AlgJbre. Exercices classiques Nombres complexes 1) a) On note

Algèbre. Exercices classiques
Nombres complexes
1) a) On note l’ensemble des points du plan R2’a¢ xe ztels que (1 + z+z2+z3)est réel.
Montrer que est la réunion d’une droite et d’une courbe dont on précisera la nature.
b) Montrer que les points d’a¢ xes 1,zet z4sont alignés ssi le point d’a¢ xe zappartient à .
2) a) De quel polynôme de degré 2 les nombres complexes ei=3et ei=3sont-ils les racines ?
b) Montrer avec ca
baque les points d’a¢ xes a; b; c forment un triangle équilatéral ssi a2+b2+c2=a+b+c:
3) Montrer que f:z7! zi
z+iest une bijection de Rsur U.
Polynômes
4) Factoriser dans C[X]les polynômes 1 + X+::: +Xn1et (X+ 1)n(X1)n:
5) a) Montrer que si aracine de Pd’ordre m1, alors aracine de P0d’ordre (m1):
b) Montrer que si Pest scindé à racines simples (resp. scindé) dans R[X], alors P0l’est aussi.
c) Déterminer les polynômes P2C[X]tels que P0divise P.
6) Soit P2R[X]un polynôme réel à valeurs positives.
Montrer que P(X)s’écrit Qr
i=1(Xi)2Qr j=1(X2+ajX+bj), avec  > 0et a2
j<4bj:
7) a) Déterminer les polynômes réels non nuls Pvéri…ant P(X)P(X1) = P(X2):
Indication : Noter d’abord que si zest racine de P, alors z2est racine. En déduire que jzj= 0 ou 1:Noter ensuite
que si zest racine, (z+ 1)2aussi. En déduire que z2 fei2=3; e2i=3g, puis en conclure P= (X2+X+ 1)m, avec
m2N:
b) Montrer que P(X)2=P(X2)ssi P(X) = Xd(monôme):Indication : Ecrire P(X) = Xd+:::
8) Soient 1; :::; ndes réels distincts. On note Liles polynômes de Lagrange associés à (1; :::; n):
Que valent les Pk(X) = Pn
i=1 k
iLi(X)pour k2 f0;1; :::; n 1g? Montrer que Pn(X) = Xn(X1):::(Xn):
9) Soient d2Net (Pn)n2Nune suite de polynômes de degré dvéri…ant 8t2[0;1],limn!+1Pn(t) = 0:
Montrer que limn!+1supt2[0;1] jPn(t)j= 0:
Indication : Utiliser les polynômes de Lagrange (en considérant x0; :::; xd2[0;1]).
Rang et matrices équivalentes
10) Soient Aet B2 Mn(K). Montrer que rg(AB)min(rg A; rg B). Montrer que si AB =In, alors A2GLn(K).
11) a) Montrer que rg(u2) = rg(u)dim(Ker u\Im u):
b) Soient uet v2 L(E). Montrer que rg(uv) = rg vdim(Im v\Ker u)et jrg urg vj  rg(u+v)rg u+ rg v:
12) Montrer que la matrice nulle est la seule matrice A2 Mn(K)telle que 8M2GLn(K),tr(AM) = 0:
Solution : On écrit A=P JrQ. Alors on veut 8M2GLn(K),tr(P JrQM) = 0, c equi équivaut à tr(JrQMP ) = 0,
ce qui équivaut à 8N2GLn(K),tr(JrN) = 0, car N=QMP décrit GLn(K)lorsque Mdécrit GLn(K):
En prenant N=In, on obtient tr(JrN) = r, donc r= 0 et Aest nécessairement la matrice nulle.
13) Soit u:Rn[X]!Rn[X]telle que 8k2 f0;1; :::; ng,u(Xk) = (k+ 1)Xk+Qk, avec deg Qk< k.
Montrer que uest inversible et diagonalisable.
14) Soit A2 Mn(K). Déterminer le rang de u:Mn(K)! Mn(K)M7! AM: Commencer par le cas A=Jr:
Dimension en algèbre linéaire

15) Soit A2 Mn(K)de rang r.
Déterminer dimfB2 Mn(K)jAB =Og,dimfB2 Mn(K)jBA =Oget dimfB2 Mn(K)jABA =Og:
16) Soient aet bdes réels distincts, et f: [a; b]!Rde classe C4:
a) Montrer qu’il existe un unique P2R3[X]tels que P(a) = f(a),P(b) = f(b),P0(a) = f0(a)et P0(b) = f0(b):
Solution : Il s’agit ici de l’interpolation d’Hermite (variante de l’interpolation de Lagrange).
L’idée consiste en fait à prouver que u:R3[X]!R4P7! (P(a); P (b); P 0(a); P 0(b)) est bijective.
Or, uest linéaire et injective, onc bijective par dimension, car dim R3[X] = dim R4.
Montrons que uest injective : Si u(P) = 0, alors aet bsont racines de Pd’ordre 2, donc P= 0 (car deg P3).
Formes linéaires
17) a) Montrer que les formes linéaires sur Mn(K)sont les M7! tr(AM).
b) Montrer que (A; B)7! tr(ATB)est un produit scalaire sur Mn(R). Retrouver a).
18) a) On note Eij les matrices canoniques de Mn(K). Calculer EiiEij,EjiEii,EijEji et EjiEij pour i6=j
b) Montrer que les formes linéaires sur Mn(K)telles que '(AB) = '(BA)sont les tr :
19) Soient a1; :::; apdes réels distincts.
a) Montrer que les formes linéaires 'i:P7! P(ai)sont indépendantes sur Rn1[X].
b) On prend n=p. Montrer qu’il existe (1; :::; n)tel que 8P2Rn1[X],R+1
1 P(t)et2dt =Pn
i=1 iP(ai):
Réduction des endomorphismes
20) (|) Soit A2 Mn(R)véri…ant A3=A+In. Montrer que det Aest strictement positif.
Solution : On véri…e par une étude de fonction que le polynôme P(x) = x3x1admet une unique racine réelle
,e t que est strictement positif. On note et les autres racines de Pdans C:
En considérant A2 Mn(C),Aest trigonalisable de valeurs propres 2 f; ; g. Comme Aest réel, ses racines sont
deux à deux conjuguées avec multiplicité, donc det Aest de la forme pqq=pjj2q, qui est strictement positif.
21) (|) Soient A; B; M 2 Mn(C)telles que AM =M B.
On pose r= rg M. Montrer que Aet Badmettent au moins rracines communes.
Indications : Supposons M=IrO
O O . Montrer que A=C Oet B=C O   . Conclure.
Supposons M=P JrQ. Alors AM =M B ssi (P1AP )Jr=Jr(Q1BQ). Conclure.
22) a) (|) Soit uun endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension …nie.
Soit Hhyperplan de E. Montrer que Hest stable ssi il existe 2Ktel que Im(uId) H.
b) Soit ul’endomorphisme de Rneuclidien associé canoniquement à A2 Mn(R).
Montrer qu’un hyperplan H=Z?est stable par ussi Zest un vecteur propre de AT.
23) (|) Soit A2 Mn(K)diagonalisable. Montrer que u:Mn(K)! Mn(K)M7! AM est diagonalisable.
Indication : Se ramener au cas où Aest diagonale, et considérer les Eij.
Polynômes d’une matrice ou d’un endomorphisme
24) a) Soit D= Diag(1; 2; :::; n), avec idistincts. Montrer que toute matrice diagonale est un polynôme en D:
b) Soit A2GLn(K)diagonalisable et inversible. Montrer que A1est un polynôme en A.
c) Soit A2GLn(K). Montrer que Aadmet un polynôme annulateur Pvéri…ant P(0) 6= 0.
En déduire que A1est un polynôme en A.
25) Diagonaliser J=0
@
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1
Aet A=0 @
a b c
c a b
b c a
1
A. Généraliser en dimension n.

Endomorphismes commutants
26) a) Soient uet v2 L(E)tels que uv=vu. Montrer que tout sev propre Ede uest stable par v.
b) Soit Aune matrice diagonalisable admettant nvaleurs propres distinctes.
Montrer que toute matrice commutant avec Aest un polynôme de A. Qu’en est-il dans le cas général ?
27) a) Soit Fun sev stable par un endomorphisme v. Montrer que si vest trigonalisable, vjFest trigonalisable.
b) Montrer que si Eest un C-ev de dim …nie et uv=vu, alors uet vadmettent un vecteur propre commun.
c) Soient Aet B2 Mn(C)telle que AB =BA.
Montrer qu’il existe P2GLn(C)telle que P1AP et P1BP soient de la forme 
O A0et  O B0:
Remarque culturelle : On a aussi A0B0=B0A0. On en déduit par récurrence que Aet Bsont cotrigonalisables.
d) Soient Aet N2 Mn(C)avec Nnilpotent et AN =NA. Montrer que det(A+N) = det(A):
Racines carrées de matrices
28) Soit A2 Mn(K)une matrice diagonalisable admettant nvaleurs propres distinctes.
Montrer qu’il existe au plus 2nmatrices Bvéri…ant B2=A.Remarque : Noter que AB =B3=BA:
29) a) Soit 0:Montrer que l’unique matrice symétrique positive M2S+
n(R)véri…ant M2=Inest M=pIn:
b) Soit A2S+
n(R)matrice symétrique positive. Montrer qu’il existe unique matrice symétrique positive B2S+ n(R)
véri…ant B2=A: Montrer que Best un polynôme en A.
30) Montrer que si rg(up) = rg(up+1), alors pour tout kp,rg(uk) = rg(up):Indication : Considérer uj(Im up):
Endomorphismes nilpotents
31) Polynôme caractéristique de A+N, lorsque AN =O, lorsque NA =O, lorsque AN =NA:
32) Montrer que si N2 Mn(C)est nilpotent, INest inversible.
33) Soit A2 Mn(C). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Anilpotente (c’est-à-dire Aadmet un polynôme annulateur de la forme Xp).
ii) Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
iii) An=On; iv) 0est la seule valeur propre de A:
v) (F)8k2N,tr(Ak) = 0:Indication : Pour v) )iv), noter que det((k
i)1ir;1kr) = 1:::rQi<j(ji):
34) a) Expliciter une base du sev de Mn(R)formé des matrices de trace nulle.
b) (F) Montrer que le sev de Mn(C)engendré par les matrices nilpotentes est le sev des matrices de trace nulle.
Solution : a) On considère la base (Eij )i6=j[(Eii Enn)1in1:Il s’agit d’un sev de dimension n21(hyperplan).
b) Il su¢ t de prouver que toute matrice de la base du a) est combinaison linéaire de matrices nilpotentes. Les Eij,
avec i6=j, sont elle-mêmes nilpotentes. Reste le cas des matrices Eii Enn, avec i < n:
En fait, une matrice a c
b d est nilpotente ssi son polynôme caractétistique est X2, donc ssi elle est de trace et
de déterminant nuls. Donc les matrices nilpotentes de M2(C)sont les a c
ba, avec a2+bc = 0:
Projecteurs
35) Montrer que pour tout projecteur p, on a tr p= rg p:
36) a) Montrer que tout projecteur orthogonal est symétrique.
b) Soit Eun espace euclidien. Montrer qu’un projecteur pest un projecteur orthogonal ssi 8x2E,kp(x)k  kxk:
37) Soit Z2Rnun vecteur unitaire. Montrer que la matrice ZtZest la matrice d’une projection orthogonale.

38) Soient pet qdeux projecteurs qui commutent. Montrer que r=p+qpqest un projecteur.
Indication : Les sev propres E0et E1de psont stables par q, et les restrictions de qsont des projecteurs.
On en déduit qu’on peut codiagonaliser pet q: on se ramène à des matrices diagonales de valeurs propres 0 et 1.
On en déduit que rest la projection sur (Im p+ Im q)parallèlement à (Ker p\Ker q):
Une autre méthode consiste à montrer algébriquement que r2=rà partir de p2=p,q2=qet pq =qp:
Algèbre bilinéaire
39) Soit A2 Mn(R). Montrer que M= (ATA)est symétrique positive et que Ker M= Ker A:
40) Pour Aet B2 Mn(R), on considère '(A; B) = tr(ATB).
a) Montrer que 'dé…nit un produit scalaire sur Mn(R). On note k k la norme euclidienne associée.
Indication : Noter (avec les aij et bij ) qu’il s’agit tout simplement du produit scalaire canonique sur Mn(R) = R(n2):
b) Soit Uet Vdes matrices orthogonales. Montrer que kU AV k=kAk:
c) En déduire que si Aest symétrique, kAk2est la somme des carrés des valeurs propres de A.
Remarque : Une autre preuve consiste à noter que kAk2= tr(tAA) = tr(A2)
41) Soit A2 Mn(R). On suppose Ainversible. En appliquant le procédé de Gram-Schmidt à la base (A1; A2; :::; An),
on obtient une famille orthonormée (U1; U2; :::; Un). On a Aj2Vect(U1; :::; Uj).
En déduire que As’écrit sous la forme A=UT avec Uorthogonale et Ttriangulaire supérieure (inversible).
42) Soit Eun espace euclidien et u2 S(E). On note 12::: nles valeurs propres de u.
a) Montrer que n= supx6=0 hu(x); xi
kxk2, et préciser les cas d’égalité. De même, on a 1= infx6=0 hu(x); xi kxk2:
b) Soit Fun sev de dimension p. Montrer que supx2F,x6=0
(u(x)jx)
kxk2p:Donner un exemple où il y a égalité.
43) Expliquer comment on calcule m= inf(a;b)2R2R+1
0t2abt2etdt:
44) Soit Pun polynôme de Rn[X]véri…ant 8k2 f0;1; :::; ng,R1
0tkP(t)dt = 0. Montrer que P= 0:
Solution : Par linéarité, R1
0P(t)2dt = 0 : en e¤et, Pest orthogonal aux Xk, donc à tout polynôme de Rn[X]:
45) a) Soit uun endomorphisme d’un espace euclidien. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) hu(x); yi=hx; u(y)i; ii) hu(x); xi= 0 ; iii) Si Bbon,MatBuantisymétrique.
b) Soit uantisymétrique et valeur propre de u. Montrer que = 0:
Solution :
a) i) implique ii) en prenant x=y:
ii) implique i) : on a hu(x) + u(y); x +yi= 0, et en développant, on obtient hu(x); yi=hx; u(y)i:
i) implique iii) : avec B= (e1; :::; en), le coe¢ cient aij de A= MatBuest hu(ej); eiii-ième coordonnée de u(ej):
iii) implique i) : On a (u(x); y) = (AX)TY=XTATY=XTAY =hx; u(y)i:
b) Il existe xnon nul tel que u(x) = x. Alors hu(x); xi=kxk2, donc = 0:
46) a) Soient A2S++
n(R)symétrique dé…nie positive. Montrer qu’il existe P2GLn(R)telle que PTAP =In:
b) Soit B2S+
n(R)une matrice symétrique positive. Montrer que det(A+B)det A+ det B.
Indication : Se ramener au cas où A=In:
c) Montrer que l’inégalité det(A+B)det A+ det Best vraie pour A2S+
n(R).Indication : Considérer A+"In:
Solution : a) Il existe U2On(R)tel que UTAU =Ddiagonale à coe¢ cients positifs.
En écrivant D=C2=CTC, où Cdiagonale à coe¢ cients positifs, on en conclut que P=U C1convient.
b) On utilise a), et on considère M=PTBP . Alors det(In+M) = det(A+B) det(P)2, car det(PT) = det(P):

La matrice Mest symétrique et dé…nie positive : (MX jX) = (BY jY), avec T=P X:
Or, In+M2S++
n(R)et ses valeurs propres sont les 1 + i, avec ivaleur propre de M:
Donc det(In+M) = (1 + 1):::(1 + n)1 + 1:::n: il su¢ t de développer !
Ainsi, det(In+M)det(In) + det(M), donc en diviant par (det P)2, on obtient det(A+B)det(A) + det(B):
c) Posons A"=A+"In. Alors A"2S++
n(R)pour tout " > 0:Par b), et on a 8" > 0,det(A"+B)det A"+ det B.
On fait tendre "vers 0+: on a lim"!0A"=Aet par continuité de det,lim"!0det A"= det A, d’où on conclut.