PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI Synthèse de la mécanique vue en sup (A maîtriser parfaitement, c’est le minimum vital requis) Objectifs : • Restructurer les connaissances de première année en mécanique, • Dégager les différentes approches de résolution d’un problème, • Etre apte à résoudre tout exercice de cinématique ou statique Recommandations : Ce document ne peut se substituer au cours de première année. Par sa concision, il met simplement en évidence les points clefs qu’il s’agira d’aller rechercher et travailler dans votre cours de première année, si vous en sentez le besoin. I II Modélisation mécanique d’un système .............................................................................. 2 La cinématique ................................................................................................................... 6 II.1 Les relations cinématiques ......................................................................................... 6 II.2 Les relations de fermeture .......................................................................................... 7 II.3 Les mouvements plans, la cinématique graphique ..................................................... 8 III La statique .................................................................................................................... 10 III.1 Notion d’isolement ................................................................................................... 10 III.2 La modélisation des actions mécaniques (AMs) ...................................................... 10 III.2.1 Modélisation locale-globale des AMs .............................................................. 10 III.2.2 Modèle de coulomb .......................................................................................... 10 III.2.3 Torseur des actions mécaniques : cas des liaisons parfaites ............................ 11 III.3 Principe fondamental de la statique ......................................................................... 11 III.4 Principe des actions réciproques .............................................................................. 11 III.5 Méthodologie de résolution d’un problème de statique (conseils) .......................... 12 III.6 Les problèmes statiquement plans, la statique graphique ........................................ 13 III.6.1 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) ............................................ 13 III.6.2 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) ............................................ 13 III.6.2.a Les forces ne sont pas parallèles .............................................................. 14 III.6.2.b Deux forces sont parallèles ...................................................................... 14 III.6.2.c Bilan ......................................................................................................... 15 IV Rappels sur les torseurs ................................................................................................ 16 IV.1 Définition d’un torseur ............................................................................................. 16 IV.2 Opération sur les torseurs ......................................................................................... 16 IV.2.1 Addition ............................................................................................................ 16 IV.2.2 Multiplication par un scalaire ........................................................................... 16 IV.2.3 Comoment de deux torseurs ............................................................................. 17 IV.2.4 Automoment d’un torseur ................................................................................ 17 IV.3 Axe central d’un torseur ........................................................................................... 17 IV.4 Torseurs particuliers ................................................................................................. 17 IV.4.1 Torseur couple .................................................................................................. 17 IV.4.2 Torseur glisseur ................................................................................................ 17 IV.4.3 Décomposition d’un torseur ............................................................................. 18 V Tableau des liaisons normalisées ..................................................................................... 19 Synthèse la mécanique vue en sup - Page 1 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI I MODELISATION MECANIQUE D’UN SYSTEME Système(s) de référence Afin d’étudier le mouvement d’un système de solides, il est nécessaire de mettre en place un (ou des) système(s) de référence (encore appelé « référentiel(s) »). Il représente en quelque sorte la position d’observation des phénomènes. Il est composé d’une description de l’espace et d’une description du temps (associée au choix d’une origine des temps). La description de l’espace est réalisée par la mise en place de repères. r rr Un repère R 0 O,x,y,z est composé de: r ur r • une base généralement orthonormée directe : x, y, z ( ) ( ) • un point origine : O Dans nos applications, la description des temps est unique pour un problème donné (même origine quelque soit le référentiel). Ainsi, un changement de système de référence sera associé à un changement de repère Solide : (= solide indéformable en prépa) En classes préparatoires, les systèmes sont composés de solides réputés indéformables. Un solide S est dit indéformable si quelque soit le couple de points (A,B) appartenant à S, la distance AB reste constante au cours du temps. ∀ ( A, B ) ∈ S , distance ( AB ) =constante Solide S +A +B Paramétrage d’un solide : Solide S A chaque solide S, on peut associer un repère (R2) qui lui est attaché tel que z 2 z 1 y2 tout point de S soit fixe dans R2 au cours du temps. y1 Paramétrer la position de S par rapport à R1 revient à paramétrer la z 1 x2 position du repère R2 (lié à S) par rapport au repère R1. y1 o 2 Pour cela, il faut définir 6 paramètres indépendants : x1 uuuuur • 3 paramètres de position : vecteur O1O2 (3 paramètres o1 x1 dimensionnels) • 3 paramètres d’orientation de la base liée à R2 par rapport à la base liée à R1. (3 paramètres angulaires) Synthèse la mécanique vue en sup - Page 2 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI Les angles d’Euler représentent une possibilité (à connaître) pour définir l’orientation d’un solide dans l’espace à l’aide de 3 paramètres angulaires. x 1 y1 z 1 y1 v ψ n Les 3 rotations s’effectuent autour de 3 vecteurs indépendants. Le choix des vecteurs de rotation effectué dans Euler est le suivant : ur • La première rotation s’effectue autour de z1 uur • la dernière rotation s’effectue autour de z2 . • La rotation intermédiaire s’effectue autour d’un vecteur ur uur perpendiculaire à z1 et à z2 . ur uur r z ∧z n = ur1 uur2 z1 ∧ z2 ψ angle de précession ; θ angle de nutation ; ϕ angle de ψ z1 x1 n z1 z2 θ z1 j z2 θ j n v v n j y2 ϕ z2 ϕ x2 n x 2 y2 z 2 rotation propre uuuuuur ur r uur Vecteur taux de rotation de R2/R1 : Ω R2 / R1 = φ& z1 + θ&n + ϕ& z2 Graphe de structure : Un graphe de structure ou graphe des liaisons est une vue épurée du système • Les solides (ou ensemble de solides cinématiquement équivalent) sont représentés dans des ellipses. • Les arcs représentent les liaisons entre solides. • Les efforts extérieurs au système peuvent être ajoutés en vue d’une étude de statique. Pivot (O, x ) Solide 1 Solide 4 Solide2 Solide 3 La caractérisation géométrique des liaisons entre solides est primordiale. Dans le cadre du paramétrage des mouvements relatifs entre solides, donc du paramétrage des différents repères, les éléments géométriques de référence associés aux liaisons permettent de mettre en place les paramètres juste nécessaires au passage d’un solide à un autre. Exemple : liaison pivot Elément géométrique de référence : l’axe (O, x ) En disposant les repères associés aux deux solides avec une direction x commune, un seul paramètre angulaire est nécessaire pour effectuer le changement de base (de repère). Synthèse la mécanique vue en sup - Page 3 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI Schéma cinématique et paramétrage : Le schéma cinématique donne une représentation plus descriptive et complète du fonctionnement du mécanisme. Cette représentation peut être spatiale ou plane, elle doit respecter les caractéristiques géométriques du mécanisme (parallélisme, orthogonalité, coaxialité...) (cf exemple page suivante). Dans ce schéma : • les liaisons entre les pièces sont représentées par les symboles normalisés (plans ou spatiaux) des liaisons. Leurs orientation et position sont respectées. • les pièces (classes d'équivalence) sont représentées par un trait ; • Exemple : borne réglable 1 L1/3 L1/4 L1/6 6 L4/6 r L1/3 : Pivot glissant d’axe ( A , y ) r L1/4 : Glissière de direction ( x ) r L3/4 L : Appui plan de normale ( n ) 3/4 r L4/6 : Hélicoïdale ( A , x ) 4 r L1/6 : Appui plan de normale ( x ) 3 y 3 4 1 x A Paramétrage • Faire apparaître sur le schéma cinématique les caractéristiques géométriques des liaisons (exemple : 1 liaison pivot impose un axe (direction + position d’un point de l’axe) • Mettre en place les paramètres cinématiques associées aux liaisons. Remarque, dans le cas d’une étude plane ne faire intervenir que les paramètres plans. • Indiquer juste le paramétrage strictement nécessaire à l’étude envisagée. Synthèse la mécanique vue en sup 6 - Page 4 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI Les changements de base : Les figures de changement de base sont fondamentales. Elles doivent être utilisées obligatoirement pour réaliser les calculs. Ainsi, évite-on toute discussion sur le signe des angles et donc des erreurs dans les résultats finaux. Quelques conseils : • Les figures de changement de base ont toujours la même forme, y1 quel que soit l’angle réel entre les deux bases, qu’il soit positif ou y2 négatif. • L’orientation des bases est directe et il est fortement recommandé x2 de travailler avec un vecteur hors plan pointant vers l’extérieur de θ la feuille. x1 z1 = z2 • L’angle représentée est de l’ordre de 20° afin d’avoir une lecture immédiate des produits scalaire et vectoriels. • Lorsque plusieurs rotations s’effectuent autour d’un vecteur commun (exemple, liaisons pivot d’axes parallèles), les figures de changement de bases sont superposées. Synthèse la mécanique vue en sup - Page 5 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI II LA CINEMATIQUE II.1 Les relations cinématiques La détermination des vitesses et accélérations en un point d’un solide par rapport à un référentiel peut s’effectuer en utilisant : • les relations de cinématiques du point • les propriétés et les relations cinématiques associées aux solides rigides Les relations de cinématique du point Les relations de cinématique des solides ( r rr Considérons le référentiel R 0 O,x,y,z ) Le torseur cinématique caractérise la cinématique du mouvement d’un solide S2 par rapport à un solide S1. Ω S / S 2 1 Un vecteur position du point géométrique M V = S 2 / S1 uuuur V par rapport à R: OM A A, S 2 / S1 Comme pour tout torseur, la formule de changement de Vecteur vitesse du point géométrique M par point permet de donner la vitesse en tout point d’un uuuur uuuuur dOM solide à partir de la connaissance du torseur en un point rapport à R: VM / R0 = VB , S2 / S1 = V A, S2 / S1 + Ω S2 / S1 ∧ AB dt R 0 La composition des mouvements s’effectue en Vecteur accélération du point géométrique M additionnant les torseurs en un même point. V 2 / S0 = VS2 / S1 + VS1 / S0 par rapport à R: 1S4 44424444 3 uuuuur exprimés en un même point uuuuuur uuuuur dVM / R0 Γ M / R0 = aM / R0 = Soit : dt R0 Ω S2 / S0 = Ω S2 / S1 + Ω S1 / S0 { { } } { } { } V A, S2 / S0 = V A, S2 / S1 + V A, S1 / S0 La dérivation d’un vecteur nécessite l’utilisation de la relation de changement de Pour les accélérations, Ils existent deux relations bases dans la dérivation : r r compliquées : uuuuuur r du (t ) d u (t ) • Une de changement de point : = + Ω R1 / R0 (t ) ∧ u (t ) dt dt R0 R1 dΩ L’utilisation de cette dernière relation conduit à des résultats les plus concis possible. Sauf indication contraire, les résultats doivent être laissés sous cette forme, sans projection dans une base. Quelle méthode utiliser ?? ΓB , S2 / S1 = ΓA, S2 / S1 + S 2 / S1 dt ( ∧ AB + Ω S 2 / S1 ∧ Ω S 2 / S1 ∧ AB R1 ) • Une de composition des accélérations : ΓA, S2 / S0 = ΓA, S2 / S1 + ΓA, S1 / S0 + 2 Ω S2 / S1 ∧ V A, S2 / S1 144 42444 3 123 Si on recherche le mouvement d’un point M appartenant « physiquement » à un solide S en mouvement par rapport à un repère R, alors les deux méthodes peuvent être utilisées. Pour les vitesses, le choix de la méthode dépend des données de départ. Si on ne connaît aucune vitesse au préalable, alors la dérivée d’un vecteur position (proche de la physique) est à mon goût très efficace. Si une vitesse est connue au ( terme d 'entrainement ) terme de Coriolis Position Torseur cinématique + composition de mouvement Vecteur position + dérivation Vitesse Composition des accélérations Dérivation Synthèse la mécanique vue en sup Accélération - Page 6 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI préalable, il est préférable d’utiliser les relations associées aux solides. Pour les accélérations, La dérivée du vecteur vitesse est très simple et donc à privilégier. Mais attention, des qu’on recherche le mouvement d’un point M appartenant « cinématiquement » mais pas « physiquement » à un solide S’ en mouvement par rapport à un repère R, alors seules les relations de cinématique des solides sont utilisables pour les vitesses et accélérations. On parle de point coïncidant. A l’instant t, le point M ∈ S ' (appartenant cinématiquement) coïncide avec le point géométrique M. A l’instant t + dt, le point M ∈ S ' suit le mouvement de S’ qui est différent de celui du point géométrique M. II.2 Les relations de fermeture L'analyse du graphe de structure permet de mettre en évidence le type de problèmes à traiter. Deux possibilités peuvent apparaître : • Soit le système est composé d'une chaîne ouverte de solide (exemple des bras de robots) • Soit le système est composé d'une chaîne fermée de solide (cycle) Le premier cas ne pose pas de problèmes particuliers, les deux approches citées ci-dessus conviennent. Dans le deuxième cas, il s'agit de trouver les relations entre les différents paramètres correspondant aux fermetures de chaîne. Notion de fermeture Une fermeture est une équation représentant les contraintes de bouclage dans les chaînes de solides : • Une fermeture géométrique est une relation de Chasles sur les vecteurs position où chaque vecteur est soit fixe par rapport à un solide, soit défini par un paramètre de translation, pour former une des boucles du graphe de structure. • Une fermeture angulaire est une somme nulle d'angle d'un même plan formant une des boucles du graphe de structure. • Une fermeture cinématique est une somme nulle de torseurs exprimés au même point. En projetant dans une base, six équations scalaires au maximum sont obtenues à partir de la fermeture cinématique. Des projections habilement choisies permettront de réduire les calculs, d’éliminer les inconnues indésirables et d’obtenir les relations recherchées. Les équations obtenues par fermeture cinématique peuvent se retrouver par dérivation des équations géométriques et angulaires. Il s’agira de choisir donc entre les méthodes géométriques et cinématiques. Synthèse la mécanique vue en sup - Page 7 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI II.3 Les mouvements plans, la cinématique graphique Un solide S2 est en mouvement plan de normale z1 par rapport à S1 si le torseur cinématique de S2/S1 s’écrit : Ω S / S = ω z1 2 1 VS2 / S1 = = u x1 + v y1 V ∀M ∈S 2 A, S 2 / S1 Un mécanisme est cinématiquement plan si tous les solides étudiés sont en mouvement plan de même normale z1 entre eux { } Conséquences : • Toutes les vitesses sont contenues dans des plans de normale z1 , • Les vitesses de rotation sont normales au plan (suivant z1 ), • Un mécanisme comportant une liaison hélicoïdale n’est pas plan. • Le torseur cinématique d’un mouvement plan présente dans le cas général 3 inconnues cinématiques au maximum contre 6 pour un mouvement quelconque. • Chaque fermeture cinématique apporte 3 équations scalaires : o Fermeture sur les vitesses de rotation en projection suivant z1 o Fermeture sur les vitesses en un point en projection suivant x1 et y1 • Une résolution graphique peut être mise en place. Le torseur d’un mouvement plan est un glisseur car ∀M Ω S2 /S1 . VM,S2 /S1 = 0 (automoment nul) Un torseur glisseur possède un axe central // Ω où les vitesses sont nulles. On parle d’axe instantané de rotation. r ωS2 /S1 .z1 ∀ I ∈ axe central, on a : {V 2 1 }= r 0 I A tout instant, le mouvement plan est un mouvement de rotation d’axe (I, z1 ) Centre instantané de rotation La trace de cet axe dans le plan d’étude est un point appelé centre instantané de rotation (C.I.R.). On le note I12 ou I21. ∀ M ∈ au plan : VM,S2 /S1 = Ω S2 /S1Λ IM . le vecteur IM est perpendiculaire à VM,S2 /S1 . Le C.I.R. de (S2) par rapport à (S1) est donc déterminé Les vitesses sont proportionnelles par l'intersection des normales aux vecteurs vitesse de au rayon. deux points quelconques de (S2) par rapport à (S1). Synthèse la mécanique vue en sup - Page 8 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI Equiprojectivité Composition des vitesses B V1/0 VB VB 2/0 2/1 A V1/0 B VB 1/0 A V B , 2 / 0 = V B , 2 / 1 + V B ,1 / 0 V A,1 / 0 • AB = V B ,1 / 0 • AB Application double équiprojectivité Objectif : Trouver VC , 2 / 0 VC , 2 / 0 = VC , 3 / 0 C 2 C 2 3 D B 1 A VB , 2 / 0 V D ,3 / 0 B 1 4 E A 3 D 4 E Première équiprojectivité : VB , 2 / 0 • BC = VC , 2 / 0 • BC Deuxième équiprojectivité : VD ,3 / 0 • DC = VD ,3 / 0 • * DC Le sommet de VC , 2 / 0 est obtenue par l’intersection des deux droites issues de l’application des équiprojectivités. Théorème des 3 C.I.R Soit trois solides (1), (2) et (3). Il est possible de définir trois C.I.R. entre ces solides : CIR1/2, CIR1/3 et CIR 2/3. Ces trois C.I.R. (s’ils existent) sont alignés. Synthèse la mécanique vue en sup - Page 9 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI III LA STATIQUE Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) vu en 2ème année. Pour le PFS, la variation de vitesse d’un solide dans un référentiel galiléen est nulle. Pour le PFD, cette variation de vitesse n’est pas nulle … Les démarches de modélisation des actions mécaniques et d’ordonnancement des isolements effectuées seront identiques en statique et en dynamique. III.1 Notion d’isolement Isoler un système de solide, c’est définir une frontière séparant ce qui est intérieur au système de ce qui est considéré comme extérieur en vu de faire le bilan des actions mécaniques extérieures agissant sur le système. Remarque : Un graphe de structure préalablement réalisé, peut ici vous aider à faire l’isolement et donc à définir la frontière et les solides en liaison. III.2 La modélisation des actions mécaniques (AMs) On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un solide au repos, de créer un mouvement ou de déformer un solide (solide ou ensemble de solides). III.2.1 Modélisation locale-globale des AMs Localement, une action mécanique agit en tout point du système considéré (action volumique, à distance) ou en tout point d’une surface (action surfacique, de contact). Une première modélisation consiste donc à introduire un vecteur densité de forces définie sur un surface ou un volume suivant le type d’action mécanique. Par intégration, il est possible de modéliser une action mécanique par un torseur des actions mécaniques (modélisation globale). Modèle local Modèle global uuuuuuuur uuuuuuuur RS1→ S 2 = ∫ d f M ,1→2 M ∈S {τ S1→S 2 } = uuuuuuuuuuur uuuur uuuuuuuur M A, S1→ S 2 = ∫M ∈S AM ^ d f M ,1→2 A Ex : Action mécanique de contact uuuuuuuur d f M ,1→2 uuuuuuuur RS1→ S 2 résultante des AMs de S1 sur S2 uuuuuuuuuuu r M A, S1→ S 2 moment en A des AMs de uuuuuuuur f M ,1→2 densité de force en M de S1 sur S2 (dirigé vers 2) uuuuuuuur uuuuuuuur d f M ,1→2 = f M ,1→2 . dS III.2.2 X 12 τ = { S1→S 2 } Y12 Z 12 { uuuuuuu r RS 1→ S 2 L12 M12 N12 { uuuuuuuuuur M A , S 1→ S 2 A, urx , uuyr , urz i i i Modèle de coulomb Synthèse la mécanique vue en sup - Page 10 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI La loi de frottement de Coulomb relie localement les composantes normales et tangentielles uuuuuuuur r uuuuuuur de vecteur densité de force soit f M ,1→2 = FN (M ) z + FT (M ) uuuuuuuur f M ,1→2 Deux cas sont à envisager : VM , S / S = 0 2 1 • Si adhérence FT ≤ f FN FT opposé et de même direction que VM , S / S 2 1 • Si glissement FT = f FN uuuuuuuur FT ( M ) r FN ( M ) z Avec f, le coefficient de frottement dont la valeur dépend des caractéristiques de contact (couple de matériaux, lubrifiant, état de surface) ; valeurs communément comprises entre 0,1 et 0,6 Le vecteur densité de force ne peut pas sortir d’un cône de demi angle au sommet ϕ tel que f = tan ϕ Pour un contact ponctuel en M, le torseur des actions mécaniques s’écrit : r uur FN z + FT {TS1→S 2 } = r 0 M III.2.3 Torseur des actions mécaniques : cas des liaisons parfaites Tout contact entre solides se fait avec frottement. Cependant dans une première approche on peut négliger l’influence du frottement et donc supposer qu’en tout point du contact entre les surfaces de liaison, les actions mécaniques élémentaires sont dirigées suivant les normales aux surfaces de contact Quelles sont les conséquences de cette hypothèse sur les liaisons normalisées ? La liaison ne dissipe alors pas d’énergie. Le torseur des actions mécaniques est obtenu par dualité avec le torseur cinématique. Exemple : Liaison pivot z 1 2 Ω x V2/1 = 0 0 O { } O x y 0 0 0R 0 X1→2 F1→ 2 = Y1→2 M1→2 Z N1→2 R O 1→2 { } III.3 Principe fondamental de la statique Si S est un système de solide à l’équilibre dans un référentiel galiléen, alors : ∑ {Text →S } = {0} III.4 Principe des actions réciproques { } Si un solide S1 exerce sur un solide S2 une action mécanique TS1 → S 2 , alors S2 exerce l’action mécanique exactement opposée sur S1. TS 2 → S 1 = − TS1 → S 2 { } { } Synthèse la mécanique vue en sup - Page 11 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI III.5 Méthodologie de résolution d’un problème de statique (conseils) A partir du graphe de structure (issu de la cinématique), le compléter en rajoutant les efforts extérieurs et associer mentalement le torseur des actions mécaniques à chaque liaison du mécanisme. Suivant les indications du sujet, les liaisons peuvent être modélisées parfaites ou avec frottement. Certaines actions mécaniques peuvent être négligées (poids de certaines pièces, action d’un ressort,…) Repérer l’objectif à atteindre, 2 possibilités en général : Déterminer toutes les actions mécaniques de liaison afin de les dimensionner. Rechercher un effort (dans une unique liaison, un effort moteur,…) Enumérer les efforts connus (poids, effort extérieur résistant,…) et les efforts recherchés. Les autres actions mécaniques sont donc placées automatiquement dans la catégorie : « non recherchées ». Objectif : toutes les mécaniques trouver Objectif : rechercher une action mécanique particulière. actions il n’est pas forcément nécessaire d’écrire les 6 équations par solide issues de l’application du PFS. Vérifier que le système puisse être Un isolement judicieux, le choix d’écrire une résultante ou un résolu. moment, ainsi qu’une projection adéquate permet d’aboutir au résultat rapidement. Il s’agit d’isoler l’ensemble des solides. Les aptitudes nécessaires à ce travail s’acquièrent par la pratique. Le bâti ne peut pas être isolé (des actions Voici quelques conseils : mécaniques indéterminables s’y L’idée maîtresse est de ne pas faire intervenir les inconnues appliquent) d’actions mécaniques de liaisons « non recherchées » en rendant ces actions mécaniques internes à l’isolement ou en écrivant une En appliquant le projection suivant une direction où les liaisons présentent des principe fondamental composantes nulles en effort de la statique à chacun des solides, on obtient Si on recherche un résultante motrice permettant à un ensemble de un système solide de se déplacer en translation, Il s’agira d’écrire une équation d’équations de résultante en projection suivant la direction de déplacement. comportant 6 (p-1) équations avec p le Pour la recherche d’un couple moteur s’exerçant sur un ensemble nombre de solides de solide en rotation autour d’un axe fixe, Il s’agira d’écrire une qu’il s’agit de équation de moment en un point de l’axe de rotation en projection résoudre. sur la direction de l’axe . Dans ce cas, précisez : Théorème de la résultante sur l’axe …. ou théorème du moment sur l’axe …. Pour chaque isolement : • Choisir un repère galiléen et supposer que l’isolement est en équilibre statique dans ce repère (ou se déplace en translation à une vitesse uniforme par rapport à ce référentiel) • Effectuer le bilan des actions mécaniques • Ecrire le PFS sous forme torsorielle et/ou vectorielle et/ou scalaire • Résoudre et calculer les inconnues recherchées Synthèse la mécanique vue en sup - Page 12 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI III.6 Les problèmes statiquement plans, la statique graphique Lorsque dans un système mécanique les actions mécaniques sont toutes modélisées par des glisseurs coplanaires, on peut utiliser une méthode graphique pour résoudre le principe fondamental de la statique. Les torseurs des actions mécaniques ont alors la forme simplifiée suivante: X − Les valeurs représentées par - ne sont pas nécessairement nulles T(S1→S2) = Y − mais on n'en tient pas compte dans le problème étudié. − N R O Les torseurs statiques des liaisons planes ont alors les formes suivantes: X − r - articulation = liaison pivot ou pivot glissant d'axe (A, z ): T(S1→S2) = Y − − 0 R A A A L'action de S1 sur S2 est donc modélisable par un glisseur passant par A. III.6.1 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) r Le système (S) est soumis à deux forces : FA appliquée en (A) A r et FB appliquée en (B). Le principe fondamental de la statique nous permet d'écrire : r r r r FA FB FA FB r + r = {0} <=> r + → r = {0} <=> 0 B 0 0 AB Λ FB A A A r r r r r FA + FB = 0 FA = − FB → r r <=> → r AB = λ.FB AB Λ FB = 0 Lorsqu'un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, égales et opposées. B FB FA B A FA FB III.6.2 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) r r r Le système (S) est soumis à trois forces FA , FB , FC A appliquées en (A), (B) et (C). Soit : • aucune des forces n'est parallèle à une des deux autres forces, FA • deux forces sont parallèles. Synthèse la mécanique vue en sup B FB - Page 13 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI III.6.2.a Les forces ne sont pas parallèles r r r r r r FA FB FC FA FB FC r + r + r = r + → r + → r = {0}FA 0 B 0 C 0 A 0 AB ΛFB AC ΛFC A A A B A FB C FC r r r r FA + FB + FC = 0 → r r <=> → r AB Λ FB + AC Λ FC = 0 → → r r Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs AB Λ FB et AC Λ FC soient → → r r r AC Λ F AB Λ F F parallèles. Or C est B est perpendiculaire au plan (P1)=(A, B, B ) et r perpendiculaire au plan (P2)=(A, C, FC ). Ces deux plans doivent donc être parallèles. (A) r F appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. (A), (B), (C), C r et FB sont dans un même plan. r r FC et FB sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point (I). r r r FA FB FC → r + → r + → r = {0} <=> IA ΛFA I IB ΛFB I IC ΛFC I r r r r FA + FB + FC = 0 → r r IA Λ FA = 0 → r Pour vérifier l'équation de moment, il faut que FA = λ . IA I FA B A FB C FC Pour qu'un solide (S) soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle I FB A B FA C FC III.6.2.b Deux forces sont parallèles r r r r FB et FC sont parallèles. (B), (C), FB et FC sont donc coplanaires. r r r r r r FA FB FC FA FB FC r + r + r = r + → r + → r = {0} FA 0 B 0 C 0 A 0 AB ΛFB AC ΛFC A A A r r r r r r FA FB FC FA FB FC r + r + r = r + → r + → r = {0} 0 B 0 C 0 A 0 AB ΛFB AC ΛFC A A A r r r r FA + FB + FC = 0 → r r <=> → r AB Λ FB + AC Λ FC = 0 Synthèse la mécanique vue en sup B A C FC - Page 14 - FB PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI r r r Pour vérifier l'équation de la résultante, il faut que FA soit aussi parallèle à FB et FC . r r Pour vérifier l'équation du moment, il faut que (A) appartienne au plan (B), (C), FB et FC . Lorsqu'un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d'entre elles sont parallèles, il faut que la troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois forces. FA B A C - FB FC III.6.2.c Bilan Pour qu'un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces soient : • coplanaires, • parallèles ou concourantes, • à somme nulle et a somme des moments nulle. Synthèse la mécanique vue en sup - Page 15 - PCSI Les Ulis IV Cours REVISIONS PCSI RAPPELS SUR LES TORSEURS IV.1 Définition d’un torseur Un torseur {T } est l'association de : ur • Un vecteur résultant R (identique en tout point de l'espace) ; uur • Un champ de moment M (dépendant du point où on le calcule) uuuuur uuuuur uuuur ur Il vérifie l’équation M ( M ) = M ( N ) + MN ∧ R ( ∀ M et N ∈ ( ε ) ) . Remarque : (théorème de Delassus) Un champ de moment est un champ de vecteur pour lequel il est possible de vérifier la uuuur uuur uuuur ur uuur ur uuuur relation suivante: V(M) = V(N) + MN ∧ U = V(N) + U ∧ NM . Un champ de vecteur est équiprojectif ssi ∀ M , N appartenant à l'espace affine (ε), la relation uuuur uuuur uuur uuuur suivante est vérifiée: V(M) . MN = V(N) . MN Il est possible de démontrer : Champ équiprojectif ⇔ Champ de moment IV.2 Opération sur les torseurs IV.2.1 Addition Soient deux torseurs {T 1 } et {T 2 } tels que : uur R1 {T1 } = uuuuur et {T 2 } = M ( A) 1 uur R2 uuuuuur M ( A) 2 A A uur Soit {T S } la somme des deux torseurs. Alors la résultante RS est égale à la somme des uur uur uuuuuur résultantes R1 et R2 et le moment M ( A) S exprimé en A est égal à la somme des moments uuuuur uuuuuur M ( A) 1 et M ( A) 2 exprimés en A. uur uur uur RS = R1 + R2 uuuuuur uuuuur uuuuuur M ( A) S ¨= M ( A) 1 + M ( A) 2 Attention ! Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des points différents n’a aucun sens. IV.2.2 Multiplication par un scalaire Soit {T 1 } un torseur et λ un réel, alors : uur λ .R1 {T 2 } = λ .{T1 } = uuuuur λ.M ( A) 1 A Synthèse la mécanique vue en sup - Page 16 - PCSI Les Ulis IV.2.3 Cours REVISIONS PCSI Comoment de deux torseurs {T1 } et {T 2 } , la quantité scalaire : uur uuuuuur uur uuuuuur {T1 } ⊗ {T 2 } = R1 .M ( A) 2 + R2 .M ( A) 1 Comme pour la somme, les moments doivent être exprimés au même point. On appelle comoment de deux torseurs et Remarque : Le résultat ne dépend pas du point A choisi. C’est un invariant. uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuuuuur uuur uur uur uuuuuur uur {T1 } ⊗ {T 2 } = R1 .M ( A) 2 + R2 .M ( A) 1 = R1 . M ( B ) 2 + AB ∧ R2 + R2 . M ( B ) 1 + AB ∧ R1 uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuur uur uur uuur uur = R1 .M ( B ) 2 + R2 .M ( B ) 1 + R1 . AB ∧ R2 + R2 . AB ∧ R1 uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuuuuur {T1 } ⊗ {T 2 } = R1 .M ( A) 2 + R2 .M ( A) 1 = R1 .M ( B ) 2 + R2 .M ( B ) 1 ( IV.2.4 ) ( ( ) ( ) ) Automoment d’un torseur On appelle automoment A ({T }) du torseur {T } la moitié du comoment de ce torseur par luimême. ur uuuuur 1 A ({T }) = .{T } ⊗ {T } = R . M ( A) 2 IV.3 Axe central d’un torseur On appelle axe central d’un torseur {T } l’ensemble des points I pour lesquels le champ uuuur ur uur ur M est colinéaire à R . Soit M ( I ) = λ .R , λ ∈ . ur L’axe central est toujours une droite parallèle à R . Le moment d’un torseur est minimum pour tous les points de l’axe central. IV.4 Torseurs particuliers IV.4.1 Torseur couple Un torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle : r 0 {C } = uuuur M ( A) A Remarque : Le moment d’un torseur couple est le même en tout point de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour ce torseur. IV.4.2 Torseur glisseur ur Un torseur glisseur est un torseur dont l’automoment est nul avec R ≠ 0 . Remarque : Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l’axe central. Synthèse la mécanique vue en sup - Page 17 - PCSI Les Ulis IV.4.3 Cours REVISIONS PCSI Décomposition d’un torseur Tout torseur {T } peut se décomposer en la somme d’un torseur glisseur {G } et d’un torseur couple {C } . ur R {T } = {G } + {C } soit uuuur = M ( A) A ur R uuuuuuuuuur + M ( A),Glisseur A r 0 ur C A Remarque : Cette décomposition n’est pas unique. Elle l’est si on impose la condition ur ur supplémentaire C colinéaire à R . On parle alors de « décomposition canonique ». Dans ce cas, L’axe central du torseur est le même que l’axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est bien-sûr nul sur l’axe central. Le moment du ur torseur sur l’axe central, colinéaire à la résultante, est égal au moment C du couple issu de la décomposition. ur C ur C ur C ur C Synthèse la mécanique vue en sup - Page 18 - PCSI Les Ulis Cours REVISIONS PCSI V TABLEAU DES LIAISONS NORMALISEES Nature liaison et repère associé encastrement Schématisation plane Schématisation spatiale Torseur cinématique ou liaison pivot r d'axe ( 0, x ) r z * ou r x r z liaison glissière r de direction x liaison hélicoïdale r d'axe ( 0, x ) A droite r z Ou * r x ur y O r z * ou r x liaison appui plan (ou plane) r de normale z ur y O r z ur y r x r z liaison sphérique ou rotule de centre O r x liaison sphérique à doigt de centre O, de plan de rainure ur r r O, y, z , de doigt Oz liaison linéaire rectiligne (ou arêteplan) de droite de r contact Ox , de r normale z liaison linéaire annulaire (ou sphèrecylindre) de centre O et r d'axe ( 0, x ) liaison ponctuelle (ou sphère–plan) en O r de normale x ou ur y O r x O r z O r x ur y r z r x r z * ou O r x * O ur y ur y Forme canonique conservée ∀P 0 0 0 0 0 0 P X Y Z L M N P ωx 0 0 X Y Z 0 M N P r ∀P ∈ ( 0, x ) 0 Y Z L M N P ∀P 0 0 0 P 0 VX 0 0 0 0 P p ωx 2 π ωx 0 0 0 0 P ur y r x A gauche liaison pivot glissant r d'axe ( 0, x ) ur y O Torseur statique X Y Z − p X 2π M N P r ∀P ∈ ( 0, x ) ωx Vx 0 0 0 0 P 0 Y Z 0 M N P r ∀P ∈ ( 0, x ) 0 VX 0 Vy ω z 0 P 0 0 Z L M 0 P ∀P ωx ω y ω z 0 0 0 0 X Y Z 0 0 0 0 En O, centre de la sphère ωx 0 ω z 0 0 0 0 X Y Z 0 M 0 0 En O, centre de la sphère ω x Vx 0 Vy ω z 0 P 0 0 Z 0 M 0 P ωx Vx ω y 0 ω z 0 0 0 Y Z 0 0 0 0 En O, centre de la sphère ωx ω y ω z X 0 0 0 0 0 P r ∀P ∈ ( 0, x ) 0 Vy Vz P r r ∀P ∈ ( x, O, z ) ou Synthèse la mécanique vue en sup - Page 19 - PCSI Les Ulis Cours Synthèse la mécanique vue en sup REVISIONS PCSI - Page 20 - PCSI Les Ulis Cours Synthèse la mécanique vue en sup REVISIONS PCSI - Page 21 -