Chapter 1 PHY2810 Mécanique quantique

Chapter 1
PHY2810 M´ ecanique quantique
1.1 Postulats Fondamentaux
I:D´ efinition de l’´ etat quantique. La connaissance de l’´ etat d’un syst` eme quantique est compl` etement
contenue, ` a l’instant t, dans un vecteur normalisable de l’espace de Hilbert H. Il est habituellement not´ e
sous la forme d’un ket :|ψ(t)i.
II :Principe de Correspondance.` A toute propri´ et´ e observable correspond un op´ erateur hermitien
lin´ eaire, nomm´ eobservable, agissant sur les vecteurs de l’espace de Hilbert H. Ceux-ci sont d´ efinis par
des r` egles de construction qui reposent sur un principe de correspondance avec la m´ ecanique classique.
III :Mesure d’un observable. La mesure d’une grandeur physique repr´ esent´ ee par un observable A
ne peut fournir que l’une des valeurs propres ande l’op´ erateur ˆ Aassoci´ e :
ˆ
A|αni=an|αni
les vecteurs propres |αnirepr´ esentent l’´ etat quantique du syst` eme imm´ ediatement apr` es la mesure.
Ceux-ci sont complets et forment une base orthonorm´ ee de l’espace de Hilbert.
IV :Interpr´ etation probabiliste de la fonction d’onde. Le produit scalaire d’un ´ etat quantique nor-
malis´ e et d’un autre vecteur (qu’il appartienne ou non ` aH) fournit une amplitude de probabilit´ e, dont
le carr´ e correspond ` a une probabilit´ e ou une densit´ e de probabilit´ e.
V:R´ eduction du paquet d’onde. Si, lors d’une mesure d’une grandeur physique Adans un syst` eme
quantique, on obtient une valeur propre ande celle-ci associ´ ee ` a un ´ etat |αni, alors l’´ etat du syst` eme
imm´ ediatement apr` es la mesure est projet´ e sur le sous-espace propre associ´ e` a|αni.
V I :´ Evolution temporelle de l’´ etat quantique. L’´ etat |Φ, tide tout syst` eme quantique non-relativiste
est une solution de l’´ equation de Schr¨ odinger d´ ependante du temps :
i~∂
∂t |Φ, ti=ˆ
H|Φ, ti
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1.2 Dualit´ e Onde-Particule
On d´ efinit la longueur d’onde d’une particule par la longueur d’onde de De Broglie :
λ=h
p(1.1)
o` upest sa quantit´ e de mouvement et hla constante de Planck.
On peut r´ e´ ecrire son impulsion comme :
p=~k(1.2)
o` ukest son vecteur d’onde. L’´ energie cin´ etique pour une particule libre peut donc ˆ etre d´ efinie comme :
E=~2k2
2m(1.3)
1.3 Dispersion d’un paquet d’ondes gaussien
Soit un paquet d’ondes gaussien de la forme :
|Ψ(x, t)|2=2πe
−α(x−~k0t/m)2
α2+~2t/m2
qα2+~2t2
m2
(1.4)
Sa largeur en fonction du temps est donn´ ee par :
∆x(t) = 2√αr1 + 4βt2
α2o`
u (1.5)
β=∂2ω(k)
∂k2(1.6)
1.4 ´ Equation de Schr¨ odinger
On d´ efinit la fonction d’onde Ψ(x, t)telle que la probabilit´ e de retrouver un syst` eme quantique entre
x=aet x=best donn´ ee par :
P{x∈[a, b]}=Zb
a|Ψ(x, t)|2dx (1.7)
La d´ ependance spatiale et temporelle de l’´ etat Ψ(x, t)d’un syst` eme quantique est d´ efinie par l’´ equation
de Schr¨ odinger :
i~∂Ψ(x, t)
∂t =−~2 2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+V(x, t)Ψ(x, t)(1.8)
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o` uV(x, t)est le potentiel auquel est soumis le syst` eme. Dans le cas d’un potentiel ind´ ependant du
temps, on a une solution s´ eparable :
Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t)(1.9)
On en tire la solution temporelle :
ϕn(t) = e−iEnt/~(1.10)
o` uEnest l’´ energie propre de l’´ etat ndu syst` eme,
puis l’´ equation de Schr¨ odinger ind´ ependante du temps :
−~2
2m
∂2φ(x)
∂x2+V(x)ψ(x) = Eψ(x)(1.11)
Si V(x)> E lorsque x→ ±∞, on aura des solutions discr` etes :
ψ(x) =
∞
X
n=0
cnun(x)o` un∈N(1.12)
Sinon, on aura des solutions continues :
Z∞
0
f(q)u(q, x)dq o` uq∈R+(1.13)
o` uf(q)repr´ esente une fonction de normalisation. Il est possible d’avoir des solutions mixtes, con-
stitu´ ees d’une combinaison lin´ eaire de (1.12) et (1.13).
`
A chaque ´ etat propre un(x)sera associ´ ee une ´ energie propre En.
Attention ! : Mˆ eme si u1(x)et u2(x)sont des solutions de l’´ equation (1.11), α1u1(x) + α2u2(x)o` u
αisont des constantes n’est pas n´ ecessairement une solution, sauf si u1(x)et u2(x)sont d´ eg´ en´ er´ ees,
c’est-` a-dire si elles poss` edent la mˆ eme valeur propre λ1.
1.5 Propri´ et´ es des fonctions propres
1. Elles sont orthogonales entre elles lorsque non d´ eg´ en´ er´ ees sur la mˆ eme valeur propre λ:
hui(x)|uj(x)i=Z∞
−∞
u∗
i(x)uj(x)dx =δij si λi6=λj(1.14)
2. Elles forment une base compl` ete de l’espace d’Hilbert :
|un(x)ihun(x)|=1(1.15)
3. Si on a une d´ eg´ en´ erescence, alors les Nfonctions propres qui sont d´ eg´ en´ er´ ees sur la mˆ eme valeur
propre λne seront pas n´ ecessairement orthogonales, mais elles seront une base d’un sous-espace
`
aNdimensions.
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1.6 Normalisation
La probabilit´ e de trouver un syst` eme dans un ´ etat quelconque doit ˆ etre de 100%. On doit donc normaliser
toute fonction d’onde, tel que :
Z∞
−∞ |Ψ(x, t)|2dx = 1 (1.16)
En g´ en´ eral, on pose donc Ψ(x, t) = A ψ(x)ϕ(t)et on choisit Apour respecter (1.16). On a aussi les
propri´ et´ es suivantes :
1. Une foncion d’onde non normalisable ne correspond pas ` a une situation physique.
2. La norme de Ψ(x, t)est pr´ eserv´ ee par la partie temporelle de l’´ equation de Schr¨ odinger. Ainsi, il
suffit de normaliser ψ(x)en ne tenant pas compte de ϕ(t).
1.7 Postulat de l’expansion
L’´ evolution dans le temps d’une fonction propre un(x)discr` ete du hamiltonien est donn´ ee par :
un(x, t) = un(x)·φn(t) = un(x)e−iEnt/~d’o` u on tire : Ψ(x, t) =
∞
X
n=0
cnun(x)e−iEnt/~(1.17)
o` uun(x)repr´ esente un ´ etat d’´ energie Enphysiquement accessible au syst` eme. Le coefficient |cn|2
repr´ esente la probabilit´ e que le syst` eme se trouve dans cet ´ etat.
On peut obtenir les coefficients cnpar une projection orthogonale :
cn=hun(x)|ψ(x)i=Z∞
−∞
u∗
n(x)ψ(x)dx (1.18)
Les coefficients cndoivent aussi ˆ etre normalis´ es de la fac¸on suivante :
∞
X
n=0 |cn|2= 1 (1.19)
1.8 Propri´ et´ es des op´ erateurs
1. Seuls les op´ erateurs lin´ eaires sont permis en m´ ecanique quantique, puisque l’´ equation de Schr¨ odinger
est lin´ eaire.
ˆ
A{bf(x) + cg(x)}=bˆ A{f(x)}+cˆ A{g(x)}(1.20)
2. Seuls les op´ erateurs hermitiens sont permis en m´ ecanique quantique, pour que leurs valeurs pro-
pres soient r´ eelles.
ˆ
A†=ˆ A(1.21)
3. Deux op´ erateurs qui commutent ont des fonctions propres communes. Notez qu’en g´ en´ eral, deux
op´ erateurs diff´ erents ne commutent pas.
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1.9 Commutateur
On d´ efinit le commutateur de deux op´ erateurs comme :
[ˆ A, ˆ B]≡ˆ Aˆ B−ˆ Bˆ A(1.22)
avec les propri´ et´ es suivantes :
1. [ˆ A, ˆ B] = −[ˆ B, ˆ A]
2. [ˆ Aˆ B, ˆ C] = ˆ A[ˆ B, ˆ C]+[ˆ A, ˆ C]ˆ B
3. [ˆ A+ˆ B, ˆ C]=[ˆ A, ˆ C]+[ˆ B, ˆ C]
1.10 Valeur moyenne
La valeur moyenne d’un observable aprise sur plusieurs syst` emes pr´ epar´ es identiquement est donn´ ee
par :
hai=hΨ|ˆ A|Ψi=Z∞
−∞
ψ∗(x)ˆ A ψ(x)dx (1.23)
o` uˆ Aest l’op´ erateur associ´ e` a l’observable en question. Cette valeur moyenne repr´ esente aussi la valeur
qui est la plus probable de mesurer pour un tel syst` eme.
1.11 Valeur moyenne par le postulat de l’expansion
En appliquant (1.23) au postulat de l’expansion (1.18), on obtient :
hai=
∞
X
n=0 |cn|2an(1.24)
o` uanest la valeur propre associ´ ee ` a la fonction d’onde ψn.
1.12 Parit´ e
L’op´ erateur de parit´ e est d´ efini comme :
ˆ
P{f(x)}=f(−x)(1.25)
On a donc des fonctions propres λtelles que :
ˆ
P{f(x)}=λf(x) = f(−x)(1.26)
ˆ
P{ˆ P{f(x)}} =λ2f(x) = f(x)(1.27)
Ainsi, on a deux cas possibles pour satisfaire ` aλ2= 1 :
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