Colle Maple no 5 – Thermodynamique

Colle Maple no 5 – Thermodynamique
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Point critique d’un gaz de Van Der Waals
Le but de cette partie est d’étudier l’équation d’état du gaz de Van Der Waals, en particulier son point critique. Une telle étude peut s’appliquer à beaucoup d’autres équations d’état,
potentiellement plus complexes.
L’équation d’état s’écrit :
an2
P + 2 (V − nb) = nRT
V
où a et b dépendent du gaz, R est la constante des gaz parfaits, et n le nombre de moles de gaz.
P, V et T représentent la pression, le volume et la température du gaz.
1. Rappeler la définition du point critique.
2. Exprimer la pression en fonction des autres grandeurs à l’aide de la fonction solve.
3. En déduire le volume et la température critiques Vc et Tc . On pourra utiliser les fonctions
solve, subs et assign.
4. Calculer enfin la pression critique.
5. Réécrire l’équation d’état en variables réduites P∗ =
P
Pc ,
V∗ =
V
Vc ,
T∗ =
T
Tc .
6. Tracer des isothermes dans le diagramme de Clapeyron (P – V), dans les trois cas T < Tc ,
T = Tc et T > Tc .
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Équilibre liquide-vapeur
∂P
On remarque que le long des isothermes sub-critiques (T < Tc ), la compressibilité (− ∂V
) peut
devenir négative, ce qui ne peut pas se produire en pratique, car on est en présence de deux
phases (liquide et gazeuse). On se propose de tracer les courbes donnant la pression et le volume
dans les deux phases.
1. On peut montrer que pour une température sub-critique T donnée, il existe une pression
Pe pour laquelle les deux phases coexistent. L’isobare correspondant à cette pression coupe
alors l’isotherme en trois points, délimitant deux régions bornées de même aire dans le
diagramme de Clapeyron. Le volume de liquide V` correspond alors au minimum des trois
points, et celui de gaz Vg au maximum. Écrire une fonction calculant la différence d’aire
entre les deux régions en fonction de T , P, Vl et Vg .
2. Résoudre numériquement le système d’équations donnant T , V` et Vg en fonction de Pe à
l’aide de la fonction fsolve.
3. Tracer les courbes V` (P) et Vg (P), et les superposer aux isothermes.
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Bonus : Une tasse de chocolat chaud
Étudier le refroidissement d’une tasse de chocolat chaud supposée cylindrique.
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