Exercice : Le plan complexe est rapporté au rep`ere

Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
Exercice :
Le plan complexe est rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (0; #” u , #” v).
On d´esigne par Ale point d’affixe 4 + i et par Ble point d’affixe 1.
La fonction fest d´efinie pour tout complexe zdiff´erent de 4 + i par : f(z) = z+ 3i
z−4−i.
A tout point Md’affixe zdu plan, M´etant distinct de A, on associe le point M′dont l’affixe z′est d´efini par
z′=f(z).
Dans les questions suivantes, on d´eterminera g´eom´etriquement et analytiquement les ensembles de points de-
mand´es. Les dessins sont `a effectuer dans le rep`ere joint `a l’´enonc´e.
1. Placer les points Aet Bdans le rep`ere ci-dessous.
2. Montrer que l’´equation f(z) = 1 n’a aucune solution dans C.
En d´eduire que, pour tout complexe zdiff´erent de 4 + i, le point M′(f(z)) est distinct du point B.
3. Montrer que pour tout complexe z, tel que z6= 4 + i et z=x+iyavec xet yr´eels, on a :
z′=f(z) = x′+iy′avec x′=x2−4x+y2+ 2y−3
(x−4)2+ (y−1)2et y′=4x−4y−12 (x−4)2+ (y−1)2
4. On appelle El’ensemble des points M(z)du plan tels que f(z)soit imaginaire pur.
Montrer que Eest un cercle priv´e d’un point.
Tracer Edans le rep`ere ci-dessous.
5. D´eterminer l’ensemble Fdes points M(z)du plan tels que f(z)soit r´eel.
Tracer Fdans le rep`ere ci-dessous.
6. Soient zet z′deux nombres complexes, tels que z6= 4 + i et z′6= 1.
a. Montrer les ´equivalences suivantes :
z′=f(z)⇐⇒ z=z′(4 + i) + 3i
z′−1⇐⇒ z= 4 + i+4 + 4i z′−1
Remarque: cette propri´et´e montre que tout complexe z′diff´erent de 1a un unique
ant´ec´edent zdans Cpar la fonction f.
b. Montrer que si le point M′(z′)varie sur le cercle Cde centre Bet de rayon √2, alors z−4−i garde
un module constant (o`u zest l’unique ant´ec´edent de z′par f).
En d´eduire le lieu Gdes points M(z)lorsque M′(z′)parcourt le cercle C.
Tracer Cet G.
0 2 4 6 8 10−2−4
2
4
6
−2
−4
−6
#”
u
#”
v
O
Trac´es des figures
On rappelle que √2est la lon-
gueur de la diagonale d’un carr´e
de cˆot´e 1.
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Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
Solution :
1. Voir figure plus bas.
2. Pour tout z6= 4 + i, f(z) = 1 ⇐⇒ z+ 3i
z−4−i= 1 ⇐⇒ z+ 3i=z−4−i⇐⇒ 4 + 4i= 0.
Or le complexe 4 + 4i n’est pas nul puisque ses parties r´eelle et imaginaire ne sont pas toutes deux nulles.
Par cons´equent le point M′d’affixe f(z)est diff´erent du point Bd’affixe 1.
3. On pose z=x+iyavec xet yr´eels, et on calcule z′sous forme alg´ebrique :
f(z) = z+ 3i
z−4−i
=x+ (y+ 3)i
x−4 + (y−1)i
=x+ (y+ 3)ix−4−(y−1)i
x−4 + (y−1)ix−4−(y−1)i
=
x(x−4) + (y+ 3)(y−1) + i(x−4)(y+ 3) −x(y−1)
(x−4)2+ (y−1)2
=(x2−4x+y2+ 2y−3) + i(4x−4y−12)
(x−4)2+ (y−1)2
f(z) = x2−4x+y2+ 2y−3
(x−4)2+ (y−1)2+i4x−4y−12 (x−4)2+ (y−1)2
4. Les points M(z)tels que f(z)soit imaginaire pur sont les points d’affixe ztel que x′=ℜe(f(z)) = 0.
(x2−4x+y2+ 2y−3)
(x−4)2+ (y−1)2= 0 ⇐⇒ x2−4x+y2+ 2y−3 = 0 et (x−4)2+ (y−1)26= 0
⇐⇒ (x−2)2−4 + (y+ 1)2−1−3 = 0 et M(x;y)6=A(4; 1)
⇐⇒ (x−2)2+ (y+ 1)2= 8 et M(x;y)6=A(4; 1)
Ces conditions sont ´equivalentes au fait que le point M(x;y)appartient au cercle CΩ,2√2de centre
Ω(2; −1) et de rayon 2√2, le point Adevant ˆetre ´eventuellement exclu.
Or le point A(4 + i)est situ´e sur ce cercle (car ΩA=√22+ 22=√8 = 2√2).
Donc l’ensemble Eest le cercle CΩ,2√2priv´e du point A.
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Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
5. f(z)est r´eel ssi ℑm(f(z)) = y′= 0. Les points M(x;y)tels que y′= 0 v´erifient :
4x−4y−12
(x−4)2+ (y−1)2= 0 ⇐⇒ 4x−4y−12 = 0 et (x−4)2+ (y−1)26= 0
⇐⇒ y=x−3et M(x;y)6=A(4; 1)
Or la droite d’´equation y=x−3passe par le point A(4; 1),l’ensemble Fest donc la droite d’´equation
y=x−3priv´ee du point A.
6. Soient zet z′deux nombres complexes, tels que z6= 4 + i et z′6= 1.
a. On exprime zen fonction de z′`a partir de la relation z′=f(z), sachant que z′6= 1 et donc z′−16= 0 :
z′=z+ 3i
z−4−i⇐⇒ z′(z−4−i) = z+ 3i
⇐⇒ z′z−z′(4 + i)−z= 3i
⇐⇒ (z′−1)z=z′(4 + i) + 3i
⇐⇒ z=z′(4 + i) + 3i
z′−1
La troisi`eme ´egalit´e s’en d´eduit ais´ement, sachant que z′−16= 0 :
4 + i+4 + 4i
z′−1=(z′−1)(4 + i) z′−1+4 + 4i z′−1=z′(4 + i) + 3i z′−1=zD’apr`es le calcul pr´ec´edent
Ainsi, on a z′=f(z)⇐⇒ z=z′(4 + i) + 3i
z′−1⇐⇒ z= 4 + i+4 + 4i z′−1
b. De la derni`ere ´egalit´e on d´eduit z−(4 + i) = z−4−i=4 + 4i
z′−1.
Le module d’un quotient est le quotient des modules : |z−4−i|=
4 + 4i
z′−1
=|4 + 4i|
|z′−1|.
Donc si M′(z′)varie sur le cercle C(B, √2), on a BM′=|z′−1|=√2, donc
|z−4−i|=|4 + 4i|
√2=4× |1 + i| √2=4√2 √2= 4
Donc le module de z−4−i est constant, ´egal `a 4.
Or |z−4−i|=|z−(4 + i)|et |z−(4 + i)|est ´egal `a la distance AM. Ceci prouve que AM = 4.
R´eciproquement, en reprenant les ´egalit´es pr´ec´edentes, il est clair que si AM = 4 alors BM ′=√2.
Le lieu Gdes points M(z)lorsque M′(z′)parcourt le cercle C(B, √2) est donc le cercle C(A, 4)
(en entier, puisque le point An’est pas sur le cercle).
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Terminale S Exercice (corrig´e) sur les ensembles de points
0 2 4 6 8 10−2−4
2
4
6
−2
−4
−6
#”
u
#”
v
O
A
×
B
×
Ω
E
G
F
×
Trac´es des figures
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