Électromagnétisme Chapitre 3 : Mouvements de particules chargées

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
Électromagnétisme
Chapitre 3 : Mouvements de particules chargées
dans des champs électriques et magnétiques
L’étude des mouvements de particules chargées dans des champs électriques et magnétiques présente du fait de son
vaste domaine d’applications un intérêt considérable. Elle nous permettra notamment de comprendre le fonctionnement
des tubes cathodiques d’oscilloscopes, des accélérateurs et analyseurs de particules.
Objectifs :
• Savoirs :
–connaître l’expression de la force de Lorentz
–connaître l’expression de l’énergie potentielle dont dérive la composante électrique de la
force de Lorentz
• Savoirs faire :
–déterminer le mouvement d’une particule chargée en présence d’un champ électrique
uniforme ou d’un champ magnétique uniforme indépendants du temps
–déterminer la vitesse acquise par une particule chargée dans un champ électrique
1 Force de Lorentz exercée sur une particule chargée
1.1 Expression
Dans un référentiel d’étude Rsupposé galiléen, on considère une particule ponctuelle Mde charge qde masse m
animée d’une vitesse −→ v.
Cette particule est soumise à l’action simultanée d’un champ électrique −→ Eet d’un champ magnétique −→ B.
La force qui s’applique sur cette particule est appelée force de Lorentz et s’écrit :
−→
FLorentz =q−→
E+−→ v∧−→ B
avec 
−→
Fe=q−→ Ecomposante électrique de la force de Lorentz
−−→
Fm=q−→ v∧−→
Bcomposante magnétique de la force de Lorentz
Les champs électriques et magnétiques considérés seront uniformes et indépendants du temps.
Remarques :
- l’unité SI du champ électrique −→ Eest le volt par mètre (V ·m−1), celle du champ magnétique −→ Best le tesla (T)
- remarquons que le rapport k−→
Ek
k−→ Bkest homogène à une vitesse
S. Bénet 1

1.2 Puissance de la force de Lorentz
• La puissance de la force de Lorentz s’écrit :
P−→
FLorentz=−→
FLorentz ·−→ v=q−→ E·−→ v+q−→
v∧−→ B·−→ vOr −→ v∧−→ Bnormal à −→ v=⇒−→
v∧−→ B·−→ v= 0
⇐⇒ P −→
FLorentz=q−→
E·−→ v=P−→
Fe
• On montrera ultérieurement que le poids d’une particule chargée est négligeable devant la force de Lorentz.
Le théorème de la puissance cinétique s’écrit alors :
dEc
dt=P−→
FLorentz=P−→
Fe
Seule la composante électrique de la force de Lorentz est responsable de la variation d’énergie cinétique de
la particule, elle permet d’accélérer ou de décélérer la particule, i.e. de modifier la norme de la vitesse de la
particule.
La composante magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas.
2 Action d’un champ électrique uniforme et indépendant du temps sur
une particule chargée
2.1 Étude générale
2.1.1 Position du problème
• Une particule ponctuelle Mde charge qde masse mentre avec une vitesse initiale −→ v0=v0(cos α−→ ez+ sin α−→ ey)
dans une région où règne un champ électrique −→ E=−E−→ eyuniforme et indépendant du temps.
O
z
y
−→
v0α
−→
E
Figure 1 – Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique
• En pratique, un champ électrique −→ Euniforme et indépendant du temps peut être produit par des plaques planes
parallèles portées à des potentiels différents (armatures d’un condensateur plan, électrodes planes).
• Comparons le poids de la particule à la composante électrique de la force de Lorentz.
Prenons l’exemple d’un électron de masse m= 9,1·10−31 kg et de charge q=−e=−1,6·10−19 C soumis au
champ de pesanteur g= 9,8 m ·s−2et à un champ électrique d’intensité E. On a :
m g
q E 
≃10−10
E≪10−10 car les champs électriques usuels sont tels que E≫1 V ·m−1
Dans les conditions expérimentales, le poids de la particule est toujours négligeable devant la composante élec-
trique de la force de Lorentz.
• Dans la région où règne le champ électrique, on réalise un vide poussé (pression très faible, inférieure à 10−5bar)
pour éviter les collisions entre les particules en mouvement et les molécules du milieu.
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2.1.2 Étude dynamique
• Le principe fondamental de la dynamique s’écrit
m−→ a=−→ Fe⇐⇒ −→ a=d−→
v
dt=q m
−→
E
Le mouvement de la particule est uniformément varié.
• En intégrant par rapport au temps, on obtient l’expression de la vitesse de la particule à tout instant :
−→
v=q
m
−→
E t +−→ v0
La trajectoire est contenue dans le plan formé par −→ Eet −→ v0: le mouvement de la particule est plan.
• En intégrant encore une fois par rapport au temps, on obtient l’expression du vecteur position de la particule à
tout instant : −−→
OM =q
2m
−→
E t2+−→ v0t+−−−→ OM0
La particule étant à l’instant initial en O, il vient −−−→ OM0=−→ 0 , il vient :
−−→
OM =q
2m
−→
E t2+−→ v0t(1)
• Par projection, on obtient les équations horaires du mouvement de la particule
x= 0
y=−q
2mE t2+v0sin α t
z=v0cos α t
• En éliminant tentre les composantes yet z, on obtient l’équation de la trajectoire
–Si α6=π/2, il vient :
y=−q
2m
E
v2
0cos2αz2+ tan α z
La trajectoire est un arc de parabole, d’axe parallèle (Oy), contenu dans le plan (Oyz).
–Si α=π/2 (−→ v0colinéaire à −→ E, il vient :
z= 0
La trajectoire est une droite, il s’agit de l’axe (Oy).
2.1.3 Étude énergétique
• Déterminons l’expression de l’énergie potentielle de la particule soumise à un champ électrique −→ E.
Rappelons la relation entre le champ électrique et le potentiel électrique :
−→
E=−−−−→ grad V ⇐⇒ −→ E·d−−→ OM =−dV
S. Bénet 3/13

Le travail élémentaire de la composante électrique de la force de Lorentz s’écrit :
δW −→
Fe=−→
Fe·d−−→ OM =q−→ E·d−−→ OM =−qdV=−d (q V ) = −dEp
La composante électrique de la force de Lorentz est donc une force conservative qui dérive de l’énergie potentielle
Eptelle que :
Ep=q V
• Puisque la particule n’est soumise qu’à des forces conservatives, le théorème de l’énergie mécanique s’écrit :
dEm= 0 =⇒ Em=Cte
L’énergie mécanique de la particule se conserve et on peut écrire :
Em=Ec+Ep=1
2mv2+qV =Cte (2)
2.2 Application : principe de l’oscilloscope analogique
2.2.1 Description générale
Le tube d’un oscilloscope est une ampoule dans laquelle sont installés un canon à électrons, deux systèmes de plaques
déflectrices et un écran qui devient luminescent sous l’impact des électrons.
Ce tube est à symétrie cylindrique d’axe (Oz) horizontal.
L’ampoule de verre et les générateurs qui imposent les différences de potentiel entre les plaques ne sont pas représentés.
Y
X
z
cathode Anode de
focalisation Anode
d’accélération P1
P′
1
P2
P′
2
écran
canon à électrons
Figure 2 – Schéma de principe d’un tube cathodique d’oscillloscope
2.2.2 Accélération des électrons
• Une cathode, portée au potentiel VC, émet des électrons de masse
m= 9,1·10−31 kg et de charge q=−e=−1,6·10−19 C avec une
vitesse quasi nulle.
Ces électrons arrivent sur l’anode portée au potentiel VAet la tra-
versent par une petite ouverture située sur l’axe (Oz) avec une vitesse
−→
v0=v0−→
ez.
Sachant que la tension appliquée entre l’anode et la cathode vaut
2,0·103V, recherchons la vitesse des électrons à la sortie du canon.
z
M
−→
v
−→
E
Cathode
(VC)
Anode
(VA)
U0>0
Figure 3 – Canon à électrons
S. Bénet 4/13

• Exprimons la conservation de l’énergie mécanique d’un électron entre la cathode (C) et l’anode (A) :
Em,C =Em,A ⇐⇒ −e VC=1
2m v2
0−e VA
La vitesse d’un électron à la sortie du canon est :
v0=r2e
m(VA−VC)
A.N. : v0=s2×1,6·10−19
9,1·10−31 ×2,0·103= 2,7·107m·s−1
Remarque : les lois de la mécanique classique ne sont valables que tant que les vitesses des électrons restent
inférieures au dixième de la célérité de la lumière c≃3,0·108m·s−1. Il serait donc préférable d’adopter un
traitement relativiste du problème.
Entre le canon à électrons et les deux systèmes de plaques déflectrices, la vitesse des électrons reste constante égale à
−→
v0=v0−→ ezcar l’on néglige l’action de tout champ dans cette zone.
2.2.3 Déviation des électrons
• Le faisceau d’électrons passe alors dans les deux systèmes de plaques déflectrices. Ces dernières produisent la
déviation du faisceau d’électrons avant qu’il ne frappe l’écran.
–La déviation selon (OX) est assurée par la paire de plaques (P1, P ′
1). La tension entre les plaques P1et P′ 1
est imposée de manière que le spot balaye l’écran périodiquement de gauche à droite, à vitesse constante.
Cette tension est appelée tension de balayage.
Nous considérerons pour la suite que la tension entre les plaques (P1, P ′
1) est nulle.
–La déviation selon (OY ) est assurée par la paire de plaques (P2, P ′
2) soumises à la tension Uque l’on mesure
et que l’on souhaite afficher.
Nous considérerons pour la suite que la tension Uentre les plaques (P2, P ′
2) est une constante positive.
• Recherchons la relation entre la tension Uet l’ordonnée Ydu point d’impact de l’électron sur l’écran.
I
O′
y
z
Y
Y
Écran
D
ℓ
2
α
d
P2
O
P′
2(U > 0)
ℓ
−→
v0
−→
v1
−→
E
Figure 4 – Déviation électrostatique
S. Bénet 5/13