VUIBERT F. Bruneau • M. Cavelier • C. Delacour • E. Jahier C. Jorssen • Y. Lozier • M. Marchand-Hartog • Ph. Ribière PHYSIQUE CHIMIE PSI/PSI* CON Tout-en-un ➔ Tout le cours ➔ Fiches de synthèse ➔ Conseils méthodologiques ➔ Vrai/faux ➔ Exercices guidés ➔ Exercices d’application ➔ Sujets de concours ➔ Tous les corrigés détaillés AU P FORME ROG RAM ME Avant-propos Cet ouvrage vous propose, en un seul volume, toutes les clés nécessaires pour réussir votre année de Physique-Chimie : Cours complet Rigoureusement conforme aux nouveaux programmes, il contient tous les outils pour acquérir les connaissances et les savoir-faire indispensables. Fiches de synthèse Pour une révision efficace avant les colles ou les épreuves, l’essentiel du cours est présenté de manière synthétique sous forme de fiches de révision. Vrai/faux Première étape vers l’entraînement, des vrais/faux sont proposés pour permettre de tester rapidement la compréhension du cours. Exercices guidés Ces exercices, de difficulté croissante, fournissent de nombreux conseils visant à vous aider à démarrer dans la résolution de l’exercice. Ils sont assortis d’un corrigé détaillé. Exercices d’approfondissement corrigés Pour se mettre en situation d’épreuves, de nombreux exercices vous sont proposés. , ou . Chacun à un niveau de difficulté clairement identifié : Tous ces exercices sont intégralement corrigés. Approches numériques et documentaires La prise en compte des spécificités du nouveau programme se traduit, d’une part, par des approches numériques, présentées explicitement sous la forme de code python dans de nombreux chapitres (cours et exercices), et, d’autre part, par des ouvertures culturelles basées sur des documents originaux de formats variés (articles scientifiques contemporains, articles historiques, sites web, etc.). III Table des matières I. Électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chapitre 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Association de dipôles 3 – 2. Facteur de puissance 9 – 3. Puissance moyenne reçue par une impédance 15 – Synthèse et méthodes 17 – Exercices 18 – Corrigés 23 Chapitre 2. Stabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. Caractérisation des systèmes linéaires 30 – 2. Passage temporel ↔ fréquentiel 37 – 3. Stabilité 44 – Synthèse et méthodes 48 – Exercices 49 – Corrigés 58 Chapitre 3. Rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1. Présentation de l’ALI 74 – 2. Exemples de montages linéaires 79 – 3. Association en cascade de deux blocs 89 – Synthèse et méthodes 91 – Exercices 92 – Corrigés 97 Chapitre 4. ALI en régime non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1. Comparateur simple 107 – 2. Comparateurs à hystérésis 109 – 3. Oscillateur de relaxation 114 – 4. Oscillateur quasi-sinusoïdal 118 – Synthèse et méthodes 126 – Exercices 128 – Corrigés 135 Chapitre 5. Électronique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1. Principe de la conversion analogique-numérique. 147 – 2. Restitution d’un signal analogique à partir du signal échantillonné 152 – 3. Filtrage numérique 158 – 4. Oscillateur à porte logique 161 – Synthèse et méthodes 165 – Exercices 166 – Corrigés 171 Chapitre 6. Modulation et démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1. Transmission d’un signal codant une information 175 – 2. Modulation d’amplitude 179 – 3. Modulation de fréquence 183 – 4. Démodulation synchrone d’un signal modulé en amplitude 184 – Synthèse et méthodes 187 – Exercices 188 – Corrigés 192 II. Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Chapitre 7. La diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1. Transfert thermique 201 – 2. Équation de la diffusion thermique 203 – 3. Application de la diffusion 208 – 4. Onde thermique 213 – Synthèse et méthodes 216 – Exercices 217 – Corrigés 226 Chapitre 8. La diffusion de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 1. Approche du phénomène 239 – 2. Équation de la diffusion 240 – 3. Cas particuliers 244 – Synthèse et méthodes 246 – Exercices 247 – Corrigés 252 IV Table des matières III. Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Chapitre 9. Cinématique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 1. Étude des fluides 265 – 2. Conservation de la matière 270 – Synthèse et méthodes 278 – Exercices 279 – Corrigés 282 Chapitre 10. Actions de contact dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 1. Introduction sur un exemple modèle 287 – 2. Description de l’écoulement au voisinage d’un obstacle 289 – 3. Étude du cas particulier de la statique des fluides 292 – Synthèse et méthodes 300 – Exercices 301 – Corrigés 305 Chapitre 11. Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 1. Écoulements laminaire, turbulent - Nombre de Reynolds 320 – 2. Pertes de charge régulières — Résistance hydraulique 328 – 3. Écoulement externe autour d’un obstacle : forces de traînée et de portance - notion de couche limite 334 – Synthèse et méthodes 345 – Exercices 347 – Corrigés 354 Chapitre 12. Bilans macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 1. Bilans thermodynamiques 363 – 2. Bilans d’énergie mécanique 367 – 3. Bilans cinétiques 378 – Synthèse et méthodes 384 – Exercices 385 – Corrigés 396 IV. Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Chapitre 13. Champ électrique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 1. Le champ électrique 409 – 2. Potentiel scalaire électrique 411 – 3. Théorème de Gauss 414 – 4. Propriétés topographiques 414 – 5. « Symétries » du champ électrique 418 – 6. Calculs de champs électrostatiques et de potentiels électriques 425 – 7. Condensateur plan 431 – 8. Champ gravitationnel 433 – Synthèse et méthodes 435 – Exercices 436 – Corrigés 441 Chapitre 14. Transport de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 1. Les charges électriques 449 – 2. Le courant électrique 450 – 3. Équation de conservation de la charge 452 – 4. Courant dans les conducteurs ohmiques 455 – Synthèse et méthodes 467 – Exercices 469 – Corrigés 475 Chapitre 15. Champ magnétique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 1. Le champ magnétique 483 – 2. Conservation du flux magnétique 484 – 3. Théorème d’Ampère 485 – 4. « Symétries » du champ magnétique 486 – 5. Champs magnétiques engendrés par quelques distributions modèles 488 – 6. Actions de Laplace 494 – Synthèse et méthodes 499 – Exercices 500 – Corrigés 504 Chapitre 16. Électromagnétisme dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 1. Courant de déplacement 511 – 2. ARQS magnétique 512 – 3. Induction 513 – 4. Courants de Foucault 521 – Synthèse et méthodes 524 – Exercices 525 – Corrigés 529 V Table des matières Chapitre 17. Milieux ferromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 1. Le modèle du dipôle magnétique 535 – 2. Description mésoscopique d’un milieu magnétique 537 – 3. Équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique 538 – 4. Classification des milieux magnétiques 540 – 5. Circuit magnétique 543 – 6. Exemples de circuits magnétiques 543 – Synthèse et méthodes 552 – Exercices 554 – Corrigés 560 V. Conversion de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 Chapitre 18. Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 1. Description d’un transformateur monophasé 569 – 2. Modèle du transformateur monophasé idéal 569 – 3. Approche électromagnétique 570 – 4. Approche électrocinétique 573 – 5. Quelques applications des transformateurs 575 – Synthèse et méthodes 580 – Exercices 581 – Corrigés 585 Chapitre 19. Contacteur électromagnétique en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 1. Électroaimant de levage 589 – 2. Expression de la force électromagnétique 590 – 3. Application : fonctionnement d’un relais 594 – Synthèse et méthodes 595 – Exercices 596 – Corrigés 598 Chapitre 20. Machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 1. Effet moteur d’un champ magnétique tournant 603 – 2. Machine synchrone à pôles lisses diphasée bipolaire à excitation séparée 605 – 3. Champ magnétique engendré dans l’entrefer par un des enroulements 606 – 4. Champs magnétiques dans l’entrefer de la machine synchrone 608 – 5. Énergie et couple 610 – 6. Condition de synchronisme 611 – 7. Modélisation électrocinétique 612 – 8. Conversion réversible de l’énergie 614 – 9. Et si la condition de synchronisme n’est pas satisfaite ? 616 – Synthèse et méthodes 618 – Exercices 620 – Corrigés 625 Chapitre 21. Machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 1. Moteur à courant continu à entrefer plan 633 – 2. Machine à courant continu à pôles lisses bipolaire à excitation séparée 636 – 3. Analogie avec la machine synchrone 637 – 4. Modélisation électrocinétique 641 – 5. Conversion électro-magnéto-mécanique 642 – 6. Comportement électro-mécanique 643 – 7. Réversibilité 645 – Synthèse et méthodes 646 – Exercices 647 – Corrigés 652 Chapitre 22. Conversion électronique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 1. Structure d’un convertisseur électronique de puissance 659 – 2. Interrupteurs électroniques 660 – 3. Dipôles de type « source idéale » 662 – 4. Dipôles en régime commuté permanent : lissage 663 – 5. Hacheur 667 – 6. Redressement double alternance 670 – 7. Onduleur 673 – Synthèse et méthodes 676 – Exercices 678 – Corrigés 684 VI. Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 Chapitre 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . 691 1. Équation de propagation pour la corde vibrante 692 – 2. Ondes progressives : régime libre pour une corde infinie 699 – 3. Ondes stationnaires : régime libre pour une corde finie 704 – VI Table des matières 4. Modes propres d’une corde fixée aux deux extrémités 708 – 5. Propagation dans un câble coaxial 713 – Synthèse et méthodes 726 – Exercices 728 – Corrigés 734 Chapitre 24. Ondes sonores dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 1. Approximation acoustique 743 – 2. Équation de propagation 749 – 3. Célérité des ondes sonores 752 – 4. Ondes acoustiques planes progressives monochromatiques 754 – 5. Énergie acoustique 763 – 6. Ondes sphériques 768 – 7. Effet Doppler 771 – Synthèse et méthodes 776 – Exercices 778 – Corrigés 782 Chapitre 25. Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 1. Introduction - spectre électromagnétique 790 – 2. Équations de propagation pour le champ électromagnétique 791 – 3. Étude des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques 796 – 4. Énergie électromagnétique 800 – Synthèse et méthodes 808 – Exercices 810 – Corrigés 813 Chapitre 26. Dispersion et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 1. Introduction aux phénomènes de dispersion et absorption 821 – 2. Effet de la dispersion : propagation d’un paquet d’ondes 827 – 3. Effet de peau dans un conducteur ohmique 835 – 4. Propagation dans un plasma dilué 840 – Synthèse et méthodes 851 – Exercices 852 – Corrigés 858 Chapitre 27. Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 1. Réflexion/transmission d’onde sonore 869 – 2. Réflexion d’une onde électromagnétique sur un conducteur parfait 881 – Synthèse et méthodes 889 – Exercices 891 – Corrigés 896 VII. Thermochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 Chapitre 28. Application du premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 1. Premier principe de la thermodynamique 905 – 2. La fonction enthalpie 909 – 3. Effets thermiques d’une transformation isobare 915 – Synthèse et méthodes 921 – Exercices 922 – Corrigés 927 Chapitre 29. Second principe : potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 1. Les fonctions thermodynamiques 935 – 2. Potentiel chimique 938 – 3. Présentation du phénomène 943 – 4. Application et utilisation du phénomène 945 – Synthèse et méthodes 947 – Exercices 948 – Corrigés 951 Chapitre 30. Équilibre chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 1. Grandeurs chimiques de réaction 957 – 2. Équilibre chimique d’un système en réaction 961 – Synthèse et méthodes 969 – Exercices 971 – Corrigés 975 Chapitre 31. Optimisation d’un procédé chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1. Variance 985 – 2. Optimisation 991 – 3. Présentation générale 995 – 4. Fabrication industrielle 997 – Synthèse et méthodes 1001 – Exercices 1002 – Corrigés 1007 VII Table des matières Chapitre 32. Systèmes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015 1. Généralités 1015 – 2. Équilibre solide-liquide avec miscibilité totale 1016 – 3. Équilibre solide-liquide avec miscibilité nulle 1021 – Synthèse et méthodes 1024 – Exercices 1025 – Corrigés 1029 VIII. Électrochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035 Chapitre 33. Courbes intensité-potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 1. Étude cinétique des réactions électrochimiques 1037 – 2. Lecture des courbes et informations à recueillir 1040 – Synthèse et méthodes 1044 – Exercices 1045 – Corrigés 1050 Chapitre 34. Électrochimie et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057 1. Phénomène de corrosion humide 1057 – 2. Conversion d’énergie et stockage 1064 – 3. Historique 1070 – 4. Accumulateur au plomb 1071 – 5. Accumulateur nickel-hydrure métallique 1071 – 6. Accumulateur lithium-ion 1072 – Synthèse et méthodes 1074 – Exercices 1075 – Corrigés 1083 Annexe - Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091 1. L’opérateur gradient 1091 – 2. L’opérateur divergence 1092 – 3. L’opérateur rotationnel 1093 – 4. Combinaison d’opérateurs 1093 VIII Remerciements Les auteurs souhaitent particulièrement remercier leur famille pour leur soutien sans faille au cours des longues heures de travail passées à l’élaboration de ce livre, les techniciens de laboratoire qui ont toujours répondu présent lorsqu’il s’agissait de réaliser des expériences, aux protocoles parfois exotiques, servant d’illustrations (en particulier Jean-François Dondon pour les photos de la partie ondes) et enfin les collègues et parents qui ont accepté de relire, souvent en des temps records, les épreuves et qui ont permis, par leurs remarques, d’améliorer considérablement la qualité de ce que le lecteur trouvera dans ces pages. Un grand merci à Christophe Jorssen pour son expertise technique, sa maîtrise des arcanes de LATEX. Nous tenons également à remercier les éditions Vuibert pour la confiance qu’ils nous ont accordée, en particulier à Aurélie Farfarana pour la qualité de son accueil et le suivi de ce projet. Merci à Sébastien Mengin pour sa patience et sa disponibilité. Merci enfin à ceux qui nous ont gracieusement permis d’utiliser des documents qu’ils ont produits. Nous accueillerons avec reconnaissance toutes les remarques pour les erreurs qui subsisteraient dans cet ouvrage, à l’adresse suivante : [email protected] Les auteurs IX Première partie ÉLECTRONIQUE Chapitre 1 Puissance électrique en régime sinusoïdal Chapitre 2 Stabilité des systèmes linéaires 29 Chapitre 3 Rétroaction 73 Chapitre 4 ALI en régime non linéaire 107 Chapitre 5 Électronique numérique 147 Chapitre 6 Modulation et démodulation 175 3 CO RS U 1 Chapitre Puissance électrique en régime sinusoïdal Dans la plupart des réseaux de transports d’électricité, l’énergie électrique est distribuée à l’aide d’un courant sinusoïdal et d’une tension sinusoïdale, variant à une fréquence de 50 Hz ou 60 Hz selon les pays. L’analyse de Fourier indique qu’un signal périodique quelconque peut s’écrire comme une somme de signaux sinusoïdaux, ainsi l’étude du comportement d’un système linéaire en régime sinusoïdal forcé permet d’en déduire le comportement en régime périodique quelconque par combinaison linéaire. Ce chapitre présente quelques résultats concernant la puissance électrique reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé et en régime périodique quelconque après avoir rappelé les notions relatives à un dipôle électrique en régime sinusoïdal forcé et les règles d’association de dipôles. 1. Association de dipôles 1.1. Intensité et tension pour un dipôle • A i dipôle • B u = VA − VB Figure 1.1. Schéma d’un dipôle Définition 1.1. Dipôle électrique Un dipôle électrique est un composant pouvant être connecté à d’autres éléments via deux bornes de connexion (notées A et B sur la figure 1.1). 3 Partie 1 – Électronique Définition 1.2. Intensité du courant électrique L’intensité du courant électrique i qui traverse un dipôle est définie en un point du fil constituant la borne de connexion et à travers la section Sfil orientée dans le même sens que l’intensité i . L’intensité du courant électrique à l’instant t notée i (t ) est obtenue en comptabilisant algébriquement le nombre de charges δq qui traverse la section Sfil pendant une durée élémentaire dt : ce sont les charges qui traversent Sfil entre les instants t et t + dt . Les charges (algébriques) sont comptées positivement si elles traversent Sfil dans le sens positif, négativement sinon. L’intensité du courant électrique à l’instant t est alors : i (t ) = δq . dt L’intensité du courant électrique est une grandeur algébrique (c’est à dire qui peut prendre des valeurs positives ou négatives) qui s’exprime en ampères (A). Remarque Les charges négatives qui traversent la section Sfil dans le sens négatif ont une contribution positive au courant. Autrement dit, les charges négatives se déplacent dans le sens inverse du courant positif. Dans le cadre de l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires), l’intensité i (t ) est la même en tout point des deux fils de connexion de part et d’autre du dipôle. Définition 1.3. Tension entre les deux bornes d’un dipôle La tension u(t ) entre les deux bornes du dipôle est la différence des potentiels des deux bornes de connexion du dipôle u(t ) = VA (t ) − VB (t ). Le signe de la différence de potentiels dépend du sens de la flèche de tension. La tension est une grandeur algébrique qui s’exprime en volts (V). La différence de potentiels aux bornes d’un fil de connexion est nulle : tous les points reliés par des fils de connexion sont au même potentiel. Le potentiel électrique en un point M de l’espace et à l’instant t noté V (M , t ) est relié à l’énergie potentielle électrique notée Ep ,él (c’est-à-dire l’énergie potentielle associée à la force de Lorentz électrique) d’une charge q0 située au point M à l’instant t par la relation Ep ,él = q0 V (M , t ). Comme l’énergie potentielle, le potentiel électrique est défini à une constante près. Cette constante peut être déterminée en imposant l’origine des potentiels en un point donné ; en électricité cela revient à imposer une masse au circuit électrique. Définition 1.4. Convention générateur et récepteur Lorsque les flèches de l’intensité et de la tension sont dans le même sens, le dipôle est dit en convention générateur. En revanche lorsqu’elles sont en sens opposés comme sur le schéma de la figure ??, le dipôle est en convention récepteur. 4 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal RS U 1.2. Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff permettent de relier les différentes intensités et les différentes tensions intervenant dans un circuit électrique contenant plusieurs dipôles reliés. Un nœud est un point de connexion du circuit électrique relié à un ou plusieurs dipôles. Une branche est une portion du circuit électrique située entre deux nœuds consécutifs. Une maille est un ensemble de branches distinctes d’un circuit électrique constituant une boucle fermée (et permettant ainsi de revenir au nœud de départ en passant une seule fois par chaque nœud) : une maille peut être parcourue dans un sens ou dans un autre, elle est alors orientée. Loi 1.1. Loi des nœuds La somme algébrique des intensités électriques arrivant en un nœud est égale à zéro. X "k i k = 0 avec "k = +1 si l’intensité i k est orientée vers le nœud considéré et "k = −1 sinon. Loi 1.2. Loi des mailles La somme algébrique des tensions électriques le long d’une maille est égale à zéro. X "k u k = 0 avec "k = +1 si la flèche de la tension u k est dans le même sens que le sens de parcours de la maille et "k = −1 sinon. 1.3. 1.3.1. Dipôle électrique en régime sinusoïdal Impédance et admittance complexe Lorsqu’un dipôle linéaire est en régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant i (t ) qui le traverse et la tension à ses bornes u(t ) sont sinusoïdales. En notant ω la pulsation des signaux, ils peuvent s’écrire : u(t ) = U0 cos(ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt + ϕi ). Les fonctions complexes associées à ces grandeurs sinusoïdales sont respectivement : u(t ) = U0 exp j (ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 exp j (ωt + ϕi ), où j est le nombre complexe tel que j 2 = −1. Souvent, la dépendance temporelle de ces fonctions complexes n’est pas précisée et la notation usuelle est plutôt u et i . Définition 1.5. Impédance et admittance complexe L’impédance complexe associée au dipôle notée Z est par définition Z = u , elle dépend i a priori de la pulsation ω. L’admittance complexe associée au dipôle notée Y est l’inverse de l’impédance complexe 1 Y = . Z 5 Partie 1 – Électronique 1.3.2. Dipôles linéaires fondamentaux : conducteur ohmique, condensateur idéal, bobine idéale La relation courant-tension u R (t ) = R i R (t ) (loi d’Ohm) pour un conducteur ohmique de résistance R en convention récepteur comme sur la figure 1.2 devient en notation complexe 1 u R = R i R , ainsi Z R = = R. YR C i R (t ) i C (t ) i L (t ) R u L (t ) u C (t ) u R (t ) Figure 1.2. Conducteur ohmique en convention récepteur. Figure 1.3. Condensateur en convention récepteur. L Figure 1.4. Bobine idéale en convention récepteur. d u C (t ) pour un condensateur idéal de capacité C en dt convention récepteur comme sur la figure ?? devient en notation complexe i C = j C ωu C , ainsi 1 YC = = j C ω. ZC La relation courant-tension i C (t ) = C d i L (t ) pour une bobine idéale d’inductance L en dt convention récepteur comme sur la figure 1.4 devient en notation complexe u L = j L ωi L , ainsi 1 ZL = = j L ω. YL La relation courant-tension u L (t ) = L 1.4. Dipôles en série et diviseur de tension Des dipôles sont en série lorsqu’ils sont dans une même branche du circuit électrique et qu’ils sont parcourus par la même intensité du courant électrique. 1.4.1. Impédance équivalente à un ensemble de dipôles en série Considérons N dipôles d’impédances Z 1 , Z 2 , .... Z N en série comme sur la figure 1.5 constituant une branche aux bornes de laquelle la tension est égale à u. Les dipôles sont numérotés à l’aide d’un indice k variant de 1 à N : l’impédance du dipôle numéro k est notée Z k et la tension aux bornes du dipôle numéro k est notée u k . Par définition de la tension u = en déduit u = N X N X u k et par définition des impédances complexes u k = Z k i , on k =1 Z k i = Z éq i (en factorisant par i ), ce qui donne l’expression de l’impédance k =1 6 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal N X RS U équivalente d’un ensemble de dipôle en série Z éq = Zk . k =1 Propriété 1.3. Dipôles en série L’impédance équivalente d’un ensemble de dipôles en série est la somme des impédances N X de chaque dipôle Z éq = Zk . k =1 i Z1 Z2 u1 u2 i i ZN uN Z éq u u Figure 1.5. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en série. 1.4.2. Diviseur de tension Lorsque deux dipôles sont en série, parcourus par la même intensité du courant électrique i comme sur la figure 1.6, la tension s s’exprime à l’aide de la tension e et des deux impédances Z 1 et Z 2 (qui peuvent être des impédances équivalentes à un ensemble de dipôles associés en série ou en dérivation). e En effet, par définition des impédances complexes e = (Z 1 + Z 2 )i donc i = et s = Z 2 i , Z1 + Z2 on en déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de tension : Propriété 1.4. Formule du pont diviseur de tension s= i e Z2 Z1 + Z2 e= e 1 + Z 1 Y2 Z1 Z2 s= Z2 Z1 + Z2 e Figure 1.6. Formule du pont diviseur de tension. 7 Partie 1 – Électronique Remarque Cette relation dite du « pont diviseur de tension » est utile pour déterminer la fonction de s transfert notée H définie par H = d’un quadripôle en sortie ouverte (lorsque l’intensité e en sortie du quadripôle est nulle). 1.5. Dipôle en dérivation et diviseur de courant Des dipôles sont en dérivation lorsqu’ils sont situés entre les deux mêmes nœuds d’un circuit électrique : les différences de potentiels entre leurs deux bornes de connexion sont alors identiques, la tension est la même aux bornes des différents dipôles. 1.5.1. Admittance équivalente à un ensemble de dipôles en dérivation N dipôles d’admittances Y1 , Y2 , ..,Yk ,.. YN en dérivation comme sur la figure 1.7 sont considérés : la différence de potentiels aux bornes de l’ensemble de ces dipôles est notée u. Les dipôles sont numérotés à l’aide d’un indice k variant de 1 à N : l’admittance du dipôle numéro k est notée 1 Yk = et l’intensité traversant le dipôle numéro k (en convention récepteur) est notée i k . Zk N N X X La loi des nœuds donne i = i k et par définition d’une admittance complexe i = Yk u k =1 k =1 (en factorisant par l’intensité commune aux bornes de l’ensemble des N dipôles), on en déduit N X i = Yéq u avec Yéq = Yk . k =1 Propriété 1.5. Dipôles associés en dérivation L’admittance équivalente d’un ensemble de dipôles en dérivation est la somme des N N X X 1 1 admittances de chaque dipôle Yéq = Yk ⇔ = . Z éq k =1 Z k k =1 i i1 Y1 ik i2 Yk Y2 i iN YN u Yéq u i Figure 1.7. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en dérivation. 8 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal RS U 1.5.2. Diviseur de courant La tension est notée u aux bornes de deux dipôles associés en dérivation comme sur la figure 1.8. L’intensité i 2 traversant le deuxième dipôle s’exprime à l’aide de l’intensité i et des deux admittances Y1 et Y2 (qui peuvent être des admittances équivalentes à un ensemble de dipôles associés en série ou en dérivation). i En effet, d’après la loi des nœuds i = i 1 + i 2 = (Y1 + Y2 )u donc u = et i 2 = Y2 u, on en Y1 + Y2 déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de courant : Propriété 1.6. Formule du pont diviseur de courant i2 = Y2 i = i 1 + Y1 Z 2 Y2 u Y1 + Y2 i i1 i2 Y1 i Figure 1.8. Formule du pont diviseur de courant. 2. Facteur de puissance 2.1. Valeur moyenne et valeur efficace Définition 1.6. Valeur moyene et valeur efficace Lorsqu’une grandeur s (t ) est périodique de période T = également notée 〈s (t )〉 est définie par : ∀t 0 1 Smoy = 〈s (t )〉 = T Sa valeur efficace Seff est définie par : Seff = p Z 2π , sa valeur moyenne Smoy ω t 0 +T s (t )d t . t0 〈s 2 (t )〉. Remarquons que les résultats ne dépendent pas de l’instant t 0 choisi pour le calcul. La grandeur 〈s 2 (t )〉 est aussi appelée moyenne quadratique et en anglais la valeur efficace se dit « Root Mean Square » (RMS) pour « racine carrée de la moyenne quadratique ». 9 Partie 1 – Électronique Exemple (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal) Pour un signal sinusoïdal de la forme s (t ) = A cos(ωt + ϕ), en prenant t 0 = 0 et en remarquant que ωT = 2π : ZT 1 A sin(ωt + ϕ) T 1 A cos(ωt + ϕ)d t = 〈s (t )〉 = T 0 T ω 0 A A sin(ωT + ϕ) − sin(ϕ) = sin(ϕ) − sin(ϕ) = 0 = 2π 2π Calcul de la moyenne quadratique en prenant t 0 = 0 et en utilisant la formule de trigonométrie suivante 2 cos2 (x ) = 1 + cos(2x ) pour la linéarisation de A 2 cos2 (ωt + ϕ) : ZT ZT 1 A2 A2 〈s 2 (t )〉 = A 2 cos2 (ωt + ϕ)d t = 1 + cos(2ωt + 2ϕ) d t = . T 0 2T 0 2 Résultat 1.7. Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal s (t ) = A cos(ωt + ϕ) est nulle : 〈s (t )〉 = 0. Sa p A valeur efficace est égale à l’amplitude A divisée par 2 : Seff = p . 2 Application (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal créneau) Le signal créneau périodique de période T suivant est considéré : T E si 0 ≤ t < , 2 s (t ) = −E si T ≤ t < T . 2 On obtient 〈s (t )〉 = 0 et 〈s 2 (t )〉 = E 2 donc Seff = E . Remarque La valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal constant indépendant du temps de la forme s (t ) = S0 sont égales 〈s (t )〉 = Seff = S0 . Propriété 1.8. Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique 2π , d’après la ω0 théorie de Fourier, celle-ci peut s’écrire comme la somme (infinie, on parle donc de série) ∞ X de fonctions sinusoïdales s (t ) = Smoy + Sk cos(k ω0 t + ϕk ) où les termes de la série sont : Dans le cas d’une fonction périodique s (t ) quelconque de période T = k =1 • pour k = 1 : S1 cos(ω0 t +ϕ1 ) est le fondamental, il oscille avec la même période T = 2π ω0 que le signal s (t ) ; • pour k 6= 1 : Sk cos(k ω0 t + ϕk ) est l’harmonique de rang k , qui a une pulsation k ω0 2π multiple du fondamental et donc une période . k ω0 10 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal La moyenne quadratique Seff d’un signal périodique quelconque de période T est la somme des moyennes quadratiques des signaux sinusoïdaux qui le composent, avec les notations utilisées pour la décomposition en série de Fourier : 2 2 Seff = Smoy + ∞ X S2 k k =1 2 ; Remarque La valeur moyenne est le résultat de la mesure donnée par un multimètre numérique lorsqu’il est utilisé en mode « DC » et la valeur efficace est le résultat de la mesure lorsqu’il est utilisé en mode « AC+DC » (pour les multimètres de type « True RMS », les multimètres classiques qui ne sont pas de type « True RMS » affichent uniquement la valeur efficace de la partie alternative en mode « AC ». ). 2.2. Puissance instantanée reçue par un dipôle Lorsqu’il existe une différence de potentiels u(t ) aux bornes d’un dipôle traversé par un courant d’intensité électrique i (t ) allant de A vers B comme sur la figure ??, il reçoit une puissance électrique liée à la variation d’énergie potentielle électrique des charges qui le traversent. Définition 1.7. Énergie potentielle électrique L’énergie potentielle électrique d’une charge q0 en un point M de potentiel électrique V (M ) est la suivante Ep ,él = q0 V (M ). Ainsi, lorsque le dipôle est traversé pendant d t par une quantité de charges δq = i (t )d t allant de A vers B, il reçoit le travail électrique δWél = δq (VA (t ) − VB (t )) = i (t )(VA (t ) − VB (t ))d t , ce qui permet d’identifier la puissance électrique notée p (t ) reçue par le dipôle δWél = p (t )d t , on en déduit p (t ) = i (t )(VA (t ) − VB (t )) = i (t )u(t ). Propriété 1.10. Puissance électrique reçue par un dipôle La puissance instantanée reçue par un dipôle en convention récepteur comme sur la figure 1.9 est égale à p (t ) = u(t )i (t ), et pour un dipôle en convention générateur comme sur la figure 1.10 elle est égale à p (t ) = −u(t )i (t ). i (t ) i (t ) dipôle dipôle u (t ) u (t ) Figure 1.9. Dipôle en convention récepteur. Figure 1.10. Dipôle en convention générateur. 11 RS U Propriété 1.9. Moyenne quadratique d’un signal périodique quelconque Partie 1 – Électronique Remarque La puissance fournie par un dipôle notée p f (t ) est l’opposé de la puissance reçue par le dipôle qu’il soit en convention générateur ou récepteur p f (t ) = −p (t ). 2.3. Puissance moyenne reçue par un dipôle Le notion de puissance moyenne reçue par un dipôle intervient lorsque le dipôle a un fonctionnement périodique de période T . La puissance moyenne notée P est alors la valeur moyenne temporelle de la puissance instantanée. Définition 1.8. Puissance moyenne reçue par un dipôle ∀t 0 , 1 P = 〈p (t )〉 = T Z t 0 +T p (t )d t . t0 Pour un dipôle en régime sinusoïdal forcé et en convention récepteur : u(t ) = U0 cos(ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt + ϕi ). Calcul de la puissance moyenne reçue par le dipôle en prenant t 0 = 0 et en rappelant T = ainsi que la formule de trigonométrie cos(a ) cos(b ) = 1 P = 〈u(t )i (t )〉 = T Z 0 T U0 I0 u(t )i (t )d t = 2T Z T 0 cos(a + b ) + cos(a − b ) : 2 2π ω U0 I0 cos(2ωt + ϕu + ϕi ) + cos(ϕu − ϕi ) d t = cos(ϕu −ϕi ). 2 I0 U0 I0 U0 On remarque que = Ueff Ieff car Ueff = p et Ieff = p . 2 2 2 Définition 1.9. Facteur de puissance La puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé est de la forme : P = Ueff Ieff cos(ϕ), où cos(ϕ) = cos(ϕu − ϕi ) = cos(ϕi − ϕu ) est le cosinus du déphasage entre l’intensité du courant traversant le dipôle et la tension aux bornes du dipôle. cos(ϕ) est appelé facteur de puissance. Au niveau du réseau de distribution de la puissance électrique en France, la tension efficace est fixée à Ueff = 220 V. Pour une intensité efficace donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plus la puissance moyenne consommée sera élevée. Ainsi on peut dire que le facteur de puissance caractérise la possibilité qu’a un dipôle à consommer de la puissance lorsqu’il est traversé par un courant donné. À puissance donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plus l’intensité efficace sera faible ce qui limite les pertes par effet Joule en ligne. Le distributeur d’électricité, qui facture la puissance moyenne consommée et pour lequel les pertes en ligne correspondent à de la puissance perdue non facturée, oblige les consommateurs à avoir un facteur de puissance 12 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal u(t ) = Umoy + N X Uk cos(k ω0 t + ϕu ,k ). k =1 Par linéarité l’intensité du courant qui traverse le dipôle est de la forme : i (t ) = Imoy + N X Ik cos(k ω0 t + ϕi ,k ). k =1 La puissance moyenne reçue par le dipôle est alors la somme des puissances moyennes correspondant à chaque pulsation contenue dans le spectre en tension : P = Umoy Imoy + N X UK Ik cos(ϕu ,k − ϕi ,k ). 2 k =1 Uk Cette puissance moyenne peut également s’exprimer à l’aide des valeurs efficaces Ueff,k = p , 2 Ik Ieff,k = p et des facteurs de puissance cos(ϕk ) = cos(ϕu ,k − ϕi ,k ) définis pour chaque pulsation 2 contenue dans le spectre de la tension u(t ). Propriété 1.11. Puissance moyenne reçue par un dipôle en régime périodique quelconque P = Umoy Imoy + N X Ueff,k Ieff,k cos(ϕk ). k =1 2.4. Formes de puissance électrique En électrotechnique (ou en électronique de puissance), une grandeur (tension ou intensité) est dite continue lorsqu’elle est indépendante du temps, c’est-à-dire constante dans le temps ou que sa valeur moyenne est non nulle. Une grandeur (tension ou intensité) est dite alternative lorsque sa valeur moyenne est nulle. Remarquons que ces définitions n’ont rien en commun avec la continuité au sens mathématique du terme (égalité des limites de part et d’autre en chaque valeur de l’ensemble de définition). Définition 1.10. Puissances continue et alternative en électrotechnique En régime périodique de période T , une puissance électrique p (t ) = u(t )i (t ) est dite « continue » lorsque 〈p 〉 6= 0, 〈u〉 6= 0 et 〈i 〉 6= 0. En régime périodique de période T , une puissance électrique est dite « alternative » lorsque 〈p 〉 6= 0, 〈u〉 = 0 et/ou 〈i 〉 = 0. 13 RS U supérieur à une valeur minimale. Lorsque les installations ne respectent pas cette condition, il existe des techniques permettant de relever le facteur de puissance. 2π Lorsqu’un dipôle linéaire est soumis à une tension périodique quelconque de période T = , ω0 sa décomposition en série de Fourier est de la forme : Partie 1 – Électronique 2.5. Représentation de Fresnel La représentation de Fresnel est un outil graphique, qui donne une représentation vectorielle de grandeurs sinusoïdales qui ont toutes la même fréquence. Elles est particulièrement adaptée à l’étude des associations de dipôles linéaires en régime sinusoïdal forcé. La représentation de Fresnel consiste à associer à chaque grandeur sinusoïdale un vecteur, selon : • l’une des grandeurs sinusoïdales (une tension ou un courant) est choisie comme origine des phases, le vecteur correspondant est représenté selon l’axe des abscisses ; • il existe plusieurs conventions pour la norme associée à chaque vecteur, soit elle correspond à l’amplitude de la fonction sinusoïdale, soit elle correspond à sa valeur efficace ; • les autres vecteurs sont représentés qualitativement en tenant compte de leurs déphasages (algébrique) par rapport à la grandeur choisie comme origine des phases (les angles positifs sont représentés dans le sens trigonométrique) ; • la loi des mailles se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux tensions, mis bout à bout, pour représenter leurs sommes ; • de même la loi des nœuds se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux intensités des courants, mis bout à bout, pour représenter leurs sommes. Exemple (Déphasage dans un circuit RL) Dans le circuit R L suivant, l’intensité i (t ) est prise pour origine des phases de la forme i (t ) = I0 cos(ωt ), on cherche le déphasage ϕ = ϕu − ϕi de la tension u(t ) = U0 cos(ωt + ϕ) par rapport à l’intensité. Les vecteurs associés à l’intensité i (t ) et à la tension u(t ) dans le diagramme de Fresnel #» #» #» #» sont notés respectivement I et U . La convention adoptée est telle que k I k = I0 et kU k = U0 (les normes des vecteurs sont confondues avec les amplitudes des signaux sinusoïdaux). #» #» On commence par tracer le vecteur I . Le vecteur UR associé à la tension u R (t ) = R i (t ) #» est colinéaire au vecteur I car les deux grandeurs sinusoïdales sont en phase. di (t ) π #» Le vecteur UL associée à la tension u L (t ) = L = −L I0 ω sin(ωt ) = L I0 ω cos(ωt + ) dt 2 π #» est orthogonal au vecteur I car la tension u L (t ) est déphasée de par rapport à l’intensité 2 i (t ). u R (t ) i (t ) R #» UL #» u (t ) L U u L (t ) ϕ #» I Figure 1.11. Circuit RL. #» UR Figure 1.12. Diagramme de Fresnel correspondant au circuit RL. 14 CO Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal #» #» #» Dans un diagramme de Fresnel, en associant la valeur efficace aux normes des différents vecteurs, la puissance moyenne correspond au produit scalaire des vecteurs associés à l’intensité #» #» du courant traversant le dipôle et de la tension aux bornes du dipôle : P = U . I = Ueff Ieff cos(ϕ). Remarques π . 2 Les résultats obtenus « graphiquement » à l’aide de la représentation de Fresnel sont identiques aux résultats que l’on peut obtenir en utilisant la notation complexe et les propriétés des grandeurs complexes. Une dérivée temporelle se traduit par un déphasage de 3. Puissance moyenne reçue par une impédance 3.1. Différentes expressions de la puissance moyenne En régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique qui traverse le dipôle et la tension à ses bornes peuvent s’écrire à l’aide de la notation complexe : u = U0 exp j (ωt + ϕu ) et i = I0 exp j (ωt + ϕi ), ou encore en introduisant les grandeurs efficaces : p p u = Ueff 2 exp j (ωt + ϕu ) et i = Ieff 2 exp j (ωt + ϕi ). Rappel Pour le nombre complexe z = a + j b (où a est la partie réelle de z : a = Re(z ) et b sa partie imaginaire b = Im(z )), le conjugué de z est le nombre complexe noté z ∗ tel que z ∗ = a − j b . Si le nombre complexe z est écrit à l’aide d’une exponentielle complexe z = r exp( j θ ), son complexe conjugué est égal à z ∗ = r exp(− j θ ). Enfin on rappelle que z z ∗ = |z |2 = r 2 , où |z | désigne le module du nombre complexe z . Les nombres complexes conjugués de u et i sont notés respectivement u ∗ et i ∗ et ont pour expressions : p p u ∗ = Ueff 2 exp(− j (ωt + ϕu )) et i ∗ = Ieff 2 exp(− j (ωt + ϕi )). 2 2 On remarque que u × u ∗ = U02 = 2Ueff , de même i × i ∗ = I02 = 2Ieff . 15 RS U #» Ensuite la loi des mailles permet d’écrire U comme la somme suivante U = UR + UL et finalise la représentation du diagramme de Fresnel. #» #» #» L’exploitation graphique permet alors d’en déduire kU k2 = kUR k2 +kUL k2 = (R 2 +(L ω)2 )I02 #» kUR k R ainsi que le facteur de puissance cos(ϕ) = #» = p . kU k R 2 + (L ω)2 La représentation de Fresnel permet de voir rapidement dans ce circuit R L que le déphasage de l’intensité par rapport à la tension est négatif ϕi − ϕu < 0. Partie 1 – Électronique Les résultats des produits u × i ∗ = 2Ueff Ieff exp j (ϕu − ϕi ) et u ∗ × i = 2Ueff Ieff exp j (ϕi − ϕu ) sont indépendants du temps et leurs parties réelles sont reliées à la puissance moyenne. En effet, 1 1 P = Ueff Ieff cos(ϕu − ϕi ) = Re(u ∗ × i ) = Re(u × i ∗ ). 2 2 En utilisant les définitions de l’impédance complexe u = Z i et de l’admittance complexe i = Y u, deux autres expressions de la puissance moyenne s’en déduisent : Propriété 1.12. Autres expressions de la puissance moyenne 2 2 P = Re(Z )Ieff = Re(Y )Ueff . Ces relations s’obtiennent également en remarquant que Re(Z ) = |Z | cos(ϕ) avec |Z | = encore Re(Y ) = |Y | cos(ϕ) avec |Y | = Ieff . Ueff Ueff ou Ieff Propriété 1.13. Autres expressions du facteur de puissance cos(ϕ) = cos(ϕu − ϕi ) = 3.2. Re(Z ) Re(Y ) = . |Z | |Y | Cas d’un dipôle purement réactif. Un dipôle purement réactif est un dipôle dont l’impédance complexe associée est imaginaire pure, l’admittance complexe associée est alors aussi un imaginaire pur (on appelle réactance du dipôle la partie imaginaire de son impédance Im(Z )). Une bobine idéale ou un condensateur idéal sont par exemples des dipôles purement réactifs. Ce type de dipôle n’absorbe aucune puissance en moyenne car Re(Z ) = Re(Y ) = 0. Propriété 1.14. Un dipôle purement réactif d’impédance Z = j X absorbe en moyenne une puissance nulle : P = 0 W. 16 SY E ÈS Synthèse et méthodes TH N Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal Puissance électrique en régime sinusoïdal É En p régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes d’un dipôle est de la forme u(t ) = 2Ueffpcos(ωt + ϕu ) et l’intensité qui le traverse en convention récepteur est de la forme i (t ) = 2Ieff cos(ωt p + ϕi ), les notations complexes p associées à ces deux grandeurs sont respectivement u = 2Ueff exp j (ωt + ϕu ) et i = 2Ieff exp j (ωt + ϕi ). L’impédance complexe u i du dipôle Z = et l’admittance complexe Y = sont alors définies. Leurs expressions i u dans le cas des trois dipôles linéaires fondamentaux sont rappelées dans le tableau suivant : Dipôle Impédance complexe (en Ω) Admittance complexe (en S) É É É É É Condensateur idéal 1 ZC = jCω YC = j C ω Bobine idéale Conducteur ohmique ZL = j L ω ZR = R YL = 1 j Lω YR = 1 R Lorsque deux dipôles d’impédance Z 1 et Z 2 sont en série, parcourus par la même intensité du courant électrique, la tension s aux bornes du dipôle d’impédance Z 2 s’exprime à l’aide Z2 de la tension e aux bornes de l’ensemble des deux dipôles selon s = e. Z1 + Z2 La valeur moyenne Smoy et la valeur efficace Seff d’un signal s (t ) périodique de période T sont définies par : Z t 0 +T 1 s (t )d t , ∀t 0 , Smoy = T t 0 p Seff = 〈s 2 (t )〉. La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle en convention récepteur est égale au produit de la tension à ses bornes et de l’intensité du courant qui le traverse p (t ) = u(t )i (t ). Lorsque le dipôle est en régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne reçue par ce dipôle est égale à : P = Ueff Ieff cos(ϕ), où cos(ϕ) est le facteur de puissance. Cette puissance moyenne peut s’exprimer à l’aide de la notation complexe : 2 2 P = Re(Z )Ieff = Re(Y )Ueff . É Ainsi un dipôle purement réactif (dont la partie réelle de l’impédance est nulle) n’absorbe pas de puissance en moyenne. 17 Exercices Puissance électrique en régime sinusoïdal Vrai ou faux ? Vrai Faux L’admittance complexe d’un condensateur réel caractérisé par une capacité C et une résistance de fuite en dérivation R 1 a pour expression Y C = + j C ω. R b) Une impédance complexe peut être associée à tout type de dipôle. L’expression de la fonction de transfert d’un quadripôle notée s H = ne dépend pas de l’intensité du courant dans la e branche de sortie du quadripôle. d) La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à la tension a) c) crête-à-crête divisée par p 2. e) Le résultat de la mesure de la tension à l’aide d’un voltmètre en mode « DC » est nul pour un signal purement sinusoïdal. f) Les vecteurs associés à l’intensité et la tension pour une bobine idéale sont orthogonaux dans une représentation de Fresnel. g) La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle dont la h) La puissance moyenne P reçue par un dipôle dont la tension tension à ses bornes est égale à u(t ) et l’intensité du courant le traversant en convention générateur est égale à i (t ) est égale à p (t ) = u(t )i (t ). et l’intensité en convention récepteur sont u(t ) = U0 (1 + cos(ωt + ϕ)) et i (t ) = I0 (1 + cos(ωt )) est égale à P = U0 I0 (1 + cos(ϕ)). 18 Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal Exercices guidés Exercice A (5 min.) Un dipôle inconnu est alimenté par un signal purement sinusoïdal de fréquence f = 50 Hz, le spectre en amplitude de la tension aux bornes du dipôle est représenté sur la figure 1.13. Amplitude (en V) 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 50 100 150 200 250 300 Fréquence (en Hz) Figure 1.13. Spectre en amplitude de la tension aux bornes d’un dipôle inconnu. 1. À partir de l’observation du spectre en amplitude, que peut-on déduire quant à la linéarité du dipôle ? 2. Calculer numériquement la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle. (15 min.) e (t ) = E 0 T 0<t < , 2 T < t < T, 2 EX 19 ER avec E = 5,0 V. 1. Calculer la valeur moyenne notée Emoy et la valeur efficace notée Eeff du signal créneau e (t ). 2. Un conducteur ohmique de résistance R est alimenté par la tension créneau e (t ). Quelle est l’expression de la puissance moyenne Pmoy reçue par le conducteur ohmique ? 3. Un condensateur idéal de capacité C est alimenté par la tension créneau e (t ), quelle est la puissance moyenne reçue par le condensateur ? La valeur efficace du signal précédent mesurée avec un voltmètre numérique est égale à Emes = 2,78 V. Pour comprendre ce résultat, on décrit dans la suite le principe de la mesure d’une tension efficace à l’aide d’un voltmètre. Pour afficher la valeur efficace d’un signal sinusoïdal de la forme s (t ) = S0 sin(ωt ) + Smoy , un voltmètre « classique » (c’est à dire qui n’est pas « TRMS » pour True Root Mean Square) effectue la série d’opérations suivante : • la valeur moyenne du signal sinusoïdal est filtrée ; • la tension sinusoïdale s (t ) −Smoy est redressée, en sortie du montage redresseur on obtient la tension s 0 (t ) = |s (t ) − Smoy | correspondant à la valeur absolue de s (t ) − Smoy ; π〈s 0 (t )〉 • le résultat de la mesure de la valeur efficace correspond à Smes = p . 2 2 4. Obtenir l’expression de 〈s 0 (t )〉 en fonction de S0 . Justifier l’expression de Smes . ES Un signal créneau e (t ) est défini par : CI C Exercice B Partie 1 – Électronique 5. Expliquer le résultat de la mesure pour Emes . L’utilisation d’un voltmètre en mode « AC » pour mesurer la tension efficace d’un signal périodique non sinusoïdal est-elle pertinente ? Exercice C (15 min.) Un dipôle linéaire inconnu d’impédance complexe Z = R + j X est associé en série avec un conducteur ohmique de résistance R0 connue selon le schéma de la figure 1.14 . L’ensemble est en régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique p qui traverse les deux dipôles est prise pour origine des phases et a pour expression i (t ) = I0 2 cos(ωt ). i (t ) r L i (t ) u (t ) R0 dipôle u 1 (t ) u 2 (t ) R u 3 (t ) Figure 1.14. Association en série d’un conducteur ohmique avec un dipôle inconnu. Figure 1.15. Alimentation d’une installation domestique par le réseau électrique. 1. Représenter sur un diagramme de Fresnel, les vecteurs associés aux tensions u 1 (t ), u 2 (t ) et u 3 (t ). Faire apparaître sur ce diagramme le déphasage noté ϕ de u 2 (t ) par rapport à i (t ). 2. Obtenir, à l’aide du diagramme de Fresnel, l’expression du facteur de puissance du dipôle, en fonction des valeurs efficaces U1 , U2 et U3 des tensions u 1 (t ), u 2 (t ) et u 3 (t ). 3. En déduire l’expression de la puissance moyenne Pm consommée par ce dipôle en fonction de R0 , U1 , U2 et U3 . 4. En déduire une méthode permettant de mesurer expérimentalement cette puissance à l’aide de multimètres. Dans quel mode faut-il utiliser ces multimètres ? Cette méthode est mise en œuvre pour une bobine réelle de résistance R et d’inductance L , la fréquence des signaux est égale à 50 Hz, R0 = 10 Ω et les tensions efficaces mesurées sont U1 = 1,1 V, U2 = 0,44 V et U3 = 1,4 V. 5. Évaluer numériquement le facteur de puissance et la puissance moyenne consommée par la bobine. 6. En déduire les valeurs numériques de la résistance R de la bobine et de son inductance propre L . Exercices Exercice 1 (20 min.) Une installation domestique est modélisée par une bobine réelle d’inductance pure L et de résistance R . Elle est alimentée, via une ligne de résistance r = 50 Ω, par une tension u(t ) de 20 Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal valeur efficace U = 220 V à la fréquence 50 Hz comme représentée sur la figure 1.15. L’installation domestique seule consomme une puissance Pm = 150 W. La valeur efficace de l’intensité du courant i (t ) dans le circuit vaut I = 2,0A. 1. Déterminer les valeurs numériques de L et R . 2. Quelle est la valeur numérique du facteur de puissance cos ϕ de l’installation ? 3. Pourquoi n’est-ce pas intéressant pour le distributeur d’électricité d’avoir un facteur de puissance faible pour les installations domestiques ou industrielles ? 4. Évaluer numériquement le rendement en puissance de la ligne, défini comme le rapport de la puissance consommée par l’installation domestique sur la puissance totale fournie. Une méthode permettant de relever le facteur de puissance consiste à placer un condensateur en dérivation au niveau de l’installation domestique. 5. Calculer la valeur de la capacité C d’un condensateur à placer en dérivation sur l’installation domestique permettant de relever le facteur de puissance à cos ϕ 0 = 1. 6. Calculer dans ce cas les valeurs de l’intensité efficace I 0 qui traverse la résistance r et le rendement de la ligne. Exercice 2 (30 min.) Un sèche-cheveux peut être modélisé par un conducteur ohmique de résistance réglable RC (résistance chauffante) associé en dérivation avec le moteur de la soufflerie modélisé par une association série d’un conducteur ohmique de résistance r et d’une bobine d’inductance L selon le schéma de la figure 1.16. i (t ) i 1 (t ) i 2 (t ) L u (t ) RC r Figure 1.16. Modélisation d’une résistance chauffante associée à un moteur de soufflerie. Figure 1.17. Capture d’écran d’oscilloscope. EX 21 ER CI C ES L’intensité du courant électrique qui traverse le sèche-cheveux en convention récepteur est de p p la forme i (t ) = I 2 cos(ωt + ϕ) et la tension à ses bornes est de la forme u(t ) = U 2 cos(ωt ). 1. Quelle est l’impédance complexe Z du sèche-cheveux ? Un commutateur permet de sélectionner trois valeurs différentes pour la résistance RC : • la résistance RC est déconnectée (ou infinie), ce qui donne un fonctionnement sans chauffage de la soufflerie (mode froid) ; • RC = R1 (chauffage moyen) ; • ou RC = R2 (chauffage fort). Partie 1 – Électronique Les puissances électrique moyennes P consommées par le sèche-cheveux dans les différents modes sont répertoriées dans le tableau 1.2 (lorsque U = 220 V et pour une fréquence correspondant à celle du réseau de distribution) : Table 1.2. Puissance moyenne consommée et déphasage pour les différents modes de fonctionnement du sèche-cheveux. Mode P (en kW) Déphasage du courant total par rapport à la tension Froid 0,50 ϕF Moyen 1,0 ϕ1 Fort 2,0 ϕ2 2. Représenter sur un diagramme de Fresnel les vecteurs associés à la tension u(t ) et les intensités des courants i (t ), i 1 (t ) et i 2 (t ). Représenter sur ce même schéma le déphasage ϕ de l’intensité i (t ) par rapport à u(t ) et préciser le signe de ce déphasage. 3. Donner l’expression de la puissance moyenne consommée par le moteur de la soufflerie notée Pmot en fonction de r , L , ω et U . Quelle est sa valeur numérique ? Lorsque le sèche-cheveux est en mode froid, les tensions u(t ) et u r (t ) = r i 2 (t ) sont visualisées simultanément à l’aide d’un oscilloscope. La capture d’écran d’oscilloscope visualisée sur la figure 1.17 est obtenue. 4. Identifier u(t ) et u r (t ) pour les deux signaux visualisés en justifiant. Obtenir numériquement à l’aide de cette capture d’écran, la fréquence f des signaux, l’amplitude de chacune des deux tensions et le déphasage ϕF . 5. Calculer numériquement R1 et R2 . 6. Donner qualitativement l’évolution du déphasage ϕ lorsque la résistance RC diminue. Exercice 3 (10 min.) Un haut-parleur est assimilé à un conducteur ohmique de résistance R0 = 4,0 Ω. Il émet le son correspondant à une tension démodulée en amplitude (cf. chapitre « Modulation et démodulation ») : pour cela, la tension modulée vm (t ) = V0 cos(2πF t )(1 + cos(2πf t )) est multipliée par la tension dite « porteuse » vp (t ) = V0 cos(2πF t ) pour obtenir en sortie du multiplieur le signal démodulé de la forme vd (t ) = k vm (t ) × vp (t ). Les données numériques sont les suivantes : F = 100 kHz, f = 2,5 kHz, V0 = 20 V et k = 0,10 V −1 . 1. Obtenir et tracer le spectre en amplitude de la tension vd (t ). Parmi ces fréquences, quelles sont celles entendues par l’oreille humaine ? 2. Calculer numériquement la puissance moyenne Pm consommée par le haut-parleur lorsqu’il est alimenté directement par la tension vd (t ). Un quadripôle peut-être placé à la sortie du multiplieur, faisant l’effet d’un filtre en tension, de G0 fonction de transfert H = n avec G0 > 0 et f c = 20 kHz. Pour déterminer les paramètres f 1+ j fc G0 et n du filtre employé, deux mesures du gain en décibel ont été réalisées à deux fréquences différentes : GdB = 0,0 dB à 1,0 kHz et GdB = −100 dB à 200 kHz. 3. Déterminer à partir des mesures G0 et n. 4. Quelle est la puissance moyenne Pm0 consommée par le haut-parleur après filtrage ? Commenter. 22 Corrigés Puissance électrique en régime sinusoïdal Corrigés des Vrai/Faux a) Vrai. Les admittances complexes de deux dipôles en dérivation s’additionnent. b) Faux. La notion d’impédance ou d’admittance complexe est utilisée uniquement pour les dipôles linéaires. c) Faux. L’expression de la fonction de transfert (obtenue par exemple à l’aide de la formule du pont diviseur de tension) est valable lorsque le quadripôle est en sortie ouverte, c’est-à-dire que l’intensité du courant dans la branche de sortie du quadripôle est nulle. d) Faux. La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à l’amplitude (tension crête-àp crête divisée par 2) du signal divisée par 2 (encore faut-il que la valeur moyenne de ce signal sinusoïdal soit nulle). e) Vrai. La tension moyenne (mesurée par un voltmètre en mode « DC ») d’un signal purement sinusoïdal est nulle. f) Vrai. La tension et l’intensité du courant pour une bobine idéale sont en quadrature de phase. g) Faux. Lorsque la tension aux bornes du dipôle et l’intensité traversant le dipôle sont définies en convention récepteur, la puissance p (t ) = u(t )i (t ) correspond à la puissance électrique fournie par le dipôle. h) Faux. Il faut sommer les puissances moyennes des différentes composantes spectrales, 1 c’est-à-dire P = U0 I0 (1 + cos(ϕ)). 2 Corrigés des exercices guidés Exercice A 1. L’apparition de fréquences différentes de f = 50 Hz dans le spectre en amplitude de la tension aux bornes du dipôle est caractéristique d’un dipôle non vlinéaire. u XU2 t 2 k 2. La tension efficace se calcule à l’aide de la formule Ueff = Umoy + . Sur le spectre 2 k 23 CO RR IG ÉS en amplitude de la tension, on peut lire Umoy = 1,3 V ; U1 = 2,7 V ; U2 = 1,0 V ; U3 = U5 = 0,10 V et U4 = 0,2 V, on en déduit Ueff = 2,4 V. Partie 1 – Électronique Exercice B 1. Par définition de la valeur moyenne et de la valeur efficace d’un signal périodique, on obtient : T Z E 1 2 E d t = = 2,5 V; Emoy = 〈e (t )〉 = T 0 2 et 1 〈e (t )〉 = T T 2 Z 2 0 E 2d t = E2 2 E donc Eeff = p = 3,5 V. 2 2. La loi d’Ohm nous donne e (t ) = R i (t ) et par définition de la puissance moyenne reçue par E2 e 2 (t ) E2 un dipôle : Pmoy = 〈e (t )i (t )〉 = 〈 〉 = eff = R R 2R de (t ) 3. La relation courant-tension pour un condensateur idéal est i (t ) = C donc 〈e (t )i (t )〉 = dt de (t ) 〉 = 0, un condensateur idéal ne consomme pas de puissance en moyenne. C 〈e (t ) dt 4. La valeur moyenne du signal redressé est égal à : 1 〈s 0 (t )〉 = T Z T 0 2 S0 | sin(ωt )| = T T 2 Z 0 T 2S0 S0 cos(ωt ) 2 = S0 sin(ωt ) = −2 . T ω π 0 S0 Le résultat de la mesure est donc égal à Smes = p ce qui est bien la valeur efficace pour la partie 2 sinusoïdale du signal. πE 5. La série d’opérations appliquée au signal e (t ) donne pour résultat Emes = p , ce qui donne 4 2 bien 2,78 V. Pour un signal périodique quelconque, la mesure de la tension efficace à l’aide d’un π〈|e (t ) − 〈e (t )〉|〉 voltmètre classique donne pour résultat , ce qui ne correspond pas à sa valeur p 2 2 efficace. L’utilisation d’un voltmètre non TRMS en mode « AC » est pertinente uniquement pour un signal sinusoïdal. Exercice C 1. La tension u 1 (t ) et i (t ) sont en phase d’après la loi d’Ohm u 1 (t ) = R0 i (t ) et la loi des mailles permet d’écrire u 3 (t ) = u 1 (t ) + u 2 (t ), le diagramme de Fresnel de la figure 1.18 s’en déduit. U 2 − U12 − U22 #» #» #» #» #» #» #» 2. kU3 k2 = kU1 + U2 k2 = kU1 k2 + kU2 k2 + 2U1 .U2 cos(ϕ), on en déduit cos(ϕ) = 3 . 2U1U2 3. Pm = U2 I0 cos(ϕ) et l’intensité efficace est reliée à la tension aux bornes du conducteur U 2 − U12 − U22 U1 ohmique I0 = . On en déduit Pm = 3 . R0 2R0 4. Les multimètres sont des appareils à masse flottante donc il suffit de les brancher pour obtenir les tensions efficaces U1 , U2 et U3 en mode voltmètre « AC ». 24 Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal #» U2 #» U3 ϕ #» I #» U1 Figure 1.18. Diagramme de Fresnel représentant les tensions u 1 (t ), u 2 (t ) et u 3 (t ). 5. En utilisant les formules obtenues précédemment cos(ϕ) = 0,575 et Pm = 27,8 mW. 2 U1 6. La puissance moyenne reçue par la bobine s’écrit aussi Pm = Re(Z )I02 = Re(Z ) et R0 la partie réelle de l’impédance de la bobine est égale à sa résistance notée R , on en déduit R 2 Pm R = 0 2 = 2,3 Ω. U1 Re(Z ) Le facteur de puissance s’exprime aussi cos(ϕ) = où |Z | est le module de l’impédance |Z | complexe de la bobine réelle qui est égale Z = R + j L ω en notant L l’inductance propre de la bobine. On en déduit : p R |Z | = R 2 + (L ω)2 = = 4,0 Ω, cos(ϕ) et : L= 1 Æ |Z |2 − R 2 = 10 mH. 2πf Corrigés des exercices Exercice 1 25 CO RR Remarque Une autre manière de limiter les pertes par effet Joule en ligne consiste à transporter IG ÉS 1. La puissance moyenne consommée par l’installation domestique s’exprime à l’aide de la partie réelle R de l’impédance complexe caractérisant l’installationv selon Pm = R I 2 , on en déduit U p Pm 1t U 2 = 37,5 Ω. Par ailleurs, R= = (R + r )2 + (L ω)2 , donc L = − (R + r )2 = 0,21 H. I2 I ω I Re Z 2. cos ϕ = = 0,49 avec Z = R + j L ω, l’impédance complexe de l’installation domestique. |Z | 3. À puissance moyenne consommée et tension efficace fixées, un faible facteur de puissance entraîne une intensité efficace élevée, ce qui augmente la puissance perdue par effet Joule r I 2 lors du transport électrique. Par ailleurs, la puissance moyenne consommée facturée par le distributeur a pour expression Pm = Ueff Ieff cos ϕ : un faible facteur de puissance limite la puissance facturée. Partie 1 – Électronique l’électricité à l’aide de lignes hautes tensions en utilisant deux transformateurs (en entrée de ligne et en bout de ligne) : cf. chapitre « Transformateur ». Pm = 0,43. Pm + r I 2 Re(Y 0 ) 1 R Lω 5. cos ϕ 0 = avec Y 0 = j C ω + = + j Cω− , le facteur de |Y 0 | Z R 2 + (L ω)2 R 2 + (L ω)2 L = 36 µF. puissance est unitaire lorsque Im(Y 0 ) = 0, ce qui donne C = 2 R + (L ω)2 6. La valeur efficace de l’intensité du courant I 0 dans la ligne s’obtient en écrivant : (L ω)2 0 0 0 U = |r + Z |I = r + R + I R 4. Le rendement de la ligne noté η est égal à η = On en déduit I 0 = 1,1A. La puissance moyenne consommée par l’installation est donc égale Pm0 à Pm0 = Re Z 0 I 02 = 179 W et le rendement de la ligne est égal à η0 = = 0,75 > η. Le Pm0 + r I 02 relèvement du facteur de puissance permet de limiter les pertes en ligne, il permet également au distributeur de facturer une consommation plus élevée. Exercice 2 1. L’impédance complexe du sèche-cheveux est Z = RC (r + j L ω) . RC + r + j L ω u(t ) est en phase avec RC la tension u(t ) et le déphasage de i 2 (t ) par rapport à la tension u(t ) est négatif comme obtenu dans l’exemple page 14 du cours. Le vecteur représentant le courant d’intensité i (t ) est obtenu en sommant les vecteurs représentant les courants d’intensités i 1 (t ) et i 2 (t ) par application de la loi des nœuds. On observe qualitativement d’après le diagramme de Fresnel que le déphasage 2. Le diagramme de Fresnel est représenté sur le schéma 1.19, i 1 (t ) = ϕ #» U #» I1 #» I #» I2 Figure 1.19. Diagramme de Fresnel représentant la tension u(t ) et les courants d’intensités i (t ), i 1 (t ) et i 2 (t ). ϕ est négatif : ϕ < 0. 3. La puissance moyenne consommée par le moteur de soufflerie d’admittance complexe 1 U 2r Y = est égale à Pmot = U 2 Re(Y ) = . Cette puissance correspond à la puissance r + j Lω r 2 + (L ω)2 moyenne consommée par le sèche-cheveux en mode froid pour lequel la résistance RC est infinie donc i 1 (t ) = 0 et i (t ) = i 2 (t ), on en déduit Pmot = 0,50 kW. 4. ϕ < 0 donc le courant d’intensité i (t ) = i 2 (t ) est en retard de phase par rapport à la tension u(t ), ainsi le signal de la voie CH1 correspond à u(t ) et le signal de la voie CH2 correspond à u r (t ). 26 Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal La période des signaux est égale à 8 × 2,5 ms = 20 ms ce qui correspond à une fréquence f = 50 Hz. L’amplitude de u(t ) est égale à 8,0 V et l’amplitude de u r (t ) est égale à 1,0 V. La durée entre deux maxima des deux signaux est égale à ∆t = 1,2 × 2,5 ms, ce qui donne un déphasage de ϕF = −2π f ∆t = −54 ˚. 5. La puissance consommée lorsque la résistance RC est connectée est égale à : P = 〈u(t )(i 1 (t ) + i 2 (t ))〉 = 〈u(t )i 1 (t )〉 + 〈u(t )i 2 (t )〉 = U2 + Pmot . RC U2 + Pmot donc R1 = 97 Ω. R1 2 U + Pmot donc R2 = 32 Ω. Lorsque RC = R2 , P = P2 = 2,0 kW = R2 6. Lorsque la résistance RC diminue, la valeur efficace de i 1 (t ) augmente alors que celle de i 2 (t ) reste fixée (car elle ne dépend que des valeurs de U , L , r et ω). Ainsi, d’après le diagramme de Fresnel, on peut en déduire que la valeur absolue du déphasage ϕ diminue lorsque la résistance RC diminue (ce qui est en accord avec une puissance consommée plus grande, car le facteur de puissance cos ϕ augmente). Lorsque RC = R1 , P = P1 = 1,0 kW = Exercice 3 1. La tension démodulée vd (t ) s’écrit comme une somme de fonctions sinusoïdales en utilisant cos(a + b ) + cos(a − b ) la formule de trigonométrie cos(a ) cos(b ) = , on obtient : 2 § ª k V02 1 1 vd (t ) = 1 + cos(2πf t ) + cos(2πF t ) + cos(2π(2F + f )t ) + cos(2π(2F − f )t ) . 2 2 2 Le spectre en amplitude en fonction de la fréquence s’en déduit, il est représenté sur la figure 1.20. Seule la fréquence f = 2,5 kHz fait partie du domaine audible par l’oreille humaine. spectre de vd (t ) 20 V 10 V 0 f 2F − f F 2F + f Figure 1.20. Spectre en amplitude en fonction de la fréquence de la tension vd (t ) (l’échelle en fréquences n’est pas respectée pour une meilleure lisibilité). 2. La puissance moyenne consommée par le haut-parleur a pour expression Pm = Vd2,eff où R0 est la moyenne quadratique de vd (t ) c’est-à-dire la somme des moyennes quadratiques 9k 2 V04 des différentes composantes spectrales de vd (t ). On obtient, après calcul, Vd2,eff = donc 16 Pm = 225 W. CO RR 27 IG ÉS Vd2,eff Partie 1 – Électronique f 2n 3. Le gain en décibel du filtre a pour expression GdB = 20 logG0 − 10 log 1 + . fc f 1 À 1,0 kHz, = donc GdB ' 20 logG0 = 0,0 dB donc G0 = 1,0. fc 20 f f À 200 kHz, = 10 donc GdB ' −20n log = −100 dB donc n = 5,0. fc fc 4. En sortie, seules les fréquences 0 et f sont conservées (avec un gain unitaire), les trois autres fréquences sont suffisamment atténuées pour pouvoir considérer qu’elles sont nulles. Ainsi 3k 2 V04 Pm0 = = 150 W. Le filtrage permet de limiter la puissance consommée par le haut-parleur 8R0 en n’émettant pas certaines fréquences qui ne correspondent pas au domaine audible. Cette puissance pourrait être encore limitée en filtrant la composante continue du spectre de vd (t ) (à l’aide d’un filtre passe-haut). 28 VUIBERT PHYSIQUE – CHIMIE PSI/PSI* , des ouvrages pour faire la différence : – Des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables ; – Des fiches de synthèse et de méthode pour réviser l’essentiel et acquérir les bons réflexes ; – De nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner : Vrai/faux, exercices guidés et exercices d’application ; – Des sujets de concours corrigés pour se mettre en situation d’épreuve SOMMAIRE : Partie I : Électronique. 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal – 2. Stabilité des systèmes linéaires – 3. Rétroaction – 4. ALI en régime non linéaire – 5. Électronique numérique – 6. Modulation et démodulation. Partie II : Phénomènes de transport. 7. La diffusion thermique – 8. La diffusion des particules. Partie III : Mécanique des fluides. 9. Cinématique des fluides – 10. Actions de contact dans un fluide – 11. Nombre de Reynolds – 12. Bilans macroscopiques. Partie IV : Électromagnétisme. 13. Champ électrique en régime stationnaire – 14. Transport de charge – 15. Champ magnétique en régime stationnaire – 16. Électromagnétisme dans l’ARQS – 17. Milieux ferromagnétiques. Partie V : Conversion de puissance. 18. Transformateurs – 19. Contacteur électromagnétique en translation – 20. Machine synchrone – 21. Machine à courant continu – 22. Conversion électronique statique. Partie VI : Ondes. 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert – 24. Ondes sonores dans les fluides – 25. Ondes électromagnétiques dans le vide – 26. Dispersion et absorption – 27. Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre. Partie VII : Thermochimie. 28. Application du premier principe – 29. Second principe : potentiel thermodynamique – 30. Équilibre chimique – 31. Optimisation d’un procédé chimique – 32. Systèmes binaires. Partie VIII : Électrochimie. 33. Courbes intensité-potentiel – 34. Électrochimie et applications Annexe : analyse vectorielle Les auteurs Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg. Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes. Claire Delacour est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Paul Constant à Montluçon. Erwan Jahier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Chateaubriand à Rennes. Christophe Jorssen est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques Decour à Paris. Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques. Mathilde Marchand-Hartog est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques Decour à Paris. Philippe Ribière est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Stanislas à Paris. ISBN : 978-2-311-40031-1 www. .fr