Algèbre. Exercices classiques Nombres complexes l’ensemble des points du plan R2 ’a¢ xe z tels que (1 + z + z 2 + z 3 ) est réel. 1) a) On note Montrer que est la réunion d’une droite et d’une courbe dont on précisera la nature. b) Montrer que les points d’a¢ xes 1, z et z 4 sont alignés ssi le point d’a¢ xe z appartient à . 2) a) De quel polynôme de degré 2 les nombres complexes ei b) Montrer avec c a b a =3 et e i =3 sont-ils les racines ? que les points d’a¢ xes a; b; c forment un triangle équilatéral ssi a2 + b2 + c2 = a + b + c: 3) Montrer que f : z 7 ! z i est une bijection de R sur U . z+i Polynômes 4) Factoriser dans C[X] les polynômes 1 + X + ::: + X n 5) a) Montrer que si a racine de P d’ordre m 1 et (X + 1)n (X 1)n : 1, alors a racine de P 0 d’ordre (m 1): b) Montrer que si P est scindé à racines simples (resp. scindé) dans R[X], alors P 0 l’est aussi. c) Déterminer les polynômes P 2 C[X] tels que P 0 divise P . 6) Soit P 2 R[X] un polynôme réel à valeurs positives. Qr Qr 2 2 Montrer que P (X) s’écrit i) j=1 (X + aj X + bj ), avec i=1 (X 7) a) Déterminer les polynômes réels non nuls P véri…ant P (X)P (X > 0 et a2j < 4bj : 1) = P (X 2 ): Indication : Noter d’abord que si z est racine de P , alors z 2 est racine. En déduire que jzj = 0 ou 1: Noter ensuite que si z est racine, (z + 1)2 aussi. En déduire que z 2 fei2 m 2 N: =3 ; e 2i =3 g, puis en conclure P = (X 2 + X + 1)m , avec b) Montrer que P (X)2 = P (X 2 ) ssi P (X) = X d (monôme): Indication : Ecrire P (X) = X d + ::: 8) Soient 1 ; :::; des réels distincts. On note Li les polynômes de Lagrange associés à ( 1 ; :::; n ): P Que valent les Pk (X) = ni=1 ki Li (X) pour k 2 f0; 1; :::; n 1g ? Montrer que Pn (X) = X n (X n 9) Soient d 2 N et (Pn )n2N une suite de polynômes de degré Montrer que limn!+1 supt2[0;1] jPn (t)j = 0: 1 ):::(X n ): d véri…ant 8t 2 [0; 1], limn!+1 Pn (t) = 0: Indication : Utiliser les polynômes de Lagrange (en considérant x0 ; :::; xd 2 [0; 1]). Rang et matrices équivalentes 10) Soient A et B 2 Mn (K). Montrer que rg(AB) 11) a) Montrer que rg(u2 ) = rg(u) min(rg A; rg B). Montrer que si AB = In , alors A 2 GLn (K). dim(Ker u \ Im u): b) Soient u et v 2 L(E). Montrer que rg(u v) = rg v dim(Im v \ Ker u) et jrg u rg vj rg(u + v) rg u + rg v: 12) Montrer que la matrice nulle est la seule matrice A 2 Mn (K) telle que 8M 2 GLn (K), tr(AM ) = 0: Solution : On écrit A = P Jr Q. Alors on veut 8M 2 GLn (K), tr(P Jr QM ) = 0, c equi équivaut à tr(Jr QM P ) = 0, ce qui équivaut à 8N 2 GLn (K), tr(Jr N ) = 0, car N = QM P décrit GLn (K) lorsque M décrit GLn (K): En prenant N = In , on obtient tr(Jr N ) = r, donc r = 0 et A est nécessairement la matrice nulle. 13) Soit u : Rn [X] ! Rn [X] telle que 8k 2 f0; 1; :::; ng, u(X k ) = (k + 1)X k + Qk , avec deg Qk < k. Montrer que u est inversible et diagonalisable. 14) Soit A 2 Mn (K). Déterminer le rang de u : Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM: Commencer par le cas A = Jr : Dimension en algèbre linéaire 15) Soit A 2 Mn (K) de rang r. Déterminer dimfB 2 Mn (K) j AB = Og, dimfB 2 Mn (K) j BA = Og et dimfB 2 Mn (K) j ABA = Og: 16) Soient a et b des réels distincts, et f : [a; b] ! R de classe C 4 : a) Montrer qu’il existe un unique P 2 R3 [X] tels que P (a) = f (a), P (b) = f (b), P 0 (a) = f 0 (a) et P 0 (b) = f 0 (b): Solution : Il s’agit ici de l’interpolation d’Hermite (variante de l’interpolation de Lagrange). L’idée consiste en fait à prouver que u : R3 [X] ! R4 P 7 ! (P (a); P (b); P 0 (a); P 0 (b)) est bijective. Or, u est linéaire et injective, onc bijective par dimension, car dim R3 [X] = dim R4 . Montrons que u est injective : Si u(P ) = 0, alors a et b sont racines de P d’ordre 2, donc P = 0 (car deg P 3). Formes linéaires 17) a) Montrer que les formes linéaires sur Mn (K) sont les M 7 ! tr(AM ). b) Montrer que (A; B) 7 ! tr(AT B) est un produit scalaire sur Mn (R). Retrouver a). 18) a) On note Eij les matrices canoniques de Mn (K). Calculer Eii Eij , Eji Eii , Eij Eji et Eji Eij pour i 6= j b) Montrer que les formes linéaires sur Mn (K) telles que '(AB) = '(BA) sont les tr : 19) Soient a1 ; :::; ap des réels distincts. a) Montrer que les formes linéaires 'i : P 7 ! P (ai ) sont indépendantes sur Rn 1 [X]. R +1 b) On prend n = p. Montrer qu’il existe ( 1 ; :::; n ) tel que 8P 2 Rn 1 [X], 1 P (t)e t2 dt = Réduction des endomorphismes Pn i=1 i P (ai ): 20) (|) Soit A 2 Mn (R) véri…ant A3 = A + In . Montrer que det A est strictement positif. Solution : On véri…e par une étude de fonction que le polynôme P (x) = x3 ,e t que est strictement positif. On note et x 1 admet une unique racine réelle les autres racines de P dans C: En considérant A 2 Mn (C), A est trigonalisable de valeurs propres 2 f ; ; g. Comme deux à deux conjuguées avec multiplicité, donc det A est de la forme p q q = pj A est réel, ses racines sont 2q j , qui est strictement positif. 21) (|) Soient A; B; M 2 Mn (C) telles que AM = M B. On pose r = rg M . Montrer que A et B admettent au moins r racines communes. Ir O C C . Montrer que A = et B = O O O Supposons M = P Jr Q. Alors AM = M B ssi (P 1 AP )Jr = Jr (Q 1 BQ). Conclure. O Indications : Supposons M = . Conclure. 22) a) (|) Soit u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension …nie. Soit H hyperplan de E. Montrer que H est stable ssi il existe 2 K tel que Im(u Id) H. b) Soit u l’endomorphisme de Rn euclidien associé canoniquement à A 2 Mn (R). Montrer qu’un hyperplan H = Z ? est stable par u ssi Z est un vecteur propre de AT . 23) (|) Soit A 2 Mn (K) diagonalisable. Montrer que u : Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM est diagonalisable. Indication : Se ramener au cas où A est diagonale, et considérer les Eij . Polynômes d’une matrice ou d’un endomorphisme 24) a) Soit D = Diag( 1; 2 ; :::; n ), avec i distincts. Montrer que toute matrice diagonale est un polynôme en D: b) Soit A 2 GLn (K) diagonalisable et inversible. Montrer que A 1 est un polynôme en A. c) Soit A 2 GLn (K). Montrer que A admet un polynôme annulateur P véri…ant P (0) 6= 0. En déduire que A 1 est un 0 0 25) Diagonaliser J = @ 0 1 polynôme en A. 1 0 1 1 0 a b c 0 1 A et A = @ c a b A. Généraliser en dimension n. 0 0 b c a Endomorphismes commutants 26) a) Soient u et v 2 L(E) tels que u v = v u. Montrer que tout sev propre E de u est stable par v. b) Soit A une matrice diagonalisable admettant n valeurs propres distinctes. Montrer que toute matrice commutant avec A est un polynôme de A. Qu’en est-il dans le cas général ? 27) a) Soit F un sev stable par un endomorphisme v. Montrer que si v est trigonalisable, vjF est trigonalisable. b) Montrer que si E est un C-ev de dim …nie et u v = v u, alors u et v admettent un vecteur propre commun. c) Soient A et B 2 Mn (C) telle que AB = BA. Montrer qu’il existe P 2 GLn (C) telle que P 1 AP et P 1 BP soient de la forme O A0 et O B0 : Remarque culturelle : On a aussi A0 B 0 = B 0 A0 . On en déduit par récurrence que A et B sont cotrigonalisables. d) Soient A et N 2 Mn (C) avec N nilpotent et AN = N A. Montrer que det(A + N ) = det(A): Racines carrées de matrices 28) Soit A 2 Mn (K) une matrice diagonalisable admettant n valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe au plus 2n matrices B véri…ant B 2 = A. Remarque : Noter que AB = B 3 = BA: 29) a) Soit 0: Montrer que l’unique matrice symétrique positive M 2 Sn+ (R) véri…ant M 2 = In est M = p In : b) Soit A 2 Sn+ (R) matrice symétrique positive. Montrer qu’il existe unique matrice symétrique positive B 2 Sn+ (R) véri…ant B 2 = A: Montrer que B est un polynôme en A. 30) Montrer que si rg(up ) = rg(up+1 ), alors pour tout k p, rg(uk ) = rg(up ): Indication : Considérer uj(Im up ) : Endomorphismes nilpotents 31) Polynôme caractéristique de A + N , lorsque AN = O, lorsque N A = O, lorsque AN = N A: 32) Montrer que si N 2 Mn (C) est nilpotent, I N est inversible. 33) Soit A 2 Mn (C). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i) A nilpotente (c’est-à-dire A admet un polynôme annulateur de la forme X p ). ii) A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. iii) An = On ; iv) 0 est la seule valeur propre de A: v) (F) 8k 2 N, tr(Ak ) = 0: Indication : Pour v) ) iv), noter que det(( k i )1 i r;1 k r ) 34) a) Expliciter une base du sev de Mn (R) formé des matrices de trace nulle. = 1 ::: r Q i<j ( j i ): b) (F) Montrer que le sev de Mn (C) engendré par les matrices nilpotentes est le sev des matrices de trace nulle. Solution : a) On considère la base (Eij )i6=j [ (Eii Enn )1 i n 1: Il s’agit d’un sev de dimension n2 1 (hyperplan). b) Il su¢ t de prouver que toute matrice de la base du a) est combinaison linéaire de matrices nilpotentes. Les Eij , avec i 6= j, sont elle-mêmes nilpotentes. Reste le cas des matrices Eii Enn , avec i < n: a c En fait, une matrice est nilpotente ssi son polynôme caractétistique est X 2 , donc ssi elle est de trace et b d a c de déterminant nuls. Donc les matrices nilpotentes de M2 (C) sont les , avec a2 + bc = 0: b a Projecteurs 35) Montrer que pour tout projecteur p, on a tr p = rg p: 36) a) Montrer que tout projecteur orthogonal est symétrique. b) Soit E un espace euclidien. Montrer qu’un projecteur p est un projecteur orthogonal ssi 8x 2 E, kp(x)k kxk : 37) Soit Z 2 Rn un vecteur unitaire. Montrer que la matrice Z t Z est la matrice d’une projection orthogonale. 38) Soient p et q deux projecteurs qui commutent. Montrer que r = p + q p q est un projecteur. Indication : Les sev propres E0 et E1 de p sont stables par q, et les restrictions de q sont des projecteurs. On en déduit qu’on peut codiagonaliser p et q : on se ramène à des matrices diagonales de valeurs propres 0 et 1. On en déduit que r est la projection sur (Im p + Im q) parallèlement à (Ker p \ Ker q): Une autre méthode consiste à montrer algébriquement que r2 = r à partir de p2 = p, q 2 = q et pq = qp: Algèbre bilinéaire 39) Soit A 2 Mn (R). Montrer que M = (AT A) est symétrique positive et que Ker M = Ker A: 40) Pour A et B 2 Mn (R), on considère '(A; B) = tr(AT B). a) Montrer que ' dé…nit un produit scalaire sur Mn (R). On note k k la norme euclidienne associée. 2 Indication : Noter (avec les aij et bij ) qu’il s’agit tout simplement du produit scalaire canonique sur Mn (R) = R(n ) : b) Soit U et V des matrices orthogonales. Montrer que kU AV k = kAk : c) En déduire que si A est symétrique, kAk2 est la somme des carrés des valeurs propres de A. Remarque : Une autre preuve consiste à noter que kAk2 = tr(t AA) = tr(A2 ) 41) Soit A 2 Mn (R). On suppose A inversible. En appliquant le procédé de Gram-Schmidt à la base (A1 ; A2 ; :::; An ), on obtient une famille orthonormée (U1 ; U2 ; :::; Un ). On a Aj 2 Vect(U1 ; :::; Uj ). En déduire que A s’écrit sous la forme A = U T avec U orthogonale et T triangulaire supérieure (inversible). 42) Soit E un espace euclidien et u 2 S(E). On note 1 ::: 2 n les valeurs propres de u. hu(x); xi hu(x); xi a) Montrer que n = supx6=0 : 2 , et préciser les cas d’égalité. De même, on a 1 = inf x6=0 kxk kxk2 (u(x) j x) b) Soit F un sev de dimension p. Montrer que supx2F , x6=0 p : Donner un exemple où il y a égalité. kxk2 R +1 2 2 43) Expliquer comment on calcule m = inf (a;b)2R2 0 t a bt e t dt: R1 44) Soit P un polynôme de Rn [X] véri…ant 8k 2 f0; 1; :::; ng, 0 tk P (t) dt = 0. Montrer que P = 0: R1 Solution : Par linéarité, 0 P (t)2 dt = 0 : en e¤et, P est orthogonal aux X k , donc à tout polynôme de Rn [X]: 45) a) Soit u un endomorphisme d’un espace euclidien. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i) hu(x); yi = hx; u(y)i ; ii) hu(x); xi = 0 ; iii) Si B bon, MatB u antisymétrique. b) Soit u antisymétrique et valeur propre de u. Montrer que = 0: Solution : a) i) implique ii) en prenant x = y: ii) implique i) : on a hu(x) + u(y); x + yi = 0, et en développant, on obtient hu(x); yi = hx; u(y)i : i) implique iii) : avec B = (e1 ; :::; en ), le coe¢ cient aij de A = MatB u est hu(ej ); ei i i-ième coordonnée de u(ej ): iii) implique i) : On a (u(x); y) = (AX)T Y = X T AT Y = b) Il existe x non nul tel que u(x) = x. Alors hu(x); xi = X T AY = 2 kxk , donc hx; u(y)i : = 0: 46) a) Soient A 2 Sn++ (R) symétrique dé…nie positive. Montrer qu’il existe P 2 GLn (R) telle que P T AP = In : b) Soit B 2 Sn+ (R) une matrice symétrique positive. Montrer que det(A + B) det A + det B. Indication : Se ramener au cas où A = In : c) Montrer que l’inégalité det(A + B) det A + det B est vraie pour A 2 Sn+ (R). Indication : Considérer A + "In : Solution : a) Il existe U 2 On (R) tel que U T AU = D diagonale à coe¢ cients positifs. En écrivant D = C 2 = C T C, où C diagonale à coe¢ cients positifs, on en conclut que P = U C b) On utilise a), et on considère M = P T BP . Alors det(In + M ) = det(A + B) det(P )2 , 1 convient. car det(P T ) = det(P ): La matrice M est symétrique et dé…nie positive : (M X j X) = (BY j Y ), avec T = P X: Or, In + M 2 Sn++ (R) et ses valeurs propres sont les 1 + Donc det(In + M ) = (1 + Ainsi, det(In + M ) 1 ):::(1 + n) 1+ 1 ::: n i, avec i valeur propre de M: : il su¢ t de développer ! det(In ) + det(M ), donc en diviant par (det P )2 , on obtient det(A + B) det(A) + det(B): c) Posons A" = A + "In . Alors A" 2 Sn++ (R) pour tout " > 0: Par b), et on a 8" > 0, det(A" + B) On fait tendre " vers 0+ det A" + det B. : on a lim"!0 A" = A et par continuité de det, lim"!0 det A" = det A, d’où on conclut.