©Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Définition 1.3 Graphe
Soit f:E→Fune application. On appelle graphe de fl’ensemble
(x, f(x)), x ∈E={(x, y)∈E×F, y =f(x)
C’est une partie de E×F.
Remarque. Γest le graphe d’une application de Edans Fsi et seulement si Γest une partie de E×Fet si
∀x∈E, ∃!y∈F, (x, y)∈Γ
Définition 1.4 Image d’une application
Soit f:E→Fune application. On appelle image de fl’ensemble noté Im fdes éléments de Fqui ont un
antécédent par fdans E. Plus formellement
Im f=y∈F|∃x∈E, y =f(x)=f(x), x ∈E
Remarque. Si on vous demande de montrer qu’une application f:E−→F
x7−→f(x)est bien définie, il s’agit de
montrer que pour tout x∈E,f(x)∈F, autrement dit que Im f⊂F. Par exemple, l’application R∗
+−→R+
x7−→ln x
est mal définie tandis que R∗
+−→R
x7−→ln xest bien définie.
Bien que le programme officiel stipule de ne pas faire de différence entre applications et fonctions, il existe
néanmoins une nuance. Une application est toujours définie sur son ensemble de départ, ce qui n’est pas le
cas d’une fonction. Par exemple, R−→R
x7−→√xest une fonction mais pas une application. En revanche,
R+−→R
x7−→√xest bien une application.
Si f:E→Fest une fonction, on appelle ensemble de définition de fl’ensemble des x∈Etels que f(x)est
défini. On le note généralement Df. Par exemple, si fest la fonction racine carrée, l’ensemble de définition de
fest R+.
Différence entre application et fonction
Si fest une application (resp. une fonction) dont l’ensemble de départ (resp. l’ensemble de définition) Eest
une partie de R(typiquement un intervalle) et dont l’ensemble d’arrivée est R(ou une partie de R), on peut
représenter graphiquement le graphe de f. Si on munit le plan d’un repére (orthonormé), l’ensemble des points
de coordonnées (x, f(x)) où xdécrit Eest une « courbe » du plan.
Représentation graphique
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