Probabilités

Probabilités
I Description d’une expérience aléatoire
Lorsque l’on effectue une expérience aléatoire (qui dépend du hasard), rien ne peut nous laisser prévoir le
résultat.
Exemple : on lance un dé ordinaire.
On ne peut prévoir s’il va tomber sur la face 1, ou 2 ….par contre il est certain qu’il va tomber sur une de ses 6
faces.
Les résultats possibles de cette expérience sont appelés éventualités ou issues .
Dans l’exemple précédent les différentes éventualités sont ………………
L’ensemble des toutes les éventualités s’appelle l’univers, noté Ω (dans tout le chapitre cet ensemble est fini).
Dans l’exemple précédent : Ω = ………………….
Un événement est une partie ou sous-ensemble de l’univers.
On dit qu’un événement A est réalisé lorsque le résultat obtenu à l’issue de l’expérience aléatoire est une
éventualité de A
Dans l’exemple précédent, on considère A l’événement « Le résultat du lancer est un nombre pair »
A = ……………………..
II Loi de probabilité
Définition : On définit une loi de probabilité sur l’univers Ω = { x1, x2, ………xn} en associant à chacun des
éléments xi de Ω un réel positif ou nul pi, appelé probabilité de l’issue xi ; ces réels vérifiant la relation :
p1 + p2 + …….. + pn = 1
Remarque :Une loi de probabilité est souvent décrite par un tableau précisant les couples (xi, pi )
Ex : Un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, est truqué de sorte que la probabilité d’apparition de chaque face soit
proportionnelle au numéro qu’elle porte
On lance ce dé une fois et on note lé résultat obtenu.
Définir la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.
Correction : L’univers est ici Ω ={1, 2, 3, 4}
Avec l’hypothèse de proportionnalité, on a : p1 = k× 1 ; p2 = k × 2 ; p3 = k × 3 ; p4 = k × 4
1
De plus p1 + p2 + p3 + p4 = 1 ; donc k + 2k + 3k + 4k = 1 et k =
10
On en déduit la loi de probabilité ci-contre :
xi
1
2
3
4
pi
1
10
2
10
3
10
4
10
III Modélisation
1) Définition
Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer un univers Ω et une loi de probabilité P sur Ω .
2) Equiprobabilité
1
Définition : lorsque les n issues ont la même probabilité pi = , on dit qu’elles sont équiprobables et que la loi
n
de probabilité P sur Ω est équirépartie.
Par convention les expressions telles que pièces ou dés équilibrés, tirages au hasard, jetons ou boules
indiscernables au toucher, indiquent un support matériel de l’expérience ne privilégiant aucune issue.
3) Loi des grands nombres :
Lorsque qu’on répète une expérience aléatoire, on appelle fréquence d’apparition d’une éventualité donnée,
nombre de fois où l’éventualité xi apparaît
noté xi le nombre : fi =
nombre de fois où l’expérience est répétée
On constate que si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience donnée, les différentes fréquences
d’apparition ont tendance à se stabiliser.
Ce constat est un résultat mathématique appelé « La loi des grands nombres »
Propriété : Loi des grands nombres :
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences
calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient grand.
4) Choix d’un modèle
Une distribution de fréquences est empirique : elle décrit les résultats d’une expérience.
Une loi de probabilité est théorique : il est inutile d’effectuer l’expérience.
Une expérience aléatoire étant donnée, il est possible de la modéliser par un raisonnement a priori ou par un
raisonnement a postiori.
Un raisonnement a priori (non fondé sur l’expérience) s’appuie sur les indications de l’énoncé et les
propriétés du cours.
Un raisonnement a posteriori se fonde sur l’expérience. On simule un grand nombre de fois l’expérience et on
détermine les distributions de fréquences correspondantes.
La loi des grands nombres permettra alors de définir une loi de probabilité, puis de modéliser l’expérience.
Elle peut permettre aussi de valider ou rejeter un modèle choisi a priori.
Ex :
Lorsqu’on jette n fois un dé équilibré, la fréquence d’apparition de chacune des faces est très variable lorsque n est petit et se stabilise
1
autour de pour n grand. Ce qui valide la loi de probabilité obtenue de façon théorique.
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Le modèle dont la loi de probabilité est équirépartie est à privilégier dès qu’il est possible de faire le choix d’un
univers Ω dont les issues sont équiprobables.
Ex :
On considére l’expérience aléatoire « On lance 2 fois une pièce de 1 € bien équilibrée»
1) Proposer une loi de probabilité équirépartie sur l’univers des couples
2) Proposer un autre modèle ne tenant compte que du nombre de « pile » obtenu.
Correction : 1)
xi
(f, f)
(f, p)
(p, f)
(p, p)
1
1
1
1
pi
4
4
4
4
2)
xi
0 pile
1 pile
2 pile
1
1
1
pi
4
2
4
Souvent c’est à l’aide d’un modèle de loi équirépartie que l’on accède à un autre modèle de loi non équirépartie.
IV Espérance mathématique et écart type
Dans ce paragraphe, les éléments de Ω sont des nombres réels, et la loi de probabilité est définie par le tableau
ci-contre avec p1 + p2 + …….. + pn = 1
xi
x1
x2
…
xn
pi
p1
p2
…
pn
Définitions :
L’espérance mathématique de la loi de probabilité P est le nombre réel noté µ tel que :
µ = p1 x1 + p2x2 + …+pnxn
La variance de la loi de probabilité P est le nombre réel positif noté V défini par :
V = p1 (x1 – µ)² + p2 (x2 – µ)² + …+ pn (xn – µ)²
L’écart type de la loi de probabilité P est alors défini comme la racine carrée de la variance : σ = V
V Probabilité d’un événement
1) Définition
Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire
On considère la loi de probabilité sur Ω définie par :
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
La probabilité associée à cette loi de probabilité est l’application P qui, à tout événement A inclus dans
Ω associe le réel P (A) défini par :
• P(Ǿ)=0
• Si A ≠ Ǿ, P (A) est la somme des réels pi, pour tous les xi appartenant à A, soit :
P (A) =
∑ pi
xi C A
Le réel P (A) est appelé la probabilité de l’événement A.
2) Propriété
Soit P une probabilité sur l’univers Ω . Alors :
P (Ω ) = 1 et, pour tout événement A, on a 0 ≤ P (A) ≤1
VI Calculs de probabilités
1) Evénement certain, événement impossible
L’ensemble vide est l’événement impossible. P (Ǿ) = 0
L’univers est l’événement certain. P (Ω
Ω )=1
Un événement élémentaire est un événement formé d’un seul élément.
2) Situation d’équiprobabilité
Propriété : en situation d’équiprobabilité, si A est un événement formé de k éventualités dans un univers qui
k
en contient n, alors P (A) =
n
On écrit aussi : P (A) = nombre de cas favorables à la réalisation de A : nombre de cas possibles
3) Réunion et intersection d’événements
Définition et théorème :
L’événement A et B, noté aussi A ∩ B, est l’événement « A et B se produisent simultanément ». Il est formé
de toutes les éventualités appartenant à la fois à A et à B
L’événement A ou B, noté aussi A ∪ B, est l’événement « A ou B se produit ». Il est formé de toutes les
éventualités appartenant à A ou à B
Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints lorsqu’ils n’ont pas d’éléments en commun.
Ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.
A∩B=∅
Si A et B sont deux événement quelconques, on a:
P ( A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Si A et B sont incompatibles, alors : P ( A ∪ B) = P (A) + P (B)
4) Evénements contraires
On appelle événement contraire de l’événement A , noté A, le complémentaire de A dans Ω .
Il est formé de tous les éléments de Ω n’appartenant pas à A .
On a :
P (A) = 1 – P (A)
VII Variables aléatoires
1) Définition :
Une variable aléatoire sur l’univers Ω est une fonction T définie sur Ω
Soit {t1 ; t2 ;…tk} l’ensemble des images par T de toutes les éventualités de Ω (on a alors k ≤ n)
Pour tout entier i de {1 ; 2 ;…k}, on note (T = ti) l’événement formé des éventualités qui ont pour image ti par
T
Exemple : un joueur lance un dé a six faces
Si le résultat est pair, il gagne deux euros, s’il est impair il perd trois euros
Quelle variable aléatoire T définit-on sur Ω ?
Définir une autre variable aléatoire T’
2) Espérance, variance, écart type
Définitions : Soit T une variable aléatoire qui prend les valeurs t1, t2,…tk
• La loi de probabilité de T est définie sur l’univers {t1 ; t2 ;… ; tk} par :
valeur
t1
t2
…
tk
probabilité P (T = t1 )
P (T = t2 )
…
P (T = tk )
•
Lorsque t1, t2,…tk sont des réels, l’espérance, la variance et l’écart type de cette loi de probabilité sont
aussi appelés espérance, variance et écart type de la variable aléatoire T
Exemple : On reprend le premier jeu défini dans l’exemple précédent, en supposant que le dé est bien équilibré.
Définir la loi de probabilité de T, puis calculer l’espérance, la variance et l’écart type de T
Mêmes questions avec l’autre règle de jeu et la variable aléatoire T’
Remarque :lors de l’étude d’un jeu d’argent, on définit souvent la variable « gain algébrique » d’un joueur
comme étant la différence entre la somme qu’il reçoit et celle qu’il dépense. Lorsque dans un jeu, l’espérance
du gain algébrique est nulle on dit que le jeu est équitable.