Cours sur les équations de Maxwell

Equations de Maxwell
Physique PC Électromagnétisme
Introduction
Vous avez rencontré au cours de la première année, PCSI, les champs électrique et magnétique ou plus
exactement, les champs électrostatique et magnétostatique. Les sources à l’origine de ces champs (charges
et courants) étaient indépendantes du temps, d’où le ...statique.
L’ensemble de ce travail s’inscrit dans un cadre conceptuel beaucoup plus général, celui développé par
Maxwell dans les années 1850-1870.
En effet, Maxwell produit une formidable synthèse de tous les travaux portant sur l’électricité et le
magnétisme en réduisant l’ensemble de ces phénomènes à une série de quatre équations : les fameuses
équations de Maxwell1.
Ré-écrites par Lorentz, elles forment, avec la force de Lorentz, le socle de l’électromagnétisme.
I. Bilan de charge. Equation locale de conservation de la charge
I.1 Distributions de charges. Distributions de courants
I.1.1 Distributions continues de charges électriques
I.1.2 Distributions continues de courants
I.2 Bilan de charge. Equation locale de la conservation de la charge
I.2.1 La charge est une grandeur conservative
I.2.2 Equation locale de la conservation de la charge
I.2.3 Cas de l’A.R.Q.S.
II. Les postulats de l’électromagnétisme
II.1 La force de Lorentz, force volumique et puissance volumique
II.2 Les équations de Maxwell
II.2.1 Equation du flux magnétique
div−→ B= 0
1C’est la lecture moderne du travail de Maxwell, par Lorentz entre autres, qui permet de présenter ce travail ainsi, car
en réalité, Maxwell ne formule pas cette synthèse sous la forme que nous allons étudier.
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II.2.2 Equation de Maxwell-Faraday
−→
rot−→ E=−∂−→
B
∂t
II.2.3 Equation de Maxwell-Gauss
div−→ E=ρ
ε0
II.2.4 Equation de Maxwell -Ampère
−→
rot−→ B=µ0 −→
j+ε0
∂−→ E
∂t !
Remarques : On distingue deux groupes d’équations.
1. Celles qui dépendent des charges ou des courants :
div−→ E=ρ
ε0
et −→ rot−→ B=µ0 −→
j+ε0
∂−→ E
∂t !
Elles relient les sources (les causes) aux champs (les effets).
2. Celles qui n’en dépendent pas :
div−→ B= 0 et −→ rot−→ E=−∂−→
B
∂t
Elles définissent la géométrie du champ électromagnétique.
3. On remarque qu’il y a un couplage entre −→ Eet −→ B. Les deux champs apparaissent ensemble dans
deux équations. On peut alors parler d’un unique champ appelé champ électromagnétique et noté
−→
E , −→ B.
Ce n’est pas le cas en régime stationnaire où les deux champs sont découplés, soit quand ∂
∂t = 0.
Deux équations doivent être simplifiées ce qui donne :
−→
rot−→ B=µ0
−→
jet −→ rot−→ E=−→ 0
4. Apparaît, dans l’équation de Maxwell-Ampère, la grandeur µ0.ε0. Maxwell l’évalue à partir de toutes
les mesures connues à son époque de ces deux grandeurs (ε0= 8,85.10−12 F/m et µ0= 4π.10−7
H/m), et montre qu’elle est liée à la vitesse de la lumière dans le vide par la relation :
µ0.ε0=1
c2
5. Du point de vue pratique, les sources dans les équations de Maxwell sont écrites à droite. En effet,
−→
j,ρou encore ε0
∂−→ E
∂t et −∂−→
B
∂t apparaissent aussi comme des sources de champ électrique ou
magnétique. Le courant de déplacement est une source de champ électrique au même titre que le
courant de conduction.
J.-F. Reix page 2 / 8 PC

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II.2.5 Quelle relation existe-t-il entre la conservation de la charge et les équations de
Maxwell ?
III. Contenu physique des équations de Maxwell en régime per-
manent
III.1 Equation de Maxwell-Gauss : div−→ E=ρ
ε0
III.1.1 Théorème de Gauss
1. Énoncé de la forme locale.
2. Énoncé de la forme intégrale.
3. Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel.
III.2 Equation de Maxwell-Faraday : −→ rot−→ E=−∂−→
B
∂t
Dans la suite nous reprenons que le régime statique, soit l’équation −→
rot−→ E=−→ 0
III.2.1 Le champ électrostatique est à circulation conservative.
1. Forme locale
2. Forme intégrale
Conséquence :
La circulation du champ →
Eentre deux points est indépendante du chemin suivi :
Z
C1,1→2
→
E.
→
dl =Z
C2,1→2
→
E.
→
dl
III.2.2 Le potentiel scalaire électrostatique V
1. Introduction de V: On définit ainsi le potentiel électrostatique
−→
E=−−−→ gradV
2. Expression de la circulation de →
Een fonction de V.
2
R
1
→
E.
→
dl =V1−V2
3. Indétermination de V, le potentiel est défini à une constante près.
III.2.3 Equation de Poisson
1. Enoncé :
∆V+ρ
ε0
= 0
2. Solution de l’équation de Poisson
V(M) = 1
4πε0Z
C,S,V
dq
ravec dq =λdl =σdS =ρdV
Remarque : On retrouve l’expression de la loi de Coulomb du champ électrostatique simplement en
prenant le gradient de l’expression de V(M)
J.-F. Reix page 3 / 8 PC
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III.2.4 Equation de Laplace : ∆V= 0
III.3 Equation du flux magnétique : div ~ B= 0
III.3.1 Le champ magnétique est à flux conservatif.
1. Forme locale
2. Forme intégrale
III.4 Equation de Maxwell-Ampère : −→ rot−→ B=µ0(−→ j+ε0
∂−→ E
∂t )
Reprenons cette équation dans le cas d’un régime purement permanent soit : −→
rot−→ B=µ0
−→
j.
III.4.1 Le théorème d’Ampère.
1. Forme locale : −→
rot−→ B=µ0
−→
j
2. Forme intégrale :
IC
−→
B−→ dl =µ0.Iint
Remarque : L’application du théorème d’Ampère est fondamentale.
1. Définir les symétries et les invariances des distributions de courants,
2. En déduire les conséquences sur la direction du champ magnétique et les variables dont il dépend,
3. Choisir un contour en cohérence avec les résultats précédents et l’orienter (le contour en rapport
avec la surface).
4. Appliquer le théorème et exprimer le champ magnétique sous forme vectorielle.
5. Enfin savoir comment est introduit le théorème d’Ampère à partir de l’équation de Maxwell - Ampère.
III.4.2 Le potentiel vecteur magnétique : −→ A.
1. Introduction de −→ A.
2. Expression du flux en fonction de −→ A
3. On montre que l’expression du potentiel-vecteur s’écrit dans le cas général en régime permanent :
−−−→
A(M) = µ0
4πZZZV
−−→
j(P)dV
P M
Ce résultat n’est pas à connaître, il doit être fournit dans un énoncé.
4. Symétrie de −→ Aqui est vecteur vrai. Exemple.
IV. Conditions de passages du champ électromagnétique
Ces résultats sont toujours valables, en régime variable comme en régime permanent, ils sont simple-
ment donnés en leur attribuant l’équation de Maxwell d’origine.
J.-F. Reix page 4 / 8 PC

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IV.1 Continuité de la composante tangentielle de −→ E
IV.2 Discontinuité de la composante normale de −→ E
IV.3 Discontinuité de la composante tangentielle de −→ B
IV.4 Continuité de la composante normale de −→ B
Exemples
V. L’énergie électromagnétique
V.1 Bilan d’énergie électromagnétique global
dEem =δEe
em +δEd em
−dEem
dt =IS
−→
R .−→ dS +Pc´ed´ee
V.2 Expression des différents termes du bilan
−d
dt ZZZVε0E2 2+B2 2µ0dV=IS
−→
E∧−→ B
µ0
.−→ dS +ZZZV
−→
j−→ E dV
•Energie contenue dans le champ :
Eem =ZZZVε0E2
2+B2 2µ0dV
On peut définir une énergie électromagnétique volumique ou densité volumique d’énergie, notée eem
telle que dEem
dV=eem
eem =ε0E2
2+B2 2µ0
Remarque : On remarque qu’il y a deux contributions dans l’expression de l’énergie électromagnétique,
une liée au champ électrique dont la densité correspondante est
ee=ε0E2
2,
l’autre liée au champ magnétique dont la densité correspondante est
em=B2
2µ0
.
•Énergie transportée par le champ, vecteur de Poynting :
Prayonn´ee =IS
−→
E∧−→ B
µ0
.−→ dS
La puissance rayonnée est égale au flux d’un vecteur appelé le vecteur de Poynting et noté, parmi
d’autres notations : −→ R
−→
R=
−→
E∧−→ B
µ0
Ce vecteur est homogène à une énergie par unité de surface (W.m−2) ou énergie surfacique. C’est
aussi la densité de flux de l’énergie électromagnétique.
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•Énergie cédée à la matière :
Nous avons déjà établit ce résultat.
Pc´ed´ee =ZZZV
−→
j−→ E dV
V.3 Bilan local d’énergie électromagnétique : équation locale de Poynting
Localement, en utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on montre que :
−∂
∂t ε0E2 2+B2 2µ0=div
−→
E∧−→ B
µ0
+−→ j−→ E
V.4 En absence de charges (dans le vide) : Théorème de Poynting
Dans une région vide de charges, le bilan se réduit à la formulation globale suivante, qui constitue le
théorème de Poynting.
−dEem
dt =Prayonn´ee soit −dEem dt =IS
−→
E∧−→ B
µ0
.−→ dS
Exemples
VI. Les équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S.
Le développement des équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. est à la base de l’ensemble de l’électro-
cinétique, c’est dire son importance ! Par conséquent, il faut connaître la définition de l’A.R.Q.S. et les
équations de Maxwell dans ce cadre d’étude.
VI.1 Définition de l’A.R.Q.S.
P M
cT ≪1au premier ordre.
Exemples
VI.2 Equations de Maxwell dans l’A.R.Q.S.
Comment s’écrivent les équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. ?
On reprend les équations de Maxwell, Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère, et l’équation de conservation
de la charge pour évaluer les équations utiles dans le cadre de l’A.R.Q.S.
Seule change l’équation de Maxwell-Ampère : −→ rot−→ B=µ0 −→
j+ε0
∂−→ E
∂t !. Il faut distinguer deux cas :
•Dans un milieu - l’exemple suivant est dans un conducteur -, après avoir vérifié que j≫ε0
∂E
∂t en
régime sinusoïdal, l’équation s’écrit : −→
rot−→ B=µ0
−→
j
•Dans le vide :
−→
rot−→ B=µ0ε0
∂−→ E
∂t
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VI.3 Les milieux conducteurs dans l’A.R.Q.S.
La résolution des équations de Maxwell nécessite une relation supplémentaire reliant les sources aux
champs.
VI.3.1 La loi d’Ohm
Dans le cadre de l’ARQS, la loi d’ohm s’écrit :−→ j=γ−→ E.
VI.3.2 Neutralité des conducteurs
Un conducteur est localement neutre à tout instant.
VI.4 Première application : Courants de Foucault dans un conducteur cylin-
drique, effet d’induction
VI.4.1 Courant volumique induit
VI.4.2 Conséquence du couplage entre −→ Eet −→ B
VI.4.3 Puissance moyenne dissipée par effet Joule
Exemple : Quelle est l’utilité du feuilletage des carcasses métalliques soumises à des champs magné-
tiques variables dans le temps.
VI.5 Deuxième application : effet de peau ou effet Kelvin
VI.5.1 Equation différentielle satisfaite par −→ E , −→ Bou −→ j.
On montre que quelque soit le champ de vecteur2, on obtient :
−→
∆−µ0γ∂
∂t (−→
E , −→ Bou −→ j) = −→ 0.
VI.5.2 Expression de −→ E,−→ Bou −→ j
On peut ainsi, à la suite de l’interprétation du résultat, définir l’épaisseur de peau :
δ=r2
ωµ0γ
On obtient, tous calculs faits : −−−→ j(z, t) = J0exp −z
δcos ωt −z δ−→
exOn notera Jm(z) = J0.exp −z
δ,
l’amplitude de −→ j(z, t).
Commentaire :
1. L’amplitude de la densité de courant décroît exponentiellement (cf. fig. ??). Elle a diminuée de 63
% quand on se situe à la profondeur z=δ.
2. δest une fonction de ω. Plus ωaugmente, plus δest faible.
3. Le courant reste donc confiné près de la surface si l’épaisseur du conducteur est grande devant δ.
2Il faut utiliser la formule sur les opérateurs vectoriels suivante : −→
rot(−→ rot
−→
A) =
−−→
grad(div
−→
A)−
−→
∆
−→
A .
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VI.5.3 Ordre de grandeur
•δ= 9,3mm pour une fréquence de 50 Hz. Pour un fil de 1 mm de diamètre, on peut considérer que
la densité de courant est uniforme sur une section.
•En revanche, à 1 MHz, l’épaisseur de peau δ= 66µm. Le courant ne circule plus que sur la périphérie.
Le surface utile dans une section diminue beaucoup or la résistance d’un conducteur linéaire R=l
γS
augmente beaucoup. Le signal électromagnétique ne peut plus être transmit de cette façon, il faut
abandonner la ligne bifilaire au profit du cable coaxial.
VI.5.4 Puissance moyenne dissipée par effet Joule
On calcule la puissance moyenne volumique, puis sur l’ensemble du conducteur. On cherche l’épaisseur
équivalente d’un échantillon qui dissiperait la même puissance.
VI.5.5 Le modèle du conducteur parfait
Dans le modèle du conducteur parfait, −−→ Eint =−→ 0,−→ j=−→ 0et −−→ Bint =−→ 0.
VI.6 Troisième application : Condensateur dans l’A.R.Q.S.
Position du problème : Conservation de la charge ;
VI.6.1 Calcul du champ magnétique
Conclusion : Le terme de déplacement µ0ε0
∂
→
E
∂t joue le même rôle , entre les armatures, que µ0
→
j, dans
le fil
VI.6.2 Champ électrique induit
Conclusion
VI.6.3 Bilan énergétique : Application du théorème de Poynting
VI.7 Conclusion sur l’A.R.Q.S.
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