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Introduction `a la m´ecanique quantique
Cours d’ouverture, EPF 3eme ann´ee
Fabien Besnard
6 f´evrier 2013

Table des mati`eres
1 Avant-Propos 3
2 La physique classique ou le triomphe du m´ecanisme 5
3 La p´eriode de fermentation : 1900–1923 7
3.1 Les quanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Le probl`eme du corps noir et l’hypoth`ese de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 L’effet photo´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Les atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Autres arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 La transition vers une nouvelle m´ecanique : 1923–1926 15
4.1 Les ondes de mati`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 L’´equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Le hasard et l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.1 L’exp´erience des fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 La m´ecanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 La fusion des deux nouvelles m´ecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 La formulation math´ematique de la m´ecanique quantique 29
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Rappels de math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Bras et Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 Op´erateurs sur un espace de Hilbert. Th´eor`eme spectral. . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.3 Codiagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.4 Norme d’op´erateur. Exponentielle d’op´erateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.5 Avertissement sur la dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.6 c-nombres et q-nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Les postulats de la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1 Vecteurs d’´etats, Espace des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3.3 Interpr´etation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.4 L’´equation d’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.5 R´eduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Premi`eres applications des postulats 42
6.1 Esp´erance et ´ecart-type d’une variable dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Exemple : l’ion H+
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Relations d’incertitude et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.1 ´ Enonc´e des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.2 Cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1

6.4 Le th´eor`eme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.5 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.6 Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.7 Moment cin´etique et spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.7.1 Moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.7.2 Moment cin´etique orbital. Application `a l’atome d’hydrog`ene. . . . . . . . . . . . . 59
6.7.3 Existence du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.7.4 Alg`ebre du spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.7.5 Spin et statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Paradoxes et Interpr´etations 68
7.1 Chat de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Intrication. Paradoxe EPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Conclusion 76
A Solutions des exercices 78
B Condens´e de m´ecanique analytique 83
C Produit tensoriel 85
D Constantes 87
Bibliographie 88
2

Chapitre 1
Avant-Propos
I can safely say that nobody understands quantum mechanics. Richard Feynman
Cette d´eclaration de l’un des plus grands physiciens quantiques du XXesi`ecle a de quoi surprendre. Si
Feynman ne comprenait pas la m´ecanique quantique, qui le pourra ? Si comprendre signifie interpr´eter
les r´esultats de la th´eorie en termes simples utilisant la logique et le bon sens de la vie de tous les jours,
alors Feynman avait sˆurement raison, tant la m´ecanique quantique d´efie l’intuition. Pourtant, avec un peu
d’habilet´e et beaucoup de courage, on peut en maˆıtriser le formalisme math´ematique et en tirer toutes
sortes de pr´edictions, dont aucune n’a jamais ´et´e prise en d´efaut.
Dans ce cours d’ouverture, nous retracerons les grandes lignes de la d´ecouverte de cette th´eorie stup´efiante.
Nous r´efl´echirons aux c´el`ebres paradoxes li´es `a la r´eduction du paquet d’onde , ou au ph´enom`ene
d’intrication quantique.
Le niveau sera interm´ediaire entre un ouvrage de vulgarisation et un v´eritable cours d’introduction `a la
th´eorie. Notre objectif sera double : d’une part guider les ´el`eves et les accompagner `a la d´ecouverte d’une
th´eorie r´eput´ee difficile, mais dont la connaissance est pourtant indispensable `a qui veut comprendre le
monde qui l’entoure et la technologie moderne, et d’autre part les confronter aux difficult´es conceptuelles
li´ees `a son interpr´etation, car, comme disait Niels Bohr : Quiconque n’a pas ´et´e choqu´e par la m´ecanique
quantique ne l’a pas encore comprise. 
La confection d’un cours d’introduction `a la m´ecanique quantique est un v´eritable casse-tˆete. Le sujet est
si vaste qu’il faut n´ecessairement faire des choix drastiques, en particulier lorsque le temps d’exposition
est limit´e.
Nous avons par exemple choisi de ne pas ou peu parler des applications pratiques, qui sont pourtant
l´egion. Mais d’une part, nous ne disposons pas toujours des comp´etences requises pour parler de ces
questions et nous n’aurions pu que recopier des ouvrages existants, ce qui ne pr´esente gu`ere d’int´erˆet,
et d’autre part nous imaginons que les futurs ing´enieurs de l’´ Ecole y seront confront´es par la suite, et
disposeront alors des capacit´es pour faire le lien n´ecessaire avec la th´eorie et les concepts, sur lesquels
nous nous sommes focalis´es.
Un autre ´ecueil est la place d´evolue aux math´ematiques. Nous avons choisi de faire peu de rappels et de
nous reposer essentiellement sur les connaissances en alg`ebre lin´eaire et multilin´eaire qui sont forc´ement
excellentes chez tous les ´el`eves de l’EPF !
Enfin, l’expos´e de la m´ecanique quantique elle-mˆeme pose probl`eme : doit-on suivre le cheminement
historique des id´ees, de nature inductive, ou poser d’embl´ee les postulats afin d’en d´eduire les cons´equences
par la voie d´eductive ? Si la seconde option paraˆıt s´eduisante par sa clart´e et son efficacit´e conceptuelle,
elle nous semble trop violente pour l’esprit : les concepts quantiques sont si ´etranges qu’il est impensable
de ne pas donner des motivations tr`es fortes pour les adopter. Sans cela, on court le risque du rejet. Nous
avons donc suivi pendant la plus grande partie de ce cours une approche historique, qui n’est cependant
pas celle d’un historien des sciences ! En effet, il s’agit plutˆot de raconter une histoire, dans laquelle on a
d´ecid´e a posteriori, et pour la bonne cause, de mettre en avant certains aspects et d’en occulter d’autres,
que de raconter l’Histoire, avec tous ses d´etours, ses fausses pistes et ses balbutiements. En effet, les
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arguments qui ont convaincu sur le moment les physiciens des ann´ees 1900–1935, p´eriode qui recouvre `a
peu pr`es ce que nous allons raconter, ne sont pas forc´ement ceux que nous trouvons les plus ´eclairants
aujourd’hui. Or ce sont bien les esprits d’aujourd’hui auxquels sont destin´es ces pages. Et nous esp´erons
qu’elles toucheront leurs cibles.
Nous remercions d’avance les lecteurs qui voudront bien nous faire part des erreurs, coquilles, et autres
maladresses que nous avons in´evitablement commises.
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