CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE

MAGNÉTOSTATIQUE
Des charges immobiles créent un champ électrostatique.
La mise en mouvement de ces charges donne naissance à des courants électriques; ceux-ci sont sources de champ magnétique, comme le sont les aimants; dans le cas de courants permanents, le champ est dit magnétostatique.
Nous allons dans ce chapitre, décrire les distributions de courant, sources de champ magnétostatique, reconnaître leurs
propriétés de symétrie et voir les propriétés de symétrie correspondantes du champ, étudier les propriétés du flux et, dans le
prochain chapitre, étudier les propriétés de la circulation du champ magnétique, définir et étudier lignes de champ et tubes
de champ, enfin revoir et compléter l’étude du dipôle magnétique.
I.
Distributions volumiques et distributions filiformes de courant
1)
Rappels
 Soit un référentiel. On appelle courant électrique tout mouvement d’ensemble de particules chargées dans ce référentiel.
 Soit une surface S munie en tout point N d’une normale orientée par un vecteur unitaire. L’intensité du courant électrique à travers S, à l’instant t, est :
I
Q
: {charge qui traverse S dans le sens de la normale, entre t et t + dt}/dt : en A (i.e. C.s-1)
dt
n

2)
Vecteur densité volumique de courant
Soit  la densité particulaire des porteurs de charge mobiles, q leur charge individuelle. Le produit q représente la densité
volumique de charges mobiles.

Le vecteur vitesse d’ensemble des porteurs de charge en un point donné N du matériau est

1
v  lim
 O 
v

k
,
k
où la somme porte sur les porteurs de charge d’un volume  élémentaire autour de N, dont on fait tendre la taille vers zéro
à l’échelle macroscopique, mais contenant toujours un nombre important de porteurs de charge. On dit que cette vitesse est
4.2a. magnétostatique distributions spectres
1
une grandeur nivelée (c’est une valeur moyenne spatiale). Alors que les vitesses individuelles sont de l’ordre du km par
seconde, la vitesse d’ensemble est plutôt de l’ordre du mm par seconde.
Exemple simple : fil cylindrique de faible section
Considérons un tronçon de fil orienté, de section d’aire s. Supposons-le parcouru par un courant d’intensité I, engendré par

 
les électrons animés d’une vitesse d’ensemble v =vu u ( u vecteur unitaire ayant le sens positif choisi, vu étant algébrique
de valeur absolue notée v).
Considérons une section droite du fil P de centre P. Les électrons
qui traversent cette section entre t et t+dt sont ceux qui, à l’instant t
se trouvent à une distance de P inférieure à vdt. La charge Q qui
traverse la section considérée entre t et t+dt correspond aux svdt
électrons contenus dans un cylindre de volume svdt :
vdt
v
P
P

Q=qsvudt (avec ici, les porteurs de charges étant des électrons, q=-e et vu<0) et I 
I
Électrons qui traversent P
entre t et t+dt :
Nombre : .s.v.dt
|Charge| : e..s.v.dt
Q
 qsv u  esv
dt
Cette expression est algébrique : I>0  vu<0 (les électrons circulent dans le sens « - »).
L’intensité du courant est proportionnelle à l’aire de la section droite s : elle est de la forme I=js où j=I/s=ev est l’intensité
par unité de surface perpendiculaire au courant. « j » s’appelle densité de courant volumique, elle s’exprime en A/m2.

On définit en chaque point P du conducteur, le vecteur densité de courant volumique j ( P), dont la direction est celle du

vecteur vitesse moyenne des porteurs de charge au voisinage de P, v (P), dont le sens est celui qu’auraient des porteurs de
charges positives, et enfin dont la norme est l’intensité par unité de surface perpendiculaire au courant.


Dans le cas d’un conducteur métallique j (P)=q v (P) et I=j.s=
 
 j.dS
P

De façon plus générale, on définit le vecteur densité de courant volumique j en écrivant que l’intensité I à travers une
section du conducteur est le flux à travers celle-ci du vecteur densité de courant volumique : 
I





j(P).dS(P) avec j (P)=q v (P)
P

La densité de courant volumique est la norme de j , elle s’exprime en A.m-2 (i.e. en C.s-1.m-2).

Cas usuel : conducteur métallique de section s faible avec une densité de courant j uniforme :

intensité à travers une section orientée dans le sens de j : I=j.s avec j  qvu  ev

Attention : j est appelé vecteur densité de courant volumique car il caractérise un écoulement en volume de porteurs de
charges (dans le volume du conducteur). On notera cependant que sa norme s’exprime bien en ampère par unité de surface.
 
On appelle élément de courant porté par le volume d autour du point M : dC  j d en A.m.
Remarque : dans le cas où le courant électrique est du à plusieurs types « k » de porteurs de charge mobiles (densité parti
culaire k, charge individuelle qk, vecteur vitesse d’ensemble v k ), le vecteur densité volumique de courant s’écrit alors :



j
jk 
 k q k vk


type k
type k
4.2a. magnétostatique distributions spectres
2
3)
Distributions de courant filiformes
Les conducteurs de faible section à l’échelle macroscopique peuvent être assimilés à des courbes (ou fils), ce qui revient à
négliger l’aire de toute section.
On qualifie alors une telle distribution de filiforme; elle est caractérisée uniquement par l’intensité I qu’elle transporte.


On appelle élément de courant porté par l’élément de fil dl autour du point M : dC  Id l en A.m.
Remarque : le modèle de la distribution filiforme correspond à une densité de courant volumique infinie puisque I=j.s avec
s tendant vers zéro et I non nulle.
II.
Symétries et invariances des distributions et du champ créé
1)
Symétries et invariances des distributions de courant
a)
Symétrie plane
Soit une distribution D. On dit qu’elle admet un plan de symétrie  si et seulement si, pour tout point M de la distribution,

le vecteur densité volumique de courant j ' en M’ symétrique de M par rapport à  est égal au symétrique (vectoriel) du
vecteur densité volumique de courant en M.
Ou encore :  est un plan de symétrie de D si la distribution obtenue par symétrie de D par rapport à , coïncide avec D :
même géométrie et même sens pour les courants.
exemples :
 Cas d’un fil cylindrique « infini », de section non nulle. Tout plan contenant son axe est un plan de symétrie.
 spire plane : son plan est plan de symétrie
 bobines de Helmolz : le plan médian est plan de symétrie
b)
Antisymétrie plane
Soit une distribution D. On dit qu’elle admet un plan d’antisymétrie  si et seulement si, pour tout point M de la distribu-

tion, le vecteur densité volumique de courant j ' en M’ symétrique de M par rapport à  est égal à l’opposé du symétrique
(vectoriel) du vecteur densité volumique de courant en M.
Ou encore :  est un plan d’antisymétrie de
D inchangée mais change le sens des courants.
D si l’opération de symétrie par rapport à , laisse la géométrie de
exemples :
 spire plane circulaire : tout plan contenant son axe est plan d’antisymétrie
 bobines de Helmolz : tout plan contenant son axe est plan d’antisymétrie
 fil rectiligne infini : tout plan perpendiculaire au fil est plan d’antisymétrie
c)
Invariance par translation
Soit une distribution D. On dit qu’elle est invariante par translation le long d’un axe Oz, si et seulement si la distribution
image de D par translation quelconque le long de Oz coïncide avec D.
4.2a. magnétostatique distributions spectres
3
exemple : fil rectiligne infini
d)
Invariance par rotation autour d’un axe
Soit une distribution D. On dit qu’elle est invariante par rotation autour d’un axe Oz, si et seulement la distribution image
de D par rotation quelconque autour de Oz coïncide avec D.
exemple : distribution de courant annulaire, spire circulaire, bobine de Helmolz, fil rectiligne infini
2)
Propriétés de symétrie et invariances du champ magnétique
Le principe de Curie s’applique : le champ magnétique a au moins les symétries et invariances de sa source (distribution de
courant).
a)
Invariance d’une distribution source et du champ correspondant
Le champ magnétique possède les mêmes invariances que sa distribution source :
Si la distribution source est invariante par rotation autour d’un axe , le champ qu’elle produit l’est également : par conséquent, les composantes du champ ne dépendent pas de la coordonnée angulaire  (du système de coordonnées cylindriques
d’axe ).
Si la distribution source est invariante par translation le long d’un axe, le champ qu’elle produit l’est également : par
conséquent, les composantes du champ ne dépendent pas de la coordonnée cartésienne sur cet axe.
b)
En un point d’un plan de symétrie de la distribution source, le champ est
orthogonal à ce plan.
On admettra par ailleurs le résultat plus général suivant :
En M’ symétrique d’un point M par rapport à un plan de symétrie de la distribution, le champ magnétique est
l’opposé du symétrique (par rapport à ce même plan) du champ en M (ou encore : en deux points M et M’ symétriques par rapport à un plan de symétrie de la distribution, les champs sont antisymétriques, i.e. opposés du symétrique par rapport à ce plan).
c)
En un point d’un plan d’antisymétrie de la distribution source, le champ
appartient à ce plan.
On admettra par ailleurs le résultat plus général suivant :
En M’ symétrique d’un point M par rapport à un plan d’antisymétrie de la distribution, le champ magnétique est le
symétrique (par rapport à ce même plan) du champ en M.
3)
Exemples d’utilisation
a)
champ d’une spire circulaire
Soit une spire de centre O, de rayon R, d’axe Oz, parcouru par un courant d’intensité I, Oz étant orienté dans le sens +
relatif au sens du courant dans la spire. On utilise les coordonnées cylindriques d’axe Oz.
Soit M(z) un point de Oz. Tout plan contenant Oz (donc M) est plan d’antisymétrie; le champ en M appartient donc à tous
ces plans : il est selon Oz : en un point de l’axe de la spire, le champ est selon cet axe.
Soit M(r,,z=0) un point du plan de la spire. Le plan de la spire étant un plan de symétrie, le champ en M est normal à ce
plan : seule la composante Bz est non nulle. A priori Bz(r,).
4.2a. magnétostatique distributions spectres
4
Soit M(r,,z) un point quelconque de l’espace. Le plan passant par M et contenant l’axe de la spire étant un plan
d’antisymétrie, le champ en M appartient à ce plan : la composante B est nulle. Seules Br et Bz sont non nulles, elles dépendent à priori des 3 coordonnées de M. Cependant, la distribution étant invariante par rotation autour de Oz, les compoBr  Br (r, z)

santes du champ en M ne dépendent pas de la coordonnée  de M : BM(r, , z)  B  0
B z  B z (r, z)
b)
Fil rectiligne infini
On utilise les coordonnées cylindriques d’axe le fil, Oz. Soit M(r,,z) un point quelconque de l’espace.
Le plan passant par M et contenant l’axe du fil étant un plan de symétrie, le champ en M est normal à ce plan : seule la
composante B est non nulle.
La distribution étant invariante par toute rotation autour du fil et par toute translation le long du fil, la composante B  du
champ en M(r,,z) ne dépend ni de z, ni de donc ne dépend que de r.
Br  0

BM(r, , z)  B  B (r )
Bz  0
III.
Topographie du champ magnétique
1)
Lignes de champ magnétique et spectre
a)
Définition

Une ligne de champ (ldc) est une courbe orientée, tangente en chacun de ses points M au champ magnétique B(M) ,

l’orientation de la ligne de champ étant donnée par le sens de B(M) .
Dans l'espace il existe une infinité de lignes de champ.
En un point quelconque de l’espace où le champ n’est pas nul, il passe une et une seule ligne de champ.
On appelle spectre d’une distribution source de champ magnétique, un réseau de lignes de champ magnétiques.
On visualise un spectre en saupoudrant de la limaille de fer dans la zone étudiée; chacun grain s’aimante (devient un petit
aimant) et s’oriente selon la direction du champ.
b)
Exemple 1 : spectre d’un fil infini
Soit un fil rectiligne infini d’axe Oz, parcouru par un courant algébrique I. (Quand on a le choix, on oriente Oz de façon
que I soit positif).
Les ldc sont des cercles concentriques.
Le champ est bien orthoradial et sa composante en M(r,,z) est indépendante de  et de z. Elle ne dépend que de r, distance
de M au fil.
Sens : règle du tire-bouchon. B est positive si I est positif.
Symétries et invariances : liées à celles de la distribution.
4.2a. magnétostatique distributions spectres
5
z
I

u


B  B u 

u
c)
Exemple 2 : champ d’une spire circulaire
Soit une spire parcourue par un courant I. Par analogie avec les aimants, on définit sa face nord et sa face sud (rège du tirebouchon : lorsqu’on tourne le tire bouchon dans le sens du courant, il progresse, à l’intérieur du circuit, de la face sud vers
la face nord.
plan de la spire
champ d’une spire
circulaire
Commentaire du spectre :
 Les ldc ne divergent pas à partir de la source (le courant) mais tourbillonnent autour de celle-ci.
 un tire bouchon qui progresse dans le sens de l’intensité d’un élément de courant source, tourne dans le sens des lignes
de champ qui entourent cet élément.
 En un point de l’axe, un tire-bouchon dont le manche tourne dans le sens du courant progresse dans le sens du champ.
 L’écartement entre lignes de champ croît quand on s’éloigne de la source.
 Symétries et invariances (plan du schéma, plan de la spire, rotation autour de son axe…)
4.2a. magnétostatique distributions spectres
6
d)
Exemple 3 : spectre des bobines de Helmoltz
plan des spires
champ des bobines de
Helmolz
Commentaire du spectre :
 Les ldc ne divergent pas à partir de la source (le courant) mais tourbillonnent autour de celle-ci.
 Dans une grande partie de l’espace entre les bobines, les lignes de champ sont parallèles. Des mesures montrent que
dans cette partie, la norme du champ reste quasiment constante : les bobines de Helmoltz ont la propriété de produire
un champ quasiment uniforme entre les deux bobines.
 Parallélisme des ldc et uniformité du champ.
2)
Tube de champ
Un tube de champ est une surface imaginaire formée par l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur une courbe
fermée.
IV.
Caractère conservatif du flux du champ magnétique
Nous admettrons que le champ magnétique est à flux conservatif, c’est-à-dire que le flux magnétique sortant de toute surface fermée est nul :
 
B
 . dS  0
quelle que soit la surface fermée 

Remarques :
 On déduit qu’un tube de champ transporte un flux constant
 
B
 . dS  0   1   2   1   2

4.2a. magnétostatique distributions spectres
7
1
lat
2
Si on applique ce résultat à un tube de champ magnétique élémentaire, on déduit que les lignes de champ s’écartent
quand on se dirige vers une région de champ faible (le tube de champ s’évase).
La conservation du flux s’écrit : B1S1  B2S2
Ainsi :
B1  B2  S1  S2
 Le caractère conservatif du champ magnétique est général : Tout champ magnétique, permanent ou non, est à flux
conservatif.
 Cette propriété distingue encore champs électrostatique et magnétostatique; d’après le théorème de Gauss, ce n’est que
dans une région vide de charge que le flux à travers une surface fermée du champ électrostatique est nul.
 Ainsi, pour le champ magnétique, il n’existe pas de sources qui joueraient le rôle de charges magnétiques, à partir desquelles le champ divergerait (on dit qu’il n’existe pas de monopoles magnétiques). Le champ électrique diverge à partir
de ses charges sources, le champ magnétique tourbillonne autour de ses courants sources.
4.2a. magnétostatique distributions spectres
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