PCSI 01 Avril 2017 Evaluation n°1 d’ingénierie numérique et simulation

PCSI 01 Avril 2017 Evaluation n°1 d’ingénierie numérique et simulation
1) A quoi servent les méthodes de la dichotomie et de Newton?
2) Quels sont les avantages et les inconvénients de ces deux méthodes ?
3) On souhaite résoudre l’équation suivante : x3 + x + 1 = 0
a) Démontrer que cette équation a une unique solution sur IR et qu’elle
appartient à l’intervalle [– 4 ; 0 ]. On appelle α cette solution.
b) En appliquant à la main l’algorithme de dichotomie, déterminer une
valeur approchée de α à 0,2 près.
Vous laisserez apparentes les étapes de calcul.
4) Soit f une fonction continue et s’annulant une unique fois en  sur
un intervalle [a ; b]. On cherche à déterminer une valeur approchée
de α.
a) Quelle hypothèse supplémentaire faut-il avoir sur f pour pouvoir
appliquer la méthode de Newton.
b) Faire un schéma expliquant le principe de la méthode de Newton.
c) Donner une suite (xn) permettant d’approcher  par la méthode de
Newton.
d) Recopier et compléter les lignes de code Python de la fonction ci-
contre, afin qu’elle renvoie l’approximation de  obtenue par la
méthode de Newton
def Newton(f,fPrime,x0,epsilon):
x1 = ………………………………
while(abs(x1-x0)>epsilon):
…………………………………………………………
…………………………………………………………
return(x1)
5) Etant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle [a ; b]
expliquer comment approcher les valeurs prises par f ’ à
l’aide des valeurs prises par f.
6)
a) A quoi sert la méthode d’Euler ?
b) Expliquer le principe de cette méthode (on pourra s’aider
éventuellement d’un schéma)
c) Ecrire (en pseudo-code ou en Python) la fonction
correspondante pour un système du type {𝑦′=𝐹(𝑡 ,𝑦) 𝑡 ∈[𝑎 ;𝑏]
𝑦(𝑎)=𝑦0
Cette fonction renverra deux listes :
• la première contenant les abscisses des points de la
courbe obtenus par la méthode d’Euler.
• la deuxième contenant les ordonnées correspondantes.
Elle débutera par def Euler (tDeb,tFin,yInit,n,F):