L’algorithme est le suivant :
function[n,Xp]=iteration_regula_falsi(A,B,nmax,E,f)
fcn=inline(f)
if (fcn(A)*fcn(B))>0;
error ('erreur');
end
n=0;
Xp=A;
Xn=B;
while abs(fcn(Xp))>E&abs(Xn-Xp)>E&n<nmax
X2=Xn-((Xn-Xp)/(fcn(Xn)-fcn(Xp)))*fcn(Xn);
Xp=Xn;
Xn=X2
n=n+1;
end
e) Méthode de Newton
Partant d'une valeur approximative raisonnable d'un zéro d'une fonction d'une variable réelle,
on approxime au premier ordre la fonction par sa tangente en ce point. Cette tangente est une
fonction affine dont on sait trouver l'unique zéro (analyse élémentaire). Ce zéro de la tangente
sera généralement plus proche du zéro de la fonction. Par cette opération, on peut donc
espérer améliorer l'approximation par itérations successives.
Illustration de la méthode de Newton
L'avantage de cette méthode est de pouvoir être expliqué graphiquement. Cependant,
l'implantation d'un programme demande d'expliciter les calculs à effectuer. Soit une fonction f
de [a,b] dans définie et dérivable et sur l'intervalle [a,b], et à valeurs réelles. La régularité
de f est ici minimale. Prenons x0 un réel arbitraire. Par récurrence, on définit la suite xn par :
Où f' désigne la dérivée de la fonction f. Il se peut que la récurrence se termine, si à l'étape n,
xn n'appartient pas au domaine de définition.
Si le zéro inconnu α est isolé, alors il existe un voisinage de α tel que pour toutes les valeurs
de départ x0 dans ce voisinage, la suite (xn) va converger vers α. De plus, si f'(α) est non nul,
alors la convergence est quadratique, ce qui signifie intuitivement que le nombre de chiffres
corrects est approximativement doublé à chaque étape.