Exercice : Le plan complexe est rapporté au rep`ere

Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
Exercice :
Le plan complexe est rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (0; #
u , #
v).
On d´esigne par Ale point d’affixe 4 + i et par Ble point d’affixe 1.
La fonction fest d´efinie pour tout complexe zdi´erent de 4 + i par : f(z) = z+ 3i
z4i.
A tout point Md’affixe zdu plan, M´etant distinct de A, on associe le point Mdont l’affixe zest d´efini par
z=f(z).
Dans les questions suivantes, on d´eterminera g´eom´etriquement et analytiquement les ensembles de points de-
mand´es. Les dessins sont `a effectuer dans le rep`ere joint `a l´enonc´e.
1. Placer les points Aet Bdans le rep`ere ci-dessous.
2. Montrer que l’´equation f(z) = 1 n’a aucune solution dans C.
En d´eduire que, pour tout complexe zdiff´erent de 4 + i, le point M(f(z)) est distinct du point B.
3. Montrer que pour tout complexe z, tel que z6= 4 + i et z=x+iyavec xet yr´eels, on a :
z=f(z) = x+iyavec x=x24x+y2+ 2y3
(x4)2+ (y1)2et y=4x4y12
(x4)2+ (y1)2
4. On appelle El’ensemble des points M(z)du plan tels que f(z)soit imaginaire pur.
Montrer que Eest un cercle priv´e d’un point.
Tracer Edans le rep`ere ci-dessous.
5. D´eterminer l’ensemble Fdes points M(z)du plan tels que f(z)soit r´eel.
Tracer Fdans le rep`ere ci-dessous.
6. Soient zet zdeux nombres complexes, tels que z6= 4 + i et z6= 1.
a. Montrer les ´equivalences suivantes :
z=f(z)z=z(4 + i) + 3i
z1z= 4 + i+4 + 4i
z1
Remarque: cette propri´et´e montre que tout complexe zdiferent de 1a un unique
ant´ec´edent zdans Cpar la fonction f.
b. Montrer que si le point M(z)varie sur le cercle Cde centre Bet de rayon 2, alors z4i garde
un module constant (o`u zest l’unique ant´ec´edent de zpar f).
En d´eduire le lieu Gdes points M(z)lorsque M(z)parcourt le cercle C.
Tracer Cet G.
0 2 4 6 8 1024
2
4
6
2
4
6
#
u
#
v
O
Trac´es des figures
On rappelle que 2est la lon-
gueur de la diagonale d’un carr´e
de cˆot´e 1.
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Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
Solution :
1. Voir figure plus bas.
2. Pour tout z6= 4 + i, f(z) = 1 z+ 3i
z4i= 1 z+ 3i=z4i4 + 4i= 0.
Or le complexe 4 + 4i n’est pas nul puisque ses parties eelle et imaginaire ne sont pas toutes deux nulles.
Par cons´equent le point Md’affixe f(z)est diff´erent du point Bd’affixe 1.
3. On pose z=x+iyavec xet yr´eels, et on calcule zsous forme alg´ebrique :
f(z) = z+ 3i
z4i
=x+ (y+ 3)i
x4 + (y1)i
=x+ (y+ 3)ix4(y1)i
x4 + (y1)ix4(y1)i
=
x(x4) + (y+ 3)(y1) + i(x4)(y+ 3) x(y1)
(x4)2+ (y1)2
=(x24x+y2+ 2y3) + i(4x4y12)
(x4)2+ (y1)2
f(z) = x24x+y2+ 2y3
(x4)2+ (y1)2+i4x4y12
(x4)2+ (y1)2
4. Les points M(z)tels que f(z)soit imaginaire pur sont les points d’affixe ztel que x=e(f(z)) = 0.
(x24x+y2+ 2y3)
(x4)2+ (y1)2= 0 x24x+y2+ 2y3 = 0 et (x4)2+ (y1)26= 0
(x2)24 + (y+ 1)213 = 0 et M(x;y)6=A(4; 1)
(x2)2+ (y+ 1)2= 8 et M(x;y)6=A(4; 1)
Ces conditions sont ´equivalentes au fait que le point M(x;y)appartient au cercle C,22de centre
Ω(2; 1) et de rayon 22, le point Adevant ˆetre ´eventuellement exclu.
Or le point A(4 + i)est situ´e sur ce cercle (car A=22+ 22=8 = 22).
Donc l’ensemble Eest le cercle C,22priv´e du point A.
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5. f(z)est r´eel ssi m(f(z)) = y= 0. Les points M(x;y)tels que y= 0 v´erifient :
4x4y12
(x4)2+ (y1)2= 0 4x4y12 = 0 et (x4)2+ (y1)26= 0
y=x3et M(x;y)6=A(4; 1)
Or la droite d’´equation y=x3passe par le point A(4; 1),l’ensemble Fest donc la droite d’´equation
y=x3priv´ee du point A.
6. Soient zet zdeux nombres complexes, tels que z6= 4 + i et z6= 1.
a. On exprime zen fonction de z`a partir de la relation z=f(z), sachant que z6= 1 et donc z16= 0 :
z=z+ 3i
z4iz(z4i) = z+ 3i
zzz(4 + i)z= 3i
(z1)z=z(4 + i) + 3i
z=z(4 + i) + 3i
z1
La troisi`eme ´egalit´e s’en eduit ais´ement, sachant que z16= 0 :
4 + i+4 + 4i
z1=(z1)(4 + i)
z1+4 + 4i
z1=z(4 + i) + 3i
z1=zD’apr`es le calcul pr´ec´edent
Ainsi, on a z=f(z)z=z(4 + i) + 3i
z1z= 4 + i+4 + 4i
z1
b. De la derni`ere ´egalit´e on d´eduit z(4 + i) = z4i=4 + 4i
z1.
Le module d’un quotient est le quotient des modules : |z4i|=
4 + 4i
z1
=|4 + 4i|
|z1|.
Donc si M(z)varie sur le cercle C(B, 2), on a BM=|z1|=2, donc
|z4i|=|4 + 4i|
2=4× |1 + i|
2=42
2= 4
Donc le module de z4i est constant, ´egal `a 4.
Or |z4i|=|z(4 + i)|et |z(4 + i)|est ´egal `a la distance AM. Ceci prouve que AM = 4.
R´eciproquement, en reprenant les ´egalit´es pr´ec´edentes, il est clair que si AM = 4 alors BM =2.
Le lieu Gdes points M(z)lorsque M(z)parcourt le cercle C(B, 2) est donc le cercle C(A, 4)
(en entier, puisque le point An’est pas sur le cercle).
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0 2 4 6 8 1024
2
4
6
2
4
6
#
u
#
v
O
A
×
B
×
E
G
F
×
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