Chapitre M1 C HANGEMENTS DE RÉFÉRENTIEL EN MÉCANIQUE CLASSIQUE DYNAMIQUE NON GALILÉENNE P ROGRAMME OFFICIEL : Notions et contenus Changements de référentiel en mécanique classique Cas d’un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre : transformation de G ALILÉE, composition des vitesses. Composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre : point coïncident, vitesse d’entraînement, accélération d’entraînement. Composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe : point coïncident, vitesse d’entraînement, accélération d’entraînement, accélération de C ORIOLIS. Dynamique dans un référentiel non galiléen Cas d’un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen : force d’inertie d’entraînement Cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe dans un référentiel galiléen : force d’inertie d’entraînement, force d’inertie de C ORIOLIS. Exemples : - champ de pesanteur : définition, évolution qualitative avec la latitude, ordres de grandeur ; - équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen en translation ou en rotation uniforme autour d’un axe fixe dans un référentiel galiléen. PC - Lycée François 1er - Le Havre Capacités exigibles Relier ces lois à la relation de C HASLES et au caractère supposé absolu du temps. Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d’entraînement et l’accélération d’entraînement. Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d’entraînement et l’accélération d’entraînement. Citer et utiliser l’expression de l’accélération de C ORIOLIS. Déterminer la force d’inertie d’entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Exprimer la force d’inertie axifuge et la force d’inertie de C ORIOLIS. Associer la force d’inertie axifuge à l’expression familière "force centrifuge". Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel. Établir et utiliser l’expression de la force d’inertie d’entraînement volumique. Approche documentaire : associer les marées à un terme gravitationnel différentiel et comparer l’influence de la Lune et du Soleil pour analyser des documents scientifiques. Approche documentaire : utiliser l’expression de la force de C ORIOLIS pour analyser des documents scientifiques portant sur les effets de la force de C ORIOLIS sur les vents géostrophiques ou les courants marins. 1/33 2016 / 2017 Table des matières Introduction 3 I Cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre 5 I.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2 Aspects cinématiques : lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2.a Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2.b Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.2.c Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.2.d Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement . . . . . . . . . . 8 Aspects dynamiques : "forces" d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.3 I.3.a Cas d’une translation rectiligne uniforme : retour sur les référentiels galiléens 10 I.3.b Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen . . . 12 I.3.c Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen . . . . . . . 13 I.3.d Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . 14 II Cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un autre 15 II.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.2 Aspects cinématiques : lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.2.a Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.2.b Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II.2.c Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement . . . . . . . . . . 18 II.3 Aspects dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.3.a Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen . . . 20 II.3.b Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen . . . . . . . 22 II.3.c Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . 22 III Exemples et applications 25 III.1 Caractère galiléen ou non des référentiels usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 III.1.a Référentiel de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 III.1.b Référentiel héliocentrique, ou de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 III.1.c Référentiel géocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III.1.d Référentiel terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III.2 Champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 III.3 Équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . 29 Synthèse PC - Lycée François 1er - Le Havre 32 2/33 2016 / 2017 Introduction On sait que si le mouvement d’un point M est entièrement défini par les lois de la mécanique, la description de ce mouvement, en particulier sa représentation mathématique, dépend du choix du référentiel. La question envisagée dans ce Chapitre est donc la suivante : comment, connaissant la description du mouvement de M dans un référentiel, peut-on exprimer son mouvement par rapport à un autre ? On considèrera dans ce Chapitre deux référentiels R et R0 , munis de leurs repères liés (O, #» u x , #» u y , #» u z ) et (O0 , #» u x0 , #» u y0 , #» u z 0 ) et de leurs horloges associées H et H0 , en mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre. Universalité du temps Principe d’universalité du temps La mécanique classique, appelée aussi galiléenne ou newtonienne, postule (contrairement à la mécanique relativiste), que le temps est absolu : c’est un paramètre universel, qui s’écoule de manière identique dans tous les référentiels. Exemple : Si on mesure la période d’un même pendule dans R et R0 , les horloges H et H0 indiqueront la même durée. Remarque : Ce principe est rejeté en théorie relativiste (restreinte et générale) car il revient à admettre l’existence d’un signal de synchronisation d’horloges qui se propage à une vitesse infinie, ce qu’exclue la relativité. On se place dorénavant dans un cadre non relativiste (vitesses faibles devant la célérité c de la lumière) et on ne s’intéressera donc plus aux horloges, le temps étant noté t dans les deux référentiels d’étude. Référentiels galiléens Les lois de la mécanique vues en première année ne sont valables que dans un référentiel galiléen. On a admis par ailleurs que si un référentiel est galiléen, tout autre référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à lui est également galiléen. Nous le démontrerons dans la suite de ce Chapitre. Mais si R est galiléen et que le mouvement de R0 par rapport à R est quelconque, R0 n’est plus galiléen. Comment alors étudier le mouvement d’un système dans R0 ? Comment s’écrivent alors les lois de la dynamique dans ce référentiel non galiléen ? Méthode On s’intéressera donc dans la suite au mouvement d’un point M , que l’on peut décrire par rapport aux deux référentiels R et R0 . Lorsque l’on s’intéressera aux aspects dynamiques, R sera, par convention, le référentiel galiléen de référence, et R0 le référentiel mobile, éventuellement PC - Lycée François 1er - Le Havre 3/33 2016 / 2017 non galiléen. On notera (x, y, z) les coordonnées de M dans le référentiel R, et (x0 , y 0 , z 0 ) dans R0 . On appelle alors #» v (M )R la vitesse "absolue" et #» v (M )R0 la vitesse "relative", et de même avec les accélérations. Important Dans ce type de problème, il est très important de bien définir le système étudié, puis les 2 référentiels possibles, et enfin de choisir celui qui servira à l’étude. En particulier, on distinguera bien le mouvement du système par rapport au référentiel d’étude, et le mouvement d’un référentiel par rapport à l’autre. Application 1 : Pendule dans un train Un pendule oscille dans un train qui avance en ligne droite par rapport au quai. Identifier les 2 référentiels d’étude possibles et leur mouvement relatif. Schéma : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 4/33 2016 / 2017 I Cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre I.1 Position du problème Définition Un référentiel est en translation par rapport à un autre si leurs axes restent parallèles, ie si les vecteurs (unitaires) de la base liée à un référentiel gardent une direction constante au cours du temps par rapport à l’autre référentiel. Exemple : Translation rectiligne et translation circulaire : On suppose donc que le référentiel R0 est en translation (quelconque) par rapport à R. Dans ce cas, quitte à modifier les axes, autant prendre des vecteurs unitaires identiques dans les 2 référentiels. On prend donc pour simplifier : #» u x = #» u x0 I.2 #» u y = #» u y0 #» u z = #» u z0 Aspects cinématiques : lois de composition I.2.a Composition des mouvements # » La relation de Chasles permet de passer du vecteur position de M dans R, noté OM , à # » son vecteur position dans R0 , noté O0 M : .......................................................................................... Si on note (X, Y, Z) les coordonnées de O0 dans R, on peut écrire : .......................................................................................... .......................................................................................... Cas particulier transformation de Galilée Considérons un cas simple de composition de mouvement, appelé cas de Galilée : suppo#» sons que R0 est en translation rectiligne uniforme à la vitesse V suivant Ox par rapport PC - Lycée François 1er - Le Havre 5/33 2016 / 2017 à R0 . On appelle transformation de Galilée le lien entre les coordonnées de M dans R et dans R0 . Si on suppose que les origines sont confondues (O = O0 ) à l’instant t = 0, on peut écrire, par la relation de Chasles précédente : x = x0 + V t y = y0 z = z0 Remarque : Ces équations de la transformation sont le cas particulier (et beaucoup plus simple) de la transformation de Lorentz dans le cas de la mécanique classique, non-relativiste. On sait que ce n’est pas le cas, mais elles restent suffisamment bonnes (et, par conséquent, la mécanique newtonienne reste valable) tant que la vitesse relative des référentiels V est assez petite par rapport à la vitesse de la lumière. Sinon, il faut revenir à la transformation de Lorentz et adopter la relativité restreinte, avec notamment le problème du temps qui n’est plus universel... I.2.b Composition des vitesses Revenons au cas général, et dérivons la relation de Chasles par rapport au temps (absolu, rappelons-le). Comme les axes sont fixes, les vecteurs unitaires sont constants : .......................................................................................... On voit que la vitesse de M dans R se déduit de celle dans R0 en ajoutant une vitesse due au mouvement relatif des 2 référentiels, qui est ici la vitesse du point O0 par rapport au référentiel R. #»(M ) = v #»(M ) 0 + v #»(O 0 ) v R R R On obtient là un résultat assez intuitif, en tout cas pour un mouvement à 1D. Exemple : Si on se déplace à 5 km/h vers l’avant d’un train allant à 100 km/h, on se déplace à 105 km/h par rapport au sol, et si on se déplace vers l’arrière du train, ce sera 95 km/h. Si le train a peu de vitesse, par exemple au démarrage, on peut se trouver quasiment immobile par rapport au quai... PC - Lycée François 1er - Le Havre 6/33 2016 / 2017 Application 2 : Un bateau sur une rivière Voici un problème classique : un batelier est sur une rive et doit traverser une rivière avec une barque motorisée. Le moteur est capable, à chaque instant, de propulser la barque à une vitesse de 8 km/h par rapport à l’eau, mais le courant de la rivière a une vitesse de 5 km/h. 1. Si le batelier met le cap sur la rive d’en face, où arrive-t-il ? 2. Comment le batelier fait-il pour traverser la rivière perpendiculairement aux rives ? Schéma : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... I.2.c Composition des accélérations Dérivons une nouvelle fois par rapport au temps : .......................................................................................... On voit que, comme précédemment, l’accélération de M dans R se déduit de celle dans R0 en ajoutant une accélération due au mouvement relatif des 2 référentiels, qui est ici l’accélération du point O0 par rapport au référentiel R. PC - Lycée François 1er - Le Havre 7/33 2016 / 2017 #» #» #» 0 ) a(M )R = a(M )R0 + a(O R I.2.d Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement Définition On appelle point coïncident Mc le point fixe dans R0 qui à l’instant t coïncide (ie est confondu géométriquement) avec M . Remarque : A priori, le point coïncident change à chaque instant, le "précédent" étant entrainé par le référentiel R0 . Exemple : Dans l’exemple du batelier, le point coïncident serait une petite quantité d’eau de la rivière située juste sous la barque à un instant donné. Définition On appelle vitesse (respectivement accélération) d’entraînement la vitesse (respectivement l’accélération) de Mc par rapport à R : #»(M ) et a # »(M ) , a(M #» v#»e (M ) , v c R e c )R Or dans le cas où R0 est en translation par rapport à R, tous les points liés à R0 ont la même vitesse (et la même accélération) par rapport à R (tout se passe comme si R0 était un solide en translation par rapport à R). On peut donc écrire : #»(O 0 ) = v #»(M ) , v#»(M ) et a(O #» 0 ) = a(M #» #» v R c R e R c )R , ae (M ) Important Dans le cas d’un référentiel R0 en translation (quelconque) par rapport au référentiel R, la vitesse et l’accélération d’entrainement sont donc simplement la vitesse et l’accélération "de R0 par rapport à R" (puisqu’elles ne dépendent pas du point choisi). Remarque : Attention quand même, ce ne sera plus vrai pour une rotation... PC - Lycée François 1er - Le Havre 8/33 2016 / 2017 Conclusion La loi de composition des vitesses s’écrit finalement, pour un référentiel R0 en translation (quelconque) par rapport au référentiel R : #»(M ) = v #»(M ) 0 + v#»(M ) v R e R #»(O 0 ) avec v#»e (M ) = v R la vitesse d’entraînement. De même, la loi de composition des accélérations s’écrit, pour un référentiel R0 en translation (quelconque) par rapport au référentiel R : #» #» # »(M ) a(M )R = a(M ) R0 + a e # »(M ) = a(O #» 0 ) avec a e R l’accélération d’entraînement. Application 3 : Caisse sur un camion #» Une caisse est posée à l’arrière d’un camion qui démarre avec une accélération Γ par rapport au sol. On souhaite étudier le mouvement de la caisse (est-ce qu’elle tombe ?...). Identifier les 2 référentiels d’étude possibles, leur mouvement relatif, les vitesses et accélération d’entraînement et écrire les lois de composition des vitesses et des accélérations. Schéma : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 9/33 2016 / 2017 .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... I.3 Aspects dynamiques : "forces" d’inertie Si le référentiel que l’on souhaite utiliser n’est pas galiléen, les lois de la mécanique ne s’applique plus en l’état : le Principe Fondamental de la Dynamique et ses conséquences (Théorèmes du Moment Cinétique et de l’Énergie Cinétique) vont devoir être modifiés. Pour trouver les nouvelles lois, le plus simple est de se ramener à un référentiel galiléen grâce aux lois de compositions vues plus haut. Choisissons donc R un référentiel supposé galiléen et R0 un référentiel supposé non galiléen, en mouvement de translation quelconque par rapport à R. I.3.a Cas d’une translation rectiligne uniforme : retour sur les référentiels galiléens Envisageons dans un premier temps le cas de Galilée : supposons que R0 est en trans#» lation rectiligne uniforme à la vitesse V (constante, donc) par rapport à R0 . On a alors #» # »(M ) = a(O #» 0 ) = 0 . On en déduit que #» a (M ) = #» a (M ) 0 . évidemment a e R R R Si R est galiléen, le PFD s’écrit dans R : #» m #» a (M )R = F Mais alors il est identique pour R0 : #» m #» a (M )R0 = F Conclusion : le PFD peut être appliqué sans problème dans R0 , de même que le principe d’inertie, ce qui signifie que R0 est alors aussi galiléen ! Conclusion Si un référentiel est supposé galiléen et qu’un autre référentiel est en translation rectiligne uniforme par rapport à lui, il est aussi galiléen. Remarque : La réciproque est plus délicate à établir : si un référentiel est supposé galiléen, tout autre référentiel galiléen est nécessairement en translation rectiligne uniforme par rapport PC - Lycée François 1er - Le Havre 10/33 2016 / 2017 à lui. On peut simplement déjà "pressentir" que le principe d’inertie ne pourra être vérifié, pour une résultante des forces nulles, que si l’accélération est nulle dans les deux référentiels. Avoir une accélération d’entrainement nulle entre les deux est donc nécessaire... Pour aller plus loin... Si le PFD s’écrit de la même manière dans 2 référentiels galiléens, on en déduit une conséquence : le principe de relativité de Galilée. Dans la mécanique classique, on postule l’invariance des forces d’interaction dans un changement de référentiel quelconque. Cependant, on observe que les lois de la mécanique ne s’écrivent pas pareil selon les référentiels, en particulier dans les référentiels non galiléens. Par exemple, les oscillations d’un pendule, toujours soumis au poids et à la tension du fil, seront modifiées si le pendule est placé sur un manège (référentiel non galiléen, si le sol est supposé l’être). Par contre, si ce pendule est à bord d’un train allant à vitesse constante, on retrouve un comportement "normal". Principe de relativité de Galilée Les lois de la mécanique ont la même formulation dans tous les référentiels galiléens. Dit autrement, le mouvement de translation rectiligne et uniforme d’un référentiel galiléen par rapport à un autre référentiel galiléen ne peut pas être mis en évidence par une expérience de mécanique. "Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale à l’intérieur d’un grand bateau et prenez avec vous des mouches, des papillons, et d’autres petits animaux volants. Prenez une grande cuve d’eau avec un poisson dedans, suspendez une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un grand récipient en dessous d’elle. Avec le bateau à l’arrêt, observez soigneusement comment les petits animaux volent à des vitesses égales vers tous les côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le récipient en dessous, et si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n’avez pas besoin de le lancer plus fort dans une direction que dans une autre, les distances étant égales, et si vous sautez à pieds joints, vous franchissez des distances égales dans toutes les directions. Lorsque vous aurez observé toutes ces choses soigneusement (bien qu’il n’y ait aucun doute que lorsque le bateau est à l’arrêt, les choses doivent se passer ainsi), faites avancer le bateau à l’allure qui vous plaira, pour autant que la vitesse soit uniforme et ne fluctue pas de part et d’autre. Vous ne verrez pas le moindre changement dans aucun des effets mentionnés et même aucun d’eux ne vous permettra de dire si le bateau est en mouvement ou à l’arrêt..." PC - Lycée François 1er - Le Havre 11/33 2016 / 2017 Galilée, Dialogue concernant les deux plus grands systèmes du monde (1632) Einstein ira plus loin en affirmant que toutes les lois de la physique (et pas seulement la mécanique) sont identiques dans tous les référentiels galiléens : les ondes électromagnétiques doivent se propager dans le vide à la vitesse c quel que soit le référentiel (galiléen), hypothèse fondamentale de la théorie de la relativité restreinte (1905). Quelques années plus tard, avec la relativité générale, la nécessité d’utiliser des référentiels inertiels disparaîtra même : le principe d’équivalence affirme en effet que la gravitation est localement équivalente à une accélération du référentiel, et réciproquement... I.3.b Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen #» Le PFD est valable dans R. Si F est la résultante des forces extérieures qui s’appliquent sur le point matériel M , de masse m, on a : #» m #» a (M )R = F Utilisons la loi de composition des accélérations : .......................................................................................... Et là, attention les yeux ! Tout est dans une simple astuce d’écriture, on passe 1 terme à droite de l’équation : .......................................................................................... Et ça y est, vous savez écrire le PFD dans un référentiel non galiléen ! On voit en effet que tout se passe comme si on ajoutait 1 "force" (ou plutôt pseudo-force) au bilan, appelée force d’inertie d’entrainement. Important On retiendra la démarche : le PFD dans un référentiel non galiléen, ce n’est finalement rien d’autre que le PFD dans un référentiel galiléen dans lequel on a fait une loi de composition des accélérations et passé un terme à droite pour le rendre plus lisible... PC - Lycée François 1er - Le Havre 12/33 2016 / 2017 Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 en translation par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à condition de faire intervenir au bilan la (pseudo-)force d’inertie d’entrainement : #» # » #» m a(M )R0 = F + Fie (M ) # » # »(M ) avec a#»(M ) l’accélération d’entraînement qui apparait où Fie (M ) , −ma e e lorsque l’on passe du référentiel R, supposé galiléen, à R0 (c’est-à-dire l’accélération de R0 par rapport à R). Application 4 : Caisse sur un camion (suite) Reprendre l’exemple de la caisse sur le camion qui accélère. Faire le bilan des forces, puis en choisissant le référentiel non galiléen, exprimer la (pseudo-)force d’inertie d’entrainement et écrire le PFD. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... I.3.c Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen # » Le Théorème du Moment Cinétique découle directement du PFD (on fait en gros AM ∧ . . . de chaque côté, cf cours de PCSI). La seule contrainte est de choisir un point (ou un axe) fixe dans le référentiel d’étude. L’intérêt ici est que si le point ou l’axe "intéressant" (axe de rotation...) n’est pas fixe dans le référentiel d’étude, on peut désormais changer de référentiel pour en choisir un autre, quitte à ce qu’il ne soit pas galiléen. PC - Lycée François 1er - Le Havre 13/33 2016 / 2017 Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 en translation par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Théorème du Moment Cinétique à condition de faire intervenir le moment de la (pseudo-)force d’inertie d’entrainement, et de choisir un point ou un axe fixe dans R0 . Si A est fixe dans R0 : ! #» d L A (M )R0 dt # » #» # » # » = MA F + MA Fie (M ) R0 Si ∆ est fixe dans R0 : dL∆ (M )R0 dt I.3.d #» # » = M∆ F + M∆ Fie (M ) R0 Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen Le Théorème de l’Energie Cinétique découle aussi directement du PFD (on fait en gros #» v · . . . de chaque côté, cf cours de PCSI). Il faut simplement faire intervenir le travail (ou la puissance) de la (pseudo-)force d’inertie d’entrainement. Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 en translation par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC, ou ses variantes : Théorème de la Puissance Cinétique – TPC, Théorème de l’Énergie Mécanique – TEM, Théorème de la Puissance Mécanique – TPM) à condition de faire intervenir le travail (ou la puissance) de la (pseudo-)force d’inertie d’entraînement. Théorème de l’Énergie Cinétique dans R0 entre A et B : #» ∆AB Ec (M )R0 = WAB F R0 # » + WAB Fie (M ) R0 Théorème de la Puissance Cinétique dans R0 : dEc (M )R0 dt PC - Lycée François 1er - Le Havre R0 #» =P F R0 14/33 # » + P∆ Fie (M ) R0 2016 / 2017 Conclusion (suite) Théorème de l’Énergie Mécanique dans R0 entre A et B : #» ∆AB Em (M )R0 = WAB F N C R0 # » + WAB Fie (M ) R0 Théorème de la Puissance Mécanique dans R0 : dEm (M )R0 #» = P F NC dt R0 R0 # » + P∆ Fie (M ) R0 Remarque : Dans le cas général, la force d’inertie d’entrainement n’est pas conservative. II Cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un autre II.1 Position du problème On envisage maintenant le cas où R0 , de repère (O0 , #» u x0 , #» u y0 , #» u z 0 ) est en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à R, de repère (O, #» u , #» u , #» u ). Dans ce cas, les vecteurs x y z unitaires des deux référentiels ne conservent pas une direction relative constante. L’axe de rotation étant fixe dans le cadre du programme, on choisit généralement les repères tels que cet axe correspond à (Oz), O étant donc sur l’axe. De même, quitte à changer de repère dans R0 , on peut choisir de superposer O0 avec O et d’aligner O0 z 0 avec Oz. La configuration est donc en général la suivante : Notons α l’angle entre les axes Ox et Ox0 . La rotation est alors définie par le vecteur #» Ω = Ω #» u z avec Ω = dα dt = cste car la rotation est supposée uniforme.. Remarque : Ne pas confondre le fait que R0 ait un mouvement de rotation par rapport à R avec le mouvement de M qui, lui, est a priori quelconque. PC - Lycée François 1er - Le Havre 15/33 2016 / 2017 II.2 II.2.a Aspects cinématiques : lois de composition Composition des vitesses # » Écrivons le vecteur OM dans les 2 référentiels : • dans R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • dans R0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pour obtenir les vitesses, il faut dériver par rapport au temps. Mais attention cette fois : les vecteurs unitaires d’un référentiel ne sont pas fixes dans l’autre ! ! ! # » On se place dans le référentiel R et on dérive les expressions de OM par rapport au temps. La première donne l’expression habituelle de la vitesse dans R, mais la seconde donne : #» v (M )R = # » d OM dt R =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................... L’astuce consiste à reconnaître une analogie avec le repère cylindrique : #» u 0 joue x le rôle de #» u r et #» u y0 joue le rôle de #» u θ . On sait donc que : #» 0 du x dt R #» 0 du #» #» y #» 0 = Ω = Ωu ∧ u x0 et y dt #» #» #» 0 = Ω = −Ω u ∧ u y0 x R Au cas où vous ne retrouveriez pas cette démonstration dans votre cours de PCSI (en physique, ou en maths...), la voici : On exprime simplement #» u 0 et #» u x ( y0 en fonction de #» u x et #» u y par trigonométrie : #» u x0 = cos α #» u x + sin α #» uy #» #» u y0 = − sin α u x + cos α #» uy Puis on dérive (Ω = α̇) : d #» u x0 dt R d #» u y0 dt R = −Ω sin α #» u x + Ω cos α #» u y = Ω #» u y0 = −Ω cos α #» u x − Ω sin α #» u y = −Ω #» u x0 Et pour le produit vectoriel, il suffit de vérifier que ça marche... On peut donc finalement écrire : #» v (M )R = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . #» # » #»(M ) = v #»(M ) 0 + Ω v ∧ OM R R PC - Lycée François 1er - Le Havre 16/33 2016 / 2017 II.2.b Composition des accélérations Pour passer à l’accélération, on dérive une seconde fois, toujours dans R : #» a (M )R = d #» v (M )R dt R =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................... .......................................................................................... De même que précédemment, on sait que : #» 0 d2 u x dt2 ! 2 #» = −Ω u x0 et R #» 0 d2 u y dt2 ! #» 0 = −Ω2 u y R En donc on peut écrire : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... Et finalement : #» #» # » #» #» a(M )R = a(M )R0 + 2Ω ∧ v (M )R0 − Ω2 HM # » où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe (HM = x #» u x + y #» u y = x0 #» u x0 + y 0 #» u y0 ). PC - Lycée François 1er - Le Havre 17/33 2016 / 2017 II.2.c Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement Essayons d’exprimer ces relations de composition en fonction de la vitesse et de l’accélération d’entrainement. Soit Mc le point coïncident, par définition superposé à M à l’instant t mais immobile dans R0 . On constate alors que si on applique la relation de composition des vitesses à Mc , il vient : .......................................................................................... De même pour relation de composition des accélérations : .......................................................................................... Le point coïncident étant lié à R0 qui est en rotation autour d’un axe fixe, le mouvement de Mc est circulaire uniforme. On retrouve bien pour la vitesse et l’accélération de Mc par rapport à R des expressions qui correspondent à ce mouvement. Important Dans le cas d’un référentiel R0 en rotation par rapport au référentiel R, la vitesse et l’accélération d’entrainement dépendent du point considéré. Pour la vitesse, le terme qui apparaît dans la loi de composition correspond bien à la vitesse d’entrainement. PC - Lycée François 1er - Le Havre 18/33 2016 / 2017 Conclusion La loi de composition des vitesses s’écrit finalement, pour un référentiel R0 en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport au référentiel R : #»(M ) = v #»(M ) 0 + v#»(M ) v R e R #» # » #» avec v#»e (M ) = Ω ∧ OM la vitesse d’entraînement, Ω étant le vecteur rotation de R0 par rapport à R. Pour l’accélération, on voit aussi apparaître l’accélération d’entrainement, mais il reste un terme complémentaire, appelé accélération de Coriolis. Conclusion La loi de composition des accélérations s’écrit, pour un référentiel R0 en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport au référentiel R : #» #» # »(M ) + a # »(M ) a(M )R = a(M ) R0 + a e c # » # »(M ) = −Ω2 HM a l’accélération d’entraînement, et e #» #» # »(M ) = 2Ω a ∧ v (M )R0 , l’accélération de Coriolis. c #» H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation et Ω étant le vecteur rotation avec de R0 par rapport à R, de norme Ω (vitesse angulaire de rotation autour de l’axe). Application 5 : Oscillations d’un pendule sur un manège On étudie les oscillations d’un pendule tenu par un opérateur qui se tient sur un manège. On note θ l’angle que fait le pendule avec la verticale, ω0 la pulsation propre des oscillations et Ω la vitesse de rotation du manège. Identifier les 2 référentiels d’étude possibles, leur mouvement relatif, les vitesses et accélérations d’entraînement et écrire les lois de composition des vitesses et des accélérations. Schéma : PC - Lycée François 1er - Le Havre 19/33 2016 / 2017 .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... II.3 II.3.a Aspects dynamiques Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen #» On utilise la même astuce que dans la partie précédente. Le PFD est valable dans R. Si F est la résultante des forces extérieures qui s’appliquent sur le point matériel M , de masse m, on a: #» m #» a (M )R = F Utilisons la loi de composition des accélérations : .......................................................................................... Cette fois, on passe 2 termes à droite de l’équation. .......................................................................................... Tout se passe comme si on ajoutait cette fois 2 "forces" (ou plutôt pseudo-forces) au bilan, toujours appelées forces d’inertie : la (pseudo-)force d’inertie d’entrainement, mais aussi un second terme, appelé naturellement (pseudo-)force d’inertie de Coriolis. PC - Lycée François 1er - Le Havre 20/33 2016 / 2017 Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à condition de faire intervenir au bilan les (pseudo-)forces d’inertie : #» # » # » #» m a(M )R0 = F + Fie (M ) + Fic (M ) # » # »(M ) est la (pseudo-)force d’inertie d’entraînement et où Fie (M ) , −ma e # » # »(M ) est la (pseudo-)force d’inertie de Coriolis. Fic (M ) , −ma c #» #» a (M ) et a (M ) étant les accélérations d’entraînement et de Coriolis qui appae c raissent lorsque l’on passe du référentiel R, supposé galiléen, à R0 . Les (pseudo-)forces d’inertie s’écrivent donc : # » # » # » #» #» Fie (M ) = +mΩ2 HM et Fic (M ) = −2mΩ ∧ v (M )R0 Important Dans ce cas, on observe un résultat bien connu en pratique : la force d’inertie tend à # » "projeter" M vers l’extérieur (selon la direction HM ) : c’est une force axifuge, appelée, dans le langage courant, "force centrifuge". Application 6 : Force centrifuge dans un virage Pour une route de type R80, le rayon de courbure minimum des virages est de 240 m, pour une vitesse de référence de 80 km/h. Déterminer la force centrifuge subie par un passager de masse m = 80 kg dans cette situation. La comparer à son poids. Schéma : .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 21/33 2016 / 2017 .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... II.3.b Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen Rien de surprenant ici : on fait juste intervenir les 2 (pseudo-)forces d’inertie. Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Théorème du Moment Cinétique à condition de faire intervenir les moments des (pseudo-)forces d’inertie, et de choisir un point ou un axe fixe dans R0 . Si A est fixe dans R0 : ! #» d L A (M )R0 dt # » #» # » # » # » # » = MA F + MA Fie (M ) + MA Fic (M ) R0 Si ∆ est fixe dans R0 : dL∆ (M )R0 dt II.3.c #» # » # » = M∆ F + M∆ Fie (M ) + M∆ Fic (M ) R0 Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen Pas de complication ici, et même une petite simplification à retenir : Important Par construction, la force d’inertie de Coriolis est orthogonale à la vitesse dans R0 , donc sa puissance / son travail est nul(le) dans R0 . PC - Lycée François 1er - Le Havre 22/33 2016 / 2017 Seule la force d’inertie d’entrainement intervient donc. Conclusion Pour étudier le mouvement d’un point matériel M de masse m dans un référentiel non galiléen R0 en translation par rapport à un référentiel galiléen R, on peut utiliser le Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC, ou ses variantes : Théorème de la Puissance Cinétique – TPC, Théorème de l’Énergie Mécanique – TEM, Théorème de la Puissance Mécanique – TPM) à condition de faire intervenir le travail (ou la puissance) de la (pseudo-)force d’inertie d’entraînement. Théorème de l’Énergie Cinétique dans R0 entre A et B : #» ∆AB Ec (M )R0 = WAB F R0 # » + WAB Fie (M ) R0 Théorème de la Puissance Cinétique dans R0 : dEc (M )R0 #» =P F dt R0 # » + P∆ Fie (M ) R0 R0 Théorème de l’Énergie Mécanique dans R0 entre A et B : #» ∆AB Em (M )R0 = WAB F N C R0 # » + WAB Fie (M ) R0 Théorème de la Puissance Mécanique dans R0 : dEm (M )R0 dt #» = P F NC R0 R0 # » + P∆ Fie (M ) R0 Important Dans le cas général, on a vu que la force d’inertie d’entrainement n’est pas conservative, ans le cas d’une rotation uniforme autour d’un axe fixe, elle l’est cependant. Il est bon de s’en souvenir et de savoir recalculer l’énergie potentielle associée. Application 7 : Travail de la force d’inertie d’entrainement Si R0 est en rotation autour d’un axe fixe Oz par rapport à R, exprimer, en coordonnées cylindriques dans R0 , la force d’inertie d’entrainement, puis son travail élémentaire, et montrer qu’elle dérive d’une énergie potentielle. PC - Lycée François 1er - Le Havre 23/33 2016 / 2017 Schéma : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 24/33 2016 / 2017 III Exemples et applications III.1 III.1.a Caractère galiléen ou non des référentiels usuels Référentiel de Copernic Définition Le référentiel de Copernic, noté RC , est défini par la donnée du repère (C, e~xC , e~yC , e~zC ), où C est le centre de masse (ou d’inertie) du système solaire, et les axes (CxC ), (CyC ) et (CzC ) liés aux directions de trois étoiles suffisamment éloignées pour pouvoir être considérées comme fixes. Caractère galiléen : Pour des points matériels mobiles dans le système solaire, ce référentiel est galiléen avec une excellente précision (mais pas en toute rigueur : effets relativistes, etc...). III.1.b Référentiel héliocentrique, ou de Kepler Définition Le référentiel de Kepler, noté RK , se déduit du référentiel de Copernic par translation : son origine est le centre S du Soleil (il est aussi appelé référentiel héliocentrique), et ses axes (SxK ), (SyK ) et (SzK ) peuvent être choisis parallèles à ceux du référentiel de Copernic. PC - Lycée François 1er - Le Havre 25/33 2016 / 2017 Caractère galiléen : Les expériences prouvent que l’on peut le considérer comme galiléen avec une très bonne précision tant que l’on peut négliger le mouvement du Soleil autour du centre d’inertie du système solaire. Il est utilisé en tant que référentiel galiléen lorsque l’on considère des expériences terrestres "longues" où la rotation de la Terre, autour du Soleil, ne peut être négligée (expérience de plusieurs années). III.1.c Référentiel géocentrique Définition Le référentiel géocentrique, noté RO , se déduit du référentiel de Kepler par translation à nouveau : son origine est le centre O de la Terre, et ses axes (OxG ), (OyO ) et (OzO ) peuvent être choisis parallèles à ceux du référentiel de Kepler. Caractère galiléen : Ce référentiel est en translation circulaire par rapport au référentiel de Kepler mais peut être considéré comme galiléen sur des expériences terrestres "peu longues" (une journée maximum), car la rotation de la Terre autour du Soleil n’est alors pas prise en compte. On se restreint de plus à l’étude d’objets restant dans le voisinage de la Terre afin de pouvoir négliger d’éventuelles variations dans la force gravitationnelle due aux autres astres. Contre exemple : phénomènes de marées (effets de différences d’attraction entre le Soleil et la Lune, voir analyse documentaire)... III.1.d Référentiel terrestre Définition Le référentiel terrestre, noté RT (parfois appelé référentiel du laboratoire) est le référentiel lié à la surface du sol. Il est donc en rotation constante autour de l’axe des pôles, qui lui est fixe dans le repère géocentrique. Caractère galiléen : Il peut être supposé galiléen avec une bonne approximation pour des expériences de courte durée, pendant laquelle la rotation de la Terre peut être négligée (quelques secondes à quelques minutes). PC - Lycée François 1er - Le Havre 26/33 2016 / 2017 Contre-exemples : En réalité, le caractère galiléen de ce référentiel terrestre peut facilement être mis en défaut. Tout d’abord, il faut redéfinir la notion de "poids", qui doit tenir compte de la force de gravitation mais aussi de la "force d’inertie" d’entraînement (cf III.2. ci-dessous). Par ailleurs, la "force d’inertie" de Coriolis se manifeste dans de nombreux cas, mais toujours à de grandes échelles : • une simple chute libre est affectée par le phénomène de déviation vers l’est (pour une chute d’une centaine de mètres, le point d’impact est en fait à quelques centimètres de l’aplomb exact), • le plan d’oscillation du pendule de Foucault tourne lentement, • les rails et les rives des fleuves subissent une usure dissymétrique, • les courants atmosphériques (autour des anticyclones et dépressions) tournent dans des sens inverses dans les hémisphères Nord et Sud (cf analyse documentaire), les vents dominants près de l’équateur vont d’est en ouest (alizées). De même, les courants océaniques sont perturbés. Une croyance populaire mais fausse : la rotation du courant lorsqu’un lavabo se vide n’a rien à voir avec la rotation terrestre (l’effet est négligeable) : il dépend essentiellement des dissymétries du bac, ou des petits fluctuations de courant... III.2 Champ de pesanteur Définition Le champ de pesanteur #» g est le champ attractif (essentiellement d’origine gravitationnelle, mais pas seulement) qui s’exerce sur tout corps doté d’une masse au voisinage de la Terre. La force à laquelle est soumis un corps en raison de la pesanteur est appelée poids de #» ce corps et est directement reliée à la pesanteur par sa masse : P = m #» g. Remarque : On peut définir cette force ainsi : considérant un fil à plomb, accroché en un point fixe O auquel est suspendu une masse m. Le poids est finalement la force qui compense la #» #» #» tension T du fil à plomb lorsque la masse m est au repos dans le référentiel terrestre : P = − T à l’équilibre. Remarque : Cette force permet de définir la notion de verticalité : on observe qu’en un lieu donné tous les corps libres tombent en direction du sol suivant la même direction appelée PC - Lycée François 1er - Le Havre 27/33 2016 / 2017 verticale du lieu. La pesanteur terrestre est le résultat principalement de 2 effets, principalement : → Attraction gravitationnelle exercée par la Terre : le champ gravitationnel s’écrit MT #» GT (M ) = −G 2 #» ur r où G est la constante de gravitation (G = 6, 67.10−11 USI), MT la masse de la Terre (MT = 5, 97.1024 kg), r est la distance au centre de la Terre (voisine de RT = 6, 37.106 m) et #» u le vecteur unitaire partant du centre de Terre. r Valeur évaluée : GT = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . → Rotation terrestre : le référentiel terrestre n’est pas galiléen (sauf en première approximation pour des expériences de quelques minutes au plus) : il est en rotation par rapport au référentiel géocentrique (supposé ici galiléen). En vertu de ce qui a été vu plus haut, la rotation de la Terre sur elle-même entraîne une faible correction consistant à ajouter une accélération d’entraînement axifuge, dirigée perpendiculairement à l’axe des pôles, qui dépend de la distance à l’axe de rotation, donc de la latitude. ω =...................................................................................... HM = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fie =.................................................................................... m L’effet est donc nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et maximal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeur maximale évaluée : PC - Lycée François 1er - Le Havre Fie ≈ ......................................................... m 28/33 2016 / 2017 III.3 Équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen L’étude de la statique des fluides a été vue en première année. On supposait alors le fluide en équilibre dans un référentiel galiléen, sous l’effet de 2 forces, exprimées toutes deux de manière volumique : #» #» où ρ est la masse volumique du fluide (donc un volume élémentaire → le poids : fg = ρ g dV est soumis à une force élémentaire ρ #» g dV ). #» # » → les forces de pression : fp = −grad(P (M )) où P (M ) est la pression dans le fluide (donc # » un volume élémentaire dV est soumis à une force élémentaire −grad(P (M ))dV ). On considère maintenant que ce fluide est étudié dans un référentiel non galiléen. Il faut donc prendre en compte les (pseudo-)forces d’inertie, qui sont proportionnelles à la masse. Pour un volume élémentaire dV , de masse dm = ρdV , ces forces s’écrivent : #» dFie = −ρdV a#»e (M ) #» dFic = −ρdV a#»c (M ) On peut donc en donner des équivalents volumiques : #» # » #» # »(M ) dFie = fie dV avec fie = −ρa e #» # » #» # »(M ) dFic = fic dV avec fic = −ρa c Pour trouver la condition d’équilibre, on doit donc en tenir compte et imposer que la résultante de toutes les forces soit nulle. Application 8 : Liquide dans un récipient en translation Déterminer la forme de la surface d’un liquide à l’équilibre dans un référentiel en trans#» lation avec une accélération Γ par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen. Schéma : .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 29/33 2016 / 2017 .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... Application 9 : Liquide dans un récipient en en rotation Déterminer la forme de la surface d’un liquide à l’équilibre dans un référentiel en rotation autour d’un axe fixe à la vitesse angulaire ω constante par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen. Schéma : .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 30/33 2016 / 2017 .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... PC - Lycée François 1er - Le Havre 31/33 2016 / 2017 S YNTHÈSE Connaissances Z Qu’est-ce que le principe d’universalité du temps ? Dans quel cadre est-il valable ? Z Quand dit-on qu’un référentiel est en translation par rapport à un autre ? Z Comment sont définies les vitesse et accélération d’entrainement de R0 par rapport à R ? On fera intervenir un point particulier que l’on définira. Z Lois de composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre. Z Lois de composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un autre. Z Définition d’un référentiel galiléen et première loi de Newton. Z Quel est le mouvement relatif de 2 référentiels galiléens ? Z (Pseudo-)force d’inertie : définition et expressions dans les 2 cas particuliers. Z Dans le cas d’une rotation, comment est orientée la force d’inertie d’entrainement ? Quel est son nom usuel ? Z Expressions des théorèmes mécaniques en référentiel non galiléen. Z Deux astuces à connaître pour la méthode énergétique dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un autre. Z Définir le référentiel de Copernic / de Kepler / géocentrique / terrestre. Dans quelles limites est-il galiléen ? Z Définition du champ de pesanteur. Quels sont les 2 principaux effets qui y contribuent ? Z Expressions des densités volumiques de force : poids, pression, (pseudo-)force d’inertie. PC - Lycée François 1er - Le Havre 32/33 2016 / 2017 Démonstrations et applications b Lois de composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre. Expressions avec le point coïncident. b Lois de composition des vitesses et des accélérations dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à un autre. Expressions avec le point coïncident. b Aspects énergétiques des forces d’inertie : rôle général de la force d’inertie de Coriolis, cas particulier de la force d’inertie d’entrainement pour une rotation uniforme autour d’un axe fixe. b Définition et composantes du poids : estimations des ordres de grandeur. b Liquide en équilibre dans un récipient en translation / en rotation. PC - Lycée François 1er - Le Havre 33/33 2016 / 2017