pour j ∈ {+, −}
En rajoutant des contraintes sur les valeurs possibles de τk , νk et τk+1 on peut alors rejeter une des
solutions éligibles. Les contraintes suivantes sont
issues des conditions d’appartenance aux domaines
de définition des transformations composites et du
domaine de validité du modèle NL–DL :
C1 par définition on applique les transformations
T−+ et T−− si Xk ∈ R−− ∪ R−+ , ce qui est
exprimé par la condition τk ≤ 0 – l’union
de ces deux régions correspond au demi–plan
gauche ; –
C2 par définition T−− (respectivement T−+ ) est
la transformation qui associe à un point de
R−− (respectivement R−+ ) un point dont la
coordonnée τk+1 est de signe négatif (respectivement positif), ce qui donne les conditions
τk+1 ≤ 0 pour T−− et τk+1 ≥ 0 pour T−+ ;
C3 le domaine de validité du modèle NL–DL implique que l’erreur de phase soit suffisamment
petite (−T < τk+1 < T ) et que la tension à
l’entrée de l’OCT soit positive à tout instants
– soit y > −1 en variables réduites.
Si l’on observe les représentations de l’évolution
de la tension normalisée y dans la figure fig. C.5
et fig. C.4, on en déduit que la condition C3 est
exprimée à l’instant tk par νk − a > −1. En
remplaçant νk par son expression (D.1) on obtient l’expression commune de la condition C3 :
a − 1 + b τk+1 − νk+1 > 0.
Les conditions C2 et C3 permettent de prouver
que les deux solutions éligibles sont de signes opposés. La condition C1 permet alors de rejeter la
solution de signe positif prouvant ainsi l’existence
d’une solution admissible unique.
Le signe des solutions éligibles est déterminé par
le signe des coefficients des paraboles a−? , b−? , c−−
τ−
τ+
τ
b−? < 0
c−j < 0
Fig. D.1 : Forme des paraboles donnant les solutions
éligibles de τk+1
Dans le cas où la constante c−j est positive :
soit il existe deux solutions réelles positives ; soit il
n’existe pas de solution réelle. Il n’y a donc pas de
solution admissible à l’inversion du modèle car les
solutions, lorsqu’elles existent, ne respectent pas la
condition C1 .
Dans le cas où cette constante est négative il
existe alors une solution réelle positive et une solution réelle négative. La seule solution admissible
est, dans ce cas, la solution de signe négatif selon
C1 .
D.1.2
Inversion du cas « - - »
I
ν?−
(τk+1 )
Soit
la relation implicite induite par
l’égalité c−− (νk+1 , τk+1 ) = 0 :
I
ν?−
(τk+1 ) =
1
+ b τk+1 − 1
1 + τk+1
(D.5)
On trouve que l’inégalité c−− (νk+1 , τk+1 ) ≤ 0 a
pour équivalent dans le plan de phase l’inégalité
I
νk+1 ≤ ν?−
(τk+1 ). L’unique inverse de T−− ayant
un τk négatif existe si et seulement si la condition
I
νk+1 ≤ ν?−
(τk+1 ) et la condition τk+1 < 0 sont
vérifiées. Dans le cas où l’une de ces deux conditions n’est pas vérifiée, il n’existe pas de solution
−1
négative et T−−
n’est pas définie.
D.2. Domaine de définition
111
L’équation donnant l’unique solution négative,
lorsqu’elle existe, à l’inversion de T−− est donc :
−b−? −
τk =
q
b2−? − 4a−? c−−
2a−?
(D.6)
avec
a
a−? = ,
b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1
2
c−− = − b τk+1 2 + τk+1 (b − νk+1 − 1) − νk+1
D.1.3
Théorème 14 Soit T une transformation de R2
dans R2 ; soit R un ensemble fermé de R2 ; si T
est un homéomorphisme alors la propriété suivante
est vérifiée :
Inversion du cas « - + »
I
De la même manière, soit ν+?
(τk+1 ) la relation
implicite induite par l’égalité c−+ (νk+1 , τk+1 ) = 0 :
I
ν+?
(τk+1 ) =
τk+1
1 + τk+1
b+
b τk+1
−1−a
2
(D.7)
on trouve que l’inégalité c−+ (νk+1 , τk+1 ) ≤ 0 a
pour équivalent dans le plan de phase l’inégalité
I
νk+1 ≤ ν+?
(τk+1 ). L’unique inverse de T−+ ayant
un τk négatif existe si et seulement si la condition
I
νk+1 ≤ ν+?
(τk+1 ) et la condition τk+1 < 0 sont
vérifiées. Dans le cas où l’une de ces deux conditions n’est pas vérifiée, il n’existe pas de solution
−1
négative et T−+
n’est pas définie.
L’équation donnant l’unique solution négative,
lorsqu’elle existe, à l’inversion de T−+ est donc :
q
−b−? − b2−? − 4a−? c−−
τk =
2a−?
avec
(D.8)
a
a−? = ,
b−? = b τk+1 − νk+1 + a − 1
2
b τk+1 2
c−+ =c−− +
+ a τk+1
2
D.2
deux continus. Cela permet d’établir une relation
d’équivalence entre les topologies du plan de phase
et de son image [Vir]. Pour déterminer l’image
d’une région nous allons utiliser la propriété topologique suivante :
Domaine de définition
Le domaine de définition de Tij−1 , noté RIij , est
par définition l’image par la transformée composite
Tij de son domaine de définition :
RIij = Tij (Rij ) pour tout i, j ∈ {+, −} (D.9)
Ces régions doivent être exprimées analytiquement, afin de définir complètement le modèle inverse. Remarquons que chacune des transformations composite est un homéomorphisme, c’est–à–
dire que la transformation et son inverse sont tous
Fr (T (R)) = T (Fr (R))
(D.10)
où Fr (X) est la frontière de X
On définit alors l’image d’une région Rij par la
région ayant pour frontière l’image de la frontière
I
de Rij . Nous notons donc Fij
l’image par Tij de
la frontière Fij .
Rappelons que les frontières F+? et F−? (voir
la figure fig. D.2) sont définies dans (C.16) par la
relation τk+1 (νk , τk ) = 0. Les images de ces deux
frontières sont alors exprimées par τk+1 = 0 et
νk+1 = νk (la valeur de νk+1 étant déduite de
l’équation (2.74)).
I
I
Les frontières images F+?
et F−?
sont donc définies par :
I
F+?
: τk+1 = 0 lorsque νk+1 > 0
(D.11a)
I
F−?
(D.11b)
: τk+1 = 0 lorsque νk+1 < 0
Ces frontières constituent l’axe des ordonnées
et coı̈ncident avec les frontières F?− et F?+ :
I
I
= F?+ .
= F?− et T (F−? ) = F−?
T (F+? ) = F+?
Les frontières F?− et F?+ sont définies
dans (C.17) par la relation τk = 0. Les images resI
I
sont obtenues en éliminant la
pectives F?−
et F?+
variable νk des relations respectives T−− (νk , 0) =
(νk+1 , τk+1 ) et T++ (νk , 0) = (νk+1 , τk+1 ). Ces
deux ensembles d’équations induisent une relation entre τk+1 et νk+1 définissant les deux frontières images. Ces deux relations correspondent
aux deux conditions d’existence d’un unique inverse du cas « - + » et du cas « - - ».
Les frontières sont donc définies par les deux re-
Annexe D. Calcul du modèle NL–D-1
112
ν
ν
F?−
T (.)
F+?
I
F+?
I
F?−
R+−
RI
+−
T (.)
R−−
Xq
RI
++
T (.)
R++
Xq
RI
−−
F−?
T (.)
R−+
I
F−?
F?+
τ
Domaines de définition de la transformée T
RI
−+
τ
Domaines de définition de la transformée inverse T −1
Fig. D.2 : Domaines et frontières des domaines de définition des transformées inverses
lations suivantes :
I
F?−
:
I
νk+1 =ν?−
(τk+1 ) lorsque τk+1 ≥ 0
avec
1
I
ν?−
(τk+1 ) =
+ b τk+1 − 1
1 + τk+1
(D.12a)
I
F?+
:
I
νk+1 =ν+?
(τk+1 ) lorsque τk+1 ≤ 0
avec
b τk+1
τk+1
I
b+
−1−a
ν+? (τk+1 ) =
1 + τk+1
2
(D.12b)
Les domaines de définition des transformées inverses composites sont définis à partir de leurs
frontières :
I
RI++ : {(ν, τ ) | ν ≥ ν+?
(τ ) et τ ≥ 0}
I
RI−− : {(ν, τ ) | ν ≤ ν?−
(τ ) et τ ≤ 0}
I
RI+− : {(ν, τ ) | ν ≥ ν?−
(τ ) et τ ≤ 0}
I
RI−+ : {(ν, τ ) | ν ≤ ν+?
(τ ) et τ ≥ 0}
(D.13)
I
F?+
Annexe E
Réalisation expérimentale de la
BVP–IC
Nous expliquons dans la suite le principe de fonctionnement des autres parties de la BVP–IC nécessitant quelques explications.
Cette annexe présente la réalisation d’une BVP–
IC à partir de composants du commerce. Pour tester la stabilité du circuit deux circuits de mesure
ont été créés. Leur utilisation est expliquée dans
le § 3.9 (page 92). Un de ces circuits détecte la
présence de la tension d’entrée de l’OCT dans une
certaine fenêtre – détecteur de stabilité – et l’autre
détecte l’apparition d’une séquence particulière du
DPF – détection de l’instabilité.
Il existe plusieurs circuits intégrés contenant les
blocs d’une BVP prêts à câbler. Par contre, les
constructeurs ne proposent pas de BVP par impulsion de charge : l’architecture la plus proche
est celle du HC4046 proposant un détecteur de
phase logique de type III. Mais celui–ci commande
le filtre par des impulsions de tension et non de
courant.
Nous avons donc été contraint de réaliser le détecteur de phase/fréquence et le générateur d’impulsions de courants à partir de composants discrets. Nous avons choisi le XR2206 comme oscillateur contrôlé en tension pour sa bonne linéarité et
la qualité de son rapport cyclique.
La fig. E.3 montre le schéma de câblage de la
platine expérimentale comportant les références
et valeurs des composants. On discerne dans ce
schéma, entouré en pointillé, les principales parties
de la BVP–IC : le détecteur de phase/fréquence ;
le générateur d’impulsions (appelé « pompe de
charge » sur le schéma) ; l’oscillateur contrôlé en
tension (VCO) ; le discriminateur de tension (détecteur de proximité) et le détecteur de séquences.
La réalisation de l’oscillateur contrôlé en tension
est entièrement assurée par le XR2206 : nous n’en
présentons donc pas le fonctionnement. Le discriminateur de tension est réalisé par un simple montage en comparateur de tension, la lecture sur le
schéma de la fig. E.3 suffit à sa compréhension.
E.1
Le détecteur de phase–
fréquence
Le détecteur de la fig. E.1 est réalisé à partir
de deux bascules D et d’une commande de mise à
zéro.
1
D Q’
vref
Q
vhaut
R
raz
1
vb
R
D Q
vbas
Q’
Fig. E.1 : Le détecteur de phase/fréquence de type III
L’arrivée d’un front sur une des bascules provoque le mise à 1 de la sortie qui lui correspond.
Si l’autre sortie est déjà active, les bascules sont
remises à zéro par le signal raz de la porte ET.
Les trois états +, − et 0 du DPF sont donc représentés par les combinaisons 10, 01 et 00 des sorties
vhaut et vbas . Cette réalisation simple du DPF a le
désavantage d’effectuer un aléa de course passant
par l’état 11 lors d’une remise à zéro. Cette brève
impulsion n’a pas d’effet significatif sur le reste du
circuit.
113
114
E.2
Annexe E. Réalisation expérimentale de la BVP–IC
Le générateur d’impulsions de charge
Le schéma de principe du générateur d’impulsions est présenté dans la fig. E.2. Il est composé
de deux sources de courant stabilisées et de quatre
commutateurs de type CMOS.
12V
Rz
Vz
Commutateurs CMOS
Ic
vhaut
−
Vm
+
voct (t)
vbas
ic (t)
R
Ic
C
Vz
Rz
-12V
choisi dans cette application une tension d’alimentation symétrique de ±12V compatible avec les
commutateurs CMOS, et un courant de charge
Ic = 1mA.
E.3
Le détecteur de séquence
Le fonction du détecteur de séquence est de détecter l’alternance répétée entre une impulsion de
courant positive et une impulsion négative. Si l’on
note ↑ vhaut et ↑ vbas les fronts actifs de vhaut
et vbas , cette alternance correspond à la séquence
d’événements {↑ vhaut ; ↑ vhaut ; ↑ vbas ; ↑ vbas }.
Pour détecter cette séquence particulière, on
construit la machine à état dont le graphe est
donné dans la fig. E.3. Sa réalisation est simplifiée
en utilisant un compteur binaire dont les deux sorties S0 et S1 codent l’état du graphe de la fig. E.3.
Ce compteur est réalisé par deux bascules D mises
en cascade possédant une entrée de remise à zéro
commune.
On remarque que le compteur doit être incrémenté par ↑ vhaut lorsque S1 = 0 ou par ↑ vbas
lorsque S1 = 1. Le compteur doit être remis à
zéro par ↑ vhaut lorsque S1 = 1 ou par ↑ vbas
lorsque S1 = 0. Il est alors facile de diriger les
fronts ↑ vhaut et ↑ vbas , soit vers l’entrée d’horloge, soit vers la remise à zéro du compteur, selon
l’état de S1 .
↑ vbas
Fig. E.2 : Le générateur d’impulsions
Les deux sources de courants stabilisées sont assurées par deux transistors et deux diodes Zener.
On fixe ainsi une tension Vz − VBE aux borne de la
résistance Rz , VBE étant la tension base–émetteur
des transistors. La valeur du courant stabilisé est
BE
donc Ic = Vz −V
.
Rz
Le courant de chacune de ces deux sources est
dirigé, par les commutateurs de type CMOS, vers
le noeud du filtre ou détourné vers le noeud de potentiel Vm . On fixe, via l’amplificateur opérationnel, le noeud Vm au même potentiel voct que celui
du filtre ; de cette manière on favorise la rapidité
des commutations de courant.
On obtient ainsi une impulsion de courant positive lorsque vhaut est actif et vbas inactif, et une impulsion négative dans le cas inverse. Lorsque vhaut
et vbas sont tout deux inactifs, aucun courant n’est
transmis vers le noeud du filtre.
Cette réalisation permet d’obtenir des commutations suffisamment rapides au dépend d’une
consommation en courant accrue. Nous avons
S1 S0
00
↑ vhaut
↑ vbas
↑ vbas
01
↑ vhaut
↑ vhaut
10
↑ vbas
11
Fig. E.3 : Le graphe d’état du détecteur de séquence
On génère la sortie du détecteur de séquence
avec une bascule mise à 1 lorsque S1 = 1 et S0 = 1
E.3. Le détecteur de séquence
(c’est à dire lorsqu’une séquence entière a été observée sans erreur) et remise à zéro par le même
signal de remise à zéro que le compteur (c’est à
dire lorsque il y a eu une erreur dans la séquence).
On obtient ainsi une sortie qui est 1 lorsque l’alternance de charge positive et négative est observée, et à zéro dès que cette alternance est rompue.
La mesure de cette sortie permet de tester l’instabilité du système.
115
116
Annexe E. Réalisation expérimentale de la BVP–IC
Fig. E.4 : schéma
Annexe F
Optimisation de la BVP–IC d’ordre
deux
117
118
Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux
USING AN EVENT-DRIVEN MODEL TO
OPTIMISE CHARGE PUMP PHASE LOCKED
LOOPS.
Pascal ACCO
LESIA – Laboratoire d’Étude des Systmes Informatiques et Automatiques,
INSA – Institut National des Sciences Appliques, DGEI,
135 avenue de Rangueil, 31000 Toulouse, France.
e-mail: [email protected]
WWW: http://www.lesia.insa-tlse.fr/
Abstract —
The design of CP-PLL is a difficult exercise because of the wide range of applications and the complexity of modelling. As shown in [1] a good behavioural model of the second order CP-PLL is the
event driven model proposed in [3]. The eventdriven model can run very fast simulations with a
good accuracy. In this paper we will define a criterion to measure the quality of a design. This criterion will be suitable for most applications. An optimisation of this criterion is possible and will help to
design the filter parameters.
1
Ip
vr
vδtv
U
vb
N
PFD
III
ip
vc
D
VCO
vv
R
Ip
C1
1
N
Introduction
In [1] the event-driven model for a CP-PLL is compared to the Spice transistor-level model. It appear
that the event-driven model gives almost the same
results than the Spice model. The differences are
due to non-linearities that are not modelled in the
system such as the VCO characteristic and the current source dynamics.
The cost of the high accuracy of the Spice-model
is the time taken to run one simulation. This time
can reach one day to simulate a 20 µs long response
(Sparc 5 - 200 MHz). Event-driven simulation on
the same computer is 140 millions times faster.
Moreover, the model equations are very easy to
determine compared to those found in the discrete
time non-linear model in [4]. This relative simplicity allows one to add some complex phenomena
such as overload and noise generation in the circuit.
To help the designer, a simulation can be done
for each set of parameter values. A criterion can
be applied to these simulations to determine the
quality of each design. The parameters that give
the best criterion value will be taken as a starting
point by the designer.
2
vδtr
Introduction of noise in the model
In this paper we will consider the same CP-PLL and
use the same notation as in [3]. We will introduce
Figure 1: CP-PLL model with input and output
noise
white Gaussian noise at the input and at the output
of the model as shown in 1. This noise will allow us
to develop a criterion to measure the noise rejection
of the CP-PLL.
The noise effects are represented in the model
by small variable delays on the expected input and
output falling edges. The input delay δtr and the
output delay δtv have a Gaussian distribution centred on zero with respective standard deviations σr
and σv .
The noise in the VCO input voltage vδtv can not
be directly represented in the model because it is
not constant between two events. So, we consider
that the time of the next falling edge of the VCO
output is delayed of δtv . The relation between vδtv
and δtv is not explicit as it is the solution of a variable bound integration of the noise vδtv .
Usually those standard deviations are smaller
than the input signal period T and their values are
around 200 ps. The probability of a noise value
greater than the period T is small but not zero.
So, to respect the principle of causality, noise samples whose absolute values are greater than T will
119
be erased from the sequence.
The dates of the events are disturbed by the introduction of these noise. When the noise sample is
large and negative the date of the next event can be
smaller than the date of the initial event. In these
cases the date of the next event will be chosen at
tmin seconds after the initial event.
To introduce noise in the event-driven model, the
equation which determines next event date (1) is
changed in (2):
tk+1 = min(tvk+1 , trk+1 )
(1)
tk+1 = max(min(tvk+1 + δtv , trk+1 + δtr ), tmin ) (2)
With equation (2) the PFD pulse width can not
be smaller than tmin . This time correspond to the
delay introduced by the gates and the buffers in the
reset feedback signal of the state machine described
in [5].
When the event is a VCO feedback signal falling
edge the VCO phase must be a multiple of 2π which
means the VCO falling edge. This is obtained by
replacing the term tk+1 by tvk+1 in the VCO phase
equation (3). When the input noise is introduced
the phase of the input signal can no longer be deduced from the time variable. A falling edge will
not appear when the time is a multiple of the period
T because this period is not constant but noisy. A
new variable ϕrk is added to represent the phase of
the input signal. Its equation (4) has to be added
to the event-driven model.
ϕrk+1 = ϕrk +
(tk+1 − tk )
2π
T
(4)
As for equation (4) when the event is an input signal
falling edge the term tk+1 is replaced by trk+1 in (4).
With these equations the output or input signal
falling edge event are recognised by testing respectively whether ϕvk or ϕrk is a multiple of 2π.
3
Optimisation criterion
The PLL design constraints chosen in this study
are the input noise rejection constraint, the VCO
noise rejection constraint and the fast locking time
constraint (which include the stability constraint).
A criterion which estimates all these constraints
and displays the relative strength of each constraint
will be defined. This criterion will be used to design a PLL for different kinds of applications. The
design of a frequency synthesiser makes the fast dynamics more important than the noise rejection,
whereas in the design of a clock recovery system
noise rejection is the most important constraint.
In [2] a linear combination of the locking time
and the residual noise at the N-divider output is
proposed to solve this problem. This criterion is
not used here because it can not measure directly
the noise at the VCO output.
An image of the VCO output frequency is the instantaneous VCO input voltage. The event-driven
model permits us to calculate very easily this voltage at any moment of the simulation. The criterion
proposed in this paper is described by (5).
Ak+1 = Ak +
Z
tk+1
|vgoal − vc (t)| dt
(5)
tk
with A0 = 0
Fr N
and vgoal =
Kv
This equation is the recurrence equation that calculates at each step the integration of the difference
between the steady-state voltage value vgoal and the
instantaneous voltage value of the VCO input vc (t).
The steady-state voltage value is the VCO input
voltage for which VCO frequency is equal to N Fr .
The expression for vc (t) is linear between events,
so a simple analytical expression of the primitive of
the integration exists and is very rapidly calculated.
The criterion function F chosen is the VCO input
voltage error mean value. After one simulation the
criterion value is obtained by dividing the last value
of the integration An by the length of the simulation
tn where n is the number of the last iteration.
A bad input and/or output noise rejection will
increase the criterion. The strength of input and
output noise constraints increases with the values
of the white Gaussian standard deviation σr and
σv .
A low dynamic or an unstable system will increase the criterion because of its long acquisition
time. The strength of this criterion is increased by
choosing an initial capacitor voltage value far from
its steady-state value.
The jump voltage across the resistor which appears directly on the VCO input also increases the
cost function F . This permits us to take into account the modulated noise generated at the VCO
output by these jump voltages. This is the main advantage compared to the criterion proposed in [2]
which can not “see” these modulations from the
N-divider output.
This criterion can assess the strength of each design constraint (noise rejection and dynamics) and
also measures the noise generated by the jump voltage across the resistor. This recursive criterion can
be calculated in the same time of the simulation
and does not significantly increase the simulation
time.
120
Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux
ϕvk+1 = ϕvk + 2π
·
¸
¢
αKv ¡ 2
tk+1 − t2k + [fv0 − Kv (αtk − vk − αIp R)] (tk+1 − tk )
2
The relative choice of σr and σv is easy because
those two variables are defined as the standard deviation of the noise that can be measured and is in
the range of 200 ps.
But the choice of the initial error voltage at the
VCO input is not immediate and need to be adjusted on some well known good design to get an
idea of its value.
4
Optimisation by parametric sweep
As the simulation and evaluation time cost are very
low, a sweep of all physically reachable values of
(R,C) could be done. For each point in the (R,C)
parametric plane a simulation and an evaluation
is done. The results are stored in a matrix which
could be plotted to see the evolution of the criterion
as a function of R and C. The optimal value is immediately found without complex algorithm. This
sweep also allows one to see the criterion degradation when the parameters are different from the
optimal values.
For example, in the case of clock recovery systems
the noise rejection is the most important constraint.
In this case the criterion is calculated with a strong
noise at the input and in the VCO. As the fast
dynamic is not important in these designs the initial
voltage error is zero.
A parametric sweep of all the resistor values from
0 to 100 KΩ and all the capacitor value from 50 pF
to 1000 pF is done for a simulation horizon of 20
µs. This kind of sweep represents 65025 simulations
computed in 40 seconds with a Sparc 5 processor
running at 200 MHz. The equivalent time with the
Spice model is around a few centuries.
To help the design it is interesting to evaluate
what can be the best design for a given capacitor
value. For each capacitor value, all the resistors
values are swept and the value that gives the best
criterion is stored.
fig. 3 displays the optimal resistor for each capacitor value. fig. 2 represents the criterion value for
each capacitor value and their corresponding optimal resistor. When the capacitor is smaller than a
few pF, the criterion value increases suddenly, this
is connected to the overload phenomenon. This
phenomenon occurs when the VCO input voltage
becomes greater than the power supply Vcc . The
modelling of overload phenomenon is not described
in this paper. For larger capacitors, the quality in-
(3)
crease up to the optimal value. With fig. 2, the
designer can directly choose the value of the capacitor and manage the compromise between a large
and expensive capacitor and a good design. In this
case a good compromise is a 300pF capacitor and
a 17.5KΩ resistor.
5
Conclusion
An optimisation method using the event-driven
model for the CP-PLL has been proposed. This
method gives the optimal design considering an
evaluation criterion of the noise rejection and the
fast dynamic of the circuit. The very low run time
execution of this model permits a designer to try
all possible values. With this method help is given
to improve the compromise between a small capacitor and a good design. This kind of model could
be applied to the third-order CP-PLL model. The
corresponding event-driven model needs to solve an
implicit equation at each step. An optimisation algorithm should be used instead of brute force in
this case.
References
[1] P. Acco, M. P. Kennedy, C. Mira, B. Morley,
and B. Frigyik. Behavioral modeling of charge
pump phase locked loops. In ISCASS’99, pages
375–378, Orlando, Florida, may 1999. IEEE
Publishers.
[2] R. S. Co and J. H. Mulligan. Optimization of
phase-locked loop performances in data recovery systems. IEEE Journal of Solid-State Circuits, 29:1022–1034, September 1994.
[3] C. D. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, and
G. Benbassat. High-level modeling apllied to
the second-order charge-pump pll circuit. Technical report, Texas Instrument Technical Journal, volume 14, number 2, March - April 1997.
[4] M. van Paemel. Analysis of a charge pump pll:
a new model. IEEE Transactions on Communications, 42(7):2490–2498, July 1994.
[5] I. A. Young, J. K. Greason, and K. L. Wong.
A pll clock generator with 5 to 110 mhz of
lock range for microprocessor. IEEE Journal
os Solid-State Circuits, 27(11), November 1992.
121
Criteria in Volts
0.10
System overloaded by Vcc
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Log(C)
0
−12.0
−11.6
−11.2
−10.8
−10.4
−10.0
−9.6
−9.2
−8.8
Figure 2: Criterion vs capacitor
Log(R)
6.3
5.9
System overloaded by Vcc
5.5
5.1
4.7
4.3
3.9
3.5
Log(C)
3.1
−12.0
−11.6
−11.2
−10.8
−10.4
−10.0
−9.6
−9.2
Figure 3: Optimal resistor vs capacitor
Parameters for this optimisation:
Input signal frequency Fr = 4 MHz
Divider value N = 50
VCO gain Kv = 100 MHz/V
Current pump value Ip = 10 µA
PFD minimal pulse width tmin = 1 ps
Power supply voltage Vcc = 3.3 V
−8.8
122
Annexe F. Optimisation de la BVP–IC d’ordre deux
Liste des symboles
Symboles Grecs
αdyn
Atténuation maximale désirée pour la pulsation ωdyn , page 63
αe
Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωe , page 65
αoct
Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωoct , page 65
δoct
Bruit à la sortie de l’OCT, page 65
δref
Bruit du signal de référence, page 64
δvm
Bruit sur la tension de l’entrée de l’OCT, page 65
Ξ
Ensemble des indices repérant les quatre transformations composites, page 38
ξ
Coefficient d’amortissement d’un système du deuxième ordre, page 30
ξij
Fonction indicatrice, page 80
ν
Erreur de tension normalisée du modèle discret non–linéaire, page 37
ν+?
Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret non–linéaire,
page 108
I
ν+?
Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret non–linéaire inverse,
page 111
0
ν+?
Tension normalisée séparant le cas « + + » du cas « + - » du système discret linéarisé, page 40
I
ν?−
Tension normalisée séparant le cas « + - »du cas « - - »du système discret non–linéaire inverse,
page 110
0
ν−?
Tension normalisée séparant le cas « - + » du cas « - - » du système discret linéarisé, page 40
ν−?
Tension normalisée séparant le cas « - + » du cas « - - » du système discret non–linéaire, page 108
ω0
Pulsation pour laquelle le gain du système en boucle ouverte est 1, page 62
ωdyn
La plus grande pulsation de la bande de fréquence utile, page 63
ωe
Pulsation du bruit de modulation coloré à rejeter , page 65
ωm
Pulsation de modulation d’un signal, page 64
ωn
Pulsation naturelle d’un système du deuxième ordre, page 30
ωoct
Pulsation du bruit de modulation coloré à rejeter , page 65
ωref
Pulsation du signal d’entrée, page 30
ωs
Pulsation du signal de sortie, page 63
φ
Fonction de transition discrète d’un système hybride, page 43
ϕ0
Phase du système linéaire lorsque le gain en boucle ouverte est unitaire, page 62
123
124
Liste des symboles
ϕb
Phase du signal rebouclé sur le DPF, page 24
ϕi
Trajectoire de l’état continu du système hybride lorsque l’état discret est i, page 70
ΦM
Marge de phase minimale, page 62
ϕoct
Phase du signal de sortie de l’OCT, page 23
ϕref
Phase du signal de référence à l’entrée de la BVP–IC, page 26
ϕX
Trajectoire de l’état continu, page 50
Πij
Plans de section du modèle hybride continu, page 70
σs
Écart type du bruit de modulation à la sortie, page 64
τ
Retard, en temps normalisé, du signal bouclé sur le signal de référence dans le modèle discret
non–linéaire, page 37
τ1
Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27
τn
Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27
θb
Angle du signal bouclé, page 29
θe
Angle de l’erreur de phase, page 29
θref
Angle de phase du signal de référence, page 29
θs
Angle du signal de sortie, page 29
Symboles Romans
Aij
Matrices dynamiques du modèle discret commuté, page 83
Anij
Sommet du polytope dont la fermeture convexe inclue Dij , page 90
BP
Bande passante relative au bruit, page 64
C
Capacité du condensateur du filtre linéaire du 1er ordre, page 22
C1
Capacité du condensateur du filtre linéaire du 2nd ordre, page 22
C2
Capacité du condensateur de lissage du filtre linéaire du 2nd ordre, page 22
Dab
Carré de l’espace des paramètres dans lequel varie les paramètres incertains, page 90
Df
Domaine de définition de la fonction de transition continue d’un système hybride, page 43
Dij
Domaine de l’espace des matrices dynamiques dans lequel se situe la matrice incertaine Aij ,
page 90
Dφ
Domaine de définition de la fonction de transition discrète d’un système hybride, page 43
E
État du DPF, page 21
e
État du DPF en temps normalisé du système normalisé centré sur (0, 0), page 27
Ek
État discret du modèle hybride autonome, page 50
e
État du DPF en temps normalisé, page 26
f
Frontière de commutation dans l’espace de phase, page 50
F+? , F−? , F?+ , F?− Frontière séparant les régions du système discret non–linéaire, page 108
I
I
I
I
F+?
, F−?
, F?+
, F?−
Frontière séparant les régions du système discret non–linéaire inverse, page 111
0
0
0
0
F+?
, F−?
, F?−
, F?−
Frontière séparant les régions linéarisées du système discret linéarisé, page 40
FBP
Frontière dans le plans des paramètres assurant une bande passante relative au bruit BP maximale,
page 64
125
Fdyn
Frontière dans le plans des paramètres assurant un gain suffisant à la pulsation ωdyn , page 63
Fe
Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante à la pulsation ωe ,
page 65
fi
vecteur différentiel de la variable d’état du système hybride continu, page 70
fimp
Fonction implicite permettant de déterminer la date du prochain front actif du signal bouclé dans
le modèle Évé.–3., page 52
FM P
Frontière dans le plans des paramètres assurant une marge de phase minimale ΦM , page 62
foct
Fréquence instantannée de l’OCT, page 23
Fol
Fréquence d’oscillation libre de l’OCT, page 23
fref
Fréquence du signal de référence, page 62
Foct
Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante à la pulsation ωoct ,
page 65
Fvm
Frontière dans le plans des paramètres assurant une atténuation suffisante du bruit de tension à
l’entrée de l’OCT, page 65
f
Fonction de transition continue d’un système hybride, page 43
G
Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire, page 35
G2
Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire du second ordre, page 36
G3
Fonction de transfert en boucle ouverte du modèle linéaire du troisième ordre, page 36
H2
Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire du second ordre, page 36
H3
Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire du troisième ordre, page 36
H
Fonction de transfert en boucle fermée du modèle linéaire, page 36
Hs
Fonction de transfert en boucle fermée de la sortie de l’OCTvers la sortie, page 65
H
Espace d’état hybride d’un système hybride, page 43
H
Ensemble définissant un système hybride, page 43
Ic
Intensité des générateurs de courants du DPF, page 21
ic
Courant à la sortie du DPF, page 20
ic
Courant moyen à la sortie du DPF, page 21
ip
Courant de charge constant pendant une impulsion utilisé dans le modèle linéaire discret, page 31
j
Le nombre imaginaire tel que j 2 = −1, page 62
Koct
Gain de l’OCT, page 23
M
Espace d’état des variables discrètes d’un système hybride, page 43
N
Valeur entière du diviseur de fréquence, page 23
Ndyn
Atténuation maximale désirée pour la pulsation ωdyn en décibels, page 62
Ne
Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωe en décibels, page 65
Noct
Atténuation minimale désirée pour la pulsation ωoct en décibels, page 65
p
Paramètre réduit de la BVP–ICdu troisième ordre, page 27
R
Ensemble des nombres réels, page 43
R
Impédance de la résistance du filtre linéaire, page 22
126
Liste des symboles
R
Rayon du cercle dans lequel les pôles du système discret doivent se situer afin de garantir une
stabilité robuste, page 68
Rij
Domaine de définition du cas « i j » du système discret non–linéaire, page 107
RIij
Domaine de définition du cas « i j » du système discret non–linéaire inverse, page 41
Rijk
Domaine d’existence d’une séquence ij → jk du système discret non–linéaire, page 86
R0ij
Domaine de définition, linéarisé autour de (0, 0), du cas « i j » du système discret linéarisé, page 40
Soct
Densité spectrale du bruit de modulation généré par l’OCT(en rad2 s), page 65
Sref
Densité spectrale du bruit de modulation en entrée (en rad2 s), page 64
Ss
Densité spectrale du bruit de modulation à la sortie (en rad2 s), page 64
Svm
Densité spectrale du bruit à l’entrée de l’OCT(en
Σ
Espace de définition des entrés discrètes d’un système hybride, page 43
t
b
V 2/s),
page 65
Date normalisée du prochain événement du signal bouclé, page 51
teb
Date normalisée du prochain événement du signal bouclé du système d’ordre trois, page 52
t
Temps normalisé à la période du signal de référence du système normalisé centré sur (0, 0), page 27
ti
T
Date de l’événement i, page 50
−1
Transformation inverse du système discret, page 40
T −1
Transformation inverse du système discret, page 109
Tij
Transformations composites du système discret, page 38
Tk
Transformations locales composant un cycle limite du système hybride continu, page 70
t
Temps normalisé à la période du signal de référence, page 26
toct
Période en temps normalisé du signal bouclé, page 105
tp
Durée approchée d’une impulsion de charge dans le modèle linéaire discret, page 31
t
r
Date normalisée du prochain événement du signal d’entré, page 51
vb
Tension du signal rebouclé sur leDPF, page 24
vbas
Tension de sortie du DPF commandant une décharge de courant, page 21
vc
Tension aux bornes de la capacité du filtre, page 22
vcharge Tension du signal de sortie du DPF, page 14
vhaut
Tension de sortie du DPF commandant une charge de courant, page 21
voct
Tension en entrée de l’oscillateur contrôlé en tension, page 22
voct
Tension moyenne à l’entrée de l’oscillateur contrôlé en tension, page 29
vref
Signal d’entrée ou de référence, page 14
vs
Tension à l’entrée de l’OCT en régime stabilisé, page 14
w
Phase normalisée du signal d’entré, page 51
wk
Phase normalisée du signal d’entré à l’instant tk , page 51
X
Vecteur d’état du système normalisé centré sur (0, 0), page 44
x
Erreur de phase normalisée à l’unité, page 26
xδt
Valeur de la phase normalisée à la fin d’une impulsion négative, page 49
127
X
Vecteur d’état du système normalisé, page 43
x
Phase normalisée du signal bouclé, page 26
Xq
Point fixe du modèle NL–DL, page 39
y
Erreur de tension normalisée aux bornes de la capacité C ou C1 , page 26
y
Tension normalisée aux bornes de la capacité C ou C1 , page 26
Z
Transformée en z, page 35
z
Erreur de tension normalisée aux bornes de la capacité C2 , page 28
Zf
Impédance linéaire du filtre, page 29
Zf 1
Impédance linéaire du filtre du premier ordre – RC –, page 36
Zf 2
Impédance linéaire du filtre du deuxième ordre – RC1 C2 –, page 36
z
Tension normalisée aux bornes de la capacité C2 , page 28
128
Liste des symboles
Liste des acronymes
APLL Boucle à Verrouillage de Phase Analogique. Le sigle est issu de l’appellation anglaise Analog
Phase Locked Loop
AQC Approximation Quasi–Continue
BVP Boucle à Verrouillage de Phase
BVP–IC Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsion de Charge
DP Détecteur de Phase
DPF Détecteur de Phase Fréquence
DPLL Boucle à Verrouillage de Phase entièrement Numérique. Le sigle est issu de l’appellation anglaise
Digital Phase Locked Loop
Évé. (modèle) Modèle Événementiel
Évé.–3 (modèle) Modèle Événementiel d’ordre trois
FLM Fonctions de Lyapunov multiples abrégées par MLF en Anglais
IML Inégalités Matricielles Linéaires abrégé par LMI en Anglais
Hyb–CN (modèle) Modèle Hybride Continu Normalisé
Hyb–CNC (modèle) Modèle Hybride Continu Normalisé Centré
Hyb–DL (modèle) Modèle hybride discret local en trajectoire
Hyb–DLé (modèle) Modèle hybride discret linéarisé
Hyb–Num. (modèle) Modèle hybride discret linéarisé
Hyb–Séq. (modèle) Modèle discrétisé le long d’une séquence
LC (modèle) Modèle Linéaire Continu
LD (modèle) Modèle Linéaire Discret
LDδ (modèle) Modèle Linéaire Discret à impulsion de Dirac
LD–Brut (modèle) Modèle Discret par impulsion approchée
LD–Éch. (modèle) Modèle Linéaire Discret par échantillonnage du courant moyen
NL–D-1 (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Local Inverse
NL–DG (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Global
NL–DL (modèle) Modèle Non–Linéaire Discret Local
NL–DLé (modèle) Modèle Discret Linéarisé
NSC Noyau Suprachiasmatique
OCN Oscillateur Contrôlé Numériquement
OCT Oscillateur Contrôlé en Tension
129
130
Liste des acronymes
Index
Événements discrets, 42
Lyapunov
fonction multiples, 77
méthode directe, 75
première méthode, 75
Modèle non-linéaire discret, 37
Normalisation
des paramètres, 24
des variables, 24
troisième ordre, 27
ACQ, 17
approximation quasi continue, 28
Oscillateur
shishi odoshi, 8
Oscillateur à relaxations, 8
modèle hybride, 9
phase instantanée, 10
Oscillateur contrôlé, 14
Oscillateur contrôlé en tension, 22
fréquence d’oscillation libre, 23
gain de l’OCT, 23
Boucle à verrouillage de phase, 13, 14
BVP
à Impulsion de Charge, 16
Cycle limite, 69
Détecteur de phase, 14
Détecteur de phase–fréquence, 14, 20
Diviseur de Fréquence, 14
Diviseur de fréquence
modélisation, 23
Paramètres réduits, 24
Phase, 6
Phase instantanée
d’un oscillateur à relaxations, 10
Phaseur, 99
Point de fonctionnement
définition, 25
unitaire, 25
Point fixe, 39
Polytope
fermeture convexe, 80
sommet, 80
polytope, 80
Filtre passe–bas, 14, 21
Fréquence, 6
Fréquence instantanée, 7
Matrice incertaine, 80
Modélisation hybride, 42
Modèle
hybride discret, 46
Modèle événementiel
du second ordre, 51
du troisième ordre, 52
Modèle hybride
normalisé, 43
normalisé centré, 44
trajectoires, 45
Modèle inverse
calculs, 109
définition, 40
Modèle linéaire
continu, 28
Modèle linéaire discret, 31
Modèle linéarisé discret, 39
Modèle local, 54
en trajectoire, 54
en séquence, 54
Récurrence de Poincaré, 46
Rythme biologique, 11
Séquence, 47
Saturation, 17
Signal
chirp, 8
analytique, 11
carré, 10
Simulation hybrides, 49
Sommet d’un polytope, 80
Stabilité
poly–quadratique, 81
quadratique, 81
S–poly–quadratique, 89
131
132
stabilité
quadratique, 77
Système hybride
oscillateur à relaxations, 9
Transformations composites, 38
Variables réduites, 24
Verrouillage de phase
historique, 13
la boucle, 14
principe, 11
Zone morte, 17, 20
Index
Index des auteurs
Acco , P. 14, 16, 71, 87, 92, 133
Ahrendt 60, 133
Alary , F. 16, 87, 133
Amato , F. 78, 133
Andersson , M. 47, 133
Antsaklis , P. J. 40, 72, 73, 133, 136, 137
Appleton , E. V. 11, 133
Aschoff , J. 9, 133
Balakrishnan , V. 79, 133
Barmish , B.R. 75, 79, 133
Benbassat , G. 15, 135
Bernstein , D. S. 78, 135
Bernussou , J. 78, 79, 134
Bertram , J. E. 75, 135
Biham , O. 67, 134
Biswas , G. 47, 136
Blanchard , A. 14, 59, 133
Borkar , V. S. 40, 133
Boyd , S. 79, 133
Branicky , M. S. 40, 133
Branicky , M.S. 40, 73, 75, 79, 134
Celier , F. E. 40, 134
Cellier , F. E. 47, 134
Chen , G. 46, 67, 137
Chie , C. M. 14, 136
Chilali , M. 79, 134
Chua , L. O. 67, 70, 136
Crusius , C. 78, 137
Cuzzola , F.A. 81, 86, 134
Daafouz , J. 79, 134
David , R. 40, 134
Davrazos , G. 40, 72, 73, 134
DeCarlo , R. 40, 73, 75, 81, 134, 136, 137
Delebecque , F. 79, 135, 136
Demailly , J.-P. 50, 134
Diakonos , F. K. 67, 134
Doğruel , M. 40, 75, 134
Egan , W. F. 59, 62, 63, 134
Egardt , B. 40, 136
Elmqvist , H. 47, 134, 136
Feely , O. 14, 16, 133, 137
Feron , E. 79, 133
Ferrari-Trecate , G. 81, 86, 134
Filippov , A. F. 40, 67, 134
Fournier-Prunaret , D. 14, 16, 87, 133
Frankle , J. T. 14, 135
Gabor , D. 97, 134
Gahinet , P. 79, 134
Gardner , F. M. 14, 15, 26, 29, 32, 71, 134, 135
Geromel , J. C. 78, 134
Ghaoui , L. 79, 135
Ghaoui , L. El 79, 136
Ghaoui , L.E. 79, 133
Greason , J. K. 14, 138
Gupta , S. C. 14, 135
Hachem , A. 15, 135
Haddad , W. M. 78, 135
Hahn , W. 75, 135
Halla , H. 40, 134
Hedayat , C. D. 15, 135
Henrici , P. 50, 135
Hiskens , I. A. 67, 135
Hopcropt , J. E. 40, 135
Hou , L. 75, 81, 138
Houpis , C. H. 60, 134
Iung , C. 79, 134
Johansson , M. 79, 81, 135
Johns , D. 33, 135
Jury , E. I. 60, 135
Kalman , R. E. 75, 135
Kawabe , T. 46, 67, 137
Kawakami , H. 46, 67, 68, 135
Kharlamov , V. M. 39, 109, 137
Klapper , J. 14, 135
Kohn , W. 40, 136
Kolumbàn , G. 13, 59, 135
Kousaka , T. 46, 67, 68, 135
Koussoulas , N. T. 40, 72, 73, 134
Kuznetsov , Y. A. 70, 71, 136
Lambert , J. D. 47, 136
Laub , A. J. 79, 134
Leduc , Y. 15, 135
Lemmon , M. D. 40, 136
Lennartson , B. 40, 73, 134, 136, 137
Li , W. 75, 137
Liberzon , D. 72, 73, 136
Lindsey , W. C. 14, 135, 136
Martin , K. 33, 135
Mattei , M. 78, 133
Mattsson , S. 47, 136
133
134
Michel , N. 75, 81, 138
Mignone , D. 81, 86, 134
Mira , C. 48, 50, 70, 91, 136
Mitter , S. K. 40, 133
Morari , M. 81, 86, 134
Morse , A. S. 72, 73, 136
Mosterman , P. J. 47, 136
Mosterman , P.J. 47, 136
Nemirowski , A. 79, 134
Nerode , A. 40, 136
Netsvetaev , N. Y. 39, 109, 137
Nikoukhah , R. 79, 135, 136
Nilsson , P. 14, 136
Olsson , T. 14, 136
Otter , M. 47, 134
Pai , M. A. 67, 135
Parker , T. S. 67, 70, 136
Peleties , P. 40, 75, 81, 136, 137
Pettersson , S. 40, 73, 134, 136, 137
Pironti , A. 78, 133
Poincaré , H. 44, 67, 137
Pontryagin , L. S. 67, 137
Ramadge , P. J. 40, 137, 138
Rantzer , A. 79, 81, 135
Reinberg , A. 9, 137
Riedinger , P. 79, 134
Rogers , A. 14, 137
Roubine , E. 4, 137
Schmelcher , P. 67, 134
Sharpe , C. A. 15, 137
Slotine , J.-J. E. 75, 137
Spăratu , A. 4, 137
Stephens , D. R. 13, 137
Stiver , J. A. 40, 136, 137
Taplin 60, 133
Tavernini , L. 40, 137
Teplinsky , A. 14, 137
Tittus , M. 40, 136
Trofino , A. N. 78, 137
Ueta , T. 46, 67, 68, 135, 137
Ullman , J. D. 40, 135
Ville , J. 97, 137
Viro , O. Y. 39, 109, 137
Viterbi , A. J. 14, 137
Weitzman , E. D. 9, 138
Witsenhausen , H. S. 40, 138
Wolaver , D. H. 62, 138
Wong , K. L. 14, 138
Wonham , W. M. 40, 137, 138
Ye , H. 75, 81, 138
Young , I. A. 14, 138
Yvanov , O. A. 39, 109, 137
Özguner , Ü. 40, 75, 134
Index des auteurs
d’ Azzo , J. J. 60, 134
de Bellescize , H. 11, 134
de Coulon , F. 4, 134
de Oliveira , M. C. 78, 134
van Paemel , M. 15, 35, 103, 106, 138
van der Pol , B. 11, 137
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