Ressource UJF plateforme optique interféromètre de Michelson

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-Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 1
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
INTERFEROMETRE DE MICHELSON
PHENOMENES DE DIFFRACTION
PARTIE THEORIQUE
1 - Vibrations lumineuses
1.1 - Ondes électromagnétiques
D'après la théorie électromagnétique, la lumière est due à la propagation simultanée d'un champ
électrique et d'un champ magnétique. Différentes expériences montrent que les vibrations du champ
électrique peuvent représenter la vibration lumineuse dans l'espace où se propage la lumière.
Dans le vide (en l’absence de charges et de courants), les équations de Maxwell s'écrivent :
rot
→E →=− ∂B
→
∂
t
rot
→H →=∂D
→
∂
t
(1)
div D
→
=0div B
→
=0
En tenant compte de la relation B
→
=µ0H
→
, on peut éliminer
H
→
(champ magnétique) ou
E
→
(champ
électrique) entre ces équations, ce qui l'équation d'onde :
∆U=1
c
2δ
2
U
δ
t
2(2)
où ∆U est le laplacien de U qui représente une composante quelconque de
H
→
ou
E
→
et c=
1
ε0µ0
correspond à la vitesse de propagation de la lumière dans le vide.
Onde sphérique
Une source ponctuelle émet des ondes sphériques. Dans le cas de vibrations lumineuses
monochromatiques, les solutions de l'équation (2) sont de la forme :
U=a
rcos ωt−r c
a étant une constante, l'amplitude a/r de l'onde décroît proportionnellement à l'inverse de la distance r à
la source ponctuelle.
Onde plane
Si U ne dépend que de l'une des trois coordonnées, x par exemple, on a une onde plane d'amplitude
constante a :
U=acosωt−
x
c
Rappelons les relations entre ω (pulsation), f (fréquence), T (période), λ (longueur d'onde) :
ω
=
2
π
f
T=
1
f
λ
=
cT
Dans un milieu diélectrique isotrope d'indice n , la vitesse de propagation de la lumière est : v = c/n .
On montre que dans une onde plane
E
→
et
H
→
sont perpendiculaires entre eux et à la direction de
propagation.
Pour une direction quelconque de propagation de vecteur unitaire P .
U=acos ωt−k
→
r
→
avec k
→
=
ω
c
P
→
vecteur d’onde

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ou encore U=Re aejωt−k
→r →
 où Re signifie partie réelle lorsque l’on utilise la notation complexe.
1.2 - Cohérence temporelle
Une source lumineuse capable d'émettre des vibrations monochromatiques, c'est-à-dire des vibrations
illimitées dans le temps est une source qui présente la cohérence temporelle. C'est un cas limite théorique qui
n'existe pas en pratique. Les sources lumineuses émettent des vibrations de durées limitées ou trains d'ondes.
Relation entre la longueur des trains d'ondes et le spectre de la lumière émise.
1.3 - Cohérence spatiale
Une source lumineuse réelle a toujours des dimensions finies, mais un cas particulièrement important en
optique est celui de la "source ponctuelle".
Dans toutes les expériences où l'on utilise des sources qui se comportent comme des sources ponctuelles,
on dit qu'il y a cohérence spatiale. C'est le cas des lasers : tout se passe comme si l'on avait une source
ponctuelle au foyer d'une lentille. Le faisceau émergent est pratiquement cylindrique et tous les points d'une
section normale se trouvent sur la même surface d'onde : ils sont donc en phase et parfaitement cohérents.
(L'étude de la diffraction nous montrera cependant qu'il ne peut exister de faisceaux rigoureusement
parallèles de section finie).
2 - Interférences
2.1 - Principe des interférences
Deux sources ponctuelles monochromatiques qui émettent des vibrations parallèles de même fréquence
sont cohérentes et peuvent donner lieu à des phénomènes d'interférences (intensité résultante différente de
la somme des intensités composantes).
Considérons pour simplifier, deux sources en phase. En un point quelconque du plan d'observation les
deux vibrations provenant des deux sources ont accompli des chemins optiques dont la différence est δ. Les
régions où cette différence de marche δ = k λ (vibrations en phase ; k entier) présentent un maximum de
lumière et correspondent aux franges brillantes. Les régions où δ = (2k + 1) λ/2 (vibrations en opposition de
phase) présentent un minimum de lumière et correspondent aux franges sombres.
2.2 - Conditions pratiques d'observation des interférences
Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré le cas idéal de deux sources temporellement
cohérentes (vibrations de durée illimitée).
Dans le cas des lasers, il est possible d'observer des interférences pendant la durée d'un train d'onde. De
même, la durée de vibration des diapasons permet d'entendre les battements des deux diapasons avant qu'il
ne soit nécessaire de les relancer.
La durée τ de la vibration est appelée temps de
cohérence et sa longueur cτ est la longueur de cohérence
(c = vitesse de la lumière). La longueur de cohérence est
de l'ordre de quelques centimètres pour les sources
spectrales et de l'ordre de quelques dizaines de centimètres
pour les lasers hélium-néon utilisés lors des travaux
pratiques.
Il existe une relation entre la longueur de cohérence et
la composition spectrale de la lumière émise. Plus les trains
d'ondes sont longs et plus le spectre est étroit. C'est ce que
montre la figure ci-dessous. La fréquence νo est la
fréquence moyenne du spectre émis.

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Par contre, avec les sources lumineuses thermiques (ex : lampe spectrale), le temps de cohérence est
tellement court que l'on reçoit un nombre considérable de "train d'ondes" pendant la durée nécessaire pour
faire une observation. Le récepteur perçoit une moyenne des effets produits par la succession rapide de
phénomènes différents qui se brouillent. Deux sources ponctuelles thermiques différentes ne peuvent donner
des interférences observables : elles sont dites incohérentes (intensité résultante égale à la somme de leurs
intensités).
Pour observer des interférences avec des sources thermiques, il faudra donc que les vibrations qui se
superposent proviennent d'une même source lumineuse. Insistons sur le fait que les deux vibrations qui
interférent doivent être parallèles. En effet, deux vibrations perpendiculaires donnent une vibration dont
l'énergie ne dépend pas de la différence de marche des vibrations composantes.
Conclusion
Des interférences sont observables :
a) si les vibrations sont parallèles
b) avec des sources distinctes de même fréquence si la cohérence temporelle est suffisante (lasers)
mais l'expérience est difficile,
c) avec une seule source et un diviseur d'onde si la cohérence temporelle est insuffisante (figure ci-
contre : source lumineuse thermique).
G
M
F
S
S : source lumineuse
G: diviseur d'onde
2.3 - Localisation des franges d'interférences à deux ondes
A partir d'une source ponctuelle et d'un diviseur d'onde, on pourra obtenir des interférences dans toutes
les régions de l'espace où les vibrations se superposent : on dit que les interférences ne sont pas localisées.
Cet état est réalisé en travaux pratiques avec un laser (source quasi ponctuelle rejetée à l'infini) et un
interféromètre de Michelson (diviseur d'onde).
Les phénomènes d'interférences à deux ondes obtenus avec des sources étendues (lampes spectrales)
correspondent à des franges localisées dans une région bien déterminée de l'espace.
3 - Interféromètre de Michelson
3.1 - Description
AC : Verre anticalorique destiné à éviter
l'échauffement de l'appareil
S : Séparatrice, lame de verre assez
épaisse sur laquelle est déposée (face ab) une
couche mince semi transparente dont
l'épaisseur est telle que sous une incidence de
45° les faisceaux transmis et réfléchis aient
même intensité. Peut pivoter autour d'un axe
vertical.
C : Compensatrice rigoureusement de
même épaisseur et même verre que la
séparatrice. Peut pivoter soit autour d'un axe
horizontal, soit autour d'un axe vertical.
F : Miroir "fixe" muni d'un réglage
d'inclinaison fin.
M : Miroir mobile muni d'un réglage
d'inclinaison grossier et d'un réglage de
translation suivant AB

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3.2 - Systèmes équivalents
3.2.1 Lame à faces parallèles
Soit M' l'image de M donnée par la séparatrice. Lorsque M' est perpendiculaire à OB, M' et F
constituent une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur e (Fig. 2). Quand les chemins optiques OAB et
ODEG sont égaux (Fig. 1) : e = 0 (position de contact optique).
On montre (à l'aide du tracé des rayons) que la différence de marche entre les vibrations des deux
rayons qui interfèrent est identique à celle obtenue à partir des rayons 1 et 2 émergeant de la lame d'air (Fig.
3). Soit δg cette différence de marche géométrique :
δg=IJ+JK( )−IH =
2
e
cosi−
2
e
cosisin icos
π
2−i
 =2ecosi
Les réflexions en G et B sur les miroirs F et M sont de même nature.
Par contre la réflexion en O sur la surface ab de la séparatrice est une réflexion air-verre pour le rayon
OD et une réflexion verre-air pour le rayon AO (Fig. 1).
La différence de marche optique entre les vibrations des deux rayons arrivant vers l'observateur est donc
δ=2ecosi+
λ
2
Franges d'interférences obtenues
D'après la formule précédente : δ = Cte si i = Cte.
Tous les rayons dont l'angle d'incidence sur la lame est égale à i forment un cône de révolution ayant
pour axe la normale à la lame. Il en est de même pour les rayons émergents correspondants qui interfèrent à
l'infini (rayons parallèles Fig. 3). Les franges d'interférences, dites ici franges d'égale inclinaison, sont donc
des anneaux "localisés à l'infini" ayant pour axe la normale à la lame. On peut les observer dans le plan focal
d'une lentille dont l'axe principal serait dirigé normalement à la lame d'air.
Franges brillantes obtenues pour δ=kλ
Franges sombres obtenues pour δ=(2k+1)λ/2
En général, il n'y a au centre (i = 0) ni une frange brillante, ni une frange sombre, car il faudrait avoir :
soit 2e = kλfrange sombre
soit 2e = (2k+1)λ /2 frange brillante
Si on a réglé l'épaisseur e pour avoir au centre une zone d'intensité nulle, dans ce cas on aura 2e =
koλ , ko étant l'ordre d'interférence au centre.
Les anneaux d'intensité nulle sont donnés par :
2e cos i = kλ k étant l'ordre d'interférence de l'anneau correspondant à une inclinaison i des rayons.
Si i est petit, alors cosi=1−i
2
2
ce qui entraîne i=k0-k
( )λ
e ou encore ip=pλ e avec p=k0-k
Fig 1 Fig 2

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Dans le plan focal d'une lentille de distance focale f, le rayon du pième anneau (après le centre) sera :
rf=fpλ
e
Pour un anneau d'ordre k donné, i diminue quand e diminue et inversement (ceci résulte de la condition
2e cos i = k λ).
En lumière blanche : pour de faibles épaisseurs, les premiers anneaux sont irisés et on arrive aux "teintes
de Newton" . Au-delà, les franges se brouillent et on obtient un "blanc d'ordre supérieur". L'analyse
spectroscopique donne un spectre cannelé.
Expérience de FIZEAU
Si on éclaire le Michelson par de la lumière contenant deux longueurs d'onde λ1 et λ2 (λ1 < λ2), deux
systèmes de franges vont se superposer.
La visibilité des franges sera maximum quand les franges brillantes de λ1 seront quasi superposées aux
franges brillantes de λ2 (franges périodiquement en concordance); elle sera minimum quand les franges
brillantes de λ1 se superposeront aux franges sombres de λ2 (franges périodiquement en discordance). Cette
dernière situation se produira quand la différence de marche sera telle que :
2e=k1+
1
2
 λ1=k2λ2
d’où k1−k2+1
2=2e
∆
λ
λ
1
λ
2
avec
∆
λ
=
λ
1
−
λ
2
L'entier (k1 - k2) varie d'une unité lorsque 2e passe à 2(e + ∆e), différence de marche correspondant à la
discordance suivante,
k1−k2+3
2=
2
e
+
∆
e
(
)
∆
λ
λ1λ2
La différence entre les deux équations précédentes donne :
∆λ =λ2−λ1=
λ
1
λ
2
2∆e
Si on fait la mesure sur n périodes du phénomène :
∆λ = n
λ
1
λ
2
2∆e( )n
3.2.2 Coin d'air
Lorsque M n'est pas perpendiculaire à OG, M ' et F constituent un coin d'air d'angle ε (Fig. 4). On
montre (à l'aide du tracé des rayons) que la différence de marche entre les vibrations des deux rayons qui
interfèrent est identique à celle produite par ce coin d'air "virtuel".
A une distance x de l'arête (Fig. 5), l'épaisseur du coin d'air est : e = JJ' = ε x (ε étant un angle petit)