Audition Maître des Conférences Université Paris Diderot - IMJ-PRG
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Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Audition Maı̂tre des Conférences Université Paris Diderot - Paris 7 Riccardo Brasca Paris, 24 avril 2013 Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Études et enseignement Publications et prépublications Présentation générale Formation Juillet 2006, Milan L3 en mathématiques, note : 110/110 cum laude Juillet 2008, Milan M2 en mathématiques, note : 110/110 cum laude Mémoire : Galois cohomology via almost étale extensions Mars 2012, Milan doctorat en mathématiques Thèse : p-adic modular forms of non integral weight over Shimura curves Directeur : Fabrizio Andreatta Après la thèse Avril-septembre 2012, Bonn : post-doc, MPIM Octobre 2012-présent, Lyon : post-doct, UMPA, ENS Lyon Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Études et enseignement Publications et prépublications Présentation générale Formation Juillet 2006, Milan L3 en mathématiques, note : 110/110 cum laude Juillet 2008, Milan M2 en mathématiques, note : 110/110 cum laude Mémoire : Galois cohomology via almost étale extensions Mars 2012, Milan doctorat en mathématiques Thèse : p-adic modular forms of non integral weight over Shimura curves Directeur : Fabrizio Andreatta Après la thèse Avril-septembre 2012, Bonn : post-doc, MPIM Octobre 2012-présent, Lyon : post-doct, UMPA, ENS Lyon Enseignement Novembre-février 2009, Milan : TD Analyse III (L2 math) Mars-juillet 2011, Milan : TD Algèbre II (L1 math) Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Études et enseignement Publications et prépublications Publications I p-adic modular forms of non-integral weight over Shimura curves, Compositio Mathematica 149 (2013), no. 1 Prépublications I Quaternionic modular forms of any weight. Soumis pour publication, 2012 I Ordinary modular forms over some unitary Shimura varieties without ordinary locus. En préparation I Eigenvarieties for cuspforms over PEL type Shimura varieties with dense ordinary locus. En préparation Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Familles p-adiques de formes modulaires théorie des formes modulaires ←→ théorie des représentations de Galois ? ←− familles de représentations Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Familles p-adiques de formes modulaires théorie des formes modulaires ←→ théorie des représentations de Galois ? ←− familles de représentations ? = familles p-adiques de formes propres surconvergentes paramétrées par le poids Il faut donc considérer des poids qui ne sont pas entiers : Espace des poids W = variété rigide avec une injection naturelle Z ,→ W Rappel : forme modulaire surconvergente de poids k ∈ Z = section de ω ⊗k sur X (v ) ) X (0) = X ord voisinage strict Coleman : notion analogue pour tous les poids Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Familles p-adiques de formes modulaires théorie des formes modulaires ←→ théorie des représentations de Galois ? ←− familles de représentations ? = familles p-adiques de formes propres surconvergentes paramétrées par le poids Il faut donc considérer des poids qui ne sont pas entiers : Espace des poids W = variété rigide avec une injection naturelle Z ,→ W Rappel : forme modulaire surconvergente de poids k ∈ Z = section de ω ⊗k sur X (v ) ) X (0) = X ord voisinage strict Coleman : notion analogue pour tous les poids Théorème (Hida et Coleman) Presque toutes les formes propres classiques vivent dans une famille de formes propres surconvergentes Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Pourquoi étudier les familles de formes ? Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Pourquoi étudier les familles de formes ? L’étude des familles p-adiques est un ingrédient fondamental pour la démonstration de I dernier théorème de Fermat I conjecture de Serre I conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2 Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Pourquoi étudier les familles de formes ? L’étude des familles p-adiques est un ingrédient fondamental pour la démonstration de I dernier théorème de Fermat I conjecture de Serre I conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2 Tout ceci est pour GL2 / Q Question naturelle Existe-t-il une théorie similaire pour des groupes G différents de GL2 / Q ? Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Pourquoi étudier les familles de formes ? L’étude des familles p-adiques est un ingrédient fondamental pour la démonstration de I dernier théorème de Fermat I conjecture de Serre I conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2 Tout ceci est pour GL2 / Q Question naturelle Existe-t-il une théorie similaire pour des groupes G différents de GL2 / Q ? But (idée) Remplacer les courbes modulaires par des variétés de Shimura plus générales, en particulier par des variétés de Shimura de type PEL Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke (cas GL2 / Q) On peut organiser toutes les formes propres surconvergentes dans un objet global Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke (cas GL2 / Q) On peut organiser toutes les formes propres surconvergentes dans un objet global Variété de Hecke = espace de module de systèmes de valeurs propres associées aux formes modulaires p-adiques qui sont : I propres pour les opérateurs de Hecke I surconvergentes I de pente finie pour l’opérateur U Rappel : f forme modulaire propre xf : T → K système de valeurs propres La variété de Hecke E est une variété rigide et on a un morphisme naturel π: E → W xf 7→ poids de f Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke (cas GL2 / Q) On peut organiser toutes les formes propres surconvergentes dans un objet global Variété de Hecke = espace de module de systèmes de valeurs propres associées aux formes modulaires p-adiques qui sont : I propres pour les opérateurs de Hecke I surconvergentes I de pente finie pour l’opérateur U Rappel : f forme modulaire propre xf : T → K système de valeurs propres La variété de Hecke E est une variété rigide et on a un morphisme naturel π: E → W xf 7→ poids de f Application : démonstration de la conjecture de Kisin Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke pour varieties de Shimura Y = variété de Shimura de type PEL Ha : Y rig → [0, 1] = valuation tronquée de l’invariant de Hasse v ∈ [0, 1] ∩ Q Y (v ) := Ha−1([0, v ]) Y (v ) = voisinage strict quasi-compact du lieu ordinaire Y (0) de poids entier Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 formes surconvergentes Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke pour varieties de Shimura Y = variété de Shimura de type PEL Ha : Y rig → [0, 1] = valuation tronquée de l’invariant de Hasse v ∈ [0, 1] ∩ Q Y (v ) := Ha−1([0, v ]) Y (v ) = voisinage strict quasi-compact du lieu ordinaire Y (0) de poids entier formes surconvergentes Stratégie pour construire les variétés de Hecke Approche géométrique (Andreatta, Iovita, Pilloni et Stevens) : 1. définir au-dessus de Y (v ) les faisceaux ω ⊗χ interpolation des ω ⊗k 2. mettre les ω χ en familles au-dessus de W 3. construire la variété de Hecke (recette de Buzzard) Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Motivations Variétés de Hecke Variétés de Hecke pour varieties de Shimura Y = variété de Shimura de type PEL Ha : Y rig → [0, 1] = valuation tronquée de l’invariant de Hasse v ∈ [0, 1] ∩ Q Y (v ) := Ha−1([0, v ]) Y (v ) = voisinage strict quasi-compact du lieu ordinaire Y (0) de poids entier formes surconvergentes Stratégie pour construire les variétés de Hecke Approche géométrique (Andreatta, Iovita, Pilloni et Stevens) : 1. définir au-dessus de Y (v ) les faisceaux ω ⊗χ interpolation des ω ⊗k 2. mettre les ω χ en familles au-dessus de W 3. construire la variété de Hecke (recette de Buzzard) Nous aimerions étudier les formes plutôt que les systèmes de valeurs propres Approche géométrique ⇒ si f est associé à xf ∈ π −1(χ) et π est unramifié en χ, on sait que f vit dans un famille de formes propres surconvergentes (et non pas seulement xf ) Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales Résultats obtenus et travaux en cours Objectif à long terme Construire et étudier les variétés de Hecke pour des variétés de Shimura de type PEL en utilisant l’approche géométrique Problèmes considérés A. Qu’est-ce qu’on peut dire si le lieu ordinaire est vide ? I I cas des courbes strictes associées à des algèbres des quaternions (thèse, cas i) cas des groupes U(a, b) (en cours, cas ii) B. Peut-on généraliser la construction aux variétés de Shimura de type PEL générales avec lieu ordinaire ? (en cours) Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales A. Que fait-on si Y (v ) est vide ? Si Y est associé à un groupe unitaire, Y ord peut être vide Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales A. Que fait-on si Y (v ) est vide ? Si Y est associé à un groupe unitaire, Y ord peut être vide Idée 1. 2. 3. 4. remplacer Y ord par Y µ−ord, qui est toujours non vide remplacer Ha par un nouveau invariant de Hasse pour définir Y (v )µ construire ω ⊗χ au-dessus de Y (v )µ construire E en utilisant la recette de Buzzard Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales A. Que fait-on si Y (v ) est vide ? Si Y est associé à un groupe unitaire, Y ord peut être vide Idée 1. 2. 3. 4. remplacer Y ord par Y µ−ord, qui est toujours non vide remplacer Ha par un nouveau invariant de Hasse pour définir Y (v )µ construire ω ⊗χ au-dessus de Y (v )µ construire E en utilisant la recette de Buzzard Comment ça marche ? 1 marche toujours 2 marche bien dans les cas : cas i Y est une courbe stricte (Kassaei) cas ii U(a, b) associé à une extension quadratique de Q, avec a 6= b (Goldring et Nicole) Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales 3 est le cœur du problème : cas i l’idée clé : utiliser systématiquement la dualité stricte de Faltings. En effet, une variété abélienne A au-dessus de Y µ−ord n’est pas ordinaire au sens classique, mais on peut montrer que le dual strict A[p]0,∨ est étale et réciproquement, si A[p]0,∨ est étale, alors A vit au-dessus de Y µ−ord cas ii travail en cours. Il semble que la théorie marche bien au-dessus de Y µ−ord, mais pas au-dessus de Y µ−ord(v ) théorie des formes ordinaires Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales 3 est le cœur du problème : cas i l’idée clé : utiliser systématiquement la dualité stricte de Faltings. En effet, une variété abélienne A au-dessus de Y µ−ord n’est pas ordinaire au sens classique, mais on peut montrer que le dual strict A[p]0,∨ est étale et réciproquement, si A[p]0,∨ est étale, alors A vit au-dessus de Y µ−ord cas ii travail en cours. Il semble que la théorie marche bien au-dessus de Y µ−ord, mais pas au-dessus de Y µ−ord(v ) théorie des formes ordinaires 4 se réduit à vérifier les hypothèses de la construction de Buzzard : cas i tout marche bien, d’où le théorème ci-dessous cas ii les difficultés sont les mêmes que dans le cas d’une variété de Shimura de type PEL générale Théorème Dans les cas des courbes strictes l’approche géométrique il existe une courbe de Hecke qui est construite par Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales B. Variétés de Shimura de type PEL générales Travail en cours avec les hypothèses suivantes : I Y est associé à un groupe symplectique ou à un groupe unitaire (type A ou C) I le centre F de l’algèbre simple de la donnée de Shimura satisfait Y F ⊗Q Qp ∼ Mn (FP) = I où les FP sont des extensions finies de Qp Y ord n’est pas vide ⇒ on peut travailler avec l’invariant de Hasse classique La construction des faisceaux ω ⊗χ marche bien ⇒ on a une bonne notion de famille de formes modulaires surconvergentes Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales B. Variétés de Shimura de type PEL générales Travail en cours avec les hypothèses suivantes : I Y est associé à un groupe symplectique ou à un groupe unitaire (type A ou C) I le centre F de l’algèbre simple de la donnée de Shimura satisfait Y F ⊗Q Qp ∼ Mn (FP) = I où les FP sont des extensions finies de Qp Y ord n’est pas vide ⇒ on peut travailler avec l’invariant de Hasse classique La construction des faisceaux ω ⊗χ marche bien ⇒ on a une bonne notion de famille de formes modulaires surconvergentes Pour utiliser la recette de Buzzard il faut considérer des formes paraboliques Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales On a besoin d’une compactification arithmétique Y ,→ X , donc on suppose p non ramifié Qu’est-ce qu’il reste à faire ? I I I étendre les faisceaux ω ⊗χ à X (v ) définir notion de formes paraboliques en utilisant ω ⊗χ(−D), où D := X \ Y vérifier les hypothèses de Buzzard pour les formes paraboliques Théorème Avec les hypothèses ci-dessus, il existe une variété de Hecke, construite par l’approche géométrique, qui paramètre les formes paraboliques propres surconvergentes de pente finie Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales On a besoin d’une compactification arithmétique Y ,→ X , donc on suppose p non ramifié Qu’est-ce qu’il reste à faire ? I I I étendre les faisceaux ω ⊗χ à X (v ) définir notion de formes paraboliques en utilisant ω ⊗χ(−D), où D := X \ Y vérifier les hypothèses de Buzzard pour les formes paraboliques Théorème Avec les hypothèses ci-dessus, il existe une variété de Hecke, construite par l’approche géométrique, qui paramètre les formes paraboliques propres surconvergentes de pente finie Problèmes ouverts I I les hypothèses sont-elles essentielles ? classicité Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7 Présentation générale Thème de recherche Résultats obtenus et travaux en cours Lieu ordinaire vide Variétés de Shimura générales Merci ! Riccardo Brasca Audition MCF - Paris 7
