2. Méthodes

19
Séquence 1
2. Méthodes
 Pour résoudre une équation du second degré
Commencer par bien observer l’équation (et vérifier au passage qu’il
s’agit bien d’une équation du second degré).
 Plusieurs possibilités alors :
•
La résolution peut s’avérer évidente (ex :
x
250+=
n’a pas de solution).
• On parvient à factoriser le trinôme du second degré grâce aux identi-
tés remarquables (ex : 4410
2
xx −+=
) ou à un facteur commun (ex :
20
2
xx −= ).
• Pour les autres cas, on utilise la forme canonique ou les formules
avec le discriminant.
Pour étudier le signe d’un trinôme ou résoudre une iné-
quation du second degré
Déterminer le signe de
()−−+ xx
22
selon les valeurs de x.
On résout l’équation −−+=
xx
220
: Ici,
a =−1 ;
b =−1 et c =2 donc Δ= − = = bac
249... .
Δ>0 donc l’équation a deux solutions :
x
1 = … =−2 et
x
2 = …= 1
(vérifiez les réponses !).
Comme a ⬍ 0, la parabole représentant la fonction
trinôme est tournée vers le bas et d’après le point
précédent, elle coupe l’axe des abscisses aux points
d’abscisses –2 et 1.
On en déduit l’allure de la parabole représentant
xxx −−+
22 (voir ci-contre).
 D’où la réponse sous forme de tableau :
x−∞ −2 1 +∞
Signe de()−−+
xx
22 – 0 + 0 –
signe de a
signe contraire
de
a
signedea
On peut aussi utiliser la règle donnant le signe du trinôme
(voir dernière ligne du tableau p.18).
Remarque
Exemple 11Exemple 11
x
y
0
1
1
2
–2
Ꮿf
+
–
–
x
y
0
1
1
2
–2
Ꮿf
+
–
–
Cned – Académie en ligne

20
Séquence 1
Résoudre dans l’inéquation ()()41 32 54
2
xx xx −+≥++ .
()()41 32 544 1132 54
222
xx xx x x xx −+≥++⇔+−≥++
⇔+−≥22667700
22
xxxx
inéquation du second degré.
On suit ensuite la même démarche que pour l’étude du signe.
 On résout l’équation 2670
2
xx +−=
:
Ici, a = 2 ; b = 6 et
c =−7 donc Δ= − = = bac
2492... .
Δ>0 donc l’équation a deux solutions :
x
1
692
4
6223
4
323
2
=−− =−− =−− et
x
2
323
2
=−+
(vérifiez les réponses !).
Comme a ⬎ 0, la parabole représentant la fonction trinôme est tournée
vers le haut et d’après le point précédent, elle coupe l’axe des abscis-
ses aux points d’abscisses
x
1 et
x
2 .
On en déduit l’allure de la parabole représentant
xxx 267
2+−
:
x
x2
x1
y
0
++
O n y lit les solutions de l’inéquation
22667700
22
xxxx +−≥
:
=−∞ −−
⎤
⎦
⎥
⎥
⎤
⎦
⎥
⎥
−+ +∞
⎡
⎣
⎢
⎢
⎡
⎣
⎢
⎢
; ;
323
2
323
2
∪ .
V Voir exercices 6 à 13.
Exemple 12Exemple 12
Cned – Académie en ligne

42
Séquence 1
On considère la fonction f défi nie sur +* par :
fx x
x
() .=−36
2
 Donner le sens de variation de la fonction
f (on écrira f comme la
somme de deux fonctions simples).
 a) Pour quelles valeurs de
x ∈+ * la fonction gx x
x
:36
2− est-
elle défi nie ?
b) Déterminer les variations de g sur cet ensemble de valeurs de x .
Soient
f
et
g
les courbes représentatives, dans un même repère
orthonormé, des fonctions f et g défi nies sur 3;+∞
⎡
⎣
⎡
⎣
par
fx x ()=−3
et
gx x
x
() .=−1
Etudier les positions relatives des courbes
f
et
g
sur l’intervalle
3; .+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
Montrer que la fonction f défi nie sur −
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢
ππ
22
; par fx xx
x
() sin
cos
=+ est
impaire.
La fonction g défi nie sur
* par gx xx
x
()=++
31 est-elle impaire ?
Est-elle paire ?
Soit
fx xx :.5
3
2−
Déterminer le domaine de défi nition de la fonction f .
Soit 
f
la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un
repère orthonormé O; ,
.
ij
()
Montrer que, dans ce repère, la droite d’équation
x =15, est axe de
symétrie de la courbe 
f
.
On considère la fonction
f définie sur
−
{}
4 par fx x () .=+− 72
4 Soit
f
la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère
orthonormé O; , .
ij
()
Montrer que le point Ω de coordonnées (;)47 est centre de symétrie de
la courbe 
f
.
On considère la fonction polynôme du second degré
f définie sur  par
fx ()
= 431
2
xx +−
Exercice 1Exercice 1
Exercice 2Exercice 2
Exercice 3Exercice 3
Exercice 4Exercice 4
Exercice 5Exercice 5
Exercice 6Exercice 6
6
Exercices d’application
Cned – Académie en ligne

43
Séquence 1
 Résoudre dans  l’équation
fx () = 0 :
a) En utilisant la forme canonique.
b)
En utilisant les formules avec le discriminant
Δ
.
 Déterminer les caractéristiques de la courbe de
f dans un repère or-
thogonal.
 Résoudre dans  les équations suivantes (en réfléchissant aux mé-
thodes à employer pour être efficace).
a) −+=640
2
xx
b) 430
2
x +=
c) 2610
2
xx −+=
d) 42250
2
x −
()
−=
.
 Résoudre dans  l’inéquation : 2610
2
xx −+>.
Soit
fx xx
xx
:372
28
2
2
−+
+− .
 Déterminer l’ensemble de définition de
f .
 Factoriser le numérateur et le dénominateur de
fx ()
puis simplifier
fx ()
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O; ,
ij
()
et m est un réel
donné.
Soient  la représentation graphique de la fonction trinôme
f définie par
fx ()
=
xx
2310−+ et  la droite d’équation
ymx =+1 .
Etudier, selon les valeurs de m , le nombre de points d’intersection de
 et de  .
Résoudre dans  l’équation (dite « bicarrée ») :
xx
42
5360+−=
.
Soit
Px ()
le polynôme défini par :
Px ()
=
xx x
32
10 8+− +
.
 M
ontrer qu’il existe trois réels a , b , c tels que :
Px ()
=
xaxbxc −
()
++22 ().
 En déduire toutes les solutions de l’équation
Px ()
= 0.
Un rectangle a un périmètre de 800 m et une aire de 34 375 m2. Détermi-
ner sa longueur et sa largeur.
Résoudre dans  l’inéquation : 31
2
3
4
x
x
x
x
+
−>+ + .
On considère la fonction
f définie sur [–1 ; 1] par
fx x () .=−12
En observant le graphe de f à la calculatrice, conjecturer la dérivabi-
lité de f en –1.
Démontrer la dérivabilité ou non de f en –1 à l’aide de la définition.
Exercice 7Exercice 7
Exercice 8Exercice 8
Exercice 9Exercice 9
Exercice 10Exercice 10
Exercice 11Exercice 11
Exercice 12Exercice 12
Exercice 13Exercice 13
Exercice 14Exercice 14
Cned – Académie en ligne

46
Séquence 1
 Pour tout réel
x strictement positif, on a :
fx x
x
x
xx
xx () .=−=−=−
363 6
36
22
• La fonction
xx 3 est une fonction linéaire strictement croissante
sur  (car le coefficient de
x , 3, est strictement positif) donc elle est
strictement croissante sur 0; .+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
• La fonction
xx 1 est strictement décroissante sur 0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣ et donc la
fonction
xx −6 est strictement croissante sur 0; .+∞
⎤
⎦⎡ ⎣ (car –6<0).
• La fonction
f , somme des fonctions
xx 3 et
xx −6 strictement
croissantes sur 0; ,+∞
⎤
⎦⎡ ⎣ est strictement croissante sur 0; .+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
 a) Dans 0; ,+∞
⎤
⎦⎡ ⎣ on a :
gx x
x
() .existe ⇔−≥
36
0
2
36
03 603 20
222
x
xxx
−≥⇔ −≥⇔ − ≥()
⇔− +≥32 20()()
xx
⇔
x −≥20
car pour tout
x >0, on a
x +>20
et 30>
⇔≥
x 2.
Par conséquent, dans 0; ,+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
g est définie pour x appartenant à
2; .+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
b)
On a :
xx
x
x
x
fh
∈+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
−∈+∞
⎡
⎣⎡ ⎣−
236 036
22
; ; .
• La fonction
f est strictement croissante sur 0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣ donc sur 2; ,+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
d’après le 1.
• La fonction
hx x : est strictement croissante sur 0; .+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
• La fonction
ghf = est donc strictement croissante sur 2;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣ (car
f et h ont le même sens de variation sur 2;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣ et 0;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣ respec-
tivement).
• Pour tout réel
x de 3; ,+∞
⎡
⎣⎡ ⎣ on a :
fx gx x x
x
xxx
x
xx x
() ()−=−−
−=−× − −
()
=−
()
−−
(
3131
31
))
x
• Pour étudier le signe de
fx gx () (),− on transforme l’écriture de fx gx () ()−
en multipliant le numérateur et le dénominateur du quotient par l’expres-
Exercice 1Exercice 1
Exercice 2Exercice 2
7
Corrigés des exercices
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