Ressource UJF plateforme optique interféromètre de Michelson

INTERFEROMETRE DE MICHELSON
PHENOMENES DE DIFFRACTION
PARTIE THEORIQUE
1 - Vibrations lumineuses
1.1 - Ondes électromagnétiques
D'après la théorie électromagnétique, la lumière est due à la propagation simultanée d'un champ
électrique et d'un champ magnétique. Différentes expériences montrent que les vibrations du champ
électrique peuvent représenter la vibration lumineuse dans l'espace où se propage la lumière.
Dans le vide (en l’absence de charges et de courants), les équations de Maxwell s'écrivent :
→
→ →
∂B
rot E = −
∂t
→
div D = 0
→
→
∂D
rot H =
∂t
→ →
(1)
→
div B = 0
→
→
→
En tenant compte de la relation B = µ 0 H , on peut éliminer H (champ magnétique) ou E (champ
électrique) entre ces équations, ce qui l'équation d'onde :
∆U =
1 δ 2U (2)
c 2 δt 2
où ∆U est le laplacien de U qui représente une composante quelconque de
→
H
ou
→
E
et c =
1
ε0 µ 0
correspond à la vitesse de propagation de la lumière dans le vide.
Onde sphérique
Une source ponctuelle émet des ondes sphériques. Dans le cas de vibrations lumineuses
monochromatiques, les solutions de l'équation (2) sont de la forme :
a
 r
U = cos ω  t − 
 c
r
a étant une constante, l'amplitude a/r de l'onde décroît proportionnellement à l'inverse de la distance r à
la source ponctuelle.
Onde plane
Si U ne dépend que de l'une des trois coordonnées, x par exemple, on a une onde plane d'amplitude
constante a :

U = a cos ω  t−

x

c
Rappelons les relations entre ω (pulsation), f (fréquence), T (période), λ (longueur d'onde) :
ω = 2π f
T=
1
f
λ = cT
Dans un milieu diélectrique isotrope d'indice n , la vitesse de propagation de la lumière est : v = c/n .
→
→
On montre que dans une onde plane E et H sont perpendiculaires entre eux et à la direction de
propagation.
Pour une direction quelconque de propagation de vecteur unitaire P
→ →
→
ω→

U = a cos ωt − k r  avec k = P vecteur d’onde


c
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 1
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
 j  ωt − →k →r 

ou encore U = Re a e 


 où Re signifie partie réelle lorsque l’on utilise la notation complexe.

1.2 - Cohérence temporelle
Une source lumineuse capable d'émettre des vibrations monochromatiques, c'est-à-dire des vibrations
illimitées dans le temps est une source qui présente la cohérence temporelle . C'est un cas limite théorique qui
n'existe pas en pratique. Les sources lumineuses émettent des vibrations de durées limitées ou trains d'ondes.
La durée
τ
de la vibration est appelée temps de
cohérence et sa longueur cτ est la longueur de cohérence
(c = vitesse de la lumière). La longueur de cohérence est
de l'ordre de quelques centimètres pour les sources
spectrales et de l'ordre de quelques dizaines de centimètres
pour les lasers hélium-néon utilisés lors des travaux
pratiques.
Il existe une relation entre la longueur de cohérence et
la composition spectrale de la lumière émise. Plus les trains
d'ondes sont longs et plus le spectre est étroit. C'est ce que
montre la figure ci-dessous. La fréquence νo est la
fréquence moyenne du spectre émis.
Relation entre la longueur des trains d'ondes et le spectre de la lumière émise.
1.3 - Cohérence spatiale
Une source lumineuse réelle a toujours des dimensions finies, mais un cas particulièrement important en
optique est celui de la "source ponctuelle ".
Dans toutes les expériences où l'on utilise des sources qui se comportent comme des sources ponctuelles,
on dit qu'il y a cohérence spatiale . C'est le cas des lasers : tout se passe comme si l'on avait une source
ponctuelle au foyer d'une lentille. Le faisceau émergent est pratiquement cylindrique et tous les points d'une
section normale se trouvent sur la même surface d'onde : ils sont donc en phase et parfaitement cohérents.
(L'étude de la diffraction nous montrera cependant qu'il ne peut exister de faisceaux rigoureusement
parallèles de section finie).
2 - Interférences
2.1 - Principe des interférences
Deux sources ponctuelles monochromatiques qui émettent des vibrations parallèles de même fréquence
sont cohérentes et peuvent donner lieu à des phénomènes d'interférences (intensité résultante différente de
la somme des intensités composantes).
Considérons pour simplifier, deux sources en phase. En un point quelconque du plan d'observation les
deux vibrations provenant des deux sources ont accompli des chemins optiques dont la différence est δ. Les
régions où cette différence de marche δ = k λ (vibrations en phase ; k entier) présentent un maximum de
lumière et correspondent aux franges brillantes. Les régions où δ = (2k + 1) λ/2 (vibrations en opposition de
phase) présentent un minimum de lumière et correspondent aux franges sombres.
2.2 - Conditions pratiques d'observation des interférences
Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré le cas idéal de deux sources temporellement
cohérentes (vibrations de durée illimitée).
Dans le cas des lasers, il est possible d'observer des interférences pendant la durée d'un train d'onde. De
même, la durée de vibration des diapasons permet d'entendre les battements des deux diapasons avant qu'il
ne soit nécessaire de les relancer.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 2
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
Par contre, avec les sources lumineuses thermiques (ex : lampe spectrale), le temps de cohérence est
tellement court que l'on reçoit un nombre considérable de "train d'ondes" pendant la durée nécessaire pour
faire une observation. Le récepteur perçoit une moyenne des effets produits par la succession rapide de
phénomènes différents qui se brouillent. Deux sources ponctuelles thermiques différentes ne peuvent donner
des interférences observables : elles sont dites incohérentes (intensité résultante égale à la somme de leurs
intensités).
Pour observer des interférences avec des sources thermiques, il faudra donc que les vibrations qui se
superposent proviennent d'une même source lumineuse. Insistons sur le fait que les deux vibrations qui
interférent doivent être parallèles. En effet, deux vibrations perpendiculaires donnent une vibration dont
l'énergie ne dépend pas de la différence de marche des vibrations composantes.
Conclusion
Des interférences sont observables :
a) si les vibrations sont parallèles
b) avec des sources distinctes de même fréquence si la cohérence temporelle est suffisante (lasers)
mais l'expérience est difficile,
c) avec une seule source et un diviseur d'onde si la cohérence temporelle est insuffisante (figure cicontre : source lumineuse thermique).
M
S : source lumineuse
G: diviseur d'onde
S
F
G
2.3 - Localisation des franges d'interférences à deux ondes
A partir d'une source ponctuelle et d'un diviseur d'onde, on pourra obtenir des interférences dans toutes
les régions de l'espace où les vibrations se superposent : on dit que les interférences ne sont pas localisées.
Cet état est réalisé en travaux pratiques avec un laser (source quasi ponctuelle rejetée à l'infini) et un
interféromètre de Michelson (diviseur d'onde).
Les phénomènes d'interférences à deux ondes obtenus avec des sources étendues (lampes spectrales)
correspondent à des franges localisées dans une région bien déterminée de l'espace.
3 - Interféromètre de Michelson
3.1 - Description
AC : Verre anticalorique destiné à éviter
l'échauffement de l'appareil
S : Séparatrice, lame de verre assez
épaisse sur laquelle est déposée (face ab) une
couche mince semi transparente dont
l'épaisseur est telle que sous une incidence de
45° les faisceaux transmis et réfléchis aient
même intensité. Peut pivoter autour d'un axe
vertical.
C : Compensatrice rigoureusement de
même épaisseur et même verre que la
séparatrice. Peut pivoter soit autour d'un axe
horizontal, soit autour d'un axe vertical.
F
: Miroir "fixe" muni d'un réglage
d'inclinaison fin.
M : Miroir mobile muni d'un réglage
d'inclinaison grossier et d'un réglage de
translation suivant AB
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 3
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
3.2 - Systèmes équivalents
3.2.1 Lame à faces parallèles
Fig 1
Fig 2
Soit M' l'image de M donnée par la séparatrice. Lorsque M' est perpendiculaire à OB, M' et F
constituent une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur e (Fig. 2). Quand les chemins optiques OAB et
ODEG sont égaux (Fig. 1) : e = 0 (position de contact optique).
On montre (à l'aide du tracé des rayons) que la différence de marche entre les vibrations des deux
rayons qui interfèrent est identique à celle obtenue à partir des rayons 1 et 2 émergeant de la lame d'air (Fig.
3). Soit δ g cette différence de marche géométrique :
2e
2e
π 
δ g = (IJ + JK) − IH =
−
sin i cos −i = 2e cosi
2 
cosi cos i
Les réflexions en G et B sur les miroirs F et M sont de même nature.
Par contre la réflexion en O sur la surface ab de la séparatrice est une réflexion air-verre pour le rayon
OD et une réflexion verre-air pour le rayon AO (Fig. 1).
La différence de marche optique entre les vibrations des deux rayons arrivant vers l'observateur est donc
δ = 2e cosi +
λ
2
Franges d'interférences obtenues
D'après la formule précédente : δ = Cte si i = Cte.
Tous les rayons dont l'angle d'incidence sur la lame est égale à i forment un cône de révolution ayant
pour axe la normale à la lame. Il en est de même pour les rayons émergents correspondants qui interfèrent à
l'infini (rayons parallèles Fig. 3). Les franges d'interférences, dites ici franges d'égale inclinaison, sont donc
des anneaux "localisés à l'infini" ayant pour axe la normale à la lame. On peut les observer dans le plan focal
d'une lentille dont l'axe principal serait dirigé normalement à la lame d'air.
Franges brillantes obtenues pour δ=kλ
Franges sombres obtenues pour δ=(2k+1)λ/2
En général, il n'y a au centre (i = 0) ni une frange brillante, ni une frange sombre, car il faudrait avoir :
soit 2e = kλ
frange sombre
soit 2e = (2k+1)λ /2
frange brillante
Si on a réglé l'épaisseur e pour avoir au centre une zone d'intensité nulle, dans ce cas on aura 2e =
koλ , ko étant l'ordre d'interférence au centre.
Les anneaux d'intensité nulle sont donnés par :
2e cos i = kλ k étant l'ordre d'interférence de l'anneau correspondant à une inclinaison i des rayons.
2
Si i est petit, alors cosi = 1− i ce qui entraîne i = (k - k ) λ ou encore ip = p λ avec p=k0-k
0
2
e
e
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 4
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
Dans le plan focal d'une lentille de distance focale f, le rayon du pième anneau (après le centre) sera :
λ
rf = f p
e
Pour un anneau d'ordre k donné, i diminue quand e diminue et inversement (ceci résulte de la condition
2e cos i = k λ).
En lumière blanche : pour de faibles épaisseurs, les premiers anneaux sont irisés et on arrive aux "teintes
de Newton" . Au-delà, les franges se brouillent et on obtient un "blanc d'ordre supérieur". L'analyse
spectroscopique donne un spectre cannelé .
Expérience de FIZEAU
Si on éclaire le Michelson par de la lumière contenant deux longueurs d'onde λ1 et λ2 (λ1 < λ2), deux
systèmes de franges vont se superposer.
La visibilité des franges sera maximum quand les franges brillantes de λ1 seront quasi superposées aux
franges brillantes de λ2 (franges périodiquement en concordance); elle sera minimum quand les franges
brillantes de λ1 se superposeront aux franges sombres de λ2 (franges périodiquement en discordance). Cette
dernière situation se produira quand la différence de marche sera telle que :
1

2e =  k1 +  λ1 = k2 λ 2

2
d’où k1 −k 2 + 1 = 2 e ∆λ avec ∆λ = λ 1 −λ 2
2 λ1 λ 2
L'entier (k1 - k2) varie d'une unité lorsque 2e passe à 2(e + ∆e), différence de marche correspondant à la
discordance suivante,
k1 −k 2 +
3 2(e + ∆e ) ∆λ
=
2
λ1 λ 2
La différence entre les deux équations précédentes donne :
λ λ
∆λ = λ 2 − λ1 = 1 2
2 ∆e
Si on fait la mesure sur n périodes du phénomène :
∆λ = n
λ1 λ 2
2 (∆e)n
3.2.2 Coin d'air
Lorsque M n'est pas perpendiculaire à OG, M ' et F constituent un coin d'air d'angle ε (Fig. 4). On
montre (à l'aide du tracé des rayons) que la différence de marche entre les vibrations des deux rayons qui
interfèrent est identique à celle produite par ce coin d'air "virtuel".
A une distance x de l'arête (Fig. 5), l'épaisseur du coin d'air est : e = JJ' = ε x (ε étant un angle petit)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 5
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
La différence de marche entre les vibrations de deux rayons réfléchis en I et J et qui arrivent vers
l'observateur est (e considérée constante dans cette zone) :
λ
δ = 2e cos i +
2
Si la source est étendue, les franges sont localisées sur une surface qui est le lieu des points de rencontre
P de deux rayons réfléchis (comme 1 et 2) provenant du même rayon incident SI.
Sur la Fig. 5, lorsqu'on déplace SI parallèlement à lui-même (angle i constant pour un faisceau incident
parallèle sur le miroir), la nouvelle figure formée est homothétique de la première par rapport au point C. P se
déplace donc sur une droite passant par C. Par suite, la surface de localisation est un plan de trace CP
passant par l'arête du coin d'air. Pour rendre la Fig. 5 plus claire, les angles ε et i ont été considérablement
augmentés : en réalité le plan de localisation est très proche du coin d'air.
Franges d'interférences obtenues
Les surfaces δ = Cte sont des plans e = Cte
parallèles à l'une des faces du coin d'air.
Les plans correspondant à δ = kλ sont
équidistants de ∆e = λ/2cos i. Il en est de même si
δ = (2k+1)λ/2.
∆e
Ο
ε
Les franges d'interférences observées, dites franges d'égale épaisseur (e du coin d'air), sont les lignes
d'intersection de ces plans avec le plan de localisation, soit à peu près l'autre face : elles sont donc rectilignes,
équidistantes et parallèles à l'arête du coin d'air.
Pour une incidence voisine de l'incidence normale, l'expression de la différence
de marche est donc:
• franges brillantes δ = k λ = 2 ε x + λ
2
• franges sombres δ = (2k + 1)
ce qui entraîne 2 ε x = k λ
λ
λ
= 2εx +
2
2
La distance entre deux franges sombres consécutives, soit l'interfrange, vaut : x k+1 − x k = λ . Cette
2ε
distance augmente quand ε diminue. L'arête du coin d'air (x = 0) correspond à une frange sombre .
En lumière blanche, sur l'arête , il y a toujours une frange sombre. Au fur et à mesure que l'on s'éloigne
apparaissent des franges colorées correspondant aux "teintes de Newton". Plus loin, il y a brouillage : on
obtient un "blanc d'ordre supérieur". L'observation au spectroscope montre un spectre cannelé où manque un
certain nombre de longueurs d'onde .
4 - Diffraction
4.1 - Existence des phénomènes de diffraction
Soit une source ponctuelle S qui éclaire un écran E2 à
travers l'ouverture T pratiquée dans l'écran E1 (Fig 1). Au
lieu d'observer sur E2 "l'ombre" de l'ouverture T, on
constate que la partie lumineuse s'étale plus que ne
l'indique l'optique géométrique. On dit que l'ouverture T
diffracte la lumière. Le phénomène de diffraction observé
sur l'écran E2 est appelé phénomène de diffraction à
distance finie ou diffraction de FRESNEL.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 6
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
En travaux pratiques, nous nous intéresserons aux phénomènes de diffraction lorsque la source S et
l'écran E2 sont à l'infini. On a alors le montage expérimental de la figure 2. La source S est au foyer d'un
objectif O1 , l'ouverture T est éclairée par une onde plane et on observe les phénomènes dans le plan focal
image E 2 d'un second objectif O2 . Les phénomènes de diffraction étudiés dans ces conditions sont appelés
phénomènes de diffraction à l'infini ou diffraction de FRAUNHOFER. On peut noter que O1 et O2 peuvent
être remplacés par un seul objectif O (Fig. 3) .
4.2 - Principe de HUYGENS-FRESNEL
Chaque point M de la surface d'onde Σ (Fig. 4) est
considéré comme une source secondaire qui émet une
ondelette sphérique dans un milieu homogène et isotrope.
Il peut y avoir interférences entre les différentes
ondelettes. On admet que les sources secondaires
réparties sur Σ ont la phase qui correspond à l'état
vibratoire sur cette surface d'onde Σ .
Figure 4
4.3 - Diffraction de FRAUNHOFER
Le principe de Huygens-Fresnel permet de calculer d'une façon simple les phénomènes de diffraction à
l'infini que nous étudions.
Soit un objectif O éclairé par un faisceau de
rayons parallèles (Fig. 5) . L'onde plane incidente
Σ est limitée par un écran E1 percé d'une ouverture
T, et l'image géométrique de la source se trouve en F
. D'après le principe de Huygens-Fresnel, tous les
éléments de Σ se comportent comme des sources
secondaires en phase. Sur la figure 5, on a représenté
un ensemble de rayons diffractés dans la direction θ.
Ces rayons se rassemblent en P dans le plan focal E2
de l'objectif O .
Figure 5
La vibration en P est la résultante d'une infinité de vibrations envoyées par les sources secondaires
réparties sur ∑ . Le calcul de l'état vibratoire en P se ramène donc à un calcul d'interférences. On
supposeraque l'ouverture de O est faible : dans ces conditions, les rayons qui arrivent en P sont peu inclinés
les uns par rapport aux autres et les vibrations sont pratiquement parallèles. Il n'est donc pas nécessaire de
faire intervenir la direction des vibrations : les vibrations seront considérées comme des grandeurs scalaires.
Nous supposerons en outre que l'amplitude du rayonnement émis par les sources secondaires est
indépendante de la direction, c'est-à-dire de l'angle θ . L'approximation est valable à condition que θ reste
petit.
4.3.1) Diffraction par une fente
De largeur a, de longueur l >> a . Le calcul donne pour l'intensité diffractée dans la direction θ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 7
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
(Fig. 5).
 π asin θ
sin2 


λ 
I = I0
2
 π a sinθ 



λ 
I=I0 pour θ=0
I=0 pour sinθ=kλ/a avec k≠ 0
Figure 6
4.3.2) Diffraction par une ouverture circulaire de rayon R
Le calcul donne I = 4 I  J1 ( m)
0
 m 
2
avec m =
2π R
sin θ
λ
er
et J1 (m ) fonction de Bessel du 1 ordre.
Dans le plan focal de la lentille on verra des
anneaux alternativement brillants et sombres centrés
sur F.
Figure 7
4.3.3) Diffraction par deux fentes identiques
Largeur a (longueur l >> a). Distance des centres b.
Comme précédemment, le faisceau lumineux
incident est perpendiculaire au plan des fentes (Fig. 8) .
Les vibrations diffractées par les deux fentes dans
la direction θ ont même amplitude A et sont déphasées
de φ :
Figure 8
 π a sinθ 
sin 

 λ 
A = I0
 πa sinθ 


 λ 
L'intensité résultante est :
Φ=
2π C2 H 2 π bsinθ
=
λ
λ
π a sinθ 
sin 2 

 λ 
2  π bsin θ 


I = I0
2 cos 
λ 
πa
sin
θ


 λ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 8
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
On a des franges d'interférences
modulées par le phénomène de
diffraction dû à l'une ou l'autre des deux
fentes (Fig. 9) .
Figure 9
4.3.4) Diffraction par N fentes identiques
Fentes de largeur a (longueur l >> a ) . Distance entre deux fentes voisines : b .
La vibration diffractée par les N fentes dans la direction θ a pour amplitude complexe :
(
S = A 1 + e -j Φ + e -2jΦ + .........+ e -(N-1) jΦ
( A et φ ont même expression qu'au § 4.4.3)
L’intensité est I=S S* (S* complexe conjugué de S) soit
I =A
NΦ
2
Le terme d’interférence sin 2
sin 2
Φ
2
2
NΦ
2
Φ
sin 2
2
sin 2
Φ=
)
2 π bsinθ
λ
présente des maxima principaux pour =2kπ soit sin θ = k
λ
b
Des minima nuls ont lieu pour φ = 2kπ/N ; ils alternent avec des maxima secondaires correspondant à
peu près à φ = (2k + 1)π / N .
Entre 2 maxima principaux consécutifs, on a N-1 minima nuls et N-2 maximums secondaires
La courbe de diffraction (terme A2 ) module ces maximums d'interférences (Fig. 10) .
Figure 10
4.3.5) Application au réseau
La relation (2) montre que pour k donné, θ est fonction de λ. Le réseau permet donc d'analyser une
lumière complexe (spectre d'ordre k).
4.4 - Pouvoir séparateur d'un objectif diaphragmé par une fente de largeur d
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 9
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble
On forme avec une lentille L (objectif), les images A'1 et A'2 sur l'écran E, de deux sources ponctuelles
A1 et A2 très proches l'une de l'autre. La lentille est diaphragmée par une fente diffractante F de largeur d.
Chaque point image est remplacé par une figure de diffraction qui se ramène à une tache centrale de demilargeur angulaire λ/d. Les deux points sources seront "vus" séparés par l'oeil (ou un autre récepteur) à
travers l'objectif diaphragmé si leurs images respectives sont suffisamment séparées :
images séparées
α > αm
limite de séparation
α m = λ/d
images non séparées
α < αm
Le critère de Rayleigh fixe conventionnellement la limite de séparation : les deux taches sont dites
séparées lorsque l'écartement angulaire α de leurs centres est supérieure à leur demi-largeur commune,
autrement dit la limite de séparation est atteinte lorsque le premier minimum nul d'une figure de diffraction
coïncide avec le maximum central de l'autre.
On appelle "pouvoir séparateur" d'un objectif diaphragmé par une fente de largeur d la plus petite
distance angulaire α m séparant les deux sources correspondant à la limite de séparation, soit : α m = λ / d
Remarques :
- On peut prendre pour A1 et A2 des fentes lumineuses perpendiculaires au plan de figure, donc
parallèles à F .
- Dans la partie pratique, la distance entre les fentes sources A1 et A2 étant fixée (soit α fixé), on fera
varier la largeur d de la fente F pour obtenir la limite de séparation et mesurer ainsi le pouvoir séparateur α m
= λ/dm
- On a supposé que le pouvoir séparateur n'était pas limité :
* par les aberrations (objectif parfaitement stigmatique)
* par la structure discontinue du récepteur (ici cellules rétiniennes)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Interféromètre de Michelson- Phénomènes de diffraction - partie théorique 10
Plate-forme Optique et Photonique C.E.S.I.R.E. Université J.Fourier Grenoble