1 XMP 2013-2014 Petit DM N°10 E désigne un espace euclidien de

1
XMP 2013-2014 Petit DM N°10
E désigne un espace euclidien de dimension
2
n
, dont le produit scalaire est noté ( ǀ ) et la norme euclidienne
associée . Étant donnés p vecteurs 1
, ,
p
x x
de E, on définit leur matrice de Gram comme étant la matrice :
1
( , , ) ( ) ( )
p i j p
G x x x x  .
Le déterminant de cette matrice est dit "déterminant de Gram" des vecteurs 1
, ,
p
x x
, et sera noté 1
( , , )
p
g x x
.
Partie I
(Généralités)
1. On fixe p vecteurs 1
, ,
p
x x
de E.
a. Prouver que si la matrice de Gram 1
( , , )
p
G x x
est inversible, alors la famille 1
( , , )
p
x x
est libre.
b. Réciproquement, prouver que si la famille 1
( , , )
p
x x
est libre, alors la matrice 1
( , , )
p
G x x
est inversible (on
envisagera une combinaison linéaire nulle des colonnes de cette matrice).
c. Prouver que la matrice 1
( , , )
p
G x x
est une matrice symétrique positive.
2. Soit S une matrice symétrique de
( )
n
. On rappelle que, par définition, S est positive si et seulement si :
,1
( ), 0
t
n
X XSX .
a. Prouver que S est positive si et seulement si les valeurs propres de S sont toutes positives.
b. En déduire, si S est positive, l'existence d'une matrice A de
( )
n
telle que t
S AA
. A est-elle unique ?
c. Prouver, réciproquement, que toute matrice de la forme t
S AA
 est symétrique positive.
3. Soit S une matrice symétrique positive de
( )
n
.
En écrivant t
S AA
, prouver l'existence de n vecteurs de E dont S est la matrice de Gram.
Partie II
(Familles équiangulaires)
Une famille 1
( , , )
p
x x
de p vecteurs normés de E sera dite "équiangulaire" si :
]0,1[
tel que
, [[1, ]]
i j p
, ( )
i j
i j x x .
Elle sera dite "équiangulaire aiguë " si :
]0,1[
tel que
, [[1, ]]
i j p
, ( )
i j
i j x x
.
Le réel sera dit "rapport" de la famille équiangulaire (ou de la famille équiangulaire aiguë).
3. Donner, dans le plan euclidien, un exemple de famille équiangulaire comportant trois vecteurs.
4. Prouver que toute famille équiangulaire aiguë est libre. Est-ce le cas des familles équiangulaires ?
5. Soit
]0,1[
. On se propose de prouver de deux manières différentes l'existence d'une famille équiangulaire aiguë
1
( , , )
n
x x
de n vecteurs de E (on rappelle que n est la dimension de E) et de rapport .
a. Soit 1
( , , )
n
e e
une base orthonormée de E, et 1 2
n
S e e e
. Chercher les vecteurs
i
x
sous la forme :
i i
x ae bS
avec ,a b .
b. Prouver que la matrice symétrique
1
( )
( )
( )
1
n
A
 est positive, et conclure.

2
6. Prouver, pour une valeur de que l'on déterminera, l'existence d'une famille équiangulaire de
1
n
vecteurs de
rapport (on reprendra l'idée de la question 5.a.).
7. L'objet de cette question est de majorer le nombre de vecteurs pouvant constituer une famille équiangulaire.
Pour ce faire, on fixe une famille équiangulaire 1
( , , )
p
x x
de rapport .
a. Prouver que l'ensemble
( )
E
des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de
( )
E
,
donner sa dimension et prouver que les projecteurs orthogonaux sont des éléments de
( )
E
.
b. Prouver que l'on définit un produit scalaire sur
( )
E
en posant
tr( )
u v u v
.
c. Pour
[[1, ]]
k p
, on note
k
p
la projection orthogonale sur la droite engendrée par le vecteur
k
x
.
Calculer
i j
p p
(on pourra, pour
i j
, écrire les matrices de
i
p
et de
j
p
dans une base de la forme
3
( , , , , )
i j n
x x e e
où 3
( , , )
n
e e
forment une base orthonormée de
vect( , )
i j
x x
).
d. Donner un majorant de p en fonction de n.
Partie III
(Matrice de Hilbert)
On donne p réels strictement positifs 1
, ,
p
a a
, p réels positifs 1
, ,
p
b b
, et on envisage le déterminant suivant :
1 1 1
( , , , , , )
p p p
i j
C a a b b
a b
  (C comme… ?).
8. a. Donner la décomposition en éléments simples de
1 1
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
p
p
X a X a
F X X b X b
.
b. On note D le déterminant suivant :
1
1 1 1 1
2
2 1 2 1
1 1
1 1
( )
1 1
( )
1 1
( )
p
p
p
p p p
F a
a b a b
F a
a b a b
D
F a
a b a b
En calculant D de deux façons, prouver que : 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
( )
( ) ( , , , , , ) ( , , , , , )
( )
p
i p
i
p p p p p p p
p
p i
i
a b
F a C a a b b C a a b b
b b
    .
c. En déduire que 1 1
1 1
1 ,
( ) ( )
( , , , , , ) ( )
j i j i
i j n i j n
p p p i j
i j n
a a b b
C a a b b a b   .
9. On choisit ici i
a i
et
1
i
b i
. La matrice 1
1
p
Hi j
obtenue s'appelle la matrice de Hilbert d'ordre p.
a. Calculer le déterminant de
p
H
(on exprimera le résultat avec des factorielles).
b. En interprétant
p
H
comme la matrice de Gram de la base canonique de 1
[ ]
p
X
muni d'un bon produit sca-
laire, prouver que
p
H
est une matrice symétrique définie positive.