Poly M1

CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIEL EN MÉCANIQUE
CLASSIQUE
DYNAMIQUE NON GALILÉENNE
Chapitre M1
PROGRAMME OFFICIEL :
Notions et contenus Capacités exigibles
Changements de référentiel en mécanique classique
Cas d’un référentiel en translation rectiligne uniforme par
rapport à un autre : transformation de GALILÉE, composi-
tion des vitesses.
Relier ces lois à la relation de CHASLES et au caractère
supposé absolu du temps.
Composition des vitesses et des accélérations dans le cas
d’un référentiel en translation par rapport à un autre : point
coïncident, vitesse d’entraînement, accélération d’entraî-
nement.
Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d’en-
traînement et l’accélération d’entraînement.
Composition des vitesses et des accélérations dans le
cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe
fixe : point coïncident, vitesse d’entraînement, accéléra-
tion d’entraînement, accélération de CORIOLIS.
Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d’en-
traînement et l’accélération d’entraînement.
Citer et utiliser l’expression de l’accélération de CORIOLIS.
Dynamique dans un référentiel non galiléen
Cas d’un référentiel en translation par rapport à un réfé-
rentiel galiléen : force d’inertie d’entraînement
Déterminer la force d’inertie d’entraînement. Appliquer la
loi de la quantité de mouvement, la loi du moment ciné-
tique et la loi de l’énergie cinétique dans un référentiel non
galiléen.
Cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe
fixe dans un référentiel galiléen : force d’inertie d’entraî-
nement, force d’inertie de CORIOLIS.
Exprimer la force d’inertie axifuge et la force d’inertie de
CORIOLIS. Associer la force d’inertie axifuge à l’expres-
sion familière "force centrifuge". Appliquer la loi de la
quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la
loi de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen.
Exemples :
- champ de pesanteur : définition, évolution qualitative
avec la latitude, ordres de grandeur ;
Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitation-
nel.
- équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen en
translation ou en rotation uniforme autour d’un axe fixe
dans un référentiel galiléen.
Établir et utiliser l’expression de la force d’inertie d’entraî-
nement volumique.
Approche documentaire : associer les marées à un terme
gravitationnel différentiel et comparer l’influence de la
Lune et du Soleil pour analyser des documents scienti-
fiques.
Approche documentaire : utiliser l’expression de la force
de CORIOLIS pour analyser des documents scientifiques
portant sur les effets de la force de CORIOLIS sur les vents
géostrophiques ou les courants marins.
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Table des matières
Introduction 3
I Cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre 5
I.1 Positionduproblème................................. 5
I.2 Aspects cinématiques : lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.a Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.b Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2.c Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.d Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement . . . . . . . . . . 8
I.3 Aspects dynamiques : "forces" d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3.a Cas d’une translation rectiligne uniforme : retour sur les référentiels galiléens 10
I.3.b Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen . . . 12
I.3.c Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen . . . . . . . 13
I.3.d Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . 14
II Cas d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport à
un autre 15
II.1 Positionduproblème................................. 15
II.2 Aspects cinématiques : lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2.a Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2.b Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.2.c Point coïncident, vitesse et accélération d’entrainement . . . . . . . . . . 18
II.3 Aspectsdynamiques ................................. 20
II.3.a Principe Fondamental de la Dynamique en référentiel non galiléen . . . 20
II.3.b Théorème du Moment Cinétique en référentiel non galiléen . . . . . . . 22
II.3.c Théorèmes énergétiques en référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . 22
III Exemples et applications 25
III.1 Caractère galiléen ou non des référentiels usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.1.a Référentiel de Copernic .......................... 25
III.1.b Référentiel héliocentrique, ou de Kepler ................. 25
III.1.c Référentiel géocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.1.d Référentiel terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.2Champdepesanteur ................................. 27
III.3 Équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . . . . . 29
Synthèse 32
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Introduction
On sait que si le mouvement d’un point Mest entièrement défini par les lois de la méca-
nique, la description de ce mouvement, en particulier sa représentation mathématique, dépend
du choix du référentiel. La question envisagée dans ce Chapitre est donc la suivante : com-
ment, connaissant la description du mouvement de Mdans un référentiel, peut-on
exprimer son mouvement par rapport à un autre ?
On considèrera dans ce Chapitre deux référentiels Ret R0, munis de leurs repères liés
(O, #» ux,#» uy,#» uz)et (O0,#» ux0,#» uy0,#» uz0)et de leurs horloges associées Het H0, en mouvement
quelconque l’un par rapport à l’autre.
Universalité du temps
La mécanique classique, appelée aussi galiléenne ou newtonienne, postule (contrai-
rement à la mécanique relativiste), que le temps est absolu : c’est un paramètre
universel, qui s’écoule de manière identique dans tous les référentiels.
Principe d’universalité du temps
Exemple : Si on mesure la période d’un même pendule dans Ret R0, les horloges Het H0
indiqueront la même durée.
Remarque : Ce principe est rejeté en théorie relativiste (restreinte et générale) car il revient
à admettre l’existence d’un signal de synchronisation d’horloges qui se propage à une vitesse
infinie, ce qu’exclue la relativité.
On se place dorénavant dans un cadre non relativiste (vitesses faibles devant la célérité cde
la lumière) et on ne s’intéressera donc plus aux horloges, le temps étant noté tdans les deux
référentiels d’étude.
Référentiels galiléens
Les lois de la mécanique vues en première année ne sont valables que dans un référentiel
galiléen. On a admis par ailleurs que si un référentiel est galiléen, tout autre référentiel en
translation rectiligne uniforme par rapport à lui est également galiléen. Nous le démontre-
rons dans la suite de ce Chapitre.
Mais si Rest galiléen et que le mouvement de R0par rapport à Rest quelconque, R0
n’est plus galiléen. Comment alors étudier le mouvement d’un système dans R0?Comment
s’écrivent alors les lois de la dynamique dans ce référentiel non galiléen ?
Méthode
On s’intéressera donc dans la suite au mouvement d’un point M, que l’on peut décrire par
rapport aux deux référentiels Ret R0. Lorsque l’on s’intéressera aux aspects dynamiques, Rsera,
par convention, le référentiel galiléen de référence, et R0le référentiel mobile, éventuellement
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non galiléen. On notera (x, y, z)les coordonnées de Mdans le référentiel R, et (x0, y0, z0)dans
R0.
On appelle alors #» v(M)Rla vitesse "absolue" et #» v(M)R0la vitesse "relative", et de
même avec les accélérations.
Dans ce type de problème, il est très important de bien définir le système étudié, puis
les 2 référentiels possibles, et enfin de choisir celui qui servira à l’étude. En particulier,
on distinguera bien le mouvement du système par rapport au référentiel d’étude, et le
mouvement d’un référentiel par rapport à l’autre.
Important
Un pendule oscille dans un train qui avance en ligne droite par rapport au quai.
Identifier les 2 référentiels d’étude possibles et leur mouvement relatif.
Application 1 : Pendule dans un train
Schéma :
..........................................................................................
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I Cas d’un référentiel en translation par rapport à un autre
I.1 Position du problème
Un référentiel est en translation par rapport à un autre si leurs axes restent parallèles,
ie si les vecteurs (unitaires) de la base liée à un référentiel gardent une direction
constante au cours du temps par rapport à l’autre référentiel.
Définition
Exemple : Translation rectiligne et translation circulaire :
On suppose donc que le référentiel R0est en translation (quelconque) par rapport à R. Dans
ce cas, quitte à modifier les axes, autant prendre des vecteurs unitaires identiques dans les 2
référentiels. On prend donc pour simplifier :
#»
ux=#» ux0
#»
uy=#» uy0
#»
uz=#» uz0
I.2 Aspects cinématiques : lois de composition
I.2.a Composition des mouvements
La relation de Chasles permet de passer du vecteur position de Mdans R, noté # » OM, à
son vecteur position dans R0, noté # » O0M:
..........................................................................................
Si on note (X, Y, Z)les coordonnées de O0dans R, on peut écrire :
..........................................................................................
..........................................................................................
Cas particulier transformation de Galilée
Considérons un cas simple de composition de mouvement, appelé cas de Galilée : suppo-
sons que R0est en translation rectiligne uniforme à la vitesse #» Vsuivant Ox par rapport
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