Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
Exercice :
Le plan complexe est rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (0; #”
u , #”
v).
On d´esigne par Ale point d’affixe 4 + i et par Ble point d’affixe 1.
La fonction fest d´efinie pour tout complexe zdiff´erent de 4 + i par : f(z) = z+ 3i
z−4−i.
A tout point Md’affixe zdu plan, M´etant distinct de A, on associe le point M′dont l’affixe z′est d´efini par
z′=f(z).
Dans les questions suivantes, on d´eterminera g´eom´etriquement et analytiquement les ensembles de points de-
mand´es. Les dessins sont `a effectuer dans le rep`ere joint `a l’´enonc´e.
1. Placer les points Aet Bdans le rep`ere ci-dessous.
2. Montrer que l’´equation f(z) = 1 n’a aucune solution dans C.
En d´eduire que, pour tout complexe zdiff´erent de 4 + i, le point M′(f(z)) est distinct du point B.
3. Montrer que pour tout complexe z, tel que z6= 4 + i et z=x+iyavec xet yr´eels, on a :
z′=f(z) = x′+iy′avec x′=x2−4x+y2+ 2y−3
(x−4)2+ (y−1)2et y′=4x−4y−12
(x−4)2+ (y−1)2
4. On appelle El’ensemble des points M(z)du plan tels que f(z)soit imaginaire pur.
Montrer que Eest un cercle priv´e d’un point.
Tracer Edans le rep`ere ci-dessous.
5. D´eterminer l’ensemble Fdes points M(z)du plan tels que f(z)soit r´eel.
Tracer Fdans le rep`ere ci-dessous.
6. Soient zet z′deux nombres complexes, tels que z6= 4 + i et z′6= 1.
a. Montrer les ´equivalences suivantes :
z′=f(z)⇐⇒ z=z′(4 + i) + 3i
z′−1⇐⇒ z= 4 + i+4 + 4i
z′−1
Remarque: cette propri´et´e montre que tout complexe z′diff´erent de 1a un unique
ant´ec´edent zdans Cpar la fonction f.
b. Montrer que si le point M′(z′)varie sur le cercle Cde centre Bet de rayon √2, alors z−4−i garde
un module constant (o`u zest l’unique ant´ec´edent de z′par f).
En d´eduire le lieu Gdes points M(z)lorsque M′(z′)parcourt le cercle C.
Tracer Cet G.
0 2 4 6 8 10−2−4
2
4
6
−2
−4
−6
#”
u
#”
v
O
Trac´es des figures
On rappelle que √2est la lon-
gueur de la diagonale d’un carr´e
de cˆot´e 1.
http://mathematiques.ac.free.fr 1/4 30 septembre 2013