Exercice : Le plan complexe est rapporté au rep`ere

Terminale S
Exercice (corrigé) sur les ensembles de points
Exercice :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (0; #”
u , #”
v ).
On désigne par A le point d’affixe 4 + i et par B le point d’affixe 1.
z + 3i
.
z−4−i
′
A tout point M d’affixe z du plan, M étant distinct de A, on associe le point M dont l’affixe z ′ est défini par
z ′ = f (z).
Dans les questions suivantes, on déterminera géométriquement et analytiquement les ensembles de points demandés. Les dessins sont à effectuer dans le repère joint à l’énoncé.
La fonction f est définie pour tout complexe z différent de 4 + i par : f (z) =
1. Placer les points A et B dans le repère ci-dessous.
2. Montrer que l’équation f (z) = 1 n’a aucune solution dans C.
En déduire que, pour tout complexe z différent de 4 + i, le point M ′ (f (z)) est distinct du point B.
3. Montrer que pour tout complexe z, tel que z 6= 4 + i et z = x + iy avec x et y réels, on a :
z ′ = f (z) = x′ + iy ′
avec x′ =
x2 − 4x + y 2 + 2y − 3
(x − 4)2 + (y − 1)2
et
y′ =
4x − 4y − 12
(x − 4)2 + (y − 1)2
4. On appelle E l’ensemble des points M (z) du plan tels que f (z) soit imaginaire pur.
Montrer que E est un cercle privé d’un point.
Tracer E dans le repère ci-dessous.
5. Déterminer l’ensemble F des points M (z) du plan tels que f (z) soit réel.
Tracer F dans le repère ci-dessous.
6. Soient z et z ′ deux nombres complexes, tels que z 6= 4 + i et z ′ 6= 1.
a. Montrer les équivalences suivantes :
z ′ = f (z) ⇐⇒ z =
4 + 4i
z ′ (4 + i) + 3i
⇐⇒ z = 4 + i + ′
′
z −1
z −1
Remarque: cette propriété montre que tout complexe z ′ différent de 1 a un unique
antécédent z dans C par la fonction f .
√
b. Montrer que si le point M ′ (z ′ ) varie sur le cercle C de centre B et de rayon 2, alors z − 4 − i garde
un module constant (où z est l’unique antécédent de z ′ par f ).
En déduire le lieu G des points M (z) lorsque M ′ (z ′ ) parcourt le cercle C .
Tracer C et G .
6
4
2
#”
v
−4
−2
#”
O 0u
2
4
6
8
10
√
On rappelle que 2 est la longueur de la diagonale d’un carré
de côté 1.
−2
−4
−6
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Exercice (corrigé) sur les ensembles de points
Solution :
1. Voir figure plus bas.
z + 3i
= 1 ⇐⇒ z + 3i = z − 4 − i ⇐⇒ 4 + 4i = 0.
z−4−i
Or le complexe 4 + 4i n’est pas nul puisque ses parties réelle et imaginaire ne sont pas toutes deux nulles.
Par conséquent le point M ′ d’affixe f (z) est différent du point B d’affixe 1.
2. Pour tout z 6= 4 + i, f (z) = 1 ⇐⇒
3. On pose z = x + iy avec x et y réels, et on calcule z ′ sous forme algébrique :
f (z) =
=
z + 3i
z−4−i
x + (y + 3)i
x − 4 + (y − 1)i
=
=
=
x + (y + 3)i
x − 4 − (y − 1)i
x − 4 + (y − 1)i
x − 4 − (y − 1)i
x(x − 4) + (y + 3)(y − 1) + i (x − 4)(y + 3) − x(y − 1)
(x − 4)2 + (y − 1)2
(x2 − 4x + y 2 + 2y − 3) + i(4x − 4y − 12)
(x − 4)2 + (y − 1)2
x2 − 4x + y 2 + 2y − 3
4x − 4y − 12
+i
2
2
(x − 4) + (y − 1)
(x − 4)2 + (y − 1)2
4. Les points M (z) tels que f (z) soit imaginaire pur sont les points d’affixe z tel que x′ = ℜe(f (z)) = 0.
f (z) =
(x2 − 4x + y 2 + 2y − 3)
= 0 ⇐⇒ x2 − 4x + y 2 + 2y − 3 = 0 et (x − 4)2 + (y − 1)2 6= 0
(x − 4)2 + (y − 1)2
⇐⇒ (x − 2)2 − 4 + (y + 1)2 − 1 − 3 = 0 et M (x; y) 6= A(4; 1)
⇐⇒ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 8 et M (x; y) 6= A(4; 1)
√ Ces conditions sont équivalentes au fait que le point M (x; y) appartient au cercle C Ω, 2 2 de centre
√
exclu.
Ω(2; −1) et de rayon 2 2, le point A devant être éventuellement
√
√
√
2
2
Or le point A(4 + i) est situé sur ce cercle
√ (car ΩA = 2 + 2 = 8 = 2 2).
Donc l’ensemble E est le cercle C Ω, 2 2 privé du point A.
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5. f (z) est réel ssi ℑm(f (z)) = y ′ = 0. Les points M (x; y) tels que y ′ = 0 vérifient :
4x − 4y − 12
= 0 ⇐⇒ 4x − 4y − 12 = 0 et (x − 4)2 + (y − 1)2 6= 0
(x − 4)2 + (y − 1)2
⇐⇒ y = x − 3 et M (x; y) 6= A(4; 1)
Or la droite d’équation y = x − 3 passe par le point A(4; 1),l’ensemble F est donc la droite d’équation
y = x − 3 privée du point A.
6. Soient z et z ′ deux nombres complexes, tels que z 6= 4 + i et z ′ 6= 1.
a. On exprime z en fonction de z ′ à partir de la relation z ′ = f (z), sachant que z ′ 6= 1 et donc z ′ − 1 6= 0 :
z′ =
z + 3i
⇐⇒ z ′ (z − 4 − i) = z + 3i
z−4−i
⇐⇒ z ′ z − z ′ (4 + i) − z = 3i
⇐⇒ (z ′ − 1)z = z ′ (4 + i) + 3i
⇐⇒ z =
z ′ (4 + i) + 3i
z′ − 1
La troisième égalité s’en déduit aisément, sachant que z ′ − 1 6= 0 :
4+i+
(z ′ − 1)(4 + i) 4 + 4i
z ′ (4 + i) + 3i
4 + 4i
=
+
=
=z
z′ − 1
z′ − 1
z′ − 1
z′ − 1
D’après le calcul précédent
z ′ (4 + i) + 3i
4 + 4i
⇐⇒ z = 4 + i + ′
z′ − 1
z −1
4 + 4i
b. De la dernière égalité on déduit z − (4 + i) = z − 4 − i = ′
.
z −1
4 + 4i |4 + 4i|
=
Le module d’un quotient est le quotient des modules : |z − 4 − i| = ′
|z ′ − 1| .
z
−
1
√
√
Donc si M ′ (z ′ ) varie sur le cercle C (B, 2), on a BM ′ = |z ′ − 1| = 2, donc
√
4 × |1 + i|
4 2
|4 + 4i|
√
=
= √ =4
|z − 4 − i| = √
2
2
2
Ainsi, on a z ′ = f (z) ⇐⇒ z =
Donc le module de z − 4 − i est constant, égal à 4.
Or |z − 4 − i| = |z − (4 + i)| et |z − (4 + i)| est égal à la distance AM . Ceci prouve que AM =√4.
Réciproquement, en reprenant les égalités précédentes, il est clair que
si AM = 4 alors BM ′ = 2.
√
Le lieu G des points M (z) lorsque M ′ (z ′ ) parcourt le cercle C (B, 2) est donc le cercle C (A, 4)
(en entier, puisque le point A n’est pas sur le cercle).
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G
2
A
×
#”
v
B
×
−4
−2
#”
O 0u
2
4
6
8
10
×
Ω
−2
−4
E
F
−6
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