Ondes électromagnétiques dans les milieux Notes

physique
année scolaire 2014/2015
Ondes électromagnétiques dans les milieux
Notes
de cours
mardi 10 février 2015
I-
Propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur
1. Plasma de conductivité imaginaire pure
Plasma localement neutre sans collisions de conductivité imaginaire pure s'y
retrouver
un plasma est un milieu ionisé, constitué :
• d'ions positifs quasi-xes ;
• d'électrons de charge −e, de masse me , de densité ne , de vitesse ~ve .
Le plasma est peu dense, de sorte qu'on pourra négliger les interactions entre les particules chargées.
1 Étude des électrons du plasma
exercice
~ = Ẽ e−j (ω t−k z) ~u existe dans le plasma.
Une onde électromagnétique de champ électrique complexe Ẽ
0
x
B Montrer que la partie magnétique de la force de Lorentz appliquée à un électron est négligeable pour
peu que la vitesse de celui soit faible devant c.
B En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.
B En déduire la conductivité complexe du plasma.
Conductivité du plasma
à retenir
Dans le cas d'un plasma, la conductivité est imaginaire pure : γ̃ = j
ωp est appelée pulsation plasma.
ω2
ε0 ωp .
remarque
On a trouvé pour une onde dont le complexe associé est e
une conductivité de partie imaginaire
est positive, cette dernière aurait été négative pour une onde avec un complexe e+j (ω t−k z) .
−j (ω t−k z)
Absence d'eet Joule dans le plasma
s'y retrouver
~ sont en quadrature de phase. Ainsi, la puissance
Puisque la conductivité est imaginaire pure, ~j et E
échangée par eet Joule est de moyenne nulle.
3 Équations de propagation et de dispersion dans un plasma
On admet que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire γ̃ = j
B Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le plasma.
B En déduire la relation de dispersion.
spé PC
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exercice
ω2
ε0 ωp .
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4 Comportement du plasma vis-à-vis de l'onde
• pour ω > ωp , le plasma est transparent pour l'onde électromagnétique ;
théorème
• pour ω < ωp , l'onde électromagnétique ne se propage pas dans le plasma (c'est une onde évanes-
cente).
Application à la propagation à travers l'ionosphère
schéma
La gure 1 représente l'ionosphère qui peut être considérée comme un plasma. Les ondes radio haute
fréquence traversent l'ionosphère (communication avec les satellites). Mais les ondes basses fréquences s'y
rééchissent.
Figure 1 Application à la propagation à travers l'ionosphère
2. Conducteur ohmique de conductivité réelle
Conducteur ohmique dans l'ARQS
s'y retrouver
un conducteur ohmique est un métal constitué :
• d'ions positifs quasi-xes ;
• d'électrons de charge −e, de masse me , de densité ne , de vitesse ~ve .
Le métal est dense, de sorte que les interactions entre les particules chargées sont importantes.
Conductivité du conducteur ohmique
à retenir
Dans le cas d'un métal à basses fréquence, on a déjà montré que la conductivité est réelle : γ̃ = γr avec
γr ∈ R .
6 Equations de propagation et de dispersion dans un conducteur ohmique
exercice
B Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le conducteur ohmique. B En déduire la relation
de dispersion.
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f
δ
50 Hz
9 mm
10 kHz
0, 7 mm
1 MHz
70 µm
Table 1 Épaisseurs de peau dans le cas du cuivre
7 Comportement du conducteur ohmique vis-à-vis de l'onde
L'onde électromagnétique
ne pénètre que sur une faible
q
2
mique : δ = ω µ0 γr .
théorème
épaisseur de peau dans le conducteur oh-
Épaisseurs de peau dans le cas du cuivre
tableau
Le tableau 1 présente les diérentes valeurs de l'épaisseur de peau dans le cas du cuivre, en fonction de la
fréquence.
Eet de peau
s'y retrouver
L'eet de peau ou eet pelliculaire (ou plus rarement eet Kelvin) est un phénomène électromagnétique
qui fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs. Ce
phénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants
alternatifs.
Il provoque la décroissance de la densité de courant à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie du
conducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.
Cet eet peut être utilisé pour alléger le poids des lignes de transmission à haute fréquence en utilisant
des conducteurs tubulaires, ou même des tuyaux, sans perte de courant.
Conducteur parfait
dénition
On pourra considérer qu'un conducteur est parfait si les ondes électromagnétiques ne pénètrent quasiment pas dans le matériau, c'est-à-dire si
γ→∞⇔δλ
3. Propagation dans les conducteurs dans le cas général : conductivité complexe
8 Étude mécanique de l'électron dans un métal réel
exercice
On s'intéresse à un électron de charge q , de masse m supposé ponctuel qui ressent :
• une force de frottement uide −f.ṙ.~ur (très faible, due à l'interaction avec les ions du réseau métallique) ;
~ ext (z, t).
• la force de Lorentz due au champ électrique extérieur variable q.E
En eet, une onde électromagnétique polarisée rectilignement impose
~ ext (t) = E0 . cos (ω.t − k.z) ~ux
E
B En posant le temps caractéristique τ =
est de la forme
m
f
˜~
~˜j = γ̃ (ω) .E
montrer que la densité volumique de courant complexe ~˜j
avec
γ̃ (ω) =
γ0
1 − j.τ.ω
B Montrer que les charges relaxent sur un temps caractéristique θ.
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Conductivité d'un métal réel
à retenir
Pour un métal, la conductivité est complexe :
γ̃ (ω) =
ε0 ωp2
γ0
= 1
1−jτω
τ −jω
Pulsations caractéristiques :
Il existe trois pulsations caractéristiques τ1 < ωp <
moyenne arithmétique des deux précédentes
r
ωp =
s'y retrouver
1
θ
11
=
τθ
car la pulsation plasma est dénie comme la
r
γ0
τ.0
Exemple d'ordres de grandeur pour ces trois pulsations caractéristiques dans
le cas de l'aluminium.
tableau
Le tableau 2 présente un exemple d'ordres de grandeur pour ces trois pulsations caractéristiques.
1
τ
14
10 Hz
ωp
2.1016 Hz
1
θ
18
10 Hz
Table 2 Ordres de grandeur pour les trois pulsations caractéristiques dans le cas de l'aluminium.
10 Équations de propagation et de dispersion dans un métal
B Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le métal.
B En déduire la relation de dispersion.
exercice
Comportements du conducteur réel vis à vis de l'onde
• si ω δ(ω) =
• si
1
τ q
ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes), l'onde est
s'y retrouver
amortie avec l'épaisseur de peau
2
µ0 .γ0 .ω ,
ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles), l'onde ne se propage pas et est amortie : il s'agit
d'une onde évanescente. Le corollaire est une réexion totale de l'onde incidente sur le métal,
• si τ1 ωp < ω (c'est le cas à partir du domaine UV), il y a propagation avec dispersion, mais
sans absorption,
• si τ1 ωp ω (c'est le cas pour les rayonnements X), il y a propagation sans dispersion ni
absorption, comme dans le vide.
1
τ
le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction de
la fréquence.
schéma
La gure 2 représente le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction de la
fréquence. Dans le cas de la ionosphère (partie supérieure de l'atmosphère), un plasma assimilable à un
métal, avec une pulsation plasma ωp ∼ 10M Hz , on distinguera
• les grandes ondes (pour lesquelles ω ωp ) qui se rééchissent sur la ionosphère
• les ondes courtes, FM TV ou satellite (pour lesquelles ω ωp ) pour qui la ionosphère est transparente.
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Figure 2 le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction de la fréquence.
II-
Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu d'indice complexe
1. Milieu DLHI d'indice complexe
Milieu DLHI
s'y retrouver
Le milieu est DLHI, c'est à dire
• diélectrique : non conducteur, sans charges ;
~);
• linéaire : l'eet (p~) est proportionnel à la cause (E
• homogène : le facteur de proportionnalité ne dépend pas de l'endroit où l'on se trouve dans le milieu ;
• isotrope : ce facteur de proportionnalité est le même dans toutes les directions.
11 Des équations de Maxwell à l'équation de D'Alembert dans un milieu
diélectrique
exercice
B Réécrire les équations de Maxwell pour les champs complexes associés dans le milieu diélectrique, en
remplaçant ε0 par ε̃r ε0 .
B Démontrer l'équation de d'Alembert pour le champ électrique.
B Démontrer l'équation de d'Alembert pour le champ magnétique.
˜~
=
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E
−j.(ω.t−k̃z−ϕ)
E .e
~u.
0
B Trouver la relation de dispersion.
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Indice complexe du milieu :
dénition
La relation de dispersion peut se simplier en
k̃ = ±ñ
ω
c
ñ (sans dimension) est appelé indice du milieu diélectrique. Il est complexe, on peut écrire : < (ñ) = nr
et = (ñ) = −ni .
Structure de l'onde dans un milieu diélectrique
à retenir
L'onde plane progressive monochromatique qui se propage avec un vecteur d'onde ~k˜ = k̃.~uz = ñ ωc ~uz
est telle que
~k˜ ˜
˜~
˜~
~ = ñ ~uz ∧ E
B
= ∧E
ω
c
Forme des ondes :
s'y retrouver
i
h
z
z
ω.z
ω.z
˜~
E
= E+ .e−ni c e−j.(ω.(t−nr c )−ϕ+ ) + E− .e+ni c e−j.(ω.(t+nr c )−ϕ− ) .~u
˜~
L'onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement est de la forme E
E0 .e−j.(ω.t−k̃z−ϕ) ~u, soit pour le champ réel
~ =
E
=
ω.z
E+ .e−ni c cos ω. t − nr zc − ϕ+ ω.z
.~u
+E− .e+ni c cos ω. t + nr zc − ϕ−
2. Dispersion
13 Forme de l'onde dans une zone de transparence :
exercice
dans la plus grande partie du spectre, on se trouve hors d'une des zones de résonance, soit ni ' 0.
B Montrer que l'onde est non amortie.
B Déterminer la vitesse de phase.
la partie réelle (nr ) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueur
d'onde.
schéma
La gure 3 représente la partie réelle (nr ) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueur d'onde
(données : K.F. Palmer and D. Williams, Optical Properties of water in the near infrared, Journal of the
Optical Society of America, V.64, pp. 1107-1110, August, 1974.)
Variation de l'indice avec la longueur d'onde - formule de Cauchy
retrouver
s'y
On remarque que nr est une fonction croissante de la fréquence ν . Ceci est pris en compte par exemple
dans la formule de Cauchy en optique :
nr = A +
B
λ2
Puisque nr = f (ν), la vitesse de phase de l'onde dépend de la fréquence : on est en présence d'un milieu
dispersif.
Milieu dispersif
dénition
Le milieu de propagation est dit dispersif si la vitesse de phase de l'onde n'est pas constante : vϕ =
f (ω) 6= cste
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Figure 3 la partie réelle (nr ) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueur d'onde.
3. Absorption
14 Forme de l'onde dans une zone d'absorption
exercice
B Montrer que l'onde est amortie dans les zones de résonance où ni 6= 0.
Absorption
dénition
Si ni 6= 0 ⇒ ñ ∈ C , l'onde qui se propage est une onde amortie : l'amplitude de l'onde est atténuée par
ω.z
le terme e−ni c . Il y a absorption de l'onde par le milieu de propagation.
l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde.
schéma
La gure 4 représente l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde (données : K.F.
Palmer and D. Williams, Optical Properties of water in the near infrared, Journal of the Optical Society
of America, V.64, pp. 1107-1110, August, 1974.)
Figure 4 l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde.
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4. Retour sur les paquets d'ondes
"Petit" paquet d'ondes
s'y retrouver
On s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k0 + δk et ω = ω0 + δω , avec δω ω0 et
δk k0
Vitesse de groupe
dénition
On dénit la vitesse de groupe par
vg =
dω
dk
au voisinage de (k0 ; ω0 ).
15 Enveloppe d'un paquet d'ondes
théorème
ψ̃ = Ã0 .ej.(ω0 .t−k0 .x)
pour peu que l'on pose l'enveloppe
Ã0 =
Z
j.δω. t− vxg
à (ω0 + δω) .e
dδω
Interprétation du paquet d'onde
s'y retrouver
on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k0 ; ω0 ) : e
j.(ω0 .t−k0 .x)
), modulée par une enveloppe
Ã0
qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe vg car on retrouve le facteur e
j.δω. t− vxg
.
16 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exercice
Montrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :
vϕ = vg = c0
Il n'y a pas de dispersion.
Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant
animation
La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caractérise par la
transmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon
schéma
La gure 5 représente les vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon. On
voit que la vitesse de groupe dière a priori de la vitesse de phase. De plus, la vitesse de phase dépend
de ω : le milieu est dispersif.
17 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de Klein-Gordon exercice
Dans le cas de l'équation de Klein-Gordon, montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérentes
et que
vg .vϕ = c2
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Figure 5 Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon
Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma
La gure 6 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va se déformer : il va
s'étaler et s'amenuiser.
Figure 6 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant
Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant ani-
mation
La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargissement de ce paquet
d'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aaiblissement de l'amplitude du paquet
d'ondes au cours de la propagation.
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
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remarque
Bien souvent, dans les zones d'absorption, la partie réelle de l'indice optique varie brutalement. Donc le
milieu est extrêmement dispersif, et les signaux envoyés sont fortement déformés. On ne peut donc pas
toujours s'intéresser à un paquet d'ondes clairement identié. La vitesse de groupe perd ainsi tout son
sens. Il ne faut donc pas s'étonner si le calcul donne des valeurs supérieures à c pour vg (on parle alors de
dispersion anormale ).
5. Interface entre deux milieux de propagation
Incidence normale
s'y retrouver
On s'intéresse à une interface en z = 0.
Dans le milieu z < 0 d'indice ñ1 se propagent :
~ = Ẽ
~ e−j (ω t−k̃1 z) ~u et B̃
~ = ñ ~u ∧
• l'onde incidente : Ẽ
i
0i
x
i
1 z
~
Ẽ
i
c
~ = Ẽ
~ e−j (ω t+k̃1 z) ~u et B̃
~ = ñ (−~u ) ∧
• l'onde rééchie : Ẽ
r
0r
x
r
1
z
=
−j (ω t−k̃1 z )
ñ1 ~
~uy
c Ẽ 0i e
~
Ẽ
r
c
;
~ e−j (ω t+k̃1 z) ~u .
= − ñc1 Ẽ
0r
y
Dans le milieu z > 0 d'indice ñ2 se propage :
~ = Ẽ
~ e−j (ω t−k̃2 z) ~u et B̃
~ = ñ ~u ∧
• l'onde transmise : Ẽ
t
0t
x
i
2 z
~
Ẽ
t
c
=
−j (ω t−k̃2 z )
ñ2 ~
~uy .
c Ẽ 0t e
Relation de passage sur un dioptre
à retenir
On admet qu'à l'interface (z = 0), le champ électromagnétique est continu :
(
~ (z = 0, t)
~ (z = 0, t) = Ẽ
~ (z = 0, t) + Ẽ
∀t Ẽ
t
r
i
~
~
~
∀t B̃ i (z = 0, t) + B̃ r (z = 0, t) = B̃ t (z = 0, t)
Coecients de réexion et transmission
dénition
Les coecients en amplitude sont :
~ (z = 0, t) = r̃ Ẽ
~
~
~
• coecients de réexion tels que : Ẽ
r
E i (z = 0, t) et B̃ r (z = 0, t) = r̃B B̃ i (z = 0, t) ;
~ (z = 0, t).
~ (z = 0, t) = t̃ B̃
~ (z = 0, t) et B̃
~ (z = 0, t) = t̃ Ẽ
• coecients de transmission tels que : Ẽ
t
E
i
t
B
i
Les coecients en énergie sont :
• coecient de réexion : R = |r̃E |2 = |r̃B |2
• coecient de transmission : T = 1 − R.
Coecients de réexion dans le cas d'une interface vide/métal s'y retrouver
On peut montrer que dans le domaine optique, dans le cas d'une interface vide/métal
r̃E = −1, ce qui est à relier à un déphasage de π supplémentaire (cf. optique ondulatoire) ;
R = 1 ⇒ T = 0, le métal se comporte comme un miroir.
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Technique
à maîtriser
jeudi 12 février 2015
I-
Les capacités exigibles
1. Modélisation d'un milieu
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Décrire le modèle d'un plasma localement neutre sans collisions.
Construire une conductivité complexe en justiant les approximations.
Associer le caractère imaginaire pur de la conductivité complexe à l'absence de puissance échangée en
moyenne temporelle entre le champ et les porteurs de charges.
Traiter le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle.
2. Propagation dans un milieu
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Établir une relation de dispersion pour des ondes planes progressives harmoniques.
Associer les parties réelle et imaginaire de k̃ aux phénomènes de dispersion et d'absorption.
Reconnaître une onde évanescente (onde stationnaire atténuée).
Dans le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle, repérer une analogie formelle
avec les phénomènes de diusion.
Connaître l'ordre de grandeur de l'épaisseur de peau du cuivre à 50 Hz.
3. Interface entre deux milieux
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Dans le cas de d'une onde plane progressive harmonique sous incidence normale entre deux demi-espaces
d'indices complexes n1 et n2 , exploiter la continuité (admise) du champ électromagnétique dans cette
conguration pour obtenir l'expression du coecient de réexion en fonction des indices complexes.
Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma.
Établir les expressions des coecients de réexion et transmission du champ pour un métal réel. Passer
à la limite d'une épaisseur de peau nulle.
Dans le cas d'une interface vide-conducteur ohmique dans le domaine optique visible, identier le comportement du métal dans ce domaine, avec celui d'un plasma localement neutre peu dense en-dessous
de sa pulsation de plasma.
Associer la forme du coecient complexe de réexion à l'absence de propagation d'énergie dans le métal
en moyenne temporelle.
Identier l'incidence de Brewster et utiliser cette conguration pour repérer la direction absolue d'un
polariseur.
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II-
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Méthodes
1. Modélisation d'un milieu
2. Propagation dans un milieu
3. Interface entre deux milieux
A) Coecients de réexion et de transmission dans le cas de l'incidence
normale
méthode
Les trois OPPM impliquées dans le processus sont
˜~
˜~
j.(ωt−ki .z)
1
l'onde incidente, de vecteur d'onde ~ki = 2π.n
uz , de champ électrique complexe E
et
i = E 0i .e
λ ~
˜~
˜~
n1 .~
uz
magnétique B i = c ∧ E i ;
˜~
˜~
j.(ωt+kr .z)
1
l'onde rééchie, de vecteur d'onde ~kr = − 2π.n
uz , de champ électrique complexe E
r = E 0r .e
λ ~
˜~
˜~
−n1 .~
uz
∧E
et magnétique B
r;
r =
c
˜~
˜~
j.(ωt−kt .z)
2
l'onde transmise de vecteur d'onde ~kt = 2π.n
uz , de champ électrique complexe E
et
t = E 0t .e
λ ~
˜~
˜
n2 .~
uz
~
magnétique B t = c ∧ E t .
~ sont
Les coecients en amplitude pour E
˜~
˜~
• en réexion rE tel que E
0r = rE .E 0i ,
˜~
˜~
• en transmission tE tel que E
0t = tE .E 0i .
~ sont
Les coecients en amplitude pour B
˜~
˜~
• en réexion rB tel que B
0r = rB .B 0i ,
˜~
˜~
• en transmission tB tel que B
0t = tB .B 0i .
On peut dénir les coecients énergétiques suivants :
ri
• en réexion R = hΦ
hΦi i ;
• en transmission T =
hΦt i
hΦi i .
Les conditions de passage sur les champs électromagnétiques (continus) permettent de déterminer tous
ces coecients.
III-
Exercices
1. Modélisation d'un milieu
1.1) Conductivité d'un plasma
~ = Ẽ e−j (ω t−k z) ~u existe dans le plasma.
Une onde électromagnétique de champ électrique complexe Ẽ
0
x
1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.
2) Montrer que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire
γ̃ = j ε0
ωp2 =
ωp2
ω
ne e 2
ε0 m e .
1.2) Pulsation plasma
La conductivité complexe du plasma peut s'écrire
γ̃ = j ε0
spé PC
ωp2
ω
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1) Montrer que ωp a bien la dimension d'une pulsation.
ωp a bien la dimension d'une pulsation.
1.3) Absence d'eet Joule dans le plasma
1) Montrer qu'il y a absence de puissance échangée en moyenne temporelle entre le champ et les porteurs
de charges dans un plasma.
~ sont en quadrature de phase.
Puisque ~j et E
1.4) Neutralité locale d'un conducteur
1) Montrer qu'un conducteur est localement non chargé.
On peut montrer grâce à la conservation de la charge que
∂ ρ̃
∂t
+
γ̃
ε0 ρ̃
= 0.
2. Propagation dans un milieu
2.5) Propagation dans un métal réel pour les ondes hertziennes
˜~
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E
E0 .e−j.(ω.t−k̃z−ϕ) ~u qui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
ω2
k̃ = 2
c
2
ωp2 .τ
1+j
ω. (1 − j.ω.τ )
=
!
On suppose que ω τ1 ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes).
1) Montrer que k̃ = ± 1+j
δ .
2) En déduire que l'onde est amortie.
δ(ω) =
q
2
µ0 .γ0 .ω .
2.6) Propagation dans un métal réel pour les ondes visibles
˜~
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E
E0 .e−j.(ω.t−k̃z−ϕ) ~u qui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
ω2
k̃ = 2
c
2
ωp2 .τ
1+j
ω. (1 − j.ω.τ )
=
!
On suppose que τ1 ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles).
1) Montrer que k̃ = ± δj0 .
2) En déduire que l'onde est évanescente.
δ0 =
spé PC
c
ωp .
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2.7) Propagation dans un métal réel pour les ondes UV
˜~
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E
−j.(ω.t−k̃z−ϕ)
E0 .e
~u qui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
ω2
k̃ = 2
c
2
ωp2 .τ
1+j
ω. (1 − j.ω.τ )
=
!
Supposons que τ1 ωp < ω (c'est le cas à partir du domaine UV).
1) Montrer qu'on retrouve l'équation de dispersion de Klein-Gordon.
2) En déduire qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.
√
k̃ = ±
ω 2 −ωp2
.
c
2.8) Propagation dans un métal réel pour les ondes X
˜~
On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement E
E0 .e−j.(ω.t−k̃z−ϕ) ~u qui se propage dans un métal réel.
On admet que la relation de dispersion est :
ω2
k̃ = 2
c
2
ωp2 .τ
1+j
ω. (1 − j.ω.τ )
=
!
Supposons enn que τ1 ωp ω (c'est le cas pour les rayonnements X).
1) Montrer qu'il y a propagation sans dispersion ni absorption, comme dans le vide.
k̃ = ± ωc .
2.9) Indice optique et vitesse de l'onde
1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?
1) L'indice optique est relatif à une longueur d'onde : il correspond à la vitesse de phase.
2.10) Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy
On s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :
n=A+
B
λ2
On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe :
v g = vϕ − λ
dvϕ
dλ
1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, de n, de B et de λ.
2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?
vg = vϕ . 1 −
spé PC
2.B
n.λ2
.
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physique
année scolaire 2014/2015
2.11) Propagation dans un plasma
On peut montrer que dans un plasma, la relation de dispersion est de la forme
k2 =
ω 2 − ωp2
c2
On se place dans le cas d'une onde de pulsation ω > ωp , la pulsation plasma.
1) Indice du milieu :
1.a) Pourquoi a-t-on le droit de parler d'indice ?
1.b) Quel est l'indice n (ω) du milieu ?
2) Exprimer les vitesses :
2.a) vϕ de phase ;
2.b) vg de groupe ;
2.c) et les comparer à c.
1) Indice du milieu :
1.a) Il n'y a pas
q d'absorption.
1.b) n (ω) = 1 − ωω 2 .
2) Vitesses :
2.a) de phase : vϕ = nc = q c
p
2
ωp
q ω)
de groupe vg = n.c = c. 1 −
vϕ > c et vg < c.
1−(
2.b)
2.c)
.
ωp 2
.
ω
3. Interface entre deux milieux
3.12) Coecients de transmission et réexion
On s'intéresse à une interface en z = 0. Dans le milieu z < 0 l'indice optique est ñ1 et dans le milieu z > 0
l'indice est ñ2 .
L'onde incidente a pour champ électrique
~ e−j (ω t−k̃1 z) ~u
~ = Ẽ
Ẽ
0i
x
i
1) Déterminer la forme des diérentes ondes électromagnétiques.
2) Calculer les coecients de transmission et réexion pour les champs E~ et B~ .
3) En déduire les coecients de transmission et réexion en énergie.
2
r̃E = ññ11 −ñ
+ñ2 = −r̃B
2 ñ1
t̃E = ñ1 +ñ2 = ññ12 t̃B
3.13) Réexion du diamant
~ et B
~ à l'interface entre deux
On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs E
milieux d'indices ñ1 et ñ2 sont :
2
r̃E = ññ11 −ñ
+ñ2 = −r̃B
2 ñ1
t̃E = ñ1 +ñ2 = ññ12 t̃B
Le diamant est transparent, translucide ou opaque.
Son indice de réfraction est particulièrement élevé : n ≈ 2, 4.
1) Qu'est-ce qui donne au diamant son éclat caractéristique, dit adamantin ?
spé PC
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R = 0, 17.
3.14) Déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur
~ et B
~ sont :
On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs E
2
r̃E = ññ11 −ñ
+ñ2 = −r̃B
2 ñ1
t̃E = ñ1 +ñ2 = ññ12 t̃B
1) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur.
1)
rE < 0.
3.15) Déphasage de π pour une réexion sur un miroir
On rappelle que k̃ ≈ ±j ωcp pour la propagation dans un métal dans le domaine visible c'est-à-dire si
1
τ ω < ωp .
~ et B
~ à l'interface entre
On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs E
deux milieux d'indices ñ1 et ñ2 sont :
2
r̃E = ññ11 −ñ
+ñ2 = −r̃B
2 ñ1
t̃E = ñ1 +ñ2 = ññ12 t̃B
1) Montrer que le métal se comporte comme un miroir parfait.
2) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un miroir.
R = 1, T = 0 et r̃E = −1.
3.16) Interface vide/plasma
√
ω 2 −ω 2
p
On rappelle que k̃ =
pour la propagation dans un plasma.
c
~ et B
~ à l'interface entre
On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs E
deux milieux d'indices ñ1 et ñ2 sont :
2
r̃E = ññ11 −ñ
+ñ2 = −r̃B
2 ñ1
t̃E = ñ1 +ñ2 = ññ12 t̃B
1) Montrer que le plasma se comporte comme un miroir parfait si ω < ωp .
R = 1.
3.17) Polarisation d'une onde rééchie à l'incidence de Brewster
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,
d'indices n1 et n2 . Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le
demi-espace z <
0, vers
l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz . Elle atteint ce plan sous une
incidence θ1 = ~uz , ~ki . On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.
On notera θ2 = ~uz , ~kt l'angle de réfraction et −θ1 = ~uz , ~kr l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.
On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidente
polarisée rectilignement :
1 −θ2 )
• dans le plan d'incidence r// = tan(θ
tan(θ1 +θ2 ) ;
• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ =
sin(θ1 −θ2 )
sin(θ1 +θ2 ) .
1) Montrer qu'il existe une incidence θ1 = θB telle que l'onde est totalement polarisée.
2) Exprimer θB en fonction de n1 et n2 uniquement.
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1)
2)
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r⊥ 6= 0, cependant,
r// = 0 si θ1 + θ2 =
θB = arctan nn12 .
π
2.
3.18) Coecients de réexion et de transmission à l'interface entre deux diélectriques
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,
d'indices n1 et n2 . Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le
demi-espace z <
0, vers
l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz . Elle atteint ce plan sous une
incidence θ1 = ~uz , ~ki . On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.
On notera θ2 = ~uz , ~kt l'angle de réfraction et −θ1 = ~uz , ~kr l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.
On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidente
polarisée rectilignement :
1 −θ2 )
• dans le plan d'incidence r// = tan(θ
tan(θ1 +θ2 ) ;
• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ =
sin(θ1 −θ2 )
sin(θ1 +θ2 ) .
De même, les coecients de transmission en amplitude du champ électrique sont :
4. sin θ2 . cos θ1
;
• dans le plan d'incidence t// = sin(2θ
1 )+sin(2θ2 )
• perpendiculairement au plan d'incidence t⊥ =
2. sin θ2 . cos θ1
sin(θ1 +θ2 ) .
1) En incidence normale, déterminer les coecients de réexion
1.a) r// ,
1.b) r⊥ ,
1.c) et conclure.
2) En incidence normale, déterminer les coecients de transmission
2.a) t// ,
2.b) t⊥ ,
2.c) et conclure.
1) Coecients de réexion en incidence normale : r// = r⊥ = nn −n
+n . Il n'y a pas de diérence entre les
2
1
2
1
deux polarisations.
2) Coecients de transmission en incidence normale : t// = t⊥ =
les deux polarisations.
2.n1
n1 +n2 .
Il n'y a pas de diérence entre
3.19) Coecients de Fresnel pour une onde polarisée dans le plan d'incidence
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,
d'indices n1 et n2 .
Une OPPH incidente polarisée rectilignement dans le plan d'incidence de vecteur d'onde ~ki se propage dans
le milieu (1), qui occupe le demi-espacez < 0,vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz . Elle
atteint ce plan sous une incidence θ1 = ~uz , ~ki . On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une
structure d'onde plane. On notera θ2 = ~uz , ~kt l'angle de réfraction et −θ1 = ~uz , ~kr l'angle que fait l'onde
rééchie avec la normale.
1) Ecrire les conditions aux limites :
1.a) sur le champ électrique,
1.b) et sur le champ magnétique.
2) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont
tan(θ1 −θ2 )
θ1 −n1 . cos θ2
2.a) r// = nn21 .. cos
cos θ2 +n2 . cos θ1 ou r// = tan(θ1 +θ2 ) ,
2.n1 . cos θ1
4. sin θ2 . cos θ1
2.b) et t// = n1 . cos
θ2 +n2 . cos θ1 ou t// = sin(2θ1 )+sin(2θ2 ) .
1) Conditions aux limites :
1.a) E0 . cos θ1 − cos θ1 .Ẽ0 = cos θ2 .Ẽ0 .
1.b) n1 .E0 + n1 .Ẽ0 = n2 .Ẽ0 .
2) Coecients de Fresnel :
sin(2θ )−sin(2θ )
tan(θ −θ )
θ −n . cos θ
2.a) r// = nn .. cos
cos θ +n . cos θ = sin(2θ )+sin(2θ ) = tan(θ +θ ) .
2.n . cos θ
4. sin θ . cos θ
2.b) t// = n . cos θ +n . cos θ = sin(2θ )+sin(2θ ) .
i
r
i
r
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
spé PC
t
t
2
1
2
2
1
2
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3.20) Coecients de Fresnel pour une onde polarisée orthogonalement au plan d'incidence
On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,
d'indices n1 et n2 .
Une OPPH incidente polarisée rectilignement perpendiculairement au plan d'incidence de vecteur d'onde
~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence
est le plan xOz . Elle atteint ce plan sous une incidence θ1 = ~uz , ~ki . On admettra que les ondes rééchie et
transmise gardent une structure d'onde plane. On notera θ2 = ~uz , ~kt l'angle de réfraction et −θ1 = ~uz , ~kr
l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.
1) Ecrire les conditions aux limites :
1.a) sur le champ électrique,
1.b) et sur le champ magnétique.
2) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont
sin(θ1 −θ2 )
θ1 −n2 . cos θ2
2.a) r⊥ = nn11 .. cos
cos θ1 +n2 . cos θ2 ou r⊥ = sin(θ1 +θ2 ) ,
2.n1 . cos θ1
2. sin θ2 . cos θ1
2.b) et t⊥ = n1 . cos
θ2 +n2 . cos θ1 ou t⊥ = sin(θ1 +θ2 ) .
1) Conditions aux limites :
1.a) E0 + Ẽ0 = Ẽ0 .
1.b) n1 .E0 . cos θ1 − cos θ1 .n1 .Ẽ0 = cos θ2 .n2 .Ẽ0 .
2) Coecients de Fresnel :
sin(θ −θ )
θ −n . cos θ
2.a) r⊥ = nn .. cos
cos θ +n . cos θ = sin(θ +θ ) .
2.n . cos θ
2. sin θ . cos θ
2.b) t⊥ = n . cos
θ +n . cos θ = sin(θ +θ ) .
i
r
t
i
r
t
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
Résolution
de problème
vendredi 13 février 2015
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
Traitements anti - reets
D'après
http ://www.verres-progressifs.info/verre-progressif-presbytie/public/traitements-surface-verres-progressifs Une couche qui annule la réexion de la lumière.
Il s'agit d'une ou plusieurs couches extrêmement nes (environ 10 millionièmes de millimètre) qui annulent
la réexion de la lumière sur les verres correcteurs. L'image n'est plus perturbée par les reets. On estime qu'un
traitement antireet améliore la qualité de l'image d'environ 10%.
Esthétiquement, ce traitement permet de ne plus "avoir 2 phares de voitures" à la place des yeux sur les
photos prises avec un ash, ce qui n'est pas négligeable.
Mais le véritable plus de ce traitement est de gommer toute réexion dans la vie de tous les jours : vos
interlocuteurs verront vos yeux, et vous n'aurez pas le reet de votre pupille dans vos verres (phénomène qui
peut être très gênant pour certains porteurs de lunettes).
spé PC
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Enoncé
1) Estimer, grâce aux lois de l'électromagnétisme, le pourcentage de l'intensité lumineuse perdue par
réexion avec des lunettes sans traitement anti - reets.
Travaux
pratiques
vendredi 13 février 2015
La moitié de la classe fait un TP d'optique sur la diraction.
spé PC
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Approche
documentaire
vendredi 13 février 2015
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Pierre-Eloi Nielen et Xavier Pellerin feront un exposé.
L'eet de peau
A. Ducluzaux
Extrait du Cahier Technique Schneider Electric n◦ 83 CT 83(e) édition janvier 1977.
Il y a des pertes supplémentaires dans les conducteurs à cause de l'eet de peau
Il y a un peu plus d'un siècle (1873) que les électriciens connaissent cette propriété des courants alternatifs
de circuler de préférence à la périphérie des conducteurs massifs.
En elle-même, cette propriété ne serait pas gênante si elle ne s'accompagnait de pertes supplémentaires.
Dans un conducteur massif, tout se passe pour les pertes et l'échauement comme si la résistance eective en
courant alternatif était supérieure à la résistance réelle en courant continu.
L'augmentation de résistance, de l'ordre de 10 à 20 % pour des conducteurs calibrés pour 2000 A, croit
beaucoup plus vite que l'augmentation de section pour le transport d'intensités plus élevées. Il en résulte deux
inconvénients :
• Un gaspillage d'énergie électrique par les pertes supplémentaires, dont les industriels réalisent depuis peu
qu'il représente un luxe dépassant le simple aspect nancier.
• Un gaspillage de matière première, cuivre ou aluminium, par la quantité plus élevée de métal employé et
mal utilisé comme conducteur électrique.
Les pertes d'énergie dans les canalisations électriques relativement courtes des équipements de distribution
ne sont généralement prises en compte que pour leurs conséquences physiques : l'échauement et l'évacuation
des calories. L'aspect économique du rendement énergétique d'une liaison est pourtant loin d'être négligeable
en basse tension : un simple calcul montre qu'un jeu de barres de 1000 mm2, transportant 2000 A, dissipe en
un an d'utilisation permanente une énergie dont le coût est sensiblement égal au prix du cuivre le constituant.
Un taux de pertes supplémentaires par eet de peau de 10 % représente ainsi le prix du cuivre pour la durée
de vie de l'installation (20 ans avec facteur de marche 0,5).
La loi de Kelvin rappelle d'ailleurs que la section économique du cuivre (ou de l'aluminium) à utiliser pour
un jeu de barres est celle pour laquelle sont égalisés d'une part le coût des pertes Joule annuelles, d'autre part
les charges d'amortissement annuelles du cuivre et des autres éléments de construction proportionnels au poids
du cuivre.
Le terme adopté d' eet de peau est la traduction de l'anglais skin-eect . On trouve aussi en français
eet pelliculaire ou eet Kelvin. En allemand il s'agit de Stromverdrängung , littéralement : déplacement de
courant.
Cherchant à faciliter l'interprétation de l'eet de peau, Boucherot proposa en 1905 la notion de coque
ctive dénommée aussi épaisseur de peau ou profondeur de pénétration . Sur le plan de l'eet Joule,
tout se passe dans le conducteur comme si la totalité du courant véhiculé l'était dans une couche périphérique
ou coque, d'épaisseur δ , la densité de courant étant uniforme dans cette coque et nulle à l'intérieur :
δ=
1
2π
r
10 ρ
µf
avec :
• δ : épaisseur de la coque est exprimée en m
• ρ : la résistivité est exprimée en Ω · m−1
• µ : la perméabilité valant 4 π 10−7 pour le vide
• f : la fréquence est exprimée en Hz.
spé PC
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En réalité, la densité décroît suivant une loi exponentielle depuis la périphérie jusqu'au centre du conducteur.
A la profondeur δ , la densité est encore de 1/e = 0, 367 comme le montre la gure.
√
La notion de coque ctive suppose que la densité moyenne dans la coque est égale à 1/ 2 fois la densité
périphérique.
Sur le plan pratique, la coque ou profondeur de pénétration permet de se rendre compte très rapidement si
le métal d'un conducteur est correctement utilisé, connaissant les trois grandeurs ρ, µ et f . A 50 Hz, le cuivre
a une peau de 8,5 mm, l'aluminium de 10,5 mm : ce serait un gaspillage de matière d'utiliser une épaisseur de
barre ou un diamètre de rond supérieurs à 16 mm en cuivre ou 20 mm en aluminium.
Les pertes réelles par eet Joule sont donc plus élevées, ce qu'on exprime en considérant que la résistance
eective en courant alternatif Ra est plus grande que la résistance vraie en courant continu Rc d'où ces pertes
supplémentaires. En pratique, le taux d'eet de peau ou coecient d'augmentation de résistance ou de pertes
supplémentaires s'exprime par le rapport : K = Ra /Rc > 1.
Eet de peau dans les conducteurs cylindriques
Plusieurs formules empiriques ont été proposées, celle de Levasseur est particulièrement simple et conduit à
des erreurs inférieures à 2 % :
!1
K=
6 6
3
S
+
4
pδ
6
+ 0, 25
Avec S la section du conducteur, p son périmètre, δ l'épaisseur de peau.
Les conducteurs cylindriques de forte section rencontrés en pratique sont des tubes ou des câbles.
Dans un câble, la division en brins pour des raisons de souplesse ne modie en rien l'eet de peau, comme
on pourrait le penser par analogie avec le fractionnement en tôles nes des circuits magnétiques en acier. Dans
les tôles, les courants de Foucault sont transversaux, mais longitudinaux dans un câble. La division en brins
multiples d'un câble de forte section pourrait être exploitée pour réduire son coecient K , si les brins étaient
régulièrement permutés, c'est-à-dire enroulés tantôt à la périphérie, tantôt au centre. Mais on utilise rarement
des sections supérieures à 400 mm2 en cuivre ou 500 mm2 en aluminium pour lesquelles le métal est encore
utilisé à 95 %.
Enoncé
1) Étude théorique de l'eet de peau
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On considère un conducteur ohmique de conductivité γ , immobile et parallélépipédique. On se place en
régime sinusoïdal, à la pulsation ω , dans l'ARQS. Le courant circule suivant ~ux , mais la densité de courant varie
a priori avec la profondeur z dans le conducteur (qui est le demi espace z > 0) :
~j = jx (z, t) .~ux = Jm (z) . cos (ω.t − Φ (z)) .~ux
1.a) Rappeler les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS.
1.b) Montrer, grâce aux équations de Maxwell, que jx vérie une équation de diusion.
1.c) Pourquoi peut-on utiliser le complexe associé j̃x (z, t) = J˜m (z) .e−j.ω.t pour résoudre l'équation
diérentielle ?
1.d) Résoudre la précédente équation et, en exprimant δ0 et φ (z), montrer que :
z
jx = Jmax .e− δ0 . cos (ω.t − φ (z))
1.e) Caractériser la densité de courant dans le conducteur, à l'aide des graphes :
jx (z, t = 0) (et le comparer au graphique du texte),
et jx (z = 0, t), jx (z = δ, t), jx (z = 3.δ, t) sur un même graphique.
2) Notion de coque ctive
2.a) Montrer que la notion de coque ctive développée dans le document impose
1
Pd =
γ
|J˜ (0) |
√
2
!2
δ
2.b) Comparer δ0 à l'épaisseur de la coque donnée dans le document.
2.c) On considère un conducteur de cuivre (γ = 58 × 106 S · m−1 ). Que vaut δ0 à 50 Hz ? La comparer
à la valeur donnée par le document.
3) Interprétation dans le cas d'un conducteur cylindrique :
On se place maintenant dans le cas d'un conducteur cylindrique de conductivité γ , de longueur ` et de rayon
a.
3.a) Exprimer la résistance en continu Rc .
3.b) Dans le cas où δ a, que vaut Ra ? Même question pour δ a.
3.c) Comparer les résultats asymptotiques trouvés dans la question précédente à ceux induits par la
formule de Levasseur donnée dans le document.
3.d) Proposer une modélisation du rapport K = Ra /Rc déni dans le document.
3.e) Quand peut-on négliger l'eet de peau ?
3.f) Quelle est la forme de conducteur la plus adaptée aux hautes fréquences ?
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